人教版九年级数学上册教案：22.3 实际问题与二次函数(2)
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 教案
22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数教案2(新版)新人教版
根据所学内容解答习题
2、总结归纳
谈谈本节课的收获？
3、作业：课堂
必做：教材第52页3、题
选做：教材第52页8题
家庭
同步轻松练习
板书设计
教后记
聆听、思考、回答
四、总结提高
1、出示精选习题
⑴向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
⑵平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x－2009)(x－2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
回忆
2、出示学习目标
会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
明确目标
出示自学提纲
⑴阅读教材51页探究3
⑵以抛物线顶点为原点建立坐标系
⑶根据已知条件如何求出这条抛物线表示的二次函数的解析式呢？
⑷水面下降1m，水面的纵坐标为多少？此时水面宽度为多少m？与原来的4m比增加了多少m?
实际问题与二次函数
教学目标
知识与技能
使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
过程与方法
会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
情感态度与价值观
发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
重点
利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思
人教版-数学-九年级上册- 22.3实际问题与二次函数(2) 同步教案
22.3实际问题与二次函数（2）教学目标1．通过对实际问题情景的分析，能够建立二次函数的数学模型，并利用二次函数的知识求解；能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.2.经历利用二次函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题，体验数学建模的思想.3．通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．教学重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．教学难点读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．教学过程一、导入新课1.如何求出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值？①通过配方法把二次函数解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，当a ＞0（a ＜0）时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝h 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值k ．②利用公式，当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442 ． 2.上节课我们利用二次函数及其图象的性质解决了有关：如抛球、拱桥跨度等问题，这节课我们利用二次函数的有关知识研究和解决有关几何面积和商品利润问题．二、探究新知（1）探究面积问题：例1.用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长的变化而变化．当为多少米时，场地的面积S 最大？解：因为矩形场地总长为60 m 的一边长，矩形面积S ，所以另一边长为30-，所以S ＝(30-)＝－2＋30.因为a= -1＜0，所以当x ＝－b 2a ＝－3021 （－）＝15时，S 最大＝225. 变式1：如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设垂直于墙的边长为x 米，矩形菜园的面积为S ，所以S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.因为0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.所以当x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S 最大＝450. 变式2：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 22＋30x. 根据题意可得：0＜x ≤18.由于x ＝－b 2a＝30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S 最大＝378. （2）探究商品利润问题：例2.某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：(1)若设每件衬衣涨价x 元，获得的利润为y 元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y ＝________.(2)若设每件衬衣降价a 元，获得的利润为y 元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y ＝________.根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析． 分析：设每件涨价x 元，则每件的利润是（60-40+x ）元，所售件数是（300-10x ）件，总利润为y ；设每件降价a 元，则每件的利润是（60-40-a ）元，所售件数是（300+20a ）件，总利润为w；根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．（1）解：设涨价x元，利润为y，（2）则y=（60-40+x）（300-10x）（3）=-10x2+100x+6000（4）=-10（x-5）2+6250根据每涨价1元，每星期要少卖出10件，所售件数是（300-10x）件，300-10x≥0，x≤30，得出自变量x的取值范围是：0≤x≤30；因此当x=5时，y有最大值6250．60+5=65元每件定价为65元时利润最大．（2）设每件降价a元，总利润为w，则w=（60-40-a）（300+20a）=-20a2+100a+6000=-20（a-2.5）2+6125因为每件降价a元，所以0≤a≤20；因此当a=2.5时，w有最大值6125．每件定价为57元时利润最大．综上所知每件定价为65元时利润最大．归纳总结：解决问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 三：巩固练习1.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用a10米）：如果AB的长为x，面积为y.一段墙体（墙体的最大可用长度（1）求面积y与x的函数关系（写出x的取值范围）；（2）x取何值时，面积最大？面积最大是多少？分析：（1）AB长为x米，则BC长为：（24-3x）米，该花圃的面积为：（24-3x）x；进而得出函数关系即可；（2）根据x的取值范围，判断出最大面积时x的取值，代入解析式便可得到最大面积．解：（1）由题意得：y=x（24-3x），即y=-3x2+24x，∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8；故y与x的函数关系为y=-3x2+24x，（143≤x＜8）；（2）y=-3x2+24x=-3（x-4）2+48（143≤x＜8）；∵开口向下，对称轴为4，∴当x=143时，花圃有最大面积，最大为：=-3（143-4）2+48=1403．答：当x为143时，面积最大，最大为1403．2.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb 的关系式，求出k、b的值即可。
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(教案)
1.教学重点
-二次函数在实际问题中的应用：本节课的核心是让学生掌握如何将实际问题转化为二次函数模型，从而利用数学工具解决具体问题。例如，通过分析物体的抛物线运动，建立速度与时间的关系，进而求解物体的最大高度或最远距离。
-二次函数的性质及其图像：重点讲解二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并通过图像加深理解，使学生能够熟练运用这些性质解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它能够描述许多抛物线形状的现象。它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个物体以抛物线轨迹运动，我们要计算它的最大高度和飞行距离。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了实际问题与二次函数的关联，尝试将抽象的数学概念应用到具体的生活实例中。我注意到，在理论介绍环节，学生对二次函数的基本概念掌握得还算扎实，但在案例分析时，一些学生在构建数学模型上遇到了困难。这让我意识到，将实际问题转化为数学语言，对他们来说是一个不小的挑战。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，大家积极讨论、动手实践，课堂氛围相当活跃。我特别高兴看到他们在讨论中互相启发，共同解决问题。然而，我也发现有些小组在分析问题时，还是局限于表面的理解，未能深入挖掘问题背后的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
《实际问题与二次函数(第2课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数教学设计第2课时一、教学目标1．学会将利润问题转化为利润问题．2．掌握用二次函数的知识解决有关的利润问题．二、教学重点及难点重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：从现实问题中建立二次函数模型．三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《市场调查》动画。
五、教学过程【创设情景，揭示课题】问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【合作探究，形成新知】（1）题目中有几种调整价格的方法？师生活动：教师提出问题，学生回答．小结：调整价格包括涨价和降价两种情况．（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪一个量随自变量的变化而变化？哪个量是函数？师生活动：小组合作交流，教师引导学生根据题意设未知数，找出各个量的关系．小结：题目涉及涨价（或降价）与利润两个变量，其中涨价（或降价）是自变量；设每件涨价（或降价）x元，则每星期售出商品的利润y随之变化而变化；y是x的函数．（3）当每件涨价1元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？设每件涨价x元，销售额是多少？利润呢？最多能涨多少钱呢？师生活动：一学生回答，全班订正．教师边聆听边板演，不足地方补充总结．小结：当每件涨价1元时，售价是60＋1=61元；每星期销售量是300－10=290件，成本是40元；设涨价x元，销售额是(60＋x)(300－10x)元，利润是y=（60＋x）(300－10x)－40(300－10x)元，即y=－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30，最多能涨30元．（4）当每件降x元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润y呢？师生活动：师生一起完成解答．设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元．因此，所得利润y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)．（5）由以上四个问题，你能解决问题了吗？请试试看．解：设每件涨价x元，则每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润为y=(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y=－10x2＋100x＋6000，其中，0≤x≤30．当定价为60＋5=65元时，y有最大值6 250元．设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元，因此，所得利润y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)，即y=－18x2＋60x＋6 000，其中0≤x≤20．当定价为x=51605833-=元时，y有最大值6 050元．故要使利润最大，应每件定价为65元．设计意图：通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．【例题分析，深化提高】例一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．市场调查发现：一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )．A．5元B．10元C．0元D．36元【解析】设每件降价的钱数为x元，每天获利y元，则y=(135－x－100)(100＋4x)，即y=－4(x－5)2＋3600．∵－4＜0，∴当x=5时，每天获得的利润最大．故选A．【练习巩固，综合应用】1．出售某种手工艺品，若每个手工艺品获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x=元时，一天的利润最大．2．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，应如何定价才能使利润最大？3．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，每天可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，每天未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．(日收益=日租金收入－平均每日各项支出)（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元(用含x的代数式表示)；（2）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？参考答案1．4 2．每件65元3．（1）400＋50(20－x )=1 400－50x (0＜x ≤20)．答案：1 400－50x (0＜x ≤20)．（2）根据题意，得y =x (－50x ＋1 400)－4 800=－50x 2＋1 400x －4 800=－50(x －14)2＋5 000．当x =14时，y 有最大值5 000．∴当每日租出14辆车时，租赁公司的日收益最大，最大值为5 000元．（3）要使租赁公司的日收益不盈也不亏，即y =0．也就是－50(x －14)2＋5 000=0．解得x 1=24，x 2=4．∵x =24不合题意，应舍去．∴当每日租出4辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏．设计意图：通过练习，及时反馈学生的学习情况，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，并使学生从中获得成功的体验．六、课堂小结1．一般地，当a ＞0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最小值244ac b a -． 当a ＜0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值244ac b a -． 2．解决二次函数最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．七、板书设计22.3 实际问题与二次函数（2）1．用二次函数的知识解决利润问题。
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第2课时)教案新人教版
22.3 实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页．2．巩固练习重庆某区地理环境偏僻,严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P＝－错误! (x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q＝－错误!(50－x）2＋错误!（50－x)＋308万元．（1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?（2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?（3）根据（1）（2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法．教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P＝－错误!（x－30)2＋10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M＝10×10＝100万元．1（2)若对该产品开发，在前5年中，当x＝25时，每年最大利润是:P＝－错误! (25－30)2＋10＝9.5(万元）．则前5年的最大利润为M＝9.5×5＝47.5万元．2设后5年中x万元就是用于本地销售的投资,则由Q＝－错误! (50－x）＋错误!（50－x)＋308知，将余下的(50－x）万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．则后5年的利润是M＝[－错误!（x－30)2＋10］×5＋（－错误!x2＋错误!x＋308)×53＝－5(x－20）2＋3500．故当x＝20时,M3取得最大值为3500万元．∴10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元．（3)因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．三、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？四、布置作业习题22.3 第8题．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数的第2课时，主要内容是销售利润问题。
教材通过引入实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣和积极性。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题的解决上，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解销售利润问题的背景和意义，掌握销售利润问题的解决方法。
2.能够将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：掌握销售利润问题的解决方法，能够将二次函数应用于实际问题的解决。
2.难点：如何引导学生将二次函数与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。
五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
同时，采用小组合作学习的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和讨论。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的销售利润问题，如商品打折、促销活动等，引导学生关注销售利润问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的销售利润问题，如某商品原价为100元，售价为80元，求商品的利润。
引导学生运用二次函数知识进行解决。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个销售利润问题进行解决。
教师巡回指导，解答学生的问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
人教版九年级上册数学教案设计：22.3 实际问题与二次函数
22.3实际问题与二次函数学情分析：二次函数的教学对象是九年级学生，在此之前他们学习了正比例函数，一次函数和反比例函数。
二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章中所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数的图像抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基础的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数，体会函数的思想奠定基础和积累经验。
为高中阶段继续学习函数做好铺垫。
学好二次函数十分重要，对学生来说熟练掌握二次函数和解决有关二次函数的问题也是有一定的难度的。
从学生学习情况中反映学生在以下方面，有所欠缺；1、在二次函数的图像与性质中，学生对于a、b、c与二次函数的图像的关系是他们的难点，2、对于如何确定二次函数的表达式较为灵活也是学生学得不好的地方。
教学目标：知识与技能：能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题。
过程与方法：再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.教学重难点：教学重点：用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.教学难点：根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.教法：引导发现学法：合作探究课时安排：1课时教具准备：多媒体课件教学过程：一、复习导入1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立坐标系时，可设这条抛物线的关系式为______________________________ 2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（） A．36m B．2m C．4m D．9m3、如图所示，交通运输业的不断发展使得人们的日常生活越来越便利，隧道的开凿也让许多天堑变通途.一般情况下，隧道都有一定高度，超过高度的车辆无法通过，因此，在隧道入口处常常会设有提醒司机的限高标志.同学们，这个隧道的外形轮廓是不是很像我们学过的二次函数图形？如果已知一辆车的高度和隧道设计的相关数据，你能判断出该车是否能安全通过隧道吗？【教学说明】教师演示一些图片：拱桥等，创设一些学生熟悉的情境，提高学生的学习兴趣，引入新知.二、思考探究【设计说明】要解决上述问题，我们往往要通过建立合理的平面直角坐标系后，建立二次函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应，将实际语言转化为数学语言.问题（教材第51页探究3）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？【教学说明】教学时，为了便于学生探究，教师可设置如下问题予以引导：（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（3）如何求这组数据？需要先求什么？（4）怎样求抛物线对应的函数的解析式？（设置疑问，激发学生的求知欲望。
数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数教学设计
安置帮教基地工作制度牌一、总则第一条安置帮教基地是根据国家有关法律法规，为刑满释放、解除劳动教养人员提供过渡性安置和帮教服务的重要场所。
为确保安置帮教基地的正常运行，维护基地秩序，保障帮教对象顺利融入社会，制定本工作制度。
第二条安置帮教基地工作制度遵循以人为本、助人自助的原则，坚持政策引导、社会参与、依法管理、优质服务的方针，充分发挥基地在安置帮教工作中的积极作用。
第三条安置帮教基地工作制度适用于我国境内的安置帮教基地，从事安置帮教工作人员和帮教对象应当遵守本工作制度。
二、组织管理第四条安置帮教基地设立基地管理委员会，负责基地的日常管理工作。
基地管理委员会由政府有关部门、社会组织、帮教对象代表等组成。
第五条基地管理委员会履行以下职责：（一）制定和修订基地管理制度；（二）协调解决基地建设和发展中的重大问题；（三）监督基地的管理工作；（四）指导帮教对象的培训、就业等工作；（五）定期评估基地工作成效；（六）其他应当由基地管理委员会负责的事项。
第六条基地配备专职或者兼职工作人员，负责基地的日常工作。
工作人员应当具备相关专业知识和工作经验，遵守职业道德，为帮教对象提供优质服务。
三、帮教对象第七条安置帮教基地主要接收刑满释放、解除劳动教养等人员（以下统称帮教对象）。
第八条帮教对象应当具备以下条件：（一）自愿接受基地帮教；（二）遵守国家法律法规；（三）无重大疾病；（四）具备一定的劳动能力；（五）其他应当具备的条件。
第九条帮教对象在基地的权益保障：（一）基地应当尊重帮教对象的合法权益，不得侵犯其人身自由、人格尊严；（二）基地应当为帮教对象提供生活、劳动、学习等方面的条件；（三）基地应当关心帮教对象的生活，为其解决实际困难；（四）基地应当对帮教对象进行职业技能培训，帮助其顺利融入社会。
四、安置帮教工作第十条基地应当根据帮教对象的特点，制定个性化的帮教计划，落实帮教措施。
第十一条基地开展以下工作：（一）开展思想教育，帮助帮教对象树立正确的世界观、人生观、价值观；（二）开展法律教育，提高帮教对象的法律意识；（三）开展职业技能培训，提高帮教对象的就业竞争力；（四）开展心理咨询和心理疏导，帮助帮教对象克服心理障碍；（五）开展社会适应性训练，帮助帮教对象顺利融入社会；（六）开展就业指导和服务，帮助帮教对象实现就业；（七）其他应当开展的工作。
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22章第三节的内容。
本节课主要让学生学习如何将实际问题转化为二次函数模型，并通过解决实际问题来巩固和提高对二次函数的理解和应用能力。
教材通过引入一些实际问题，让学生学会用二次函数的知识去解决这些问题，从而培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题，对学生来说可能还是有一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识联系起来，让学生在解决实际问题的过程中，加深对二次函数的理解。
三. 教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系，学会将实际问题转化为二次函数模型。
2.掌握二次函数在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学应用意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：实际问题与二次函数之间的转化，二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过引入一些实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决这些问题。
在解决问题的过程中，教师引导学生总结实际问题与二次函数之间的关系，从而达到巩固知识，提高应用能力的目的。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识去解决。
2.准备教学PPT，用于展示和讲解实际问题与二次函数之间的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用二次函数的知识去解决这些问题。
2.呈现（15分钟）教师呈现一些实际问题，让学生独立思考，尝试将实际问题转化为二次函数模型。
教师在这个过程中，给予学生适当的引导和帮助。
人教版九年级数学上册教案：22.3实际问题与二次函数
-在讲解过程中，结合具体实例，逐步引导学生提炼关键信息，建立正确的二次函数模型。
-通过图形演示和实际操作，加深学生对二次函数顶点公式的理解，提高他们解决最值问题的能力。
-设计具有启发性的问题和练习，促使学生将二次函数知识与实际问题相结合，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的顶点公式和最值问题这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如抛物线形状的拱桥设计。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用抛物线模型来模拟抛掷物体，观察其运动轨迹。
-难点解析：
a.学生在将实际问题抽象为数学模型时，往往难以抓住关键信息，导致模型建学生可能对顶点公式理解不深，难以灵活运用。
c.在解决实际问题中，学生可能无法将二次函数的图像与实际情境有效结合，影响解题效果。
举例：在面积优化问题中，学生需要将问题转化为求解二次函数的最值问题。难点在于如何引导学生发现并利用二次函数的对称性和顶点性质，将实际问题简化为数学问题，从而突破解题难点。
五、教学反思
在这节课中，我发现学生们对二次函数在实际问题中的应用表现出浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的例子，他们能够更好地理解抽象的数学概念。我觉得这样的导入方式很有效，能够激发学生的学习热情。
在讲授新课的过程中，我发现有些学生对二次函数的顶点公式和最值问题的理解还不够深入。这可能是因为我在讲解时没有提供足够的实际例题和图形演示。在今后的教学中，我需要更加注重这一点，用直观的方式帮助学生攻克难点。
部编人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 教案 (2)
No.22 课题：22.3实际问题与二次函数（面积问题） 课型：新授
授课时间：
教学目标：利用二次函数的性质，解决面积方面的实际问题.
重点：探究利用二次函数的最值解决实际问题的方法.
难点：将实际问题转化为二次函数的问题.
教学过程：
一、复习引入
下列二次函数中，求当x 取何值时，y 的最大（最小）值是多少？
（1）882-+-=x x y （2）x x y 322+-=
二、新知探究
问题：用总长为64m 的篱笆围成矩形场地，矩形的面积s 随矩形的
一边长x 的变化而变化.
（1）写出s 与x 之间的函数关系式.
（2）当一边长x 是多少时，场地面积s 最大？最大面积是多少？
练习：
用一段长为30m 的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，
这个矩形的长和宽各是多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
简记
菜园墙
18m
三、巩固提高
1.如图，四边形的两条对角线AC ，BD 互相垂直，AC+BD=10.
当AC ，BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？
2.一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用这块废
料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D ，E ，F
使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E
教后反思：
简记 A B C D。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》，主要让学生通过解决实际问题，掌握二次函数在销售利润中的应用。
教材通过引入一个具体的销售利润问题，让学生探究利润与销售数量、销售价格之间的关系，引导学生利用二次函数模型解决问题，培养学生的数学建模能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，可能会对将实际问题转化为数学模型感到困难，对利润、成本等概念在实际问题中的运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要帮助学生建立数学与实际问题之间的联系，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解销售利润问题的实际背景，掌握利用二次函数解决销售利润问题的方法。
2.能够将实际问题转化为二次函数模型，提高数学建模能力。
3.培养学生的数据分析、逻辑推理和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解销售利润问题的实际背景，掌握利用二次函数解决销售利润问题的方法。
2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，求解最优化问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入一个具体的销售利润问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例分析法：分析具体案例，让学生了解销售利润问题在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例材料，用于引导学生分析实际问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示案例和教学过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一个实际的销售利润问题，引导学生思考利润与销售数量、销售价格之间的关系。
2.呈现（10分钟）呈现具体案例，让学生分析利润与销售数量、销售价格之间的关系。
引导学生运用二次函数模型解决问题。
22.3实际问题与二次函数(第二课时)教案
22.3实际问题与二次函数第二课时 二次函数与最大利润问题一、 教学目标知识与技能：通过探究实际问题与二次函数的关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。
过程与方法：通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想；通过学习和探究“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法。
情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。
二、 教学重点及难点教学重点：用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题。
教学难点：通过问题中的数量变化关系列出函数解析式。
三、学情分析我班学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，在此之前也学习了列代数式、列方程解应用题，所以学生具备了一定的建模能力，但我班学生的理解能力较弱，对应用题具有恐惧感，然而应用二次函数的知识解决实际问题需要很强的灵活应用能力，对学生而言建模难度很大。
三、 教学过程（一） 复习引入 (1)商家进了一批杯子，进货价是10元/个 ，以a 元/个的价格售出，则商家所获利润为()10a -元。
（2）某种商品的进价是400元，标价为600元，卖出3x 件，为了减少库存，商家采取打八折促销，卖出了(65)x +件，则商家所获利润为(1080400)x +元 。
利润问题主要用到的关系式是：利润=售价-进价 总利润=单件利润 ⨯ 销售数量(二)创设情境问题（合作交流）童装的进价40元/件，售价60元/件，每星期可卖出300件。
如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想获得7200元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元；设销售单价上调了x 元，那么每件商品的利润可表示为 (60-40+x ) 元，每周的销售量可表示为(300-10x ) 件，一周的利润可表示为(60-40+x )(300-10x )元，要想获得6090元利润可列方程 (60-40+x)(300-10x)=7200 。
九年级数学上册第22章《实际问题与二次函数(2)》名师教案(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（2）——二次函数与几何最值问题一、教学目标（一）学习目标1. 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式2.会利用二次函数求几何图形中的周长、面积等的最值3.体会利用二次函数求面积其中所蕴含的数学思想和方法（二）学习重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题（三）学习难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得二、教学设计（一）课前设计预习任务1.22(3)2y x =--+；对称轴3x =、顶点坐标()3,2、当3x =时，y 取最大值为22.21322y x x =--；对称轴1x =、顶点坐标()1,2-、当1x =时，y 取最小值为-2 3.(1)(3)y x x =-+对称轴1x =-、顶点坐标()1,4--、当1x =-时，y 取最小值为4- 预习自测1. 已知二次函数的解析式为22813y x x =++(1)当33x -≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________；(2)当03x ≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________.【知识点】求二次函数的区间最值【数学思想】数形结合【思路点拨】先化成顶点式或是利用顶点坐标公式求出顶点，再看对称轴和区间的位置关系，进而求解．【解题过程】解：把原式化为顶点式为2228132(2)5y x x x =++=++，可知此函数的顶点坐标是(2,5)-，对称轴为2x =-(1) 当33x -≤≤时可知，max 355x y ==时，2x =-时min 5y =；(2)当03x ≤≤，对称轴2x =-时在所给的区间左侧，此时y 随x 的增大而增大，因此可知max 355x y ==时，min 013x y ==时【答案】（1）55,5；（2）55,13.【设计意图】通过做练习复习区间最值的求解以及应该注意的问题，实际问题中有时会涉及到区间最值，学生很容易出问题．设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，为学习新课做好知识铺垫．2.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么满足的方程是（ ）.A ．x 2+130x-1400=0B ．x 2-130x-1400=0C ．x 2+65x-250=0D ．x 2-65x-250=0【知识点】矩形性质，矩形面积【数学思想】数形结合【思路点拨】挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ，根据整个挂图的面积是5000cm 2，即长×宽=5000，列方程进行化简即可．【解题过程】解：挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ；所以（80+2x ）（50+2x ）=5000，即4x2+160x+4000+100x=5000，所以4x2+260x-1000=0．即x2+65x-250=0． 故选C.【答案】C ．【设计意图】根据矩形的面积公式本题易得解.3．用长16 m 的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_______ 2m ．【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】设竖边为x ，用x 表示横边，再表示面积，再求最值【解题过程】设竖边为x,则横边为1623x - 21622(4)32333x x s x --==-+ 当4x =时，y 取最大值为323【答案】323 【设计意图】把其中的一个主要变量设为x ，另一个设为y ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．4．如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大【知识点】正方形性质，求面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】把其中的一个主要变量设为x ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型【解题过程】设AC=x 则BC= 1x -22211(1)2()22s x x x =-+=-+ 当12x =时，取最小值为12∴当C 是AB 的中点时，S 最小【答案】A【设计意图】把其中的一个主要变量设为x ，另一个设为y ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．（二）课堂设计1.知识回顾（1）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式2()y a x h k =-+，进而写出顶点坐标（h,k ）和对称轴x=h（2）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c（3）将二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠转化成顶点式2()y a x h k =-+来求二次函数最值，当x h =时，y 取最值为k2.问题探究探究一 最大面积（★）●活动1 创设情境，发现问题[做一做]：请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大． 学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决．【设计意图】做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想．周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习．●活动2 师生共研，探索解法例1. 李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？让学生讨论，得出解法．点拨：先用未知数表示面积问题中的各个量，再利用矩形面积公式列出表达式，然后根据表达式，利用二次函数求最值．生答：设矩形宽为x厘米，则长为2422x-=（12-x）厘米．12S x x=-（），当x=6时，S取最大值为36.【设计意图】把前面矩形的周长24厘米改为24米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．解决完想一想之后及时让学生总结方法，为后面阶段打下思想方法基础．练习1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．【解题过程】设矩形一边长l，则长为602302ll-=-（）厘米．()30S l l=-，当15l=时，S取最大值为225【答案】当15l =时，S 取最大值为225【设计意图】一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为l ，其它变量用含l 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型●活动3 变式应用例2.（例1变式） 后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？学生根据例1的解法，独立求解【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错点．最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．【解题过程】生答：（1）设矩形长为x 厘米，则宽为242x -厘米．（8x ≤） 241(24)22x S x x x -=⋅=-=()2112722x --+； ∵a=12-＜0，开口向下， ∵8x ≤，当8x =时，S 取最大值为64【答案】面积S 取最大值为64【设计意图】此时有了上一问的方法和技巧，很多学生能够类比的方法建立模型，设出未知数，列出函数关系式．但问题是此时自变量x 有取值范围的限制，不能“任性”的取值．从而让学生在不断的探究和合作中感悟，对于实际问题一定需要考虑其自变量x 的取值范围才可以求最值．练习2.如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点（这道题靠墙依然可以在顶点处取到最值）．【解题过程】与墙垂直的一边为x 米，则(602)S x x =-∵0≤60-2x≤32. ∴ 14≤x≤30当15x =时，S 取最大值为450【答案】当15x =时，S 取最大值为450【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．探究二 利用二次函数求几何最值的训练●活动① 基础性例题例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m ）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD ，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m ，绿化带的面积为2m y ．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？【知识点】一侧靠墙的矩形，周长确定求其面积最大【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给出的已知条件列出满足题意的式子，进而转化为二次函数求最值． 【解题过程】解：（1） 24012022x y x x x -==-+g ， 自变量x 的取值范围是0＜x ≤25；（2） ()22112020+20022y x x x =-+=-- ∵20＜25，∴当x=20时，y 有最大值200，即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【答案】（1）21202y x x =-+，其中025x ≤≤； （2）当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．练习.某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m (图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)【知识点】周长确定的矩形面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】中间线段用x 的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x 的取值范围内．【解题过程】由题意可知1426152y x x π+⨯+=，化简得1564x x y π--=，设窗户的面积为S m 2， 则2211561523242x x S x x x x ππ--=+=-+g ， ∵30a =-<，∴S 有最大值．∴当x ＝1.25 m 时，S 最大值≈4.69(m 2)，即当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m 2.【答案】当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m 2.【设计意图】这一阶段，让学生自己通过自己的思考，动手来进行操作解决问题．每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．●活动② 提升型例题分组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．例2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，P 是BC 上的一动点，动点Q 仅在PC 或其延长线上，且BP ＝PQ ，以PQ 为一边作正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP ＝x cm ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分面积为y 2cm ，试分别写出02x ≤≤和24x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．【知识点】正方形性质，矩形性质，求二次函数最值【数学思想】数形结合，分类讨论【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关系来求解同时写出自变量x 的取值范围内．【解题过程】如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当02x ≤≤时，如下面的左边的图形所示， PQ BP x ==，此时22y PQ x ==，其中02x ≤≤；当24x ≤≤时，如下面的右边的图形所示， PQ BP x ==，此时4PC BC BP x =-=-，其中24x ≤≤；2(4)28y PC CD PC AB x x =⨯=⨯=-=-+，其中24x ≤≤综上所述：2,0228,24x x y x x ⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【答案】2,0228,24x x y x x ⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【设计意图】让学生自己通过自己的思考，结合题意画出符合题意的图形，根据图形来求解，让学生感受分类讨论的数学思想．练习.如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E ，过E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE ，DE ，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处？为什么？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值．【解题过程】令,,DE x AD a AE a x ===-， 所以面积之和222222()222()22a a S x a x x ax a x =+-=-+=-+， 所以当2a x =时，面积最小，即E 应选在AD 的中点. 【答案】E 应选在AD 的中点. 【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验． 例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？【知识点】梯形面积，正比例函数，解一元二次方程，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式.【解题过程】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm ⨯+= （2）依题意：2112801502(120180)8028x x x ⨯+-=⨯+⨯⨯ 整理得：21557500x x -+=解得125,150(x x ==舍去）故甬道的宽为5米；（3）设建设花坛的总费用为y 万元． 则210.02(120180)80(2310) 5.72y x x x ⎡⎤=⨯⨯+⨯--++⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当 6.252b x a=-=时，y 的值最小． ∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元． 【答案】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm ⨯+= （2）故甬道的宽为5米；（3）当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验 练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m ，当水渠深x 为_______时，横断面面积最大，最大面积是__________．【知识点】梯形面积，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解．【解题过程】底角为120°,则高和腰之间的夹角为30°,水渠深度 为x ,则得到：33AE x =,腰长33AB CD x == 两腰与下底的和为4得到：下底为434BC x =-所以上底为234AD x =设横断面的面积为S,则21()342S AD BC BE x x =+=-+ ∵2330x -<=，对称轴为 ∴当23x =时，横断面面积最大为43 【答案】当233x =时，横断面面积最大为433 【设计意图】加强学生运用新知的意识，培养学生解决实际问题的能力和学习数学的兴趣●活动③ 探究型例题例4. 在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/秒的速度移动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ 的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为S 平方厘米，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；(3) t 为何值时S 最小？求出S 的最小值.【知识点】矩形性质，三角形、五边形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个边长，列出面积的关系式，再依次解决三个问题．【解题过程】（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于8，则AP=x ，QB=2x ∴PB=6﹣x ．∴12×（6﹣x ）2x=8， 解得1x =2，2x =4，所以2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8；（2）第t 秒钟时，AP=t cm ，故PB=()6t -cm ，BQ=2t cm ， 故212(6)=62PBQ S t t t ∆=⋅--+ ∵61272ABCD S =⨯=矩形∴()27267206.PBQ S S t t t ∆=-=-+＜＜（3）∵()22672=363S t t t =-+-+，∴当3t =秒时，S 取最小值为63.【答案】（1）2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8；（2）()27267206.PBQ S S t t t ∆=-=-+＜＜（3）当3t =时，S 取最小值为63【设计意图】此题设计了一个动点最值问题，有前面的方法和思路加上前面基础题作铺垫，大部分学生可以完成．练习. 曾经有这样一道题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m ²） 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：（1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【知识点】矩形性质，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】由题意列出式子，转化为二次函数求最值【解题过程】（1）由已知可以得到：161115224AD ----== 此时窗户的透光面积55144S =⨯=； （2）设AB=x ，则734AD x =- ∵7304x -> ∴1207x << 设窗户的面积为S,由已知可以得到2277769(3)3()44477S AB AD x x x x x ==-=-+=--+g 当67x =时，max 9 1.057S => 与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【答案】（1）窗户的透光面积55144S =⨯= （2）与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【设计意图】学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到数学来源于生活，同时也服务于生活体验到数学与现实生活的紧密联系，同时加强学生自己的过手能力和计算能力，以课本上的例题为引子，在原来的基础上进行拓展，让学生吃透课本.3. 课堂总结知识梳理1.二次函数的三种形式：一般式2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠以及交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠.2.二次函数的三种形式之间的相互转化：一般式2(0)y ax bx c a =++≠可以利用配方化为顶点式2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠，进而可以得到顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --，对称轴2b x a=-．交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴122x x x +=. 3.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x 的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大.重难点归纳1. 利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠ 把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；第二可以直接利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--来求解. 利用交点式求二次函数的最值，一般是快速的利用对称轴的方程122x x x +=来求对称轴，进而求解. 2.实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x 的取值范围.3. 强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性．4.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.（三）课后作业基础型 自主突破1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2【知识点】矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设AB=x ，则BC=16-x ，其中016x <<．所以矩形ABCD 的面积为 2(16)16S AB BC x x x x ==-=-+g10,8x -<=Q 对称轴且016x <<8x ∴=当时，矩形ABCD 的面积最大，2max 64m S =．【思路点拨】通过设未知数，先把矩形ABCD 的面积表示出来，是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式求出对称轴8x =，又知道自变量016x <<，因此当取对称轴8x =时，面积最大．【答案】C2．用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a 2cm 的矩形，那么a 的值不可能为( )A ．20B ．40C ．100D ．120【知识点】矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设矩形的一边为x ，则另外一边为20x -，其中020x <<．所以围成矩形的面积为2(20)20S x x x x =-=-+ 10,10x -<=Q 对称轴且020x <<10x ∴=当时，矩形的面积最大，2max 100cm S =，因此0100S <≤,故a 不可能取120．【思路点拨】矩形的周长为40，可以设出其中一边，可表示出另外一边，需要注意此时自变量的取值范围，再表示出矩形的面积，此时面积是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式求出对称轴10x =，又知道自变量020x <<，因此可以算出面积的取值范围．【答案】D3．已知一个直角三角形两直角边长之和为20，则这个直角三角形的最大面积为( )A ．25B ．50C ．100D ．不确定【知识点】三角形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设这个直角三角形的一边为x ，则另外一边为20x -，其中020x <<．所以面积为211(20)1022S x x x x =-=-+ 10,102x -<=Q 对称轴且020x << 10x ∴=当时，三角形的面积最大，max 50S=，因此max 50S =． 【思路点拨】已知直角三角形的两边之和是20，设其中一边为x ， 表示出该直角三角形的面积211(20)1022S x x x x =-=-+，此时面积是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--求出对称轴10x =，其中020x <<，因此可以算出面积的最大值【答案】B4．将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____2cm .【知识点】正方形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设其中一个正方形的周长为xcm ，其边长为4x ，则另外一个正方形的周长为（20x -）cm ，其边长为204x -其中020x <<．所以这两个正方形的面积之和为 2222015()()254482x x S x x -=+=-+ 10,108x >=Q 对称轴且020x << 10x ∴=当时，三角形的面积最小，2min 25cm 2S=， 因此2min 25cm 2S =． 【思路点拨】两个正方形的周长之和为20，,设其中一个正方形的边长为x ， 表示出另一个的周长，进而表示出两个正方形的面积之和。
最新人教版初中数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数教案2
实际问题与二次函数教学目标：1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x 的取值范围。
3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，应用函数的性质解答数学问题难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，教学过程：一、复习旧知 导入新课1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y ＝6x 2＋12x ； (2)y ＝－4x 2＋8x －10以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。
二、学习新知1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题出示例1、要用总长为60m 的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化，当L 是多少时，围成的矩形面积S 最大?解：设矩形的一边为Lm ，则矩形的另一边为(30－L)m ，由于L ＞0，且30－L ＞O ，所以O ＜L ＜30。
围成的矩形面积S 与L 的函数关系式是S ＝L(30－L)即S ＝－L 2＋30L(有学生自己完成，老师点评)2、引导学生自学P23页例2 质疑 点评3、练一练：（1）、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?请同学们完成解答； 教师巡视、指导； 师生共同完成解答过程：解：设每件商品降价x 元(0≤x ≤2)，该商品每天的利润为y 元。
商品每天的利润y 与x 的函数关系式是： y ＝(10－x －8)(100＋1OOx)即y ＝－1OO x 2＋1OOx ＋200 配方得y ＝－100(x －12)2＋225 因为x ＝12时，满足0≤x ≤2。
2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数(2)教案 (新版)新人教版
（1）我们先看涨价的情况．
设每件涨价x元，每星期则少卖l0 x件，实际卖出(30 0－l0x)件，销售额为(60 +x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6 000．
教
学
反
思
课
时
教
学
目
标
1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．
2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．
3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．
重点
1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大） 值．
实际问题与二次函数Leabharlann 课时1课时教学设计
课标
要求
能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．
教
材
及
学
情
分
析
1、教材分析：二次函数的实际应用加强了方程等内容与函数的联系，在本章的学习中，教材已通过二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次函数最大（小）值的一些方法。本节课在巩固二次函数性质的同时，进一步让学生掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，培养学生运用所学知识解决实际问题 的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。并通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。此部分内容具有承上启下的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
22.3 实际问题与二次函数（2）
教学目标：
1．复习用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
重点难点：
根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。
教学过程：
一、复习巩固
1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?
2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，
(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案：(1)y ＝x 2＋x ＋1，(2)图略
(3)对称轴x ＝－12，顶点坐标为(－12，34
)。
3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么?
[对称轴是直线x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a
)] 二、范例
例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a(x ＋h)2＋k 的形式称为顶点式，(－h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y ＝a(x －8)2＋9
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。
练习：练习1．(2)。
例2．已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c ＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x ＝2，可以得⎩⎨⎧－b 2a ＝29a ＋3b ＝6
解这个方程组，得：⎩
⎨⎧a ＝－2b ＝8 所以所求的二次函数的关系式为y ＝－
2x 2＋8x －5。
解法二；设所求二次函数的关系式为y ＝a(x －2)2＋k ，由于二次函数的
图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到⎩⎨⎧a(3－2)2＋k ＝1a(0－2)2＋k ＝－5
解这个方程组，得：⎩
⎨⎧a ＝－2k ＝3 所以，所求二次函数的关系式为y ＝－2(x －2)2＋3，
即y ＝－2x 2＋8x －5。
例3。
已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
解法1：设所求的函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，得y ＝a(x －2)2－4
因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a ＝2。
所以，所求二次函数的关系式为y ＝2(x －2)2－4，即y ＝2x 2－8x ＋4。
解法2：设所求二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c?依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a
＝24ac －b24a ＝－4c ＝4
解这个方程组，
得：⎩⎨⎧a ＝2
b ＝－8
c ＝4
所以，所求二次函数关系式为y ＝2x 2－8x ＋4。
三、课堂练习
1. 已知二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，且当x ＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为图象过点(0，
3)，所以c ＝3，又由于二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，可以得到：⎩⎨⎧－b 2a ＝－312a －b24a ＝－1 解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝49b ＝83
所以，所求二次函数的关系式为y ＝49x 2＋83
x ＋3。
解法2：所求二次函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，
得y ＝a(x ＋3)2－1
因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a ＝49 所以，所求二次函数的关系为
y ＝44/9(x ＋3)2－1，即y ＝49x 2＋83
x ＋3． 小结：讨论、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
简解：依题意，得⎩
⎨⎧
－p 2＝54q －p24＝－2 解得：p ＝－10,q ＝23 所以，所求二次函数的关系式是y ＝x 2－10x ＋23。
四、小结
1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?
[两种类型：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c
(2)顶点式：y ＝a(x ＋h)2＋k ，其顶点是(－h ，k)]
2．如何确定二次函数的关系式?
五、作业：
1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y 轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。
2．函数y ＝x 2＋px ＋q 的最小值是4，且当x ＝2时，y ＝5，求p 和q 。
3．若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的最高点为(－1，－3)，求b 和c 。
4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。
如果y 随x 的增大而减少，那么
自变量x的变化范围是______。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。
6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
教后反思：。