矩阵分析课后习题解答(整理版)
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第一章线性空间与线性变换
(以下题目序号与课后习题序号不一定对应,但题目顺序是一致的,答案为个人整理,不一定正确,仅供参考,另外,此答案未经允许不得擅自上传)
(此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别)
1.9.利用子空间定义,)
R对m C满足加
(A
R是m C的非空子集,即验证)
(A
法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim (解空间的维数)
1.13.提示:设),)(-
⨯==n j i a A n n ij (,分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行),代入0=AX X T ,得0=ii a ;令
T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==(其中1位于ij X 的第i 行和第j 行)
,代入0=AX X T ,得0=+++jj ji ij ii a a a a ,由于0==jj ii a a ,则0=+ji ij a a ,故A A T -=,即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量,同样有0=ii a ,
0=+ji ij a a ,再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行,1
位于ij X 的第j 行),代入0=AX X H ,得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ,由于0==jj ii a a ,ij ji a a -=,则0==ji ij a a ,故0=A
1.14.AB 是Hermite 矩阵,则AB BA A B AB H H H ===)(
1.15.存在性:令2,2H
H A A C A A B -=+=,C B A +=,其中A 为任意复矩阵,可验证C C B B H H -==,
唯一性:假设11C B A +=,1111,C C B B H
H
-==,且C C B B ≠≠11,,
由
1111C B C B A H H
H -=+=,得C A
A C
B A A B H
H =-==+=2,211(矛盾)
第二章酉空间和酉变换
(注意实空间与复空间部分性质的区别)
2.8 法二:设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==(1在第i 行);~
2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==(1在第j 行) 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~
~( 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
(注意,在无特别定义的情况下,内积的定义默认为X
,
()
)
Y
Y
X H
2.15 先求得C 使Λ=AC C H ,假设CB P =,使I AP P H =,则有Λ=-1)(H BB ,依次式求得B ,进而求得P 。(此方法不一定正确)
2.16 将),,(321ααα进行列变换化为阶梯型知可取21αα,为其中两个
基,另两个基可取T T )1,0,0,0(,0,1,0,043==
αα)(,化标准正交基略。 2.17 略
第二章矩阵的分解
注:例2.9(1)中的Jordan 标准型有误,⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111
J ,Jordan 标准型不唯一,各Jordan 块之间可以互换,互换的原则是:同一特征值对应的Jordan 块之间可以互换;不同特征值对应的Jordan 块整体可以互换。
3.7、3.8同3.1
3.11 方法同上
3.12 由O A k =知A 的特征值全为0(x x A x Ax x k k λλ=⇒=≠∀,0),则I A +的特征值全为1,根据行列式与特征值的关系,则1=+I A
3.27 略
3.29 见课本P67例3.17 3.30 见课本P69例3.19
第三章 范数及其应用
4.12 (1)22A A A m F ≥=,{}22222,min B A B A B A AB F F ≤≤ (2)22221)()(m ax A A n
A A A tr A A n A n F F H H i ≤⇒=≥=λ ∞≤≤≤m m F A n A A A 12易证。
第七章广义逆矩阵