爬楼轮椅后腿机构多目标优化设计

爬楼轮椅后腿机构多目标优化设计
鲁建军;范柳彬;李灿;贾利想
【摘要】爬楼轮椅后腿机构是典型的平面二自由度五连杆机构,杆长尺寸对其性能产生很大的影响.为了得到最优的杆长参数,建立了五连杆机构的运动学模型和动力学模型,分别在运动学层面和动力学层面上提出了多个性能指标,以其作为目标函数和约束条件建立了机构多目标优化数学模型,利用NSGA-Ⅱ多目标遗传算法得到了Pareto最优解.最后分别以各个性能指标值最小和权衡各个性能指标值为依据列出了几组最优设计点,包括杆长参数和对应的各个性能指标值,人们可以根据设计要求和工程实际经验来权衡选取满足不同要求的优化结果.
【期刊名称】《机械设计与制造》
【年(卷),期】2019(000)004
【总页数】5页(P42-46)
【关键词】五杆机构;多目标优化;NSGA-Ⅱ遗传算法;MATLAB仿真
【作者】鲁建军;范柳彬;李灿;贾利想
【作者单位】河北工业大学机械工程学院,天津 300000;河北工业大学机械工程学院,天津 300000;河北工业大学机械工程学院,天津 300000;河北工业大学机械工程学院,天津 300000
【正文语种】中文
【中图分类】TH16;TH122
1 引言
爬楼轮椅有行星轮式、履带式、腿足式、轮腿式等，任何形式的爬楼轮椅在设计时都要考虑其爬楼能力、承载能力和稳定性，这里研究的是轮腿式爬楼轮椅后腿机构，此后腿机构为平面二自由度五杆机构，其具有刚度大，承载能力强，运动空间大等优点。

其作为爬楼轮椅的主要部分，其杆2上装有排轮，轮椅在爬楼时后排轮提
供主要动力，两个驱动杆能够调节爬楼轮椅的位姿，因此运动需要满足一定规律，对驱动力矩峰值、波动和耗能要求较高，其次后腿机构输出杆的运动空间决定了排轮在爬楼时摆动的空间大小，输出杆摆动空间越大，轮椅的爬楼能力越强，最后五杆机构的传速或传力性，即可操作性间接的影响了驱动力矩的大小、波动等，且五杆机构输出点W的速度稳定性影响乘坐人的舒适性。

然而此轮椅后腿机构的这些
能力较差，影响这些性能最主要的因素为五杆机构的杆长，所以对杆长进行了多目标优化。

机构的优化设计是指将机构的实际问题抽象成数学模型，在满足一定约束情况下，确定优化的目标和方法，实际工程中往往涉及到多个需要优化的性能指标，所以采用了NSGA-Ⅱ算法，它能够毫无偏好的找到尽可能多的具有代表性符合要求的Pareto最优解，之后可以根据实际要求和经验从中选取最满意的优化结果。

以运动空间、可操作性、速度稳定性、驱动力矩峰值、波动、能耗等目标函数，以五杆机构杆长为设计变量进行优化，通过对比优化前和优化后的多组目标值，设计要求和工程实际经验来权衡选取满足不同要求的优化结果。

2 动力学模型
2.1 运动学分析
令铰链O1点为坐标系的坐标原点，如图1所示。

且位于杆l1的转动中心，X轴
通过机架，方向由O1指向O2。

点U、点S、点N、点M和点I分别表示五组排
轮的转轴位置。

图1 后腿机构运动学分析简图Fig.1 Kinematics Analysis of Rear Leg Mechanism
图中：杆 l5—机架；杆 l1和 l4—原动件；φ1、φ2、φ3和φ4—各杆的相位角。

采用封闭矢量法对五杆机构进行分析，得到为φ2、φ3的表达式如下：
其中
Xz、Yz和 Xt、Zt分别 Z 点和 T 点横纵坐标；
此五杆机构将W点作为输出点，W点速度与驱动角速度之间的关系如下：
式中：J—雅克比矩阵。

2.2 动力学分析
图2 后腿机构的受力分析简图Fig.2 Force Analysis of Rear Leg Mechanism 爬楼轮椅在爬楼过程中除了驱动件杆l1与杆l4在一定的角度范围内转动，可浮动轮N轮还能在垂直于杆l2方向上在一定范围内移动来进行爬楼，即提高了爬楼轮椅的爬楼能力。

并且爬楼轮椅在爬楼时杆l1、l2的运动时是满足一定规律的，如图2所示。

各杆件质量为 m1、m2、m3和 m4，杆 l1、l3和 l4 的质心都在几何中心处，但杆l2上装有排轮，经三维软件UG测量出杆l2的质心在W点处，各个杆除了受到重力G1、G2、G3和G4外，杆l1和l4受到驱动力矩M1、M4，N轮受到支持力Fn和摩擦力Ff。

这里采用拉格朗日方程对其进行动力学分析，求出杆l1、l2运动规律一定时，两杆所受到的驱动力矩M1、M4，其受力分析，如图2所示。

二自由度系统的拉格朗日方程为：
式中：E、V—系统的动能、势能；Qi、qi—第i个广义力和第i个广义坐标。

为了应用式（4），需要先求出系统动能、势能、广义力和广义坐标的表达式。

2.2.1求系统的动能
总动能表达式可以写成以下形式：
2.2.2求系统的势能
各杆件势能为：
总动能
2.2.3广义坐标及广义力的确定
广义坐标分别为杆l1、l4的相位角φ1、φ4。

爬楼轮椅在走地面上行走时，后腿机构不受力，则支持力Fn和摩擦力Ff均为0，在爬楼梯时，后腿机构为主要动力来源，则Fn、Ff均不为0，由于后腿机构的排轮在工作时为纯滚动，所以Ff不做功，只有Fn做功，根据虚功原理求得广义力Q1、Q2则表达式为：
式中：yn—N轮圆心纵坐标；
根据式（11），最终得到如下表达式：
3 后腿机构优化数学模型
3.1 确定设计变量
因为杆l5为机架，与杆l2进行装配的零件众多，所以暂不做其优化，杆l2为0.327m，杆l5为0.303m，故设计变量为：
3.2 建立目标函数
3.2.1运动学层面
（1）对于此爬楼轮椅后腿机构来说杆l2摆动空间越大，轮椅愈能适应不同参数的台阶，爬楼能力越强，所以杆l2摆动的最大角度杆φ2越大越好，因为爬楼是一个连续过程，但在编写程序时将这个连续过程转变为数个离散的点，此时就要考虑φ2在整个运动空间的平
均值，因此得到一个待优化目标，表达式为：
式中：M—运动空间上离散点数；
（2）通常情况下将雅克比矩阵与其转置乘积的行列式作为评价机构工作能力的指标，如果以其作为目标去优化，这就对工作方向和非工作方向都做了要求，削弱了后腿机构任务方向的运动能力，因为此轮椅后腿机构在爬楼时主要是在竖直方向上进行运动，所以要求机构输出点W沿竖直方向上的传速能力要好。

驱动关节如果能以较低的速度使机构输出端沿特定方向产生较高的运动速率，则认为沿该方向的可操作性好，反之则可操作性差。

为使后腿机构在竖直方向上可操作性好，定义速度方向可操作度为：
式中：vt—速度方向的单位矢量，用坐标表示为（0，1）。

上述公式只能表示在某一瞬时特定位置的可操作度，为评估轮椅整个工作空间上的可操作度，定义一个全局性性能指标为：
式中：w—机构输出运动空间；
由于上述公式不能反映速度性能的波动信息，为使后腿机构具有稳定的速度性能，定义可操作度的均方差为：
它可体现后腿机构在工作空间内相对于平均水平的波动情况，其值越小说明机构的速度性能越稳定。

3.2.2动力学层面
动力学层面有三个待优化的性能，分别为驱动力矩峰值性能，驱动力矩波动性能和能耗性能。

（1）当驱动力矩峰值过大时，会降低后腿机构连杆的强度，和电动机的疲劳寿命，且连杆此时变形较大，所以要使轨迹上的关节力矩趋于最小，因现有两个驱动力矩，两个驱动力矩在优化过程中可能存在矛盾，所以现在采用功效系数法将其统一，表达式为：
式中：M*1—对M1进行单目标优化时的最优解；M*4—对M4进行单
目标优化时的最优解；
（2）对于动力学控制来讲，每两个离散时刻驱动力波动愈小愈好，控制系统和驱动系统愈稳定，因此将驱动力波动函数此作为一个动力学评价函数，此函数表达式如下：
式中：N—自由度数；Mji—第j个离散点上第i个驱动力矩的值。

（3）当后腿机构完成某一规律运动时需要消耗能量，能量愈小愈好，因此耗能函数作为另一个动力学评价函数，耗能函数表达式如下：
式中：各参数意义同前；φji—第j个离散点上第i个原动件角度。

3.3 建立约束条件
3.3.1边界约束
在满足常规的五杆机构设计和性能要求之下，考虑其与轮椅的装配条件，估计最优解的取值范围，建立边界约束条件50≤
3.3.2几何约束
为确保平面五杆机构的装配条件要求杆即：
轮椅工作时有平地模式和爬楼模式，平地模式时要求后腿的排轮不与地面接触，所以要求杆l2上的排轮连线摆动的极限位置要达到与机架水平，所建的坐标系的x 轴与机架水平方向的夹角为8°，排轮连线与杆l2的夹角为11.7°，所以要求杆与x轴的夹角φ2（min）要达到最小值为（－3.7）°，基于国家楼梯标准得到标准楼梯坡度为20°，则后排轮连线摆动的角度要达到此坡度，又因为后排轮连线与杆l2的夹角为13.7°，得到杆l2摆动的最大角度φ2（max）要达到6.3°，即：
3.3.3动力学约束
为保证五杆机构具有良好的传动性能，机械设计中一般规定最小传动角为40°，即要求杆 l2与杆 l3的夹角40°≤δ23≤140°，即：
3.4 多目标优化模型的建立
设计变量
目标函数：
约束条件：
4 优化仿真
采用基于Pareto解的NSGA－Ⅱ算法进行求解，它是一种精英策略非支配排序遗
传算法，对于多目标优化而言，因为各个目标在优化过程中存在矛盾，不可能同时找到各个目标的最优解，所以优化结果通常是一个解集，我们的主要任务是毫无偏好的找到尽可能多的具有代表性符合要求的Pareto最优解，在计算得到均匀分布的Pareto最优解之后，根据实际要求和经验从中选取最满意的优化结果。

这里定义后腿机构参数及初始值如下：
杆l2、l5长度分别为l2=327mm，l5=305mm；各杆件质量分别为m1=0.14kg，m2=0.46kg，m3=0.12kg，m4=0.14kg；驱动角φ1、φ4的运动规律均为二次函数，表达式分别为φ1=－2.8t2+28t+40，φ4=－5.4t2+54t+310；t为时间自变量，其范围为（0～5）s；在MATLAB 编程中将其分为100个离散点；后排轮受到台阶的支持力Fn可以通过整机受力分析得到，其范围为（800～850）N。

4.1 NSGA-Ⅱ算法具体应用过程
（1）采用实数编码：一个实数对应一个基因。

（2）初始值赋给：将各个参数的初始值转化为（0～1）之间的数，之后由随机函数产生初始值。

（3）适应度函数：在非支配排序过程中，为每一个非支配层给定了虚拟适应度值，使得此算法以最快速度收敛于最优区域。

（4）遗传算子：采用轮赛制选择算子，即选择两个个体，先比较非支配排序序号，选较小的个体，若非支配排序序号一样，再比较个体拥挤距离，选较大的个体，交叉算子采用二进制交叉算子，编译算子采用多项式变异算子。

（5）运行参数设置：取种群大小400，变异概率0.1，交叉概率0.9，运行代数400代。

4.2 多目标优化结果提取与分析
由NSGA－Ⅱ遗传算法得到了Pareto最优解，如图3所示。

横坐标均是驱动力矩峰值指标的函数值，纵坐标分别为其他五个目标的函数值。

图中的黑色星号为算法
进行到最后的选取的Pareto解，黑色矩形代表原设计点的位置。

可以看到驱动力矩峰值指标和爬楼能力指标没有明显的正相关性或矛盾关系，但是其和可操作度指标、速度性能稳定性的关系是相互冲突的，即一个性能的提高必然导致另一个性能的下降；驱动力矩峰值指标和驱动力矩波动指标、能耗指标是正相关性，即一个目标的增大或减小导致另一个目标增大或减小。

相关设计变量与优化性能指标，如表1所示。

表1 相关设计变量与优化性能指标Tab.1 Design Variables and Optim izational Performance Index设计点杆长/（mm）爬楼能力指标φ2/（°）φ2变化范围/（°）可操作度ηv速度性能稳定性σv l1 l3 l4 1 66.1 89.8 90 －12.1 －3.65～20.26 15.46 5.93 2 119.4 66.8 89.3 0.82 －16.18～6.61 13.07 3.87 3 120 66.1 89.9 1.03 －16.44～6.52 12.84 3.74 4 83.2 90.0 66.0 －7.86 －4.09～13.35 24.56 11.86 5 70．6 88.5 83.3 －10.80 －3.79～18.15 17.36 7.22 6 69.0 89.1 85.8 －11.29 －3.72～18.95 16.58 6.69 7 70.0 85.3 86.2 －10.48 －4.57～
18.17 16.38 6.66原设计 64.0 66.0 66.0 －8.12 －5.23～12.46 17.23 7.52设计
点驱动力矩峰值指标驱动力矩波动指标能耗指标M1（max）/（N*m）M4（max）/（N*m）1 5.64 15.92 2.19 8.98 13.5 2 17.64 26.09 2.87 18.02 15.75 3 18.72 26.46 2.90 18.60 16.1 4 2.22 13.21 1.86 7.47 10.56 5 4.54 15.50 2.12 8.64 12.37 6 4.95 15.71 2.15 8.77 12.7 7 5.30 16.07 2.18 9.17 13.04原设计
7.22 20.12 2.38 11.20 14.23
这里将原设计点标记在以上各图中，可以看到原设计点除了速度性能稳定性指标其他性能指标均在Pareto最优解上，且在原设计点上保证了驱动力矩峰值指标较小，但是其它指标都偏大，没有兼顾到各个指标的平衡性；现提取分别以各个目标函数值取得最小值时的设计点，因为后三个目标为正相关性，所以此时提取4个设计点，又考虑到提取的设计点要兼顾各个指标的性质，所以最后又提取了驱动力矩峰
值指标分别为4.5、5、5.5左右时的三个设计点，将以上设计点以及原设计点对应的各个性能指标，如表1所示。

若追求更好的爬楼能力，可以选择设计点1；若追求更好的运动学性能，可以选择设计点2或3；若追求更好的动力学性能可以选择设计点4；若追求各个指标的平衡性，可以选择设计点5、6或7。

图3 Pareto最优集中优化性能指标的占优关系在二维空间上的映射Fig.3 The Dominant Relationship of Pareto Optimal Centralized Performance Index in Two Dimensional Space
5 结论
（1）利用封闭矢量法对平面二自由度五杆机构建立了运动学模型，之后利用拉格朗日方程建立了其动力学模型，为多目标优化设计提供了理论基础。

（2）结合爬楼轮椅后腿机构的工作要求，提出了运动空间、可操作性、速度稳定性、驱动力矩峰值、驱动力矩波动和能耗等多项性能，以所提出的性能指标，建立了后退机构多目标优化数学模型，利用NSGA-Ⅱ算法对五杆机构参数进行了优化，获得了性能指标的Pareto最优解集。

（3）最后依据各个性能指标最小为条件，选取了几组最优设计点，可以根据设计要求和工程实际经验来权衡选取满足不同要求的优化结果。

参考文献
【相关文献】
［1］章勇年，王美思，吴阳.五连杆足式机器人腿部机构多目标优化算法［J］.农业机械学报，2016，47（10）：398-404.（Zhang Yong-nian，Wang Mei-si，Wu Yang.Multi-objective optimization algorithm of robot leg based on planar five-barmechanism［J］.Transactions
of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2016，47（10）：398-404.）
［2］崔国华，周海栋，王南.基于Insight的3-UPS-S并联机器人机构多目标优化［J］.农业机械
学报，2013，44（9）：262-266.（CuiGuo-hua，Zhou Hai-dong，Wang Nan.Multi-objective optimization of3-UPS-Sparallelbasedon Insight
［J］.TransactionsoftheChineseSociety for AgriculturalMachinery，2013，44（9）：262-266.）
［3］于红英，唐德威，王建宇.平面五杆机构运动学和动力学特性分析［J］.哈尔滨工业大学学报，2007，39（6）：940-943.（Yu Hong-yin，Tang De-wei，Wang Jian-yu.The analysis on kinematics and dynamicscharacteristic ofplanar five-bar linkages［J］.JournalofHarbin Instituteof Technology，2007，39（6）：940-943.）
［4］李辉.混合驱动可控压力机的基础理论研究［D］.天津：天津大学，2003.（Li Hui.Funda mental study on the hybrid-driven programmable mechanical press［D］.Tianjin：Tianjin University，2003.）
［5］张亮，张继业，李田.超高速列车流线型头型多目标优化设计［J］.机械工程学报，2017，53（2）：106-114.（Zhang Liang，Zhang Ji-ye，Li Tian.Multi-objective optimization design of the stream lined head sheap of super high-speed trains［J］.Journal of Mechanical Engineering，2017，53（2）：106-114.）
［6］崔利杰，龚小平.基于MATLAB运动仿真的平面多连杆机构优化设计［J］.机械设计与制造，2007（2）：40-42.（Cui Li-jie，Gong Xiao-ping.Planarmulti-linkage optimization design based onMATLABmovementsimulation［J］.MachineryDesignand Manufacture，2007（2）：40-42.）
［7］孙文杰，李刚.基于综合操作性能指标的操作机多目标优化［J］.机械工程学报，2014，50（17）：52-60.（SunWen-jie，LiGang.Multiobjective optimization for the forgingmanipulator based on the comprehensivemanipulation performance indices ［J］.JournalofMechanical Engineering，2014，50（17）：52-60.）
［8］石志新，罗玉峰，陈红亮.机器人机构的全域性能指标研究［J］.机器人，2005，27（5）：420-422.（ShiZhi-xin，Luo Yu-feng，Chen Hong-liang.Onglobalperformance indices ofmroboticmechanisms［J］.Robot，2005，27（5）：420-422.）
［9］冯立艳，刘腾，李学刚.基于遗传算法的混合驱动铰链五杆机构的优化综合［J］.机械设计与
制造，2011（10）：173-175.（Feng Li-yan，Liu Teng，LiXue-gang.Optimumsynthesisof hybrid-driven hinge five-barmechanism based on genetic algorithm［J］.Machinery Design and Manufacture，2011（10）：173-175.）
［10］孙立宁，楚中毅，曲东升．2-DOF平面并联机器人结构参数优化的研究［J］．哈尔滨工业大学学报，2004，36（3）：277-280.（Sun Li-ning，Chu Zhong-yi，Qu Dong-
sheng.Structure op-timization of anovel 2-DOF planar parallel robot［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2004，36（3）：277-280.）。