1.3空间几何体的表面积与体积(1)

l
rO
S r2 rl r(r l)
2r
圆锥的侧面展开图是扇形
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
2r'
r'O’
2r
l
S (r'2 r 2 r'l rl )
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S (r'2 r 2 r'l rl )
r' x
r xl
B
V V A' ABC ＝ C A'B'C '
V V A'BB 'C ＝ A' B'C 'C
V V V V （3） C A'B'C '与
关系：
A' B'C 'C
C A'B'C ' ＝ A' B'C 'C
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1 ，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
学习新课：
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S
1 2
ah
1 2
ac sin
B
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
bh
2
r S r2
l
S 1 lr n r2
2
360
r
圆心角为n0
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，您知 道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等 于底面面积乘高的 ．1
3
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？ A
D
圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
S
C
B
V 1 (S' S'S S )h
3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
A
1 [Sh (S S' )x] 3
22
S
1
1
SSBC
2
BC
SD
a 2
3a 2
3 a2 4
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
B
DC
S 4 3 a 3a2 2
例2．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相 等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
解：设正方体的棱长和圆柱 的高(母线)长为a，圆柱的底面半径为 r，则
正方体的侧面积为 4a2 ,圆柱的侧面积为 2πra，
x 2r'
r'O’
2r
l
rx r' x r'l
rO
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
r O
r'O’ l
l
rO
O
S (r'2 r 2 r'l rl )
方法一：
D'
C'
设AB = a, AD= b, DD′= c
则长方体ABCD- A′B′C′D′的体积
V长方体 = abc
又SΔ
= A′DD′
1 2
bc
且三棱锥C - A′DD′的高为CD = a
∴V三棱锥C -
= A′DD′
1 3
SΔ
• A′DD′
CD
= 1 abc
6
∴ 剩余部分的体积为：V剩
= =
abc - 1
5
6 abc
abc
6
A'
B'
D A
C B
∴V三棱锥C-A′DD′：V剩 = 1：5
方法二：
长方体可以看成侧棱垂 直于地面的四棱柱
ADD′A′- BCC′B′, 设它的底面 ADD′A′面积为S，高为h，则
V = Sh 而棱锥C -
A′DD′的底面积为1
S,
高为h,
2
∴V棱锥
=
1 3
×
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱） 的体积如何？
幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 总相等，那么这两个几何体的体积相等．
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱） 的体积如何？
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到， 因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱） 应该具有相等的体积．
l
r
O
S r2 rl r(r l)
精讲精练：
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 SD ，BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
四棱锥的侧面积和表面 积.
探究
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手推 一下以改变其形状．
启发思考： 1) 推斜以后体积变化了吗？（几何体所占空间的大 小不变） 2) 推斜前后的两个几何体（前为长方体，后为平行 六面体）还有什么共同之处？（高度没有改变，每页 纸张的顺序和面积也没有改变）
幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 总相等，那么这两个几何体的体积相等．
V柱体= sh
h S
h
S
S
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这
三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什 么关系？
3 2
1 1
3 2
A′
C′ A′
A′
B′
A′
C′
B′
B′
A
CA
C
C
C
思考： B
B
（1） VA' ABC 与 VC A'B'C ' 关系：
V V （2） A'BB 'C 与 A' B'C 'C 关系：
几何体表面积 展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
第一章空间几何体
——柱、锥、台体的表面积和体积
复习引入：
投影
中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物
平行投影 投影线平行
斜投影 不改变原 正投影 物形状
正视图
侧视图
三视图
俯视图
长对正、高平齐、宽相等
根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体
视图
直观图 斜二测画法
可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
1 2
S
•
h
= 1 Sh 6
∴V剩
=
Sh
-
1 6
Sh
=
5 6
Sh
∴V棱锥：V剩 =1：5
D' A'
D A
C' B'
C B
练习：
(1)求下列几何体的体积： ①长、宽、高分别为 3，4，5的长方体； ②底面半径为 3，母线长为 5的圆锥体； ③上、下底面边长分别 为3，5，高为4的正四棱台；
(2)圆锥中过高的中点且与 底面平行的截面把圆锥 分成两部分的体积之比 是：
正棱锥的侧面展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算 它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面积之和．
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
又4a2 = 2πra
∴r = 2 a
π
∴ 正方体的体积V正方体
=
a3 ,圆柱的体积V圆柱
=
πr
2a
=
4 π
a3
∴ V正方体 V圆柱
=
a3 4 a3
=
π 4
π
练习：
(1)圆柱的侧面展开图是边 长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面 积为 (2)正四棱锥的底面正方形 边长为4cm，高和斜高的夹角为 30°，hDS CB
S' S
x2 (h x)2
S'
x
x
S h x
S'h S S'
V 1 h[Sh (S S' )
S' ] 1 [S SS' S' ]h
3
S S' 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh S' 0 V 1 (S' S'S S )h S' S V 1 Sh