矩阵分析
《矩阵分析》课件
数据降维、图像压缩、推荐系统 等。
03
CATALOGUE
线性方程组求解与矩阵秩
线性方程组表示及求解方法
线性方程组的一般形式
Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数列向量，b是常数列向量。
高斯消百度文库法
通过消元将系数矩阵化为上三角矩阵，然后回代求解。
克拉默法则
利用行列式求解线性方程组，适用于方程个数和未知数个数相等的情况。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和行阶梯形式
01
把某一行（列）所有元的k倍加到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
1 2 3
特征多项式定义 设A是n阶方阵，则行列式|λI-A|称为A的特征多 项式，记作f(λ)。
最小多项式定义 设A是n阶方阵，如果存在一个次数最低的首一 多项式m(λ)，使得m(A)=0，则称m(λ)为A的最 小多项式。
特征多项式与最小多项式的关系 最小多项式m(λ)整除特征多项式f(λ)，且m(λ)的 根都是f(λ)的根。
Jordan块的大小和数 量由A的特征多项式 和最小多项式确定。
高等代数中的矩阵分析 基本概念与方法
高等代数中的矩阵分析基本概念与方法高等代数中的矩阵分析: 基本概念与方法
矩阵是高等代数中的重要工具和对象，广泛应用于各个领域，包括线性代数、概率论、统计学、物理学等等。本文将介绍高等代数中相关的矩阵的基本概念和分析方法。
一、矩阵的定义与表示
在高等代数中，矩阵是由元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。一个m×n的矩阵A可以表示为：
A = [a_ij] =
a_11 a_12 ... a_1n
a_21 a_22 ... a_2n
... ... ...
a_m1 a_m2 ... a_mn
其中 a_ij 为矩阵A的第i行第j列的元素。在矩阵中，行数m代表矩阵的行数，列数n代表矩阵的列数。
二、矩阵的基本运算
在高等代数中，矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法。
1. 加法与减法：
对于两个同型矩阵A和B，它们的加法与减法定义如下：
A +
B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]
A -
B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]
其中 a_ij 和 b_ij 分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 数乘：
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘定义如下：
kA = [ka_ij] = [ka_11 ka_12 ... ka_1n
ka_21 ka_22 ... ka_2n
... ... ...
ka_m1 ka_m2 ... ka_mn]
其中 ka_ij 为k与矩阵A的对应元素的乘积。
3. 矩阵乘法：
对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义如下：
AB = C
其中矩阵C的第i行第j列的元素c_ij为：
安索夫矩阵分析法
安索夫矩阵分析法
安索夫矩阵
安索夫矩阵是以2 X 2的矩阵代表企业企图使收入或获利成长的四种选择，其主要的逻辑是企业可以选择四种不同的成长性策略来达成增加收入的目标。
1、市场渗透——以现有的产品面对现有的顾客，以其目前的产品市场组合为发展焦点，力求增大产品的市场占有率。采取市场渗透的策略，藉由促销或是提升服务品质等等方式来说服消费者改用不同品牌的产品，或是说服消费者改变使用习惯、增加购买量。
2、市场开发——提供现有产品开拓新市场，企业必须在不同的市场上找到具有相同产品需求的使用者顾客，其中往往产品定位和销售方法会有所调整，但产品本身的核心技术则不必改变。
3、产品延伸——推出新产品给现有顾客，采取产品延伸的策略，利用现有的顾客关系来借力使力。通常是以扩大现有产品的深度和广度，推出新一代或是相关的产品给现有的顾客，提高该厂商在消费者荷包中的占有率。
4、多角化经营——提供新产品给新市场，此处由于企业的既有专业知识能力可能派不上用场，因此是最冒险的多角化策略。其中成功的企业多半能在销售、通路或产品技术等know-how上取得某种综效(Synergy)，否则多角化的失败机率很高。
矩阵分析的应用
矩阵分析的应用
1、商品细分：商品细分矩阵分析是一种从市场上容易得到的数据，根据客户的不同需求，确定不同的属性，并将属性进行技术分析，从而得出市场消费者对产品的需求以及品牌的相对优势，从而帮助商家分析出满足客户需求的产品细分结构。
2、客户关系管理：矩阵分析可以帮助企业分析其客户的需求特点和关系，根据客户的不同行业、地理位置、企业规模等特点来确定客户群体，从而制定科学的客户关系管理策略，提高企业的客户关系管理水平。
3、绩效考核：矩阵分析的强大分析功能可以帮助企业分析销售团队的绩效，研究其团队绩效评估指标，比如业绩贡献、潜在客户开发情况、拜访状况等，从而实现企业员工绩效考核的客观、准确、合理的目标管理。;
人力资源数据分析法之矩阵分析法(二)
引言概述：
人力资源数据分析在现代企业管理中扮演着至关重要的角色。矩阵分析法是其中一种常用的分析方法。本文将继续探讨人力资源数据分析法之矩阵分析法，主要集中于其应用领域和方法。通过深入理解矩阵分析法的原理和实施步骤，企业可以更有效地利用人力资源数据，做出更准确的决策。
正文内容：
1.矩阵分析法的应用领域：
1.1人才招聘：矩阵分析法可以帮助企业评估候选人的技能和资质，匹配最佳人选。可以利用矩阵分析法对候选人的教育背景、工作经验、技能水平等进行评分，从而快速筛选合适的候选人。
1.2绩效评估：矩阵分析法可以帮助企业评估员工的绩效，确定奖励和晋升的依据。通过对绩效指标的具体化和加权，可以更客观地评估员工的表现，并为员工提供发展方向和培训机会。
1.3岗位分析：矩阵分析法可以帮助企业分析各个岗位的工作内容和要求，制定相关培训计划和人才发展策略。通过对各个维度的权重分配，可以更全面地了解每个岗位的特点和需求。
1.4组织结构设计：矩阵分析法可以帮助企业设计合理的组织结构，确定岗位的划分和层级关系。通过分析各个岗位之间的关系
和依赖，可以优化组织的协调效率，并为员工提供更明确的晋升路径。
1.5培训需求分析：矩阵分析法可以帮助企业分析员工的培训需求，确定培训内容和目标。通过对各个维度的评估和权重分配，可以快速定位员工的培训重点，并为员工提供个性化的培训计划。
2.矩阵分析法的实施步骤：
2.1确定分析目标：在使用矩阵分析法之前，企业需要明确分析的目标和问题。只有明确了目标，才能选择适合的指标和权重。
2.2收集数据：收集与分析目标相关的数据。这些数据可以通过员工调查、绩效评估和人才库等途径获得。
矩阵分析与计算课程设计
矩阵分析与计算课程设计
一、前言
矩阵是数学中非常重要的概念之一，它们具有广泛的应用，如线性代数、统计学、信号处理等领域都会用到矩阵。本文档旨在介绍矩阵分析与计算课程设计的内容和要求，帮助各位学生更好地理解矩阵的概念和应用。
二、课程设计概述
1.课程设计目标
本课程设计旨在帮助学生掌握矩阵的基本概念、性质和操作，理解矩阵在科学计算和工程实践中的应用，提高学生独立分析和解决问题的能力。
2.课程设计主要内容
•矩阵的概念和运算；
•线性方程组求解；
•特征值和特征向量；
•矩阵分解；
•矩阵应用。
3.课程设计要求
•学生需要使用编程语言（如Matlab、Python等）实现矩阵运算和应用；
•学生需要结合实际问题进行矩阵分析和计算，提出问题并进行矩阵建模和求解；
•学生需要进行课程设计报告撰写和展示。
三、课程设计步骤
1. 矩阵运算和线性方程组求解
本课程设计的第一步是学习矩阵基本运算和线性方程组求解。学生可以使用编程语言实现矩阵加、减、乘、求逆等运算，并结合实例进行练习。
对于线性方程组的求解，可以使用高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法，并结合实例进行练习和实现。
2. 特征值和特征向量
本课程设计的第二步是学习矩阵的特征值和特征向量。学生可以使用编程语言实现矩阵的特征值和特征向量计算，并结合实例进行练习。
对于特征值和特征向量的应用，学生可以了解到它们在物理学、工程学和统计学等领域中的重要性，并结合实例进行练习和实现。
3. 矩阵分解
本课程设计的第三步是学习矩阵的分解。学生可以学习Cholesky分解、QR分解、SVD分解等矩阵分解方法，并使用编程语言实现它们。通过学习矩阵分解，学生可以理解它们在数据压缩、数据降维和图像处理等领域的应用。
波士顿矩阵分析法
波士顿矩阵分析法
1. 简介
波士顿矩阵分析法（Boston Matrix Analysis）又称为波士顿矩阵模型或者产品组合矩阵模型，是一种常用的市场营销工具，用于分析和评估产品组合的业绩表现和发展潜力。该分析法通过将产品划分为不同的分类，并结合市场增长率和市场占有率两个指标，可帮助企业决策者明确各产品的定位和发展策略，进而优化产品组合，提高市场竞争力。本文将详细介绍波士顿矩阵分析法的应用原理和具体步骤。
2. 原理和背景
波士顿矩阵分析法是由美国波士顿咨询集团（Boston Consulting Group）的创始人布鲁斯·亨德森（Bruce D. Henderson）于20世纪70年代提出的。该方法通过将产品划分为四个不同的象限，在二维坐标系中直观地展示产品的市场增长率和市场占有率。这四个象限分别为“明星”（Stars）、“问号”（Question Marks）、“现金奶牛”（Cash Cows）和“瘦狗”（Dogs）。
•明星：指市场占有率高、市场增长率快的产品，具
有高潜能和市场前景，需要大量投入以保持或扩大市场份
额。
•问号：指市场增长率高、市场占有率低的产品，处
于成长期和发展阶段，需要进一步研发和市场推广，以争
取更多市场份额。
•现金奶牛：指市场占有率高、市场增长率低的产品，已经稳定并产生大量现金流，可用于支持其他产品的研发
和市场推广。
•瘦狗：指市场增长率低、市场占有率低的产品，无
法提供足够的利润和增长潜力，考虑是否淘汰或重新定位。
波士顿矩阵分析法的核心思想是，企业应根据产品在市场
的增长率和占有率情况来决策其后续发展策略，以实现整个产品组合的最大效益。
矩阵分析在运筹学中的应用 案例解析
矩阵分析在运筹学中的应用案例解析矩阵分析是一种重要的运筹学工具，在各种实际问题的解决中发挥
着关键作用。本文将以几个案例为例，详细解析矩阵分析在运筹学中
的应用。
案例一：城市交通规划
假设某城市的交通系统需要进行优化规划，以提高整体的交通效率。这个问题可以通过矩阵分析来解决。将城市划分为若干个交通网络节点，并使用矩阵来表示节点间的道路连接情况和交通流量。通过分析
这个矩阵，可以得出各个节点之间的联系程度和交通流量的分布情况。基于这些信息，可以采取一系列措施，包括增加道路容量、调整交通
信号灯时长等，以提高整个交通系统的运行效率。
案例二：物流配送优化
某物流公司需要设计最佳的送货路线，以降低成本和提高服务质量。这个问题可以通过矩阵分析来解决。将送货点和配送中心抽象成矩阵
中的节点，并使用矩阵来表示它们之间的距离、运输费用和送货时效
等关系。通过分析这个矩阵，可以找出最佳的送货路线，使得总运输
成本最小化，并且满足送货时效的要求。
案例三：供应链管理
某公司在不同的供应链环节中面临着众多决策问题，需要综合考虑
各种因素来进行优化。这个问题可以通过矩阵分析来解决。将各个供
应链环节和相关的因素抽象成矩阵中的节点，通过矩阵元素来表示它
们之间的关系和相互作用。通过分析这个矩阵，可以找出最佳的供应
链管理策略，从而提高整个供应链系统的效率和利润水平。
通过以上案例的分析，我们可以看出矩阵分析在运筹学中的重要性
和应用广泛性。无论是城市交通规划、物流配送优化还是供应链管理，矩阵分析都可以帮助我们找到最佳的解决方案。因此，矩阵分析在实
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）
(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。幂等矩阵是满足A *
A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
矩阵数据分析法案例
矩阵数据分析法案例
矩阵数据分析法是一种常用的数据分析方法，它通过矩阵运算和统计分析，帮
助人们更好地理解和利用数据。在实际应用中，矩阵数据分析法可以用于多个领域，比如金融、市场营销、生物医学等。本文将通过一个实际案例，介绍矩阵数据分析法的应用，并分析其效果。
案例背景。
某公司在市场营销方面遇到了一些问题，他们希望通过数据分析找到问题的根源，并提出有效的解决方案。该公司收集了大量的市场数据，包括销售额、广告投入、顾客满意度等指标，希望通过这些数据找到影响销售额的关键因素。
数据处理。
首先，我们将收集到的数据整理成矩阵的形式，每一行代表一个样本，每一列
代表一个特征。然后，我们可以利用矩阵运算和统计分析方法，对这些数据进行处理和分析。
数据分析。
在数据分析阶段，我们可以利用矩阵数据分析法进行主成分分析（PCA）、因
子分析、相关性分析等。通过这些分析，我们可以找到影响销售额的关键因素，比如广告投入、顾客满意度等。同时，我们还可以利用矩阵数据分析法进行聚类分析，将顾客分成不同的群体，以便更好地进行市场定位和营销策略制定。
解决方案。
通过矩阵数据分析法的应用，我们找到了影响销售额的关键因素，并提出了相
应的解决方案。比如，针对不同的顾客群体，我们可以制定不同的营销策略，以提高销售额；同时，我们还可以优化广告投入的策略，提高投入效益。通过这些解决方案的实施，公司的销售额得到了显著提升。
总结。
通过上述案例，我们可以看到矩阵数据分析法在市场营销领域的应用效果。通过对大量的市场数据进行矩阵分析，我们可以找到隐藏在数据中的规律和关联，帮助企业更好地理解市场和顾客，提出有效的营销策略。因此，矩阵数据分析法在实际应用中具有重要的意义，可以为企业提供有力的决策支持。
矩阵分析
三、矩阵的逆与伪逆 1．矩阵的逆 对于一个方阵A，如果存在一个 与其同阶的方阵B，使得： A· B=B· (I为单位矩阵) A=I 则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B 的逆矩阵。 在MATLAB中，求一个矩阵的逆非 常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函 数inv(A)。
例: 用求逆矩阵的方法解线性 方程组。 Ax=b 其解为： -1b x=A
3．矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角 线元素之和，也等于矩阵 的特征值之和。 在MATLAB中，求矩阵的 迹的函数是trace(A)。
4. 向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度 量矩阵或向量在某种意义 下的长度。范数有多种方 法定义，其定义不同，范 数值也就不同。
1）向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V 的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范 数。
(2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取 矩阵A的下三角矩阵的函数 是tril(A)和tril(A,k)，其用 法与提取上三角矩阵的函 数triu(A)和triu(A,k)完全相 同。
举例：设有矩阵 a = 123 456 789 f1=tril(a) f1 = 100 450 789
二、矩阵的转置与旋转 1．矩阵的转置 转置运算符是单撇号(‘)。 2．矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵 A旋转90º 的k倍，当k为1时 可省略。
技术矩阵分析法
技术矩阵分析法
技术矩阵分析法是一种用于评估技术方案的决策工具。它通过
构建一个矩阵表格，将多个技术方案的关键因素进行比较，以辅助
决策者做出合理的选择。
这种方法的主要步骤包括确定评估标准、制定权重、收集数据、填写矩阵表格和进行分析。
首先，决策者需要确定评估技术方案的标准。这些标准应该是
与决策目标相关的指标，例如成本、可行性、效率等。决策者可以
根据具体情况确定不同的评估标准。
然后，决策者需要为每个评估标准指定权重。权重反映了每个
评估标准对决策结果的重要程度。决策者可以根据自身需求和偏好
来确定权重。
接下来，决策者需要收集与每个技术方案相关的数据。这些数
据可以是定量的或定性的，可以通过实地考察、问卷调查、文献研
究等方式获取。
然后，决策者可以使用一个矩阵表格来整理和比较数据。表格的行表示不同的技术方案，列表示评估标准。决策者将数据填写到表格中相应的单元格里。
最后，决策者需要进行分析。可以采用不同的方法，如计算加权得分、对比评估、敏感性分析等。通过分析矩阵表格，决策者可以得出对各个技术方案进行排序的结果，从而作出决策。
技术矩阵分析法的优点在于它提供了一个系统的框架来比较和评估不同的技术方案。它能够帮助决策者从多个角度全面地考虑各种因素，做出科学、合理的决策。然而，决策者在使用这种方法时应当意识到它也存在一定的局限性，例如对数据的依赖和主观因素的影响。
总的来说，技术矩阵分析法是一种简单但有效的决策工具。通过明确的步骤和流程，决策者可以更好地进行技术方案的评估和选择，从而实现最佳决策结果。
矩阵分析法
矩阵分析法
矩阵分析法在做智能决策时是一种有效的技术。矩阵分析法的思路是将复杂的决策问题变成一个一维模型进行分析，以达到减低系统复杂性的目的。可以使用矩阵分析法来测量任何一维问题，以便对给定变量进行研究和决策分析。
矩阵分析法的基本步骤如下：首先，列出所有决策变量及其详细的可能值的选择集合。比如在购买一部电脑时，决策变量可能是价格、品牌、电脑性能等，可能的值比如可以按价格区间分为高、中、低三档以及各个品牌型号，具体到电脑性能可以从硬盘容量、内存密度等方面加以考虑。
其次，为建立矩阵，在决策变量及其详细可能值之间划定一个权值。权值可以建立在基本信息之上，可以看做是每个决策变量的重要性或价值，比如从价格角度，在购置电脑时轻量的机身会被赋予更高的权值，而电脑性能的提升可以被赋予更低的权值。
接下来，根据权值构建矩阵，它可以把所有可能的变量进行横向对比，形成概况及其决策结果，一维化，可直观地显示出决策的路线及其最终的结果，方便快捷。
再次，观察矩阵，准确地分析不同决策及其结果，并且根据自身资源及实际情况，有效地发现最优决策结果，并将其作为最终结果操作。
最后，对最终决策实施跟踪分析，根据一维分析结果作出下一步决策。
以上是矩阵分析法的基本步骤，矩阵分析法可以满足系统复杂性的需求，帮助更加准确快速地做出智能决策，并能够跟踪及有效分析决策的结果。
设计矩阵分析知识点归纳
设计矩阵分析知识点归纳
设计矩阵分析是一种用于系统化归纳和组织设计知识的方法。通过将设计要素和知识点以矩阵的形式进行组织和表示，可以清晰地展现设计中的关联和依赖关系。本文将从设计矩阵分析的基本概念、优点和应用等方面进行详细介绍。
一、设计矩阵分析的基本概念
设计矩阵分析是一种结构化的方法，通过将设计要素和知识点以矩阵的形式进行组织，来揭示设计中的内在关系。设计矩阵通常由行和列组成，行代表设计要素，列代表知识点。每个单元格中填写的内容表示该设计要素是否包含了相应的知识点。通过对设计要素和知识点之间的关联进行归纳和梳理，可以提高设计效率和设计质量。
二、设计矩阵分析的优点
1. 增强设计的系统性和整体性：设计矩阵分析能够将设计要素和知识点进行有机地结合，形成一个系统和完整的设计框架。这有助于设计师全面地把握设计任务，并更好地进行设计决策。
2. 显现设计的关联和依赖关系：设计要素和知识点之间的关系复杂且多变。通过设计矩阵可以将这些关系一目了然地展现出来，帮助设计师更好地管理和控制设计过程。
3. 指导设计决策和知识组织：设计矩阵分析为设计决策提供了有力的支持。通过对设计矩阵的分析，设计师可以清晰地了解到哪些知识点是必须的，哪些是可选的，从而在设计实践中作出明智的决策。
4. 促进设计的创新与改进：设计矩阵分析可以帮助设计师发现设计
要素和知识点之间的缺口和关联，从而激发设计的创新灵感和改进思路。
三、设计矩阵分析的应用
设计矩阵分析可以应用于各种设计领域，例如产品设计、建筑设计、图形设计等。以下是一些设计矩阵分析的具体应用场景。
矩阵分析参考答案
矩阵分析参考答案
矩阵分析参考答案
矩阵分析是线性代数中的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算。在实
际应用中，矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。本文将从矩阵分析的基本概念、性质和运算等方面，为读者提供一份参考
答案。
首先，我们来介绍一些矩阵分析的基本概念。矩阵是由数个数构成的矩形阵列，通常用大写字母表示。矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。例如，一个3
行2列的矩阵可以表示为：
A = [a11 a12
a21 a22
a31 a32]
其中，a11、a12等表示矩阵中的元素。矩阵的元素可以是实数、复数或其他数
值类型。
矩阵的性质包括可逆性、对称性、正定性等。一个矩阵如果存在逆矩阵，即乘
以其逆矩阵后得到单位矩阵，那么该矩阵就是可逆的。对称矩阵是指矩阵的转
置等于其本身，即A = A^T。正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零。
接下来，我们来介绍一些矩阵的运算。矩阵的加法和减法是按照对应元素相加
和相减的规则进行的。例如，对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的加法可
以表示为C = A + B，其中C的元素为A和B对应元素的和。矩阵的乘法是按
照矩阵乘法的规则进行的。例如，对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p
列的矩阵B，它们的乘法可以表示为C = AB，其中C为一个m行p列的矩阵，
C的元素为A的行向量与B的列向量的内积。
除了基本的矩阵运算外，矩阵还有一些特殊的运算。矩阵的转置是指将矩阵的
行和列互换，即A的转置为A^T。矩阵的迹是指矩阵主对角线上的元素之和，
用Tr(A)表示。矩阵的行列式是一个标量，用det(A)表示，它可以用来判断一个
同济矩阵分析参考答案
同济矩阵分析参考答案
同济矩阵分析参考答案
同济矩阵分析是一种常见的结构力学分析方法，广泛应用于工程领域。它基于
矩阵理论，通过建立结构的刚度矩阵和荷载矩阵，求解结构的位移、应力和应
变等参数，从而评估结构的稳定性和安全性。
在同济矩阵分析中，首先需要建立结构的刚度矩阵。刚度矩阵描述了结构在外
力作用下的变形特性，它是一个对称正定矩阵。刚度矩阵的元素由结构的材料
性质、几何形状和支座条件等因素决定。通过将结构划分为若干个单元，可以
将整个结构的刚度矩阵表示为单元刚度矩阵的叠加。
接下来，需要建立结构的荷载矩阵。荷载矩阵描述了结构受到的外力作用，它
是一个列向量。荷载矩阵的元素由结构所受到的静力荷载、动力荷载和温度荷
载等因素决定。通过将结构的各个部分的荷载矩阵叠加，可以得到整个结构的
荷载矩阵。
在得到结构的刚度矩阵和荷载矩阵后，可以通过求解线性方程组来计算结构的
位移。位移矩阵描述了结构各个节点的位移情况，它是一个列向量。通过将结
构的刚度矩阵和荷载矩阵代入线性方程组，可以得到位移矩阵的解。
通过结构的位移矩阵，可以进一步计算结构的应力和应变。应力矩阵描述了结
构各个节点的应力情况，它是一个列向量。应变矩阵描述了结构各个节点的应
变情况，它是一个列向量。通过将结构的刚度矩阵和位移矩阵代入线性方程组，可以得到应力矩阵和应变矩阵的解。
同济矩阵分析方法具有计算精度高、计算速度快的优点。它可以通过简化结构
模型、优化结构设计和评估结构的安全性等方面发挥重要作用。在工程实践中，
同济矩阵分析方法已被广泛应用于桥梁、建筑、航空航天等领域。
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东北大学信息科学与工程学院 石海彬
第一章 线性空间与线性变换 第二章 内积空间 第三章 矩阵的标准形与若干分解形式 第四章 矩阵函数及其应用
第五章 特征值的估计与广义逆矩阵 第六章 非负矩阵
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的概念 §2 基变换与坐标变换 §3 子空间与维数定理 §4 线性空间的同构 §5 线性变换的概念 §6 线性变换的矩阵表示 §7 不变子空间
集合V中元素的运算：我们只考虑加法，加号+
任意 x, y V , 有 x y V , 且若 x u, y v, 则 x y u v
数域 P 中的数与集合 V 中的元素之间的运算： 称为数量乘法，运算结果称为数量乘积，省略乘号
任意数 P 与任意元素 x V , 有 x V
于逆矩阵。
定理4 设V是数域P上n维线性空间，e ,e , ,e 及
12
n
e ,e , ,e 是V的两组基，从前一组基到后一组基的
12
n
过渡矩阵是C。又设T是V的一个线性变换，它在前后
两组基下的矩阵分别是A与B，则有B C 1 AC
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定义1 若A, B Pnn ,如果存在可逆矩阵C Pnn ,使得 B C 1 AC 则称矩阵A相似于矩阵B。 由定义易知，矩阵的相似关系是等价关系，即相似具有 下述三个性质： 1）自反性：A相似于A 2）对称性：若A相似于B，则B相似于A 3）传递性：若A相似于B，且B相似于C，则A相似于C。
k 1
k 1
(3)线性变换把线性相关向 量组变成线性相关向量 组.
5线性变换的概念
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
运算性质
（1）T1 T2T3 ＝T1T2 T3
（2）加法满足交换律和结合 律 （3）乘法对加法的分配律
（4）T O T ,T T O (5) T T
m
m
i xi i (xi )
i 1
i 1
线性无关组同构影射到线性无关组 n维空间同构影射到n维空间
4 线性空间的同构
第一章 线性空间与线性变换
线性变换
T 满足 T x y T x T y; T x T x
零变换
V中每个向量 映射 零向量
负数负元素 (1)x x; 减法运算 x y x ( y)
零向量唯一 负元素唯一
第一章 线性空间与线性变换
线性空间之例
V 1,2,L ,n i P
记为 Pn
V A
A
aij
,
nm
aij
P
记为 Pnm
V f (t) f (t) R, t [a, b] 记为 L[a,b]
其关系为
e1 a11e1 a21e2 L an1en e2 a12e1 a22e2 L an2en
M en a1ne1 a2ne2 L annen
也可写成
n
ei akiek , i 1, 2,L , n k 1
2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
基下向量
n
x iei i 1 n
x iei i 1
过渡矩阵或称变换矩阵
a11 a12 L a1n
A a21 a22 L
a2n
M M O M
an1 an2 L
ann
第一章 线性空间与线性变换
坐标之间的关系 坐标变换
1 a11 a12 L
W1 V1 V2
W2 V1 V3 0 p 0 0 p R W3 V1 V3 a q e 0 a, q, e R
W4 V1 V2 V1 V2 a b c 0 a, b, c R
3 子空间与维数定理
单位变换 V中每个向量 映射自身
单位变换 V中每个向量 映射自身
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
举例
对每个x 1,2 ,3,4 R4 ,由等式 T x 1 2 33 4 ,31 2 33 44 ,0,0
n
为简单起见，以后我们用Tx代替T (x).
下面我们着手研究线性变换和矩阵的关系。
设V是数域P上的n维线性空间，T是V的一个线性变换。现取定
V的一组基e ,e , ,e ，则每个Te 都是V中向量(i 1,2, , n)，故可设：
12
n
i
Te 1
a e a e
11 1
21 2
a e n1 n
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合
数集
Q
有理数集 Q实数集 R 复数集 C
QRC
C
数域
Q
复数集合中的任意非空子集合P含有 非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合P，则称数集P 为一个数域。（注意0和1）
有理数域 Q 实数域 R 复数域 C
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
6 线性变换的矩阵ห้องสมุดไป่ตู้示
第一章 线性空间与线性变换
不变子空间的定义：
设T是线性空间V的一个线性变换，又W是V的一个子空间。 若对任一x W ,都有Tx W ,即T (W ) W , 则称W是T的不变子空间， 也说成是子空间W对线性变换T是不变的。
零空间及V本身都是T的不变子空间。
7 不变子空间
Te2
a e a e
12 1
22 2
ae n2 n (3)
Ten
a e a e
1n 1
2n 2
a e nn n
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
我们把这n个向量等式缩写为如下形式：
n
Te i
a ki
e k
k 1
(i 1,2, , n)(a P). ki
第一章 线性空间与线性变换
同构与同构映射
两个线性空间V与V 之间若有一个对应关系记为，使得 (x y)= (x) ( y); ( x) (x)
就称为从V到V的同构映射，称线性空间V与V 是同构的。
同构的基本性质
( ) , (x) (x),
n
1
1
2
A1
2
M M
n
n
2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
子空间 就是线性空间的子集，但得自成线性空间。
如何判断 W 是 V 的子空间？
准则： x, y W x y W ; x W , P x W
把矩阵
a 11
a 12
A
a 21
a 22
a n1
a n2
a 1n
a 2
n
a nn
称为线性变换T在基e ,e e 下的矩阵.
12
n
定理2 数域P上n维线性空间V的所有线性变换构成的
线性空间L(V )，在取定V的一组基之下，它与数域P上
的一切n n矩阵所构成的线性空间Pnn是同构的。
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 I V ) 若是直和，则有
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
子空间的交集 W V1 V2 是子空间
零向量属于W
任取 x, y W，则 x, y Vi ，所以
定义的变换 T是R 4的线性变换 .
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
线性变换的性质
(1) T ; T x T x
m
m
（2）y k xk T y kT xk ;
k 1
k 1
m
m
k xk kT xk .
推论 dim L(V) dim Pnn n2
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定理3 设e ,e , ,e 是数域P上n线性空间V的一组基，
12
n
在这组基下按照式(3)建立的线性变换同矩阵的对应
关系，则有：
1）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
2）可逆线性变换对应的矩阵也可逆，且逆变换对应
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
定理1 设V是数域P上的一个n维线性空间，e ,e , ,e 是它的
12
n
一组基，又g , g , g 是V的任意n个向量。则存在唯一的一个
12
n
线性变换T，使得
T (e ) g ,T (e ) g , ,T (e ) g .
1
1
2
2
n
n维线性空间 有且只有n个线性无关的向量
基 任何一组n个线性无关的向量。可以有无数组基。
基向量通常记作 e1, e2 ,L , en
向量x的基表示
x 1e1 2e2 L nen
i 称为坐标或分量
1 线性空间的概念
有两组基，分别为
e1, e2 ,L , en 和 e1, e2 ,L , en
T T T T1 T2 T1 T2
1T T
第一章 线性空间与线性变换
逆变换
TS ST I
象子空间 T V Tv / v V
秩
T V 的维数
核（ker nel） K v V / Tv
维数关系 dimT V dimT 1V n
如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数 域 P上的线性空间或向量空间。 元素称为向量。
任意 , P, 任意 x, y, z V , 及零元素 V
1 线性空间的概念
八条规则
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
附带性质 零与零元素 0x ; 数与零元素 ;
第一章 线性空间与线性变换
如果V V1 V2,且e1, e2, , em与em1, , en分别是V1与V2 的一组基，则向量组 e1, e2, , em , em1, , en (1) 构成V的一组基。由于V1,V2对T不变，所以有 Te1 a11e1 am1em Tem a1me1 ammem Tem1 am1.m1e1 an.m1en Ten am1.nem1 an.nen
V 作用在某质点的力
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空间 （向量空间）
xy
x y
x, y, z,z... 力向量
x
R 实数域
z
x
z
满足八条规则
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
有关定义 线性相关 与 线性无关 x y L z , , ,L , 不全为零 线性相关 L 0 线性无关
零子空间
由单个的零向量组成的子集 零维
平凡子空间 线性空间 V 本身 n 维
子空间之例
W x x y z, 任意, P, 给定y, z V
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
设V1和V2为V的子空间，有以下结果
交集W V1 I V2 x x V1, x V2 , 也是子空间；
2
a21
a22
L
M M M O
n
an1
an 2
L
a1n 1
a2n
2
M M
ann
n
1 1
2
A
2
M M
n
和集W V1 V2 x y x V1, y V2 , 也是子空间；
直和W V1 V2 z x y x V1, y V2,没有其他的x与y ，
维数公式：
也是子空间，记为W V1 V2
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 I V ) 或
x y Vi , i 1,2
又 P, x W
x Vi
x W
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
V1 a b 0 0 a,b R V2 0 0 c 0 c R V3 0 d e 0 a,b R
四维空间中 的三个子空 间