2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入上式得S nS n﹣2S n+1=0．①﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
2006年安徽高考数学试题分析
2006年高考安徽数学试题分析２００６年安徽高考改革已经进入了一个崭新的阶段，整体发生了前所未有的变化，首次自行编制并颁布《考试说明》。
继２００５年英语自主命题后，２００６年语文、数学、英语自主命题，首次计算机网上阅卷。
这些变化，曾经使２００６年参加高考的４６万考生和家长、广大高三教师以及社会方方面面关心高考的各界人士高度关注。
现在２００６年安徽高考已经尘埃落定。
就高考而言，全省各地“几家欢乐几家愁”。
语文、数学、英语自主命题，成功得失众说纷纭。
下面我将通过对安徽数学试卷的数据分析，分析安徽高考数学试题的特点。
通过回顾备考２００６年高考的风雨历程，审视２００６年高三复习备考策略的成败得失，为２００７年高三复习、高考备考积累经验。
一、统计数据分析一题型结构２００６年安徽高考数学卷从题型结构来看，基本上保持了《高考说明》和《考试大纲》的要求。
即选择题、填空题、解答题三种题型结构与２００５年全国卷相同。
题量、分值也保持不变。
其难度和区分度的要求达到或基本达到２００５年全国卷的程度。
二理科成绩呈正态分布２００５年安徽理科考生的成绩呈正态分布，峰值在６５～９５之间，而且不高。
说明考生的分布比较均匀，考试对考生的区分度较好，中等难度（ｐ＝）值在０．４～０．７之间）的试卷比例合适。
但是容易题（ｐ值为０．７以上）比例较低，难度题（ｐ值为０．３以下）比例较高。
２００６安徽数学试题有较强的区分度。
现在我们还没有看见２００６年全省数学成绩的有关统计数据，现以安庆市为例进行分析：理科考生的成绩仍然呈正态分布，从考生分布的直方图可以看出，考分峰值７３．７１～１０３．７１，容易题比例较２００５年全国数学试卷有较大比例的提高（即ｐ值为０．７以上的题目）。
选择题１～１０题都不难，给后面综合题的解答赢得了宝贵的时间，这是２００６年数学考分有较大提高的一个重要原因。
从数学高考成绩统计数据可以看出，试卷的信度较好，说明高考测试分数偏离真分数的幅度较小，测量误差得到较好的控制，分数与考生的数学能力接近，成绩真实可信。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2((贵州、黑龙江、吉林、云南、新疆、内蒙古、青海、西藏)
2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1. 10i2-i=A. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B. 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = A. 1213 B.513 C.513-D. 1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.1010B.15C.31010D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1310cos 10A BE ∠=。
故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A.5B.10 C.5 D. 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
2006年高考.浙江卷.理科数学试题及详细解答
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
(4)在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是
(A) (B)4 (C) (D)2
（5）双曲线 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m=（）
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。
解析：如图，
∴
∴ ，∴点E、F在该球面上的球面距离为
故选择B。
【名师点拔】两点球面距的计算是立体几何的一个难点，其通法的关键是求出两点的球面角，而求球面角又需用余弦定理。
（10）函数 满足 ，则这样的函数个数共有D
(A)1个(B)4个(C)8个(D)10个
【名师点拔】
（8）若多项式 D
(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10
【考点分析】本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题。
解析：令 ，得 ，
令 ，得
（9）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是B
(A) (B)4 (C) (D)2
【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。
解析：由题知可行域为 ，
，故选择B。
【名师点拔】
（5）若双曲线 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则 C
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查双曲线的第二定义，基础题。
解析：由题离心率 ，由双曲线的第二定义知
解析： ，故选择C。
【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为
2006年全国数学题与评析
2006年全国高考数学试题Ⅲ的评析一、2005年高考全国卷数学试题的特点在《2005年高考数学大纲》中明确指出：数学科的考试将会按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，据此，教育部考试中心命制的全国卷1、全国卷2、全国卷3三套试卷，分文、理科共六份试题．试题的设计体现了数学学科的特点，突出了知识的基础性，注意了在知识网络交汇点设题，着力反映了概念性、思辩性、量化的灵活性、解法的多样性及应用的广泛性，在数学思想方法及数学理性思维方面作了比较深入的考查。
试题“温和平缓”，既似曾相识，又推陈出新；既符合考生实际，又符合高考对选拔的要求。
相比之下，“全国卷1”比“全国卷2”和“全国卷3”要难些，但没有使学生望而生畏的题目，新题不难，难题不怪，“纯净淡雅”，平易近人。
既全面的考查了基础知识，又突出了对重点内容的考查；既关注了考查数学的基本方法和技巧，又注重了对能力的考查和思维能力的提升。
所有这些，对中学数学都具有很好的导向作用。
二、全国高考数学试题Ⅲ的评析2005年高考甘肃采用的高考数学试题模版是全国卷Ⅲ，试卷题量与2004年相同。
2005年高考数学试卷总体呈现平稳，没有出现难题、偏题和怪题。
命题凸现了高中数学的主干知识，以“死题”考知识，用“活题”考能力，加强了数学运算能力的考查。
文理科试卷的差异较往年缩小了。
从定量上看，此套试卷继续保持2004年在全国卷Ⅲ在文理差异上的风格，即减少相同题，减少姊妹题增加不同题，但不同题的数量较2004年有所减少，其中，选择题相异的有１道，填空题差异有２道，（而且这３道试题都是因为文理考试知识的不同要求命制的）解答题差异的有2.5道。
总体的感觉是：数学试题整体不难，应该说成绩优秀的学生得高分并不困难。
1、选择题：平淡中考知识，创新中考能力选择题都是容易题和中等题，大多数题属于“一捅就破”的题型，主要考查了数学的基本概念、基本知识和基本的计算、解题方法。
2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．23C ．33D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．EA 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题1．答案：B解析:依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B. 2．答案：A解析: (a+bi)3=a3+3a2·bi+3a(bi)2+(bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数3a2b-b3=0,又∵b≠0,∴3a2-b2=0.∴b2=3a2.选A.3．答案：C解析:∵f(x)=f(-x),∴f(x)= -x是奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.4．答案：C解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.∵x∈(e-1,1),∴x＞x2.故a＞b,排除A、B.∵e-1＜x＜1,∴-1＜lnx＜ln1=0.∴lnx＜ln3x.∴a＜c.故b＜a＜c,选C.5．答案：D解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.6．答案：D解析:排除法即可.P=1-=1-. 7．答案：B解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2 =［(1-)(1+)］4·(1-)2=(1-x)4·(1-)2=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).故系数为1-4=-3,选B.8．答案：B解析:依题可知|MN|=|sina-cosa|=|sin(a-)|,故|MN|max=.9．答案：B解析:依题可知离心率e===,∵a＞1,∴0＜＜1.∴(+1)2∈(1,4).∴e∈(2,5).10．答案：C解析:作图.连结EO,则所求角为∠AEO或其补角.(∵EO∥SD)设侧棱长为a,则OE=SD=a,AO=a,AE= a.由余弦定理得cos∠AEO==. 11．答案：A解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,l 1:x+y-2=0,k1=-1,l 2:x-7y-4=0,k2=.由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,从而,得k=3,故选A.12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．2答案：C解析:依题意有示意图截面示意图为其中AH为公共弦长的一半,OA为球半径,∴OH=.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．答案：2解析:λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),∵λa+b与c共线,∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0.解出λ=2.14．答案：2解析:y=e ax,y′=e ax·a,y′|x=0=e a·0·a=a.又x+2y+1=0的斜率为-,∴由题意a·(-)=-1.∴a=2.15．答案：解析:lAB:y-0=x-1,即y=x-1,联立x a =3+2,xb=3-2,∴=3+2.16．解析：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由5cos13B=-，得12sin13B=，由4cos5C=，得3sin5C=．所以33sin sin()sin cos cos sin65A B C B C B C=+=+=． ······························ 5分（Ⅱ）由332ABCS=△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ································································· 8分又 s i n 20s i n 13A B BA C AB C⨯==， 故 2206513AB =，132AB =． 所以 s i n 11s i n 2A B A BC C ⨯==． ······················································ 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ··········································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--， 又410()10.999P A =-，故0.001p =． ················································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 100005000ξ+， 盈利 10000(1000050a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050E aE ηξ=--， ································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ·········································· 12分 19．解法一：依题设知2AB =，1CE =． （Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ··························································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于122AA ACFC CE==， 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED ． ····································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥， 故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ············································ 8分223EF CF CE =+=， 23CE CF CG EF ⨯==，2233EG CE CG =-=． 13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯=． 又221126AC AA AC =+=，11563AG AC CG =-=． AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G11tan 55A GA HG HG∠==． 所以二面角1A DE B --的大小为arctan55． ······································ 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ··························································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE ． ····································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ． 故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．············································ 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC ==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为14arccos42． ······································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ···························································· 4分ABC DEA 1B 1C 1D 1 yxz因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················································· 6分 （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．12分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ···························· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故212214x x k =-=+．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k=+==+；DF B yxAOE由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以221012714k k=++， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． ········································································· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+，22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+． ··············································· 9分又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 214(12)525(14)k k +=+22(12)14k k+=+22144214k kk ++=+ 22≤，当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ············ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······················································································· 9分 222(2)x y =+22222244x y x y =++ 22222(4)x y +≤22=，当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ············ 2分 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数，()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ··················· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ················ 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin3x ax>．于是，当(0arccos3)x a∈，时，sin sin()2cos3x xf x axx=>>+．当0a≤时，有π1π222f a⎛⎫=>∙⎪⎝⎭≥．因此，a的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．12分。
2006年高考理科综合试题及答案(全国卷1)
（2）现要测量某一电压表的内阻。给定的器材有：待测电压表（量程 2V，内阻约为4kΩ）；电流表（量程1.2mA，内阻约500Ω）；直流电 源E（电动势约2.4V，内阻不计）；固定电阻3个：R1=4000Ω， R2=10000Ω，R3=15000Ω；电键S及导线若干 mA 要求测量时两电表指针偏转均超过其量程的一半。 i.试从3个固定电阻中选用1个，与其它器材一起组成测量电路，并在虚 线框内画出测量电路的原理图。（要求电路中各器材用题中给定的符号 标出。） ii.电路接通后，若电压表读数为U，电流表读数为I，则电压表内阻RV × a c b d R
第Ⅱ卷（共10题，共174分）
注意事项： 第Ⅱ卷用0.5mm的黑色签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在 试题卷上无效。 22.（17分） （1）利用图中装置研究双缝干涉现象时，有下面几种说法： A.将屏移近双缝，干涉条纹间距变窄 B.将滤光片由蓝色的换成红色的，干涉条纹间距变宽 C.将单缝向双缝移动一小段距离后，干涉条纹间距变宽 D.换一个两缝之间距离较大的双缝，干涉条纹间距变窄 E.去掉滤光片后，干涉现象消失 其中正确的是：_______________。
A.无水螈的池塘中，锄足蝌蚪数量为J型增长
B.三种蝌蚪之间为竞争关系 C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪 D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果。 5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基 因羊。但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。以下有关叙 述，正确的是 A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基 酸数目的3倍 B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA分子导入羊的 受精卵 C.在该转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他 体细胞中 D.人凝血因子基因开始转录后，DNA连接酶以DNA分子的一条链为模 板合成mRNA 6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于 A.分子晶体 B.原子晶体 C.离子晶体 D.何种晶体无法判断 7.下列叙述正确的是 A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高 B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子 C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高 D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高 8.用NA代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是 A.0.5molAl与足量盐酸反应转移电子数为1NA B.标准状况下，11.2LSO3所含的分子数为0.5NA C.0.1molCH4所含的电子数为1NA D.46gNO2和N2O4的混合物含有的分子数为1NA 9.把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串联，在一 定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为 A.1:2:3 B.3:2:1 C.6:3:1 D.6:3:2 10.浓度均为0.1mol·L－1的三种溶液等体积混合，充分反应后没有沉淀 的一组溶液是 A.BaCl2 NaOH NaHCO3 B.Na2CO3 MgCl2 H2SO4 C.AlCl3 NH3·H2O NaOH D.Ba(OH)2 CaCl2 Na2SO4 11.在0.1mol·L－1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡： CH3COOHCH3COO－＋H+
2006北京高考数学真题与答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题北京卷源头学子小屋本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至2 页,第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项：1． 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 不能答在试卷上一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项（1）在复平面内，复数1ii+ 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有( )（A ）36 个 （B ）24 个 （C ）18 个 （D ）6 个（4）平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂直，且交α于点 C ，则动 点 C 的轨迹是（A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支（5）已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么 a 的取值范围是（A ）（0，1） （B ）（0，13） （C ）11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）]1,17⎡⎢⎣（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意1x ,2x (12x x ≠ ).2121()()f x f x x x -<-恒成立”的只有（A ）1()f x x=（B ）()f x x = （C ）()2xf x = （D ）2()f x x = （7）设4710310()22222()n f n n N +=++++⋅⋅⋅+∈,则()f n 等于（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +-（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A 、B 、 C 的机动车辆数如图所示，图中 123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB ⋂,BC ⋂，CA ⋂的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ） 123x x x >> （B ） 132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >>第 II 卷（共 110 分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分 把答 案填在题中横线上(9）22132lim 1n x x x →-++-的值等于______.(10）在72()x x的展开式中, 2x 的系数是______.（用数字作答） (11）若三点 A （2，2），B （a ，0），C （0，b ） (ab ≠0)共线，则,11a b+的值等于______ (12）在△ABC 中，若 sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是______(13）已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于______,最大值等于______.（14）已知A 、B 、C 三点在球心为 O ，半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，且 AB=R ，那么 A 、B 两点间的球面距离为______ 球心到平面 ABC 的距离为______.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）（本小题共 12 分）x 3x 2x 1C BA505530353020已知函数1)4()cos x f x xπ-=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值（16）（本小题共 13 分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '= 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）a ，b ，c 的值.(17）（本小题共 14 分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面 ABCD ，且 PA=AB ，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）求证：PB//平面 AEC ； （Ⅲ）求二面角 E —AC —B 的大小.（18）（本小题共 13 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求：（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19）（本小题共 14 分）已知点 M （－2，0），N （2，0），动点 P 满足条件|PM |－|PN |= P 的轨迹为 W.（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA 、OB 的最小值.（20）（本小题共 14 分）在数列n a 中，若 12,a a 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”n a 中，203a =,210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++ n=1，2，3，…，分虽判断当n →∞时, n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案北京卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1） 答案：D 解析：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D （2）答案：C解析：a b a c ⋅=⋅⇔a b a c 0••－＝⇔a b c 0•（－）＝⇔a b c ⊥（－）故选C（3） 答案：B解析：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有33A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋1333C A ＝24种方法，故选B（4） 答案：A解析：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A（5） 答案：C解析：：依题意，有0<a <1且3a －1<0，解得0<a <13，又当x <1时，（3a －1）x ＋4a >7a －1，当x >1时，log a x <0，所以7a －1≥0解得x ≥17故选C （6） 答案：A解析：2112121212x x 111|||||x x x x x x |x x |－－＝＝－|12x x 12∈，（，）12x x ∴>1121x x ∴<1∴1211|x x －|<|x 1－x 2|故选A （7） 答案：D解析：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D （8） 答案：C解析：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10 ∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 答案：12-解析：22132lim 1x x x x →-++-＝1x 1x 2lim x 1x 1x →-+••（）（＋）（＋）（－）＝1x 21lim x 12x →－＋＝－－ （10）答案：－14解析：73rr7rr r r2r+1772T C2C x x －－＝）（－）＝（－）令73r 22－＝得r ＝1故 2x 的系数为172C ⨯（－）＝－14（11） 答案：12解析：a 22AB ＝（－，－），C 2b 2A ＝（－，－） ，依题意，有（a －2）•（b －2）－4＝0即ab －2a －2b ＝0所以11a b +＝12（12） 答案：3π解析： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可解得B ∠的大小为3π. （13） 答案：102解析：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA ＝22 B （1，3），OB ＝10 C （1，1），OC ＝2 故|OP|的最大值为10， 最小值为2. （14）答案：13Rπ32R 解析：如右图，因为AC BC ⊥，所以AB 是截面 的直径，又AB ＝R ，所以△OAB 是等边三角形，所以∠AOB ＝3π，故,A B 两点的球面距离为3R π，于是∠O 1OA ＝30︒，所以球心到平面ABC 的距离OO 1＝Rcos30︒＝32R .（15）解：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得()2x k k Z ππ≠+∈，故()f x 在定义域为},,2x x k k Z ππ⎧≠+∈⎨⎩（Ⅱ）因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角, 所以43sin ,cos ,55αα=-=BO 1CA故12)4()cos f πααα-=2212(2cos 2)22cos ααα-=1sin 2cos 2cos ααα-+=22cos 2sin cos cos αααα-=2(cos sin )αα=- 145=（16）（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. 解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上()0f x '>,在(1,2)上()0f x '<,在(2,)+∞上()0f x '>, 故()f x 在(,1)-∞,(2,)+∞上递增,在(1,2)上递减,因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x =.(Ⅱ)2()32,f x ax bx c '=++ 由(1)0,(2)0,(1)5,f f f ''===得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,9,12.a b c ==-= 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m '=--=-+12oyx又2()32,f x ax bx c '=++ 所以3,,2,32m a b m c m ==-= 323()2.32m f x x mx mx =-+由(1)5f =,即325,32m m m -+= 得6m =,所以2,9,12a b c ==-=.（17） 解法一：（Ⅰ）∵PA ⊥平面 ABCD ，∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 EO.∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB.又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.（Ⅲ）如图，取AD 的中点F ，连EF ，FO ，则EF 是△PAD 的中位线，∴EF //PA 又PA ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD同理FO 是△ADC 的中位线，∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角.又FO ＝12AB ＝12PA ＝EF ∴∠EOF ＝45︒而二面角E AC B --与二面角E －AC －D 互补，故所求二面角E AC B --的大小为135︒.另法：取 BC 中点 G ，连接 OG ，则点 G 的坐标为(,,0)22a b ,OG =(0,,0)2b . 又(0,,),22b bOE =-(,0,0).AC a = ,,OE AC OG AC ∴⊥⊥EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角cos cos ,2OE OG EOG OE OG OE OG⋅=<>==-⋅ 135O EOG ∴∠=∴二面角E-AC-B 的大小为135o .（18）解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A ，B ，C ， 则(),(),()P A a P B b P C c === （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率1()()()()p P A B C P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅(1)(1)(1)ab c bc a ac b abc =-+-+-+ 2;ab bc ca abc =++-应聘者用方案二考试通过的概率 2111()()()333p p A B p B C p A C =⋅+⋅+⋅ 1()3ab bc ca =++.（Ⅱ）因为[,,0,1a b c ⎤∈⎦,所以122()23p p ab bc ca abc -=++-]2(1)(1)(1)0,3ab c bc a ca b ⎡=-+-+-≥⎣ 故12p p ≥,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.（19） 解法一：（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =又半焦距 c=2，故虚半轴长b ==所以 W 的方程为22122x y -=,x ≥（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-= 当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得 222(1)220.k x kmx m ----= 故1222,1km x x k +=- 21222,1m x x k +=- 所以 1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++2222222(1)(2)211k m k m m k k++=++-- 22221k k +=-2421k =+-. 又因为120x x >,所以210k ->,从而 2.OA OB ⋅>综上,当A B ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2.解法二:(Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为，则11(,)x y , 22(,)x y ,则22()()2(1,2).i i i i i i x y x y x y i -=+-==令,,i i i i i i s x y t x y =+=-则2,i i s t =且0,0(1,2)i i s t i >>=所以1212OA OB x x y y ⋅=+1122112211()()()()44s t s t s t s t =+++--1212112,22s s t t =+≥=当且仅当1212s s t t =,即1212,x x y y =⎧⎨=-⎩时”=”成立.所以OA 、OB 的最小值是2.（20）（Ⅰ）解：12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a ===（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2223242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======⋅⋅.⋅即自第 20 项开始 每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限 不存在.当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞= （Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下 假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而 当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥;当 12n n a a --<时, 2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1.令212122212(),(),n n n n n n n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩1,2,3,,n =⋅⋅⋅ 则101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=⋅⋅⋅由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与0n C >(1,2,3,,n =⋅⋅⋅) 矛盾. 从而{}n a 必有零项.若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即331320,,0,1,2,3,,,n k n k n k a a A k a A +++++=⎧⎪==⋅⋅⋅⎨⎪=⎩所以绝对差数列{}n a中有无穷多个为零的项.。
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2006高考理科数学试题全国II 卷
一．选择题（1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =
（A ）∅ （B ）{}|03x x << （C ）{}|13x x << （D ）{}|23x x <<
（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（A ）2π （B ）4π （C ）4π （D ）2
π （3）
2
3
(1)i =
- （A ）32i （B ）32i - （C ）i （D ）i - （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
（A ）
316 （B ）916 （C ）38 （D ）9
32
（5）已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2
213
x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（A
）（B ）6 （C
）（D ）12 （6）函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为
（A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y e x +=> （D ）1(1)x y e x -=>
（7）如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6
π。
过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、',B 则:''AB A B =
（A ）2:1 （B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3
（8）函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为
（A ）21
()(0)log f x x x
=
>（B ）21()(0)log ()f x x x =<-
（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<
（9）已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为
（A ）
53 （B ）43 （C ）54 （D ）3
2
A'
B'A B β
α
（10）若(sin )3cos 2,f x x =-则(cos )f x =
（A ）3cos 2x - （B ）3sin 2x - （C ）3cos 2x + （D ）3sin 2x +
（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612
S S =
（A ）
310 （B ）13 （C ）18 （D ）1
9
（12）函数19
1
()n f x x n ==
-∑的最小值为（A ）190
（B ）171 （C ）90 （D ）45
二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。
（13）在410
1()x x
+的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。
（用数字作答）
（14）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且1,4,AB BC ==则边BC 上的中线AD 的长为＿＿＿＿＿＿＿。
（15
）过点的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率____.k =
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布
直方图（如下图）。
为了分析居民的收入与年龄、
学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在
[2500,3000)（元）月收入段应抽出 人。
（17）（本小题满分１２分）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22
a b ππ
θθθ==-<< （I ）若,a b ⊥ 求;
θ（II ）求a b +
的最大值。
0.0005300035000.0003
0.0004200015000.00020.0001
4000
25001000月收入（元）
频率/组距
（18）（本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。
设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。
（I ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（II ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
（19）（本小题满分１２分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,AB BC D =、E 分别为1BB 、
1AC 的中点。
（I ）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（II
）设1,AA AC ==求二
面角11A AD C --的大小。
（20）（本小题１２分）设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
B
C
C 1
B 1
A 1
D
E
（21）（本小题满分为１４分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且
(0).AF FB λλ=>
过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
（I ）证明.FM AB 为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
（22）（本小题满分１２分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程 20n n x a x a --= 有一根为
1,1,2,3,...
n S n -= （I ）求12,;a a （II ）求{}n a 的通项公式
2006高考理科数学参考答案全国II 卷
一、选择题：
1．D 2．D 3． A 4．A 5． C 6．B 7． A 8．D 9． A 10．C
11．A 12．C 二、填空题：13．45
14． 15．2
16． 25
三、17.
14
π-18． E ξ
=1.2
17
50
19．∠A 1FE=60° 20．（－∞，1]
21．0, 1 4λ=时S 的最小值是22．a 1=12，a 2=1
6
，a n ＝1
n n 1)
（＋。