利用基本不等式求最值的技巧Word文档
利用基本不等式求最值的技巧
基本不等式应用一：直接应用求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋解：（1）y ＝3x 2＋≥2)＝∴值域为[，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋≥2)＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋=－（－x －）≤－2)=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 二：凑项例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
变式12,33y x x x =+>- 三：凑系数例3.当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式1：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=3,03x 时等号成立。
变式2：已知x ，y 为正实数，且x 2＋＝1，求x 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤。
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
利用基本不等式求最值高一
利用基本不等式求最值的技巧注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数 例２. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。
变式已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. 例：求函数2y =练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =的最大值.；3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
如何运用基本不等式求最值
基本不等式是求解最值问题的重要工具.运用基本不等式:ab ≤a +b2求最值需要把握三个前提条件:一正二定三相等.一正是a 、b 两个数都为正数;二定是指如果积ab 是定值p ，那么当且仅当a =b 时，和a +b 有最小值2p ，如果和a +b 是定值p ，那么当且仅当a =b时，积ab 有最大值p 24；三相等是当且仅当a =b 时不等式取等号.在运用基本不等式求最值时，要首先确定两个式子是否为正数；然后配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值；最后检验当且仅当两式相等时不等式是否能取等号.而运用基本不等式求最值的关键是，配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值.配凑出两式的和或积的常用方法有添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式，下面举例说明.例1.当x >1时，求x +1x -1的最小值.解:∵x >1,∴x -1>0,∴x +1x -1=x -1+1x -1+1≥+1=3，，当且仅当x -1=1x -1，即x =2时取等号，∴y min =3.该目标式含有整式和分式，为了使它们的积为定值，需添加一项-1，构造出分式的分母，以便利用基本不等式来求得目标式的最小值.例2.求y =x 2+7x +10x +1(x >-1)的最小值.解：y =x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4x +1=(x +1)+4x +1+5，当x >-1,即x +1>0时,y ≥+5=9，且仅当x =1时取“=”号，所以y min 该目标式看似无法运用基本不等式，但将分式、整式分离，便创造出运用基本不等式的条件.例3.已知正数a ,b 满足1a +1b=3，求a +b 的最小值.解：由1a +1b =3得a +b =3ab ，所以b =a 3a -1，由于a >0,b >0，可得a >13，于是a +b =a +a 3a -1=a -13+19(a -13)+23≥+23=43，当a -13=19(a -13)，即a =23时取等号，所以a +b 的最小值43.在解答含有多个变元的最值问题时，可以通过减少变元的方式，把问题转化为只含一个变元的问题，然后通过添加项配凑出两式的和或者积，再利用基本不等式求最值.例4.已知x >0,y >0，且1x +9y =1，求x +y 的最小值.解：∵x >0,y >0,1x +9y=1，∴x +y =()x +y æèçöø÷1x +9y =yx +9x y +10≥16,当且仅当y x =9xy时，等号成立，又1x +9y =1，则x =4,y =12，此时()x +y min =16.这里，我们利用“1”的代换来构造出运用基本不等式的条件.通过常数代换，可把所求的目标化为可以使用基本不等式求解的式子，以达到解题的目的.例5.已知a ，b 为正实数，2b +ab +a =30，求函数y =1ab的最小值.解：由题意得30-ab =a +2b ，∵a +2b ≥22ab ，∴30-ab ≥22ab ，令u =ab ，则u 2+22u -30≤0，解得-52≤u ≤32，∴ab ≤32，ab ≤18，∴y ≥118，即当a =b =32时，y min =118.我们由已知不等式出发求出ab 的范围，进而求得目标式的最值.解答本题的关键是利用基本不等式建立a +b 与ab 之间的关系.构建目标不等式是创造应用基本不等式条件的常用方法.很多问题往往所给的条件是非“标准”的，无法直接利用基本不等式来解题，因而在解题时，我们需要将不等式进行适当的变形，通过添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式等方法，对“原始”的条件进行整合、转化，构造出“一正二定三相等”的三个条件，以保证可以用基本不等式求最值.黎华高46。
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是在数学中经常用到的一种求最值的技巧，它可以帮助我们在求解问题时找到合适的界限，从而得到最优解。
本文将详细介绍基本不等式的概念、性质以及如何利用它来求解最值问题。
1.基本不等式的概念基本不等式是指一个关于非负实数的不等式，其表达形式为a≥b。
在数学中，我们常常需要比较两个数的大小关系，而基本不等式则提供了一种简便的方法来判断这种关系。
2.基本不等式的性质基本不等式具有以下几个性质：(1)反身性：对于任意实数a，有a≥a。
(2)对称性：对于任意实数a和b，如果a≥b，则b≤a。
(3)传递性：对于任意实数a、b和c，如果a≥b，并且b≥c，则a≥c。
(4)加法性：对于任意实数a、b和c，如果a≥b，则a+c≥b+c。
(5) 乘法性：对于任意非负实数a、b和c，如果a≥b，并且c≥0，则ac≥bc。
3.利用基本不等式求最值的方法在实际问题中，我们经常需要求解一些函数的最值，而基本不等式可以帮助我们找到这个函数的最优界限。
下面将介绍几种常见的求解最值问题的方法。
(1)最值的存在性判断：根据基本不等式的定义，我们可以得出如果一个函数在一些区间上是连续的，那么它在这个区间上一定有最值。
(2)最大最小值的求解：有时候我们需要求解一个函数的最大值或最小值。
对于一个连续函数，我们可以通过极值点来求解。
而在确定极值点时，基本不等式可以提供一种简单的方法。
首先计算函数的导数，然后令导数等于零，求得极值点。
接着我们比较这些极值点与函数在区间端点处的值来确定最值。
(4)最优解的存在性判断：在一些优化问题中，我们需要证明一些最优解的存在性。
基本不等式可以作为一种常用的工具来判断最优解是否存在。
首先，我们需要构造一个满足条件的函数，然后根据条件推导出函数的最优界限。
最后，我们利用基本不等式来判断这个界限是否存在，从而证明最优解的存在性。
综上所述，基本不等式是一种求解最值问题的常用技巧。
在实际问题中，我们可以根据具体情况灵活运用基本不等式来求解最值。
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式求最值的方法有多种，以下列举了其中六种方法：
1.配凑法：通过观察式子中的各项，尝试将其配成基本不等式的形式，从而求出最值。
2.均值不等式：对于一组正数a1, a2, ..., an，其算术平均值大于等于几何平均值，即
(a1+a2+...+an)/n >= sqrt(a1a2...*an)。
利用此不等式，可以将式子变形，从而求出最值。
3.等号成立条件：在使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件。
例如，在使用均值不
等式时，只有在a1=a2=...=an时，等号才会成立。
4.换元法：在求解一些复杂的不等式时，可以通过换元法将问题简化。
例如，设a=a1/b1,
b=a2/b2, ...，将原式化简后再使用基本不等式求解。
5.对勾函数性质：对勾函数是一种特殊的函数形式，其性质可以用来求解一些复杂的不等
式。
例如，当x>0时，x+1/x >= 2 (当且仅当x=1时取等号)。
6.三角不等式：对于一些涉及到三角函数的式子，可以使用三角不等式来求解。
例如，
|sin(a)-sin(b)| <= |a-b|。
利用基本不等式求最值技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．在运用基本不等式ab b a 222≥+与2ba ab +≤或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数【例1】已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 2:添加项 【例2】已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. 3:分拆项【例3】已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值.4:巧用”1”代换【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx 21+的最小值.一般地有,2)())((bd ac ydx c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求zy x 941++的最小值. 5:换元【例6】已知c b a >>,求cb ca b a c a w --+--=的最小值.【例7】已知1->x ,求8512+++=x x x y 的最大值.6:利用对称性【例8】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值. 【分析】由于条件式1=++z y x 与结论式121212+++++z y x 都是关于正数z y x ,,轮换对称的,故最大值必然是当31===z y x 时取到,这时35121212=+=+=+z y x ,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式b a ab +≤2得351235)12(2++≤⨯+x x , 351235)12(2++≤⨯+y y ,351235)12(2++≤⨯+z z ,以上三式同向相加得1053)(235)121212(2=++++≤+++++z y x z y x ,所以化简得15121212≤+++++z y x ,所以当且仅当31===z y x 时121212+++++z y x 取到最大值15.一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.7:直接运用化为其它【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围.含参不等式的解法举例当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧 应用一:求最值例1:求下列函数的值域（1）y ＝3x ２+＼f(1,2ｘ 2) （2)y =x +错误!解：（1）ｙ=３x 2+错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为[错误!,+∞）（2）当x >０时,ｙ＝x +错误!≥2错误!＝2;当ｘ＜0时， y =x +1x ＝ -（- x －１x）≤-2错误!＝-2∴值域为（-∞,-2]∪［2,+∞)解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
解:因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-,即1x =时，上式等号成立，故当1x =时,max 1y =。
评注:本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知,，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当,即x ＝2时取等号 当x =２时,(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
(完整word)高考数学解题技巧：基本不等式求最值神奇方法-神奇设k法
高考数学解题技巧：基本不等式求最值神奇方法-神奇设k法
大家好，老师给同学们分享第四中“神奇设K法”方法“神奇设K法”是足够神奇，但是并不让同学们感觉到非常暴力，因为这种题算是技巧，我们思维能力降下来了，但是运算难度并不高，但是我们要讲第五种方法“轮换对称性”足够暴力，足够神奇，但是第四方法和第五种方法对比看：
第四种方法“神奇设K法”适用广泛度比较高
第五种方法“轮换对称性”需要满足特定条件才能用
接下来，先看神奇设K法三个步骤：
一起来看看例题，看图：
同学们，这个适用广泛度比较高，可以达到同学们，这个方法适用范围非常广泛，可以达到90%，而准确率直接100%。
同学们大家听懂了吗？听不懂可以留言领取视频观看。
接下来看一下改编的一道题：
接下来看第二道如何用神奇设k法去解题，同学们，这题是浙江压轴题，难度很大。
看图：
接下来第三题及第四题，给同学们留的课后作业，如何需要视频解析，可以留言获取。
好了，今天分享就到这里，关于神奇设卡法解题不懂的可以留言给老师，本篇文章有相应的视频讲解。
(完整word)专题：基本不等式常见题型归纳(学生版),推荐文档
专题：基本不等式基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b 2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当a ＝b 时ab a ＋b2取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知且，则的最小值为 .1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 练习：1．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ．2.若实数满足，则的最小值为 ．,x y 133(02xy x x +=<<313x y +-3.已知，且，则的最小值为 .0,0,2a b c >>>2a b +=2ac c c b ab +-+【典例2】已知x ，y 为正实数，则＋的最大值为．4x 4x ＋y y x ＋y 【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R +∈22a b a b +=+a b +2.设，，则的最小值为_______0,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________ R y x ∈,1422=++xy y x y x +24.已知正数，满足，则的最小值为 a b 195a b+=-ab【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数满足，则的最小值为 y x ,1=+y x 1124+++y x 练习1．已知正数满足，则的最小值为 .y x ,111=+y x 1914-+-y y x x2.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y xy +的最小值为 ．3．已知函数的图像经过点，如下图所示，(0)x y a b b =+>(1,3)P 则的最小值为 .411a b +-4．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则a x 2b y 12a b ＝________.6.已知正实数满足，则的最大值为 ．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211a b +--最小值为 ．练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ．3．已知正实数满足，则的最小值为 ．,x y (1)(1)16x y -+=x y +4.若，且，则使得取得最小值的实数= 。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
不等式最值的解题方法与技巧
不等式最值的解题方法与技巧
不等式最值的解题方法与技巧如下：
(一)利用基本不等式。
在原不等式中，把"1"的表达式与所求最值的表达式相乘
或相除，进而构造和或积为定值的形式，再利用基本不等式求解。
(二)轮换对称法。
确认对称，确认最值，取等解方程。
(三)常数代换法。
常数代换法求最值的步骤：
1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
2)把确定的定值（常数）变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的
形式；
4)利用基本不等式求解最值。
基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,7页word
基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--用基本不等式求最值六种方法一． 配项例1：设x>2,求函数y=x+92x -的最小值 解析：y=x-2+92x -+2≥8 当x-2=92x -时，即x=5时等号成立 例2：已知a,b 是正数，满足ab=a+b+3,求ab 的最小值法1：ab=a+b+3≥当a=b 3即ab ≥9当a=b=3时等号成立。
法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3二． 配系数例3:设0<x<1,求解析：≤×2=3当x=3时等号成立 三． 重复使用不等式例4：已知a>b>0，求2a +16()a b b -的最小值 解析：2a +16()a b b -=2a b b -+（）+16()a b b -≥4(a-b)b+16()a b b -≥当时，等号成立。
四． 平方升次例5：当x>0时，求函数的最大值。
解析：y 2=x 2+4-x 2≤4+［x 2)2］=8 当，即y 取得最大值.五． 待定系数法例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
解析：y=2sin 2x+2sinxcosx=2 sin 2x+2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a+=a+22(21)sin a a x a+- 若为定值，则221a a +-=0，+1,所以y 时成立。
六． 常值代换 例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1y 的最小值解析：1x +1y =13(x+2y)( 1x +1y )=1+13(2y x +x y )≥1+23当且仅当2y x =x y ，且x+2y=3，即-1),y=32)时，取得最小值为1+23。
利用基本不等式求最值十大变形技巧WORD教师版
利用基本不等式2b a ab +≤求最值十大变形技巧 本文就利用基本不等式2b a ab +≤)0,0(>>b a 求最值的常见变形技巧作一总结. 1.变正例1设0>x ，则xx y 133--=的最大值为__________.点评：如果变量为负，首先化为正，然后再利用基本不等式求最值．练习1若0<x ，求函数x xy 312+=的最大值.2.代入例2已知)0,0(121>>=+n m nm ，则mn 的最小值为__________.点评：整体代换，创造利用不等式的条件，然后再利用基本不等式求最值．练习2在1)(9)(4=⨯+⨯中的两个括号中，分别填上两个正数，使它们的倒数和最小，就分别填上____和____.3.乘方例3设0≥a ，0≥b ，且1222=+b a ，求21b a +⋅的最大值.点评：通过平方变形，创造利用不等式的条件，然后利用基本不等式求最值． 练习3已知正数y x ,满足93222=+y x ，求21y x +⋅的最大值，并求此时x 和y 的值.4.拆项例4若不等式)22(xy x a y x +≥+对一切正数y x ,恒成立，求a 的最大值.点评：本题通过拆项，然后创设利用不等式的条件求最值．练习4已知不等式9)1)((≥++ya x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为________.5.添项例5设10<<x ，0>a ，0>b ，则xb x a -+122的最小值为__________.点评：通过添项，然后创设利用不等式的条件求最值，添项时一定要注意保持恒等 练习5函数1)3(log -+=x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为_________.6.换元例6已知0<a ，0<b ，则ba ab a a y +++=2的最小值为_________.点评通过换元，然后创设利用不等式的条件求最值，常见的换元有三角换元、代数换元等．练习6设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最值.7.消元例7若0,>y x ，且b a yb x a ,(1=+为正常数，且)b a ≠，求y x +的最小值.点评：通过消元化二元为一元函数，然后再利用基本不等式求最值．练习7设正数z y x ,,满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值为__________. 8.构造例8设y x ,均为正数，且01=---y x xy ，则y x +的取值范围是________.点评：利用基本不等式构建不等关系，通过解不等式，然后才能求出函数的最值来． 练习8已知正数b a ,满足3++=b a ab ，则b a +的最小值为________.9.重组例9已知正数z y x ,,满足1)(=++z y x xyz ，求))((z y y x ++的最小值.点评：有时候要对所给题设进行重新组合，然后再利用不等式求得所求的最值． 练习9若0,,>c b a ，且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为________.10.引参例10设0>x ，0>y ，0>z ，且1=++z y x ，求zy x 941++的最小值.点评：通过引参数，可以创设利用基本不等式求最值的条件，从而求得所要求的最值． 练习10如果R z y x ∈,,，且1222=++z y x ，求证：4133222+≤++zx yz xy .。
用基本不等式求最值的要领和技巧
用均值不等式求最值的要领和技巧江苏省前黄高级中学 肖建霞均值不等式：如果12,,,n a a a 都是正数，那么12n a a a n +++≥ 当且仅当12n a a a ===时取等号。
许多最值问题，利用这个平均值不等式可很简捷地得到解决。
但是，要正确运用公式必须掌握基本要领和常用的解题技巧。
一、基本要领利用均值不等式求最值要注意：一正，二定，三相等。
1、若没有“正数”条件，可适当变形后再使用例1 已知0x <，求31186y x x=++的最大值。
解 因0x <，所以不能直接用不等式，应适当变形。
31311()2()()86862x x x x -+-≥--= 311862x x ∴+≤- 当且仅当3186x x -=-，即23x =-时取等号。
3111118622x y x ∴=++≤-=， y ∴的最大值为12，此时23x =-。
如果不注意正数的条件，直接用不等式3118662x x x +≥=，就会得 出错误的结论。
2、若积（或和）不是定值，可通过变形变为定值后再用公式 例2 求282(0)y x x x=+>的最小值。
解 282y x x =+28x x x =++26x x x ≥=（常数），当且仅当28x x =，即2x =时，上式取等号，此时，y 有最小值6。
如果写成228128yx x x x x =+≥=由于仍为变数，因此不能说y 的最小值是。
3、 要注意等号是否取到，若取不到，可利用单调性来求例3 求2y = 解 t =，则2t ≥，211t y t t t+==+ 1y t t=+在[)2,+∞上单调递增， ∴当2t =时，即0x =时，y 取到最小值52。
t =，则12y t t=+≥，当且仅当23x =-时取等号。
很显 然取不到。
其他如“求4sin ((0,))sin y x x x π=+∈的最小值”等也与这题类似。
二、常用的解题技巧1、 拆项法例4 求1)x y x =>的最小值。
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利用基本不等式求最值的技巧
在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤
或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数
【例1】已知2
30<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 【分析】按照“和定积最大”的思路，由于)23(x x -+不是定值，所以应把x 配出系数2成为x 2，使得3)23(2=-+x x 为定值. 【解】由于2
30<
<x ，所以023>-x ,从而 8
9)2232(21)]23(2[21)23(2=-+⨯≤-=-=x x x x x x y ，当且仅当)23(2x x -=即43=x 时，8
9max =y . 说明:这里运用了2)2(b a ab +≤. 2:添加项
【例2】已知23>x ，求3
22-+=x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，由于322-⨯
x x 不是定值，所以应把x 变凑成23)32(21+-x ,使得13
22)32(21=-⨯-x x 为定值. 【解】由于2
3>x ,所以032>-x ,于是 2
723322)32(21223322)32(21322=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y , 当且仅当322)32(21-=-x x 即25=x 时，2
7min =y . 3:分拆项
【例3】已知2>x ，求2
632-+-=x x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，必须把2
632-+-=x x x y 分拆成两项,再配凑适当的系数,使得其积为定值.
【解】由于2>x ,所以,
3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-⨯-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2
42-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换
【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求y
x 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+⨯≥++=+⨯+=+x
y y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即2
1,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac y
d x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.
【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求z
y x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++⨯++=++ 36492924214=⨯+⨯+⨯+≥y
z z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即2
1,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x . 5:换元
【例6】已知c b a >>,求c
b c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x
y y x =即b c a 2=+时，
c
b c a b a c a w --+--=取到最小值是4. 说明:换元的目的是为了简单化与熟悉化,如果利用整体思想也可以不换元.
【例7】已知1->x ,求8
512+++=x x x y 的最大值. 【解】设t x =+1,则0>t ,713
4213418)1(5)1(2=+≤++=+-+-=
t t t t t y ,当且仅当t t 4=即1,2==x t 时，7
1max =y . 说明:这里如果不换元,则运算不是很方便.
6:利用对称性
【例8】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值.
【分析】由于条件式1=++z y x 与结论式121212+++++z y x 都是关于正数
z y x ,,轮换对称的,故最大值必然是当31=
==z y x 时取到,这时3
5121212=+=+=+z y x ,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式b a ab +≤2得351235)12(2++≤⨯
+x x , 351235)12(2++≤⨯+y y ,3
51235)12(2++≤⨯+z z ,以上三式同向相加得1053)(235
)121212(2=++++≤+++++z y x z y x ,所以化简得
15121212≤+++++z y x ,所以当且仅当31=
==z y x 时121212+++++z y x 取到最大值15.
一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.
7:直接运用化为其它
【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围.
【分析】由于条件式3++=b a ab 含有b a ab +,,它们都在2b a ab +≤
式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.
【解】利用基本不等式b a ab +≤2得323+≥++=ab b a ab ,令ab t =,则得0322≥--t t ,所以0)1)(3(≥+-t t ,由于0>t ,所以3≥t 即9≥ab ,故ab 的取值范围是),9[+∞.
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