正弦定理和余弦定理专题训练

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高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料

高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料

高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a=c=2, A=30°, 则b=( )A. B.2C.3.D. +1答案:B解析: ∵a=c=2, ∴A=C=30°, ∴B=120°.由余弦定理可得b=2.2.△中, a= , b= , = , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案:B解析: ∵= ,∴<b= <a= ,∴符合条件的三角形有2个.3.(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2-b2= , =2 , 则A=( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案:A解析: 利用正弦定理, =2 可化为c=2 b.又∵a2-b2= ,∴a2-b2= b×2 b=6b2, 即a2=7b2, a= b.在△中, === ,∴A=30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C=120°, c= a, 则( )A. a>bB. a<bC. a=bD. a与b的大小关系不能确定答案:A解析: 由正弦定理, 得= ,∴==>.∴A>30°.∴B=180°-120°-A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案:D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α== .方法二:如图, 过点A作⊥于点D,则=2a, = , ∴= ,∴α=1-22=1-2×=.6.(2010·泉州模拟)△中, = , =1, ∠B=30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵= ,∴=·30°=.∴C=60°或C=120°.当C=60°时, A=90°, S△=×1×= ,当C=120°时, A=30°, S△=×1× 30°= .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b=1, c= , ∠C= , 则a=.答案:1解析: 由正弦定理= , 即= , = .又b<c, ∴B= , ∴A= .∴a=1.8.(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a = , b=2, += , 则角A的大小为.答案:解析: ∵+= ,∴(B+)=1.又0<B<π, ∴B= .由正弦定理, 知= , ∴= .又a<b, ∴A<B, ∴A= .9.(2010·课标全国卷)在△中,D为边上一点,=,∠=120°,=2.若△的面积为3-,则∠=.答案: 60°解析: S△=×2××=3- ,解得=2( -1),∴=-1, =3( -1).在△中, 2=4+( -1)2-2×2×( -1)×120°=6,在△中, 2=4+[2( -1)]2-2×2×2( -1)×60°=24-12 ,∴= ( -1),则∠=== ,∴∠=60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠=45°, = , A.B.C三点共线.(1)求∠的值;(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠=45°,∴∠=45°+60°,∴∠=(45°+60°)=45°60°+45°60°=.(2)在△中, = ,∴=∠×=×=1+.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, =33, = , ∠= , 求. 解: 由∠= >0知B< ,由已知得= , ∠= ,从而∠=(∠-B)=∠-∠=×-×=.由正弦定理得= ,===25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A=+2B.(1)求角A的值;(2)若·=12, a=2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A=+2B= 2B- 2B+2B= ,所以=±.又A为锐角, 所以A= .(2)由·=12, 可得=12.①由(1)知A= , 所以=24.②由余弦定理知a2=c2+b2-2, 将a=2 与①代入, 得c2+b2=52, ③③+②×2, 得(c+b)2=100,所以c+b=10.因此c, b是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根.解此方程并由c>b知c=6, b=4.。

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题

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正弦定理与余弦定理1.已知△ABC 中,a=4,ο30,34==A b ,则B 等于( )A .30° B.30° 或150° C.60° D.60°或120° 2.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3,则角C 的大小为( ) A .75° B.60° C.45° D.30°3.已知ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边,若0cos cos )2(=++C b B c a ,则角B 的大小为( ) A .6πB .3πC .32π D .65π 4.在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2,ac a b 322=-,则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知a=5,c=10,A=30°,则B 等于( )A .105° B.60° C.15° D.105° 或 15° 6.已知ABC ∆中,756,8,cos 96BC AC C ===,则ABC ∆的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .钝角三角形7.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2B C =,2cos 2cos b C c B a -=,则角A 的大小为( ) A .2π B .3π C .4π D .6π 8.在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定 9.在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C =( ) A.14 B.23 C.23- D.14- 10.在ABC ∆中,a b c ,,分别为角A B C ,,所对边,若2cos a b C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰或直角三角形 11.在△ABC 中,cos2=,则△ABC 为( )三角形.A .正B .直角C .等腰直角D .等腰 12.在△ABC 中,A=60°,a=4,b=4,则B 等于( )A .B=45°或135°B .B=135°C .B=45°D .以上答案都不对13.在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=( )A.6πB.3πC.23πD.56π14.设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15.已知在ABC ∆中,2cos 22A b cc+=,则ABC ∆的形状是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形或直角三角形 C .正三角形 D .等腰直角三角 16.已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===,则ABC ∆的面积为( ) A.156 B. 154 C. 152D. 15 17.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A =3π,a =3,b =1,则c =( ) A . 3-1 B .3 C. 2 D. 1 评卷人 得分一、解答题(题型注释)18.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知4A π=,22212b ac -=. (1)求tan C 的值;(2)若ABC ∆的面积为3,求b 的值.19.在△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,已知,(1)求B ;(2)若b=2,△ABC 的周长为2+2,求△ABC 的面积.ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,已知()222332b c a bc +=+ (1)求sinA ; (2)若32a =,△ABC 的面积S =22,且b>c ,求b ,c .22.已知ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.(Ⅰ)求ba的值; (Ⅱ)若17a c ==,,求ABC △的面积.23.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2a =,5c =, (1)求b 的值; (2)求sin C 的值.二、填空题 24.已知在中,,,,则___.25.△ABC 中,若222a b c bc =+-,则A = .26.在中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若,则b=___________.27.在C ∆AB 中,已知,C 4A =,30∠B =o ,则C ∆AB 的面积是 . 28.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设S 为△ABC 的面积,,则C 的大小为___________. 29.在∆ABC ,则这个三角形的形状是参考答案1.D 【解析】试题分析:B b A a sin sin =,2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ;b a <Θ,030=>∴A B , 060=∴B 或0120=B ,选D.考点:正弦定理、解三角形2.B 【解析】试题分析:33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ,所以060=C ,选B.考点:三角形面积公式3.C 【解析】试题分析:由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=,由于A 为三角形内角,所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-,23B π=,选C. 考点:1.正弦定理;2.两角和的正弦公式;3.已知三角函数值求角.4.C 【解析】试题分析:由正弦定理可得,sin 22sin C c c a A a==⇒=,又222237b a ac b a -=⇒=,由余弦定理可得,2222221cos 242a cb a B ac a +--===-,又()0,B π∈,所以120B ︒∠=. 考点:1.正弦定理;2.余弦定理.5.D 【解析】解:=, ∴sinC=•sinA=×=,∵0<C <π,∴∠C=45°或135°, ∴B=105°或15°, 故选D .【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.解题的过程中一定注意有两个解,不要漏解. 6.D 【解析】试题分析:由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=,所以最大角为B 角,因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯,所以B 角为钝角,选D.考点:余弦定理【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 7.A 【解析】试题分析:由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+,2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==,()2222cos 3cos sin C C C =-,213tan ,tan 33C C ==,2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===,故选A.考点:1、正弦定理两角和的正弦公式;2、三角形内角和定理.8.C 【解析】试题分析:由题可根据正弦定理,得a 2+b 2<c 2,∴cos C =2222a b c ab+-<0,则角C 为钝角考点:运用正弦和余弦定理解三角形. 9.D 【解析】试题分析:sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点:正余弦定理解三角形10.C 【解析】试题分析:在给定的边与角的关系式中,可以用余弦定理,得22222a b c a b ab+-=g ,那么化简可知所以 2222=a a b c +-,即 22=b c ,=b c ,所以三角形ABC 是等腰三角形.故选C .考点:余弦定理判断三角形的形状. 11.B 【解析】试题分析:根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式,化简后即可判断出△ABC 的形状. 解:∵cos2=,∴(1+cosB )=,在△ABC 中,由余弦定理得,=,化简得,2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a (a+c ),则c 2=a 2+b 2,∴△ABC 为直角三角形, 故选:B . 12.C 【解析】试题分析:由A 的度数求出sinA 的值,再由a 与b 的值,利用正弦定理求出sinB 的值,由b 小于a ,得到B 小于A ,利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数. 解:∵A=60°,a=4,b=4, ∴由正弦定理=得:sinB===,∵b <a ,∴B <A , 则B=45°. 故选C 13.A 【解析】试题分析:利用正弦定理化简得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB , ∵sinB ≠0,∴sinAcosC+cosAsinC=sin (A+C )=sinB=12, ∵a >b ,∴∠A >∠B ,∴∠B=6π 考点: 14.B 【解析】试题分析:()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=,三角形为直角三角形考点:三角函数基本公式 15.A【解析】试题分析:22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==,选A考点:正弦定理,二倍角的余弦,两角和的正弦16.B【解析】试题分析:2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点:正余弦定理解三角形17.C 【解析】试题分析:由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点:余弦定理解三角形 18.(1)2;(2)3.【解析】试题分析:(1)先运用余弦定理求得b c 322=,进而求得b a 35=,再运用正弦定理求C sin 的值即可获解;(2)利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析:(1)由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a , 即bc c a b 2222=+-,将22212b a c -=代入可得b c 322=,再代入22212b ac -=可得b a 35=, 所以522sin sin ==a c A C ,即52sin =C ,则51cos =C ,所以2tan =C ; (2)因3sin 21=A bc ,故322322212=⨯⨯b ,即3=b . 考点:正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用. 19.(1)B=(2)【解析】解:(1)由正弦定理可得:=,∴tanB=,∵0<B <π, ∴B=;(2)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ,即a 2+c 2﹣ac=4,又b=2,△ABC 的周长为2+2, ∴a+c+b=2+2, 即a+c=2, ∴ac=,∴S △ABC =acsinB=××=.【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.(1)B=.4π(2)21+ 【解析】试题分析:(1)由题为求角,可利用题中的条件B c C b a sin cos +=,可运用正弦定理化边为角, 再联系两角和差公式,可求出角B 。

正弦定理和余弦定理专题试题及答案

正弦定理和余弦定理专题试题及答案

正弦定理和余弦定理专题试题及答案1.在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形2.在△ABC 中,已知b =40,c =20,C =60°,则此三角形的解的情况是( ) A .有一解 B .有两解 C .无解 D .有解但解的个数不确定3.已知△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为ɑ,b ,c ,若ɑ2=b 2+c 2-bc ,bc =4,则△ABC 的面积为( ) A.12 B .1 C.3 D .24.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为ɑ,b ,c ,且bsin A =3ɑcos B .则B =( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.若3a =2b ,则2sin 2B -sin 2Asin 2A的值为( )A .-19B .13C .1D .726.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且满足c sin A =3a cos C ,则sin A +sin B 的最大值是( )A .1B . 2C . 3D .37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11.在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6时,△ABC =的面积为________.12.若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是________.13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15.如图,在△ABC 中,点P 在BC 边上,∠PAC =60°,PC =2,AP +AC =4.(1)求∠ACP ;(2)若△APB 的面积是332,求sin ∠BAP .16.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是ɑ,b ,c ,且b 2=ɑc =ɑ2-c 2+bc. (1)求bsin Bc的值; (2)试判断△ABC 的形状,并说明理由.正弦定理和余弦定理专题试题及答案1.在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形答案:C2.在△ABC 中,已知b =40,c =20,C =60°,则此三角形的解的情况是( ) A .有一解 B .有两解 C .无解 D .有解但解的个数不确定 解析:由正弦定理得b sin B =csin C,∴sin B =bsin Cc=40×3220=3>1.∴角B 不存在,即满足条件的三角形不存在. 答案:C3.已知△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为ɑ,b ,c ,若ɑ2=b 2+c 2-bc ,bc =4,则△ABC 的面积为( ) A.12B .1 C. 3 D .2 解析:∵ɑ2=b 2+c 2-bc ,∴cos A =12,∴A =π3,又bc =4,∴△ABC 的面积为12bcsin A =3,故选C.答案:C4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为ɑ,b ,c ,且bsin A =3ɑcos B .则B =( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析:根据题意结合正弦定理, 得sin Bsin A =3sin Acos B. 因为sin A ≠0,所以sin B =3cos B , 即sin B cos B =tan B =3,所以B =π3. 答案:C5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.若3a =2b ,则2sin 2B -sin 2A sin 2A的值为( )A .-19B .13C .1D .72解析:由正弦定理可得2sin 2B -sin 2A sin 2A =2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2-1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2-1,因为3a =2b ,所以b a =32,所以2sin 2B -sin 2A sin 2A =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322-1=72。

解三角形(正弦定理和余弦定理)专项训练

解三角形(正弦定理和余弦定理)专项训练
【精讲精析】令 , ,则由正弦定理得
且 ,

(其中
当 时, 取最大值为
7.△ABC中,B= 120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为_________
【思路点拨】用余弦定理求得边BC的值,由 求得三角形的面积
【精讲精析】设 ,由余弦定理
,得 ,
解得 ,
8.满足A=45°,a=2,c=的△ABC的个数为________.
即bcsin=,
∴bc=3,①
∵a2=b2+c2-2bccosA,
∴b2+c2=6,②
由①,②得b=c=,
∴△ABC为等边三角形.
12.△ 的三个内角 , , 所对的边分别为 、 、 , .
(I)求 ;(II)若 2= 2+ 2,求 .
【思路点拨】(I)依据正弦定理,先边化角,然后再角化边,即得;
(II)先结合余弦定理和已知条件求出 的表达式,再利用第(I)题的结论进行化简即得.
【精讲精 析】(I)由正弦定理得, ,即
.故 ,
所以
(II)由余弦定理和 ,得 .
由(I)知 ,故 .
可得 ,又 ,故 ,所以 .
13.在 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.
(1)求角C的大小;
(2)求 的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.
【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边,再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的应用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角,如果考虑消边,如果是边的一次常用正弦定理,如果是边的二次常考查余弦定理,在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角,那么是余弦就用余弦定理,而如果是正弦定理必须等次才能使用.
所以AD===25.

(完整版)正弦定理和余弦定理练习题

(完整版)正弦定理和余弦定理练习题

【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题:1. 在∆ABC 中,a b B ===︒232245,,,则A 为( )A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中,若,则sin cos =∠=( ) A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中,a b c bc 222=++,则A 等于( )A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中,||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523,,,则边||AC →等于( ) A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中,b A a B cos cos =,则三角形为( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中,cos cos sin sin A B A B >,则∆ABC 是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根,则三角形的另一边长为( )A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题:9. 在∆ABC 中,a b A B +==︒=︒126045,,,则a =_______,b =________10. 在∆ABC 中,化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中,已知sin :sin :sin ::A B C =654,则cosA =___________12. 在∆ABC 中,A 、B 均为锐角,且cos sin A B >,则∆ABC 是_________三. 解答题:13. 已知在∆ABC 中,∠=︒==A a c 4526,,,解此三角形。

正弦定理、余弦定理专题

正弦定理、余弦定理专题

正弦定理、余弦定理一、选择题1.(优质试题·隆化期中)在△ABC 中,如果sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,那么cos C 等于( )A.23B .-23C .-13D .-142.北京优质试题年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为106米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上,已知国歌长度为50秒,升旗手匀速升旗的速度为( )A.35(米/秒) B.35(米/秒) C.65(米/秒) D.15(米/秒) 3.(优质试题·安庆检测)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2-c 2=3bc ,sin B =23sin C ,则A 等于( ) A.56π B.23π C.π3 D.π64.(优质试题·武汉调研)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b 2=a 2+bc ,A =π6,则角C 等于( ) A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4 5.(优质试题·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a =1,B =2A ,则b 的取值范围为( )A .(2,3)B .(1,3)C .(2,2)D .(0,2)6.(优质试题·东营期中)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,S 表示△ABC 的面积,若a cos B +b cos A =c sin C ,S =14(b 2+c 2-a 2),则B 等于( )A .90°B .60°C .45°D .30°7.(优质试题·山西大学附中期中)已知三个向量m =⎝⎛⎭⎪⎫a ,cos A 2,n =⎝ ⎛⎭⎪⎫b ,cos B 2,p =⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,cos C 2共线,其中a 、b 、c 、A 、B 、C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角,则△ABC 的形状是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形8.已知点O 是△ABC 的外接圆圆心,且AB =3,AC =4.若存在非零实数x ,y ,使得AO →=xAB →+yAC →,且x +2y =1,则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13二、填空题9.△ABC 中,A 、B 、C 是其内角,若sin 2A +sin(A -C )-sin B =0,则△ABC 的形状是__________________.10.(优质试题·惠州二调)在△ABC 中,设角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且∠C =60°,c =3,则a +23cos A sin B=________. 11.(优质试题·佛山期中)如图,一艘船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为________ km.12.(优质试题·吉安期中)在△ABC中,D为BC边上一点,若△ABD 是等边三角形,且AC=43,则△ADC的面积的最大值为________.答案精析1.D [由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =2∶3∶4,可设a =2k ,b =3k ,c =4k (k >0),由余弦定理可得cos C =a 2+b 2-c 22ab =4k 2+9k 2-16k 22·2k ·3k =-14.] 2.A [由条件得△ABD 中,∠DAB =45°,∠ABD =105°,∠ADB =30°,AB =106,由正弦定理得BD =sin ∠DAB sin ∠ADB·AB =优质试题,则在Rt △BCD 中,CD =优质试题×sin 60°=30,所以速度v =3050=35(米/秒),故选A.]3.D [已知sin B =23sin C ,利用正弦定理化简得b =23c ,代入a 2-c 2=3bc ,得a 2-c 2=6c 2,即a =7c ,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =12c 2+c 2-7c 243c2=32. ∵A 为三角形内角,∴A =π6,故选D.] 4.B [在△ABC 中,由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc ,即32=b 2+c 2-a 22bc,所以b 2+c 2-a 2=3bc ,又b 2=a 2+bc ,所以c 2+bc =3bc ,所以c =(3-1)b <b ,a =2-3b ,所以cos C =b 2+a 2-c 22ab =22,所以C =π4.]5.A [∵B =2A ,∴sin B =sin 2A ,∴sin B =2sin A cos A ,∴b =2a cos A ,又∵a =1,∴b =2cos A .∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A <π2,0<B <π2,0<C <π2, 即0<A <π2,0<2A <π2,0<π-A -2A <π2, ∴π6<A <π4,∴22<cos A <32, ∴2<2cos A <3,∴b ∈(2,3).]6.C [由正弦定理可知a cos B +b cos A =2R sin A cos B +2R sin B cos A =2R sin(A +B )=2R sin C =2R sin C ·sin C ,∴sin C =1,C =90°.∴S =12ab =14(b 2+c 2-a 2),解得a =b ,因此B =45°. 故选C.]7.B [∵m =⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,cos A 2与n =⎝⎛⎭⎪⎫b ,cos B 2共线,∴a cos B 2=b cos A 2, 由正弦定理,得sin A cos B 2=sin B cos A 2, ∵sin A =2sin A 2cos A 2,sin B =2sin B 2cos B 2, ∴2sin A 2cos A 2cos B 2=2sin B 2cos B 2cos A 2, 化简,得sin A 2=sin B 2. 又0<A 2<π2,0<B 2<π2,∴A 2=B 2,可得A =B .同理,由n =⎝ ⎛⎭⎪⎫b ,cos B 2与p =⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,cos C 2共线得到B =C ,∴A =B =C ,可得△ABC 是等边三角形.]8.A [设线段AC 的中点为点D ,则直线OD ⊥AC .因为AO →=xAB →+yAC →,所以AO →=xAB →+2yAD →.又x +2y =1,所以点O 、B 、D 三点共线,即点B 在线段AC 的中垂线上,则AB =BC =3.在△ABC 中,由余弦定理,得cos ∠BAC =32+42-322×3×4=23.故选A.]9.等腰或直角三角形解析 因为sin 2A +sin(A -C )-sin B=sin 2A +sin(A -C )-sin(A +C )=2sin A cos A -2sin C cos A=2cos A (sin A -sin C )=0,所以cos A =0或sin A =sin C ,所以A =π2或A =C .故△ABC 为等腰或直角三角形.10.4解析 由正弦定理知a sin A =csin C =2,所以a =2sin A , 代入得原式=2sin A +23cos A sin B =4·sin(A +60°)sin B =4.11.30 2解析 依题意有AB =15×4=60,∠MAB =30°,∠AMB =45°,在△AMB 中,由正弦定理得60sin 45°=BM sin 30°,解得BM =30 2. 12.4 3解析 在△ACD 中,cos ∠ADC =AD 2+DC 2-AC 22AD ·DC =AD 2+DC 2-482AD ·DC=-12, 整理得AD 2+DC 2=48-AD ·DC ≥2AD ·DC ,∴AD ·DC ≤16,当且仅当AD =CD 时等号成立,∴△ADC 的面积S =12AD ·DC ·sin ∠ADC =34AD ·DC ≤4 3.。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

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完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中,a=4,b=43,A=30°,求角B的大小。

解:根据正弦定理,有XXX,即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°,故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33,BC=4,CA=3,求角C的大小。

解:根据面积公式,有33=1/2×4×3×sinC,即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°,故选A。

3.已知三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且(2a+c)cosB+bcosC=0,求角B的大小。

解:根据余弦定理,有c^2=a^2+b^2-2abcosC,即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中,得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0,化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula,得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1,可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2,即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值,当b=0时,不等式显然成立;当b>0时,由于a,b,c均为正数,不等式两边同除以b^4后,得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1],即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2],故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°,故选B。

正弦定理与余弦定理测试题及答案

正弦定理与余弦定理测试题及答案

正弦定理与余弦定理练习题1.已知△ABC中,A:B:C=1:1:4,则a:b:c等于()A.1:1:4 B.1:1:2 C.1:1:D.2:2:2.(2015•浙江)任给△ABC,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式成立的是()A.c2=a2+b2+2abcosC B.c2=a2+b2﹣2abcosC C.c2=a2+b2+2absinC D.c2=a2+b2﹣2absinC3.在三角形ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为()A.B.C.D.4.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于()A.B=45°或135°B.B=135°C.B=45°D.以上答案都不对5.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,,则b的值为()A.B. C. D.6.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsinA﹣acosB=0,且b2=ac,则的值为()A.B.C.2 D.47.△ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,则∠C等于()A.60°B.90°C.120°D.60°或120°8.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若,则sinC=()A.0 B.2 C.1 D.﹣19.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若a=2,b=2,A=60°,则角B等于()DA.45°或135°B.135°C.60°D.45°10.在△ABC中,tan=2sinC,若AB=1,求△ABC周长的取值范围()A.(2,3] B.[1,3] C.(0,2] D.(2,5]11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc﹣a2=0,则=()A.﹣B.C.﹣D.12.在△ABC中,已知C=,b=4,△ABC的面积为,则c=()A.B. C. D.13.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于()A.B.﹣C.D.﹣14.在三角形A BC中,∠C=60°,AC+BC=6,A B=4,则AB边上的高为()A. B.C. D.15.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cosC,则c=()A.2 B.4 C.2D.316.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=45°,a=6,b=,则B的大小为(A )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°17在△ABC中,B=,c=150,b=50,则△ABC为()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形18.在△ABC中,如果a+c=2b,B=30°,△ABC的面积为,那么b等于()A.B.C.D.19.若(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc且sinA=2sinBcosC,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形20.(2015•安徽)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=.21.(2015•广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=.22.(2015•北京)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.23..(2015•重庆)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.24.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,,则∠B=.25.在△ABC中,已知A=45°,b=1,且△ABC仅有一个解,则a的取值范围是.26.已知△ABC的三边a,b,c和其面积S满足S=c2﹣(a﹣b)2,则tanC=.27.设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,且满足S=a2﹣(b﹣c)2,b+c=8,则S的最大值为.28.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若,则角B的值为29(2015•山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值.30.(2015•陕西)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积.31.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC﹣ccosA.(1)求角A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.32.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C所对的边,且a=2csinA.(Ⅰ)确定角C的大小;(Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.33.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosAcosC+1=2sinAsinC.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,,求△ABC的面积.34.△ABC中,角A,B,C所对的边之长依次为a,b,c,且cosA=,5(a2+b2﹣c2)=3ab.(Ⅰ)求cos2C和角B的值;(Ⅱ)若a﹣c=﹣1,求△ABC的面积.35.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知sin(A+)+2cos(B+C)=0,(1)求A的大小;(2)若a=6,求b+c的取值范围.36.在锐角△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长,且满足.(1)求∠B的大小;(2)若b=,△ABC的面积S△ABC=,求a+c的值.37.如图,在△ABC中,D为边AB上一点,DA=DC.已知B=,BC=1.(Ⅰ)若DC=,求角A的大小;(Ⅱ)若△BCD面积为,求边AB的长.答案1-5CBDCA 6-10CDCDA 11-15BCDAC 16-19ABBD286420.221.122.123.624.4525.126.27.28.601201517a a ︒≥=︒︒或或29.解:①因为△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 已知cosB=,sin (A+B )=,ac=2,所以sinB=,sinAcosB+cosAsinB=,所以sinA+cosA=,结合平方关系sin 2A+cos 2A=1, 得27sin 2A ﹣6sinA ﹣16=0,解得sinA=或者sinA=﹣(舍去);②由正弦定理,由①可知sin (A+B )=sinC=,sinA=,所以a=2c ,又ac=2,所以c=1.30.解:(Ⅰ)因为向量=(a ,b )与=(cosA ,sinB )平行,所以asinB ﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB ﹣sinBcosA=0,因为sinB ≠0,所以tanA=,可得A=;(Ⅱ)a=,b=2,由余弦定理可得:a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ,可得7=4+c 2﹣2c ,解得c=3,△ABC 的面积为:=. 31.解:(1)由正弦定理==化简已知的等式得:sinC=sinAsinC ﹣sinCcosA ,∵C 为三角形的内角,∴sinC ≠0,∴sinA ﹣cosA=1,整理得:2sin (A ﹣)=1,即sin (A ﹣)=,∴A ﹣=或A ﹣=,解得:A=或A=π(舍去),则A=; (2)∵a=2,sinA=,cosA=,△ABC 的面积为,∴bcsinA=bc=,即bc=4①;∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得:4=b 2+c 2﹣bc=(b+c )2﹣3bc=(b+c )2﹣12,整理得:b+c=4②, 联立①②解得:b=c=2. 32.解:(I )∵a=2csinA .∴由正弦定理可得sinA , 又sinA ≠0,∴sinC=,∵A 为锐角,∴. (2)∵c=,,且△ABC 的面积为,∴=,化为ab=6,由余弦定理可得:==(a+b )2﹣3ab ,∴a+b=5.33.解:(Ⅰ)由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得:∴2(cosAcosC ﹣sinAsinC )=﹣1,∴,∴,又0<B <π,∴.(Ⅱ)由余弦定理得:,∴,又,,∴,故,∴.34.解:(I )由∵cosA=,0<A <π,∴sinA==,∵5(a 2+b 2﹣c 2)=3ab ,∴cosC==,∵0<C <π,∴sinC==,∴cos2C=2cos 2C ﹣1=,∴cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0<B<π,∴B=.(II)∵=,∴a==c,∵a﹣c=﹣1,∴a=,c=1,∴S=acsinB=××1×=.35.解:(1)由条件结合诱导公式得,sinAcos+cosAsin=2cosA,整理得sinA=cosA,∵cosA≠0,∴tanA=,∵0<A<π,∴A=;(2)由正弦定理得:,∴,,∴==,∵,∴,即6<b+c≤12(当且仅当B=时,等号成立)36.解:(1)由正弦定理:=,得==,∴sinB=,又由B为锐角,得B=;(2)∵S△ABC=acsinB=,sinB=,∴ac=3,根据余弦定理:b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10,∴(a+c)2=a2+c2+2ac=16,则a+c=4.37.解:(1)在△BCD中,B=,BC=1,DC=,由正弦定理得到:,解得,则∠BDC=60°或120°.又由DA=DC,则∠A=30°或60°.(2)由于B=,BC=1,△BCD面积为,则,解得.再由余弦定理得到=,故,又由AB=AD+BD=CD+BD=,故边AB的长为:.。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

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正弦定理、余弦定理综合训练题1. [2016全国卷I ] △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = 5, c = 2, cos A = 2,则 b =() A. .2B. 3 C . 2D . 32 1[解析]D 由余弦定理得5= b 2 + 4-2 X b X 2X 3,解得b = 3或b =- 3(舍去),故选D. n 1B = —, BC 边上的高等于§BC ,贝U sin A =( )D.S 10D ,设BC = 3,则有 AD = BD = 1 , AB = 2,由余弦定理 得AC = \ 5.由正弦定理得 “5= s^A , n sin Asin ’43. [2013新课标全国卷I ]已知锐角厶 A + cos 2A = 0, a = 7, c = 6,贝U b =( A . 101[解析]D 由23cos2A + cos 2A = 0,得25cos2A = 1•因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A =. 51 12在A ABC 中,根据余弦定理,得 49 = b 2 + 36- 12b •即卩b 2—厂b5 545 4. ________________ [2016全国卷n ] △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =5, cos C = ^, a = 1,贝U b= .4 53 12[解析]因为cos A = 5, cos C = 13,且A , C 为三角形的内角,所以sin A = 5, sin C =〔3, sin63 「, a b ~― asin B 21B = si n(A + C)= sin AcosC + cos As in C = 65.又因为 sin A = sin B ,所以 b = sin A =伯. 13—13 = 0,解得 b = 5 或 b =— 5 (舍去).5. [2015 全国卷 I ]已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边,sin 2B = 2sin Asin C. (1)若 a = b ,求 cos B;⑵若B = 90°,且a =〔 2, 求厶ABC 的面积. 解:(1)由题设及正弦定理可得b 2 = 2ac.又a = b ,所以可得b = 2c , a = 2c.2. [2016全国卷川]在厶ABC 中, [解析]D 作AD 丄BC 交BC 于点解得sin A =学=噜ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 23COS 2D . 5⑵由(1)知 b 2= 2ac.因为B = 90°,所以由勾股定理得a 2+ c 2= b 2. 故 a 2 + c 2= 2ac ,得 c = a = 2, 所以△ABC 的面积为1.6. [2015 全国卷n ] △ ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分/ BAC , BD = 2DC. sin / B (1)求跖/C ; ⑵若/ BAC = 60°,求/ B. 解:(1)由正弦定理得AD _ BD AD _ DC sin ZB sin /BAD’ sin ZC sin /CAD 因为AD 平分Z BAC , BD = 2DC ,所以 sin ZB DC 1 sinZC BD 2⑵因为/C = 180°—/BAC + /B),/BAC = 60°,所以、i'3 1sin ZC = sin( ZBAC +/B)= ? cos/B + in ZB.V 3由(1)知 2sinZB = sin/C ,所以 tanZB = 3,即/B = 30°7. [2014新课标全国卷n ]四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB = 1, BC = 3, CD 2.(1)求 C 和 BD ;⑵求四边形ABCD 的面积.解:(1)由题设及余弦定理得 BD 2= BC 2+ CD 2— 2BC CDcos C =13 — 12cos C ,①BD 2= AB 2+ DA 2— 2AB DAcos A由余弦定理可得 cos B =a 2+ c 2— b2ac1 4.DA ==5 + 4cos C .②1 —由①②得 cos C = 2,故 C = 60°,BD =7.⑵四边形ABCD 的面积1 1S = ?AB DA si n A + ?BC CDsi n C1 1/ 1X 2 + 2 x 3X 2 sin 60°=2 38. [2016 山东卷]△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c.已知 b = c , a 2= 2b 2(1 — sin A), 贝U A =(nCG'•b = c , a 2 = 2b 2( 1 — sin A),「.2b 2sin A = b 2+ c 2— a 2= 2bccos A = 2b 2cos A ,「.tanA=1,即 A = 4. 9.[2015广东卷]设厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.若a = 2, c = 2.3, cos A =于且b<c ,则b =( ) A . 3B . 2 .2C . 2D. 3[解析]C 由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bccos A ,所以22 = b 2+ (2\'勺)2— 2x b x 2屈,即卩 b 2— 6b + 8= 0,解得 b = 2 或 b = 4•因为 b<c,所以 b = 2. 10. [2016上海卷]已知△ ABC 的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于32+ 52 — 72 1[解析]利用余弦定理可求得最大边 7所对角的余弦值为2x 3x 5 =—2,所以此角的正弦值为牙•设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=^|,所以R = 于.22冗 b11. ________________________________________________________ [2016 北京卷]在厶 ABC 中,/ A =〒,a = ■. 3c ,则b = _______________________________ .3 c2 n b b[解析]由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A 可得,3c 2= b 2+ c 2— 2bccos 3,整理得 2+ — 2= 0,3 c cnD.?[解析]C解得b= 1或c=—2(舍去).12. [2016浙江卷]在厶ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知b + c = 2acos B. (1)证明:A = 2B ;2⑵若cos B = 3,求cos C 的值.解:⑴证明:由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin Acos B ,故 2s in Acos B = sin B + sin (A + B)= sin B + sin Acos B + cos As in B ,于是 sin B = sin (A — B). 又 A , B € (0, n ),故 O V A — B Vn, 所以 B =n —(A — B)或 B = A — B , 因此A =%(舍去)或A = 2B ,所以A = 2B.=—cos(A + B) = — cos Acos B + sin A sin B =⑵由cos B =cos 2B = 2cos 2B — 1 = — 9,故 cos A =— 9, sin sin cos C。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理(一)●作业导航掌握正弦定理,会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题.一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.已知△ABC 中,a =4,b =43,∠A =30°,则∠B 等于()A .30°B .30°或150°C .60°D .60°或120°2.已知△ABC 中,AB =6,∠A =30°,∠B =120°,则△ABC 的面积为()A .9B .18C .93D .1833.已知△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶3∶2,则A ∶B ∶C 等于()A .1∶2∶3B .2∶3∶1C .1∶3∶2D .3∶1∶24.已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =k ∶(k +1)∶2k (k≠0),则k 的取值范围为()A .(2,+∞)B .(-∞,0)C .(-21,0)D .(21,+∞) 5.在△ABC 中,sin A >sin B 是A >B 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.在△ABC 中,若∠B =30°,AB =23,AC =2,则△ABC 的面积是________.2.在△ABC 中,若b =2c sin B ,则∠C =________.3.设△ABC 的外接圆半径为R ,且已知AB =4,∠C =45°,则R =________.4.已知△ABC 的面积为23,且b =2,c =3,则∠A =________.5.在△ABC 中,∠B =45°,∠C =60°,a =2(3+1),那么△ABC 的面积为________.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)1.在△ABC 中,∠C =60°,BC =a ,AC =b ,a +b =16.(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式.(2)当a 等于多少时,S 有最大值?并求出这个最大值.2.在△ABC 中,已知a 2-a =2(b +c ),a +2b =2c -3,若sin C ∶sin A =4∶13,求a ,b ,c .3.在△ABC 中,求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-.4.△ABC 中,A 、B 、C 成等差数列,b =1,求证:1<a +c ≤2.5.在一个三角形中,若有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于3.参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.D 分析:由正弦定理得,B bA a sin sin =,∴sin B =23sin =aA b ,∴∠B =60°或∠B =120°.2.C 分析:∵∠A =30°,∠B =120°,∴∠C =30°,∴BA =BC =6,∴S △ABC =21×BA ×BC ×sin B =21×6×6×23=93.3.A 分析:由正弦定理得,C cB b A a sin sin sin ==,∴sin A ∶sin B ∶sin C =1∶3∶2=21∶23∶1,∴A ∶B ∶C =30°∶60°∶90°=1∶2∶3.4.D 分析:利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边.5.C 分析:A >B ⇔a >b ⇔2Rsin A >2Rsin B ⇔sin A >sin B .二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.23或3分析:sin C =23230sin 32=︒,于是,∠C =60°或120°,故∠A =90°或30°,由S △ABC =21×AB ×AC ×sin A ,可得S △ABC =23或S △ABC =3.2.30°或150°分析:由b =2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得,∴sin C =21,∴∠C =30°或150°.3.22分析:∵c =2R sin C ,∴R =22sin 2=C c.4.60°或120°分析:∵S △ABC =21bc sin A ,∴23=21×2×3sin A ,∴sin A=23,∴∠A =60°或120°.5.6+23分析:∵B bA a sin sin =,∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b,∴b =4.∴S △ABC =21ab sin C =6+23.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)1.解:(1)∵a +b =16,∴b =16-aS =21ab sin C =21a (16-a )sin60°=43(16a -a 2)=-43(a -8)2+163(0<a <16)(2)由(1)知,当a =8时,S 有最大值163.2.解:∵sin C ∶sin A =4∶13∴c ∶a =4∶13设c =4k ,a =13k ,则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k =133时b <0,故舍去.∴k =1,此时a =13,b =2135-,c =4.3.证明:由正弦定理,知a =2R sin A ,b =2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4.证明:∵A 、B 、C 成等差数列,∴2B =A +C ,又A +B +C =π,∴B =3π,A +C =32π.∵b =1,设△ABC 的外接圆半径为R ,∴b =2R sin 3π∴1=2R ·23,∴3R =1.∴a +c =2R sin A +2R sin C =2R (sin A +sin C )=2R [sin(32π-C )+sin C ]=2R (23cos C +23sin C )=23R (21cos C +23sin C )=23R sin(C +6π)=2sin(C +6π)∵A +C =32π,∴0<C <32π∴6π<C +6π<65π∴21<sin(C +6π)≤1∴1<2sin(C +6π)≤2 ∴1<a +c ≤2.5.证明:在△ABC 中,设C ≥120°,则c 最长,令最短边为a ,由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A +B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0,3π)上是增函数,∴sin(A +B )≥sin2A >0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin ==2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°<A ≤30°∴cos A ≥cos30°=23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习(二)1.在ABC ∆中,已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是()A.15°B.75°C.105°D.75°或15°2.ABC ∆中,bsinA<a<b,则此三角形有()A.一解B.两解C.无解D.不确定3.若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是()A.等边三角形B.有一内角是30°C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形4.在ABC ∆中,已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为()A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5.在ABC ∆中,A>B 是sinA>sinB 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC ∆中,060,6,14B b a ===,则A=7.在ABC ∆ABC ∆中,已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证:b=c 且A=900。

正弦定理与余弦定理练习题(5篇模版)

正弦定理与余弦定理练习题(5篇模版)

正弦定理与余弦定理练习题(5篇模版)第一篇:正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=2,b=6,B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a+c-b)tanB=3ac,则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解B.△ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解C.△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解D.△ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是()()A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则A.85sinB的值为sinC5335()B.458C.D.()6.△ABC中,若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b-c)cosA=acosC,则cosA10.在△ABC中,已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且cosBb=-.cosC2a+c(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.12.在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a+b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B),判断三角形的形状.2213.已知△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S,且2S=(a+b)-c,求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a+b=5,c=7,且4sin(1)求角C的大小;(2)求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇:正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题:1.在∆ABC中,a=23,b=22,B=45︒,则A为()A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中,若=,则∠B=()abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于()B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1,|BC|=2,(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23,4.在∆ABC中,则边|AC|等于()A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中,bcosA=acosB,则三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中,cosAcosB>sinAsinB,则∆ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的另一边长为()A.52B.213C.16 D.4二.填空题:9.在∆ABC中,a+b=12,A=60︒,B=45︒,则a=_______,b=________10.在∆ABC中,化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中,已知sinA:sinB:sinC=654::,则cosA=___________12.在∆ABC中,A、B均为锐角,且cosA>sinB,则∆ABC是_________三.解答题:13.已知在∆ABC中,∠A=45︒,a=2,c=6,解此三角形。

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理测试题一、选择题:1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=() 22226 A.-3 B.3C.-3D.6 32.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若 a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则A=()A.30°B.60°C.120°D.150°3.E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点,则tan ∠ECF =()16233A. 27B. 3C.3D.4.△中,若-lg c ==-lg 2且∈ 0,π,则△ABC4ABC lg a lgsin B B2的形状是 ()A.等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形5.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,假如a、b、c 成等差数列,∠ B=30°,△ ABC的面积为0.5,那么 b 为()A.1+ 3B.3+ 3 C.3+ 3D.2+ 3 36.已知锐角A是△ABC的一个内角,a、b、c是三角形中各内角的对应边,若 sin2-cos2=1,则 ()A A2A.b+c=2a B .b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a7、若ABC的内角A知足sin 2A 2,则 sin A cos A 3A.153 B.153C.5D.5338、假如A1 B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C2的三个内角的正弦值,则A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2 B2C2都是钝角三角形C.A1 B1C1是钝角三角形,A2 B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2 B2C 2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为 a, b, c 设向量ur r ur rp (a c, b) , q (b a, c a) ,若 p // q ,则角C的大小为(A)(B)(C)(D)233 6210、已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍,则顶角A的正切值是()A.3B. 3C.15D.15 28711、ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c2a ,则 cosBA .1B.3C .24 44D.2312、在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=, a= 3 , b=1,3则 c=(A)1(B)2(C)3—1(D)3二、填空题:13 、在ABC中,若sin A:sin B :sin C5:7:8 ,则B的大小是___________.14、在 ABC中,已知a 3 3,=,=°,则=.b 4 A30sinB415、在△ ABC中,已知 BC=12,A=60°, B=45°,则 AC=16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边 BC上的中线 AD的长为.三、解答题:11 17。

高考数学专题复习题:正弦定理和余弦定理

高考数学专题复习题:正弦定理和余弦定理

高考数学专题复习题:正弦定理和余弦定理一、单项选择题(共8小题)1.在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a ,b ,c 是三个连续的自然数,且a b c <<,最大角是最小角的两倍,则cos C =( ) A .0B .112C .18D .342.在锐角ABC V cos cos sin sin A C A B C a c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 2C C +=,则a b +能取到的值有( )A .5B .4C .D .33.在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若cos sin ,a B b A c a +==222sin a b c ab C +−=,则( )A .tan 1C =B .π3A =C .b =D .ABC V 的面积为4.已知点,A F 分别为椭圆22:143x yC +=的左顶点、右焦点,点M 为C 上一点,且OM为AMF ∠的平分线,60AMF ∠=︒,则AFM △的内切圆的半径为( )A B C .12D 5.ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若17,6,cos 5b c B ===,则a =( )A .5B .6C .8D .106.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D −中,14AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A .717B .1417C .1617D .8177.在ABC V 中,1202ACB BC AC ∠=︒=,,D 为ABC V 内一点,AD CD ⊥,120BDC ∠=︒,则tan ACD ∠=( )A.B C D 8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ,圆222:O x y a +=与C 的渐近线在第二象限的交点为P ,若tan FPO ∠C 的离心率为( ) A .2BC .3D 二、多选题(共3小题)9.ABC V 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,则下列说法正确的是( ) A .若A B >,则sin sin A B >B .若ABC V 为钝角三角形,则222a b c +> C .若30,4,3A b a ===,则ABC V 有两解D .若三角形ABC 为斜三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=10.如图,在ABC V 中,2,3,60AB AC BAC ∠===,若O 为ABC V 外接圆的圆心,且(),,AO AB AC λμλμ=+∈R ,则以下结论中正确的是( )A .43AO AB λμ⋅=+ B .92AO AC ⋅= C .ABC V 外接圆的面积为2πD .5233λμ+=11.在ABC V 中,AD AB λ=,BE BC μ=,CF tCA =,,,0t λμ>且1t λμ++=,则( ) A .()DEF ABC S t t S λμλμ=++△△ B .3ABC DEF S S ≥△△CD .λ∃,μ,t三、填空题(共2小题)12.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则2a c +的最小值为________. 13.在ABC V 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若3π4B =,6b =,22a c +=,则ABC V 的面积为________.四、解答题(共5小题)14.在ABC V 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且22cos 0b c a C +−=. (1)求角A .(2)射线AB 绕A 点旋转90交线段BC 于点E ,且1AE =,求ABC V 的面积的最小值.15.在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知()2cos cos 0a c B b C −−=. (1)求B .(2)已知b =122a c +的最大值.16.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()1cos cos cos 02B c B bC a ++=. (1)求角B 的大小.(2)若7,8,b a c a c =+=<,求,a c 的值;求()sin 2A C +的值.17.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,且BD b =.(1)求证:sin sin BD ABC a C ∠=. (2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.8.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()()3a b c a b c +++−=,且ABC V 的(1)求角C .(2)若2AD DB =,求CD 的最小值.参考答案1.C2.B3.C4.D5.A 6.C 7.B 8.C 9.ACD 10.ABD 11.ABCD12.3+13.314.(1)2π3A =(215.(1)π3B = (216.(1)2π3B =(2)35a c =⎧⎨=⎩17.(1)证明:设ABC V 的外接圆半径为R ,由正弦定理得2sin ,2sin R ABC b R C c ∠==,因为2b ac =,BD b =,所以b BD ac ⋅=,由此可得2sin 2sin BD R ABC a R C ⋅∠=⋅,所以sin sin BD ABC a C ∠=(2)71218.(1)2π3C = (2。

正弦定理和余弦定理(强化训练)

正弦定理和余弦定理(强化训练)

正弦定理和余弦定理〔强化训练〕1、△ABC 中,∠A ,∠B 的对边分别为a,b ,且∠A=60°,6a =,4b =,那么满足条件的△ABC 〔 〕A .有一个解B .有两个解C .无解D .不能确定答案:C2、在△ABC 中,假设b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC ,那么此三角形为 〔 〕A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形 答案:A解析:此题是余弦定理的应用①假设sin 2A=sin2B ,那么△ABC 是等腰三角形;②假设sinA=cosB ,那么△ABC 是直角三角形;③假设cosAcosBcosC<0,那么△ABC 是钝角三角形;④假设cos(A -B)cos(B -C)cos(C -A)=1,那么△ABC 是等边三角形. 〕A .①③B .③④C .①④D .②③答案:B解析:正弦定理、余弦定理的应用4、在△ABC 中, 假设A = 60︒, B = 75︒, c = 6 , 那么a = 答案:36解析:正弦定理的应用5、在△ABC 中,BC=3,AB=2,且sin 2(61)sin 5C B =+,A= 答案:120° 6、在∆ABC 中,20a =cm ,28b =cm ,40A =︒,解三角形〔角度精确到01,边长精确到1cm 〕。

解析:根据正弦定理,0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00<B <0180,所以064≈B ,或0116.≈B⑴ 当064≈B 时,00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B , 00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A⑵ 当0116≈B 时,00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A。

正弦与余弦定理练习题及答案

正弦与余弦定理练习题及答案

国庆作业(一)正弦定理和余弦定理练习题一.选择题1.在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D.2 62A3.在△( ) A.4A5.在△( ) A6A7A.32B.34C.32或 3 D.34或328.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c=2,b=6,B=120°,则a等于( )A. 6 B.2 C. 3 D. 2二、填空题9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=3,C=π3,则A=________.10.在△ABC中,已知a=433,b=4,A=30°,则sin B=________.11.在△ABC中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=12,则a+c=________.12.在△ABC中,a=2b cos C,则△ABC的形状为________.13,c=14151617灯塔Asin C 218cos C 2=19.(2009年高考四川卷)在△ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且cos 2A=35,sin B=1010.(1)求A+B的值;(2)若a-b=2-1,求a,b,c的值.20.△ABC中,ab=603,sin B=sin C,△ABC的面积为153,求边b的长.21.已知△ABC的周长为2+1,且sin A+sin B=2sin C.(1)求边AB的长;(2)若△ABC的面积为16sin C,求角C的度数.23.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .(1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π4)的值. 余弦定理练习题1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于( )A 2.在3.在A 4.在=3ac ,则∠B 5.在 )A 6( )A7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC→的值为( )A .2B .-2C .4D .-48.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( )A. 3 B .2 3 C.3或2 3 D .29.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.10.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数.11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________.12.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________.1314..15.16.172cos(A +B )=18(2)若△ABC 19A -π4)20.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.正弦定理1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D .2 6解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin B sin A = 6.2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 6 D.323解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin B sin A =4 6.3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )A<60°,∴B =4.在A C 5.在b =2,则c =A 1.6.在A 角形7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析:选D.AB sin C =AC sin B ,求出sin C =32,∵AB >AC ,∴∠C 有两解,即∠C =60°或120°,∴∠A =90°或30°.再由S △ABC =12AB ·AC sin A 可求面积.8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( ) A. 6 B .2C. 3D. 2解析:选D.由正弦定理得6sin120°=2sin C ,∴sin C =12. 9.在=π3,则A =1011.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________.解析:C =180°-120°-30°=30°,∴a =c ,由a sin A =b sin B 得,a =12×sin30°sin120°=43,∴a +c =8 3.答案:8 312.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________.解析:由正弦定理,得a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B ,代入式子a =2b cos C ,得2R sin A =2·2R ·sin B ·cos C ,所以sin A =2sin B ·cos C ,即sin B ·cos C +cos B ·sin C =2sin B ·cos C ,化简,整理,得sin(B -C )=0.∵0°<B <180°,0°<C <180°,∴-180°<B -C <180°,∴B -C =0°,B =C .答案:等腰三角形13∴12×1415解得b =2 3.答案:2 316.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.解析:∵b sin C =43×12=23且c =2,∴c <b sin C ,∴此三角形无解.答案:017.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?解:在△ABC 中,BC =40×12=20,∠ABC =140°-110°=30°,∠ACB =(180°-140°)+65°=105°,所以∠A =180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理得 =BC ·sin ∠ABC 18=14,sin B sin C A =2π3.由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ,得b =c =a sin B sin A =23×1232=2. 故A =2π3,B =π6,b =c =2.19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.解:(1)∵A 、B 为锐角,sin B =1010,∴cos B =1-sin 2B =31010. 又cos 2A =1-2sin 2A =35,∴sin A =55,cos A =255,20故边b 的长为215.余弦定理1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于( )A .6B .2 6C .3 6D .4 6解析:选A.由余弦定理,得AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B= 42+62-2×4×6×13=6.2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D .2 解析:选B.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos30°=2,3A C 4B =3ac 5( )A C 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度决定解析:选A.设三边长分别为a ,b ,c 且a 2+b 2=c 2.设增加的长度为m ,则c +m >a +m ,c +m >b +m ,又(a +m )2+(b +m )2=a 2+b 2+2(a +b )m +2m 2>c 2+2cm +m 2=(c +m )2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC→的值为( )A .2B .-2C .4D .-4解析:选A.S △ABC =3=12|AB →|·|AC →|·sin A=12×4×1×sin A ,∴sin A =32,又∵△ABC 为锐角三角形,89-33a ,9上的中线AD ∴a ∶b ∶c =(3-1)∶(3+1)∶10.设a =(3-1)k ,b =(3+1)k ,c =10k (k >0),∴c 边最长,即角C 最大.由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12,又C ∈(0°,180°),∴C =120°.11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________.解析:S =12ab sin C ,sin C =32,∴C =60°或120°.∴cos C =±12,又∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C , ∴c 2=21或61,∴c =21或61.答案:21或6112.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________.解析:由正弦定理a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,设a =2k (k >0),则b =3k ,c =4k , 的值为=2×7×5=1935,∴AB →·BC →=|AB →|·|BC→|·cos(π-B ) =7×5×(-1935)=-19.答案:-1915.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,则角C =________. 解析:12ab sin C =S =a 2+b 2-c 24=a 2+b 2-c 22ab ·ab 2 =12ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴tan C =1,∴C =45°.答案:45°16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________.解析:设三边长为k -1,k ,k +1(k ≥2,k ∈N ),172cos(A+B )=18(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数.解:(1)由题意及正弦定理得AB +BC +AC =2+1,BC +AC =2AB ,两式相减,得AB =1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C =16sin C ,得BC ·AC =13,由余弦定理得cos C=AC2+BC2-AB2 2AC·BC=?AC+BC?2-2AC·BC-AB22AC·BC=12,所以C=60°.19.在△ABC中,BC=5,AC=3,sin C=2sin A.(1)求AB的值;(2)求sin(2A-π4)的值.中,由正弦定理AB=BC,20△ABC=2bc,所以c2b=2bc,即c2=b2+c2-a2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,所以b=c,所以a=b=c,因此△ABC为等边三角形.。

正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)

正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题,题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中,a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中,b cos A=a cos B,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x>1),则最大角为°°°°5.在△ABC中,=1,=2,(+)·(+)=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中,已知B=30°,b=50,c=150,那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C,则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c=+(-1) C.(+1)10.在△ABC中,b sin A<a<b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的另一边长为12.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于°°°13.在△ABC中,,则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列,它们的对角分别是A、B、C,则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中,sin A>sin B是A>B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中,b Cos A=a cos B,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中,,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题,题分合计75分)1.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中,= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2,则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4,则sec A= .5.△ABC中,,则三角形为_________.6.在△ABC中,角A、B均为锐角且cos A>sin B,则△ABC是___________.7.在△ABC中,若此三角形有一解,则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中,a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中,a=181,b=209,A=121°14′,此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC为;若a2=b2+c2,则△ABC为;若a2<b2+c2且b2<a2+c2且c2<a2+b2,则△ABC为.12.在△ABC中,sin A=2cos B sin C,则三角形为_____________.13.在△ABC中,BC=3,AB=2,且,A= .14.在△ABC中,B=,C=3,B=30°,则A= .15.在△ABC中,a+b=12,A=60°,B=45°,则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形,则x的范围为.17.在△ABC中,化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数,则三边长为.三、解答题(共24题,题分合计244分)1.已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=,求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中,∠A=45°,a=2,c=,解此三角形.4.在四边形ABCD中,BC=a,DC=2a,四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10,求AB的长.5.在△ABC中,A最大,C最小,且A=2C,A+C=2B,求此三角形三边之比.6.证明:在△ABC中,.(其中R为△ABC的外接圆的半径)7.在△ABC中,最大角A为最小角C的2倍,且三边a、b、c为三个连续整数,求a、b、c的值.8.如下图所示,半圆O的直径MN=2,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时,四边形OACB面积最大?最大面积是多少?9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l,且a+b+c=S,求a.10.根据所给条件,判断△ABC的形状(1)a cos A=b cos B(2)11.△ABC中,a+b=10,而cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C=,求sin B的值.13.已知△ABC中,a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中,c=2,tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°,这个角的两边之比为5∶2,求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中,,试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1,tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值:19.已知△ABC的面积,解此三角形.20.在△ABC中,a=,b=2,c=+1,求A、B、C及S△.21.已知(a2+bc)x2+2=0是关于x的二次方程,其中a、b、c是△ABC的三边,(1)若∠A为钝角,试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根,求∠A的度数.22.在△ABC中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ABC的形状.23.在△ABC中,a>b,C=,且有tan A·tan B=6,试求a、b以及此三角形的面积.24.已知:k是整数,钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c(1)若方程组有实数解,求k的值.(2)对于(1)中的k值,若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题,合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17:C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题,合计75分)1.2(-1) 23. 45°4. 85.等腰三角形6.:钝角三角形7.a=b sin A或b<a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.<x<17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题,合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1,∠C=60°,∠B=75°或b=-1,∠C=120°,∠B=15°4. AB的长为5.:此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时,S四边形OACB最大, 最大值为+29.10(1)△ABC是等腰三角形或直角三角形(2)△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°;C1=90°,C2=30°;c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°,B=45°,C=75°,S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.(1)k=1,2,3 (2)C=45°,B=15°。

(完整版)正弦定理、余弦定理超经典练习题

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正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中,a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中,b cos A=a cos B,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x>1),则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中,=1,=2,(+)·(+)=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中,已知B=30°,b=50,c=150,那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C,则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c=A.10+B.10(-1)C.(+1)D.1010.在△ABC中,b sin A<a<b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中,,则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列,它们的对角分别是A、B、C,则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中,sin A>sin B是A>B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中,b Cos A=a cos B,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中,,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中,= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2,则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4,则sec A= .5.△ABC中,,则三角形为_________.6.在△ABC中,角A、B均为锐角且cos A>sin B,则△ABC是___________.7.在△ABC中,若此三角形有一解,则a、b、A满足的条件为____________________.。

专题24正弦定理和余弦定理(基础训练)(原卷版)

专题24正弦定理和余弦定理(基础训练)(原卷版)

专题24 正弦定理和余弦定理[基础题组练]1.(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =3b ,A -B =π2,则角C =( )A.π12B .π6 C.π4 D .π32.(2020·湖南怀化一模)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,若2S =(a +b )2-c 2,则tan C 的值是( )A.43B .34C .-43D .-343.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .若角A ,B ,C 依次成等差数列,且a =1,b =3,则S △ABC =( ) A. 2B . 3 C.32 D .25.在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边且∠A =60°,若S △ABC =332且2sin B =3sin C ,则△ABC 的周长等于( )A .5+7B .12C .10+7D .5+276.(2020·河北衡水模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且有a =1,3sin A cos C +(3sin C +b )cos A =0,则A =________.7.(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为________.8.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a cos B -c -b 2=0,a 2=72bc ,b >c ,则b c=________. 9.(2020·河南郑州一模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为S ,且满足sinB =b 24S. (1)求sin A sin C ;(2)若4cos A cos C =3,b =15,求△ABC 的周长.10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且a 2+c 2-b 2=ab cos A +a 2cosB .(1)求角B ;(2)若b =27,tan C =32,求△ABC 的面积. [综合题组练]1.(2020·安徽六安模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2a -c b =cos C cos B,b =4,则△ABC 的面积的最大值为( )A .4 3B .2 3C .2D . 3 2.(2020·福建漳州二模)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3a cos A =b cos C +c cos B ,b +c =3,则a 的最小值为( )A .1B . 3C .2D .33.(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos B =13,b =4,S △ABC =42,则△ABC 的周长为________.4.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且(a 2+b 2-c 2)(a cos B +b cos A )=abc .若a +b =2,则c 的取值范围为________.5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b sin A =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6. (1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和sin(2A -B )的值.6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,A =60°.(1)若△ABC 的面积为33,a =13,求b -c ;(2)若△ABC 是锐角三角形,求sin B sin C 的取值范围.。

专题8.2 正弦定理、余弦定理(专题训练卷)(解析版)

专题8.2 正弦定理、余弦定理(专题训练卷)(解析版)

专题8.2正弦定理、余弦定理(专题训练卷)一、单选题 A .30 B .60︒C .30或150︒D .60︒或120︒【答案】C 【解析】由2sin a b A =结合正弦定理,得sin 2sin sin A B A =, 又sin 0A ≠,所以1sin 2B =, 又()0,πB ∈,所以30B =︒或150︒. 故选:C .A .3B .34C .2D .4【答案】D 【解析】设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,AB 边上的高为h ,22121042,60, 3.4c a b b b b b ==∴=+-⨯⨯∴--=∴=,又sin A =,由11232,22h h ⨯⨯=⨯∴= 本题选择D 选项. A .12B .13C .14D .15【答案】A 【解析】sin 3sin CA=, ∴由正弦定理可得:3ca=,即3c a =, 又223b a ac -=,2223b a a ∴-=,可得2b a =,222222431cos 2222a b c a a a C ab a a +-+-∴===⨯,故选:A .A .a=18,b=20,A=120°B .a=60,c=48,B=60°C .a=3,b=6,A=30°D .a=14,b=16,A=45°【答案】D 【解析】A 中,a=18,b=20,故有B >A >120°,这与三角形的内角和相矛盾,故三角形无解.B 中,∵a=60,c=48,B=60°,由余弦定理可得 b=22260a c accos +-︒,故三角形有唯一解.C 中,a=3,b=6,A=30°,由正弦定理可得312= 6sinB ,解得 sinB=1,∴B=90°,故三角形有唯一解.D 中,a=14,b=16,A=45°,由正弦定理可得2=16sinB ,∴sinB=427>sin45°,故B 可能是锐角,也可能是钝角,故三角形有两解. 故选D .A .300mB .3003m?C. D .275m?【答案】A 【解析】∵AD //BC ,∴∠ACB =∠DAC =45°,∴ACAB=,又∠MCA =180°-60°-45°=75°,∠MAC =15°+45°=60°,∴∠AMC =45°, 在AMC 中,sin sin MC AC MAC AMC =∠∠,∴sin45MC ︒==︒,∴sin 300m MN MC MCN =∠=︒=,故选A .A3 B1C2D.【答案】D 【解析】由正弦定理,得2sin sin C A A =,又sin 0A ≠,所以sin 2C =,又C 是锐角,所以3C π=,由正弦定理,得2sin sin sin a b cA B C====, ()2sin sin 2sin sin 3a b A B B B ππ⎡⎤⎛⎫+=+=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos 26B B B π⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭, 当62B ππ+=,即3B π=时,+a b取得最大值所以ABC周长的最大值为. 故选:DA .131785B .161785C .881881D .45【答案】B 【解析】 因为11sin 45sin 822ADC S AD AC DAC DAC ∆=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠=. 所以4sin 5DAC ∠=,3cos 5DAC ∠=, 所以2222cos 17DC AD AC AD AC DAC =+-⋅⋅∠=, 所以17DC =sin 1617sin 85AD DAC ACD DC ⋅∠∠==, 因为ABC ∆是直角三角形, 所以1617cos sin B ACD =∠=, 故选:B.A .)3,⎡+∞⎣ B .()3,+∞C .)2,+∞D .[)2,+∞【答案】B 【解析】 因为22212a b c =+,由余弦定理可得,2222cos a b c bc A =+-, 则222212cos 2b c b c bc A +=+-,可得4cos c b A =, 由正弦定理可得:sin 4sin cos C B A =,可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=, 化为3sin cos sin cos B A A B =,在锐角ABC 中,cos 0A ≠,cos 0B ≠, 则tan 3tan A B =,又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---,由tan 0A >,tan 0C >,可得211tan 03A -<,解得tan A > 故选:B . ABC .3D .2【答案】A 【解析】由()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理,得()()2a c a cb ab +-+=,即222a bc ab +-=,由余弦定理得,222cos 122a b c C ab +-==,∵()0,C π∈,∴3C π=.由于2AD DB =,∴()2212++++3333CD CA AD CA AB CA AC CB CA CB ====+,两边平方,得 ()()2222222214414212112cos 2299999999992b a CD b a ab C b a ab b a ab b a +⎛⎫=++=++=+-≥+- ⎪⎝⎭,当且仅当22b a ==时取等号,即()22142123CD b a ≥+=,∴线段CD长度的最小值为3. 故选:A. A .17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .()9,+∞C .17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .17,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】因为ABC 为锐角三角形,所以过C 作CD AB ⊥于D ,D 在边AB 上,如图:因为:112ABC S AB CD =⋅=△,所以2CD =, 在ADC 中,2224AD AC CD b =-=- 在BDC 中,2224BD BC CD a =--1AD BD AB +==,22441a b --=,(((2222222222224484484148a b a b a b a a ∴+=-+-+=-+-+=-+-+22224249a a =---()240,1a -∈.设()240,1t a =-222229a t t b ∴=-++,2229t t ∴-+在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递增12t =时,()22min 2172292t b t a =-+=+,0t =或1t =时,2222299a t b t =-+=+, 所以2217,92a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭. 故选:D . 二、多选题 A .2 B .3C 10D .4【答案】AD 【解析】由三角形的边长能构成三角形,则有15c <<, 又a b <,所以在ABC 中为钝角的可能为角B 或角C .则249cos 022c B c +-=<⨯⨯或249cos 0223c C +-=<⨯⨯所以2490c +-<或2490c +-<,解得:1c <<5c <<所以选项A 、D 满足. 故选:ADA .BCB .A ∠的最小值为23πC .ABC 的周长的最小值为2+D .ABC 【答案】ABD 【解析】在ABC 中,设角A B C ,,所对的边分别记作a b c ,,,∴1c b ==,∴B C =,又ABC 的外接圆半径[)1,R ∈+∞,由正弦定理得:1122sin sin R B C ==≥,∴10sin sin 2B C <=≤,又∵B 、C 不会同为钝角,故06B C π<=≤,又∵2A B π=-,∴2,3A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,故B 选项对. 由上得:1cos 1,2A ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得:222cos a A =-,∴[)23,4a ∈,∴)a ∈∴BC A 选项对,C 选项错.由上得:sin 0,2A ⎛∈ ⎝⎦,又11sin sin 22ABCSbc A A ==,ABC 的面积的最大值为4,故D 选项对, 故选:ABD.A .ABC 不可能是直角三角形B .ABC 有可能是等边三角形C .当A B =时,ABC 的周长为15D .当3B π=时,ABC 的面积为【解析】由正弦定理得2a c =,对选项A ,若A 直角,则()2222223623=+⇒=+⇒=a b c c c c . 所以存在ABC 是直角三角形,故A 错误.对选项B ,因为2a c =,所以不存在ABC 是等边三角形,故B 错误. 对选项C ,若A B =,则6a b ==,3c =,ABC 的周长为15,故C 正确.对选项D ,2222224361cos 2222+-+-===⨯a c b c c B ac c ,解得23c =,43a =.所以1sin 632S ac B ==,故D 正确. 故选:CDA .△ABC 的外接圆面积是493π; B .b cos C +c cos B =7;C .b +c 可能等于16;D .作A 关于BC 的对称点A ′,则|AA ′|的最大值是3【答案】ABD 【解析】对于A ,设ABC 的外接圆半径为R ,根据正弦定理2sin a R A =,可得73R =,所以ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==,故A 正确; 对于B ,根据正弦定理,利用边化角的方法,结合A B C π++=,可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==,故B 正确.对于C ,22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+- 1314(cos )14sin()223B B B π=+=+14b c ∴+≤,故C 错误.对于D ,设A 到直线BC 的距离为d ,根据面积公式可得11sin 22ad bc A =,即sin bc Ad a=,再根据①中的结论,可得3d =D 正确.三、填空题【答案】4 【解析】1sin 2S bc A ==8bc =,cos 4AB AC bc A ⋅==故答案为:4【解析】由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-,即2342c c =+-,解得1c =,故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.故答案为:21 【解析】∵sin 2sin C A =,∴sin 2sin AB CCB A==为非零常数,故点B 的轨迹是圆. 以线段AC 中点为原点,AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则()30A -,,()3,0C ,设(),B x y ,∵2AB CB ==,221090x y x +-+=,整理得()22516x y -+=,因此,当ABC 面积最大时,AC 边上的高为圆的半径4.此时BC ==,AB =设内切圆的半径为r ,则()1164622r ⨯⨯=⨯,解得1r ==.1 四、双空题【答案】24【解析】取BC 中点E ,由题意:AE BC ⊥, △ABE 中,1cos 4BE ABC AB ∠==,∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=∵2ABC BDC ∠=∠,∴21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=,解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=(舍去). 综上可得,△BCD面积为2,cos BDC ∠=.【答案】33【解析】∵22sin sin cos 1cos 22sin B C A A A =-=,∴22222cos 2==+-bc A a b c a , ∴()2222122233cos 223b c b c bc A bc bc +-+⋅=≥=,当且仅当b c =时不等式两边取等号, ∴当cos A 取得最小值23时,sin A=. 故答案为:375【解析】在ACB △中, 45CAB ∠=︒,2AB =,3BC =, 由正弦定理得:sin sin ABBCACB CAB =∠∠, 所以sin 2sin AB CAB ACB BC ⋅∠∠==, 所以7cos 3∠=ACB 在BDC 中,22DC =,3BC =,由余弦定理得:2222cos BD DC BC BC CD BCD =+-⋅⋅∠,(222232223cos 252ACB π⎛⎫=+-⨯+∠= ⎪⎝⎭,所以5BD =, 故答案为:73;5【答案】45 6365【解析】由2213()1336a b c ab +=+得()2222131336ab b a c ab =+++,整理得()2221310a c b ab +-=, 所以2225cos 213b c C a ab +-==,又()0,C π∈,所以25123sin 1sin 13135C A ⎛⎫=-=>= ⎪⎝⎭,由正弦定理可得,c a >;因为三角形中,大边对大角,所以C A >,因此A 为锐角,所以4cos 5A ==; 又()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+ 354126351351365=⨯+⨯=. 故答案为:45;6365. 五、解答题(1)求B 的大小;(2)若b =,4a c +=,求a ,c 的值. 【答案】(1)3π(2)1,3或3,1. 【解析】分析:(1)利用正弦定理把()cos 2cos b C a c B =-化成sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅,即为()sin 2sin cos B C A B +=⋅,从而解得3B π=. (2)利用余弦定理及4a c +=构建关于,a c 的方程,解出,a c .详解:(1)由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅,∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅.∵B C A +=π-,∴sin 2sin cos A A B =⋅.∵(),0,A B π∈,所以sin 0A ≠,∴1cos 2B =,所以3B π= (2)∵2222cos b a c ac B =+-,即()273a c ac =+-,∴31679ac =-=∴3ac =,又∵4a c +=,∴1a =,3c =或3a =,1c =(1)求B 的大小;(2)若b =,4a c +=,求a ,c 的值. 【答案】(1)3π(2)1,3或3,1. 【解析】(1)由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅,∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅.∵B C A +=π-,∴sin 2sin cos A A B =⋅.∵(),0,A B π∈,所以sin 0A ≠,∴1cos 2B =,所以3B π=(2)∵2222cos b a c ac B =+-,即()273a c ac =+-,∴31679ac =-= ∴3ac =,又∵4a c +=,∴1a =,3c =或3a =,1c =(1)求cos B ;(2)求线段AD 的长.【答案】(16(2)4.【解析】(1)根据余弦定理:222222626236cos 232626AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯(2)因为0B π<<,所以sin 0B >2263sin 1cos 1()3B B =-=-=60,120ADC ADB ∠=∴∠=根据正弦定理得:sin sin ADABB ADB =∠,36sin 3sin 3AB B AD ADB ⋅==∠4=.(1)求A 的大小;(2)若2,3a b ==ABC ∆的面积.【答案】(1) 6A π= (2) 3S =【解析】(1)∵2sin b a B =,∴由正弦定理化简得:sin 2sin sin B A B =,∵sin 0B ≠,∴1sin 2A =,∵a b c <<,∴A 为锐角,则6A π=.(2)∵2a =,b =cos 2A =,∴由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,即241222c c =+-⨯⨯,整理得:2680c c -+=,计算得出:2c =(舍去)或4c =,则111sin 4222S bc A ∆==⨯⨯=(I )求角B 的大小;(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围.【答案】(I )3B π=;(II )32⎤⎥⎝⎦【解析】(I )由2sin b A =结合正弦定理可得:2sin sin ,sin B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形,故3B π=.(II )结合(1)的结论有:12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得:62A ππ<<,2363A πππ<+<,则sin 3A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,13sin 232A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.(1)求角B 的大小;(2)若b =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3B π=;(2. 【解析】 (1)设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理 所以2222222a c ac b R R R R+-=,所以222a c ac b +-=, 即222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==, 因为0B π<<,所以3B π=.(2)因为3B π=,所以2sin sin sin 2a cb A C B ====, 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯=- ⎪⎝⎭cos 2A A ⎛=+⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎭⎝⎭20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,当且仅当3A π=时,262A ππ-=,此时ABC 面积取得最大值4.。

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正弦定理和余弦定理专题训练一、选择题1. 在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,△ABC 的面积为32,则C =( ) A.30°B.45°C.60°D.75° 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若A =2π3,a =2,b =233,则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π63. 在△ABC 中,cos 2B 2=a +c 2c (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则“a >b ”是“cos 2A < cos 2B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A =( ) A.3π4B.π3C.π4D.π6二、填空题6. 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,cos C =-14,3sin A =2sin B ,则c =________.7. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若角A ,B ,C 依次成等差数列,且a =1,b =3,则S △ABC =________. 8. 在△ABC 中,A =2π3,a =3c ,则bc =________. 三、解答题9. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为315,b -c =2,cos A =-14.(1)求a 和sin C 的值; (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π6的值.10.在△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . (1)求sin B sin C;(2)若∠BAC =60°,求∠B .11.已知锐角三角形的边长分别为1,3,x ,则x 的取值范围是( ) A.(8,10) B.(22,10) C.(22,10)D.(10,8)12.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若S △ABC =23,a +b =6,a cos B +b cos Ac=2cos C ,则c =( )A.27B.4C.2 3D.3 313.在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB的取值范围是________.14.设f (x )=sin x cos x -cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4.(1)求f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=0,a =1,求△ABC 面积的最大值.正弦定理和余弦定理专题训练答案一、选择题1. 在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,△ABC 的面积为32,则C =( ) A.30°B.45°C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC =12·AB ·AC ·sin A =32,即12×3×1×sin A =32,∴sin A =1,由A ∈(0°,180°),∴A =90°,∴C =60°.故选C.法二 由正弦定理,得sin B AC =sin C AB ,即12=sin C 3,sin C =32,又C ∈(0°,180°),∴C =60°或C =120°. 当C =120°时,A =30°,S △ABC =34≠32(舍去).而当C =60°时,A =90°, S △ABC =32,符合条件,故C =60°.故选C.答案 C2.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若A =2π3,a =2,b =233,则B 等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析 ∵A =2π3,a =2,b =233,∴由正弦定理a sin A =bsin B可得,sin B =b a sin A =2332×32=12.∵A =2π3,∴B =π6.答案 D4. 在△ABC 中,cos 2B 2=a +c2c (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解析 因为cos 2B 2=a +c2c,所以2cos 2B 2-1=a +c c -1,所以cos B =ac ,所以a 2+c 2-b 22ac =a c ,所以c 2=a 2+b 2.所以△ABC 为直角三角形. 答案 B4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则“a >b ”是“cos 2A < cos 2B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为在△ABC 中,a >b ⇔sin A >sin B ⇔sin 2A >sin 2B ⇔2sin 2A >2sin 2B ⇔1-2sin 2A <1-2sin 2B ⇔cos 2A <cos 2B .所以“a >b ”是“cos 2A <cos 2B ”的充分必要条件. 答案 C5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A =( )A.3π4B.π3C.π4D.π6 解析 在△ABC 中,由b =c ,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =2b 2-a 22b2,又a 2=2b 2(1-sin A ),所以cos A =sin A ,即tan A =1,又知A ∈(0,π),所以A =π4,故选C. 答案 C 二、填空题6. 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,cos C =-14,3sin A =2sin B ,则c =________.解析 由3sin A =2sin B 及正弦定理,得3a =2b ,又a =2,所以b =3,故c 2=a 2+b 2-2ab cos C =4+9-2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=16,所以c =4.答案 49. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若角A ,B ,C 依次成等差数列,且a =1,b =3,则S △ABC =________.解析 因为角A ,B ,C 依次成等差数列,所以B =60°.由正弦定理,得1sin A=3sin 60°,解得sin A =12,因为0°<A <180°,所以A =30°或150°(舍去),此时C =90°,所以S △ABC =12ab =32.答案 3210. 在△ABC 中,A =2π3,a =3c ,则bc =________.解析 在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A , 将A =2π3,a =3c 代入,可得(3c )2=b 2+c 2-2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,整理得2c 2=b 2+bc .∵c ≠0,∴等式两边同时除以c 2,得2=⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2+bc ,可解得b c =1.答案 1 三、解答题9. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为315,b -c =2,cos A =-14.(1)求a 和sin C 的值; (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π6的值. 解 (1)在△ABC 中,由cos A =-14,可得sin A =154.由S △ABC =12bc sin A =315,得bc =24,又由b -c =2,解得b =6,c =4. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,可得a =8. 由a sin A =c sin C ,得sin C =158. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π6=cos 2A ·cos π6-sin 2A ·sin π6 =32(2cos 2A -1)-12×2sin A ·cos A =15-7316.10.在△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . (1)求sin Bsin C; (2)若∠BAC =60°,求∠B . 解 (1)由正弦定理得AD sin B =BD sin ∠BAD ,AD sin C =DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin B sin C =DC BD =12. (2)因为∠C =180°-(∠BAC +∠B ),∠BAC =60°, 所以sin C =sin(∠BAC +∠B )=32cos B +12sin B . 由(1)知2sin B =sin C ,所以tan B =33,即∠B =30°.11. 已知锐角三角形的边长分别为1,3,x ,则x 的取值范围是( ) A.(8,10) B.(22,10) C.(22,10)D.(10,8)解析 因为3>1,所以只需使边长为3及x 的对角都为锐角即可,故⎩⎨⎧12+x 2>32,12+32>x 2,即8<x 2<10.又因为x >0,所以22<x <10. 答案 B12.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若S △ABC =23,a +b =6,a cos B +b cos Ac =2cos C ,则c =( )A.27B.4C.2 3D.3 3解析 ∵a cos B +b cos Ac=2cos C ,由正弦定理,得sin A cos B +cos A sin B =2sin C cos C , ∴sin(A +B )=sin C =2sin C cos C ,由于0<C <π,sin C ≠0,∴cos C =12,∴C =π3.∵S △ABC =23=12ab sin C =34ab ,∴ab =8,又a +b =6,⎩⎨⎧a =2,b =4或⎩⎨⎧a =4,b =2,c 2=a 2+b 2-2ab cos C =4+16-8=12, ∴c =23,故选C. 答案 C13.在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是________.解析 如图所示,延长BA 与CD 相交于点E ,过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ,则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中,∠FCB =30°,CF =BC =2, ∴BF =22+22-2×2×2cos 30°=6- 2.在等腰三角形ECB 中,∠CEB =30°,∠ECB =75°, BE =CE ,BC =2,BE sin 75°=2sin 30°, ∴BE = 212×6+24=6+ 2.∴6-2<AB <6+ 2. 答案 (6-2,6+2) 14.设f (x )=sin x cos x -cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4.(1)求f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=0,a =1,求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )=sin 2x2-1+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π22=sin 2x 2-1-sin 2x 2=sin 2x -12.由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z,可得-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z ;由π2+2k π≤2x ≤3π2+2k π,k ∈Z, 可得π4+k π≤x ≤3π4+k π,k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+k π,π4+k π(k ∈Z);单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4+k π,3π4+k π(k ∈Z). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=sin A -12=0,得sin A =12,由题意知A 为锐角,所以cos A =32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得1+3bc =b 2+c 2≥2bc , 即bc ≤2+3,且当b =c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2+34.所以△ABC 面积的最大值为2+34.。

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