宁波市九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(含答案解析)

一、选择题
1．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：
（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知抛物线2y x bx c =++的顶点在x 轴上，且经过点(3,)A m n -、(3,)B m n +，则
n 的值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
3．若整数a 使得关于x 的分式方程
12322
ax x
x x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．20
4．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③b a c <+；④230c b -<；⑤2(1)a b an bn n +>+≠，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n 与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）．有下列结论：①24ac b <；②30a b +>；
③420a b c ++>；④当0y >时，x 的取值范围为13x ；⑤当0x >时，y 随着x
的增大而减小；⑥若抛物线经过点()12,y -、23,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
、()33,y ，则312y y y <<．其中正确的有（ ）
A ．②③⑤
B ．①③④
C ．①③⑥
D ．②③⑥
6．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
A ．2148575152
y x x =--+ B ．21485
75152
y x x =-++ C ．21485
75152y x x =
-+ D ．21485
75152
y x x =
++ 7．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A ．233y x =+ B ．231y x =- C ．()2
321y x =++
D ．()2
321y x =-+
8．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，点P （m ，n ）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A ．当n ＜0时，m ＜0 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2 D ．当n ＞0时，m ＜x 1
9．表格对应值：
x
1 2 3 4 2ax bx c ++ 0.5-
5
12.5
22
判断关于的方程2ax bx c ++=的一个解的范围是（ ）A ．01x <<
B ．12x <<
C ．23x <<
D ．34x <<
10．抛物线()2
526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（ ） A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位 B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位 C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位 D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位
11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；
②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数
0x 、使得0a b
x a
+=-
其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移
3个单位长度，得到的解析式是（ ）
A ．25(1)3y x =-++
B ．25(1)3y x =--+
C ．25(1)3y x =-+-
D ．25(1)3y x =---
二、填空题
13．将抛物线2y
x 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐
标是__________．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（5，0），顶点B 在y 轴正半轴上，顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y ＝－x 2－13x +c 经过点B 、C ，则菱形ABCD 的面积为________．
15．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______． 16．二次函数2
23
y x =
的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2013A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2013B 在二次函数2
23
y x =
位于第一象限的图象上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201220132013A B A △都为等边三角形，则
201220132013A B A △的边长=________．
17．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，
23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是
___________．
18．已知二次函数()2
32y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．
19．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．
20．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （
1
2
，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接）
三、解答题
21．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）作该二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为 ．
22．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，
OB OC =．点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求b 、c 的值．
（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．
（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段
NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y ＝ax 2+bx+3，已知OA ＝OC ＝3OB ，动点P 在过 A 、B 、C 三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；
24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米． （1）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB 为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？
25．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=． （1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；
（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数2
42y a a ab =++的取值范围．
26．如图，已知二次函数21y ax bx =+-的图象经过点D （-1，0）和C （4，5）． （1）求二次函数的解析式；
（2）在同一坐标系中画出直线1y x =+，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
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一、选择题 1．B
解析：B 【分析】
根据函数图象与x 轴交点个数判断（1）；利用待定系数法求出函数解析式，代入计算判断（2）；由二次函数与一次函数的交点求出方程的解，判断（3）即可；利用函数图象比较函数值判断（4）． 【详解】
由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），
∴93313a b c a b c c ++=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩， 解得：133a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，
∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误； ∵a ＝1，
∴抛物线为y ＝x 2-3x+3， ∵函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4c ＜0，故①错误；
由图象知，抛物线y ＝x 2+bx+c 与直线y ＝x 的交点坐标为（1，1）和（3，3）， ∴方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3，故③正确； ∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x 2+bx+c ＜x ，
∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确； 故选：B ． 【点睛】
此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，图象法比较函数值的大小，是一道较为基础的二次函数题．
2．C
解析：C 【分析】
先根据A 、B 两点的坐标可求出抛物线的对称轴，然后确定顶点坐标为(,0)m ，进而求得m 的值，最后代入即可． 【详解】
解：∵抛物线2
6y x x c =++经过(3,)A m n -、(3,)B m n +，
∴抛物线对称轴为直线33
2
m m x m -++=
=，
∵抛物线与x 轴只有一个交点，故顶点为(,0)m ，
2()y x m ∴=-．当3x m =+时，239y ==．
故答案为C ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、运用二次函数顶点坐标与对称轴的求解等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
3．B
解析：B 【分析】
由抛物线的性质得到20a -＞，2
=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和． 【详解】
解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数， ∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤ 解得3a ≥
解分式方程
12322ax x
x x -+=--解得：62
x a =- 由x ≠2得，a ≠5， 由于a 、x 是整数，
所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1， 同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，
故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15， 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．
4．D
解析：D 【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、以及不等式的性质进行判断即可． 【详解】
抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x ＝−b
2a
＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，且2a ＋b ＝0，
抛物线与y 轴的交点在正半轴，因此c ＞0， 所以：abc ＜0，因此①正确；
当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，因此②正确；
当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，即，a ＋c ＜b ，因此③不正确； ∵a−b ＋c ＜0，2a ＋b ＝0，
∴−
1
2
b−b ＋c ＜0，即2c−3b ＜0，因此④正确； 当x ＝1时，y 最大值＝a ＋b ＋c ，当x ＝n （n≠1）时，y ＝an 2＋bn ＋c ＜y 最大值，即：a ＋b ＋c ＞an 2＋b ＋c ，也就是2a+b an +bn(n 1)>≠，因此⑤正确， 正确的结论有：①②④⑤， 故选：D ． 【点睛】
考查二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
5．B
解析：B 【分析】
根据二次函数图像可知1x =为抛物线的对称轴，可以求出与x 轴正半轴交点坐标，可解④⑤，开口朝下，与y 轴交于正半轴，可知：0a ＜，23c ≤≤，根据对称轴公式可得：
0b ＞，可解①②③，根据图像可解⑥． 【详解】
∵抛物线开口朝下， ∴0a ＜，
∵与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）， ∴23c ≤≤， ∴4ac ＜0， ∴24ac b ＜， ∴①正确；
∵1x =为抛物线的对称轴， ∴12b
a
-
=， ∴0b ＞，12
a b =-
， ∴3
132
02
a b b b b +=-+=-＜，
∴②不正确；
∵1x =-时，0a b c -+=， ∴32
c b =
， ∴1424202a b c b b c c ⎛⎫
++=⨯-++= ⎪⎝⎭
＞ ∴③正确；
∵1x =为抛物线的对称轴，(1,0)A -，
∴B 点坐标为（3,0），
∴当0y >时，x 的取值范围为13x
∴④正确；
∵1x =为抛物线的对称轴， ∴1x ＞时，y 随着x 的增大而减小， ∴⑤不正确；
由图像可知：213000y y y =＜，＞，， ∴132y y y ＜＜， ∴⑥不正确； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数图像的性质以及二次函数对称轴，数量掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．
6．A
解析：A 【分析】
根据题意结合函数的图象，得出图中A 、B 、C 的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可． 【详解】
解：5
0.26 2.24 2.52
+==
（米） 根据题意和所建立的坐标系可知，A （-5，
1
2），B （0，52），C （52
，0）， 设排球运动路线的函数关系式为y=ax 2+bx+c ，将A 、B 、C 的坐标代入得：
125252255042a b c c a b c ⎧
-+=⎪⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪++=⎪⎩
， 解得，1485
,,75152
a b c =-
=-=， ∴排球运动路线的函数关系式为21485
75152
y x x =--+， 故选：A ． 【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的关系式，根据题意得出图象所过点的坐标是正确解答的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】
解：把抛物线231y x =+向上平移2个单位可得2
33y x =+，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键． 8．C
解析：C
【分析】
首先根据a 判断二次函数图象的开口方向，再确定对称轴，根据图象和二次函数的性质分析得出结论．
【详解】
解：∵a ＞0，
∴开口向上，以对称轴在y 轴左侧为例可以画图
二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2， 无法确定x 1与x 2的正负情况，
∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确；
当n ＞0时，m ＜x 1 或m ＞x 2，故B ，D 错误，均不完整
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与x 轴交点的问题，熟练掌握二次函数图象及图像上的坐标特征是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
利用x =1和x =2所对应的函数值可判断抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x 轴的交点问题可判断关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的一个解x 的范围．
【详解】
解：∵x =2时，y =5，即ax 2+bx +c ＞0；
x =1时，y =-0.5，即ax 2+bx +c ＜0，
∴抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，
∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是1＜x ＜2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．
10．C
解析：C
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【详解】
解：因为()2
526y x =-+-．
所以将抛物线25y x =-先向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到抛物线()2
526y x =-+-．
故选：C ．
【点睛】
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 11．B
解析：B
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案．
【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：12b a
-
< 由抛物线的图象可知：a ＞0，
∴-b ＜2a ，
∴2a+b ＞0，故①正确；
②当x=1时，y=a+b+c=0，
当y=ax 2+bx+c=0，
∴x=1或x=m ，
∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；
③由图象可知：x=-1，y=2，
即a-b+c=2，
∵a+b+c=0，
∴b=-1，
∴c=1-a
∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；
④由于a+b=-c=a-1，
∵c ＜0，
∴a-1＞0，
∴a ＞1，
∴0＜11a
< ∵x 0=111,a a a
--=-+ ∴-1＜-1+
1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．
12．B
解析：B
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“左加右减”的原则可知，
抛物线25y x =-的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：()251y x =--； 由“上加下减”的原则可知，
抛物线()2
51y x =--的图象向上平移3个单位长度所得函数图象的关系式是()2
513y x =--+．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 二、填空题
13．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（-
解析：()2,1-
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）
2+1．
此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．
故答案为：（-2，1）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．156【分析】由题意可得：结合已知条件求解再求解的坐标再代入抛物线的解析式求解即可得到答案【详解】解：在抛物线上菱形ABCD ＞故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的性质菱形的性质勾股定理的应用掌握以
解析：156
【分析】
由题意可得：()0B c ，，结合已知条件求解AB = 再求解C 的坐标，再代入抛物线的解析式求解c 即可得到答案．
【详解】
解：B 在抛物线上，
()0B c ∴，
()5,0A ，
AB ∴=
菱形ABCD ，
BC AB ∴==
()
C c ∴
()(2225+1325,c c c c ∴=-+++
225c ∴+=
2250,c +≠
13,=
2144,c ∴=
c ＞0，
12,c ∴=
1312=156.ABCD S ∴=⨯菱形
故答案为：156.
【点睛】
本题考查的是抛物线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
15．【分析】先求出函数图像的对称轴然后根据二次函数的增减性即可解答
【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1∴当数值随的增大而减小故答案为
【点睛】本题考查了二次函数的增减性确定二次函数的对称轴是解答本题的关键
解析：1x <
【分析】
先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】
解：∵函数223y x x =--图像的对称轴为x=1
∴当1x <，数值y 随x 的增大而减小．
故答案为1x <．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．
16．2013【分析】分别过B1B2B3作y 轴的垂线垂足分别为ABC 设
A0A1=aA1A2=bA2A3=c 则AB1=aBB2=bCB3=c 再根据所求正三角形的边长分别表示B1B2B3的纵坐标逐步代入抛物线
解析：2013
【分析】
分别过B 1，B 2，B 3作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设A 0A 1=a ，A 1A 2=b ，A 2A 3=c ，则AB 1=32a ，BB 2=32b ，CB 3=32
c ，再根据所求正三角形的边长，分别表示B 1，B 2，B 3的纵坐标，逐步代入抛物线y=
23x 2中，求a 、b 、c 的值，得出规律． 【详解】
分别过1B ，2B ，3B 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，
设01A A a =，12A A b =，23A A c =，由勾股定理则22101032
AB A B AA a =
-=，232BB b =，332CB c =， 1131233AA AB a a ==⨯=，则13,22a B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 2231233BA b ===，则23,2b B a ⎫+⎪⎪⎝⎭
，
33312233CA CB c c ==⨯=，则33,22c B c a b ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
， 在正011A B A △中，13,22a B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
代入223
y x =中，得223234a a =⨯，解得1a =，即011A A =， 在正122A B A △中，23,122b B b ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，
代入223
y x =中，得2231234b b +=⨯，解得2b =，即122A A =， 在正233A B A △中，33,32c B c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，
代入223y x =中，得2
233234c c ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭
，解得3c =，即233A A =， …，
依此类推由此可得201220132013A B A △的边长2013=．
故答案为：2013.
【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
17．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开
口
解析：②③
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，
∴a ＜0，c ＞0，
∵-
2b a =12
， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，
即b2＞4ac ，所以②正确；
∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），
而抛物线的对称轴为直线x=
12， ∴点（-2，0）关于直线x =12
的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．
由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，
∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；
故答案为②③．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
18．【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴从而求出m 的值再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y 轴上此二次函数的对称轴为y 轴即解得二次函数的解析式为其顶点坐标为故答案 解析：()0,2
【分析】
先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴，从而求出m 的值，再根据二次函数
的解析式即可得出答案．
【详解】
二次函数()2
32y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上， ∴此二次函数的对称轴为y 轴，
即()
2023m x -=-=⨯-， 解得2m =，
∴二次函数的解析式为232y x =-+，
∴其顶点坐标为()0,2，
故答案为：()0,2．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 19．0＜a≤【分析】依照题意画出图形分0＜＜1及≥1两种情况考虑结合函数图形以及已知条件可得出关于a 的一元一次不等式组（或一元一次不等式）解之即可得出a 的取值范围综上即可得出结论【详解】当≥1时有解得：
解析：0＜a≤
12 【分析】
依照题意画出图形，分0＜12a ＜1及12a
≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a 的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a 的取值范围，综上即可得出结论．
【详解】 当12a ≥1时，有011a a a ⎧⎨--≥-⎩
＞， 解得：a ＞0，
∴0＜a≤12
； 当0＜12a ＜1时，有()224114a
a --≥--， 解得：a=
12 ∴0＜a≤12
． 综上所述：0＜a≤12
． 故答案为：0＜a≤
12．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜
12a ＜1及12a
≥1两种情况找出关于a 的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键． 20．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】 解析：132y y y >>
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．
【详解】
解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-
∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>
∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大
∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，
()13122--= ∴3212
>> ∴132y y y >>．
故答案是：132y y y >>
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．
三、解答题
21．（1）y ＝x 2﹣4x+5．
（2）见解析；
（3）y ＝﹣x 2+4x ﹣5．
【分析】
（1）当x=1或3时，y 均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a 的值，也就求得了二次函数的值；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）根据关于x 轴对称的点的坐标特征即可求得．
【详解】
解：（1）由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点（1，2），（3，2），
∴对称轴为x ＝132
+＝2； ∴顶点坐标为：（2，1），
∴设y ＝a （x ﹣2）2+1，
将（0，5）代入可得：4a+1＝5，
解得：a ＝1，
∴二次函数的解析式为：y ＝（x ﹣2）2+1，即y ＝x 2﹣4x+5，
所求二次函数的关系式为y ＝x 2﹣4x+5．
（2）描点、连线画出函数图象如图：
； （3）∵新图象与二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称， ∴﹣y ＝x 2﹣4x+5，
∴新图象的函数关系式为y ＝﹣x 2+4x ﹣5，
故答案为y ＝﹣x 2+4x ﹣5．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．（1）2b =-，3c =-；（2）点F 坐标为(0,2)-；（3）存在，Q 的坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB=OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；
（2）可设F （0，m ），则可表示出F′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；
（3）设点P 坐标为（n ，0），可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，
【详解】
解：（1）∵CD//x 轴，2CD =，
∴抛物线对称轴为直线:1l x =， ∴12
b -
=，即2b =-， ∵OB OC =，(0,)C c ，∴B 点坐标为(,0)c -， ∴202c c c =++，
解得3c =-或0c
（舍去）； ∴3c =-．
（2）设点F 坐标为(0,)m ，
∵对称轴是直线:1l x =，
∴点F 关于直线l 的对称点F '的坐标为(2,)m ，
由（1）可知抛物线解析式为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，
∴E （1，-4），
∵直线BE 经过点(3,0)B ，(1,4)E -，
∴直线BE 的表达式为26y x =-，
∵点F '在BE 上，
∴2262m =⨯-=-，
即点F 坐标为(0,2)-．
（3）存在点Q 满足题意．
设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++， 如解图，连接QN ，过点Q 作QR PN ⊥，垂足为R ，
∵PQN APM S
S =， ∴1(1)(3)2
n n +- ()21232
n n QR =-++⋅， ∴1QR =，
①点Q 在直线PN 的左侧时，Q 点坐标为()21,4n n n --，R 点坐标为()
2,4n n n -，N
点坐标为()2,23n n n --，
∴()2242323RN n n n n n =----=-+
∴在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，
∴当3n 2=时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点坐标为()21,4n n +-，
同理21RN
n =-，221(21)NQ n =+-， ∴当12
n =时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 综上所述：满足题意的点Q 的坐标为115,24⎛⎫-
⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
23．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()1,4P 或()2,5--．
【分析】
（1）根据A 的坐标，即可求得OA 的长，则B 、C 的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）分点A 为直角顶点时，和C 的直角顶点两种情况讨论，根据等腰三角形的性质得到两直角边相等，即可列方程分别求解．
【详解】
解：（1）由题意可知：c＝3
∴OC＝OA＝3OB=3，
∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），
将点B、C代入抛物线的表达式为：
09a33 03
b
a b
=++
⎧
⎨
=-+
⎩
，
解得：
a1
2 b
=-⎧
⎨
=
⎩
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点A、C分别作直线AC的垂线，分别交抛物线于P1、P2．
过点P1作P1M⊥ y轴，垂足为M．
∵OC＝OA
∴∠OAC=∠OCA=45º
∴∠MAP1=∠MP1A=45º
∴MA=MP1
设P1点坐标（a，﹣a2+2a+3）则MP1=a，OP1=﹣a2+2a+3
∵OA＝3
∴MA=﹣a2+2a+3-3=﹣a2+2a
∴﹣a2+2a=a
解之得：a1=0（舍去），a2=1
∴﹣a2+2a+3=4
∴P的坐标为（1，4）
过点P2作P2N⊥ x轴，垂足为N．
∵OC＝OA ∴∠OAC=∠OCA=45º
∴∠NAP2=∠NP2C=45º
∴CN=NP2
设P2点坐标（a，﹣a2+2a+3）则NP2=a2-2a-3，ON=﹣a
∵a2-2a-3＝3-a
解之得：a1=3(舍去）， a2=-2，
∴﹣a2+2a+3=-5
∴点P的坐标为（﹣2，﹣5）
∴当点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）时，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
24．（1）()232408y x x x =-+<<；（2）当5x = 时，45max y =平方米．
【分析】
（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长－3AB ），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）先结合（1）及AD 不大于9可得自变量的取值范围，再根据二次函数图像性质，在自变量范围内变化取最值．
【详解】
解：（1）∵(2)·
43S BC AB x x ==－， ∴2324y x x =-+，
由题意00AB BC >>，，
即02430x x >>，－，
解得08x << ；
（2）∵墙的最大可用长度为9米，
即02439x <≤－ ，
解得，58x ≤<，
∴()2
32458y x x x -+=≤<， 二次函数图像开口向下，
对称轴为()
24423x =-=⨯-， 58x ≤<在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，
∴当5x ＝时，长方形花圃的面积最大，
235448=45y =+⨯-（-），
∴当AB 为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．
【点睛】
本题主要考查实际问题与二次函数图形问题、二次函数的最值、一元一次不等式等．得到BC 边长的关系式和熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题关键；得到自变量的取值是解本题的易错点．
25．（1）
12；（2）27y -≤< 【分析】
（1）把2b =、2x =代入方程可得()
()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；
（2）根据根的判别式的意义可得()()()
2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()2
10ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．
【详解】
解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根
∴()
()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ ∴1212a a ==
∴a 的值为12
． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根
∴()()()
2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()2
10ab -≤ ∴10ab -=
∴1ab =
∴函数242y a a ab =++为：()2
24222y a a a =++=+-
∵51a -<<-
∴可画出函数图象，如图：
∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
26．（1）211122
y x x =
--；（2）-1＜x ＜4． 【分析】
（1）根据二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，代入得出关于a ，b 的二元一次方程组，求得a ，b ，从而得出二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，令y=0，解一元二次方程，求得x 的值，从而得出与x 轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案．
【详解】
（1）∵二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，
∴1016415
a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴12a =，12
b =-， ∴二次函数的解析式为211122y x x =
--； （2）当0y =时，得：01x =+，
解得1x =-，
当4x =时，得：5y =，
解得1x =-，
∴直线1y x =+经过点D （-1，0）和C （4，5）两点，
∴图象如图，
观察图象，当-1＜x ＜4时，直线1y x =+在抛物线的上方，
∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是解题的关键．。