矩阵分析第三章-资料
矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形
D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).
矩阵分析第三章3.1-2综述
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
第3章 矩阵的标准形1
⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
矩阵分析简明教程
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定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
矩阵分析简明教程
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λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、
矩阵分析(3)
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 Rn 中，对于
(x1, x2 ,L , xn )T , ( y1, y2 ,L , yn )T
规定
( , ) T x1 y1 x2 y2 L xn yn
足
AT A AAT I 则称 A 是正交矩阵，一般记为 A Enn
例：
(1)
4 5
1 5
i
2 5
2 5
i
2 5
2 5
i
1 5
4 5
i
是一个酉矩阵
(2)
223
1 3
2
2
3 1
3 3 3
1
2
2
3 3 3
是一个正交矩阵
(3)
cos sin
sin cos
是一个正交矩阵
i 1
i 1
t
t
(4) (, kii ) ki (, i )
i 1
i 1
定义：设 V 是 n 维酉空间，i 为其一组
基底，对于V 中的任意两个向量
n
n
xii , y j j
i 1
j 1
那么 与 的内积
n
n
n
(, ) ( xii , yii ) xi y j (i , j )
例 2 设 C%[a, b] 表示闭区间 [a,b]上的所有
连续复值函数组成的线性空间，证明：对于
任意的 f (x), g(x) C%[a,b] ，我们有
b
b
2
b
2
a f (x)g(x)d (x) a f (x) d (x) a g(x) d ( x)
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-矩阵的相似对角形
定理3-1′ T 在某个基下的矩阵为对角形矩阵
T 有n个线性无关的特征向量.
定理 设 1，2，,m 是方阵A的互异特征值，
p1, p2 ,, pm 是分别对应于它们的特征向量, 则 p1, p2 ,, pm 线性无关.
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第三章第一节 矩阵的相似对角形
定理3-2（充分条件） 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不 同的特征值，则 A 与对角形矩阵相似.
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第三章第一节 矩阵的相似对角形
| E A|=0是以 为未知数的一元 n 次方程， 称为方阵A的特征方程. 其左端 | E A| 是 的 n 次多项式，记作 f () ,称为方阵A的特征 多项式，方阵 ( E A) 称为方阵A的特征矩
阵.
a11 a12
第三章第一节 矩阵的相似对角形
对于1=5,解方程 (5E A)x=0，
4 5E A 2
2 4
2 2
r1 r3
2 2
2 4
4 2
2 2 4
4 2 2
rr23 rr11 r2
2 0
0
2 6 0
4 6 0
rr12 (1612) r1 r2
1 0 0
0 1 0
解 由题设知A的特征值为 5, y, 4,
从而有
5 y (4) 1 x 1, 5 y (4) A 15x 40,
x
y
4, 5.
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第三章第一节 矩阵的相似对角形
定义 设T 是线性空间 V 的线性变换，则满足
TX X
的非零向量 X 称为线性变换 T 的属于特征值
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矩阵分析 第三章 第6节
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
史荣昌魏丰版矩阵分析第三章(1)
内积空间正规矩阵与第三章内积空间、正规矩阵与H -矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一V R n V ,αβ个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：αβ(,)αβ1()(,)(,)αββα=2()(,)(,)(()(k k αβαβ=34000),,)(,)()(,),(,).αβγαγβγααααα+=+≥==当且仅当时这里是中任意向量，为任意实数，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。
,,αβγV k n V 例1在中，对于nR 1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==""规定11122(,)n nx y x y x y αβ=+++"容易验证是上的一个内积，从而成1(,)n R n R 为一个欧氏空间。
如果规定211222(,)n nx y x y nx y αβ=+++"容易验证也是上的一个内积，这样又成为另外一个欧氏空间2(,)n R n R又成为另外个欧氏空间。
例2在维线性空间中，规定n mR×nm T容易验证这是上的一个内积，这样对于(,):Tr()A B AB =n mR ×n mR ×这个内积成为一个欧氏空间。
例3在维线性空间中，规定2n n nC×(,):()HA B Tr AB =其中H表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。
B B (,)n n×n nC ×连同这个内积起成为酉空间。
C欧氏空间的性质)()β欧氏空间的性质：(1)(,,k k αβα==(2)(,)(,)(,))()ttαβγαβαγ++11(3)(,,i i i i i i k k αβαβ===∑∑(4)(,)(,)tti i i i k k αβαβ===∑∑11i i4242ii i ++⎡⎤(1)21i i ⎢⎥−+⎢⎥4212i i ⎢⎥−+−−⎣⎦6123i i +⎡⎤(2)1291i i ⎢⎥−−⎢⎥317i i ⎢⎥−+−⎣⎦⎡018(3)4i i −⎤⎢⎥100i i −−−⎢⎥−−⎦84i i ⎢⎥⎣3132i i +⎡(4)13415i i ⎤⎢⎥−+2155i i ⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦标准正交基底与Schmidt 正交化方法定义为一组不含有零向量的向量组如果：设为组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组{}i α{}i α量组。
第三章矩阵分析及其应用
第三章矩阵分析及其应用矩阵是线性代数中的重要概念，不仅在理论上有广泛应用，也在实际问题中具有重要的应用价值。
本章将介绍矩阵的基本概念和常用运算，以及矩阵在各个领域中的应用。
1.矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，通常用A、B、C等大写字母表示，其中A的第i行第j列的元素记作a_ij。
矩阵的大小用m×n表示，m表示行数，n表示列数。
特殊的矩阵有零矩阵、单位矩阵等。
矩阵的转置、相等、相加、相乘等运算是矩阵分析中的基础。
2.线性方程组与矩阵运算线性方程组是线性代数中的基本问题，可以使用矩阵运算来求解。
矩阵运算包括矩阵的相加、相乘等，可以用来简化计算过程，提高求解效率。
矩阵的转置能够将列向量转换为行向量，从而方便计算。
3.矩阵的逆与行列式行列式是矩阵的一个重要特征，可以判断矩阵是否可逆。
如果一个矩阵的行列式不等于0，则称该矩阵可逆，且可以使用其逆矩阵来求解线性方程组。
逆矩阵的计算方法有求伴随矩阵、幻方阵等多种方法。
4.矩阵的应用矩阵在各个领域中都有广泛应用。
在物理学中，矩阵可以描述电磁场、力学系统等；在经济学中，矩阵可以描述供求关系、价格变动等；在计算机科学中，矩阵可以用于图像处理、模式识别等。
总的来说，矩阵分析及其应用是线性代数中一个重要的分支，它不仅有着广泛的理论基础，还具有重要的实际应用价值。
掌握矩阵的基本概念和常用运算，能够帮助我们解决实际问题，提高计算效率。
同时，矩阵也是其他高级数学领域的重要工具，如微积分、概率论等。
因此，矩阵分析的学习和应用具有非常重要的意义。
矩阵分析第3章习题答案
矩阵分析第3章习题答案第三章1、已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1）证明在上述定义下，nC 是⾣空间；（2）写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、已知2111311101A --??=?-??，求()N A 的标准正交基。
提⽰：即求⽅程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、已知308126(1)316,(2)103205114A A --??=-=-??----??试求⾣矩阵U ，使得HU AU 是上三⾓矩阵。
提⽰：参见教材上的例⼦4、试证：在nC 上的任何⼀个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求⾣矩阵U ，使H U AU 为对⾓矩阵，已知11332611(1)6322312623i i A i i ??--=--???01(2)10000i A i -=??，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--=----?+--??11(4)11A -??=??6、试求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对⾓矩阵，已知220(1)212020A -=---??，11011110(2)01111011A -??-?=-??-??7、试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知11(1)01112i i A i i +=-??-，222(2)254245A -??=---8、设n 阶⾣矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是⾣矩阵。
证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，⽭盾，所以矩阵E U +满秩。
矩阵分析_第三章 北京理工大学
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
i 1 i 1
t
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ), (k , ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
2
0 ,
定理：
,
2
( , ) 0
因此我们引入下面的概念; 定义：在酉空间 V 中，如果 称 与 正交。
(1) ( , ) ( , ) (2) (k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0
k 这里 , , 是 V 中任意向量， 为任意复数
，只有当 0 时 ( , ) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。 欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
1 2i 3i 6 1 2i (2) 9 1 i 3i 1 i 7
1 2i 3i 1 2i 3i 6 6 1 2i 1 2i 9 1 i 9 1 i 3i 1 i 7 3i 1 i 7
n
2
维线性空间
n n
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
矩阵分析 第三章 第6节
第5节对称与反对称变换那么称是V 的一个对称变换。
定义5.1：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=T 定理5.2：是欧氏空间V 的一对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。
T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= T A A=12(,,,)n nn u u u U ⨯∈ 定理5.3：欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。
T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。
那么称是V 的一个反对称变换。
定义5.2：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=-T 定理5.5：是欧氏空间V 的反对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。
T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= TA A =-12(,,,)n nn u u u U ⨯∈第6节正规矩阵、Schur引理定义6.1：酉相似（正交相似）,()()n n n n n n n n A B C or R U U or E ⨯⨯⨯⨯⎫∈⎬∃∈⎭1H U AU U AU B -==1()T U AU U AU B -==酉相似（正交相似）定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。
证明：（1）n=1时显然成立，假设你n=k-1时结论成立，即k-1阶矩阵A 酉相似于一个上三角矩阵。
（2）n=k 时：111A αλα=11A αλ是矩阵的对应于特征值的单位特征向量（2）n=k 时：111A αλα=1α12(,,,)k ααα 扩充成K 阶酉矩阵1U =12(,,,)k A ααα 11210(,,,)0k A λααα**⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1AU =k-1阶矩阵11H W AW R =111100H U AU A λ**⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭上三角矩阵21let U W ⎛⎫== ⎪⎝⎭12112100H H U U AU U R λ⊗⊗⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。
矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-舒尔定理及矩阵的QR分解、矩阵的奇异值分解
第三章第八九节 舒尔定理及矩阵的QR分解与矩阵的奇异值分解
第八节 舒尔定理及矩阵的QR分解
引理 (可逆矩阵的UR分解)
若A C nn为可逆矩阵,则存在酉矩阵U C nn
和主对角线上元素皆为正的上三角矩阵
r11
R
r12 r22
使得
A UR.
r1n r2n , rii 0;i 1,2,, n, rnn
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第三章第八九节 舒尔定理及矩阵的QR分解与矩阵的奇异值分解
证 因为 A (1 ,2 ,,n )可逆，
所以 1,2 ,,n为C n的一个基. Schmidt 正交化,可得标准正交基{e1, e2 ,… , en }
于是有
1,2 ,,n e1,e 2 ,,e n 酉矩阵Q
于是有 A (P1T )1 J T P1T . （J T为上三角形矩阵） 令 P (P1T )1 , 由于P C nn可逆，根据引理，P有UR分解
P UR. (U为酉矩阵, R为上三角阵)
则有 A PJT P 1 U RJ T R1 U H , 令T RJ T R1, 则 T为上三角矩阵,
R
r12 r22
使得
A UR.
r1n r2n , rii 0;i 1,2,, n, rnn
下
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第三章第八九节 舒尔定理及矩阵的QR分解与矩阵的奇异值分解
1
1
,
2
,,
n
e
1
,
e
2
,
,
e
n
2 ,e1
2
n n
,e ,e
1 2
n
n ,n1,,1 e n ,e n1,,e1
矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
四、长度及其性质
记为 . 1、定义： 非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、 单位向量： 1 , 则称 为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时， 为单位向量
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3、 性质： (1) 非负性： 0， 当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0， 当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、 内积表示式： 设内积空间V中基 1， 2， ， n的度量矩阵为G 且， 在基下的坐标为 ， ， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2， ， n ) X， (1， 2， ， n )Y，
G (1， 2， ， n )T (1， 2， ， n ). (， ) T [(1， 2， ， n ) X ]T [(1， 2， ， n )Y ] X T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若 则
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5、 不同基下度量矩阵的关 设 1， 2， ， n； 1， 2， ， n为内 系： 积空间V中的基且度量矩阵为 ， ， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n ). B ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )，
矩阵分析第三章课后答案
第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[] () ()() ()() ()1121221211131323312312112212311122schmidt==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,0=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：2333123=--0510105==().TTN Aβγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝021于是ε1＝（0，1，0）T是A的特征向量。
矩阵分析(第三章)
由特征多项式：det（λⅠ-A）得到f（λ），将λ用A替换，常数项用nI代替，有f（A）=0，得到递推关系式。将g（A）用上诉级数展开（若g（At）可将At看成A并展开），以此代入递推关系式化简，最后将g（A）（或g（At）写成矩阵形式。
例题；A= ，计算eAt。
方程组为：
解为：
从而cosA=b2A2+b1A+b0I=
（3）相似对角化：
若A是可对角化的n阶方阵，则存在P ，有P-1AP=diag（λ1λ2…λn）=Λ
故A=PΛP-1；
有f（A）= = =
=
=
同理，f（At）=
求｛P｝：解方程组（λI-｛A｝）｛P｝=0，归一法，即可求得P1…Pn。
例题：A= ，求eAt。
矩阵分析
1，
1，Cm×n上的矩阵｛A（k）｝，有｛A（k）｝=（aij（k））m×n。
2，矩阵序列收敛：若limk→+∞aij（k）=aij，i=1，…m，j=1，…n，则｛A（k）｝→A=（aij）m×n，写作limk→+∞A（k）=A或A（k）→A（k→+∞）。
3，性质：设limk→+∞A（k）=A，limk→+∞B（k）=B，其中A（k），B（k），A，B为适当阶矩阵， ，有：
（2）待定系数法：
运用了一些数值分析的理论：f（λ）=（λ-λ1）r1（λ-λ2）r2…（λ-λs）λs，λk都是互异的，r1+r2+…rs=n，g（At）= ， g（λt）= 改写成：g（λt）=q（λ，t）f（λ）+r(λ,t）（*）；其中，q（λ，t）为含参数的关于λ的幂级数，r（λ，t）是含参数t且次数不超过n-1的关于λ的多项式。
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例 1 设 C n 是 n 维复向量空间，任取
( a 1 ,a 2 , ,a n ) , ( b 1 ,b 2 , ,b n )
规定
(,) : () T a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
容易验证 ( , ) 是 C n 上的一个内积，从
,
0,
0
2
2 2
1 , 6
1, 6
2 6
,
0
3
3 3
2
1 3
,
2
1 3
,
2
1 3
,
2
3 3
那么 1,2,3 即为所求的标准正交向量组。
例 2 求下面齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 2x2 3x3 4x4 0 2x1 3x2 4x3 5x4 0
定理：向量组 i 为正交向量组的充分必要
条件是
(i,j)0, ij
;向量组 i 为标准正交向量组的充分必要条
件是
1 ij
(i,j)ij
{ 0
ij
定理：正交的向量组是一个线性无关的向量 组。反之，由一个线性无关的向量组出发可 以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正 交向量组。
而C n 成为一个酉空间。
例 2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有
连续复值函数组成的线性空间，定义
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
容易验证 ( , ) 是 C [ a , b ] 上的一个内
积，于是 C [ a , b ] 便成为一个酉空间。
例 3 在 n 2 维线性空间 C n n 中，规定
1
r , r1 r1, r1
r 1
容易验证 1,2, ,r 是一个正交向量组。
第二步 单位化
1 1 1,2 2 2,
,r r r
显然1,2, ,r 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
化1 为 标 1 准, 1 , 正0 , 交0 向, 量2 组 。 1 , 0 , 1 , 0 ,3 1 , 0 , 0 , 1
其解空间的一个标准正交基底。
解： 先求出其一个基础解系
X 1 1 , 2 ,0 ,1 ,X 2 2 , 3 ,0 ,1
下面对 X 1, X 2 进行正交化与单位化：
1 X1
2
X2
(X 2,1) (1, 1)
1
2 3
,
1 , 3
4 3
,
1
(1) (12i,i,3,2 2i) (2) (1,2,3,4)
解： 根据上面的公式可知
5196 21
14916 30
一般地，我们有: 对于 C n 中的任意向量
(a1,a2, ,an)
其长度为
n
ai 2
i 1
这里 a i 表示复数 a i 的模。
2] 3
与向量组
1[cos,0,isin],2[0,1,0] 3[isin,0,cos]
都是标准正交向量组。
定义：在 n 维内积空间中，由 n 个正交向 量组成的基底称为正交基底；由 n 个标准的
正交向量组成的基底称为标准正交基底。
注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题 中可以发现这一问题。
n
1
gn2
g
nn
称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且
gij gij, (G)T G
定义：设 ACnn，用 A 表示以 A
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
的元素
AH ( A)T
则称 A H 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A H ( AT ) (2) (A B)H AH B H (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H B H AH
(A,B):Tr(ABH) 其中B H 表示 B 中所有元素取共轭复数后再
转置，容易验证 ( , ) 是 C n n 上的一 个内积，从而 C n n 连同这个内积一起成为
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2 ) ( , ) ( , ) ( , )
(3) ( , ) (, ) (, )
(4) (,) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 R n 中，对于
( x 1 ,x 2 , ,x n ) , ( y 1 ,y 2 , ,y n )
解：先正交化
1 1 1,1,0,0
2
2
2,1 1,1
1
12
1
3,2 2,2
2
13,
1, 3
13,1
再单位化
1
1 1
1, 2
1 2
t
t
( 3 ) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
定义：设 V 是 n 维酉空间， i 为其一组
基底，对于V 中的任意两个向量
n
xii,
4i 2 i 4 2i
(1)
2
i
i
1
4 2 i 1 2 i
6 1 2i 3i
( 2 ) 1 2 i
9
1
i
3 i 1 i 7
0 1 i 8i
(3)
1
i
0
4
i
8 i 4 i 0
(5) ( A k )H ( A H )k (6) ( A H )H A (7) A A (8) ( A H )1 ( A 1)H
定义：设 ACnn ,如果 AH A ，那么称 A 为Hermite矩阵；如果 AH A，那么
称 A 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
这样 C [ a , b ] 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义： 设 V 是复数域 C 上的 n 维线性空间， 对于V 中的任意两个向量 , 按照某一确定 法则对应着一个复数，这个复数称为 与
的内积，记为 ( , ) ，并且要求内积满足下
列运算条件：
(1) (, ) ( , )
;
1
1 1
1 , 6
2, 6
1 6
,
0
2
2 2
2 , 30
1 , 30
4, 30
3 3
1,2 即为其解空间的一个标准正交基底。
酉变换与正交变换
定义：设 A 为一个 n 阶复矩阵，如果其满
足
AHAAAHI
则称 A 是酉矩阵，一般记为 AUnn
Schmidt正交化与单位化过程:
设 1,2, ,r为 n 维内积空间 V 中 的 r 个线性无关的向量，利用这 r 个向量完
全可以构造一个标准正交向量组。
第一步 正交化
1 1
2
2
2, 1 1, 1
1
r
r
r , 1 1, 1
3 1 3i 2i
(4)
1
3i
4
1
5
i
2 i 1 5 i 5
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V
的长度定义为非负实数
(,) 例 在 C 4 中求下列向量的长度
i1
那么 与 的内积
n
yjj
j1
n
n
n
(,)( xii, yii) xiyj(i,j)
i 1
j 1
i,j 1
令
g ij (i, j), i,j 1 ,2 , ,n
g11 g12
g1n
G
g
2
1
g 22
g
2
n
g
例 2 在 n m 维线性空间 R n m 中，规定 (A,B):Tr(ABT)
容易验证这是 R n m 上的一个内积，这样R n m
对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 C [ a , b ] 中，规定
b
(f,g):a f(x)g(x)dx