2013-2014中国石油大学(华东)概率论与数理统计期末考试
中国石油大学(华东)第五届《概率论与数理统计》竞赛试卷
本页得分
三.计算题（50分，每题10分）
1.已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。
解：设 ‘任取一产品，经检验认为是合格品’
3．本试卷正文共5页，共五道大题，满分100分；
4.必须保持试卷本完整，拆页的作废。
本页满分24分
本页得分
一.填空题（每题3分，共12分）
1.设 是任意两个事件，则
_______0________.
2.设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 __ ____.
3.设随机变量 服从（-2，2）上的均匀分布，则随机变量 的概率密度函数为 .
4.小王忘了朋友家电话号码的最后一位数, 故只能随意拨最后一个号,则他拨三次可拨通朋友家的概率为0.3
二.选择题(每题3分，共12分 ；
（ｃ） ；（ｄ）
2.设连续性随机变量X1与X2相互独立，且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为 与 ，随机变量Y1的概率密度为 = ，随机变量Y2= .则（d）
(a)EY1>EY2，DY1>DY2(b)EY1=EY2，DY1=DY2
(c)EY1=EY2，DY1<DY2(d)EY1= EY2，DY1>DY2
3.离散随机变量 的分布函数为 ，且 ，则 d.
（ａ） ；（ｂ） ；
（ｃ） ；（ｄ） .
4.设随机变量 且 相互独立，根据切比
雪夫不等式有 (d)
（a） .（b） .（c） .（d） .
‘任取一产品确是合格品’
则（1）
(中国石油大学华东)应用统计方法期末考试题(卷)1
1.在某新产品开发试验中需要考虑四个因素A 、B 、C 、D 对产品质量的影响。
根据专业知识和实践经验知道，A 与C 之间存在着交互作用，D 与A 、B 及C 之间的交互作用可以忽略不计。
（1）假设每个因子只取两个水平，试选择适当的正交表安排该实验； （2）指出第2号及第5号试验的实验条件。
解：（1）根据题意，A 与B 、B 与C 之间的交互作用还不能肯定，需要通过试验考察。
这样，需要考察的因子及交互作用为A ，B ，C ，D ，A ×B ，A ×C ，B ×C 。
因此可以选用78(2)L 正交表。
表头设计列入表1-1。
（2）第2号试验的试验条件为1122A B C D ，第5号试验的试验条件为2112A B C D 。
2.设'1(0,1,1)X =，'2(2,0,1)X =，'3(1,2,4)X =，为来自总体X 的一个样本，求X 的协方差矩阵∑、相关矩阵R 的矩估计。
解：333'''123111111111(,,)((021),(102),(114))(1,1,2)333333i i i i i i X x x x =====++++++=∑∑∑µ'311 1011()()( 0(1,0,1)1(1,1,1)1(0,1,2))312112i i i X X X X =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∑=--=--+---+ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1 102101 111000113(0001 1 1012) 12221011 1 10243 0 32⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+-+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭µ1 1-021- 122 012R ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1）操作工之间的差异是否显著； （2）机器之间的差异是否显著； （3）交互影响是否显著（0.05α=）。
概率论与数理统计期末试题与详细解答
《概率论与数理统计》期末试卷一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是_______________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。
3、设X 服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ____。
二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计 4、设nX X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（ ） A 、ini X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=ni iX 1σ D 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
2013~2014年全国自考概率论与数理统计试题及答案要点
全国2013年1月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)五、应用题(10分)全国2013年1月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)答案1、本题考查的是和事件的概率公式，答案为C.2、解：()()(|)1()()P B AB P AB P B AB P AB P AB ⋂===()()()0.50.15(|)0.5()()1()0.7P BA P B P AB P B A P B P A P A --=====- ()()0.15(|)0.3()()()0.5P B AB P AB P AB B P A P B P B ⋂=====()()(|)1()()P A AB P AB P A AB P AB P AB ⋂=== ，故选B.3、解：本题考查的是分布函数的性质。
由()1F +∞=可知，A 、B 不能作为分布函数。
再由分布函数的单调不减性，可知D 不是分布函数。
所以答案为C 。
4、解：选A 。
{||2}{2}{2}1{2}{2}1(2)(2)1(2)1(2)22(2)P X P X P X P X P X >=>+<-=-≤+<-=-Φ+Φ-=-Φ+-Φ=-Φ 5、解：因为(2)0.20.16P Y c ===+，所以0.04c =又(2)10.80.20.02P X c d ==-==++，所以10.020.040.14d =--= ，故选D 。
6、解：若~()X P λ，则()()E X D X λ==，故 D 。
7、解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：1512(1)()()3695276633D X Y D X D Y -+=+=⨯⨯+⨯⨯=+= ，选A8、解：由切比雪夫不等式2(){|()|}1D X P X E X εε-<>-，可得21600{78008200}{|8000|200}10.96200P X P X <<=-<>-= ，选C 。
工程数学试题 13-14-2 A(N)
中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2013 --2014 学年第 二 学期 A 卷 (开卷考试) 考试课程：工程数学 课程编号：1306002 考生姓名：_______________________ 考生学号：______________ 注：计算题保留小数点后四位装 订线一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、当x的更好计算方法为_________。
2、355113作为π（真值为3.14159265）的近似值，其有效数字有______位。
3、3()21f x x x =++， [1,2,3,4,5]f =_________。
4、已知矩阵5347A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A =_________。
5、解方程3210x x --=的Newton 迭代格式为_________。
二、（10分）用三角分解方法求解Ax=b ，其中 3 -1 13-2 5 1,4-1 -2 41A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦装订线三、（15分）已知线性方程组为 12121012817x x x x +=⎧⎨+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式，并取零初值迭代2步； （2）两种迭代格式是否收敛？ 四、（15分）甘油（丙三醇353()C H OH ）是一种液体，可作为制造从肥皂到（爆炸性的）硝化甘油(nitroglycerin)等诸多产品的原料。
甘油的粘度是温度的函数，从下表数据中三次多项式插值估计甘油在22o C 下的粘度。
装订线五、（15分）给定实验实据(,)i i x y ，试求形如bx y ae =的拟合函数。
六、(15分) 用梯形公式与Simpson 公式计算积分0⎰并与精确值1.1477936比较。
装 订线七、（10分）用欧拉法求解1(0)1y x yy'=+-⎧⎨=⎩，取步长1.0=h计算(0.2)y，并与精确解xy e x-=+相比较。
中国石油大学《概率论与数理统计》复习题及答案
A）、f(x)单调不减B）、F(x)dx1C）、F()0D）、Fx()fx()xd
5.（见教材第95到第98页）设随机变量X与Y相互独立，且
1
X~B16,，Y服从于
2
参数为9的泊松分布，则D(X2Y1)（）。
A）、–14B）、–13C）、40D）、41
12．（见教材91页期望的性质）设随机变量X的数学期望存在，则E(E(E(X)))（）。
2
A）、0B）、D(X)C）、E(X)D）、E(X)
2
16.（见教材126页）设X1，X2，⋯，Xn来自正态总体N(,)的样本，则样本均值X的
分布为（）。
2
22
A）、N(,)B）、(,)
NC）、N(0,1)D）、N(n,n)n
17.（见教材125页）设总体X~N(0,0.25)，从总体中取一个容量为6的样本X1,⋯,X6，设
X~B(n,p),且EX3,p1/5,则n.
3x
e,x0
11(见教材P42)连续型随机变量X的概率密度为fx
则
0,x0
．
12.(见教材P11-P12）盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品．现从盒中任取３
只，设３只中所含次品数为X，则PX1．
2.(见教材P73-P74)已知二维随机变量
22
(X,Y)~N(,;,;)，且X与Y相互
24/91/9
六、（第八章假设检验165页，单个正态总体期望的检验）设某次考试的考生成绩服从正态
分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,样本标准差为15分,问
在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过
程.（t(35)2.0301）。
中国石油大学(华东)高等数学习题集(期末题库)
习题一一、填空题1．设,3)1ln()(x x x f -++=则此函数的定义域是___________.2. 极限.23151lim2=+--+→xx xx x ________________. 3. 设f(x)=arcsinx,φ(x)=lnx,则)]([x f φ的定义域是_______________.4. 设(),,10111cos1)(⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=x x x x x f a在1=x 处连续,则a 的值为_______________.5 当x x →0时,f(x)是比g(x)高阶的无穷小,则当x x →0时, 无穷小 f(x)+g(x) 与无穷小g(x)的关系是_______________.6. ().1,0._______________41lim20≠>=-→a a xa x x 7. f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是_____________.8. ()x xx f πsin ln =的一个可去间断点=x ______________. 9. xx x arcsin lim 0→的值等于_______________.10. ()3arctan )(2-=x x f 的定义域是______________.11. 若当()()x x x x γα,,0时→是等价无穷小，()x β是比()x α高阶的 无穷小，则当0x x →时，函数()()()()x x x x βγβα--的极限是___________.12. 设)(x f 的定义域是],2,1[则⎪⎭⎫⎝⎛+11x f 的定义域是_____________. 13. ()1ln 2--=x x x f 的一个无穷间断点=_____________.14． ()24ln )(x x f -=在区间_____________是连续的。
15. ()23+-=x xx f 的定义域是_____________.16. 极限=+∞→xxx x x x lim ___________________17. ()3)(-=x x x f _的定义域是_____________.18. 极限=--+→2223lim 32x x x ____________________.19. ()xx x 613ln lim0+→的值等于_________________. 20. ()3arccos -=x x f 的定义域是__________________21. 设()()f x x x x ==arcsin ,ln ϕ，则()[]ϕf x 的定义域是_____________. 22. 要使函数()f x x xx=+--11在x=0处连续，则须定义f(0)的值为_____________ 23. 极限lim sinn n n x →∞-=221____________________.24． ()()f x x x =+-ln 22的定义域是_________________________. 25．函数y x =lnarcsin 的连续区间为_______________________. 26. xxx 52arctan lim 0→的值等于____________________.27 . lim n nn n →∞++⎛⎝ ⎫⎭⎪213的值等于________________.28. 若()321lim e ax xx =-→，则a=_____________29. =+-→xx x 210)1(lim _________________.选择题1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,21,11)(2x x x x x x f 则1=x 是)(x f 的(A)连续点; (B)可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D)无穷间断点. 答: （）2. 当0x x →时A x f -)(为无穷小是 A x f x x =→)(lim 0的（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 答: （）3. 设f x x x ()sin ,,=-∞<<+∞,则此函数是 (A)奇函数, (B)既不是奇函数也不是偶函数,(C)周期为2π的周期函数 (D) 周期为π的周期函数. 答: （） 4. 极限.cos 22limxxx -→的结果是(A)1 (B)2 (C)2 (D)极限不存在. 答: （ ） 5. 设()f x x x x ()sin ,=++-∞<<+∞112,则此函数是(A)有界函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)周期函数 答:( )6. 函数xx f -=11arctan )(当x →1时的极限值是 (A)π2(B)-π2 (C)0 (D)不存在.答:( )7. 的是时当x x x x sin ,0.2-→(A)高阶无穷小 (B)同价无穷小，但不是等价无穷小(C)低价无穷小 (D)等价无穷 答: ( )8. xx x x 11lim 20-++→等于 （A ）1 （B ）21（C ）2 （D ）0 答: ( )极限[]x x x cos 1cos lim -++∞→的结果是 （A ）无穷大 （B ）0 （C ）21- （D ）不存在，也不是无穷大 答: ( ) 10．设()xx eex f 11321++=，则0=x 是)(x f 的：（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡 间断点 答: ( )11.函数f(x)在点0x 连续是)(lim 0x f x x →存在的（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）即非充分又非必要条件 答: ( )12. ()x ee xf xx sin )(-+=在其定义域 ()+∞∞-,上是（A ）有界函数 （B ）周期函数 （C ）偶函数 （D ）奇函数 答: ( )13. 设()11cot2-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的： （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡 间断点 答: ( ) 14. 极限()x x x x -+∞→2lim的结果是(A) 0; (B) 1/2;(C) 无穷大， （D ）不存在. 答： （ ）15. ()()23sin x x f =在定义域()-∞+∞,上为（A ）周期是3π的函数； （B ）周期是π/3的函数； （C ）周期是2π/3的函数； （D ）不是周期函数. 答： （ ）16. 若当0x x →时()()x x βα,都是无穷小，则当0x x →时， 下列表示式哪一个不一定是无穷小： （A ）()()x x βα+； （B ）()()x x 22βα+；（C ）()()[]x x βα+1ln ； （D ）()()x x 22βα. 答： （ ）17.“数列极限存在”是“数列有界”的（A ）充分必要条件； （B ）充分但非必要条件； （C ）必要但非充分条件；（D ）既非充分条件，也非必要条件。
中国石油大学2012-2013(2) 概率论与随机过程-A期末考试试题及答案
2012—2013学年第二学期《概率论与随机过程》期末试卷答案及评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年6月 29日注意事项：1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效；2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；3．本试卷正文共5页，满分100分；4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。
一.填空题（每空3分，共18分）1. 设事件A 与B 相互独立，已知()0.5,()0.8P A P A B == ，则()P AB = 0.2 .2. 设随机变量X （服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ= 1 .3. 已知随机变量X 的分布列：则： DX = 0.61 .4. 设随机过程2(),0,X t Y t t =>其中Y 是在区间(0,)a 上服从均匀分布的随机变量， 则()X t 的均值函数为 2/3a t ，自相关函数为 4/5a ts .5. 设随机变量X 的方差为1，则根据切比雪夫不等式有估计{2}P X EX -<≥ 3/4 .二.选择题(每题3分，共12分)1. 设X 的概率分布为f x Ax x ()=<<⎧⎨⎩，，其它010，则A = ____D______.(A ) 1 (B ) －1 (C ) 2 (D )21 2. 设X 与Y 相互独立且同分布：{1}{1}1/2P X P Y =-==-=，P X P Y {}{}/====1112，则下列各式中成立的是____A_____.(){}A P X Y ==12(){}B P X Y ==1 (){}/C P X Y +==014 (){}D P XY ==1143. 设X 与Y 独立同分布，记U X Y =-，V X Y =+，则U V 、必然_____C_____.(A )不独立 (B )独立 (C )相关系数为零 (D )相关系数不为零 设随机变量X 和Y 相互独立，且分别服从)2,1(2N 和)1,1(N ，则______C____.(A ) 2/1}1{=≤+Y X P (B ) 2/1}0{=≤+Y X P(C ) 2/1}0{=≤-Y X P (D ) 2/1}1{=≤-Y X P三．计算和综合题（共8个小题70分）1.(6分) 已知()1/3,()1/5,()1/2P A P B A P A B ===，求()P A B . 解：因为 111()()(|)3515P A B P A P B A ==⨯= ……………………….2分所以 1/152()()/(|)1/215P B P A B P A B === ……………………….. 4分1212()()(()+315153P A B P A P B P A B=+-=-= ） ……………………….. 6分 2. (6分)设随机变量~(10,0.5)X B （二项分布），~(1/4)Y e （指数分布）.求(32)E X Y -和22()E X Y -解：由常用分布知5,4EX EY ==； 2.5,16DX DY ==； ……………………….2分所以 (32)1587E X Y -=-=； ……………………….3分22()27.5EX DX EX =+=； ……………………….4分 22()32EY DY EY =+=； ……………………….5分 22()27.532 4.5E X Y -=-=- ……………………….6分3. (8分) 设随机变量X 的概率密度为[1,8],();0,x f x ∈=⎩若其他求（1）X 的分布函数)(x F ；（2）随机变量()Y F X =的分布函数.解: 易见，当1x <时，()F x =0; 当8x ≥时，()F x =1。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %； 第 四 章 不定积分 15 %； 第 五 章 定积分及其应用 26 % . 第 六 章 常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分） 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分） 二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分 ）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=， 故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分） 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分） 所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名A 卷学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
概率论及数理统计期末试卷习题及标准答案.doc
概率论及数理统计期末试卷习题及标准答案.doc概率论与数理统计期末试卷及答案一、填空题：1、一袋中有50 个球，其中20 个红球， 30 个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为3/5。
2、设 P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么P( A U B )2/3。
3、若随机变量X 的概率密度为 f ( x ) Ax 2 , 1 x 1, 那么A=3/2。
4、若二维随机变量（X,Y ）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/，其它区域都是 0，那么P( X2Y 21 )1/2。
25、掷 n 枚骰子，记所得点数之和为X，则 EX = 。
6、若 X， Y， Z 两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则 D(X+Y+Z) = 6 。
7、若随机变量X1 , X 2 ,L , X n相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1) ，那么它们的平方和 X 12 X 22 L X n2 服从的分布是2 ( n) 。
8、设n A是 n 次相互独立的试验中事件A 发生的次数，p是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意的n Ap | } =0 。
0 ,lim {|n n9 、设总体X : N ( , 2 )，其中 2 已知，样本为X 1 , X 2 ,L , X n，设 H 0 :0 ，H 1 :X 0z 。
0 ，则拒绝域为n10、设总体 X 服从区间 [1, a] 上的均匀分布，其中 a 是未知参数。
若有一个来自这个总体的样本 2, , , , , 那么参数 a 的极大似然估计值$2.7 。
a = max{ x1 , x2 ,L , x n }二、选择题1、设10 张奖券只有一张中奖，现有10 个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ）（A）每个人中奖的概率相同；（ B）第一个人比第十个人中奖的概率大；（C）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9 ；（D）每个人是否中奖是相互独立的2、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且X : N (1, 2 ) ，Y : N ( 2 ,2)，则X Y 服从的分布是（ B ）（A）N ( 1 2 , 2 ) ；（B）N ( 1 2 ,2 2 ) ；（C）N ( 1 2 , 2 ) ；（D）N ( 1 2 , 2 2 ) 3、设事件A、 B 互斥，且P ( A) 0 ， P( B ) 0 ，则下列式子成立的是（ D ）（ A）P( A | B )P( A) ；（B）P( B | A)0 ；（ C）P( A | B ) P( B) ；（ D）P( B | A) 0 ；4、设随机变量 X 与 Y 独立同分布， P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2 ，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2 ，则下列成立的是（ A ）（ A）P( X Y ) 1 / 2 ；（ B）P( X Y ) 1 ；（ C）P( X Y 0) 1/ 4 ；（ D）P( XY 1) 1/ 4 ；5、有 10 张奖券，其中8 张 2 元， 2 张 5 元。
概率论与数理统计期末考试试题（答案）
概率论与数理统计期末考试试题（答案）概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A2219002801-课程编号 2219002811课程名称概率论与数理统计 ________________ 学分 J ________第⼀部分基本题⼀、选择题(共6⼩题，每⼩题5分，满分30分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是符合题⽬要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内) (每道选择题选对满分，选错0分)2?假设事件A 与事件B 互为对⽴，则事件A B( )(A)是不可能事件 (B)是可能事件(C) 发⽣的概率为1 (D)是必然事件答：选A ，这是因为对⽴事件的积事件是不可能事件。
3. 已知随机变量X,Y 相互独⽴，且都服从标准正态分布，则 X 2 3 + Y 2服从( ) (A)⾃由度为1的2分布 (B)⾃由度为2的2分布2(C) X ；是2的⽆偏估计(D) 刍⼀⽣⼀⽣是2的⽆偏估计3答：选B ,因为样本均值是总体期望的⽆偏估计，其它三项都不成⽴。
6.随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，贝U X 的数学期望E(X)的值为( )(A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C ,因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。
⼆、填空题(共6⼩题，每⼩题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上)线1. 事件表达式A B 的意思是( ) (A) 事件A 与事件B 同时发⽣ (C)事件B 发⽣但事件A 不发⽣答：选D ,根据A B 的定义可知。
(B) 事件A 发⽣但事件B 不发⽣ (D)事件A 与事件B ⾄少有⼀件发⽣ )封题… 答… 不…内…线…封…密…) (D) X+Y~N(0,3) ⽽ E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0,(C)⾃由度为1的F分布(D)⾃由度为2的F分布答：选B，因为n个相互独⽴的服从标准正态分布的随机变量的平⽅和服从⾃由度为2分布。
4. 已知随机变量X,Y相互独⽴，X~N(2,4),Y~N( 2,1),则((A) X+Y~P ⑷(B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5)答：选C，因为相互独⽴的正态变量相加仍然服从正态分布, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5,所以有X+Y~N(0,5)。
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案第⼀套⼀、判断题（2分?5）1、设A ，B 是两事件，则()A B B A -=U 。
（）2、若随机变量X 的取值个数为⽆限个，则X ⼀定是连续型随机变量。
（）3、 X 与Y 独⽴，则max{,}()()()X Y X Y F z F z F z =。
（）4、若X 与Y 不独⽴，则EY EX XY E ?≠)(。
（）5、若(,)X Y 服从⼆维正态分布，X 与Y 不相关与X 与Y 相互独⽴等价。
（）⼆、选择题（3分?5）1、对于任意两个事件A 和B （）.A 若AB φ=，则,A B ⼀定独⽴ .B 若AB φ≠，则,A B ⼀定独⽴ .C 若AB φ=，则,A B ⼀定不独⽴ .D 若AB φ≠，则,A B 有可能独⽴2、设,X Y 相互独⽴，且(1,2)X N -:，(1,3)Y N :，则2X Y +服从的分布为（）.A (1,8)N .B (1,14)N .C (1,22)N .D (1,40)N3、如果随机变量X 与Y 满⾜()()D X Y D X Y +=-，则下列说法正确的是（）.A X 与Y 相互独⽴ .B X 与Y 不相关.C ()0D Y = .D ()()0D X D Y =《概率与数理统计》⾼教第四版（浙江⼤学、盛骤）期末试卷复习题4、样本12,,,n X X X L 取⾃正态总体(0,1)N ，X ，S 分别为样本均值与样本标准差，则（）.A (0,1)X N : .B 221(1)ni i X n χ=-∑:.C(0,1)N : .D (1)X S t n -:5、在假设检验中，设0H 为原假设，犯第⼀类错误的情况为（）.A 0H 真，拒绝0H .B 0H 不真，接受0H .C 0H 真，接受0H .D 0H 不真，拒绝0H三、填空题（3分?5）1、设,A B 为两个随机事件，已知()13P A B =U ，()19P AB =，则()P B =2、若袋中有5只⽩球和6只⿊球，现从中任取三球，则它们为同⾊的概率是 3、设⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为：601(,)0x x y f x y ≤≤≤?=?，则(1)P X Y +≤=4、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望()E X =5、在总体X 的数学期望µ的两个⽆偏估计123141214X X X ++和12312131X X X ++中，最有效的是精品⽂档四、计算题 1、（10分）甲箱中有a 个红球，b 个⿊球，⼄箱中有a 个⿊球，b 个红球，先从甲箱中随机地取出⼀球放⼊⼄箱。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析
2013 —2014学年第一学期《高等数学(2-1 )》期末考试A卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题，每小题3分，共计1 5分)判断下列命题是否正确？在题后的括号内打V'或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明1•若f (x)在(a , )无界，则Jim f (x) . ( ) ----------- ( 1 分)例如：f (x) xsin x，在(1 , )无界，但lim xsinx . ---------------- ( 2 分)x2.若f (x)在x0点连续，则f (x)在x0点必可导• () ----------- ( 1分)例如：f (x) X ,在x 0点连续，但f (x) x在x 0不可导•------------------------------ ( 2分)3•若lim x n y n 0 ,则lim x n 0或lim y n 0. ( ) ----------- ( 1 分) n n n例如：X n：1, 0,1,0, y n： 0,1, 0,1,有lim X n y n 0，但lim x. , lim y.都不存在. -------------------------------------- (2 n n n分)4.若f (x0) 0，则f (x)在x 0点必取得极值• ( ) ---------------- ( 1分)3 3例如：f (x) x , f (0) 0，但f(x) x在x 0点没有极值• -------------------- ( 2分) 5.若f(x)在［a , b ］有界，则f(x)在［a , b ］必可积•( ) ------------- ( 1分)例如：D(x) ，在［0,1］有界，但D(x)在［0,1 ］不可积•( 2分) 0,当x为无理数•二.(共3小题，每小题7分，共计2 1分)1.指出函数f (x) x cot x的间断点，并判断其类型•1,当x为有理数，x k , k 0, 1, 2,1xcos xk 0,即x 0时，兀心）加曲x叫雋X0为函数f（x） x cotx的第一类可去间断点;1, 2, 时,iim f (x)x k iim xcotx k xcosxiim x k sin x(k 1, 2, ）为函数f(x) cotx 的第二类无穷间断点2 •求极限iimx xo(1x dt解iimx x(1t2) x dt iimxx(1t2)~2 xx ee t dt(3 分)iim x(1(2xx ex )ex2)iimx(1 分)2x x3 •设方程x y y x （x 0, y 0）确定二阶可导函数y y(x) 求竺dx解1 对x. y 仮两边取对数，得丄inyx 丄inx ,yyin xln x等式两边关于x求导, 得：(1 in y)dydx inind2y d dy dx2 dx dx 1-(1 in y) (1xinx)dydx(1 iny)2y(1 In y)2 x(1 In x)2xy(1 In y)3.-(1 分)三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）(2分)x f (x) dx x df(x)x f(x) f (x) dx22 In x In x C. ---------------------------------------3 .求定积分4 (x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx .74(x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx 4 x 3sin x 4dx 4 cos 72x dx ------1 .求不定积分sin xcos 3 x 1 sin 2 xdxsin xcos 3 x解 1 sin 2 xdx sin x(1 sin 2 x) 1 sin 2 xd (sin x)(令 sinxt(1学dt=t 22 •设 Inln(1 t 2)是函数 (ln 2x)f (x)dx 1 . 2 sin x 2ln(1 sin 2 x) C .(2 分)(2 分)(3 分)f （x ）的一个原函数,f (x) dx .2I nxf(x)，In 20 4 cos 7 2x dx -------------------------------------4----（2 分）2 4 cos 72x dx ---------------------------------------------（2 分）（ 令2x t）2 cos 7t dt ----------------------------------------------6!! 7!! .----- （1 分）四•（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1 .已知一个长方形的长I 以2cm/s 的速度增加，宽 w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y ，则 y 2 I 2 W 2 ------------------------------------- （2分）两边关于t 求导，得2y —y 2l dt dy . dl 即 y I w dt dt分）dl d^v : 22-已知 2,3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得dtdt对角线的增加率： 史 3 （ cm/s ）. ------------------------------------------------dtdl dw2w -,dt dtdwdt —（1）------ （2（1分）（2分）22•物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v(t) d x 2ctdtf(x) k4c2t2 4c2t24cx ,a24cxdx = 2cao五.(本题10分)已知f(x) 5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为( ).f (x) 1 笃x4，令f (x) 0得驻点x 2. ---------------------------------------------------------——(1 分)f (x) 豎三，令f (X) 0,得可能拐点的横坐标：x 0. -------- ( 1 分)(1 x )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：f(x)5arcta n xa 1limlim (1)1,xxxxb 1lim [f(X) ^x]lim (5 xx <2f (x)5 arcta n xa 2 limlim (1)1,x xxxb 2lim [f (x)a ?x]lim ( 5 arcta nx)-xx2渐近线为：y x —. ----------------------------------------------------- （ 2 2分）无穷远处的旋转体的体积解:-（4 分）七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle ）中值定理，并用此定理证明:六•（共2小题，每小题 7分，共计14分）1•试求曲线yx.xe 2 (x 0)与x 轴所夹的平面图形绕 x 轴旋转所得到的伸展到对应齐次方程的通解为:C 1 eC ?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 Ax B 代入原方程可得，A 故所要求的通解为yGe 4x C 2ex 11 2 811 8V ° y 2dx° xe xdx ---------------------------------------------(3 分)(x 1)e limx2.求微分方程ylim (x1)e5y 4y 3 2x 的通解•方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根，其中a「a2, a n为常数•罗尔(Rolle)中值定理：设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a) f(b) (a,b) ，使f ( ) 0. --------------------------------------------- ( 3 分)a2 sin 2x a n sin nx令f (x) a-i sin x ，---------------------------2 n-----(2分)在［0,］上连续，在(0,)内可导，且f (x) a1 cosx a2cos2x a n cosnx f (0) f( ) 0,由罗尔中值定理，(0 ,),使得f ( ) a1 cos a2 cos2 a n cos n 0,即方程a i cosx a2 cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根• 一( 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %第——-一早一元函数的导数与微分16 %第二早微分中值定理与导数的应用20 % 第四章不定积分14 % ，则得方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0第五章定积分及其应用第六章常微分方程2014 —2015学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章函数与极限第二章一元函数的导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章常微分方程16 %；16 %；14%；--------------------------------------- (2 分)例：y 3 X 在(0,0)点处有切线X 0，但y 3 X 在X 0处不可导(2 分)3 .设函数f (x)在［a , b ］上连续且下凸，在(a , b )内二阶可导，贝Ux (a,b)有 f (x)0 •(.(共3小题，每小题4分，共计12分)判断下列命题是否正确 ' 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 •11 .极限lim sin 不存在•( (2 分) 证设f(X)1 sin ，取 x n1,2,)lim x n 0,nlim y nn0,但limf (X n ) lim sin 1lim sin2n0 ,n nX n nlimf (y n )lim sin 1lim sin(2n-)1,nny nn2海涅疋理， 1不x 0X(2 分)2 .若曲线y f (X)在(X o , f (X o ))点处存在切线， 则f(X)在X o 点必可导.2n2由4x(2 分)例：f(x) x 4在［2,3］上连续且下凸，但 f (0) 0 .----------------------------------------- (2 分)(共3小题，每小题6分，共计18分) 1.求极限lim ( n 1) sin(n!) 解 sin(n!) 1, ------------------------------------------ 分) 1nim(n n 1)0,(31 lim ( n 1) sin(n !) 0 .n < n (3分)2•求极限limxx0(1 t )e xdtx 4 t xx4 tn (1 t4)e tx dt(1 t 4)e t dt解 lim4lim — 厂 ------------ — ---------------------------- (3xx xx e分)-(3 分)(3 分)arcta n xlimx(1 x 4)e x(4x 3 x 4)e x limx4x 3n~2~nn21 2n 、~22 ).n nn )n -2~n nn 2123 •求极限lim (n解 lim ( nlin 11222n 2三.（共3小题，每小题6分，共计18分）11 e‘1 •求函数f x -的间断点并判断其类型1 2e x解x 0 是f(x) 的间断点（3分）又lim f (x)11 e'1f(x)11 e'lim 1 ，lim lim 1 1，x 0 x 0 2 x 0 x 01 2e x 1 2e xx 0 是 f (x) 的跳跃间断点e x2 1设f(x) x0,f (x).0时, f (x)x2‘e 2x xx2(e x 1)2 xx22e xx2e 12~x(30时, f(0) lim f(x) f(0)x2e 12 xm2xe x22x(x)2e" 0,（3分）3 •设方程0.ln（Sint）确定y为x的函数，求cost t sintdx与(3分)(3 分)d 2y d dx 2 dx dy dx2 tsint dxd 丄.丄 dtsint tcostl 011 1 ldx x (t)（3分）22 .求不定积分xcos xdx .---(2 分)1 2 11-x —xsin 2x —sin 2x dx 44 4(2 分)1 cos2x dx ------------x21 x dx 1 x cos222丄 2 xxd (sin 2x) 一44 xcos 2 x dx分)dy dxy(t) x(t)t sin t四•（共3小题，每小题6分，共计18 分）21 .求不定积分 e x lnx dx .In xdxIn xe dx2e x x dx -----------------分）1 x 22 1 x2e d(x ) e C . --------------------------------------2 2(1(31 2 11-x —xsin 2x cos2x C 44 8(1 分)3 •设f （x ）在［1,1］上连续，求定积分1 {[ f (x) f ( x)]sinx .. 1 x2 } dx .(3 分)242(2分)五.（本题8分）设由曲线 y ln x 与直线x ey 0及x 轴所围平面图形为D（1）求D 的面积S ；（ 4分）（2）求D 绕直线x e 旋转所得旋转体的体积 V . （4分）{[f(x) f ( x)] sin x 1 x 2 } dx[f(x)f ( x)]sin x dx10 2■■■1x 2 dxx 2 dx（上半单位的面积）解曲线y In x与直线x ey 0的交点为（e , 1）， ------------------- （11 1e 2 0(1 y)2 dy 0(e 2 2ee y e 2y ) dye 2 0 3y)3(e 2 y 2ee y分） (1) S1o(e y ey)dy(2 分)[e yV V 21. ___________0(e ey)2dy(3 分)10(e e y )2dy -------------------------分）1 (2e 22e12e 3). -----------------(2本题满分12分六.（共2小题，每小题6分，共计12分）1.设有半径为R的半球形蓄水池中已盛满水（水I求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图，则半圆方程为x2 y2 R2 . ------------------------------分）x [0,R], 取[x,x dx]所做功的微元：dW g （R2 x2）dx x （其中g为重力加速度）g （R2x x3）dx （3分）R 2 3故 W g 0（（R x x ）dx4-gR . ---------------------------------------------------------- （24分）2 •设有质量为m的降落伞以初速度v o开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为k 0），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为v（t），则根据牛顿第二运动定律，有dv m 一dtmg kv，其中g为重力加速度， ---------------------------------------（2分）口dv dt分离变量，得mg kv m本题满分12分dv dt两端积分mg kv m1 t-ln mg kvG ，In mg kvk 丄 — t kG ，(2ktmg kv Ce m(2分)（其中C ekC 1 ,小，mg kv 0)分） 七. 由已知v （0） V 0，代入上式，得 C mg kv °,mgkktmg 、am t T )e（本题6分）特征方程为: 求微分方程y 5y 6y6x 210x5r 6 0,特征根:r i2卫 3.对 应Ge 2x C 2e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 ------- （1 分）齐3xy iAx 2为 ： （3分）C ，Bx本题满分6分 本题 得 分y 1 2Ax B ,y 1 2A ,代入原方程得, 2A 5( 2Ax B) 6 (Ax 2 Bx C ) 6x 210x26 Ax (6B 10A)x 2A5B 26C 6x 10x 2,6A 比较同次幕的系数，得 6B 2A6,10A5B10, 6C 2 .2解之得，A 1, B 0, C 0. y i x .故所要求的通解为y C1e2x C2e3x x2 . ---------- （2分）本题满分8分本题6八.（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点 （x,y ） （x 0）到解（1）过曲线L 上点（x , y ）处的切线方程为： Y y y （X x ），(2 分)令S （x ） 0 ,得S （x ）符合实际意义唯一驻点:（2）曲线L :1y2x 在点（x , y ）处的切线方程为： Y y y (X 1 211即 Y (— x )2x(Xx ），亦即Y2x X x - (0 x -)，44 2（2分）1 x 2x)，坐标原点的距离恒等于该点处的切线在（1 ）试求曲线L 的方程；轴上的截距，且L 经过点（丄，0）2（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小由题意，得 2 2x yy xy ,即..1分）ydudx / 小、令U ，则 ------- 2,(x 0)x1 u 2x2y x义鱼，（x 0）——（2x dxdu空，（x 0）x1 2 uln （u .1 u 2） ln x InC , x （u y x 2 y 2 C ，由L 经过点（丄，0 ）2故曲线L 的方程为：y ；x 2y 2 1,即1 u 2) C 将u -代入并化简，得x入1 E 1 ，令 x ， y 0，得 C -，22切线与x 轴及y 轴的交点分别为:2x,0)，2(0,x)■所求面积S （x ）2xS(x)2 21 2 1 24x (x ) 2(x) 444^(x 2 4x£(3X 24(x 0)令X 0，得切线在y 轴上的截距：Y yxy ，(x 22x )dx ， ( x 0 )<3 1即x 为S（x）在（0 ,丄）内的最小值点，故所求切线方程为：6 2Y 2 —X —丄,即Y —X 1 -------------------------------------6 36 4 3 3（2分）2015 —2016学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试卷答案及评分标准（工科类）专业班级 _____________________________姓名 _________________________________学号 _________________________________开课系室基础数学系考试日期2016年1月11日注意事项：1 .请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2 .答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3 .本试卷共八道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则作废;4.本试卷正文共 8页。
中国石油大学090107概率论与数理统计期末考试复习题及参考答案
《概率论与数理统计》课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为（）。
A.B.C.D.答案：B2.设为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，则总体方差的无偏估计量为（）。
A.B.C.D.答案：A3.设为来自总体的一个样本，为样本均值，已知，记，，则服从自由度为的分布统计量是（）。
A.B.C.D.答案：D4.设总体为未知参数，为X的一个样本，为两个统计量，的置信度为的置信区间，则应有（）。
A.B.C.D.答案：D5.某人射击中靶的概率为3/5，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率（）。
A.B.C.D.答案：C6.设和均服从正态分布，记，，则（）。
A.对任何实数都有B.对任何实数都有C.仅对的个别值有D.对任何实数都有答案：D7.设和为任意两个事件，且，，则必有（）。
A.B.C.D.答案：D8.已知事件相互独立，,则下列说法不正确的是（）。
A.B.C.互不相容D.答案：C9.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是（）。
A.0.6B.5/11C.75%D.6/11答案：C10.已知，，，求=（）。
A.1/4B.3/5C.2/5D.1/3答案：C11.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.5和0.6，则目标被命中的概率是（）。
A.0.9B.0.7C.0.55D.0.8答案：D二、填空题1.设的概率分布分别为；则=（）。
答案：2.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。
则恰有一次取到次品的概率为（）。
答案：10/363.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则至少取到一个正品的概率为（）。
答案：65/664.设的概率分布为，则的分布函数（）。
答案：5.已知随机变量的分布列为则：随机变量的期望=（）。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
（ C） D ( X Y ) DX DY .
（ D） D ( XY ) DXDY .
（）
3
答案：（ B）
解答：由不相关的等价条件知，
xy 0
D ( X Y ) DX DY +2cov（ x， y）
应选（ B ） .
cov（ x， y） 0
4．设离散型随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1)
解答： X ~ N (0,1) 所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2) 1 P( 2 X 2)
1 ( 2 ) ( 2 ) 1 [ 2 ( 2 ) 1] 2 [1
应选（ A） .
3．设随机变量 X 和 Y 不相关，则下列结论中正确的是
（ A ） X 与 Y 独立 .
（ B） D ( X Y ) DX DY .
0, 其它 .
x f X ( x)
f ( x, y)dy
2 2x, 0 x 1 0 , 其它
（ 2）利用公式 fZ (z)
f (x, z x) dx
2, 0 x 1,0 z x 1 x 2, 0 x 1, x z 1.
其中 f (x, z x) 0, 其它
0, 其它．
当 z 0 或 z 1时 fZ (z) 0
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1． 设事件 A, B 仅发生一个的概率为 0.3，且 P ( A) P(B ) 0.5 ，则 A, B 至少有一个不发
生的概率为 __________.
答案： 0.3 解：
P( AB AB) 0.3
即
0.3 P( AB ) P( AB) P(A) P( AB) P(B) P( AB) 0.5 2P( AB)
优选石油大学概率统计试卷A答案
A卷2013—2014学年第二学期《概率论与数理统计》期末试卷（32学时）专业班级姓名学号开课系室理学院应用数学系考试日期 2014年 4月27日页号一二三四五六七总分本页满分18181810101016本页得分注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；3. 本试卷正文共7页。
一．选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）1．设A表示事件“甲产品畅销且乙产品滞销”，那么对立事件A表示( B ) ．A．甲产品滞销且乙产品畅销；B．甲产品滞销或乙产品畅销；C. 甲产品畅销且乙产品畅销；D．甲产品滞销且乙产品滞销．2．将一颗骰子重复掷n次，则掷出的最大点数为5的概率为（ A ）。
A.546n nn-; B.56nn； C.416nn-； D.116n-．3. 下列函数中只有（ B ）是分布函数.A ．21(), 1F x x x =-∞<<+∞+； B ．0, 2 1(), 2021, 0 x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩；C. 20, 1 (), 111, 1 x F x x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩； D ．0, 0(), 011, 1 x x F x e x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩．4．设随机变量 X 的概率密度函数为, 12(), 230, ax x f x b x <≤⎧⎪=<<⎨⎪⎩其他，其中a ，b 是常数，若已知 1(12)2P X <<=，则有（ D ）。
A.13a =，23b =; B.12a =，12b =； C. 23a =，13b =； D. 13a =，12b =． 5．设随机变量X 与 Y 相互独立，密度函数分别为22, 0() 0, 0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 44, 0() 0, 0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩， 则 ()D X Y +=（ C ）.A. 34; B. 6； C.516； D. 20. 6 如果X ，Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有（ D ）.A ．1XY ρ=；B ．1XY ρ=-； C. X ，Y 独立； D ．X ，Y 不相关.二．填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）1. 设事件A , B 相互独立，23(),()55P A P A B ==U ，则()P A B -=415. 2. 把4个球随机地放入4个盒子中，记X则(2)P X ==2164. 2444(22)()4C -=3．设X , Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，根据切比雪夫不等式，有(||6)P X Y +≥1 12≤.4．设随机变量X 与 Y 相互独立，且 ~(1, 2),~(0, 1)X N Y N ,23Z X Y =-+，则 ~Z (5, 9) N .三．计算下列各题（共4小题，每小题6分，共计24分）1. 设X 的分布律为 2 1 0 13111 56310X p -- ，（1）求X 的分布函数()F x ，并画出()F x 的图形；（2）求(11)P X -≤≤解（1）0, 215, 21()1130,1021 0 11,4XxxF x xxx<-⎧⎪-≤<-⎪⎪=-≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩， 2分图4分（2）4(11)5P X-≤≤=。
概率论与数理统计期末考试之计算题解答题经典含答案
概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题（含答案）1.设A ，B 是两个事件，61)|(,31)()(===B A P B P A P ，求)|(B A P 。
解：127)(1)()()(1)(1)(1)()()|(=-+--=--==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P2.有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。
解：设事件A,B,C 分别表示甲、乙、丙火炮命中目标（1）72.05.07.08.01)()()(1)(1)(=⋅⋅-=-=-=C P B P A P C B A P C B A P（2）47.0)()()()()()()()()()()()()(=++=++=C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P3.盒中有10个合格品，3个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验，每件检验后不再放回盒中，以X 表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求： （1） X 的分布律；（2） 求概率}3{<X P 。
解：X 的全部可能取值为1，2，3，4 (1)1310}1{==X P ，1210133}2{⋅==X P ，1110122133}3{⋅⋅==X P ，}3{}2{}1{1}4{=-=-=-==X P X P X P X PX 的分布律为: X1234k p1310 265 1435 2861 (2)2625}2{}1{}3{==+==<X P X P X P4.某汽车加油站的油库每周需油量X(kg)服从N （500，502）分布.为使该站无油可售的概率小于0.01，这个站的油库容量起码应多大？（注：99.0)325.2(=Φ） 解：设这个站油库容量为h （kg ）时能满足题目要求，则01.0)(<>h X P即99.0)50500()(≥-Φ=≤h h X P ，由已知得：325.250500≥-h ，则)(25.616kg h ≥.5.从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140 设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间。
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一.填空题（每题2分，共12分）
1.设A B 、为随机事件，()()P AB P A B =，()0.4P B =， 则()_________P A =.
2.随机变量2~(4,)X N σ，且{46}0.3P X <<=，则 {2}__________P X <=.
3.已知随机变量~(3)X P （泊松分布），则43Z X =+的方差________DZ =.
4.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为3-和3，方差分别为1和4，而相关系数为0，则由切比雪夫不等式，有{||6}__________P X Y +≥≤.
5.总体~(0,1)X N ，设1X ，2X ，…，(2)n X n ≥是来自X 的随机样本，则统计量2
122(1)n i
i n X U X
=-=∑服从__________分布（写出自由度）. 6.设{(),0}X t t ≥是独立增量过程，且(0)0X =，在方差函数()X D t 已知的条件下，则协方差函数(,)__________X C s t =.
二.选择题(每题2分，共12分)：
1.设事件,A B 互不相容且概率不为零，则下列结论肯定正确是________
(A ) A 与B 互不相容 (B ) A 与B 相容
(C ) ()()()P AB P A P B = (D ) ()()P B A P B -=
2.设随机变量2~(,)X N μσ,则随着参数σ的减小，概率{||3}P X μσ-< _________
(A ) 单调增加 (B ) 单调减少
(C ) 保持不变 (D ) 增减不定
3.设随机变量X ,Y 相互独立且同分布：{2}{2}1/2P X P Y =-==-=，{2}{2}1/2P X P Y ====，则________
(A ) {}1/4P X Y == (B ) {}1P X Y ==
(C ) {0}1/4P X Y +== (D ) {4}1/2P XY ==
4.设随机变量X ,Y 的方差存在且不为零，若EXY EX EY =⋅，则X ,Y 必然________
(A ) 独立 (B ) 相关系数为零
(C ) 不独立 (D ) 相关系数不为零
5.在假设检验中，记0H 为待检验假设，则所谓犯第二类错 误指的是__________
(A ) 0H 为真时，接受0H (B ) 0H 为真时，拒绝0H
(C ) 0H 为假时，接受0H (D ) 0H 为假时，拒绝0
H 6. 设1X ，2X ，…，n X 是来自总体X 的随机样本，X 为样本均值，EX 未知，则总体方差的无偏估计量为
(A ) 211()1n i i X X n =--∑ (B ) 21
1()n i i X X n =-∑ (C ) 211()1n i i X EX n =--∑ (D ) 21
1()n i i X EX n =-∑ 三.计算题（共8个题目，共76分）
1.（10分）一机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零
件A 时，停机的概率是
310，加工零件B 时，停机的概率是410
， 求:(1)这台机床停机的概率； (2)若已知这台机床停机，则停机时加工零件A 的概率.
2. (10分）设随机变量X 的分布密度为
sin ,,()A x x f x x π 0<<⎧=⎨0, ∈⎩其他
求:(1)系数A ； (2)X 的分布函数；
(3)X 落在区间3(,)44
ππ 的概率. 3. (8分）设随机变量X 的概率分布为
求:(1)1Y X =+的概率分布；
(2)32Y X =+的概率分布.
4.(15分）设二维随机变量(,)X Y 在矩形区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上
服从均匀分布.记0,1,X Y U X Y ≤⎧=⎨ > ⎩
若若；0,21,2X Y V X Y ≤⎧=⎨ > ⎩若若.
求:(1)(,)U V 的联合概率分布； (2)(,)U V 关于U 和V 的边缘概率分布；
(3)U 和V 的相关系数.
5.(5分）设由来自总体~(,0.09)X N μ的长度为4的样本，得样本均值13X =， 求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间.
6.(10分）设总体X 的分布函数为
11,1,(,)0,
1,x F x x x θθ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩ ，
其中1θ>为未知参数，且1X ，… ，n X 是来自总体X 的随机样本， 求:(1)参数θ的矩估计量；
(2)参数θ的极大似然估计量.
7.(8分）设1()N t 和2()N t 分别是强度为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，令12()()()X t N t N t =+， 0t >，求()X t 的均值函数、方差函数、自相关函数和自协方差函数.
8.(10分）设马氏链{,0}n X n ≥ 的状态空间为{1,2,3}I = ，它有一步转移概
率矩阵0.10.20.70.90.100.10.80.1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，初始分布为0{1}0.3P X ==， 0{2}0.4P X ==， 0{3}0.3P X ==， 求：
(1) 计算012{1,2,3}P X X X === ；
(2) 计算1220(2){2|1
}P P X X ===； (3) 计算22(2){2}P P X ==.。