第三章矩阵分析及其应用

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矩阵分析引论--第三章矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形

D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
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第三章第四节多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
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第三章第四节多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
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第三章第四节多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
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第三章第四节多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。

矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。

矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。

在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。

首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。

矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。

当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。

另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。

矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。

特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。

下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。

论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。

2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。

论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。

3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。

论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。

4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。

矩阵分析的应用

矩阵分析的应用
1、商品细分：商品细分矩阵分析是一种从市场上容易得到的数据，根据客户的不同需求，确定不同的属性，并将属性进行技术分析，从而得出市场消费者对产品的需求以及品牌的相对优势，从而帮助商家分析出满足客户需求的产品细分结构。

2、客户关系管理：矩阵分析可以帮助企业分析其客户的需求特点和关系，根据客户的不同行业、地理位置、企业规模等特点来确定客户群体，从而制定科学的客户关系管理策略，提高企业的客户关系管理水平。

3、绩效考核：矩阵分析的强大分析功能可以帮助企业分析销售团队的绩效，研究其团队绩效评估指标，比如业绩贡献、潜在客户开发情况、拜访状况等，从而实现企业员工绩效考核的客观、准确、合理的目标管理。

;。

矩阵分析及其应用

1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn Cmn，如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛，则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
ck J1k (1),
ck
J
k 2
(2
),,
ck
J
k r
(r
))
P
1
k 0
k 0
k 0
其中
ck ik
k0
k 0
ck
J
k i
(i
)
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di 1 k di 1 c c k k i
k 0
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di di
当 ( A) R 时，幂级数
k 1
k 1 i1 j1
i1 j1 k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义设 A(k) (aikj )mn Cnn ，称形如
ck Ak c0I c1A c2 A2 ck Ak
k 0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理设幂级数 ck xk 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。
同样可以证明其余的结论。
注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
例：设
1 1 1 1
A 0 0 , B 0 0

鲁棒控制理论与设计第三章矩阵分析和线性矩阵不等式

k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4）标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。

第3章 MATLAB矩阵分析与处理

例3.2 建立随机矩阵：建立随机矩阵： (1) 在区间在区间[20,50]内均匀分布的阶随机矩阵。内均匀分布的5阶随机矩阵内均匀分布的阶随机矩阵。 (2) 均值为、方差为的5阶正态分布随机矩阵。均值为0.6、方差为0.1的阶正态分布随机矩阵阶正态分布随机矩阵。命令如下：命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩此外，常用的函数还有，阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成阵总元素保持不变的前提下，将矩阵重新排成 m×n的二维矩阵。的二维矩阵。 × 的二维矩阵如 A=[1 2 3;4 5 6]; reshape(A,3,2)
3.2.2 矩阵的转置与旋转 1．矩阵的转置．转置运算符是单撇号(’)。转置运算符是单撇号。 2．矩阵的旋转．利用函数rot90(A,k)将矩阵旋转的k倍，将矩阵A旋转利用函数将矩阵旋转90的倍时可省略。当k为1时可省略。为时可省略
3．矩阵的左右翻转．对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，和最后一列调换，第二列和倒数第二列调对矩阵A实换，…，依次类推。MATLAB对矩阵实，依次类推。对矩阵施左右翻转的函数是fliplr(A)。施左右翻转的函数是。 4．矩阵的上下翻转． MATLAB对矩阵实施上下翻转的函数是对矩阵A实施上下翻转的函数是对矩阵 flipud(A)。。
第3章 MATLAB矩阵分析与处理章矩阵分析与处理
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 特殊矩阵矩阵结构变换矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求值矩阵的特征值与特征向量矩阵的超越函数

矩阵分析第三章第6节

对称矩阵，二次型
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1：若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn，则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9：酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是：在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式

3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空间）的标准正交基变到标准正交基。（空间中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）

3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax

3.5对称变换与反对称变换（欧氏空间)

1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后得到内积，与对另外一个元素作同样变换之后得到的内积相等，那么称这样的变换为对称变换。

矩阵分析3.1-2

Hermite 第三章内积空间、正规矩阵、矩阵解析几何中，是用向量的长度和夹角来定义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念，再引入向量的长度、夹角等概念。

在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映，局限了线性空间的应用。

现在我们借助内积把度量概念引入到线性空间中。

&3.1 欧氏空间、酉空间一、概念,,,(,3.1),,(,).1V R n V 设是实数域上的维线性空间如果对中任意两个向量、有唯一确定的实数与之对应这实数记为并且满足下列四个条件则这实数称为与的内定积义:αβαβαβαβ(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)(4) (,)0,0(,)0,,,;.k k V k R V n αββααβαβαβγαγβγααααααβγ==+=+≥==∈且仅当时其中是中任意向量称定义有这样内积的线性空间为维欧氏空间112211 (..,)... (,) Tn na b a b a b αβαβαβαβ==+++nT T12n 12n nn设R 是n 维实向量空间，若=(a ,a ,...,a ),=(b ,b ,...,b )令容易验证，所规定的是R 的内积，从而R 成为欧例3氏空间。

注: 1.今后欧氏空间R n 中的内积都指如上例3.1.1定义的内积运算.2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因而得到不同的欧氏空间.212122312 (,)(,) .(. ,TTR a a b b R αβαβ==11122122 设在中对向量和规定内积为,)=2a b +a b +a b +a b 证明按照如上的内积运算构成是欧例氏空间。

313.. ∀∈⎰ba 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x)C[a,b],规定(f(x),g(x))=f(x)g(x)dx容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一个内积，从而C[a,b]成为一个欧例氏空间。

史荣昌魏丰版矩阵分析第三章(1)

内积空间正规矩阵与第三章内积空间、正规矩阵与H -矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一V R n V ,αβ个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：αβ(,)αβ1()(,)(,)αββα=2()(,)(,)(()(k k αβαβ=34000),,)(,)()(,),(,).αβγαγβγααααα+=+≥==当且仅当时这里是中任意向量，为任意实数，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。

,,αβγV k n V 例1在中，对于nR 1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==""规定11122(,)n nx y x y x y αβ=+++"容易验证是上的一个内积，从而成1(,)n R n R 为一个欧氏空间。

如果规定211222(,)n nx y x y nx y αβ=+++"容易验证也是上的一个内积，这样又成为另外一个欧氏空间2(,)n R n R又成为另外个欧氏空间。

例2在维线性空间中，规定n mR×nm T容易验证这是上的一个内积，这样对于(,):Tr()A B AB =n mR ×n mR ×这个内积成为一个欧氏空间。

例3在维线性空间中，规定2n n nC×(,):()HA B Tr AB =其中H表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。

B B (,)n n×n nC ×连同这个内积起成为酉空间。

C欧氏空间的性质)()β欧氏空间的性质：(1)(,,k k αβα==(2)(,)(,)(,))()ttαβγαβαγ++11(3)(,,i i i i i i k k αβαβ===∑∑(4)(,)(,)tti i i i k k αβαβ===∑∑11i i4242ii i ++⎡⎤(1)21i i ⎢⎥−+⎢⎥4212i i ⎢⎥−+−−⎣⎦6123i i +⎡⎤(2)1291i i ⎢⎥−−⎢⎥317i i ⎢⎥−+−⎣⎦⎡018(3)4i i −⎤⎢⎥100i i −−−⎢⎥−−⎦84i i ⎢⎥⎣3132i i +⎡(4)13415i i ⎤⎢⎥−+2155i i ⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦标准正交基底与Schmidt 正交化方法定义为一组不含有零向量的向量组如果：设为组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组{}i α{}i α量组。

第三章矩阵分析及其应用

第三章矩阵分析及其应用矩阵是线性代数中的重要概念，不仅在理论上有广泛应用，也在实际问题中具有重要的应用价值。

本章将介绍矩阵的基本概念和常用运算，以及矩阵在各个领域中的应用。

1.矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，通常用A、B、C等大写字母表示，其中A的第i行第j列的元素记作a_ij。

矩阵的大小用m×n表示，m表示行数，n表示列数。

特殊的矩阵有零矩阵、单位矩阵等。

矩阵的转置、相等、相加、相乘等运算是矩阵分析中的基础。

2.线性方程组与矩阵运算线性方程组是线性代数中的基本问题，可以使用矩阵运算来求解。

矩阵运算包括矩阵的相加、相乘等，可以用来简化计算过程，提高求解效率。

矩阵的转置能够将列向量转换为行向量，从而方便计算。

3.矩阵的逆与行列式行列式是矩阵的一个重要特征，可以判断矩阵是否可逆。

如果一个矩阵的行列式不等于0，则称该矩阵可逆，且可以使用其逆矩阵来求解线性方程组。

逆矩阵的计算方法有求伴随矩阵、幻方阵等多种方法。

4.矩阵的应用矩阵在各个领域中都有广泛应用。

在物理学中，矩阵可以描述电磁场、力学系统等；在经济学中，矩阵可以描述供求关系、价格变动等；在计算机科学中，矩阵可以用于图像处理、模式识别等。

总的来说，矩阵分析及其应用是线性代数中一个重要的分支，它不仅有着广泛的理论基础，还具有重要的实际应用价值。

掌握矩阵的基本概念和常用运算，能够帮助我们解决实际问题，提高计算效率。

同时，矩阵也是其他高级数学领域的重要工具，如微积分、概率论等。

因此，矩阵分析的学习和应用具有非常重要的意义。

第三章_矩阵分析及其应用

1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P( A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k) )1 A1 [ A ( A(k) A)]1 A1 A1( A(k) A) 1 A1( A(k) A)
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都绝对收敛，则称以上矩阵级数绝对收敛。
例如果设 A(k ) (aikj )22 C 22 ，其中
a (k) 11
k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn C mn，如果mn个常数项级数
a (k ij
)
,
i 1, 2,
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都收敛，则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数

第三章矩阵及其运算典型例题及求解

0 0 ,
A2

0
,则
1

0n 1

E

An

n k 0
Ckn

Ak
=C0n

A0
+C1n

A
即
1 0n 1 0 0 0 1 0 1 0 1 n 0 n 1
1 1 0 0 [例 2] 设 A 0 1 1 0 , 求 A2 , A3 和 An
1 1 1
[分析]在一个列向量和一个行向量的矩阵乘法时，要注意到一个行向量和一个列向量的矩阵乘法是一个数。
[解] 令 Ta k ，则 T T k T
1 1 1 1 1 1 3 3 3
T T 1 1 1 1 1 1 3 3 3
1 1 2 2
故
R

1
2

1

2
，要使
R

1
2

1

2
,
2 1 2
2 1 2
必须 2 2 1 0 ，即 1。
a1
[例 10]
设
A

a2

b1
,
b2
,
an

,bn 0 ，证明： R A 1，且存在常数 k ，使 A2 kA 。
1 0 0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
1
1
0 0

22

1 1 =(E,A-1)
0 0 1 0 0

矩阵分析第三章第6节

第5节对称与反对称变换那么称是V 的一个对称变换。

定义5.1：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=T 定理5.2：是欧氏空间V 的一对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。

T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= T A A=12(,,,)n nn u u u U ⨯∈ 定理5.3：欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。

T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。

那么称是V 的一个反对称变换。

定义5.2：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=-T 定理5.5：是欧氏空间V 的反对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。

T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= TA A =-12(,,,)n nn u u u U ⨯∈第6节正规矩阵、Schur引理定义6.1：酉相似（正交相似）,()()n n n n n n n n A B C or R U U or E ⨯⨯⨯⨯⎫∈⎬∃∈⎭1H U AU U AU B -==1()T U AU U AU B -==酉相似（正交相似）定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。

证明：（1）n=1时显然成立，假设你n=k-1时结论成立，即k-1阶矩阵A 酉相似于一个上三角矩阵。

（2）n=k 时：111A αλα=11A αλ是矩阵的对应于特征值的单位特征向量（2）n=k 时：111A αλα=1α12(,,,)k ααα 扩充成K 阶酉矩阵1U =12(,,,)k A ααα 11210(,,,)0k A λααα**⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1AU =k-1阶矩阵11H W AW R =111100H U AU A λ**⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭上三角矩阵21let U W ⎛⎫== ⎪⎝⎭12112100H H U U AU U R λ⊗⊗⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。

矩阵分析及其应用范围

矩阵分析及其应用范围矩阵作为数学中一种基础结构，被广泛地应用在科学技术领域中。

因为矩阵可以对向量空间中的线性变换进行描述，利用矩阵运算可以方便地进行数据的处理和计算。

矩阵分析是研究矩阵的性质、结构和变换的学问，它不仅是数学分析的一个重要分支，而且在工程、科学和自然科学中都有广泛应用。

矩阵分析的基础知识矩阵分析的基础知识包括矩阵的性质、矩阵的运算以及矩阵的特征值和特征向量等方面。

其中，矩阵的性质包括行列式、秩、迹、特征多项式等；矩阵的运算包括加减乘除、逆矩阵、转置矩阵、伴随矩阵等；矩阵的特征值和特征向量包括矩阵的对角化和相似矩阵。

矩阵分析的应用范围1. 矩阵运算在计算机科学中的应用矩阵运算在计算机科学中有广泛的应用，例如图像处理、数据压缩和编码等。

在图像处理中，利用矩阵运算可以进行图像的变换、去噪、增强、分割和识别等。

在数据压缩和编码中，利用矩阵运算可以进行数据压缩和编码以及信号恢复和解码等。

2. 矩阵分析在物理学中的应用矩阵分析在物理学中有很大的应用，例如量子力学中的波函数描述、离散元素法计算、有限元素法分析和时间序列分析等。

在量子力学中，矢量可以用波函数表示，而波函数则通过矩阵运算来描述量子态之间的关系。

在离散元素法计算中，矩阵可以描述初始条件、边界条件和物理模型，通过矩阵运算可以求解精确的数值解。

在有限元素法分析中，矩阵可以描述材料力学特性、温度场、流动场和电场等，通过矩阵运算可以解决复杂的力学问题。

在时间序列分析中，矩阵可以描述时间序列之间的线性关系，通过矩阵运算可以预测未来的数据趋势和变化。

3. 矩阵分析在生物学中的应用矩阵分析在生物学中也有很大的应用，例如基因芯片中的基因表达分析、蛋白质序列分析和生态系统分析等。

在基因芯片中，矩阵可以描述基因和样本之间的关系，通过矩阵运算可以分析基因表达的差异和相似性。

在蛋白质序列分析中，矩阵可以描述蛋白质序列之间的相似性和差异性，通过矩阵运算可以预测蛋白质的结构和功能。

矩阵分析第三章内积空间、正规矩阵1-4节

四、长度及其性质
记为 . 1、定义：非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、单位向量： 1 , 则称为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时，为单位向量

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3、性质： (1) 非负性： 0，当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0，当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、内积表示式：设内积空间V中基 1， 2，， n的度量矩阵为G 且，在基下的坐标为，， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2，， n ) X， (1， 2，， n )Y，
G (1， 2，， n )T (1， 2，， n ). (， ) T [(1， 2，， n ) X ]T [(1， 2，， n )Y ] X T [( 1， 2，， n )T ( 1， 2，， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若则
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5、不同基下度量矩阵的关设 1， 2，， n； 1， 2，， n为内系：积空间V中的基且度量矩阵为，， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2，， n )T ( 1， 2，， n ). B ( 1， 2，， n )T ( 1， 2，， n )，

矩阵分析第三章课后答案

第三章内积空间正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[] () ()() ()() ()1121221211131323312312112212311122schmidt==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,0=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：2333123=--0510105==().TTN Aβγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝021于是ε1＝（0，1，0）T是A的特征向量。

矩阵分析(第三章)

（1）利用Hamiltቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn–Cayley定理/递推法：
由特征多项式：det（λⅠ-A）得到f（λ），将λ用A替换，常数项用nI代替，有f（A）=0，得到递推关系式。将g（A）用上诉级数展开（若g（At）可将At看成A并展开），以此代入递推关系式化简，最后将g（A）（或g（At）写成矩阵形式。
例题；A= ，计算eAt。
方程组为：
解为：
从而cosA=b2A2+b1A+b0I=
（3）相似对角化：
若A是可对角化的n阶方阵，则存在P ，有P-1AP=diag（λ1λ2…λn）=Λ
故A=PΛP-1；
有f（A）= = =
=
=
同理，f（At）=
求｛P｝：解方程组（λI-｛A｝）｛P｝=0，归一法，即可求得P1…Pn。
例题：A= ，求eAt。
矩阵分析
1，
1，Cm×n上的矩阵｛A（k）｝，有｛A（k）｝=（aij（k））m×n。
2，矩阵序列收敛：若limk→+∞aij（k）=aij，i=1，…m，j=1，…n，则｛A（k）｝→A=（aij）m×n，写作limk→+∞A（k）=A或A（k）→A（k→+∞）。
3，性质：设limk→+∞A（k）=A，limk→+∞B（k）=B，其中A（k），B（k），A，B为适当阶矩阵，，有：
（2）待定系数法：
运用了一些数值分析的理论：f（λ）=（λ-λ1）r1（λ-λ2）r2…（λ-λs）λs，λk都是互异的，r1+r2+…rs=n，g（At）= ， g（λt）= 改写成：g（λt）=q（λ，t）f（λ）+r(λ,t）（*）；其中，q（λ，t）为含参数的关于λ的幂级数，r（λ，t）是含参数t且次数不超过n-1的关于λ的多项式。

第三章矩阵分析及其应用

矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析的应用

矩阵分析及其应用

鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式

第3章 MATLAB矩阵分析与处理

矩阵分析 第三章 第6节

矩阵分析3.1-2

史荣昌魏丰版矩阵分析第三章(1)

第三章矩阵分析及其应用

第三章_矩阵分析及其应用

第三章 矩阵及其运算 典型例题及求解

矩阵分析 第三章 第6节

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矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节

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