研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

任取该集合中的三个元素,设为 α = (a, b), β = (c, d ), γ = ( f , g ) ,以及任意实 数 k , l ,则有 ① α ⊕ β = ( a + c, b + d + ac ) = β + α ; ② (α ⊕ β ) ⊕ γ = (a + c, b + d + ac) ⊕ γ
2
⑤ 1 o (a, b) = (1a,1b +
⑥ k o (l o α ) = k o (l o ( a, b)) = k o (la, lb +
l (l − 1) 2 a ) 2 l (l − 1) 2 k (k − 1) = (k (la ), k (lb + a )+ (la ) 2 ) 2 2 kl (kl − 1) 2 = (kla, (kl )b + a ) = (kl ) o (a, b) = (kl ) o α ; 2 (k + l )((k + l ) − 1) 2 ⑦ (k + l ) o α = (k + l ) o (a, b) = ((k + l )a, (k + l )b + a ) 2 k (k − 1) 2 l (l − 1) 2 = (ka + la, (kb + a ) + (lb + a ) + (ka)(la)) 2 2 k (k − 1) 2 l (l − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (la, lb + a ) 2 2
= (k o α ) ⊕ (k o β ) .
(4)是.对任意 a,b∈R+,有 a ⊕ b = ab ∈ R ;又对任意 k ∈ R 和 a ∈ R , 有 k o a = a ∈ R ,即 R+对所定义的加法与数乘运算封闭。
《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 2.2

= k1 1 ( 1 , ) k 2 2 ( 2 , ) = k1 H 1 k 2 H 2 故 是线性变换.又因为
( H , H ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ) 2 ( 2 2 )
, (i 1, , n 2) .如此
又因为各行与第 n 1 行正交,故 ai ,n1 0 由下往上逐行递推,即得结果.
8
17. 证:因为
( A S )( A S ) ( A S ) ( A S ) ( A S )
1 T 1 T T
5. 证:由 ( ( ( 得
cos , ( , )
( ), ( ), (β),
(β))= ( , β) ( ))=( , ) (β))= (β, β)
. ( ), (β))/| ( ), (β)> ( ) || (β)) |
= (
= cos<
1
1
,使
1
( 1 ) 1 . 令
1
( j ) j ( j 2,3, , n) ,如果 j j , j 2,3, , n ,则
2
=
,结论
成立.否则可设 2 2 ,再作镜面反射
2
:
2 2 2 2
( ) 2( , ) ,
于是
2
( 2 ) 2 ,且可验算有
2
(1 ) 1 .
如此继续下去,设经 s 次正交变换
1 , 2 , n , 1 , 2 , , n
1 , 2 , 3, , n 1 , 2 , , n
矩阵论课后题答案(研究生用书)改

⎞ ⎠
⎠
A
P
⎞ ⎠
⎠ ⎞
P
⎠
− 1
A
⎠
A
J
P
P
A P
J
A f f A f E E A A A A
⎞ ⎠
A
A
A
A
E
A
E
⎞
A
A A E
A
⎠
f A
A
A
A
A
A
E
A
E
E
A A
⎠
⎞
A A A
A
A
E
2
f
E
A
f A
⎞ ⎠
A
A A A E A
A
E
A
A
⎠ ⎞
E
A
E
⎠
⎞
⎞ ⎠
f A E
E
⎞
A
A
E
⎞ ⎠
f A E E E
0 0
x
x
x
A A
E
E E A A A A A E
⎞ ⎠
j
E
E A A A A
A
E E
A E
E A
A
A
E A
A
A
F
j
F
j
j
A
E
A
A
A A E A g A E A E A E A g A A E A E E A A A E
A
A
A
F
A
A
H
A
A A A A
F
A
H
A
A
A
A
A
A
F
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二1.化下列矩阵为Smith 标准型:(1)222211λλλλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦; (2)22220000000(1)00000λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (3)2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦. 解:(1)对矩阵作初等变换133122222222111001100(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦23221311(1)1010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦,则该矩阵为Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦;(3)对矩阵作初等变换1332212132132222222222242322(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3122131211342322(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦故该矩阵的Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换152323230100014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦12213231322000100010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2143145425222000101000000000000000000001000000010010000001r r c c c c c c c c λλλλλλλλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦在最后的形式中,可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 2.求下列λ-矩阵的不变因子:(1)210021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;(2)10010000λαββλαλαββλα+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦; (3)100100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦; (4)0012012012002000λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. 解:(1)该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1,故12()()1,D D λλ==而33()(2)D λλ=-,所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;(2)当0β=时,由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+,21()()1D D λλ==,故不变因子为12()()1d d λλ==,2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时,由于224()[()]D λλαβ=++,且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=,则3()1D λ=,故21()()1D D λλ==,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;(3)该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-,故123()()()1,D D D λλλ===而4324()2345D λλλλλ=++++,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;(4)该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3.求下列λ-矩阵的初等因子:(1)333232212322λλλλλλλλ⎡⎤++⎢⎥--+--+⎣⎦; (2)3223222212122122λλλλλλλλλλ⎡⎤-+--+⎢⎥-+--⎣⎦. 解:(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-,故初等因子为21,(1)λλ+-;(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-,故不变因子为12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-因此,初等因子为1,1,1λλλ+--.4.求下列矩阵的Jordan 标准形:(1)131616576687⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦;(2)452221111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦;(3)3732524103-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4)111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦;(5)03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦;(6)1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解:(1)设该矩阵为A ,则210001000(1)(3)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+,则A 的Jordan 标准形为300011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (2)设该矩阵为A ,则310001000(1)E A λλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,故A 的初等因子为3(1)λ-,从而A 的Jordan 标准形为110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3)设该矩阵为A ,则210001000(1)(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为1,,,i i λλλ-+-从而A 的Jordan 标准形为1000000i i ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4)设该矩阵为A ,则21000000E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故A 的初等因子为2,λλ,从而A 的Jordan 标准形为000001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (5)设该矩阵为A ,则210001000(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,故A 的初等因子为2,(1)λλ+,从而A 的Jordan 标准形为000011001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (6)设该矩阵为A ,则1234012300120001E A λλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦, 该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-,则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-,故初等因子为4(1)λ-,则A 的Jordan 标准形为1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5.设矩阵142034043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求5A .解:矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--,故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100050005⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -⎡⎤⨯⨯-⎢⎥=Λ=-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦. 6.设矩阵211212112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,求A 的Jordan 标准形J ,并求相似变换矩阵P ,使得1P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,故其初等因子为21,(1)λλ--,故A 的Jordan 标准形100011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x -⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭解之,得12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组1122312111222,111x k x k x k k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7.设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --⎡⎤⎢⎥-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.8.证明:任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则11231211()n n n n nA A a A a A a I a -----=-++++9.设矩阵2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I ----⎡⎤⎡⎤-++-=-==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1,-1,2,试将2nA 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得21,1,422.n a b c a b c a b c ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解之,得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式:(1)311020111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(2)422575674-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (3)n 阶单位阵n I ;(4)n 阶方阵A ,其元素均为1;(5)0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解:(1) 设311020111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 231110002002011100(2)I A λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基,该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) , 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 , 易 证
解
(1)设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j , 则 Fij 是对称矩阵, 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 , 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n , 其 中 aij = a ji , 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
矩阵论第二章答案

n
n
(α, β ) = ∑ iξiηi ∑ = iηiξi =( β ,α )
i =1
i =1
n
n
n
(α, β + γ ) = ∑iξiηi (ηi + Ci ) = ∑ iξiηi ∑ + iξiηiCi = (α, β ) + (α,γ )
i =1
i =1
i =1
1
当α = θ 时, (α,α ) = 0 ;当α ≠ 0 ,存在 i0 使得ζ i0≠ ≠ 0 ,从而
k1(xi , x1) + k2 (xi , x2 ) + L + km (xi , xm ) = 0 ,
i = 1,2,L, m
由于上述方程组仅有零解 k1 = k2 = L = km = 0 (意味着 x1, x2 ,L, xm 线性无关)
的充要条件是系数行列式 det△ ≠ 0 ,从而得证.
10. 证: 设基(I)与基(II)的度量矩阵分别为 A 与 B,向量
)T
A(CY2
)
( ) =
X
T 2
C T AC Y2
=
X
T 2
BY2
11. 解: (1) ⇒ u= a v , θ = cos−1((u,v)) = cos−1( a(v,v)) = cos−11 =0
uv
avv
3
⇐ 由 cos−1 ((u, v)) = 0 , u 与 v 必共线,
uv
即成比例 u= a v ,且 a f 0 ;
(2) ⇒ u= a v ( a p 0), θ = cos−1 ((u, v)) = cos−1 ( a(v, v)) = cos−1 (−1) =π
研究生 矩阵论 课后答案

|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知
矩阵论课后习题答案

第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、(1)对于V y x ∈∀,,x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211;(2)对于V z y x ∈∀,,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ,即)()(z y x z y x ++=++。
(3)对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀,显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ; (4)对于V x ∈∀,令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y , 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ,即x y -=。
(5)对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀,有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+(6)对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,,有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ,即y x y x λλλ+=+)(。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
,
又 ,即 ,故该矩阵的最小多项式为 .
(5)因为
,
而 是 的因子,经检验知 是矩阵 的最小多项式.
取 ,解此方程组,得
.
则相似变换矩阵
.
7.设矩阵
,
试计算 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
由于
,
其中 .
且
,
故
= .
8.证明:任意可逆矩阵 的逆矩阵 可以表示为 的多项式.
证明:设矩阵 的特征多项式为
,
则
,
即
,
因为 可逆,故 ,则
9.设矩阵
,
试计算 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
则
,
而
,
故
.
10.已知3阶矩阵 的三个特征值为1,-1,2,试将 表示为 的二次式.
,
于是不变因子为
故该矩阵的Smith标准形为
.
2.求下列 矩阵的不变因子:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
解:(1)该 矩阵的右上角的2阶子式为1,故
而
,所以该 ຫໍສະໝຸດ 阵的不变因子为;(2)当 时,由于
, ,
故不变因子为
,
当 时,由于
,
且该 矩阵中右上角的3阶子式为
且 ,
则 ,故 ,所以该 矩阵的不变因子为
故 的初等因子为
,
从而 的Jordan标准形为
;
(5)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
,
从而 的Jordan标准形为
;
(6)设该矩阵为 ,则
,
该 矩阵的各阶行列式因子为
,
则不变因子为
,
故初等因子为
,
则 的Jordan标准形为
.
5.设矩阵
,
求 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
故 的特征值为 , .
属于特征值 的特征向量为 ,
解:矩阵 的特征多项式为
,
则设
,
由 得
解之,得
,
因此
.
11.求下列矩阵的最小多项式:
(1) ;(2) ;
(3) 阶单位阵 ;(4) 阶方阵 ,其元素均为1;
(5) .
解:(1)设 ,则
,
故该矩阵的最小多项式为 .
(2)设 ,则
,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为
(3) 阶单位阵 的最小多项式为 .
习题二
1.化下列矩阵为Smith标准型:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
解:(1)对矩阵作初等变换
,
则该矩阵为Smith标准型为
;
(2)矩阵的各阶行列式因子为
,
从而不变因子为
故该矩阵的Smith标准型为
;
(3)对矩阵作初等变换
故该矩阵的Smith标准型为
;
(4)对矩阵作初等变换
在最后的形式中,可求得行列式因子
属于 的特征向量为 .
设
, ,
则 .,故
.
6.设矩阵
,
求 的Jordan标准形 ,并求相似变换矩阵 ,使得 .
解:(1)求 的Jordan标准形 .
,
故其初等因子为
,
故 的Jordan标准形
.
(2)求相似变换矩阵 .
考虑方程组
即
解之,得
.
其通解为
= ,
其中 为任意常数.
考虑方程组
,
故当 时,方程组有解.
;
(3)该 矩阵的右上角的3阶子式为 ,故
而
,
所以该 矩阵的不变因子为
;
(4)该 矩阵的行列式因子为
,
所以该 矩阵的不变因子为
.
3.求下列 矩阵的初等因子:
(1) ;
(2) .
解:(1)该 矩阵的行列式因子为
,
故初等因子为 ;
(2)该 矩阵的行列式因子为
,
故不变因子为
因此,初等因子为 .
4.求下列矩阵的Jordan标准形:
(1) ;(2) ;(3) ;
(4) ;(5) ;(6) .
解:(1)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
,
则 的Jordan标准形为
;
(2)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
,
从而 的Jordan标准形为
;
(3)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
从而 的Jordan标准形为
;
(4)设该矩阵为 ,则
,