g3.2018-2019角形中的有关计算和证明

g3.1051三角形中的有关计算和证明
一、知识回顾 本节公式中，,2
a b c s ++=,r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一).三角形中的各种关系
设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．
1．角与角关系：A+B+C = π，
2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，
a －
b <
c ，b －c < a ，c －a > b ．
3．边与角关系：
1）正弦定理 R C
c B b A a 2sin sin sin === 2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bccosC ，b 2 = a 2+c 2－2accosB ，a 2 = b 2+c 2－2bccosA ．
它们的变形形式有：a = 2R sinA ，b
a B A =sin sin ，bc a c
b A 2cos 222-+=． 3）射影定理： a ＝b ·cosC ＋
c ·cosB ，
b ＝a ·cosC ＋
c ·cosA ，
c ＝a ·cosB ＋c ·cosA ．
4）正切定理：22sin sin sin sin B
A tg
B A tg
B A B A b a b a -+=-+=-+ …………….(轮换)
5）模尔外得公式：;2
cos 2sin ,2sin 2cos B A c b a B A c b a -=--=+ 6）半角定理：bc c s b s A ))((2sin
--=
bc a s s A )(2cos -= a
s r s c s b s a s a s a s s c s b s A tg -=----=---=))()((1)())((2 （以上公式均轮换）
7）面积公式：
)
)()((4222222sin sin sin 2)sin(2sin sin sin 21212222c s b s a s s R abc rs C ctg B ctg A ctg r C tg B tg A tg s C B A R C B C B a C ab ah a ---======+===∆ （二）、关于三角形内角的常用三角恒等式：
1.三角形内角定理的变形
由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出：
sinA ＝sin （B ＋C ），cosA ＝－cos （B ＋C ）． 而222C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2
sin 2cos C B A +=．
2.常用的恒等式：
（1）sinA ＋sinB ＋sinC ＝4cos 2A cos 2B cos 2
C ． （2）cosA ＋cosB ＋cosC ＝1＋4sin 2A sin
2B sin 2
C ． （3）sinA ＋sinB －sinC ＝4sin 2A sin 2B cos 2
C ． （4）cosA ＋cosB －cosC ＝－1＋4cos
2A cos 2B sin 2C ． （5）sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sinAsinBsinC ．
（6）cos2A ＋cos2B ＋cos2C ＝－1－4cosAcosBcosC ．
（7）sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2
C ＝2＋2cosAcosBcosC ．
（8）cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＝1－2cosAcosBcosC ．
二、基本训练 1、在ABC ∆中，已知35513
sin B ,cos A =
=，则cosC ＝ . 2、在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 .条件.
3、在ABC ∆中，若sin Asin B cos Acos B <，则ABC ∆的形状为 .
4、在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝ .
5、在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++
3sinC )a sin B -=，则C ∠＝ . 三、例题分析
例1、在ABC ∆
中，451a ,b c ,tan A tan B tan Atan B )=+=+=-，求sin A .
例2、在ABC ∆中，已知22
a tan B
b tan A =，试判断ABC ∆的形状.
例3、已知A 、C 是三角形ABC 的两个内角，且tan A,tanC 是方程2100x p (p )+-=≠的两个实
根。

（1）求tan(A C )+的值；（2）求tan A tanC 、　的取值范围；（3）求p 的取值范围.
例4、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，且
11cos A cosC cos B
+=-，求2A C cos -的值.
例5、（05湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.
四、作业 同步练习g3.1051三角形中的有关计算和证明
1、ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b =，那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
2、在ABC ∆中，若20sin A sin B cos C -=，则ABC ∆必定是
A 、钝角三角形
B 、锐角三角形
C 、直角三角形
D 、等腰三角形
3、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且在区间]2,3[--上是减函数，若A 、B 是锐角三角形的两个内角，则
A 、)(cos )(sin
B f A f > B 、)(cos )(sin B f A f <
C 、)(sin )(sin B f A f >
D 、)(cos )(cos B f A f <
4、（全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan
=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A
② 2sin sin 0≤+<B A ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+
其中正确的是
（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③
5、（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,
0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ
A ．6π
B ．
4π C ．3π D ．2
π 6、在ABC ∆中，若其面积222
S =C ∠=_______。

7、在ABC ∆中，60 1A ,b ==ABC ∆外接圆的直径是_________。

8、在ABC ∆中，若22a(bcos B ccosC )(b c )cos A -=-，试判断ABC ∆的形状。

9、在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对边，已知7 2tan A tan B Atan B c +==
，又ABC ∆
的面积，求a b +的值。

10、已知a b c 、、是ABC ∆的三条边，且
22sin(A B )c b sin(A B )c --=+，求2B C cos .+
11、已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且A B A B A f 2sin 32cos 2sin ),(22-+=
22cos +-B 。

（1）当),(B A f 取得最小值时，求C ；
（2）当2π=
+B A 时，将函数),(B A f 按向量p 平移后得到函数A A f 2cos 2)(=，求向量p 。

答案：
基本训练、1、1665 2、充要 3、钝角三角形 4、12- 5、3
π
例题分析、例1例2、等腰三角形或直角三角形 例3（1 （2）0tan A <<0tanC <<
(3)213p ≤< 例4、例5、解法一 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A
所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B
因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A =
由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得
即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即 由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .12
5,3ππ==C B 解法二：由).22
3sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得 由B <0、π<c ，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.2
2232ππ=-=+B C C B 或
由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A
所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =
由.4),,0(π
π=
∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求. 再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B
作业、1—5、CDABD
6、6π
7、等腰三角形或直角三角形 9、112 1011、（1）32π=
C 或2π （2）))(3,6(Z k k p ∈--=ππ。