优化课堂2016秋数学人教A版必修2课件：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

第三章 直线与方程
1．若 l1 与 l2 为两条直线，它们的倾斜角分别为 α1，α2，斜率分 别为 k1，k2，有下列说法： ①若 l1∥l2，则斜率 k1＝k2； ②若斜率 k1＝k2，则 l1∥l2； ③若 l1∥l2，则倾斜角 α1＝α2； ④若倾斜角 α1＝α2，则 l1∥l2. 其中正确说法的个数是( )
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第三章 直线与方程
所以四边形 ABCD 是平行四边形， 又因为 kAB·kBC＝－1，所以 AB⊥BC， 所以四边形 ABCD 是矩形． 又因为 kAC＝2 2，kBD＝0， kAC·kBD≠－1，所以四边形 ABCD 不是正方形，所以四边形 ABCD 是矩形．
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第三章 直线与方程
3.已知 A(2，2＋2 2)，B(－2，2)，C(0，2－2 2)， D(4，2)四个点，顺次连接这四点，试判断四边形 ABCD 的形 状．(说明理由) 解：因为 kAB＝2－（－22＋－22 2）＝ 22，kBC＝02－－（2 －2－2）2 ＝－ 2， kAD＝2－（42－＋22 2）＝－ 2， kCD＝2－（42－－02 2）＝ 22， 所以 kAB＝kCD，kBC＝kAD. 所以 AB∥CD 且 BC∥AD，
(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若斜率不存 在，可结合图形判断． (2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1 求解；若一条 直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为 0 求解． (3)计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时， 应用斜率公式时要对参数进行讨论．
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即当 BM＝156 m，BN＝2458 m 时，小路 MN 与小路 AC 互相平行．
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第三章 直线与方程
利用坐标法解决实际问题的三个步骤 (1)建立恰当的直角坐标系； (2)将“形”转化为“数”进行运算； (3)将计算结果转化为实际问题中的所求解问题．
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第三章 直线与方程
1.(1)已知两平行直线的斜率是方程 2x2－4x＋m
－1＝0 的两实根，则 m 的值为( )
A．1
B．－1
C．3
D．－3
(2)已知 P(－2，m)，Q(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线
PQ∥直线 MN，求 m 的值．
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第三章 直线与方程
本例条件不变．若再在花园里设计一条过 M 且 与 AC 平行的小路，怎样设计？ 解：设过 M 与 AC 平行的小路(直线)交 AB 于 N，且设 N 点坐标 为(0，y)，则 kAC＝kNM.
由例题解答知 M156，0.所以03－－50＝1506－－y0，得 y＝4285，
②l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； ③l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； ④l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3，4)，H(2，3)． [解] (1)选 C.因为 l2 的斜率 k2＝a－1 2，且 l1∥l2，所以 k1＝k2， 即a－1 2＝ 时，直线 MN 的斜率不存在，而直线 PQ 的斜率存在，
MN 与 PQ 不平行，不合题意；
当 m≠－2 且 m≠－1 时，kPQ＝m－4（－－m2）＝4m－＋m2，
kMN＝m＋3－2－1 1＝m＋2 1.
因为直线 PQ∥直线 MN，所以 kPQ＝kMN， 即4m－＋m2＝m＋2 1，解得 m＝0 或 m＝1.
第三章 直线与方程
探究点一 两条直线平行的判定及应用
(1)直线 l1 的斜率 k1＝34，直线 l2 经过点 A(1，2)，B(a－1，
3)，l1∥l2，则 a 的值为( )
A．－3
B．1
C.130
D．74
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第三章 直线与方程
(2)根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行： ①l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8，－ 7)；
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第三章 直线与方程
2.直线 l1，l2 的斜率是方程 x2－2 017x－1＝0 的两 实根，则 l1 与 l2 的关系是__________． 解析：Δ＝(－2 017)2－4×1×(－1)＝2 0172＋4＞0， x1x2＝－1.即 l1、l2 的斜率之积 k1k2＝－1. 所以 l1⊥l2. 答案：l1⊥l2
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第三章 直线与方程
(2)①当两直线斜率都存在，即 m≠－32且 m≠1 时，有 k1＝21m－＋m3， k2＝mm＋－21. 因为两直线互相垂直，所以21m－＋m3×mm＋ －21＝－1. 所以 m＝－1.
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当 m＝0 或 1 时，由图形知，两直线不重合．
综上，m 的值为 0 或 1.
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第三章 直线与方程
探究点二 两条直线垂直的判定及应用 (1)l1 经过点 A(3，4)和 B(3，6)，l2 经过点 P(－5，20)和 Q(5，20)，判断 l1 与 l2 是否垂直． (2)直线 l1 过点(2m，1)，(－3，m)，直线 l2 过点(m，m)，(1，－ 2)，若 l1 与 l2 垂直，求实数 m 的值． [解] (1)直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率为 0， 所以 l1⊥l2.
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第三章 直线与方程
(2)①由题意知，k1＝－5－3－12＝－45，k2＝－8－7＋33＝－45， 因为 k1＝k2，且 A，B，C，D 四点不共线，所以 l1∥l2. ②由题意知，k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
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第三章 直线与方程
2．已知直线 l1 的倾斜角为 30°，直线 l1∥l2，则直线 l2 的斜率 为( )
A. 3
B．－ 3
C.
3 3
D．－
3 3
解析：选 C.因为 l1∥l2，所以 kl2＝kl1＝tan 30°＝ 33.
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位置关系
平行
第三章 直线与方程
垂直
图形
特殊情况 下的平行 (垂直)
当 l1 与 l2 斜率都不存 当 l1 斜率不存在，l2 的斜
在时，l1∥l2
率为 0 时，l1⊥l2
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第三章 直线与方程
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．( ) (2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平 行．( ) 答案：(1)× (2)√
解：(1)选 C.由题意知方程 2x2－4x＋m－1＝0 的两实根相等，所 以 Δ＝(－4)2－4×2×(m－1)＝0.解之得 m＝3.
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第三章 直线与方程
(2)当 m＝－2 时，直线 PQ 的斜率不存在，而直线 MN 的斜率存
在，MN 与 PQ 不平行，不合题意；
位置关系
平行
垂直
前提条件 对应关系
l1 与 l2 不重合，l1 与 l2 斜率都存在，分别 为 k1，k2 l1∥l2⇔___k_1_＝__k_2___
l1 与 l2 斜率都存在，分别 为 k1、k2，k1、k2 均不为
0 l1⊥l2⇔___k_1_k_2_＝__－__1____
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第三章 直线与方程
(1)判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即 先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特 殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调 不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合． (2)应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种 情况求解．
第三章 直线与方程
②当 m＝1 时，k1＝0，k2 不存在，此时亦有两直线垂直． 当 2m＝－3，m＝－32时，k1 不存在，k2＝mm＋－21＝－ －3232＋ －21＝－15， l1 与 l2 不垂直． 综上可知实数 m＝±1.
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第三章 直线与方程
(3)对于不重合的直线 l1，l2，其倾斜角分别为 α，β，有 l1∥l2
⇔α＝β.
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第三章 直线与方程
2．理解两条直线垂直与斜率之间的关系 (1)利用 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，判断两条直线垂直的前提是这两条 直线的斜率都存在，且都不为 0. (2)如果 k1·k2≠－1，则这两条直线一定不会垂直． (3)若两条直线中，一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率 等于零，则这两条直线垂直． 这样，两条直线垂直的判定的条件就可叙述为：l1⊥l2⇔k1·k2 ＝－1 或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零．
第三章 直线与方程
3．过点 A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1，2)，Q(－5，0) 的直线垂直，则 m＝__________． 解析：由题意得，kAB·kPQ＝－1. 即－m1－－1m×－0－5－21＝－1，解之得 m＝－2. 答案：－2
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第三章 直线与方程
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
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第三章 直线与方程
1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或 垂直． 2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率 的关系．
第二页，编辑于星期日：六点 三十一分。
第三章 直线与方程
两条直线 l1 与 l2 平行或垂直与斜率的关系
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第二十页，编辑于星期日：六点 三十一分。
第三章 直线与方程
[解] 如图，以点 B 为坐标原点，BC，BA 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立直角坐标系．
由 AD＝5 m，AB＝3 m，可得 C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)． 设点 M 的坐标为(x，0)， 因为 AC⊥DM，所以 kAC·kDM＝－1. 所以30－ －05×35－ －0x＝－1，即 x＝156＝3.2， 即当 BM＝3.2 m 时，两条小路 AC 与 DM 相互垂直．
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第十页，编辑于星期日：六点 三十一分。
第三章 直线与方程
③由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在， 恰好是 y 轴． 所以 l1∥l2. ④由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1， k2＝32－ －43＝1，虽然 k1＝k2，但是 E，F，G，H 四点共线， 所以 l1 与 l2 重合．
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第二十五页，编辑于星期日：六点 三十一分。
第三章 直线与方程
1．理解两条直线平行与斜率之间的关系 (1)当直线 l1∥直线 l2 时，可能它们的斜率都存在且相等，也可 能斜率都不存在． (2)直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，当 k1＝k2 时，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
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第二十七页，编辑于星期日：六点 三十一分。
第三章 直线与方程
3．坐标法解决数学问题的指导思想 用坐标法研究数学问题是指在平面直角坐标系的基础上，用坐标 表示点，用方程表示曲线，通过对坐标和方程的代数化处理，来 解决平面图形的性质或平面图形中一些位置关系的判定．
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第二十八页，编辑于星期日：六点 三十一分。
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第十九页，编辑于星期日：六点 三十一分。
第三章 直线与方程
探究点三 求解与直线平行或垂直有关的实际应用问题 如图所示，一个矩形花园里需要铺两
条笔直的小路，已知矩形花园长 AD＝5 m， 宽 AB＝3 m，其中一条小路定为 AC，另一 条小路过点 D，问如何在 BC 上找到一点 M，使得两条小路 AC 与 DM 相互垂直？