矩阵的若尔当标准型及简单应用

哈尔滨师范大学学年论文题目矩阵的若尔当标准型及简单应用学生李小琴指导老师穆强年级 2005级专业数学与应用数学系别数学系学院数学与计算机科学学院哈尔滨师范大学07年6月矩阵的及若尔当标准型及简单应用李小琴摘 要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用.关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ1..................00 (10)00 0100 (00)（ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ） 这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rkk r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设i V =ker V ir i ∈=-ξλσ{)(｜0)(=-ξλσi ri }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块.令|σσ=i i V ，那么i σ=i λ+i τ，于是对于i V 加上基来说，i σ的矩阵是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i is i i is i i i iii J J J N N N B 0000002121λλλ 这里iis i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块.对于每一子空间i V ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是|σσ=i i V 的矩阵.而子空间k V V ,...,1 显然由σ唯一确定，而出现在每一i B 里的若尔当块iis i i J J J ,...,,21里由i σ唯一确定的，因而是由σ唯一确定.定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2001000001000001100002,2001000001000001000002,1101100001000002100002 都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解为K 上的一次式的积.rr T n r n T a t a t a t a t t υυμγλ)...()(,)...()()(1111--=--=，K a a r ∈,...,1，.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这里，V 是弱特征空间)(~i a V 的直和V =)(~...)(~1r a V a V ⊕⊕，又})(|{)(~O X aI T V x a V I v i =-∈=υ，dim )(~i a V =i n ,T 在)(~i a V 上的限制T |)(~i a V 的特征多项式和最小多项式为.)(,)(ii i n i a t a t υ--（2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积.detKa a a t a t a t a t A tE r r A nr nn r r ∈--=--=-,...,,)...()(,)...()()(1111υυμ,.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这时，存在正则矩阵P ),,(K n n ∈，)(...)(11r a J a J AP P⊕⊕=-个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(i i i i i i i i i i i a J a J a J a J a J a J a J ⊕⊕⊕-⊕⊕-⊕⊕⊕=υυυυ方阵J )(i a 的结束等于i n ，构成J )(i a 的若尔当的个数等于属于i a 的特征空间多项式的维数).1(r i ≤≤若尔当块矩阵1-PA P 称为矩阵A 的若尔当.注意 )(...)(1r q a J a J AP P ⊕⊕=-中的J )(i a ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确定.例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ⇔A 和B 具有相等的若尔当标准型.证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵1P ，2P ，使11-P A 1P =J ，12-P B 2P =J ，令1P 12-P =P ，则P 正则接1-P A P =B .反之，设已存在正则矩阵P ，使1-PA P =B ，设J AQ Q=-1是若尔当标准型，则J PQ A PQ =-)()(1，故A 的若尔当标准型也是J .例2 求矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--601151104，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=603622845131352013D 的若尔当标准型，求实矩阵Q 使DQ Q1-成为若尔当矩阵.解 （1）3233)5(1257515||-=-+-=-t t t t C tE ，rank 1)5(3=-E C ,故特征空间V （5）的维数是3 – rank (C -53E )=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5515. (2)).2()3(1834||2233+-=+--=-t t t t t D tE 方程（D +23E ）x =0的通解为1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u u =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111u .例如，令u =1，得1p =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111，dim=V （-2）=1，（D -33E ）x =0，的通解是1q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47070v v v ，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如，令v =1，得1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛170，方程（D -33E ）x =1q 的通解是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-ωω74721 例如，令10=ω，得2q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6101，D 1p = - 21p ，D 2q = 31q ，D 2q =1q +32q .故若令=Q （1p 1q 2q ），则D Q =（D 1p D 1q D 2q ）=（-21p 31q 1q +32q ）=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3132， 所以Q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6411070101，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-01221AQ Q .参考文献：[ 1 ] 张禾瑞、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版.[ 2 ] 有马哲、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.Matrix And JordanSummary : Each rank matrixes of plural area with if the Jordan be a standard form likeness,this text argument matrixes of if Jordan be standard type and in brief applied.Keyword : The Jordan the line transformation matrix standard学年论文（设计）成绩表。