2006年高考理科数学试题(湖南卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

数学试卷(理工农医类) 注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条

形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数2log 2-=

x y 的定义域是

A ．),3(+∞

B ．),3[+∞

C ．),4(+∞

D ．),4[+∞ 2. 若数列}{n a 满足: 3

1

1=

a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞

→)(lim 21n n a a a

A ．

21 B ．32 C ．2

3

D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有

A ．4条

B ．6条

C ．8条

D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则与的夹角的取值范围是 A ．]6,

0[π

B ．],3[ππ

C ．]32,3[ππ

D ．],6

[ππ

6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有

A ． 16种

B ．36种

C ．42种

D ．60种

7. 过双曲线1:22

2

=-b

y x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条

渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是

A ． 10

B ．5

C ．310

D ．2

5 8. 设函数1

)(--=

x a

x x f , 集合}0)(|{},0)(|{>'=<=x f x P x f x M , 若P M ⊂, 则实数a 的取值范围是

A ．)1,(--∞

B ．)1,0(

C ．),1(+∞

D ．),1[+∞ 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,

则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

图1

A ．

22 B ．2

3 C ．2 D ．3 10. 若圆010442

2

=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ． ]412[

π

π， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]2

0[π， 注意事项：

请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.

把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

11. 若

5

)1-ax （的展开式中3

x 的系数是80-, 则实数a 的值是__________. 12. 已知⎪⎩

⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则2

2y x +的最小值是_____________.

13. 曲线x

y 1=

和2

x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ___________. 14. 若)0)(4

sin()4sin()(≠-++

=ab x b x a x f π

π

是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)

15. 如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是__________; 当

2

1

-=x 时, y 的取值范围是__________.

图2

O A

B

P

M

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点, βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记. (Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=

,求β的值.

图3

C

D

B A

17. （本小题满分12分）

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是5.0, 整改后安检合格的概率是8.0, 计算(结果精确到01.0);

(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .