矩阵相似及其应用

定义３．１．１：把矩阵Ａ（或线性变换 ）的每个次数大 于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算） 称为矩阵Ａ（或线性变换 ）的初等因子。
定理３．１．１：数域Ｆ上的方阵Ａ与Ｂ相似的充要条件是λ Ｅ－Ａ和λＥ－Ｂ有相同的行列式因子。
定理３．１．２：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有 相同的初等因子。
Ｂ）ＱＯ
（式１）
则Ａ与Ｂ相似。
收稿日期：２０１０－０８－０７ 修回日期：２０１０－０９－０２ 作者简介：刘嘉（１９８３－），女，大学本科，助教，研究方向为应用数学。
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开发应用
证 明 ： 因 ＰＯ（ λ Ｅ－Ｂ） ＱＯ＝λ ＰＯＱＯ－ＰＯＢＱＯ， 它 又 与 λ Ｅ－Ａ相
等 ， 进 行 比 较 后 应 有 ＰＯＱＯ＝Ｅ， ＰＯＢＱＯ＝Ａ。 由 此 ＱＯ＝ＰＯ－１， 而 Ａ＝
的，所以Ａ相似于对角阵。
例５：设Ａ为ｎ阶方阵，ｆ（λ ）＝
是Ａ的特征多项
式，并令：
Ｇ（λ）＝
证明：Ａ与一个对角矩阵相似的充分必要条件是
ｇ（Ａ）＝０。
证明：设ｆ（λ）＝
＝
…
，
其中λ１，λ２，…，λｒ互不相等，）＝（λ－λ１）（λ－λ２）…（λ－λｒ）。
如果Ａ与一个对角矩阵相似，则λＥ－Ａ的初等因子都是
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矩阵相似及其应用
刘嘉
（淮安信息职业技术学院 基础部，江苏 淮安 ２２３００３）
摘 要：高等代数课程范围内，矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有 限维线性空间中，取定一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示，而矩阵的相似性会涉及到计算特征向量与特征值， 同时矩阵的相似性也会涉及到对角化问题的解法及其应用。由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵相似在高等 代数中占有重要的地位。本文主要简单地讨论了矩阵相似、矩阵相似的条件及其应用，特别的，在矩阵相似的应用中， 主要概括矩阵的相似与特征矩阵、对角化问题之间联系，大体总结了几个主要的定理和结论，并给出了例题。综上所 述，矩阵相似有很高的应用价值和研究价值。 关键词：矩阵相似；线性变换；特征值；特征向量；特征矩阵；对角化问题 ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－６３９６．２０１０．２６．０２２
与Ｒ（λ）以及数字矩阵ｕＯ和ｖＯ，使：
Ｕ（λ）＝（λＥ－Ａ）Ｑ（λ）＋ｕＯ
（式５）
Ｖ（λ）＝Ｒ（λ）（λＥ－Ａ）＋ｖＯ
（式６）
成 立 ， 把 式 ４ 改 写 成 ｕ（λ ）－１（λ Ｅ－Ａ） ＝（λ Ｅ－Ｂ） ｖ（
λ），式中的ｖ（λ）用式６代入，再移项，得〔ｕ（λ）－１－（ λ
Ｅ－Ｂ）Ｒ（λ）〕（λＥ－Ａ）＝（λＥ－Ｂ）ｖＯ。右端次数等于１或
１ 矩阵的相似 定义１．１：设Ａ，Ｂ为数域Ｐ上两个ｎ级矩阵，如果可以
找到数域Ｐ上的ｎ级可逆矩阵Ｘ，使得Ｂ＝Ｘ－１ ＡＸ，就说Ａ相似 于Ｂ记作Ａ∽Ｂ。
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有以下三个 性质：（１）反身性：Ａ∽Ａ；这是因为Ａ＝Ｅ－１ＡＥ。（２）对称 性：如果Ａ∽Ｂ，那么Ｂ∽Ａ；如果Ａ∽Ｂ，那么有Ｘ，使Ｂ＝Ｘ－１ Ａ Ｘ。令Ｙ＝Ｘ－１，就有Ａ＝ＸＢＸ－１ ＝Ｙ－１ ＢＹ，所以Ｂ∽Ａ。（３）传递 性：如果Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，那么Ａ∽Ｃ。已知有Ｘ，Ｙ使Ｂ＝Ｘ－１ ＡＸ， Ｃ＝Ｙ－１ＢＹ。令Ｚ＝ＸＹ，就有Ｃ＝Ｙ－１Ｘ－１ＡＸＹ＝Ｚ－１ＡＺ，因此，Ａ∽Ｃ。
＝ ［（ ， ，… ， ）Ｘ］ ＝［ （ ， ，… ， ）］Ｘ ＝（ ， ，… ， ）Ｘ ＝（ ， ，… ， ）ＡＸ ＝（ ， ，… ， ） Ｘ－１Ａ Ｘ 由此即得：Ｂ＝Ｘ－１Ａ Ｘ。 现在证后一部分。设ｎ级矩阵Ａ和Ｂ相似，那么它们可以 看作是ｎ维线性空间Ｖ中一个线性变换 在基 ， ，…， 下 的矩阵。因为Ｂ＝Ｘ－１Ａ Ｘ ，令： （ ， ，… ， ）＝（ ， ，… ， ）Ｘ 显然， ， ，… ， 也是一组基， 在这组基下的矩阵 就是Ｂ。
ｖＯ＝０，因此ｕ（λ）－１－（λ Ｅ－Ｂ）Ｒ（λ ）是一个数字矩阵（后
一 情 形 应 是 零 矩 阵 ） ， 记 作 Ｔ，即Ｔ＝ｕ（λ ）－１－（λ Ｅ－Ｂ）Ｒ
（λ）。
Ｔ（λＥ－Ａ）＝（λＥ－Ｂ）ｖＯ
（式７）
下证Ｔ是可逆。由式７的第一式有：
Ｅ＝ ｕ（λ）Ｔ＋ ｕ（λ）（λＥ－Ｂ）Ｒ（λ）
＝ ｕ（λ）Ｔ＋（λＥ－Ａ）ｖ（λ）－１Ｒ（λ）
例１：证明：
与
是１，２，…， ｎ的一个排列。
证明：设：
（ ， ，…， ）＝（ ， ，…， ）
相似，其中 ，
则（
）＝（
）
，因为
和
是线性变换 在不同基下的矩
阵，故它们相似。
例２：设Ａ～Ｂ，则 。
证明：取矩阵Ｐ，使得 ＝Ｂ，则
，
所以
。
２ 矩阵相似的条件
引理２．１：如果有ｎ阶数字矩阵ＰＯ ，ＱＯ 使λＥ－Ａ＝ＰＯ （λ Ｅ－
＋Ｄｍ，这里ＤＯ，Ｄ１，…，Ｄｍ都是ｎ阶数字矩阵，而且ＤＯ ０，如
ｍ＝０，则令Ｑ（λ）＝０及ｕＯ＝ＤＯ，它们显然满足引理２要求。
设 ｍ＞０，令Ｑ（λ ） ＝ＱＯλ ｍ＋（Ｑ１ －ＡＱＯ）λ ｍ－１ ＋…＋（Ｑｋ －Ａ
Ｑｋ－１）λｍ－ｋ＋…＋（Ｑｍ－１－ＡＱｍ－２）λ－ＡＱｍ－１
要 想 使 式 ２ 成 立 ， 只 需 取ＱＯ＝ＤＯ ；Ｑ１＝Ｄ１ ＋ＡＱＯ ；Ｑ２ ＝Ｄ２ ＋ＡＱ
定理１．１：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似 的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一 个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
证明：先证前一部分。设线性空间Ｖ中线性变换 在 两组基：
， ，… ， （１） ， ，… ， （２） 下的矩阵分别为Ａ和Ｂ，从基⑴到基⑵的过渡矩阵为 Ｘ，则： （ ， ，…， ）＝（ ， ，…， ）Ａ， （ ， ，…， ）＝（ ， ，…， ）Ｂ， （ ， ，…， ）＝（ ， ，…， ）Ｘ。 于是（ ， ，… ， ）＝ （ ， ，… ， ）
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定义３．１．２：数域Ｆ上方阵Ａ，如果与一个Ｆ上的对角方
阵相似，则称Ａ在Ｆ上可对角化。
定理３．２．３：复数矩阵Ａ与对角矩阵相似的充分必要条
件是Ａ的初等因子全是一次的。
定理３．２．４：复数矩阵Ａ与对角阵相似的充分必要条件
是Ａ的不变因子都没有重根。
（λ）与ｖ（λ），使：
λＥ－Ａ＝ ｕ（λ）（λＥ－Ｂ）ｖ（λ）
（式４）
先证必要性。设Ａ与Ｂ相似，即有可逆矩阵Ｔ，使Ａ＝Ｔ－１ ＡＴ，
故：
λＥ－Ａ＝λＥ－Ｔ－１ＢＴ＝Ｔ－１（λＥ－Ｂ）Ｔ，从而λＥ－Ａ和λＥ－Ｂ等
价。
再证充分性。设λＥ－Ａ和λＥ－Ｂ等价，即有可逆的λ－矩
阵ｕ（λ），ｖ（λ）使式４成立。用引理２存在λ －矩阵Ｑ（λ ）
＝〔（λＥ－Ａ）Ｑ（λ）＋ｕＯ〕Ｔ＋（ Ｅ－Ａ）ｖ（λ）－１Ｒ（λ）
＝ ｕＯＴ＋（λＥ－Ａ）〔Ｑ（λ）Ｔ＋ｖ（λ）－１Ｒ（λ）〕
等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少是１，
由于Ｅ和ｕＯＴ都是数字矩阵，等式不可能成立。因此Ｅ＝ｕＯＴ，
这就是说，Ｔ是可逆的。由式７的第三式得λＥ－Ａ ＝Ｔ－１（λＥ－
ｇ（Ａ）＝ｄｎ（Ａ）＝０。
一 次 的 ， 其 中 全 部 不 同 的 初 等 因 子 是 λ－λ１， λ －λ ２， …
，λ－λｒ，它们的乘积就是λＥ－Ａ，最后一个不变因子ｄｎ（
λ ） ， 亦 即 ｄｎ（ λ ） ＝（ λ－λ １） （ λ －λ２） … （ λ －λ ｒ）
＝ｇ（λ ） 。 但 ｄｎ（ λ ） 就 是 λ Ｅ－Ａ的 最 小 多 项 式 ， 所 以
相似矩阵有许多性质，让我们简单总结一下，若Ａ，Ｂ ∈ ，Ａ∽Ｂ，则：（１）ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）；（２）│Ａ│ ＝│Ｂ│，ｔｒＡ＝ｔｒＢ；（３）Ａ与Ｂ有相同的Ｊｏｒｄａｎ标准形； （４）Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ Ｐ－１ｆ（Ａ） Ｐ＝ｆ（Ｂ），ｆ是任意多项式。
就仅涉及上述性质的问题而言，相似的矩阵可以相互 替换，这就决定了相似概念在线性代数中的重要性。不 过，除了某些联系于Ｊｏｒｄａｎ标准形（包括对角标准形）的 问题之外，在高等代数课程中涉及相似性的问题不是很 多。
Ｂ）ｖＯ，再由引理，Ａ与Ｂ相似。
推论：矩阵Ａ与Ｂ相似的充要条件是它们有相同的不变
因子。 例１：设ａ，ｂ，ｃ是实数，Ａ ＝
明：Ａ与Ｂ相似。
证明：λＥ－Ａ＝
，Ｂ＝
，证
＝λＥ－Ｂ
故λＥ－Ａ和λＥ－Ｂ等价，从而Ａ∽Ｂ。 ３ 矩阵相似的应用 ３．１ 相似矩阵与特征矩阵
由上节矩阵相似的条件可知，数字矩阵Ａ与Ｂ相似与它 们各自的特征矩阵有着密切的关系，下面数字矩阵相似与 其特征矩阵某些方面的联系作简单的探讨。
都是一次的，因此Ａ与对角矩阵相似。
必要性：若Ａ与一个对角矩阵相似，则λＥ－Ａ的初等因
子都是一次的。因此ｄｎ（λ）都是不同的一次因子之积，所
以ｄｎ（λ）无重根。由于Ａ的最小多项式就是λＥ－Ａ的最后一
个不变因子ｄｎ（λ），从而没有重根。
定 理 ３．２．６： 设 Ａ 是 ｎ 阶 方 阵 ， 则 以 下 条 件 是 等 价 的 ：
１； … … ； Ｑｍ－１＝Ｄｍ－１＋ＡＱｍ－２； ｕＯ＝Ｄｍ＋ ＡＱｍ－１类 似 可 得 Ｒ（ λ ） 和
ｖＯ。引理证毕。
定理２．１：设Ａ、Ｂ是数域Ｐ上的两个ｎ级矩阵，Ａ与Ｂ相似
的充要条件是它们的特征矩阵λＥ－Ａ和λＥ－Ｂ等价。
证 明 ： λ Ｅ－Ａ和 λ Ｅ－Ｂ等 价 就 是 有 可 逆 的 λ － 矩 阵 ｕ
例１：证明：任何方阵Ａ与其转置方阵 相似。 证明：因为λＥ－Ａ与λＥ－ 互为转置矩阵，它们对应 ｋ阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的 各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故λ Ｅ－Ａ与λＥ－ 等价，从而Ａ与 相似。 例２：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。 证法一：设Ａ与Ｂ相似，即可存在可逆矩阵Ｑ，使Ｂ＝Ｑ－１ＡＱ， 又设Ａ与Ｂ的最小多项式分别为ｇ１（λ），ｇ２（λ），于是： ｇ１（Ｂ）＝ｇ２（Ｑ－１ＡＱ）＝Ｑ－１ｇ１（Ａ）Ｑ＝０ 但是，Ｂ的最小多项式整除任何以Ｂ为根的多项式，故 ｇ１（λ）＝ｇ２（λ）。 证法二：设Ａ与Ｂ相似，则λ Ｅ－Ａ和λ Ｅ－Ｂ等价，从而有 完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项 式，故Ａ与Ｂ有相同的最小的多项式。 例３：对于ｎ级方阵，如果使Ａｍ＝０成立最小整数为ｍ，则 称Ａ是ｍ次幂零矩阵。证明所有ｎ级ｎ－１次幂零矩阵彼此相 似。 证明：假如ｎ级方阵Ａ满足Ａｎ－１＝０，Ａｋ＝０（１≦ｋ≦ｎ－２）， 则Ａ的最小多项式为ｍＡ（λ）＝λｎ－１，从而Ａ的第ｎ个不变因子 ｄｎ（λ）＝λｎ－１，由于ｄ１（λ）ｄ２（λ）……ｄｎ（λ）＝ 是ｎ次多项式，且ｄｉ（λ）／ｄｉ＋１（λ）（ｉ＝１，２，……，ｎ－ １），所以ｄ１（λ ） ＝……ｄｎ－２（λ ）λ ＝１，ｄｎ－１（λ ）＝λ ， ｄｎ（λ）＝λｎ－１，故所有ｎ级ｎ－１次幂零矩阵彼此相似。 ４ 相似矩阵与矩阵的对角化 矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色， 因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独 立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。