矩阵分析(3)
矩阵分析第三章3.1-2综述
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
矩阵分析及其应用答案
P25⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴+-=-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-=-=∈∈∀+=-+-=--+=+-+=+∈∀11-11-11-00011-11-11-000),,(),,()()(0110101111011011100110011101)()3(0100,0010,10012)()()()()(,)()()()()(,)1.(1421121121121121122121121221121121121111211211212211212121212121该基下的对应的矩阵为同理：变换的像分别求上一组基的线性以取这样的一组基这是一个三维空间，可可以写为）对于空间（的线性变换是根据定义可知，设设E E E E E E T E E E T E E E T E E E T E E E a a a a W W W T X T B X X B BX X B X T FW X X T X T B X X B B X X B B X B X X B X B BX X X X B X X T WX X T T T T TT TT TTT T T T λλλλλλ()()()()()()()()()()()()()()123123123123-1123123123123123123123123-1123-1123115.,,,,,,,,101110-121,,=,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,=,T A T B A P P T T P T P AP P AP B P APηηηηηηεεεεεεεεεηηηηηηεεεεεεηηηηηηηηηεεεεεεηη==⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦===解：由题意知：其中，设则则由()()()23-1123123-11-1,=,,,,-110100010100010=100010=110010=1101-1100110100110101010101001110110110101-12111P P B P AP ηηηηεεε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得到-111132⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1.16(1)证明：()()()()()()()221223131212122T f t T f t x x x x t t x x t t +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ Q ()()()22123231312T x x t x t x x x x t x x t ⎡⎤++=+++++⎣⎦()()2123011,,1011,,110Tx x x t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴()()22121213112232T f t f t T x x t x t x x t x t ⎡⎤+=+++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2212123122T x x t t x t t ⎡⎤=++++⎣⎦()()221231212,,2,,TT x x x t t t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()()221231212011,,1012,,110Tx x x t t t t ⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()2223131212122x x x x t t x x t t =+++++++∴()()12T f t f t +=⎡⎤⎣⎦()()12T f t T f t +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2123T f t T x x t x t λλλλ=++⎡⎤⎣⎦()()2123,,,,T T x x x t t λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()2123011,,101,,110Tx x x t t λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()2231312x x x x t x x t λλλ=+++++()T f t λ=⎡⎤⎣⎦ ∴T 是[]3F x 的线性变换 （2）解： ()()2123T f t T xx tx t=++⎡⎤⎣⎦ ()()()21231x T x T t x T t =++()()()()2212311T f t x t t x t x t =+++++⎡⎤⎣⎦∴()21T t t =+；()21T t t =+；()21T t t =+∴()()220111,,1011,,110T t t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴T 在基21,,t t 下的矩阵A 为011101110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）解：()()211112111E A λλλλλλ---=--=-+--1232;1λλλ===-()112=1,1,1Tλξ=时，可以求得特征向量()()2323==1,1,0=1,0,1TTλλξξ=---1时，可以求得特征向量，故111=110101P ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()21231,,t t P ∂∂∂=令，，()()2221111,,1101011,1,1t t t t t t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=++--则T 在基1∂=21t t ++，2∂=1t -，3∂=21t -下的矩阵为对角矩阵.P45第二章 内积空间练习题1.解：（1）Q ()11221x y x y αβ,=++，∴()11221x y x y λαβλλ,=++。
矩阵分析第3章习题答案
矩阵分析第3章习题答案第三章1、 已知()ijA a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 定义内积为(,)HA αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。
提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HUAU是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU为对角矩阵，已知133261(1)6322312623A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQAQ为对角矩阵，已知 220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使HPAP E=（或TPAP E=），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后知识题目解析
第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ. 方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T-.方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T-，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα的基底就是12,,,nααα的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n ααα.1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββ就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基,解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==,则11,,,,,k l ααββ的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξA AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA 可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξA AA②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===，于是21,(),(),,()k -ξξξξA AA线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξAAA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]0000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξA A A AA A A A AAA AA 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξA AA 下矩阵表示为n 阶矩阵0000100001000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξA AA是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==设11,,,,,,r r s ξξξξξ是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s ααααα是的极大无关组.1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证.1-18证:对k 用数学归纳法证。
矩阵分析3ppt课件
3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
应用 计算矩阵多项式
1 0 2
例 A0 1 1 ，求(A) 2A8 3A5 A4 A2 4
0 1 0
特征多式E- A 3 21，于是A3 2A10 (A) (2A5 4A3 5A2 9A)(A3 2A1)
24A2 37A10E
0 0 ( 2 ) ( 1)( 2 )
1 0
0
0 0
0
(
0 1)(
2)
4. 多项式矩阵与史密斯标准形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
性质 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩 史密斯标准形中的d i 即是不变因子
充要条件 两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因 子，相同的不变因子，相同的初等因子
2
n
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1
1
0
1 2 1
2
P －1 A P
1
1
2
100
2100 2 2101 2 0
A100
P
1
P －1
2100 1
2101 1
0
1
2100 1 2101 2 1
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵 不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较 简单的分块对角阵与它相似？
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
矩阵分析(三)基与坐标
矩阵分析（三）基与坐标设V是\mathbb{F}上的线性空间，若有正整数n及V中的向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n，使得1.\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n 线性无关2.任取向量\alpha \in V均可由\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n线性表示 \alpha=\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+···+\alpha_nk_n \\=\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots &\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\k_n\end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots &\alpha_n\end{bmatrix}X则称V是\mathbb{F}上的有限维线性空间，向量组\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n 称为V的一个基，其中X称为向量\alpha在基\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n下对应的坐标，基向量组中向量的个数n称为V的维数，记为dim(V)证明一组向量是线性空间的基，分两步•证明这组向量线性无关•证明线性空间任意向量可由这组向量表示是否任意一个线性空间都有位数？答案是否定的，下面举一个无限维线性空间的例子。
举几个有限维线性空间维度的例子例1V = \mathbb{R}, \mathbb{F} = \mathbb{R}，求dim(V)例2V = \mathbb{C}, \mathbb{F} = \mathbb{R}，求dim(V)例3V=\mathbb {C}, \mathbb {F}=\mathbb {C}，求dim(V)例4V = \mathbb{R}, \mathbb{F} = \mathbb{Q}，求dim(V)零维线性空间规定仅含一个元素的线性空间（零线性空间）为零维线性空间，其维数规定为0，零维线性空间也算作有限维线性空间。
第3讲 矩阵分析
2.4.5 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的 长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就 不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格 式与求向量的范数的函数完全相同。
2.6.3.字符串操作
1、字符串比较
(1)比较两个字符串是否完全相同：strcmp (2)比较两个字符串的前n个字符是否相同。strncmp
(3)比较两个字符串是否完全相同，不区分大小写。 Strcmpi
两个字符串还可以逐个字符的比较，MATLAB中用关系 运算符等于(==)实现这一比较。需要注意的是，待比较的 两个字符串必须长度相等，或者其中之一为单个字符。
2.4 矩阵分析
矩阵是线性代数研究的基本元素，实际上相当于MATLAB 中的普通二维数组。矩阵分析主要是研究矩阵的各种特性 及其表征方法。
2.4.1矩阵的行列式
矩阵的行列式是一个数值，它可以用来表示矩阵是否奇异 （矩阵行列式等于0），这主要用在线性方程组特性分析 上。MATLAB中求解矩阵行列式的函数是det. 例如：A=magic(3) det(A)
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这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 Rn 中，对于
(x1, x2 ,L , xn )T , ( y1, y2 ,L , yn )T
规定
( , ) T x1 y1 x2 y2 L xn yn
足
AT A AAT I 则称 A 是正交矩阵，一般记为 A Enn
例：
(1)
4 5
1 5
i
2 5
2 5
i
2 5
2 5
i
1 5
4 5
i
是一个酉矩阵
(2)
223
1 3
2
2
3 1
3 3 3
1
2
2
3 3 3
是一个正交矩阵
(3)
cos sin
sin cos
是一个正交矩阵
i 1
i 1
t
t
(4) (, kii ) ki (, i )
i 1
i 1
定义：设 V 是 n 维酉空间，i 为其一组
基底，对于V 中的任意两个向量
n
n
xii , y j j
i 1
j 1
那么 与 的内积
n
n
n
(, ) ( xii , yii ) xi y j (i , j )
例 2 设 C%[a, b] 表示闭区间 [a,b]上的所有
连续复值函数组成的线性空间，证明：对于
任意的 f (x), g(x) C%[a,b] ，我们有
b
b
2
b
2
a f (x)g(x)d (x) a f (x) d (x) a g(x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 ,
第二步 单位化1 源自1 1,2 2 2
,L L L ,r
r r
显然1,2,L ,r 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
1 1,1,0,0,2 1,0,1,0,3 1,0,0,1
化为标准正交向量组。 解：先正交化
1 1 1,1,0,0
2
2
2, 1 1, 1
1
2 3
,
1, 3
4 3
,1 ;
1
1 1
1 , 6
2, 6
1 6
,
0
2
2 2
2 , 30
1 , 30
4, 30
3 3
1,2 即为其解空间的一个标准正交基底。
酉变换与正交变换
定义：设 A 为一个 n 阶复矩阵，如果其满
足
AH A AAH I 则称 A 是酉矩阵，一般记为 AU nn
设 A 为一个 n 阶实矩阵，如果其满
有
( (), ( )) (, )
则称 是 V 的一个酉变换。
定理：设 V 是一个n 维酉空间， 是 V 的
一个线性变换，那么下列陈述等价：
（1） 是酉变换；
(2) () , V
（3）将V 的标准正交基底变成标准正交基
底； （4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉 矩阵。
注意：关于正交变换也有类似的刻划。
容易验证 ( , ) 是 Cn上的一个内积，从
而Cn 成为一个酉空间。
例 2 设 C%[a, b] 表示闭区间 [a,b] 上的所有
连续复值函数组成的线性空间，定义
b
( f , g) : a f (x)g(x)dx
容易验证 ( , ) 是 C%[a, b] 上的一个内
积，于是 C%[a, b] 便成为一个酉空间。
容而易R验n成证为(一个,欧氏)空1 是间。Rn如上果的规一定个内积，从
(, )2 x1 y1 2x2 y2 L nxn yn
容易验证
，这样 Rn
( , )2 也是Rn上的一个内积
又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 nm 维线性空间 Rnm 中，规定
( A, B) : Tr( ABT )
定义：设 ACnn ,如果 AH A ，那么称
A 为Hermite矩阵；如果 AH A ，那么 称 A 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
4i 2 i 4 2i
(1)
2
i
i
1
4 2i 1 2i
6 1 2i 3i (2) 1 2i 9 1 i
i 1
j 1
i, j1
令
gij (i , j ) , i, j 1, 2,L , n
g11 g12 L
G
g21
g22
L
L L L
gn1
gn2
L
g1n
g2n
L
gnn
称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且
g ji gij , (G)T G, (, ) X TGY
定义：设 ACnn，用 A 表示以 A 的元素
对于 V 中的任意两个向量 , 按照某一确定 法则对应着一个复数，这个复数称为 与 的内积，记为 (, ) ，并且要求内积满足下
列运算条件：
(1) (, ) ( ,) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (,) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意复数
3i 1 i 7
0 1 i 8i
(3) 1 i
0
4
i
8i 4 i 0
3 1 3i 2i
(4) 1 3i
4
1
5i
2i 1 5i 5
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V
的长度定义为非负实数
(,) 例 在 C 4 中求下列向量的长度
(1) (1 2i, i,3, 2 2i) (2) (1, 2,3, 4)
解： 根据上面的公式可知
5 1 9 6 21
1 4 9 16 30
一般地，我们有: 对于 C n中的任意向量
(a1, a2,L , an )
其长度为
n
ai 2
i 1
这里 ai 表示复数 ai 的模。
定理：向量长度具有如下性质
(1) 0 当且仅当 0 时， 0
(2) k k , k C (3)
(4) (, )
例 1： 在线性空间 M nn (C) 中，证明
Tr( ABH ) Tr( AAH ) Tr(BBH )
第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵
定义： 设V 是实数域 R 上的n 维线性空间， 对于 中的V 任意两个向量 按, 照某一确
定法则对应着一个实数，这个实数称为
与 的内积，记为 (, ) ，并且要求内
积满足下列运算条件：
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (,) 0
的夹角定义为
于是有
,
(, )
: arccos
0 ,
2
定理：
, (, ) 0
2
因此我们引入下面的概念;
定义：在酉空间 V 中，如果 (, ) 0 ，
则称 与 正交。
定义： 长度为1的向量称为单位向量，对于
任何一个非零的向量 ，向量
总是单位向量，称此过程为单位化。
标准正交基底与Schmidt正交化方法
Schmidt正交化与单位化过程:
设 1,2,L ,r 为 r 维内积空间 V 中
的 r 个线性无关的向量，利用这 r 个向量完
全可以构造一个标准正交向量组。
第一步 正交化
1 1
2
2
2, 1 1, 1
1
LLLL
r
r
r , 1,
1 1
1
L
r , r1 r1, r1
r 1
容易验证 1, 2,L , r 是一个正交向量组。
例 3 在 n2 维线性空间 Cnn 中，规定
( A, B) : Tr( ABH ) 其中BH表示 B 中所有元素取共轭复数后再 转置，容易验证 ( , ) 是 Cnn 上的一 个内积，从而 Cnn 连同这个内积一起成为
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) (, k ) k(, )
x1 x2 x3 x4 0 x1 2x2 3x3 4x4 0 2x1 3x2 4x3 5x4 0
其解空间的一个标准正交基底。
解： 先求出其一个基础解系
X1 1, 2,0,1, X 2 2, 3,0,1
下面对 X1, X 2 进行正交化与单位化：
1 X1
2
X2
( X 2, 1) (1, 1)
P 1 AP
1
0
0 1
这里 Q, P 均为正交矩阵。
3阶正交矩阵的分类
设 A E33 ，那么
a 0
T 1AT 0 cos 0 sin
0
sin
cos
这里当 A 1 时，a 1 ；A 1时，a 1
酉矩阵与正交矩阵的性质：
设 A, B U nn ，那么
(1) A1 AH U nn (2) det( A) 1 (3) AB, BA U nn
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
AH ( A)T
则称 AH 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) AH ( AT ) (2) ( A B)H AH BH (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H BH AH