必修5第三章不等式之线性规划问题150804
高中数学必修五第三章《不等式》3.3.2简单的线性规划问题 第1课时
跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、 可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润， 甲、乙两种货物应各托运的箱数为_4_,_1_.
货物
甲 乙 托运限制
体积 (m3/箱)
5 4 24
重量 (50 kg/箱)
2 5 13
利润 (百元/箱)
20 10
解析 答案
达标检测
y≤2x， 1.若变量 x，y 满足约束条件x＋y≤1，
y≥－1，
则 x＋2y 的最大值是
A.－52
B.0
√C.53
5 D.2
12345
解析 答案
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示. 设 z＝x＋2y，即 y＝－12x＋12z，平行移动直线 y ＝－12x＋12z，当直线 y＝－12x＋2z过点 B13，32时， z 取最大值53，所以(x＋2y)max＝53.
第三章 3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 线性规划的有关概念及图解法
学习目标
1.了解线性规划的意义. 2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本 概念. 3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实 际问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
x＋2y≤8，
3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利 用数形结合方法可迅速解决相关问题.
本课结束
例 1 已知 x，y 满足约束条件4y≤12， x≥0， y≥0，
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y的最大值.
解答
反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤 (1)确定线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出可行域； (3)平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或 哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点 的位置； (4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求 出目标函数的最值.
高中数学必修五第三章简单的线性规划问题
高中数学必修五第三章简单的线性规划问题简单的线性规划问题第三课时（1）教学目标(a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、 最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值 (b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣（2）教学重点、教学难点教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解（3）学法与教学用具通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系直角板、投影仪，计算机辅助教材（4）教学设想1、 设置情境师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影）（板书）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：※ 28,416,412,00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩将上述不等式组表示成平面上的区域，如图3.3-9中阴影部分的整点。
2、 新课讲授（1）尝试若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少？① 变形——把22333z z x y y x =+=-+转变为，这是斜率为23-z ，在y 轴上的截距为的直线3；当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；233z y x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经点P 时截距3z 最大 ② 平移——通过平移找到满足上述条件的直线③ 表述——找到给M （4，2）后，求出对应的截距及z 的值（2）概念引入（学生阅读并填空）28,416,412,00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件 ，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的23z x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
高中数学第三章不等式4简单线性规划第3课时简单线性规划的应用课件北师大版必修5
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2 万元
0.55 万元
韭菜
6吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为 3_0_亩__、__2_0_亩__.
[解析] 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x 亩、y 亩， 则总利润 z＝(4×0.55－1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x＋0.9y，此时 x，y 满足条件
命题方向2 ⇨耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题
例题 2 某公司的仓库A存有货物12 t，仓库B存有货物8 t．现按7 t、8 t和5 t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每 吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个 仓库运货物到三个商店的总运费最少？
复习课件
高中数学第三章不等式4简单线性规划第3课时简单线性规划的应用课件北师大版必修5
2021/4/17
高中数学第三章不等式4简单线性规划第3课时简单线性规
1
划的应用课件北师大版必修5
第三章
不等式 §4 简单线性规划
第3课时 简单线性规划的应用
自主预习学案
近20年来，中国的城市化取得了巨大的成就．城市人 口急剧增加，导致购房者大大增长．与装修有关的各个行 业发展迅速．某家具加工厂为了满足人们的需求，准备加 工书桌和书橱出售．家具厂现有方木90 m2，五合板600 m2. 已知生产每张书桌需要方木料0.1 m2，五合板2 m2，生产书 橱每个需要方木0.2 m2，五合板1 m2.出售一张书桌可获利润 80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使利 润最大？要解决这个问题就要用到线性规划，下面让我们 来研究一下线性规划问题．
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划截距法解线性规划问题素材北师大版必修5
[截距法]解线性规划问题
由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+，则z b 为直线y a b x z b
=-
+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。
（2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b
=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
例1. 设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪⎩
⎪10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。
解：如图1作出可行域，目标函数z x y =+2表示直线y x z =-+2在y 轴上的截距，可见当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =⨯+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小z min =0。
图1
例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪⎩
⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。
解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小
值，所以z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313
,）处取最大值，z max =⨯-⨯=31321313。
图2。
原创1：3.5.2 简单的线性规划（二）
的距离的平方；
−
③ =
表示可行域内的点 ， 与定点 ， 连线的斜率；
−
新知探究
（二）非线性目标函数的最值问题
④ = | + + | (2 + 2 ≠ 0)，可以化为
z=
− = −1
解方程组ቊ
，得点(4，5)．
3 + 5 = 37
所以，当 = 4， = 5 时， 取得最大值，并且max = 5 × 4
+3 × 5 = 35，即、 两区参与活动同学的人数分别为4、5 时，
受到服务的老人最多，最多为35人．
新知探究
（一）线性规划中的整数解问题
+1
−(−1)
解: (1) ∵ = +1 = −(−1)，
∴ 的几何意义是点 ， 与点
−1， − 1 连线的斜率，
∴
+1
的最值就是点
+1
， 与点
−1， − 1 连线的斜率的最值，
如图所示，
新知探究
（二）非线性目标函数的最值问题
直线的斜率最大，直线的斜率最小，
2
+
2
·
|＋＋|
2 +2
的形式，可知z表示可行域内
的点 ， 到直线 + + = 0 距离的 2 + 2 倍．
新知探究
（二）非线性目标函数的最值问题
变式2. 已知x，y满足约束条件同例题，求下列函数z的最值：
(1) =
+1
(2)
；
+2
解：(1) 将 =
高中数学必修5课件：第3章3-3-2简单的线性规划问题
数学 必修5
第三章 不等式
求非线性目标函数的最值
实数 x，y 满足不等式yx≥ －0y≥，0， 2x－y－2≥0，
则 ω＝yx－ ＋11
的取值范围是________．
[思路点拨] 画出可行域 ―→ 明确目标z的几何意义 ―→
结合图形找最优解 ―→ 求目标函数的最值
数学 必修5
＋y 的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
数学 必修5
第三章 不等式
解析： 画出如图所示的可行域，易知当直线过点(1,2)时 目标函数取最大值3.
答案： A
数学 必修5
第三章 不等式
3．已知实数 x，y 满足yy≤≥2－x，2x， x≤3，
则目标函数 z＝x－2y
的最小值是________． 解析： 如图，作出的阴影部分为可行域，由xy＝＝32x， 得
数学 必修5
第三章 不等式
由yy＝＝x－－29x，＋3， 解得 A(4，－5)． 当直线 z＝x＋2y 过 A 点时 z 取最小值， 将 A(4，－5)代入， 得 z＝4＋2×(－5)＝－6. 即 z＝x＋2y 的最小值为－6.
数学 必修5
第三章 不等式
求线性目标函数的最值
y≤1， 若变量 x，y 满足约束条件x＋y≥0，
x－y－2≤0，
求 z＝x
－2y 的最大值和最小值．
[思路点拨] 先根据约束条件作出可行域，再平移直线 x
－2y＝0 找到最大值点，代入 z＝x－2y 可求出最大值．找到最
小值点，代入 z＝x－2y 可求出最小值．
数学 必修5
第三章 不等式
[边听边记] 作出可行域如图所示，把 z＝x－2y 变形为 y ＝2x－2z，得到斜率为12，在 y 轴上的截距为－2z，随 z 变化的一 组平行直线．
高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题人教A版必修5
得到斜率为-172,在 y 轴上截距为1z2,且随 z 变化的一组平行直线.
由图可以得到,当直线经过可行域上点 A 时,截距1z2最大,即 z 最大,解方
程组
4x + 5y = 200, 3x + 10y = 300,
得点 A 的坐标为(20,24),
所以 zmax=7×20+12×24=428(万元), 即生产甲、乙两种产品分别为 20 t,24 t 时,利润总额最大.
当直线经过可行域上的 B 点时,截距-u 最小,即 u 最大. x + 2y = 4,
解方程组 x-y = 1, 得 B(2,1), ∴umax=3×2-1=5.
∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.
探究一
探究二
探究三
探究四
x + 2y ≤ 4,
(2)作出二元一次不等式组 x-y ≤ 1, 表 x+2 ≥ 0
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 非线性目标函数的最值问题
非线性目标函数的最值问题,要充分理解非线性目标函数的几何意义, 诸如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等.
常见代数式的几何意义主要有:
(1) (x-a)2 + (y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)的距离; x2 + y2表示点(x,y)
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求线性目标函数的最值
求线性目标函数最值问题的步骤: (1)作图——画出约束条件(不等式组)所表示的平面区域和目标函数 所表示的平行直线系中的任意一条直线 l. (2)平移——将直线 l 平行移动,以确定最优解所对应的点的位置. (3)求值——解有关的方程组求出最优解,再代入目标函数,求出目标函 数的最值.
人教版A版高中数学必修5：3.3.2 简单的线性规划问题
y 1
A
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
2x+y=0
x C
Zmax=3
课堂小结：
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距 最大或最小的直线
x2y 8
y2x z 33
x2y 8
44xBiblioteka y 16 12
x
0
y 0
像这样关于x,y的一次不等式组的约束 条件称为线性约束条件
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的 一次式,所以又称为线性目标函数）。
在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线 性规划问题。
第三章 不等式
3.3.2 简单的线性规划问题
问题: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种
产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件 耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件, 按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
资源
A种配件 B种配件 所需时间
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
三导练习册达标 训练二十八1,2
为 z 的直线。 3
当点P在可允许的取值范围变化时,
求截距
z 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2y 8
44
x y
16 12
4 3
人教版高一必修5第3章不等式专题线性规划题型归纳教案含答案
专题-线性规划题型归纳线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关。
它不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形结合思想、转化与化归思想；而且还能体现了学生的综合分析问题的能力、逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，此知识点越来越受到出题者的青睐。
下面，就常见的线性规划问题进行探讨.类型一、解线性约束区域的约束条件问题例1、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组224x y -=3x =是（ ）.A. B. C. D. 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图1所示）224x y -=y x =±3x =时有.0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩说明：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。
验证法或排除法是最效的方法.类型二、解线性约束区域的面积问题例2、不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）.A.32 B. 23 C. 34D.43解：如图2阴影部分所示，平面区域的面积为：.144(4)1233⨯-⨯=说明：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键.类型三、解线性约束区域整点个数问题例3、满足的点中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）.224x y +≤(,)x y A.9个 B.10个 C.13个 D.14个解：作出可行域如图，是圆上及其内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D.说明：找线性区域内整点坐标或个数时，直接作出线性区域的网格图是比较直观的方法.类型四、解线性目标函数最值问题例4、设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）.,x y 222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩3z x y =-A. B. C. D.]6,23[-1[,1]2--[1,6]-3[6,]2-解：做出不等式所表示的区域如图4，由得，平移直线，由图象可知当y x z -=3z x y -=3x y 3=直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点)0,2(E z x y -=3z 63=-=y x z C 时，直线截距最大，此时最小，由，解得，此时，z ⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==321y x 233233-=-=-=y x z 所以的取值范围是，选A ．y x z -=3]6,23[-说明：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题.数形结合是数学思想的重要手段之一.变式：若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）.,x y 3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩34z x y =+A.12 B.26 C.28 D.33解：如图5可行域为图中阴影部分，当目标函数直线经过点时有最大值，联立方程组C z ⎩⎨⎧=+=+122122y x yx得，代入目标函数得，故选C ．(4,4)C 28=z 说明：本题为简单线性目标函数最值问题，注意目标函数中的几何意义为截距，与例4中Z Z 的几何意义是截距的相反数，两者是不同的.类型五、解可行域内的整点最优解问题例5、已知满足不等式组，求使取最大值的整数．,x y 230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩x y +,x y 解：如图6，不等式组的解集为三直线：，：，：1l 230x y --=2l 2360x y +-=3l 所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，35150x y --=1l 2l 1l 3l 2l 3l ,,A B C 则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：,,A B C 153(,)84A (0,3)B -7512(,)1919C -l x y t +=0l ，当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，0x y +=l 0l t l C x y +6319又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴；当时，75019x <<x 1,2,31x =2y =-1x y +=-2x =得或， ∴或；当时，， ∴，故的最大整数解为0y =1-2x y +=13x =1y =-2x y +=x y +或．20x y =⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=-⎩说明：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
人教A版高中数学必修5课件 3.3简单的线性规划问题课件
优解有无数个，此时 a＝1；
当 a＜0 时，当 y＝－ax＋z 与 x－y＝0 重合时，最
优解有无数个，此时 a＝－1。
综上，a＝1 或 a＝－1。
跟踪训练 2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数 z＝ax＋y 取最
大值的最优解有无穷多个，则 a 等于 （ B ）
A.14
B.35
C．4
D.53
解：由题意知，
x
0
y 0
将上面不等式组表示成平面上的区域, 区域内所有坐标为整数的点P(x,y), 安排生产任务x,y都是有意义的。
问题：求利润2x+3y的最大值。
y
4 3
40Biblioteka 8x若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
把z=2x+3y变形为y=-
x－y≥0， 例 2 已知 x，y 满足约束条件x＋y≤2，
y≥0，
优解，求实数 a 的值。
若目标函数 z＝ax＋y 的最大值有无数个最
解：约束条件所表示的平面区域如图：
由 z＝ax＋y，得 y＝－ax＋z。
当 a＝0 时，最优解只有一个，过 A(1,1)时取得最大值；
当 a＞0 时，当 y＝－ax＋z 与 x＋y＝2 重合时，最
车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨。在此基础上生产甲、乙
两种肥料。已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥
料，产生的利润为 3 万元。分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数。 (1)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
数学北师大版高中必修5第三章 不等试— 第四节简单线性规划
§4.2 简单线性规划（1）宜黄县安石中学万杰教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2.能根据条件建立线性目标函数；3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.教学过程：（一）复习练习：画出下列不等式表示的平面区域：（1）()(233)0x y+-<．-+-<；（2）|341|5x y x y（二）新课讲解：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：学习参考学习参考2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。
当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-+），这说明，截距3z可以学习参考 由平面内的一个点的坐标唯一确定。
高中数学 第三章 不等式 3.3.3 简单的线性规划问题课
【自主解答】 设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系
x>0， 则有3y>x＋0，y≤13，
2x＋3y≤18.
甲产品x吨 乙产品y吨
A原料 3x y
B原料 2x 3y
[再练一题]
1．(2015·福建高考改编)若变量 x，y 满足约束条件xx＋－2y≤y≥00，， x－2y＋2≥值等于________．
【解析】 作可行域如图， 由图可知，当直线 z＝2x－y 过点 A 时，z 值最小． 由xx＋－22yy＝＋02＝0， 得点 A－1，12， zmin＝2×(－1)－12＝－52.
[小组合作型] 求线性目标函数的最值
x＋2y≤4， 已知关于 x，y 的二元一次不等式组x－y≤1，
x＋2≥0. (1)求函数 u＝3x－y 的最大值和最小值； (2)求函数 z＝x＋2y 的最大值和最小值． 【精彩点拨】 作出可行域―→平移目标函数―→求最值
【自主解答】
(1)作出二元一次不等式组xx＋－2y≤y≤14，， x＋2≥0
求线性目标函数的最大(小)值的两种基本题型： (1)目标函数 z＝Ax＋By＋C，当 B>0 时，z 的值随直线在 y 轴上截距的增大而 增大． (2)目标函数 z＝Ax＋By＋C，当 B<0 时，z 的值随直线在 y 轴上截距的增大而 减小． 提醒：将目标函数所表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边 界)便是最优解．
(2)
由 z＝x＋2y，得 y＝－12x＋12z，得到斜率为－12，在 y 轴上的截距为12z，随 z 变 化的一族平行线．
由上图可知，当直线经过可行域上的 A 点时，截距12z 最小，即 z 最小，解方 程组xx＋－2y＝＝10，，
高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题
简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的二元一次不等式（或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的二元一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值【例1】设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的取值范围是(）A。
错误!B。
错误!C．[－1，6]D．错误![解析]约束条件错误!所表示的平面区域如图阴影部分，直线y＝3x－z斜率为3.由图象知当直线y＝3x－z经过A（2,0)时,z取最大值6，当直线y＝3x－z经过B错误!时，z 取最小值－错误!，∴z＝3x－y的取值范围为错误!，故选A。
［答案］ A【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z ＝2x ＋y ,变量x 、y 满足条件错误!求z 的最大值和最小值．[解］ 作出不等式组表示的平面区域，即可行域,如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出,当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组错误!得A 点坐标为（5，2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1，1)， ∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3. 题型二、求非线性目标函数的最值【例2】 设x ,y 满足条件错误!（1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝错误!的最大值与最小值．［解］ 画出满足条件的可行域如图所示，（1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆（圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当（x ，y )在可行域内取值时,当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C（3,8),所以u最大值＝73，u最小值＝0。
高中数学第三章不等式2简单线性规划课件必修5高二必修5数学课件
第二十二页，共四十七页。
非线性目标函数的最值的求解策略 (1)z＝(x－a)2＋(y－b)2 型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a， b)距离的平方．特别地，z＝x2＋y2 型的目标函数表示可行域内 的点到原点的距离的平方． (2)z＝xy－－ba型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜 率． (3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距 离的 A2＋B2倍．
时，z 取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选择 A.
12/9/2021
第十四页，共四十七页。
法二：易求可行域顶点 A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分 别代入目标函数，求出对应的 z 的值依次为 1，－15，9，故最 小值为－15. (2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 y ＝－x，当直线经过点 A(3，0)时，z＝x＋y 取得最大值，此时 zmax＝3＋0＝3.故选 D.
12/9/2021
第二十三页，共四十七页。
2.(1)已知 x，y 满足不等式组xy≥＋xy≤，4，则 z x≥1，
＝x＋y 1的取值范围是(
)
A.12，32
B．[1，3]
C.23，32
D．23，3
12/9/2021
第二十四页，共四十七页。
(2)已知 x，y 满足不等式组xx≥＋02y－2≤0， y≥0
【答案】 12/9/2021 (1)A (2)D
第十五页，共四十七页。
求线性目标函数最值的两种方法 (1)平移直线 作出可行域，正确理解 z 的几何意义，确定目标函数对应的直 线，平移得到最优解．对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最 小值点．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性规划
区域表示
【例】不等式组⎩
⎨⎧≥≤+x y y x 2
表示的平面区域是（ ）
【解析】不等式2x y +≤表示的是直线2x y +=的左下方，y x ≥表示的是直线y x =的左上方，因此选项C 正确
线性目标函数：不含参、含参
【例】若,x y 满足约束条件+20
020x y x y x y -≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
， 则目标函数z 2x y =+的最大值为
【解析】不等式组+20020x y x y x y -≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
表示的区域如图阴影部分所示：
当直线
20x y z +-=经过点(4,2)B -时，z 取得最大值
6．
【例】在平面直角坐标系中，实数,x y 满足101010x y x x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，若2z x y =-+，则z 的
取值范围是 ．
【解析】如图
【例】已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≤--≥-≥+,
0121
,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则
实数m 的值为( ) A.32 B.1
2
C.2
D.1
【解析】如图所示直线34y x =-分别与直线1y x =-、y x =相交于B 、D 两点，因为z -代表的是直线3z x y =-在y 轴上的截距.从图中可得当直线1
102
mx y -
-=经过D 点时，此时z 取得最大值4，易求得D 点坐标为(2,2)，代入求得1m =
【例】已知x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨
⎧≥+-≤--≤-+.022,022,
02y x y x y x 若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（ ） A ．
12或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
【解析】
由题意作出其平面区域如图，将z y a x =-
化为
y ax z z =+，相当于直线y ax z =+的
纵截距，由题意可得
y ax z =+，与22y x =+或与2y x =-平行，故21a =-或
【练1】若变量,x y 满足20
2300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则2x y
+的最大值为 ．
【练2】若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动
直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 （ ） A ．1 B ．
32 C ．34 D ．74
【练3】若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥4
3430
y x y x x ，所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等
的两部分，则k = A.
73 B.34 C.37 D.4
3 【练4】若直线2y x =上存在点(x,y)满足约束条件30
230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则实数m 的最大值为
（ ）
A ．12
B ．1
C ．3
2
D ．2
【练5】已知不等式组1
10x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
，表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面
区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A. 1
,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ C. 10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦ D. 1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【练6】设不等式组()1
33
x x y y a x ⎧≥⎪
+<⎨⎪≥-⎩
，其中0a >，若2z x y =+的最小值为12，则
a = ．
【解析1】由题知可行域如图，令z x y =+，只需求出z 的最大值即可。
又y x z =-+，所以只要求出直线在y 轴上截距的最大值，由图知，当1x =，2y =时z 最大，所以2x y
+的最大值为3
2=8．
【解析2】由题可知，根据不等式组画出可行域如图，当a 从－2连续变化到1时，目标函数扫过的区域如图，故此区域的面积为4
7211212=⨯⨯-
=-=∆∆ACD ABO S S S ；
【解析3】作出可行域，求出点的坐标)34
,0(A ,)1,1(B ,)4,0(C ；3
4
+
=kx y 恒过点)34,0(A ，所以当直线3
4
+=kx y 经过BC 的中点时，直线将平面区域分成面积相等的
两部分，则3
4
2125+=x ，解得37=k .。