矩阵分析第三章3.1-2

n

, .
T
例如在R 中, a1 , a2 , , an
,
a a a
2 1 2 2
2 n
在C 中,
n
a1 , a2 , , an ,
T

a1 a2 an
2
Байду номын сангаас
2
2
定理3.1.2 : 设V 是酉(欧氏)空间, 、 V , k C , 那么 (1) 0, 当且仅当 0时, 0; (2) k k ; (3) , ; (4) . (非负性) (齐次性) ( 柯西一许瓦滋不等式) (三角不等式)
证 : , V,设 ,2 , ..., n ) x, =(1 , 2 , ..., n ) x (1 , 2 , ..., n ) y. =(1 , 2 , ..., n ) y (1
由坐标变换公式，知 x Px, y Py,
2 2 2 2
, , 2 Re( , ) 2 ( , ) ( )2 ,
.
在R n中, 柯西 - 许瓦兹不等式即 :
2 2 2 2 2 a1 a2 an b12 b2 bn ，
T
T
令 ( , )

T

H n
a1 b1 a2 b2 ... an bn 容易验证，所规定的 ( , )是C 的内积， 从而C 成为酉空间。
n
二、酉（欧氏）空间的性质
1. 欧氏空间的性质
(1)( , k ) k ( , ); ( 2)( , ) ( , ) ( , ); (3)( ki i , ) ki ( i , );
即
, , 0, , ,
即
2

,

2
2
所以， | ( , ) ||| || || || .
(4)

2 2
2
, , , , , 即
T
x1 x2
xn A x1 x2 xn ( , )
T
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号: A A
H

T
,
称A H为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1) A H ( A)T ; (2)( A B ) H A H B H ; (3)( kA) H kA H ; (4)( AB ) B A ;
例3.1.1 设R n是n维实向量空间，若
=(a1 ,a 2 ,...,a n ) , =(b1 ,b 2 ,...,b n )
T
T
令 ( , ) T a1b1 a2b2 ... anbn 容易验证，所规定的 ( , )是R 的内积，从而
n
R n 成为欧氏空间。
, , , , k k , . , , , ,

于是，由以上3式有
, , , , , , 0. , , , ,
(1)( , ) ( , ), (2)( k , ) k ( , ), (3)( , ) ( , ) ( , ), (4)( , ) 0, 当且仅当 0时( , ) 0.
其中、 、 为V中任意向量, 任意复数k C ; 称定义有这样内积的线性空间V 为n维复欧氏 空间或酉空间. 欧氏空间与酉空间统称为内积空间.
显然，实对称矩阵是实Hermite矩阵;酉空间的度 量矩阵是Hermite矩阵.欧氏空间的度量矩阵是实对称 阵。
对于线性空间不同的基，它们的度量矩阵是不 同的，它们之间的关系由下述定理给出。
, 2 , n 为酉空间 定理3.1.1 : 设1 , 2 , , n和1 的两个基, A、B分别为这两个基的度量矩阵，基的过 度矩阵为P，即 1 , 2 , , n P , 1 , 2 , , n 那么两个度量矩阵满足 BT P H AT P .
n n n
,使
B P AP , 则称A和B是复相合的;
n n 设A、B R nn , 如果存在P Rn ,使
B P T AP , 则称A和B是实相合的.
三、酉空间(欧氏空间)的度量 1、向量的长度 : 定义3.1.6 : 设V 是酉(欧氏)空间, V , 的长度 (即模)定义为为 :
i 1 i 1 n n n
( 4)( , ki i ) k i ( , i ).
i 1 i 1
n
设1 , 2 , , n为n维酉空间V 的一组基,
, V 且 xi i , y j j
i 1 j 1
n
n
则
n n n n ( , ) xi i , y j j xi y j ( i , j ) j 1 i 1 i 1 j 1 令gij ( i , j ) i , j 1, 2, , n .
T
n
例3.1.5设n 维空间R 中对向量( n阶矩阵) A, B 规定内积为 ( A, B ) tr ( A B ),
T
2
n n
A, B R
n n
,
则R
n n
是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V 是复数域C 上的n维线性空间, 如果对V中 任意两个向量、 , 有唯一确定的
复数与之对应, 这复数记为( , )且满足下列四个 条件, 则这复数( , )称为 与的内积 :
注: 1.今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例3.1.1定
义的内积运算.
2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因 而得到不同的欧氏空间.
例3.1.2 设在R 2中对向量 (a1 , a2 )T 和 (b1 , b2 ) 规定内积为 ( , )=2a1b1 +a1b2 +a 2 b1 +a 2 b2 , 证明R 2按照如上的内积运算构成是欧氏空间。 例3.1.3 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值 连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x) C[a,b], 规定
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
解析几何中，是用向量的长度和夹角来定 义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念， 再引入向量的长度、夹角等概念。
称n阶方阵： G gij

为基1 ,2 ,,n的度量矩阵.
G gij

g11 g 21 g n1
g12 g22 gn 2
g1n g2 n gnn
1 , 1 2 , 1 , n 1
H H H
(5)( A H ) H A; (6)若A可逆，则( A H )1 ( A1 ) H .
定义3.1.4 : 设A C nn ,
若A A, 则称A为Hermite矩阵;
H
若A A, 则称A为反Hermite矩阵.
H
容易证明： （ 1）AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ); ( 2) AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ).
不妨取
, k= ,由于( , ) ,


2

2
, ,
, ( , ) 那么， k , , , ; ( , ) ,
, k , , ; ,
注
在复数域C上定义内积时，不能象实数 (i ,i )=i ( , )=-( , ),
2
域上内积定义方式，否则会出现矛盾。如 ( , )>0, 这样( , )<0,矛盾！实际上( ,k )=k( , )
例3.1.6 设C 是n维复向量空间，若
n
=(a1 ,a 2 ,...,a n ) , =(b1 ,b 2 ,...,b n )
证 : (1)、 (2)易证.
(3)当 0, Cauchy Schwarz不等式成立;
当 0，k R(或k C),有 0 - k
2
k , k

, k , k , k k ( , )
(f(x),g(x))= f(x)g(x)dx
a b
T
容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一 个内积，从而C[a,b]成为一个欧氏空间。
例3.1.4 设A为n阶正定矩阵，对于R 中的任意两 个列向量X,Y，规定 (X,Y)=X AY 容易验证(X,Y)是R n 上的一个内积，于是R n 成为一 个欧氏空间。
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V 是实数域R上的n维线性空间, 如果对V中任意两个向量、 , 有唯一确定 的实数与之对应, 这实数记为( , ), 并且满足 下列四个条件, 则这实数( , )称为 与 的 内积:
(1) ( , ) ( , ) (2) ( k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0 其中 , , 是V 中任意向量, k R; 称定义有这 样内积的线性空间V 为n维欧氏空间.