2014.06宁波大学科学技术学院大学物理A期末习题答案

1、有N 个电荷均为q 的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布．比较这两种情况下在过圆心O 并垂直于圆平面的z 轴上任一点P (如图所示)的场强与电势，则有
A 、场强相等，电势相等．
B 、场强不等，电势不等．
C 、场强分量E z 相等，电势相等．
D 、场强分量
E z 相等，电势不等． C 场强是矢量，电势是标量。

因为圆上电荷距离P 点的距离一样，所以在z 轴上的分量也一样。

2、在磁感强度为B
的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n
与B 的夹角为
，则
通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为
A 、
B r 2π B 、 B r 22π
C 、 απsin 2B r -．
D 、απcos 2B r -
D 根据磁场的高斯定理，通过闭合曲面的磁通量0=⋅=Φ⎰s d B
，则
απθcos BS cos 2B r s s -=-=Φ-=Φ底
3、若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对 称性，则该磁场分布
A 、不能用安培环路定理来计算．
B 、 可以直接用安培环路定理求出．
C 、只能用毕奥－萨伐尔定律求出．
D 、可以用安培环路定理和磁感强度的 叠加原理求出．
D 任何在流导线的磁场均可由毕奥－萨伐尔定律求出，本题虽然空间的磁场分布就不具有简单的对称性 ，但单根电流产生磁场对称，因此可用安培环路定理求，然后再将所求磁场矢量叠加。

4、如果对某一闭合曲面的电通量为
S E d ⋅⎰S
=0,以下说法正确的是
(A) S 面上的E 必定为零；(B) S 面内的电荷必定为零；
O
y
x
z
P
n
B
α S
(C) 空间电荷的代数和为零；(D) S 面内电荷的代数和为零. D 高斯定理最近本的概念理解 5、以下说法中正确的是
(A) 沿着电力线移动负电荷,负电荷的电势能是增加的； (B) 场强弱的地方电位一定低,电位高的地方场强一定强； (C) 等势面上各点的场强大小一定相等；
(D) 初速度为零的点电荷, 仅在电场力作用下,总是从高电位处向低电位运动；
(E) 场强处处相同的电场中,各点的电位也处处相同.
A 基本概念的理解电力线即电场线，点位就是电势。

A 中负电荷沿电场线运动，电场力做正功，由电场力是保守力，知电场力做功等于电势能变化的负值，则电势能减少；
B 电势只和电场线的方向有关，与场强大小无关。

C 等势面上电势相等，场强不一定。

D 正电荷是从高电势向低电势运动，负电荷正好相反。

E 场强等于电势梯度的负值，场强相等电势不一定相等。

6、如图10.3所示两个比荷（q/m ）相同的带导号电荷的粒子，以不同的初速度v 1和 v 2（v 1>v 2）射入匀强磁场B 中，
设T 1 、T 2分别为两粒子作圆周运动的周期，则周期等于 由
qB m
T qB mv R R mv qvB π2/2=⇒=
⇒=，则周期可求，周期比为1：1
7、电流I 由长直导线1 沿垂直bc 边方向经a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框,再由b 点沿垂直ac 边方向流出,经长直导线2 返回电源 (如图12.4)，若载流
直导线1、2和三角形框在框中心O 点产生的磁感应强
度分别用B 1 、B 2和B 3 表示，则O 点的磁感应强度大小 - ○○ + × × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × × v 1
v 2
B
q 1 q 2 图10.3
1
2
O a b c
I
I
图12.4
正三角形线框的电阻均匀分布，相当于两电阻并联，则I I I acb ab 322=
=
O 在1、2两线的延长线上，则磁感应强度为0，)65cos 6(cos 40π
ππμ-=
r I B ab ab ，
方向朝外，
)65cos 6(cos 40π
ππμ-=
=r I B B acb cb ac ，方向朝里，故总磁场等于0
8、磁场中某点处的磁感应强度B =0.40i －0.20j (T), 一电子以速度v =0.50×106i +1.0×106j (m/s)通过该点,则作用于该电子上的磁场力F =
k e B v q F 6
105.0⨯-=⨯=
8、如图11.6所示,在真空中有一半径为a 的3/4园弧形的导线,其中通以稳恒电流I ,导线置于均匀外磁场B 中,且B 与导线所在平面垂直,则该圆弧载流导线bc 所受的磁力大小为 .
将bc 连接组成一个回路，则匀强磁场中回路与磁场垂直，受到的合力为0，则 磁场B 中,且B 与导线所在平面垂直,则该圆弧载流导线bc 所受的磁力大小等于直线cb 段电流受力，则BIa BIL F 2== 9、如图13.5所示，真空中有两圆形电流I 1 和
I 2 和三个环路L 1 L 2 L 3，则安培环路定律的表
达式为
l
B d 1
⋅⎰L = 10I μ- ，
l
B d 2
⋅⎰L =
)(210I I +μ ,l B d 3
⋅⎰L = 0 .
安培环路定理理解，正电流的方向与回路满足右手螺旋关系
10、a 、b 为电场中的两点，如果把q=2×10－8库的正点荷从点a 移到b 点，q 的电势能减少了4×10－7焦,那么在这个过程中，电场力做功为 4×10－7 焦；a 、b 两点的电势差是 2×105 伏。

电场力做功等于电势能变化的负值，电势能减小，电场力做正功。

× × × × × ×
× × × × × × × × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × × × × × × × ×
· I B b
c a
a 图11.6
I 1
I 2
L 1
L 2 L 3 图13.5
·
P I
x
y
z
图13.6
q W U ab ab =
11、如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为q +,q -的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求:移动过程中电场力作的功(无穷远为电势零点)。

00000()[0()]66oc oc o c qq q W q U q V V q R
R πεπε==-=--
=
12、电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．正三角形的边长是a 。

试问：在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡?
如图所示，以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷
20
220)3
3(π4130cos π412a q q a q '=︒εε
解得 q q 3
3
-
=' 13、电荷为q +和2q -的两个点电荷分别置于11x m =和11x m -=-处。

一试探电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 做法同上，答案322+
14、一根长为L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为λ+，试求在圆心O 点的电势。

15、如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为q +,q -的点电荷，AB 间距离
为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求:移动过程中电场力作的功(无穷远为电势零点)。

同11题
16、一段导线先弯成图（a ）所示形状，然后将同样长的导线再弯成图（b ）所示形状。

在导线通以电流I 后，求两个图形中P 点的磁感应强度
（a ）
17、一无限长载流直导线，通有电流I ，弯成如图形状．设各线段皆在纸面内，则P 点磁感强度B
的大小为
________________
相当于两个半无限长的载流导线产生磁场，距离分别为a 和2a ，038I
B a
μπ=
18、质子m 1和电子m 2以相同的速度垂直飞入磁感强度为B
的匀强磁场中，试求质子轨道半径R 1与电子轨道半径R 2的比值 .
洛伦兹力的大小 B q f v =
P
a
I a
I d 1
d
2
l
(2)
计算题对质子： 1211/R m B q v v = 对电子： 2222/R m B q v v = ∵ 21q q = ∴ 2121//m m R R =
19、如图，载流长直导线的电流为I ，求通过图中矩形面积的磁通量.
20、将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧A B 半径为R ，试求圆心O 点的场强。

在O 点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A ∞在O 点产生的场强：
()j i R
E
-π=014ελ
半无限长直线B ∞在O 点产生的场强：
()j i R
E
+-π=
024ελ
四分之一圆弧段在O 点产生的场强：
()j i R
E +π=
034ελ
由场强叠加原理，O 点合场强为：
()j i R
E E E E
+π=
++=03214ελ
21、均匀带电直线长为L ，电荷线密度为+λ，以导线中点O 为球心 、
R 为半径（R>L ）作一球面，如图所示，则通过该球面的电场强度
通量为 0
l
ελ ，带电直线延长线与球面交点P 处的电场强度的大
O B
A
∞
∞y
x
3E 2E
1
E
小为
2
20l
R 41
l -πελ 。

第一问高斯定理的概念理解，第二问节分的方法求场强，做法同第五章作业的第9题 22、两个同心簿金属球壳，半径分别为RR R R 1221和(),>若分别带上电量为q q 12和的电荷，则两者的电势分别为U U 12和(选无穷远处为电势零点)。

现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为 2U 。

两个同心金属球壳开始时由于静电感应，内球壳的电量分布在外表面，外球壳的内表面带电1q -，外表面带电12q q +；如果将两球壳相连接，则电荷完全分布在大球壳的外表面，因为，如图为放大后的球壳连接图，因为所取的高斯面在金属球壳里面，每一点的场强均为0，所以通量为0，所以里面电荷的代数和为零，因此，总电荷12q q +全部分布在大球壳的外表面，因此连接前后大球壳外表面带点没变，所以用导线将两球壳连接后它们的电势为
2U 。

23、一平板电容器充电后切断电源，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变?
电容； 两极板间的场强；两极板间的电势差。

平板电容器的电容0S
C d
ε=
，电容的变化与接不接电源无关。

改变间距d ，则电容改变。

因为切断电源，所以电荷无法流出，故电量Q 不变，两极板间的场强相当于两带异号电荷的无限大平板的场强，电量不变，场强不变。

Q
U C
=
，Q 不变，C 改变则U 变化。

24、带电量分别为q 1和q 2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场
强分别为1E 和2E ，空间各点的总的电场强度为21E E E
+=，现在作一封闭曲面S ，如图所示，则以下两式可分别求出通过S 的电通量：
=⋅⎰S d E S
110
q ε， =
⋅⎰S d E S
12
q q ε+ 1S
E dS ⋅⎰
与q 2无关，总场强的电通量与里面电荷都有关系。

(1)
选择题(4)
计算题25、电流由长直导线流入一电阻均匀分布的金属矩形框架，再从长直导线流出，设图中
321O ,O ,O 处的磁感应强度为
B B B 123
,,, 则 B (A) B B B 123
==； (B) 0B 0B B 321≠==
； (C) 0B ,0B ,0B 321=≠= ； (D) 0B ,0B ,0B 321≠≠=
电流由长直导线流入一电阻均匀分布的金属矩形框架，三种情况均相当于两个电阻并联，要把电流I 分开，算出每个支路上的电流大小，然后按照
计算。

注意要会算具体的值。

26、在匀强磁场 B 中，取一半径为R 的圆， 圆面的法线 n 与
B 成60°角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的磁通量：
=⋅=Φ⎰⎰S
m S d B。

将底面封住组成一个闭合曲面，则由磁场的高斯定理可知，
=0S
S B ds B ds B ds ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰
底
则21
=-=-BScos
32
S
S B ds B ds B R π
π⋅⋅=-⎰⎰
底
27、如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ， 则由安培环路定理可知： B
(A) ⎰=⋅L
,0l d B
且环路上任意一点B=0
(B) ⎰=⋅L
,0l d B
且环路上任意一点0B ≠
(C)⎰≠⋅L
0l d B
， 且环路上任意一点0B ≠
(D) ,0l d B L
≠⋅⎰
且环路上任意一点B=常量
回路内没有电流，故回路积分等于0，但回路上面每一点均受到外面电流I 产生的磁场，故磁感应强度B 始终不等于0.
28、如图所示，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，
试证明它所受的安培力等于载流直导线ab 所受的安培力。

建立如图所示的直角坐标系，任意形状导线上电流元表示为：j Idy i Idx l Id
+=，磁感应强度：
k B B
-=，电流元所受到的安培力：B l Id F d ⨯=
)k B ()j dy i dx (I F d
-⨯+= i IBdy j IBdx F d -=
(2)
选择题
任意形状的载流导线受到安培力：i IBdy j IBdx F y x b
b 0
⎰⎰-=，i IBb j IBb F y x
-=
同理得到载流直导线ab 所受的安培力：i IBdy j IBdx 'F y x b
b 0 ⎰
⎰-=，i IBb j IBb 'F y x -= 所以：'F F
=，一个在均匀磁场中任意形状的闭合载流回路受到的安培力为零。

29、一无限长直载流导线被弯成如图所示的形状，通以电流I ，求O 点的磁感应强度B
第一种情况：相当于3条载流导线产生的磁场，期中O 在两条直线的延长线上，B=0；30度圆周产生的磁场大小为
0030360224I I
R R
μμ=，方向向里。

第二种情况：相当于一根无限长与一个圆的载流导线产生的磁场，设向里为正，则0022I
I
B R
R
μμπ=
-
30，无限长直导线与abcd 线圈共面。

求（1）abcd 回路中的φm 。

（2）若abcd 回路中通电I1，求四边受的力及线圈如何运动？
第一问同19题，第二问同第七章作业29题。

31，直导线电流（I,ι），放在x
k
B 1
= （k 为常数）磁场中，方向垂直于平面，求F 。

sin
ln 2
a l
a
k a l F dF IdxB Idx kI x a
π
++====⎰⎰
⎰
注：图中载流导线的起始点不能是0，题中图有点改变。