正弦定理和余弦定理专题训练

正弦定理和余弦定理专题训练

一、选择题

1. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为3

2，则C ＝( ) A.30°

B.45°

C.60°

D.75° 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝

2π

3

，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )

A.π3

B.5π6

C.π6或5π6

D.π6

3. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜ cos 2B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π

4

B.π3

C.π4

D.π6

二、填空题

6. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1

4，

3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.

7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________. 8. 在△ABC 中，A ＝2π3

，a ＝3c ，则b

c ＝________. 三、解答题

9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为

315，b －c ＝2，cos A ＝－1

4.

(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2A ＋π6的值.

10.在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求

sin B sin C

；

(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .

11.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x ，则x 的取值范围是( ) A.(8，10) B.(22，10) C.(22，10)

D.(10，8)

12.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos A

c

＝2cos C ，则c ＝( )

A.27

B.4

C.2 3

D.3 3

13.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB

的取值范围是________.

14.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π4.

(1)求f (x )的单调区间；

(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

A 2＝0，a ＝1，

求△ABC 面积的最大值.

正弦定理和余弦定理专题训练答案

一、选择题

1. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为3

2，则C ＝( ) A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

解析 法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝3

2

，

即12×3×1×sin A ＝3

2，∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C.

法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，

sin C ＝

3

2

，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，

S △ABC ＝34≠3

2(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝3

2，符合条件，故C ＝60°.故选C.

答案 C

2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233

，则B 等于( ) A.π3

B.

5π6

C.π6或5π6

D.π6

解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝23

3，

∴由正弦定理a sin A ＝b

sin B

可得，

sin B ＝b a sin A ＝23

32×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π

6.

答案 D

4. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c

2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC

的形状为( )

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形 解析 因为cos 2B 2＝a ＋c

2c

，