2006年高考理科数学试题及答案(北京卷)

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）若a 与b c - 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅ ”是“()a b c ⊥-”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A ）36个 （B ）24个（C ）18个（D ）6个（4）平面α的斜线AB 交α于点B，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （A ）一条直线（B ）一个圆（C ）一个椭圆（D ）双曲线的一支（5）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)7（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有（A ）1()f x x=（B ）()||f x x =（C ）()2x f x =（D ）2()f x x =（7）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（A ）2(81)7n- （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +-（D ）42(81)7n +-（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >>绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）22132lim 1x x x x →-++-的值等于__________________. （10）在72)x的展开式中，2x 的系数中__________________（用数字作答）.（11）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于_________________. （12）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.（13）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________.（14）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且A B R =，那么,A B两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC 的距离为______________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共12分）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值. （16）（本小题共13分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.（17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小. （18）（本小题共13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19）（本小题共14分）已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.（20）（本小题共14分）在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,n n n a a a n --=-= ，则称{}n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，1,2,3,n = ，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.2006年高考理科数学参考答案（北京卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）21-（10）－14 （1）21 （12）3π （13）210 （14）R π31R 23三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）解：（Ⅰ）由cosx ≠0得)(2Z k k x ∈+≠ππ故f (x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+≠Z k k x ,2ππ （Ⅱ）因为34tan -=a ，且a 是第四象限的角。

所以54sin -=a ，53cos =a 故aa a f cos )42sin(21)(π--=514)sin (cos 2cos cos sin 2cos 2cos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(212=-=-=+-=--=a a aaa a aa a aa a（16）（共13分）解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上0)(>'x f ，在（1，2）上0)(<'x f ，在（2，＋∞）上0)(>'x f故)(x f 在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。

因此)(x f 在x =1处取得极大值，所以10=x 。

（Ⅱ）c bx ax x f ++='23)(2由,5)1(,0)2(,0)1(=='='f f f得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++50412023c b a c b a c b a 解得a =2，b = -9，c =12 解法二： （Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设m mx mx x x m x f 23)2)(1()(2+-=--=' 又c bx ax x f ++='23)(2所以,2,23,3m c m b m a =-==mx mx x m x f 2233)(23+-=由5)1(=f即52233=+-m m m 得m=6所以a=2，b= -9，c=12（17）（共14分）解法一：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ∴AB 是PB 在平面ABCD 上的射影 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO 。

∵ABCD 是平等四边形， ∴O 是BD 的中点， 又E 是PD 的中点， ∴EO ∥PB又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC 。

（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为)0,200,2,2(bb a ，）， 又)0,0,(),2,2,0(0a bb =-=∴00,00=⋅=⋅AC G AC E ∴OE ⊥AC ，OG ⊥AC∴∠EOG 是二面角E-AC-B 的平面角。

∵220,0cos cos -=>=<=EOG∴︒=∠135EOG∴二面角B AC E --的大小为︒135（18）（共13分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ， 则()()()c C P b B P a A P ===,, （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率()()()()()()()abcca bc ab abcb ac a bc c ab C B A P C B A P C B A P C B A P p 21111-++=+-+-+-=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=应聘者用方案二考试通过的概率()()()()ca bc ab C A P C B P B A P p ++=⋅+⋅+⋅=313131312（Ⅱ）因为[]1,0,,∈c b a 所以()()()()[]2121011132232p p b ca a bc c ab abc ca bc ab p p ≥≥-+-+-=-++=-故 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。

（19）（共14分）解法一：（Ⅰ）由22=-PN PM 知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长2=a又半焦距c=2，故虚半轴长222=-=a c b所以W 的方程为2,12222≥=-x y x （Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（11,y x ），（22,y x ）当2,,,,212121212121=-=+=-==⊥y x y y x x y y x x x AB 从而轴时当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，与W 的方程联立，消去y 得：()0221222=----m kmx xk故12,122221221-+=-=+k m x x k km x x 所以2121y y x x +=⋅()()()()()()14212212121122222222222212122121-+=-+=+-+-++=++++=+++=k k k m k mk k mk m x x km x x k m kx m kx x x又因为200,01,0221>⋅>->k x x 从而所以 综上，当OB OA x AB ⋅⊥,轴时取得最小值2。