第三章水动力学基础1(zhu)
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水力学 第三章 水动力学基础
流线的性质：
1 3
2
2
源流动
1、驻点 2、奇点 3、切点
汇流动
图 流经弯道的流线
绕过机翼剖面的流线
绕叶片的流线
绕突然缩小管道的流线
§3-2 描述液体运动的概念
a.流线不能相交；
b.流线必须是一条光滑、连续的曲线； c.流线的相交只有三种情况： 1)在驻点处（流速为零的点） 2)在奇点处（流速为无穷大） 3)流线相切时
①由于流体质点有无穷多个，每个质点运动规律不同，很难跟踪足够 多质点；②数学上存在难以克服的困难；③实用上，不需要知道每个质点 的运动情况。因此，一般水文工作者在研究波浪运动中使用这一方法。
§3-1 分析液体运动的两种方法
二、欧拉法（流场法、空间点法）
欧拉法是研究被液体所充满的空间中，液 体质点流经各固定空间点时的流动特性。 在直角坐标系中，各运动要素是空间坐标x， y，z和时间变量t的函数。空间点的坐标x，y，z， t称为欧拉变量。 则流速场u可表示为： u=u(x，y，z，t) 设流速u在x、y、z三个坐标轴方向的投影是 Ux,Uy,Uz 则： U Uxi U y j Uz k 流速场可写成：
§3-2 描述液体运动的概念
同理：
ay
du y dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y uz源自u y zduz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
第一项为当地加速度，后三项为迁移加速度。
或：
dQ u1dA1 u2 dA2 常数
（元流的连续性方程）
§3-3 一维恒定总流的连续性方程
总流流量等于元流流量之和，故总流的连续性方 程为：
水力学课件：3第三章 水动力学基础
2
水流总是从水头大处流 向水头小处；
水流总是从单位机械能大 处流向单位机械能小处
2
水力坡度Z2 J——单位长度流程上的水头损失
0
J dhw dH
dL dL
《水力学》
第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
方程的应用条件：
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V22
2g
单单 位位 位压 能能
单水 位头 动损 能失
单单 位位 势总 能机
械
E1 E能2hw
《水力学》
第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
恒定总流的能量方程
z1
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2g
hw
1
Z1 1
0
Yangzhou Univ
V 2 总水头h线w
2g
测压管水头线
全国水文水资源专业进修班
水力学
熊亚南
扬州大学水利与能源动力工程学院
Yangzhou Univ
《水力学》
第三章 水动力学基本原理
§1 描述液体运动的两种方法 §2 欧拉法的若干基本概念 §3 恒定总流的连续性方程 §4 恒定总流的能量方程 §5 能量方程式在水流量测方面的应用
Yangzhou Univ
第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
恒定总流的能量方程
z1
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水流总是从水头大处流 向水头小处；
水流总是从单位机械能大 处流向单位机械能小处
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水力坡度Z2 J——单位长度流程上的水头损失
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J dhw dH
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第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
方程的应用条件：
z1
p1
1V12
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单单 位位 位压 能能
单水 位头 动损 能失
单单 位位 势总 能机
械
E1 E能2hw
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第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
恒定总流的能量方程
z1
p1
1V12
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《水力学》
第三章 水动力学基本原理
§1 描述液体运动的两种方法 §2 欧拉法的若干基本概念 §3 恒定总流的连续性方程 §4 恒定总流的能量方程 §5 能量方程式在水流量测方面的应用
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第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
恒定总流的能量方程
z1
p1
1V12
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第三章 水动力学基础
3.1 描述液体运动的两种方法
① 流体运动一般在固体壁面所限制的空间内进行 ② 流场：流体流动占据的空间称为流场 ③ 水动力学重要任务：研究流场中的运动 ④ 研究液体流动的两种方法： 拉格朗日(grange)法 欧拉(L.Euler)法
3.1.1 拉格朗日法
一、定义： 把流场中的液体看做是由无数连续质点所组成的 质点系，追踪研究每一质点的运动轨迹并加以数 学描述，从而求得整个液体运动规律的方法。 引用固体力学中研究质点和质点系的运动方法。
恒定流动：在dt时段前后所共有的1’-2两断面间的 液体的质量及位置没有改变，各点流速也不变， 因此动能、位能也保持不变。所以，机械能增量 等于液体所占据的新位置2-2’的机械能减去原有位 置1-1’的机械能。 （1）动能增量：
1 2
2 u2 u12 dQ dt ( ) 2g 2g
1 － dQ dt u 2 dQ dt u
上述流速沿程变化情况的分类，不是针对流 动的全体，而是指总流中的某一段。一般来 说，流动的均匀与不均匀、渐变与急变是交 替的出现于总流中。
3.3 恒定总流连续性方程
一、定义： 恒定总流连续性方程：反映断面平均流速和过水断 面面积之间的关系式。 它是质量守恒定律在水力学中的具体表现。 二、推导： 1.基本条件： 从总流中任取一段，如图，其进口过水断面 1-1面积为A1，出口 2 1 过水断面2-2面积 u2 为A2；再从中任取 元流 u1 一束元流，其进 dA A1 dA2 A 1 2 出口面积为dA1及 1 总流 2 dA2，流速u1及u2。
通过相对应的三个速度分量复合求导得到：
du x u x a x dt t (u x du y u y (u x a y dt t a du z u z (u x z dt t u x uy x u y uy x u z uy x u x u x uz ) y z u y u y uz ) y z u z u z uz ) y z
第3章水动力学基础
Q = v1ω1 = v2ω2 = const
(3-15)
——对理想液体(yètǐ)和实际液体(yètǐ)都适用
5) 有源汇情况下的恒定总流的连续性方程(图3-11)
Q1+Q3 = Q2
Q1 - Q3 = Q2
第二十七页，共74页。
例3-1
直径d=100mm的输水管中有一变截面管段 (fig. 3-12)，如测得管内流量Q=10(l/s),变截 面管段最小截面处的断面平均(píngjūn)流 速v0=20.3 m/s,求输水管的断面平均 (píngjūn)流速v及最小截面处的直径d0.
dω； 进口(jìn kǒu)断面压力为P1=pdω； 出口断面压力为P2 =(p+dp)dω； 作用在元流段的重力为dG=γdωds 切力为零
第三十三页，共74页。
2)流线元流段受外力分析： 流线方向的压力(yālì)(P1,P2 ); 重力(α)
3)在流线方向上应用牛顿(niúdùn)第二定律：
第3章水动力学基础(jīchǔ)
2021/10/10
第一页，共74页。
第3章 水动力学基础 (jīchǔ)
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 Euler法的若干(ruògān)基本概念 3.2 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
第二页，共74页。
主要因为(yīn wèi)急变流时加速度不可忽 略。
凸形壁面，p动 p静
凹形壁面，p动 p静
第二十五页，共74页。
3.3 恒定(héngdìng)总流的连续性
方程
1) 恒定总流的特征(tèzhēng): 恒定流+不可压缩性+连续 性的总流
水力学第三章水动力学基础PPT课件
斯托克斯定理
总结词
描述流体在重力场中运动时，流速与密 度的关系。
VS
详细描述
斯托克斯定理指出，在不可压缩、理想流 体中，流体的流速与密度之间存在一定的 关系。具体来说，流速大的地方密度小， 流速小的地方密度大。这个定理对于理解 流体运动的基本规律和解决实际问题具有 重要的意义。
06 水动力学中的流动现象与 模拟
设计、预测和控制等领域。
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感谢您的观看
静水压强
静止液体内部压强的分布规律。
液柱压力计
利用静止液体的压强测量压力的方法。
帕斯卡原理
静止液体中任意封闭曲面所受外力之和为零。
浮力原理
浸没在液体中的物体受到一个向上的浮力， 其大小等于物体所排液体的重量。
03 水流运动的基本方程
连续性方程
总结词
描述水流在流场中连续分布的特性
详细描述
连续性方程是水力学中的基本方程之一，它表达了单位时间内流场中某一流体 的质量守恒原理。对于不可压缩流体，连续性方程可以简化为：单位时间内流 出的流量等于该时间内流体的减少量。
湍流
水流呈现不规则状态，流线曲折、交 叉甚至断裂，流速沿程变化大，有强 烈的脉动现象。
均匀流与非均匀流
均匀流
水流在同一条流线上，速度和方向保持一致，过水断面形状和尺寸沿程保持不变 。
非均匀流
水流在同一条流线上，速度和方向发生变化，过水断面形状和尺寸沿程也发生变 化。
一维、二维和三维流动
一维流动
水流只具有一个方向的流动，如 管道中的水流。一维流动的研究 可以通过建立一维数学模型进行。
水力学第三章水动力学基础ppt课 件
目 录
第三章__水动力学基础
第三章__水动力学基础第三章水动力学基础本章研究液体机械运动的基本规律及其在工程中的初步应用。
根据物理学中的质量守恒定律、牛顿运动定律和动量定理，建立了流体力学的基本方程，为以后章节的研究奠定了理论基础。
液体的机械运动规律也适用于流速远小于音速（约340m/s）的低速运动气体。
因为当气体的运动速度不大于约50m/s时，其密度变化率不超过1%，这种情况下的气体也可认为是不可压缩流体，其运动规律与液体相同。
研究液体的运动规律就是确定描述液体运动状态的物理量，如速度、加速度、压力和剪应力等运动要素随空间和时间的变化规律和关系。
由于实际液体存在粘性，使得水流运动分析十分复杂，所以工程上通常先以忽略粘性的理想液体为研究对象，然后进一步研究实际液体。
在某些工程问题上，也可将实际液体近似地按理想液体估算。
§3-1描述液体运动的两种方法描述液体运动的方法有拉格朗日（grange）法和欧拉（l.euler）法两种。
1．拉格朗日法（lagrangianview）拉格朗日法是以液体运动质点为对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素(kinematicparameter)随时间的变化规律。
每个质点运动状况的总和就构成了整个液体的运动。
所以，这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。
当用拉格朗日方法描述液体的运动时，运动坐标不是自变量。
假设粒子在初始时间t=t0的空间坐标为a、B和C（称为初始坐标），则其在任何时间t的运动坐标x、y和Z 可以表示为确定粒子初始设置和时间变量的函数，即x?x(a,b,c,t)??y?y(a,b,c,t)?z?z(a,b,c,t)??(3-1-1)变量a、B、C和T统称为拉格朗日变量。
显然，对于不同的粒子，起始坐标a、B和C 是不同的。
根据方程式（3-1-1），可以通过描绘粒子运动坐标的时间历程来获得粒子的轨迹。
在直角坐标中，给定质点在x，y，z方向的流速分量ux，uy，uz可通过求相应的运动坐标对时间的一阶偏导数得到，即ux？乌尤兹？十、TYTZT(3-1-2)给定质点在x，y，z方向的加速度分量ax，ay，az，可通过求相应的流速分量对时间的一阶偏导，或求相应的运动坐标对时间的二阶偏导得到，即axayaz2？十、2.TT2.嗯？YTT2.乌兹？Z2.TT用户体验（3-1-3）由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。
第3章 水动力学理论基础(1)课件
第三章 水动力学理论基础目的要求：掌握水动力学的一些基本概念；三大方程的推导和应用。
难点：动量方程的应用。
全部为重点，尤其是能量方程的应用。
质量守恒原理 牛顿第二定律 动量定理 ↓ ↓ ↓连续性方程 能量方程 动量方程§3-1 描述液体运动的两种方法 一、拉格朗日法无论运动、平衡的液体，都是由液体质点组成的。
拉格朗日法的实质就是以液体质点为研究对象。
跟踪它，研究每个液体质点所具有的运动要素（速度、加速度、压强）随时间的变化规律。
质点运动的轨迹线叫迹线。
如果把组成流场的所有质点的运动规律都搞清楚了，即可得到整个流场的运动特性。
以起始时刻的坐标区别质点（不同质点有不同的起始坐标，而每一质点的起始坐标不随时间变化，就好比人的名字）。
某一质点，起始坐标（a 、b 、c 、t ），t 时刻的运动坐标（x 、y 、z ），则x=x (a 、b 、c 、t ) ， y=(a 、b 、c 、t ) ， z=z (a 、b 、c 、t )。
a 、b 、c 、t 统称为拉格朗日变量t x u x ∂∂= ， t y u y ∂∂=， t z u z ∂∂=； 22t x a x ∂∂= ， 22ty a y ∂∂=， 22t za z ∂∂=由于液体质点的运动轨迹非常复杂，除特殊情况外，在水力学中均采用欧拉法。
二、欧拉法欧拉法的实质是研究流场中某些固定空间点上的运动要素随时间的变化规律，而不直接追究给定质点在某时刻的位置及其运动状况。
若某一质点在t 时刻占据的空间坐标为（x ，y ，z ），则u x =u x (x , y, z, t)， u y =u y (x, y, z , t) , u z =u z (x , y, z, t)，p=(x , y, z, t) (x, y, z, t 称为欧拉变量)。
由于某一质点在不同时刻占据不同的空间点，因此空间坐标也是时间t 的函数。
则：dtdz z u dt dy y u dt dx x u t u dt du a x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==χ =z uu y u u x u u t u x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zu u yu u xu u tu a y zy yy xy y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=zuu y u u x u u t u a z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=上面三个式子中，等号右边第一项是速度相对于时间的变化率，称为当地加速度；后三项之和是速度相对于位移的变化率，称为迁移加速度。
3 水动力学基础
' x
1 P1 y 1 o x d1 α
Ry’ Rx’
d2 2 2 P2
P − P cos 60 − R = ρQ(β2v2 cos 60 − β1v1 ) 1 2
' P sin 60 − Ry = ρQ(− β2v2 sin 60 − 0) 2
上式中
P = p1 A = 18000 × × 0.22 = 565N 1 1 4
2 2 v1 − v2 p2 = p1 + ρ = 7.043kPa 2
π
则需通过列1-2断面间的伯努利方程求得 断面间的伯努利方程求得。 而P2= p2 A2 中的 p2 则需通过列 断面间的伯努利方程求得。
2 2 p1 v1 p2 v2 + = + ρg 2g ρg 2g
Q 4Q 其中 v1 = = 2 = 3.18m/ s A πd1 1
p1 1dA11’
z2
压力做功： 压力做功： 势能增量： 势能增量：
p1dA u1dt − p2dA2u2dt = ( p1 − p2 )dQdt 1 z2 gdm − z1gdm = (z2 − z1 )gρdQdt
动能增量 由动能定理，得
2 2 u2 u1 1 2 1 2 u2 dm − u1 dm = 2g − 2g gρdQdt 2 2
取过水断面为渐变流断面，各点的流速接近平行并令 u = ui 则有
∑d K = ∫ ρ2u2dtdA2u2 i − ∫ ρ1u1dtdA1u1 i A2 A1
对于不可压缩流体，密度等于常数。若以断面平均流速 v 代 替真实流速 u ，需引入动量修正系数β。于是根据质点系 ，需引入动量修正系数β 动量定理
1 P1 y 1 o x d1 α
Ry’ Rx’
d2 2 2 P2
P − P cos 60 − R = ρQ(β2v2 cos 60 − β1v1 ) 1 2
' P sin 60 − Ry = ρQ(− β2v2 sin 60 − 0) 2
上式中
P = p1 A = 18000 × × 0.22 = 565N 1 1 4
2 2 v1 − v2 p2 = p1 + ρ = 7.043kPa 2
π
则需通过列1-2断面间的伯努利方程求得 断面间的伯努利方程求得。 而P2= p2 A2 中的 p2 则需通过列 断面间的伯努利方程求得。
2 2 p1 v1 p2 v2 + = + ρg 2g ρg 2g
Q 4Q 其中 v1 = = 2 = 3.18m/ s A πd1 1
p1 1dA11’
z2
压力做功： 压力做功： 势能增量： 势能增量：
p1dA u1dt − p2dA2u2dt = ( p1 − p2 )dQdt 1 z2 gdm − z1gdm = (z2 − z1 )gρdQdt
动能增量 由动能定理，得
2 2 u2 u1 1 2 1 2 u2 dm − u1 dm = 2g − 2g gρdQdt 2 2
取过水断面为渐变流断面，各点的流速接近平行并令 u = ui 则有
∑d K = ∫ ρ2u2dtdA2u2 i − ∫ ρ1u1dtdA1u1 i A2 A1
对于不可压缩流体，密度等于常数。若以断面平均流速 v 代 替真实流速 u ，需引入动量修正系数β。于是根据质点系 ，需引入动量修正系数β 动量定理
第三章 水动力学基础
在方程的推导过程中，两断面是任意选取的。很
容易把这个关系推广到元流的任意断面,即:
p u2 z C
2g
Z — 断面相对于选定基准面的高度，水力学中称为位置
水头，表示单位重量液体的位置势能，简称位能。
p
— 断面压强作用使液体沿测压管所能上升的高度，
水力 学中称压强水头，表示压力作功所能提供的单位能
二、表达式：
设某一质点在某一时刻t0的初始坐标(a,b,c)作为 该质点的标志，则在任一时刻，此质点的迹线 方程可表示为：
x＝x(a,b,c,t) y＝y(a,b,c,t) z＝z(a,b,c,t) 其中，a,b,c,t统称为拉格朗日变量，不同初始值 (a,b,c)表示流场中不同液体质点的初始位置。 三、基本特征：
在t时刻的运动坐标
对同一质点来说，坐标x，y，z不是独立的，而是 时间t的函数，因此，加速度的三个坐标分量需要 通过相对应的三个速度分量复合求导得到：
a
x
a y
dux dt
du y dt
u x t u y
t
(ux (ux
u x x u y
x
uy uy
u x y u y
y
uz uz
2g
意义：理想不可压缩液体恒定元流中，各断面总水 头相等，单位重量的总能量保持不变。
流速水头可用皮托管测定。 皮托管前端管口正对河水来流方向，另一端垂直向上，
Q u1 dA1 u2 dA2
A1
A2
引入断面平均流速，可得：
Q＝υ1A1＝υ2A2＝常数 恒定总流连续性方程
★ 它在形式上与恒定元流连续性方程类似，应注
意的是，以断面平均流速v代替点流速u。
意义：恒定总流连续性方程是一个不涉及任何作用
水力学-第3章 水动力学基础
p x
dx
FP M
p
1 2
p x
dx dydz
FP N
p
1 2
p x
dx
dydz
质量力：x方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即
Fbx Xdxdydz
根据牛顿第二定律，x方向：
p 1 p dxdydz p 1 p dxdydz Xdxdydz dxdydz dux
u1dA1 u2dA2 Q
或
Q1 Q2 或
v1A1 v2 A2
上式是在总流沿程无分流或合流条件下得出的，若总流
沿程流量有变化，则所有流量变化可表示为
Q流入 Q流出
连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式。
问题一： 水由水箱经等直径圆管满管向下流，沿途流速如何变化？
z mgz 单位重量液体所具有的位置势能，或位能； mg 某点到基准面的位置高度，或位置水头；
p h mgh 单位重量液体所具有的压强势能，或压能；
g
mg 该点的测压管高度，或压强水头；
z p 单位重量液体所具有的总势能；
g 该点测压管液面的总高度，或测压管水头；
u 2 1 mu2 单位重量液体所具有的动能；
ux
ux x
uy
ux yBiblioteka uzux zay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
上式为欧拉法描述液体运动中质点加速度的表达式，其中
工程流体力学 第三章 水动力学基础
(1) 渐变流过水断面近似为平面；
(2) 恒定渐变流 过水断面上，动水压强近似 地按静水压强分布。
z p C
取过水断面上任意两相邻流线 间的微小液柱。轴向受力分析：
1） 表面力
液柱上、下底面 的动水压力 pdω与(p+dp)dω
液柱侧面
的动水压力及摩擦力趋于零；
液柱底面的 摩擦力，与液柱垂直。
2） 质量力 自重分力：γdωdn cosα 惯性力：恒定渐变流条件下略去不计。
沿 n 方向：流速、加速度分量可以忽略，故沿 轴向 的各表面力与质量力之代数和等于零。
pd ( p dp)d ddn cos o 因dn cos dz 所以dp dz 0
即z p C
对恒定均匀流，无加速度，惯性力等于零。
z p C
恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布 恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布
第三章 水动力学基础
1 描述液体运动的两种方法 2 欧拉法的若干基本概念 3 恒定总流的连续性方程 4 恒定总流的能量方程 5 恒定总流的动量方程
运动要素：流速、加速度、动水压强等。
研究液体的运动规律，就是要确定各运动要素随时间和 空间的变化规律及其相互间的关系。
按运动要素是否随时间变化，可把液流分为运动要素不随时间 变化的恒定流和随时间变化的非恒定流。
用欧拉法描述液体运动时，运动要素是空间坐标x ,y，z与时间 变量 t 的连续可微函数，变量x, y，z, t 统称为欧拉变量。
各空间点的压强所组成的压强场可表示为：
p p(x, y, z,t)
各空间点的流速所组 成的流速场可表示为：
加速度应是速度 对时间的全导数。
当地加速度：固定点速度随时间的变化（第一项）。 迁移加速度：同一时刻因地点变更形成的加速度（括号内项）。
(2) 恒定渐变流 过水断面上，动水压强近似 地按静水压强分布。
z p C
取过水断面上任意两相邻流线 间的微小液柱。轴向受力分析：
1） 表面力
液柱上、下底面 的动水压力 pdω与(p+dp)dω
液柱侧面
的动水压力及摩擦力趋于零；
液柱底面的 摩擦力，与液柱垂直。
2） 质量力 自重分力：γdωdn cosα 惯性力：恒定渐变流条件下略去不计。
沿 n 方向：流速、加速度分量可以忽略，故沿 轴向 的各表面力与质量力之代数和等于零。
pd ( p dp)d ddn cos o 因dn cos dz 所以dp dz 0
即z p C
对恒定均匀流，无加速度，惯性力等于零。
z p C
恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布 恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布
第三章 水动力学基础
1 描述液体运动的两种方法 2 欧拉法的若干基本概念 3 恒定总流的连续性方程 4 恒定总流的能量方程 5 恒定总流的动量方程
运动要素：流速、加速度、动水压强等。
研究液体的运动规律，就是要确定各运动要素随时间和 空间的变化规律及其相互间的关系。
按运动要素是否随时间变化，可把液流分为运动要素不随时间 变化的恒定流和随时间变化的非恒定流。
用欧拉法描述液体运动时，运动要素是空间坐标x ,y，z与时间 变量 t 的连续可微函数，变量x, y，z, t 统称为欧拉变量。
各空间点的压强所组成的压强场可表示为：
p p(x, y, z,t)
各空间点的流速所组 成的流速场可表示为：
加速度应是速度 对时间的全导数。
当地加速度：固定点速度随时间的变化（第一项）。 迁移加速度：同一时刻因地点变更形成的加速度（括号内项）。
第三章 水动力学理论基础(新)
过水断面积与湿周之 比称为水力半径。
R
5.流量
单位时间内通过某一 过水断面的液体体积， 用Q表示，单位：
m3/s或l/s 。
udt
ω
u
dω
对于元流，dt时段通过断面dω的液体体积为： udtd dQ udtd ud
dt
Q dQ ud
6.断面平均流速
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流线为相互平行的直线？
均匀流
非均匀流
均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的 流线是曲线或者是不相互平行的直线。
问题：1、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？ 2、均匀流的当地加速度为零吗？
均匀流的特性
①均匀流过水断面为平面，且形状、尺寸沿程不变。
②均匀流同一流线上不同点的流速相等，从而各过水断 面上的流速分布相同，断面平均流速相等。
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
物体的运动是绝对的，欧拉法和L法描述同一运 动应该是等价的。即两个场的描述可以相互转 换；转换的方法-自变量的基本公式；在欧拉法 中，如何求质点运动的加速度？
在欧拉法中，如何求质 点运动的加速度？
ux
ux ( x,
y, z, t)
u y u y (x, y, z, t)
怎样描述整个液体的运动规律呢？
一、拉格朗日法
以液体质点为研究对象，跟踪每一个质点， 研究各个质点的运动要素随时间的变化规律。
质点系法
设某一液体质点质在点t0运时动刻占据起始坐标（a，b， z c），在t 时刻 质点的运轨动迹到空间坐标（x，y， z）
M
t
t0
线就叫 迹线
c
z
R
5.流量
单位时间内通过某一 过水断面的液体体积， 用Q表示，单位：
m3/s或l/s 。
udt
ω
u
dω
对于元流，dt时段通过断面dω的液体体积为： udtd dQ udtd ud
dt
Q dQ ud
6.断面平均流速
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流线为相互平行的直线？
均匀流
非均匀流
均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的 流线是曲线或者是不相互平行的直线。
问题：1、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？ 2、均匀流的当地加速度为零吗？
均匀流的特性
①均匀流过水断面为平面，且形状、尺寸沿程不变。
②均匀流同一流线上不同点的流速相等，从而各过水断 面上的流速分布相同，断面平均流速相等。
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
物体的运动是绝对的，欧拉法和L法描述同一运 动应该是等价的。即两个场的描述可以相互转 换；转换的方法-自变量的基本公式；在欧拉法 中，如何求质点运动的加速度？
在欧拉法中，如何求质 点运动的加速度？
ux
ux ( x,
y, z, t)
u y u y (x, y, z, t)
怎样描述整个液体的运动规律呢？
一、拉格朗日法
以液体质点为研究对象，跟踪每一个质点， 研究各个质点的运动要素随时间的变化规律。
质点系法
设某一液体质点质在点t0运时动刻占据起始坐标（a，b， z c），在t 时刻 质点的运轨动迹到空间坐标（x，y， z）
M
t
t0
线就叫 迹线
c
z
第三章水动力学
第四节 恒定流的动量方程
二、恒定流的动量方程的应用
液流有分流或汇流时动量方程可 以推广到任意选取的封闭控制体：
FX = (Q2 2v2 X +Q3 3v3 X Q11v1 X ) 分流： FY = (Q2 2v2Y +Q3 3v3Y Q11v1Y ) F = (Q v +Q v Q v ) 2 2 2Z 3 3 3Z 1 1 1Z Z
第三章 水动力学基础
第二章 水动力学基础
液体运动的规律及应用
运动要素：液体的运动流速和动水压强等 研究方法：理论分析法和实验观测房
第一节 液体运动的基本概念
一、迹线与流线
1、迹线：某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点连成的线 2、流线：液体中假想的线，用来反映流速场内瞬时流速方向的曲线。
第四节 恒定流的动量方程
三、恒定流动量方程计算算例
3-7：
3-8：
通过例题看出，在求解实际液体的恒定流的动力学问题 时，三大方程可以联立求解，但必须考虑其使用条件。
第四节 恒定流的动量方程
三、恒定流动量方程计算算例
3-8：
通过例题看出，在求解实际液体的恒定流的动力学问题 时，三大方程可以联立求解，但必须考虑其使用条件。
微分表示：
dh 'w d p u2 J (z ) dL 2g dL
均匀分布：
h 'w1 2 J dL1 2
Jp dL
d(z+ )
测压管水头坡度：
p
第三节 恒定流的能量方程
三、实际液体元流的能量方程
3.毕托管 流速公式：
u 2 g h
修正后：
u 2 g h
水力学——水动力学
四、实际液体恒定总流能量方程的推导 单位时间通过元流过水断面的全部液体的能量关系为
z1
p1
u12 2g
dQ
z2
p2
u22 2g
dQ hw' dQ
1 z1
p1
u12 2g
u1d1
2
z
2
p2
u2 2
2g
u 2 d 2
Q
hw' dQ
1 (z1
p1
)u1d1
1
u13 2g
§3-2 运动液体的分类
一、恒定流与非恒定流 恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化。 非恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都随时间变化。
二、均匀流与非均匀流 1、均匀流的定义：流线为相互平行的直线。 2、均匀流的特征： （1）过水断面为平面，且形状、尺寸均沿程不变。 （2）同一流线上各点流速相等，各过水断面流速分布相同。
（3）所选取的两个过水断面应符合均匀流或渐变流的条件，
两断面之间的水流可 以不是渐变流。
（4）两断面之间无流量或能量输入、输出。
2、注意事项
（1）计算断面应选在已知参数较多的断面，并使方程含有所求
的未知量。
（2）基准面可以任意选取，但方程两边应选取同一基准面。
（3）方程中的
p
项可以用相对压强，也可以用绝对压强，
dM u1dtd1 u2dtd2 dQdt
dEu=
1 2
dMu22
1 2
dM
u12
dQdt
u22 2g
u2 1
2g
2、重力做功：
dAG dM g ( z1 z2 ) dQdt ( z1 z2 )
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(z
p
)1
C1
dA
dn
p
α z z dz
p (z )2 C2
O
O
在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有 Fn 0
即： pdA ( p dp)dA dAdn cos 0
dp dz 0
积分得：
z p C
cos dz
ds
p u2 d(z ) 0
2g
沿流线积分得： z p u2 c
2g
任意两个断面：
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
Z dZ
0
——不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程式
前进
二、理想液体元流能量方程的意义 u12
2g
z1
p1
u12 2g
恒定流
非恒定流 一元流 二元流 三元流
水库
图示
图示
h
均匀流
B
按流线是否为彼此平行的直线
水库
渐变流
非均匀流
401 恒定流与 非恒定流
402 均匀流
急变流
流线图
均匀流
渐变流 非均匀流
急变流 均匀流 非均匀流 均匀流
均 匀 流
录像403
非均匀流 急变流
渐变流和急变流
五、均匀流、渐变流过水断面的重要特性
均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：
•过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变； •同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上 的流速分布相同，断面平均流速相等； •均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律 与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的 测压管水头为一常数； 推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总 压力的计算方法相同。
前进
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运
动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容： 描述液体运动的两种方法 液体运动的基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定元流的能量方程 实际液体恒定总流的能量方程 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程 恒定总流动量方程式的应用举例 量纲分析法简介
拉格朗日法必须建立质点运动坐标的函数关系式，这在数学处理上 将十分困难，除研究如射流、波浪运动等流动问题外很少采用。
返回
2.欧拉法 ——以考察不同液体质点通过固定的空间 点的运动情况作为基础，综合所有空间点 上的运动情况，构成整个液体的运动。
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究质 点流经空间各固定点的 运动特性
返回
三、流量和断面平均流速
流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积，
常用单位m3/s，以符号Q表示。
dA u
udA dQ
图示
Q dQ udA
Q
A
断面平均流速——是一个想像的流速，如果过水断
面上各点的流速都相等并等于V，此时所通过的流量
与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，
录像302
流线的作法：
在流场中任取一点（如图），绘 出某时刻通过该点的流体质点的流 速矢量u，再画出距1点很近的2点 在同一时刻通过该处的流体质点的 流速矢量u2… …，如此继续下去， 得一折线1234 … …，若各点无限 接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
u1 u2 u3 u4 2 34
图示为一个分叉流动，每支的流量各为Q2和Q3。根 据能量守恒原理，单位时间内，从1—1断面流入的 液体总能量，应等于从2—2及3—3断面流出的总能 量之和再加上两支水流的能量损失。即
1
2 Q2
2
Q1
3
1 节点 3 Q3
Q1 ( z1
p1
) 112 2g
Q2 (z2
p2
)
设在理想液体恒定流中，取一微小流束
2 p+dp
依牛顿第二定律：
Fs
ma s
其中： as
du dt
dA 1
p
Z
一元流时 u u(s) du du ds u du 0 dt ds dt ds
α dG=γdAds
pdA ( p dp)dA dAds cos dAds u du
质量为： 1u1dA1dt
dA1
u1
在dt时间通过dA2的液体质量为 ： 2u2dA2dt
根据质量守恒定律，dt时间内流入微小流束dA1与流出dA2 的液体质量相等： 1u1dA1dt 2u2dA2dt
对不可压缩液体， 1 2 则有 u1dA1 u2dA2
即有：dQ1 dQ2
的变化曲线，它代表总水头或水头损失
沿 流程的分布状况。
测压管水头线是对应
z
p
的变化曲线，它代表压强沿流程度J：指单位长流程的平均水头损失，即
J
dh ds
dH ds
0
• 测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水 头线降落，用测压管测量。
d(z p)
（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力；
（3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所 取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；
（4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加 入或分出。
（5）流程中途没有能量输入或输出。
二、能量方程的扩展
1、分叉恒定流
则该流速V称为断面平均流速。
udA
VA A
返回
A
旋转抛物面
Q udA 即为旋转抛物体的体积 A
断面平均流速V
V A Q 即为柱体的体积
udA
VA A
返回
四、水流的分类
表征液体运动的物理量，如 流速、加速度、动水压强等
t0时刻 t1时刻
水库
按运动要素是否随时间变化 按运动要素随空间坐标的变化
三、毕托管测流速原理 Δh
动能演示
h1
h2
动 压 管
A-A
静
压
管
A2
返回
1
A
四、实际液体恒定流元流的能量方程
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hw
hw ——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2阻力做
功所损失的能量，称为水头损失。
u12 2g
p1
1
hw
u22 2g p2
V 2
hw
2g
测压管水头线
2
水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，1
J dhw dH dL dL
d(z p)
测压管坡度 J p
dL
Z1 1
0
2 Z2
0
二、能量方程几何图示——水头线
水头线：水头（如总水头或测压管水头）沿程的变化曲线。
总水头线是对应 z
p
v 2 2g
积分得： Q1 Q2 也可表达为： V1A1 V2 A2
恒定总流的连续性方程
上式就是不可压缩液体恒定总流的连续性方程，它反映了总 流断面平均流速与过水断面面积成反比，亦即总流任意过水 断面通过的流量相等。
3.3 恒定总流的连续性方程
若有支流：
Q3 Q1
Q2
Q1 Q2 Q3
Q1
Q3
Q2
2
p1
) 112
2g
2g
1,2
Q (z ) (z ) h 0 Q2(3z2
1
流线的性质
a、同一时刻的不同流线，不能相交。 L1
U2
根据流线定义，在交点的液体质点的流速 向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可 L2
U1
能同时有两个速度向量。
b、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
液体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c、流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大， 稀疏的地方流速小）。
Q1 Q3 Q2
3.4 恒定元流的能量方程式
水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的 具体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互 转换，建立水流各运动要素之间的关系。
方程式建立的思路： •理想液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定流微小流束的能量方程式
返回
一、理想液体恒定流微小流束的能量方程式
结束
水力学课程重点
质
量
三
守
大
恒
守
能
恒 定
量 守 恒
律
动
量
守
恒
连
续
性 方 程
恒 定
能 量
总 流
方
三
程
大
动
方
量
程
方
程
3.1 描述液体运动的两种方法
1.拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过程 作为基础，综合所有质点的运动，构 成整个液体的运动。又称为质点系法。
拉格朗日法
跟踪
着眼于运动液体的质点， 跟踪质点描述其运动历 程
2
2 2
2g
Q3 (z3
p3
3 32 2g
)
Q2 h 1, 2
Q3h1,3
Q1 Q2 Q3p1
(z
p
)1
C1
dA
dn
p
α z z dz
p (z )2 C2
O
O
在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有 Fn 0
即： pdA ( p dp)dA dAdn cos 0
dp dz 0
积分得：
z p C
cos dz
ds
p u2 d(z ) 0
2g
沿流线积分得： z p u2 c
2g
任意两个断面：
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
Z dZ
0
——不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程式
前进
二、理想液体元流能量方程的意义 u12
2g
z1
p1
u12 2g
恒定流
非恒定流 一元流 二元流 三元流
水库
图示
图示
h
均匀流
B
按流线是否为彼此平行的直线
水库
渐变流
非均匀流
401 恒定流与 非恒定流
402 均匀流
急变流
流线图
均匀流
渐变流 非均匀流
急变流 均匀流 非均匀流 均匀流
均 匀 流
录像403
非均匀流 急变流
渐变流和急变流
五、均匀流、渐变流过水断面的重要特性
均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：
•过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变； •同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上 的流速分布相同，断面平均流速相等； •均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律 与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的 测压管水头为一常数； 推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总 压力的计算方法相同。
前进
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运
动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容： 描述液体运动的两种方法 液体运动的基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定元流的能量方程 实际液体恒定总流的能量方程 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程 恒定总流动量方程式的应用举例 量纲分析法简介
拉格朗日法必须建立质点运动坐标的函数关系式，这在数学处理上 将十分困难，除研究如射流、波浪运动等流动问题外很少采用。
返回
2.欧拉法 ——以考察不同液体质点通过固定的空间 点的运动情况作为基础，综合所有空间点 上的运动情况，构成整个液体的运动。
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究质 点流经空间各固定点的 运动特性
返回
三、流量和断面平均流速
流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积，
常用单位m3/s，以符号Q表示。
dA u
udA dQ
图示
Q dQ udA
Q
A
断面平均流速——是一个想像的流速，如果过水断
面上各点的流速都相等并等于V，此时所通过的流量
与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，
录像302
流线的作法：
在流场中任取一点（如图），绘 出某时刻通过该点的流体质点的流 速矢量u，再画出距1点很近的2点 在同一时刻通过该处的流体质点的 流速矢量u2… …，如此继续下去， 得一折线1234 … …，若各点无限 接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
u1 u2 u3 u4 2 34
图示为一个分叉流动，每支的流量各为Q2和Q3。根 据能量守恒原理，单位时间内，从1—1断面流入的 液体总能量，应等于从2—2及3—3断面流出的总能 量之和再加上两支水流的能量损失。即
1
2 Q2
2
Q1
3
1 节点 3 Q3
Q1 ( z1
p1
) 112 2g
Q2 (z2
p2
)
设在理想液体恒定流中，取一微小流束
2 p+dp
依牛顿第二定律：
Fs
ma s
其中： as
du dt
dA 1
p
Z
一元流时 u u(s) du du ds u du 0 dt ds dt ds
α dG=γdAds
pdA ( p dp)dA dAds cos dAds u du
质量为： 1u1dA1dt
dA1
u1
在dt时间通过dA2的液体质量为 ： 2u2dA2dt
根据质量守恒定律，dt时间内流入微小流束dA1与流出dA2 的液体质量相等： 1u1dA1dt 2u2dA2dt
对不可压缩液体， 1 2 则有 u1dA1 u2dA2
即有：dQ1 dQ2
的变化曲线，它代表总水头或水头损失
沿 流程的分布状况。
测压管水头线是对应
z
p
的变化曲线，它代表压强沿流程度J：指单位长流程的平均水头损失，即
J
dh ds
dH ds
0
• 测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水 头线降落，用测压管测量。
d(z p)
（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力；
（3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所 取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；
（4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加 入或分出。
（5）流程中途没有能量输入或输出。
二、能量方程的扩展
1、分叉恒定流
则该流速V称为断面平均流速。
udA
VA A
返回
A
旋转抛物面
Q udA 即为旋转抛物体的体积 A
断面平均流速V
V A Q 即为柱体的体积
udA
VA A
返回
四、水流的分类
表征液体运动的物理量，如 流速、加速度、动水压强等
t0时刻 t1时刻
水库
按运动要素是否随时间变化 按运动要素随空间坐标的变化
三、毕托管测流速原理 Δh
动能演示
h1
h2
动 压 管
A-A
静
压
管
A2
返回
1
A
四、实际液体恒定流元流的能量方程
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hw
hw ——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2阻力做
功所损失的能量，称为水头损失。
u12 2g
p1
1
hw
u22 2g p2
V 2
hw
2g
测压管水头线
2
水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，1
J dhw dH dL dL
d(z p)
测压管坡度 J p
dL
Z1 1
0
2 Z2
0
二、能量方程几何图示——水头线
水头线：水头（如总水头或测压管水头）沿程的变化曲线。
总水头线是对应 z
p
v 2 2g
积分得： Q1 Q2 也可表达为： V1A1 V2 A2
恒定总流的连续性方程
上式就是不可压缩液体恒定总流的连续性方程，它反映了总 流断面平均流速与过水断面面积成反比，亦即总流任意过水 断面通过的流量相等。
3.3 恒定总流的连续性方程
若有支流：
Q3 Q1
Q2
Q1 Q2 Q3
Q1
Q3
Q2
2
p1
) 112
2g
2g
1,2
Q (z ) (z ) h 0 Q2(3z2
1
流线的性质
a、同一时刻的不同流线，不能相交。 L1
U2
根据流线定义，在交点的液体质点的流速 向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可 L2
U1
能同时有两个速度向量。
b、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
液体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c、流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大， 稀疏的地方流速小）。
Q1 Q3 Q2
3.4 恒定元流的能量方程式
水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的 具体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互 转换，建立水流各运动要素之间的关系。
方程式建立的思路： •理想液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定流微小流束的能量方程式
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一、理想液体恒定流微小流束的能量方程式
结束
水力学课程重点
质
量
三
守
大
恒
守
能
恒 定
量 守 恒
律
动
量
守
恒
连
续
性 方 程
恒 定
能 量
总 流
方
三
程
大
动
方
量
程
方
程
3.1 描述液体运动的两种方法
1.拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过程 作为基础，综合所有质点的运动，构 成整个液体的运动。又称为质点系法。
拉格朗日法
跟踪
着眼于运动液体的质点， 跟踪质点描述其运动历 程
2
2 2
2g
Q3 (z3
p3
3 32 2g
)
Q2 h 1, 2
Q3h1,3
Q1 Q2 Q3p1