矩阵分析
矩阵分析期末总结
矩阵分析期末总结引言：在矩阵分析这门课程中，我们系统学习了矩阵的基本概念、运算、性质和应用等知识。
通过学习矩阵分析，我们能够更好地解决线性方程组、矩阵特征值和特征向量、矩阵的相似性等问题。
本文将对我在矩阵分析课程中的学习内容和收获进行总结与归纳。
一、矩阵的基本概念与性质矩阵作为线性代数的基础概念，具有以下基本性质：1. 矩阵的定义与表示，包括行矩阵、列矩阵、方阵和零矩阵等。
2. 矩阵的大小与维度，用行数与列数来表示矩阵的大小，例如m x n矩阵表示有m行n列的矩阵。
3. 矩阵的运算，包括矩阵的加法、数乘和乘法等。
4. 矩阵的转置与共轭转置，将矩阵的行与列进行互换，并对矩阵元素取共轭得到的转置矩阵。
5. 矩阵的逆与伴随，如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
二、矩阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
2. 特征值与特征向量的计算方法，通过解方程(A-λI)x=0可以求得特征值λ和特征向量x。
3. 特征值与特征向量的性质，特征值与特征向量满足一系列重要的性质，例如特征值的重数与特征向量的线性无关性等。
4. 对称矩阵的特征值与特征向量，对称矩阵的特征值都是实数，并且存在一组相互正交的特征向量。
5. 正交矩阵的特征值与特征向量，正交矩阵的特征值的模长都等于1，特征向量是正交归一化的。
三、矩阵的相似性与对角化1. 相似矩阵与对角化，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称矩阵A与D相似，且称A可对角化。
2. 相似矩阵的性质，相似矩阵具有一系列重要的性质，例如特征多项式、迹、行列式等。
3. 矩阵的谱分解与Jordan标准形，对于n维方阵A，如果存在P使得P^(-1)AP=J，其中J 是一个Jordan标准形矩阵，则称矩阵A可谱分解。
四、矩阵分析的应用矩阵分析在实际应用中具有广泛的应用，例如：1. 线性方程组的求解，可以通过矩阵分析中的逆矩阵、伴随矩阵等方法求解线性方程组。
矩阵论五矩阵分析
矩阵论五矩阵分析矩阵论作为数学中的一个重要分支，研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在实际应用中，矩阵论广泛应用于线性代数、计算机科学、物理学、经济学等领域，起到了重要的作用。
本文将介绍矩阵分析这一矩阵论的重要内容。
矩阵分析是矩阵论中的一个重要分支，它研究的是矩阵的各种性质和内在结构。
矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换、相似矩阵等概念和定理。
首先，矩阵的行列式是一个非常重要的概念。
行列式是一个把方阵映射到实数的函数，用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。
行列式的计算可以通过对矩阵进行列展开、代数余子式等方法来进行。
同时，行列式还具有一系列重要的性质，如行列式的线性性、行列式的性质、Cramer法则等，这些性质为行列式的计算和应用提供了便利。
其次，矩阵的特征值和特征向量也是矩阵分析的重要内容。
特征值和特征向量描述了矩阵在线性变换下的性质，是矩阵的本征特性。
通过求解特征方程，可以得到矩阵的特征值，通过求解对应的特征向量，可以得到矩阵的特征向量。
特征值和特征向量在很多应用中起着重要的作用，如在物理学中用于描述物理量在变换下的特性，亦或者在图像处理中用于图像压缩和分解等。
此外，矩阵的正交变换也是矩阵分析中的一个重要概念。
正交变换是指保持向量长度和夹角不变的线性变换，可以通过一个正交矩阵来实现。
正交变换在几何学中起到了非常重要的作用，如在三维空间中的旋转变换、投影变换等。
正交矩阵具有很多重要的性质，如正交矩阵的逆等于其转置、正交矩阵的行列式为1或-1等。
最后，相似矩阵也是矩阵分析中的一个重要概念。
相似矩阵是指可以通过一个可逆矩阵相似变换得到的矩阵。
相似矩阵具有相同的特征值，特征向量和行列式。
相似矩阵在矩阵的相似性和等价性判断、矩阵的对角化等问题中起到了重要的作用。
总之，矩阵分析作为矩阵论的重要分支，研究的是矩阵的各种性质和内在结构，是矩阵论的重要内容之一、矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换和相似矩阵等概念和定理。
矩阵分析第一章
类似地, 还可定义多个集
注 1.1.3 (表示映射的带尾与不带尾的箭头的区别) 从集合 S 到集合 S 的映射 f 这一事实用不带尾的箭头表示, 即 f :S →S ; 而映射 f 把集合 S 中的元素 a ∈ S 映为集合 S 中的元素 b ∈ S 这一事实, 用带尾的箭头表示, 即 f :a ab. 这种记号约定在数学文献中已很普遍. 另外, 要习惯于将运算视为映射的观点. 例如, 整数集合 Z 上的加法运算+就决定了如下映射
[α1
α2
理解; 右边的 0 为线性空间 V 中的零元素. 另一方面, V 中的向量组 α ,α ,K,α 线性无关, 就是以该向量组拼成的抽象矩阵为系数矩阵的抽象齐次 线性方程组
n n n n n
几何空间中的有向线段} = { AB : A, B两点都取遍几何空间} ,
这里第二个加号“+”按例 1.1.1 中的(1.1.2)式来理解; 给定 f ∈ F ( I , R ) ,
n
f + g : t a f (t ) + g (t ) , f ⋅ k : t a f (t ) ⋅ k ,
n n 1 2 p 1 2 p
称为向量组 α ,α ,K,α 拼成的抽象矩阵.
1 2 p
[α1
α2 L α p ]
定义 1.1.3 (向量组的线性相关性) 设 V 是 F 上的线性空间, α ,α ,K,α 是V 中的一个向量组. (1) 向量组 α , α ,K, α 称为线性相关的, 如果存在不全为零的 p 个数 k ∈ F ,
2
或写成列
( s1 , s2 ) ≠ ( s2 , s1 ) .
依赖于约定, 或有时只是为了节省书写篇幅. 这里应注意顺序: 合的积. 特别地, 我们有
matrix解析
在数学中，矩阵（Matrix）是一个由m×n个数排成的矩形阵列，其中的每个数称为矩阵的一个元素或项。
矩阵中的行数m和列数n分别被称为矩阵的阶数或维度。
例如，一个3×4的矩阵有3行4列。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B等，其元素则通过下标来标识，如Aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
形式化定义如下：对于一个m×n的矩阵A，可以写作： A = [ a11 a12 ... a1n ] [ a21 a22 ...a2n ] ... [ am1 am2 ... amn ]其中，aij是矩阵中的任意一个元素，且i=1,2,...,m；j=1,2,...,n。
矩阵在很多数学分支以及工程领域中有广泛应用，包括线性代数、概率论、统计学、计算机图形学、机器学习等。
常见的矩阵运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法、转置、求逆、特征值与特征向量等。
1.矩阵加法和减法：两个同型矩阵（即行数和列数相同）可以相加或相减，对应位置的元素进行加减操作。
2.数乘：给定一个标量c和一个矩阵A，可以计算c与A的乘积，结果矩阵的每个元素都是原矩阵对应元素与c的乘积。
3.矩阵乘法：矩阵乘法不满足交换律，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能进行乘法运算。
结果矩阵的行数为第一个矩阵的行数，列数为第二个矩阵的列数。
其运算法则是按照“逐行逐列”相乘再求和的方式进行。
4.转置：矩阵A的转置记作A^T，它将原矩阵的行变为列，列变为行，即A^(i,j) = A^(j,i)。
5.求逆：对于方阵（即行数等于列数的矩阵），若存在，则可求逆，记作A^-1，满足AA^-1=A^-1A=E（E为单位矩阵）。
6.特征值与特征向量：对一个方阵A，如果存在非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应的特征向量。
以上是对矩阵的基本解析和分析，实际应用中矩阵的概念和性质远比这丰富和复杂。
矩阵分析知识点总结
矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
矩阵可以用大写字母表示。
1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。
- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
行和列的个数分别称为行数和列数。
1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。
- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。
1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。
- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。
1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。
- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。
其秩等于不为零的行数。
- 同样列最简形矩阵都是列等价的。
其秩等于不为零的列数。
- 行秩等于列秩。
1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。
非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。
- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。
- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。
1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。
矩阵分析1
矩阵分析矩阵分析是数学中一门重要的分支，主要研究矩阵及其运算规律、性质和应用。
矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学、信息科学、生物学等，成为现代科技和工程中不可或缺的一部分。
一、矩阵介绍矩阵是一种数学对象，由m行n列的元素数排列成一个矩形阵列。
一般用大写字母A、B、C等表示矩阵，而用小写字母a、b、c等表示元素。
如下所示：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)… … …am1 am2 … amn]其中，a11、a12、a21和a22等都是矩阵A的元素，其中第i行第j列的元素表示为aij，i表示行数，j表示列数。
二、矩阵的运算矩阵的运算包括加、减、乘和求逆，下面分别介绍。
1、加法令A、B是两个矩阵，则矩阵的加法定义为相加其对应的元素。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A + B的结果为：A +B = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22]2、减法矩阵的减法也是按照对应元素相减的规则。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A - B的结果为：A -B = [a11-b11 a12-b12a21-b21 a22-b22]3、乘法矩阵乘法是指将一个矩阵的行乘以另外一个矩阵的列的结果所组成的矩阵。
例如，如果A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积C是m行p列的矩阵，C中第i行第j列的元素可以表示为：Cij = Σk=1,2,…n aikbkj其中，Σ表示求和符号，k表示矩阵A和B相乘的公共维度，即行数或列数。
4、求逆如果矩阵A是非奇异矩阵，即其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵A-1，使得A×A-1=I，其中I为单位矩阵。
求逆矩阵的公式如下：A-1 = 1/|A| adj(A)其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
三、矩阵的性质矩阵有很多基本的性质，其中包括：1、矩阵的行和列数可以不相等；2、矩阵可以相加和相乘，但不可以相减和相除；3、矩阵加法和乘法有结合律、分配律和交换律；4、矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。
第3讲 矩阵分析
2.4.5 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的 长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就 不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格 式与求向量的范数的函数完全相同。
2.6.3.字符串操作
1、字符串比较
(1)比较两个字符串是否完全相同：strcmp (2)比较两个字符串的前n个字符是否相同。strncmp
(3)比较两个字符串是否完全相同，不区分大小写。 Strcmpi
两个字符串还可以逐个字符的比较，MATLAB中用关系 运算符等于(==)实现这一比较。需要注意的是，待比较的 两个字符串必须长度相等，或者其中之一为单个字符。
2.4 矩阵分析
矩阵是线性代数研究的基本元素，实际上相当于MATLAB 中的普通二维数组。矩阵分析主要是研究矩阵的各种特性 及其表征方法。
2.4.1矩阵的行列式
矩阵的行列式是一个数值，它可以用来表示矩阵是否奇异 （矩阵行列式等于0），这主要用在线性方程组特性分析 上。MATLAB中求解矩阵行列式的函数是det. 例如：A=magic(3) det(A)
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
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n
为简单起见，以后我们用Tx代替T (x).
下面我们着手研究线性变换和矩阵的关系。
设V是数域P上的n维线性空间，T是V的一个线性变换。现取定
V的一组基e ,e , ,e ，则每个Te 都是V中向量(i 1,2, , n)，故可设：
12
n
i
Te 1
a e a e
11 1
21 2
a e n1 n
k 1
k 1
(3)线性变换把线性相关向 量组变成线性相关向量 组.
5线性变换的概念
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
运算性质
（1）T1 T2T3 ＝T1T2 T3
（2）加法满足交换律和结合 律 （3）乘法对加法的分配律
（4）T O T ,T T O (5) T T
第一章 线性空间与线性变换
如果V V1 V2,且e1, e2, , em与em1, , en分别是V1与V2 的一组基，则向量组 e1, e2, , em , em1, , en (1) 构成V的一组基。由于V1,V2对T不变，所以有 Te1 a11e1 am1em Tem a1me1 ammem Tem1 am1.m1e1 an.m1en Ten am1.nem1 an.nen
第一章 线性空间与线性变换
同构与同构映射
两个线性空间V与V 之间若有一个对应关系记为，使得 (x y)= (x) ( y); ( x) (x)
就称为从V到V的同构映射，称线性空间V与V 是同构的。
同构的基本性质
( ) , (x) (x),
Te2
a e a e
12 1
22 2
ae n2 n (3)
Ten
a e a e
1n 1
2n 2
a e nn n
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
我们把这n个向量等式缩写为如下形式：
n
Te i
a ki
e k
k 1
(i 1,2, , n)(a P). ki
x y Vi , i 1,2
又 P, x W
x Vi
x W
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
V1 a b 0 0 a,b R V2 0 0 c 0 c R V3 0 d e 0 a,b R
四维空间中 的三个子空 间
零子空间
由单个的零向量组成的子集 零维
平凡子空间 线性空间 V 本身 n 维
子空间之例
W x x y z, 任意, P, 给定y, z V
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
设V1和V2为V的子空间，有以下结果
交集W V1 I V2 x x V1, x V2 , 也是子空间；
基下向量
n
x iei i 1 n
x iei i 1
过渡矩阵或称变换矩阵
a11 a12 L a1n
A a21 a22 L
a2n
M M O M
an1 an2 L
ann
第一章 线性空间与线性变换
坐标之间的关系 坐标变换
1 a11 a12 L
其关系为
e1 a11e1 a21e2 L an1en e2 a12e1 a22e2 L an2en
M en a1ne1 a2ne2 L annen
也可写成
n
ei akiek , i 1, 2,L , n k 1
2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 I V ) 若是直和，则有
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
子空间的交集 W V1 V2 是子空间
零向量属于W
任取 x, y W，则 x, y Vi ，所以
单位变换 V中每个向量 映射自身
单位变换 V中每个向量 映射自身
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
举例
对每个x 1,2 ,3,4 R4 ,由等式 T x 1 2 33 4 ,31 2 33 44 ,0,0
T T T T1 T2 T1 T2
1T T
第一章 线性空间与线性变换
逆变换
TS ST I
象子空间 T V Tv / v V
秩
T V 的维数
核（ker nel） K v V / Tv
维数关系 dimT V dimT 1V n
把矩阵
a 11
a 12
A
a 21
a 22
a n1
a n2
a 1n
a 2
n
a nn
称为线性变换T在基e ,e e 下的矩阵.
12
n
定理2 数域P上n维线性空间V的所有线性变换构成的
线性空间L(V )，在取定V的一组基之下，它与数域P上
的一切n n矩阵所构成的线性空间Pnn是同构的。
n
1
1
2
A1
2
2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
子空间 就是线性空间的子集，但得自成线性空间。
如何判断 W 是 V 的子空间？
准则： x, y W x y W ; x W , P x W
负数负元素 (1)x x; 减法运算 x y x ( y)
零向量唯一 负元素唯一
第一章 线性空间与线性变换
线性空间之例
V 1,2,L ,n i P
记为 Pn
V A
A
aij
,
nm
aij
P
记为 Pnm
V f (t) f (t) R, t [a, b] 记为 L[a,b]
2
a21
a22
L
M M M O
n
an1
an 2
L
a1n 1
a2n
2
M M
ann
n
1 1
2
A
2
M M
n
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
不变子空间的定义：
设T是线性空间V的一个线性变换，又W是V的一个子空间。 若对任一x W ,都有Tx W ,即T (W ) W , 则称W是T的不变子空间， 也说成是子空间W对线性变换T是不变的。
零空间及V本身都是T的不变子空间。
7 不变子空间
于逆矩阵。
定理4 设V是数域P上n维线性空间，e ,e , ,e 及
12
n
e ,e , ,e 是V的两组基，从前一组基到后一组基的
12
n
过渡矩阵是C。又设T是V的一个线性变换，它在前后
两组基下的矩阵分别是A与B，则有B C 1 AC
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定义1 若A, B Pnn ,如果存在可逆矩阵C Pnn ,使得 B C 1 AC 则称矩阵A相似于矩阵B。 由定义易知，矩阵的相似关系是等价关系，即相似具有 下述三个性质： 1）自反性：A相似于A 2）对称性：若A相似于B，则B相似于A 3）传递性：若A相似于B，且B相似于C，则A相似于C。
W1 V1 V2
W2 V1 V3 0 p 0 0 p R W3 V1 V3 a q e 0 a, q, e R
W4 V1 V2 V1 V2 a b c 0 a, b, c R
3 子空间与维数定理
推论 dim L(V) dim Pnn n2
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定理3 设e ,e , ,e 是数域P上n线性空间V的一组基，
12
n
在这组基下按照式(3)建立的线性变换同矩阵的对应
关系，则有：
1）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
2）可逆线性变换对应的矩阵也可逆，且逆变换对应
m
m
i xi i (xi )
i 1
i 1
线性无关组同构影射到线性无关组 n维空间同构影射到n维空间
4 线性空间的同构
第一章 线性空间与线性变换
线性变换
T 满足 T x y T x T y; T x T x
零变换
V中每个向量 映射 零向量
如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数 域 P上的线性空间或向量空间。 元素称为向量。
任意 , P, 任意 x, y, z V , 及零元素 V
1 线性空间的概念
八条规则
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
附带性质 零与零元素 0x ; 数与零元素 ;
V 作用在某质点的力
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空间 （向量空间）
xy
x y
x, y, z,z... 力向量
x
R 实数域
z
x
z
满足八条规则