2006年高考理科数学试题(湖南卷)
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题：1.(2006北京文)如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-91.解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B2.（2006北京理）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +-2.解：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D3.(2006福建文、理)在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于( )A.40B.42C.43D.453．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B.4.(2006广东)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A.5B.4C. 3D.2 4、解：3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C.5. (2006湖南理)数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=( )A.12 B.23 C.32D.2 5．解：数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+2111119a a a a +==⋅=，1113n n n a a a a +=⋅=，∴数列}{n a 是首项为31，公比为31的等比数列。
全国大联考(湖南)06高三第二次联考·数学试卷(理)和答案
全国大联考(湖南专用)2006届高三第二次联考数学试卷(理)命题：湖南师大附中、长沙市雅礼中学等校 审定：江西金太阳教育研究所数学研究室考生注意：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分考试时间120分钟2． 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚3． 请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答题4． 本试卷主要考试内容：函数、集合、映射、简易逻辑第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列函数中是同一函数的是A y ＝1与y ＝x 0B y ＝x 与y ＝log a xaC y ＝2lg x 与y ＝lg x 2D y ＝2x ＋1－2x 与y ＝2x2若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ||x －3|≥6，x ∈R}，全集U ＝R ，则M ∩ðU N 的真子集个数是A 15B 7C 16D 83已知a ，b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a ，0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a +b 等于 A －1 B 0C 1D ±14已知f (x )＝－4－x 2在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是 A [－2，2] B [－2，0] C [0，2] D (－2，2) 5已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )在R 上是A 增函数B 减函数C 先增后减D 先减后增6已知p ：关于x 的方程x 2－ax +4＝0有实根，q ：二次函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若“p 或q ”是真命题，而“p 且q 是假命题”，则a 的取值范围是 A (－12，－4]∪[4，+∞) B [－12，－4]∪[4，+∞) C (－∞，－12)∪(－4，4) D [－12，+∞)7设a >1，实数x ，y 满足|x |－log a 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是8点P 是曲线y ＝2－ln2x 上任意一点，则点P 到直线y ＝－x 的最小距离为9设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是A (0，2)B (0，2]C (0，4]D (0，2)10设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠11，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则222123x x x ++等于A 5B 2b 2b 2C 13D 3c 2c 2第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100 分)二、填空题: 本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在题中的横线上11函数y ＝(49)x ＋(23)x －109的定义域为 12已知函数f (x )＝bx2－3x，若方程f (x )＝－2x 有两个相等的实根，则函数解析式为13某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数经检测，当t ＝2时，μ＝009μ0，则当稳定系数降为050μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝03010，lg3＝04771) 14已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个等式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b其中可能成立的关系式是 (填序号)15已知n 元集合M ＝{1，2，…，n }，设M 所有的3元子集的元素之和为S n ，则limn →∞S nn 2＝ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤已知集合A＝{x|log(x－a2)<0}，B＝{x||x－3|<a}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围13已知函数f (x )＝a ·2x －12x ＋1为R 上的奇函数⑴求f (x )及f －1(x )的解析式；⑵若当x ∈(－1，1)时，不等式f －1(x )≥log 21＋x m恒成立，试求m 的取值范围18(本小题满分14分)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )⑴若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；⑵若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调增减，求a 的取值范围某水库进入汛期的水位升高量h n (标高)与进入汛期的天数n 的关系是h n ＝205n 2＋6n ，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)⑴若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？ ⑵若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？ (参考数据：2272＝51529，2312＝53361)20 (本小题满分14分)设f (x )＝|x ＋1|＋|ax ＋1|⑴若f (－1)＝f (1)，f (－1a )＝f (1a )(a ∈R 且a ≠0)，试求a 的值；⑵设a >0，求f (x )的最小值g (a )关于a 的表达式定义函数f n(x)＝(1＋x)n－1，x>－2，n∈N＋，其导函数记为f n′(x)⑴求证：f n(x)≥nx；⑵设f′n (x0)f′n+1 (x0)＝f n(1)f n＋1(1)，求证：0<x0<1；⑶是否在在区间[a，b] (－∞，0]，使函数h(x)＝f3(x)－f2(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]2006数学试卷(理)参考答案（湖南专用）11(－∞，1] 12f (x )＝4x 3x －21313 14②④⑤ 1512提示：1D A 、B 、C 定义域不同，选D2B M ＝{0，1，4，9，…}，ðU N ＝{－3，9}，∴M ∩ðU N ＝{0，1，4}，∴M ∩ðU N 的真子集个数为23－1＝73C 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝14B定义域和值域相等，图象本身关于直线y ＝x 对称，故原函数图象为圆x 2＋y 2＝4在第三象限的14圆5B 由f (x )的任意性，可用特例，令f (x )＝x ，则F (x )＝1－x －(3＋x )＝－2－2x ，∴F (x )是减函数6C p ：△＝a 2－16≥0，a ∈(－∞，－4]∪[4，∞)q ：－a4≤3，a ≥－12，a ∈[－12，＋∞)p 真q 假：(－∞，－12)，p 假q 真：a ∈(－4，4)， 故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)7B y ＝(1a )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，a x，x <0。
2006年湖南高考数学试题（理科）及答案
2006年湖南高考数学试题（理科）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数2log 2-=x y 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞ 2. 若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞→)(lim 21n n a a aA ．21 B ．32 C ．23D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是 A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有A ． 16种B ．36种C ．42种D ．60种7. 过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是A ． 10B ．5C ．310D ．25 8. 设函数1)(--=x ax x f , 集合}0)(|{},0)(|{>'=<=x f x P x f x M , 若P M ⊂, 则实数a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．)1,0(C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是图1A ．22 B ．23 C ．2 D ．3 10. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 注意事项：请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。
2006年高考数学试卷(全国Ⅰ.理)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-CD ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．4D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
2006年高考湖南卷理科数学试题及参考答案
1.证：对疾病过程中所处一定（当前）阶段的病位.病性等病理本质所作的概括2.主诉：病人就诊时最感痛苦的症状.体征及持续时间3.畏寒：病人自觉寒冷.多加衣被或近火取暖而能缓者.谓之畏寒4.潮热：指按时发热.或按时热势加重.如潮汐之有定时的症状5.日晡潮热：下午3-5时（申时）热势较高者.称日晡潮热.常见于阳明俯实证，故又称阳明潮热6.战汗：病人先恶寒战栗后而汗出的症状7.盗汗：指睡则汗出.醒则汗止的症状8.客色：因外界因素（如季节.昼夜.阴晴气候等）的不同，或生活条件的差别而微有相应变化的正常肤色（特别是面色），谓之客色9.善色：指病人面色虽有异常，但仍光明润泽。
病情尚浅，脏腑精气未衰，胃气尚能上荣于面，多见于新病、轻病、阳症，其症难治，预后较差10.恶色：病人面色异常，且枯槁晦暗、病变深重，脏腑精气已衰，胃气不能上荣于面，多见于久病.重病.阴症.其症难治，预后较差11.瘿瘤：颈部喉结处有肿块突起，或大或小，或单侧或双侧，可随吞随咽而上下移动，多因肝郁气结痰凝所致，或因水土失调，痰气搏结所致12.瘰疬：颈侧颌下有肿块如豆，累累如串珠，多由肺肾阴虚，虚火内灼，炼液为痰，结于颈部，或因外感风火时毒，夹痰结于颈部所致13.痄腮：一侧或两侧腮部以耳垂位中心肿起，边缘不清，按之有柔韧感，及压痛者，为痄腮14.发颐：颧下颌上耳前发红肿起，伴有寒热，疼痛者为发颐，或为托腮痈15.阳痿：病人阴茎不能勃起，或勃起不坚，或坚而不能持久，不能进行性交的症状16.遗精：病人不性交而精液遗泄的症状。
清醒时精液流出者，谓之“滑精”，梦中性交而遗精者称之“梦遗”17.早泄：患者阴茎插入阴道不足一分钟，甚至尚未插入便发生射精，不能正常性交的症状18.崩漏：非正常行经周期阴道出血症状，若来势凶猛，出血量多者，谓之崩，势缓而量少，淋沥不断者，谓之漏，合称崩漏19.癃闭：小便不畅，点滴而出为癃，小便不通，点滴而出为闭，合称癃闭20.里急后重：指便前腹痛，急迫欲便，便时窘迫不畅，肛门重坠，便意频数的症状21.谵语：指神恶不清，语无伦次，声高有为的症状22.金实不鸣：新病音哑或失音者，多属实证，多因外感，风寒或风热袭肺，或痰湿壅肺，肺失清肃，邪闭清窍所致23.金破不鸣：久病音哑或失音者，多属虚证，多因各种原因导致阴虚火旺，肺肾精气内伤所致24.太息：指情志抑郁，胸闷不畅时发出的长吁或短叹声，又称叹息25.舌苔：舌面上的一层苔状物，由脾胃之气蒸化胃中食浊而产生26.腻苔：胎质较密，颗粒细小，融合成片，如涂有油腻之状，中间厚边周薄，紧贴舌面，揩之不去，刮之不去27.脉象：手指感觉脉搏跳动的形象，或称为脉动应指的形象28.真脏脉：疾病危重期出现的无胃、无神、无根的脉象29.洪脉：脉体宽大，充实有力，来盛去衰，状如波涛汹涌30.滑脉：脉搏形态应指圆滑，如同圆珠流畅池由尺部向寸部滚动，浮中.沉取皆可感到（往来流利，应指圆滑，如盘走珠）31.弦脉：脉形端直而似长，脉势较强，脉道较硬，切脉时有挺然指下，直起直落的感觉（端直以长，如按琴弦）32.合病：伤寒病不经过传变，两经或三经因时出现病证，称“合病”33.并病：伤寒病凡一经病证未罢，又见他经病症者，称“并病”34.逆传：邪入卫分后，不经过气分阶段而直接进入营血分35.八纲：指表.里.寒.热.虚.实.阴.阳八个纲领1、表征问汗有什么意义？表征是外邪侵犯机体的一种征候，但邪气有寒邪、热邪、风邪等不同，通过问汗可以有助于辨别病邪性质和机体营卫是否失常。
2006高考全国统一考试数学(全国Ⅰ.理)含答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试（I ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34 C ．4 D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
2006年高考湖南卷理科综合试题及参考答案
关于茉莉醛的下列叙述错误的是 A.在加热和催化剂作用下，能被氢气还原 B.能被高锰酸钾酸性溶液氧化 C.在一定条件下能与溴发生取代反应 D.不能与氢溴酸发生加成反应 13.由硫酸钾、硫酸铝和硫酸组成的混和溶液，其 pH＝1，c（Al3+）＝0.4mol·L-1，c（SO42-） ＝0.8mol·L-1，则 c（K+）为 A.0.15mol·L-1 B.0.2mol·L-1 C.0.3mol·L-1 D.0.4mol·L-1 二、选择题（本题包括 8 小题。每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有 多个选项正确，全部选对的得 6 分，选对但不全得得 3 分，有选错得 0 分）
A.无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为 J 型增长 B.三种蝌蚪之间为竞争关系 C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪 D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果 5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。但是，人凝血 因子只存在于该转基因羊的乳汁中。以下有关叙述，正确的是 A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的 3 倍 B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组 DNA 分子导入羊的受精卵 C.在转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中 D.人凝血因子基因开始转录后，DNA 连接酶以 DNA 分子的一条链为模板合成 mRNA 6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于 A.分子晶体 B.原子晶体 C.离子晶体 D.何种晶体无法判断 7.下列叙述正确的是 A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高 B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子 C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高 D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高 8.用 N A 代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是 A.0.5molAl 与足量盐酸反应转移电子数为 1 N A B.标准状况下，11.2L SO3 所含的分子数为 0.5 N A C.0.1mol CH 4 所含的电子数为 1 N A D.46g NO2 和 N 2O4 的混合物含有的分子数为 1 N A
2006年高考湖南卷(理科数学)
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖南卷）一、选择题：本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 函数2log 2-=x y 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞2.若数列}{n a 满足：311=a ，且对任意正整数m ，n 都有n m n m a a a ⋅=+，则 A ．21 B ．32 C ．23 D ．2 3.过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线，其中与平面 11D DBB 平行的直线共有A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ 6.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种7.过双曲线M ：2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,，且AB BC =，则双曲线M 的离心率是A ．10B ．5C ．310 D ．25 8.设函数1)(--=x a x x f ，集合{|()0}M x f x =<，{|()0}P x f x '=>，若P M ⊂,则实数a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．)1,0(C ．),1(+∞D ．),1[+∞9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A ．22 B ．23 C ．2 D ．310.若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线l ：0ax by +=的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.11.若5)1-ax （的展开式中3x 的系数是80-，则实数a 的值是 . 12.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，则22y x +的最小值是 .13.曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 .14.若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数，则有序实数对),(b a 可以是 .(注：写出你认为正确的一组数字即可)15.如图2，AB OM //，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当21-=x 时，y 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）如图3，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AB AD =，记C A D α∠=，ABC β∠=. （Ⅰ）证明：02cos sin =+βα； （Ⅱ）若DC AC 3=，求β的值. 17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格, 则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01).（Ⅰ）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（Ⅱ）平均有多少家煤矿必须整改；（Ⅲ）至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为1和2，4=AB （Ⅰ）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线AQ 与PQ 所成的角；（Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离.19．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-=，数列}{n a 满足：101<<a ， ,3,2,1=n .证明： （Ⅰ）101<<<+n n a a ；（Ⅱ）3161n n a a <+. 20．（本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义A B CA B CD P为：）物体质量（含污物）污物质量-1为8.0，要求清洗完后的清洁度为99.0.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a （13a ≤≤）.设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x )1(->a x ，用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是a y ac y ++， 其中c )99.08.0(<<c 是该物体初次清洗后的清洁度.（Ⅰ）分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（Ⅱ）若采用方案乙，当a 为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21．（本小题满分14分）已知椭圆1C ：22143x y +=，抛物线2C ：2()2y m px -=(0)p >，且1C ，2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当AB x ⊥轴时，求m ，p 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）是否存在m ，p 的值，使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m ，p 的值；若不存在，请说明理由.。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x 对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，3则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f （x）是y=e x的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y ﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0 【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y ﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x 0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M 的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f （x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1（ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1． 综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n ﹣1，然后有a n =S n ﹣S n ﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．再由①有S n﹣1=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
一道考查考生思维能力的好题——谈2006年湖南省高考试题(理科)第19题
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试 （ 南 卷 ） 学 试 题 在 前 两 年 （自 主 命 题 ） 面 考 湖 数 全 查 考 生思 维能 力 、 算 能力 、 问 想 象 能力 以 及 综 合 运 空
运用 数学 知识 问 题 和 解 决 问题 的 能 力 的 基 础 上 ， 继
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又 ０＜口 ＜１时 ， 单 位 圆 中 ， 角 所 对 的 正 。 在 由 弦 函数 线 小 于该 角 所对 的弧 长 知 口 ＞ ｉａ． 。 ｓ ｎ
故 ０＜口 ＜１成 立 ， 当 ，＝ｋ＋１时 ， 论 成 即 Ｉ 结
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函数 ， （ 在 ［ １ 上连 续 ， 而 ｆ ０ ， ）＜ 又， ） ０， ］ 从 （ ）＜ （ ，
试题 文字 简洁 ， 已知 条件 、 求结论 一 目了然 ， 要
但它却是一道 函数 、 数列 、 等式 、 角 函数 的综 合 不 三 题． 正因为它 的“ 综合 ” 程度 高 ， 因此 难倒 了不 少 考
生 ， 省 平 均分 约ห้องสมุดไป่ตู้为 ２４分 （ 小 题 满 分 １ 全 ． 本 ４分 ） ．
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题：1.(2006北京文)如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-91.解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B2.（2006北京理）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +-2.解：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D3.(2006福建文、理)在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于( )A.40B.42C.43D.453．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B.4.(2006广东)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A.5B.4C. 3D.2 4、解：3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C.5. (2006湖南理)数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=L ( )A.12 B.23 C.32D.2 5．解：数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+2111119a a a a +==⋅=，1113n n n a a a a +=⋅=，∴数列}{n a 是首项为31，公比为31的等比数列。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，1则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a ＜2时，f'（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数． （ⅲ）当a ＞2时，0＜＜1，令f'（x ）=0， 解得x 1=，x 2=．当x 变化时，f′（x ）和f （x ）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1 （ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e ﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1．综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：． 【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n，然后有a n=S n﹣S n﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；﹣1对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，再由①有S n﹣1将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)
2006年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.(2006安徽理)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 1. 解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A2. (2006湖南理)设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞) 2．解：设函数1)(--=x ax x f , 集合{|()0}M x f x =<，若a >1时，M={x | 1<x <a }； 若a <1时M={x | a <x <1}，a =1时，M=∅；{|()0}P x f x '=>，∴'()f x =2(1)()(1)x x a x ---->0， ∴ a >1时，P=R ，a <1时，P=∅； 已知P M ⊂,所以选C.3．(2006江西文、理)对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ） Ａ．(0)(2)2(1)f f f +< Ｂ．(0)(2)2(1)f f f +≤ Ｃ．(0)(2)2(1)f f f +≥ Ｄ．(0)(2)2(1)f f f +>3. 解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值， 即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C4. (2006全国II 文)过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=4. 解：21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为201x +，且20001y x x =++ 于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x ＝0或－4，代入可验正D 正确。
2006年全国高考理科数学试题及答案
）4p）2p43p（3）23(1)i =-（A ）32i （B ）32i - （C ）i （D ）i -（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为的比为（A ）316（B ）916（C ）38（D ）932（5）已知A B C D 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则A B C D 的周长是的周长是（A ）23 （B ）6 （C ）43 （D ）12 （6）函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为的反函数为 （A ）1()x y e x R +=Î （B ）1()x y e x R -=Î（C ）1(1)x y ex +=> （D ）1(1)x y ex -=>（7）如图，平面a ^平面b ，,,A B AB a b ÎÎ与两平面a 、b 所成的角分别为4p和6p。
过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、',B 则:''A B A B =（A ）2:1 （B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3（8）函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为的表达式为（A ）21()(0)log f x x x => （B ）21()(0)log ()f x x x =<-（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<A'B'A B ba（9）已知双曲线22221xya b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为（A ）53（B ）43（C ）54（D ）32（10）若(sin )3cos 2,f x x =-则(cos )f x = （A ）3cos 2x - （B ）3sin 2x -（C ）3cos 2x + （D ）3sin 2x +（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612S S =（A ）310（B ）13（C ）18（D ）19（12）函数191()n f x x n ==-å的最小值为的最小值为（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 理科数学第ＩＩ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04导数及其应用)
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（04导数及其应用）一、选择题：1.(2006安徽理)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 1. 解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4， 而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A2. (2006湖南理)设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞) 2．解：设函数1)(--=x ax x f , 集合{|()0}M x f x =<，若a >1时，M={x | 1<x <a }； 若a <1时M={x | a <x <1}，a =1时，M=∅；{|()0}P x f x '=>，∴'()f x =2(1)()(1)x x a x ---->0， ∴ a >1时，P=R ，a <1时，P=∅； 已知P M ⊂,所以选C.3．(2006江西文、理)对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ） Ａ．(0)(2)2(1)f f f +<Ｂ．(0)(2)2(1)f f f +≤Ｃ．(0)(2)2(1)f f f +≥ Ｄ．(0)(2)2(1)f f f +>3. 解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值， 即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C4. (2006全国II 文)过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=4. 解：21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为201x +，且20001y x x =++ 于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x ＝0或－4，代入可验正D 正确。
一道考查考生思维能力的好题_谈2006年湖南省高考试题_理科_第19题
∵0 < ak + 1 < 1, 有 0 < sinak + 1 < 1, ∴f ( 0 ) < f ( ak + 1 ) = ak + 2
= ak + 1 - sinak + 1 < ak + 1 < 1,
一个与自然数有关的命题 , 因此 , 我们自然想到用数 学归纳法证明它 . 证法 1 先用数学归纳法证明 0 < an < 1, n = 1,
立 . 从而 g ( x ) = sin x - x +
数 , 又它在 [ 0, 1 ]上连续 , 且 g ( 0 ) = 0, 所以 g ( x ) > 0 在 ( 0, 1 ) 上恒成立 . 于是 0 < an < 1 时 , g ( an ) > 0, 即
sinan - an + 1 3 1 3 a > 0, 故 an + 1 < a. 6 n 6 n 1 3 x , 0 <x < 6
函数 , 又 f ( x ) 在 [ 0, 1 ]上连续 , 从而 f ( 0 ) < f ( x ) < f
( 1 ) , 即 0 < f ( x) < 1 - sin1 < 1 恒成立 .
因为 0 < a1 < 1, a2 = f ( a1 ) , 由上面的结论知 0 <
32
f ( a1 ) < 1, 所以 0 < a2 < 1.
> 0 在 0 < an < 1 时恒成立 , 即求函数 g ( x ) = sinx - x + 1 3 x 在区间 [ 0, 1 ]上的最小值为 0. 6
2006年高考理科数学试题(湖南卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）数学试卷(理工农医类) 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数2log 2-=x y 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞ 2. 若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞→)(lim 21n n a a aA ．21 B ．32 C ．23D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则与的夹角的取值范围是 A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有A ． 16种B ．36种C ．42种D ．60种7. 过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是A ． 10B ．5C ．310D ．25 8. 设函数1)(--=x ax x f , 集合}0)(|{},0)(|{>'=<=x f x P x f x M , 若P M ⊂, 则实数a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．)1,0(C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是图1A ．22 B ．23 C ．2 D ．3 10. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 注意事项：请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。
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2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
数学试卷(理工农医类) 注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数2log 2-=
x y 的定义域是
A ．),3(+∞
B ．),3[+∞
C ．),4(+∞
D ．),4[+∞ 2. 若数列}{n a 满足: 3
1
1=
a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞
→)(lim 21n n a a a
A ．
21 B ．32 C ．2
3
D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有
A ．4条
B ．6条
C ．8条
D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则与的夹角的取值范围是 A ．]6,
0[π
B ．],3[ππ
C ．]32,3[ππ
D ．],6
[ππ
6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有
A ． 16种
B ．36种
C ．42种
D ．60种
7. 过双曲线1:22
2
=-b
y x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条
渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是
A ． 10
B ．5
C ．310
D ．2
5 8. 设函数1
)(--=
x a
x x f , 集合}0)(|{},0)(|{>'=<=x f x P x f x M , 若P M ⊂, 则实数a 的取值范围是
A ．)1,(--∞
B ．)1,0(
C ．),1(+∞
D ．),1[+∞ 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,
则图中三角形(正四面体的截面)的面积是
图1
A ．
22 B ．2
3 C ．2 D ．3 10. 若圆010442
2
=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ． ]412[
π
π， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]2
0[π， 注意事项：
请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。
答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 若
5
)1-ax （的展开式中3
x 的系数是80-, 则实数a 的值是__________. 12. 已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则2
2y x +的最小值是_____________.
13. 曲线x
y 1=
和2
x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ___________. 14. 若)0)(4
sin()4sin()(≠-++
=ab x b x a x f π
π
是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)
15. 如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是__________; 当
2
1
-=x 时, y 的取值范围是__________.
图2
O A
B
P
M
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）
如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点, βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记. (Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=
,求β的值.
图3
C
D
B A
17. （本小题满分12分）
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是5.0, 整改后安检合格的概率是8.0, 计算(结果精确到01.0);
(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .
18. （本小题满分14分）
如图4, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2, 4=AB (Ⅰ) 证明: ABCD PQ 平面⊥ ; (Ⅱ) 求异面直线PQ AQ 与所成的角; (Ⅲ) 求点P 到平面QAD 的距离.
D
图4
C
B
A
Q P
19．（本小题满分14分）
已知函数x x x f sin )(-=, 数列}{n a 满足: 101<<a , ,3,2,1=n 证明 (Ⅰ) 101<<<+n n a a ; (Ⅱ) 3
16
1n n a a <+ . 20．（本小题满分14分）
对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:
）物体质量（含污物）
污物质量
-
1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0. 有两种方案可供选
择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为)31(≤≤a a . 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是
1
8
.0++x x )1(->a x , 用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
a y ac y ++, 其中c )99.08.0(<<c 是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水
量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
21．（本小题满分14分）
已知椭圆13
4:2
21=+y x C , 抛物线)0(2)(:22>=-p px m y C , 且21,C C 的公共弦 AB 过椭圆1C 的右焦点 .
(Ⅰ) 当轴时x AB ⊥, 求p m ,的值, 并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上; (Ⅱ) 是否存在p m ,的值, 使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上? 若存在, 求出符合条
件的p m ,的值; 若不存在, 请说明理由 .。