矩阵分析第三章3.1-2
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第3章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
1 0 A = 0 2 0 −2
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。
第3章 矩阵的标准形1
⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
矩阵分析简明教程
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定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
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λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、
《MATLAB矩阵分析》PPT课件
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24
2．三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵， 所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元 素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角 线以上的元素全为0的一种矩阵。
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25
(1) 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是 求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取 矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵 B。 (2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数 是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的 函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
(6) 帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n 的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角 形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯 卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶 帕斯卡矩阵。
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14
• 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其 余的数则是等于它肩上的两个数之和。
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35
2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其 函数调用格式与求向量的范数的函数完全 相同。
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36
在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得 x=A-1b 例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=inv(A)*b
矩阵分析(3)
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 Rn 中，对于
(x1, x2 ,L , xn )T , ( y1, y2 ,L , yn )T
规定
( , ) T x1 y1 x2 y2 L xn yn
足
AT A AAT I 则称 A 是正交矩阵，一般记为 A Enn
例：
(1)
4 5
1 5
i
2 5
2 5
i
2 5
2 5
i
1 5
4 5
i
是一个酉矩阵
(2)
223
1 3
2
2
3 1
3 3 3
1
2
2
3 3 3
是一个正交矩阵
(3)
cos sin
sin cos
是一个正交矩阵
i 1
i 1
t
t
(4) (, kii ) ki (, i )
i 1
i 1
定义：设 V 是 n 维酉空间，i 为其一组
基底，对于V 中的任意两个向量
n
n
xii , y j j
i 1
j 1
那么 与 的内积
n
n
n
(, ) ( xii , yii ) xi y j (i , j )
例 2 设 C%[a, b] 表示闭区间 [a,b]上的所有
连续复值函数组成的线性空间，证明：对于
任意的 f (x), g(x) C%[a,b] ，我们有
b
b
2
b
2
a f (x)g(x)d (x) a f (x) d (x) a g(x) d ( x)
矩阵分析3.1-2
Hermite 第三章 内积空间、正规矩阵、矩阵解析几何中，是用向量的长度和夹角来定义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念，再引入向量的长度、夹角等概念。
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映，局限了线性空间的应用。
现在我们借助内积把度量概念引入到线性空间中。
&3.1 欧氏空间、酉空间一、概念,,,(,3.1),,(,).1V R n V 设是实数域上的维线性空间如果对中任意两个向量、有唯一确定的实数与之对应这实数记为并且满足下列四个条 件则这实数称为与的内定积义:αβαβαβαβ(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)(4) (,)0,0(,)0,,,;.k k V k R V n αββααβαβαβγαγβγααααααβγ==+=+≥==∈且仅当时其中是中任意向量称定义有这样内积的线性空间为维欧氏空间112211 (..,)... (,) Tn na b a b a b αβαβαβαβ==+++nT T12n 12n nn设R 是n 维实向量空间，若=(a ,a ,...,a ),=(b ,b ,...,b )令容易验证，所规定的是R 的内积，从而R 成为欧例3氏空间。
注: 1.今后欧氏空间R n 中的内积都指如上例3.1.1定义的内积运算.2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因而得到不同的欧氏空间.212122312 (,)(,) .(. ,TTR a a b b R αβαβ==11122122 设在中对向量和规定内积为,)=2a b +a b +a b +a b 证明按照如上的内积运算构成是欧例氏空间。
313.. ∀∈⎰ba 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x)C[a,b],规定(f(x),g(x))=f(x)g(x)dx容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一个内积，从而C[a,b]成为一个欧 例氏空间。
史荣昌魏丰版矩阵分析第三章(1)
内积空间正规矩阵与第三章内积空间、正规矩阵与H -矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一V R n V ,αβ个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：αβ(,)αβ1()(,)(,)αββα=2()(,)(,)(()(k k αβαβ=34000),,)(,)()(,),(,).αβγαγβγααααα+=+≥==当且仅当时这里是中任意向量，为任意实数，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。
,,αβγV k n V 例1在中，对于nR 1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==""规定11122(,)n nx y x y x y αβ=+++"容易验证是上的一个内积，从而成1(,)n R n R 为一个欧氏空间。
如果规定211222(,)n nx y x y nx y αβ=+++"容易验证也是上的一个内积，这样又成为另外一个欧氏空间2(,)n R n R又成为另外个欧氏空间。
例2在维线性空间中，规定n mR×nm T容易验证这是上的一个内积，这样对于(,):Tr()A B AB =n mR ×n mR ×这个内积成为一个欧氏空间。
例3在维线性空间中，规定2n n nC×(,):()HA B Tr AB =其中H表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。
B B (,)n n×n nC ×连同这个内积起成为酉空间。
C欧氏空间的性质)()β欧氏空间的性质：(1)(,,k k αβα==(2)(,)(,)(,))()ttαβγαβαγ++11(3)(,,i i i i i i k k αβαβ===∑∑(4)(,)(,)tti i i i k k αβαβ===∑∑11i i4242ii i ++⎡⎤(1)21i i ⎢⎥−+⎢⎥4212i i ⎢⎥−+−−⎣⎦6123i i +⎡⎤(2)1291i i ⎢⎥−−⎢⎥317i i ⎢⎥−+−⎣⎦⎡018(3)4i i −⎤⎢⎥100i i −−−⎢⎥−−⎦84i i ⎢⎥⎣3132i i +⎡(4)13415i i ⎤⎢⎥−+2155i i ⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦标准正交基底与Schmidt 正交化方法定义为一组不含有零向量的向量组如果：设为组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组{}i α{}i α量组。
矩阵理论
个列向量线性无关，对任意 x ( x1 , x2 , xn )T C n , 规定：
x
Ax
n 则 x 是 C 中的向量范数。
x1 x2 证 （1） Ax ( A1 , A2 ,, An ) x1 A1 x2 A2 xn An 0 x n
kx
E
(kx )e
i 1 i
n
i E
( kxi ) k ( xi ) k x
2 2 i 1 i 1
n
1 2
n
1 2
E
（3）对 x xi ei , y yi ei V , 有
i 1 i 1
n
n
x y
E
( xi yi )ei
则
x y
p
( xi yi ) .
p i 1
n
1 p
由于
( xi yi ) . ( xi ) ( yi )
i 1 i 1 i 1
n
1 p p
n
1 p p
n
1 p p
（闵可夫斯基不等式 Minkowski） 其中 1 p ，从而得到： x y 故 x
x y
A( x y) Ax Ay Ax Ay x y ,
n 故 x 是 C 中的向量范数。
此例说明 C 中可以定义无穷多种向量范数。
n
e1, e2 ,, en 是 V 的一组基，则对 例5 设 V 是 n 维线性空间，
x V , x 有唯一表示式： x x1e1 x2e2 xnen
§3.2 函数矩阵的微分和积分
第三章matlab矩阵运算
例3-22 计算向量a=-4:2:6每个元素的符号。 a=-4:2:6; B=sign(a)
3.2.3 坐标变换函数（P52）
例3-23 将迪卡尔坐标系中（1，1，1）分别转换到球坐 标系和极坐标中。 [THETA,PHI,R]=cart2sph(1,1,1) P= [THETA,PHI,R] [THETA,PHI,Z]=cart2pol(1,1,1) Q= [THETA,PHI,Z] R=[P;Q]
ankn
例3-3 求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3 ;4,5,6;7,8,9]的行列式。 det(eye(4)); det(magic(4)); det(A);
4．矩阵的行列迹： 矩阵的迹定义为对角元素之和。Matlab中用函数trace（ ）来计算矩阵的行列式。 例3-4 求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3 ;4,5,6;7,8,9]的行列式。 trace(eye(4)); trace(magic(4)); trace(A);
2．LU分解：
LU分解是将任意一个方正A分解成为一个交换下三角矩阵 L(或是排列(permuted) 的上三角形矩阵)和一个上三角矩 阵U的乘积，A=LU，在Matlab中用函数lu来计算LU分解
例3-14 求矩阵A=[1,4,2;5,6,9;4,1,8]的LU分解，
[L1,U1]=lu(A)
L1*U1
R=rref(A2)
9．矩阵空间之间的角度：
矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性 相关程度，夹角越小代表线性相关度越高。Matlab中用函 数subspace（）来计算矩阵空间之间的角度。
例3-9 求矩阵A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]和A2=[1,2;3 ,4;5,6]之间的夹角Q。
3.2.3 坐标变换函数（P52）
例3-23 将迪卡尔坐标系中（1，1，1）分别转换到球坐 标系和极坐标中。 [THETA,PHI,R]=cart2sph(1,1,1) P= [THETA,PHI,R] [THETA,PHI,Z]=cart2pol(1,1,1) Q= [THETA,PHI,Z] R=[P;Q]
ankn
例3-3 求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3 ;4,5,6;7,8,9]的行列式。 det(eye(4)); det(magic(4)); det(A);
4．矩阵的行列迹： 矩阵的迹定义为对角元素之和。Matlab中用函数trace（ ）来计算矩阵的行列式。 例3-4 求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3 ;4,5,6;7,8,9]的行列式。 trace(eye(4)); trace(magic(4)); trace(A);
2．LU分解：
LU分解是将任意一个方正A分解成为一个交换下三角矩阵 L(或是排列(permuted) 的上三角形矩阵)和一个上三角矩 阵U的乘积，A=LU，在Matlab中用函数lu来计算LU分解
例3-14 求矩阵A=[1,4,2;5,6,9;4,1,8]的LU分解，
[L1,U1]=lu(A)
L1*U1
R=rref(A2)
9．矩阵空间之间的角度：
矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性 相关程度，夹角越小代表线性相关度越高。Matlab中用函 数subspace（）来计算矩阵空间之间的角度。
例3-9 求矩阵A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]和A2=[1,2;3 ,4;5,6]之间的夹角Q。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
矩阵分析_第三章 北京理工大学
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
i 1 i 1
t
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ), (k , ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
2
0 ,
定理：
,
2
( , ) 0
因此我们引入下面的概念; 定义：在酉空间 V 中，如果 称 与 正交。
(1) ( , ) ( , ) (2) (k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0
k 这里 , , 是 V 中任意向量， 为任意复数
，只有当 0 时 ( , ) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。 欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
1 2i 3i 6 1 2i (2) 9 1 i 3i 1 i 7
1 2i 3i 1 2i 3i 6 6 1 2i 1 2i 9 1 i 9 1 i 3i 1 i 7 3i 1 i 7
n
2
维线性空间
n n
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
第三章-图形变换的矩阵方法
变换后这点的坐标值，这项技术的术语名称是“坐标变换”。如
果图形上每一个点都进行同一变换，即可得到该图形的变换。对于
线框图形的变换，通常是变换每个顶点的坐标，连接新的顶点序列
即可产生变换后的图形，对于曲线、曲面等图形变换，一般通过对
其参数方程做变换来实现对整个图形的变换。
➢ 有两种不同的变换方法：一种是图形不动，坐标系变动，变换前
量的基本定理，对于这个平面内的任意向量，都可以用这组基线
性表示，即 = 1 + 2 。这组不共线的向量 , 就构成平面
的一个坐标系，1 , 2 为向量在这组基下的坐标，即 = (1 , 2 )
➢ 若向量 =(1,0), =(0,1)， , 是平面直角坐标系中x轴和
和变换后图形是针对不同坐标系而言，变动后该图形在新坐标系
里具有新的坐标值，称之为几何变换；另一种是坐标系不动，图
形改变，变换前和变换后的坐标值是针对同一坐标系而言，称之
为坐标变换。这两种变换在某种意义上是等价的，将图形变换一
个量等价于将坐标系变换一个相反的量，实际应用中，后一种图
形变换更有实际意义。
②平行于y轴的直线变换后
仍平行于y轴；
③平行于x轴的直线变换后，
x=0的点不动(不动点)，x≠0的点
沿y方向平移了bx，形成与x轴夹
角为θ的直线，且 tgθ＝bx / x＝b。
D′
A′
D
C
A
B
C′
x
B′
bx
3.4.1
二维图形变换矩阵
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的
3.2 坐标系矩阵
3.2.1 坐标系矩阵
✓ 请说说你对坐标系的认识，你知道的坐标系有哪些？
果图形上每一个点都进行同一变换，即可得到该图形的变换。对于
线框图形的变换，通常是变换每个顶点的坐标，连接新的顶点序列
即可产生变换后的图形，对于曲线、曲面等图形变换，一般通过对
其参数方程做变换来实现对整个图形的变换。
➢ 有两种不同的变换方法：一种是图形不动，坐标系变动，变换前
量的基本定理，对于这个平面内的任意向量，都可以用这组基线
性表示，即 = 1 + 2 。这组不共线的向量 , 就构成平面
的一个坐标系，1 , 2 为向量在这组基下的坐标，即 = (1 , 2 )
➢ 若向量 =(1,0), =(0,1)， , 是平面直角坐标系中x轴和
和变换后图形是针对不同坐标系而言，变动后该图形在新坐标系
里具有新的坐标值，称之为几何变换；另一种是坐标系不动，图
形改变，变换前和变换后的坐标值是针对同一坐标系而言，称之
为坐标变换。这两种变换在某种意义上是等价的，将图形变换一
个量等价于将坐标系变换一个相反的量，实际应用中，后一种图
形变换更有实际意义。
②平行于y轴的直线变换后
仍平行于y轴；
③平行于x轴的直线变换后，
x=0的点不动(不动点)，x≠0的点
沿y方向平移了bx，形成与x轴夹
角为θ的直线，且 tgθ＝bx / x＝b。
D′
A′
D
C
A
B
C′
x
B′
bx
3.4.1
二维图形变换矩阵
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的
3.2 坐标系矩阵
3.2.1 坐标系矩阵
✓ 请说说你对坐标系的认识，你知道的坐标系有哪些？
连续梁的矩阵位移法
第三章 连续梁的矩阵位移法
§ 3.1 概述 § 3.2 连续梁的单元刚度矩阵 § 3.3 整体刚度矩阵 § 3.4 非结点荷载的处理 § 3.5 连续梁的矩阵位移法举例
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
MM3223
(2)
------称为单元杆端力列阵。
(1)
1 2
(1)
(2)
2 3
(
2
)
------称为单元杆端位移列阵。
§ 3.3 整体刚度矩阵
将方程组也用矩阵表示：
4i1
2i1
0
1
M1
2i1 0
4i1 4i2 2i2
2i2 4i2
32
M2 M3
简写为： K F ------称为整体刚度方程
有非结点荷载作用时的单元杆端力，可以由两部分叠加而 得：一部分是结点受有约束、各杆件为固端梁情况下的杆端力 (固端力)，另部分是综合结点荷载作用下的杆端力，即
F(e) Ff(e)k(e) (e)
§ 3.5 直接刚度法的解题步骤和算例
直接刚度法中后处理作法的解题步骤： 1．对各单元和结点进行编号 2．计算整体坐标系的单元刚度矩阵。 3．将各单元刚度矩阵的子块“对号入座”形成整体刚度矩阵。 4．计算总的荷载列阵，建立整体刚度方程。 5．引入支承条件，修改整体刚度矩阵和整体刚度方程。 6．解整体刚度方程求各结点位移。 7．计算各单元的杆端力，并进一步求各单元的其它内力。 。 8．校核。
§ 3.1 概述 § 3.2 连续梁的单元刚度矩阵 § 3.3 整体刚度矩阵 § 3.4 非结点荷载的处理 § 3.5 连续梁的矩阵位移法举例
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
MM3223
(2)
------称为单元杆端力列阵。
(1)
1 2
(1)
(2)
2 3
(
2
)
------称为单元杆端位移列阵。
§ 3.3 整体刚度矩阵
将方程组也用矩阵表示：
4i1
2i1
0
1
M1
2i1 0
4i1 4i2 2i2
2i2 4i2
32
M2 M3
简写为： K F ------称为整体刚度方程
有非结点荷载作用时的单元杆端力，可以由两部分叠加而 得：一部分是结点受有约束、各杆件为固端梁情况下的杆端力 (固端力)，另部分是综合结点荷载作用下的杆端力，即
F(e) Ff(e)k(e) (e)
§ 3.5 直接刚度法的解题步骤和算例
直接刚度法中后处理作法的解题步骤： 1．对各单元和结点进行编号 2．计算整体坐标系的单元刚度矩阵。 3．将各单元刚度矩阵的子块“对号入座”形成整体刚度矩阵。 4．计算总的荷载列阵，建立整体刚度方程。 5．引入支承条件，修改整体刚度矩阵和整体刚度方程。 6．解整体刚度方程求各结点位移。 7．计算各单元的杆端力，并进一步求各单元的其它内力。 。 8．校核。
第三章 向量的范数
(2) 当X 0时，有
1
x
X
1 。
(3) 对任意的 X V,有 - X X 。
(4)对任意的X，Y V,有 X Y X Y 。
距离定义
在赋范数向量空间中， 向量X与Y之间的距离 可定义为X - Y的范数，即
d ( X ,Y ) X Y
三、 常用向量范数
记R n X (1, 2 ,, n ) i C
T
① X 10， X 1 17， X 2 11, 4 4 2 n ②X , X1 2 n, n 1 n 1 n e 16 4 n X2 2 4 2n (n 1) n e ③ X 12, X 1 19, X 2 13, ④ X 17, X 1 2 3 17, X 2 32
(2) kX d 1 kX a 2 kX b k (1 X a 2 X b ) k X d
(3) X Y d 1 X Y a 2 X Y b 1 X a 1 Y a 2 X b 2 Y b 1 X d 2 Y d
b
maxX
a
a
Y a, X
b
Yb
b
max X a , X
maxY
,Y
b
X
a
X
②证明： (1) 当X 0时， X a 0, X b 0, X d 0,
当X 0时， X a 0, X b 0,又1，2 0, 1 X 2 X b 0 X d 0
（1
2
2
2
2
2
n
2
矩阵分析第三章课后答案
第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[] () ()() ()() ()1121221211131323312312112212311122schmidt==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,0=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：2333123=--0510105==().TTN Aβγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝021于是ε1＝（0，1，0）T是A的特征向量。
第3章 矩阵的标准形-2
1 2 3 4
A
0 0
1 0
2 1
3ห้องสมุดไป่ตู้2
0 0 0 1
矩阵分析简明教程
1
E
A
0 0
0
2 1
0 0
3 2 1 0
4
3
2
1
D1( ) D2 ( ) D3 ( ) 1, D4 ( ) ( 1)4
d1( ) d2 ( ) d3 ( ) 1, d4 ( ) ( 1)4
E
A
4
1
1 3
0
0
0
2
1 1 0
3 4
0
0 1 2
矩阵分析简明教程
1
0
0
3 ( 1)2
0
0
1 2
1 0
0
0
( 1)2
0
0
1 2
矩阵分析简明教程
1 0
0
0
( 1)2
(
2)(
1)2
0 1
0
1 0
0
0
0
(
2)(
1
)
2
0 1
0
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
即
(E A) p1 0
(E A) p2 0
(E A) p3 p2
前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个 基础解系：
1 1, 1, 0T ,2 3, 0, 1T
可以取 p1 1 ，但是不能简单地取 p2 2 ，这是因为如果 p2 选取不当会使得第三个非
齐次线性方程组无解。由于 1,2
J1
J
J2
J
s
称为Jordan标准形。
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
矩阵分析(第三章)
（1）利用Hamiltቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn–Cayley定理/递推法：
由特征多项式：det（λⅠ-A）得到f（λ），将λ用A替换，常数项用nI代替，有f（A）=0，得到递推关系式。将g（A）用上诉级数展开（若g（At）可将At看成A并展开），以此代入递推关系式化简，最后将g（A）（或g（At）写成矩阵形式。
例题；A= ，计算eAt。
方程组为：
解为：
从而cosA=b2A2+b1A+b0I=
（3）相似对角化：
若A是可对角化的n阶方阵，则存在P ，有P-1AP=diag（λ1λ2…λn）=Λ
故A=PΛP-1；
有f（A）= = =
=
=
同理，f（At）=
求｛P｝：解方程组（λI-｛A｝）｛P｝=0，归一法，即可求得P1…Pn。
例题：A= ，求eAt。
矩阵分析
1，
1，Cm×n上的矩阵｛A（k）｝，有｛A（k）｝=（aij（k））m×n。
2，矩阵序列收敛：若limk→+∞aij（k）=aij，i=1，…m，j=1，…n，则｛A（k）｝→A=（aij）m×n，写作limk→+∞A（k）=A或A（k）→A（k→+∞）。
3，性质：设limk→+∞A（k）=A，limk→+∞B（k）=B，其中A（k），B（k），A，B为适当阶矩阵， ，有：
（2）待定系数法：
运用了一些数值分析的理论：f（λ）=（λ-λ1）r1（λ-λ2）r2…（λ-λs）λs，λk都是互异的，r1+r2+…rs=n，g（At）= ， g（λt）= 改写成：g（λt）=q（λ，t）f（λ）+r(λ,t）（*）；其中，q（λ，t）为含参数的关于λ的幂级数，r（λ，t）是含参数t且次数不超过n-1的关于λ的多项式。
由特征多项式：det（λⅠ-A）得到f（λ），将λ用A替换，常数项用nI代替，有f（A）=0，得到递推关系式。将g（A）用上诉级数展开（若g（At）可将At看成A并展开），以此代入递推关系式化简，最后将g（A）（或g（At）写成矩阵形式。
例题；A= ，计算eAt。
方程组为：
解为：
从而cosA=b2A2+b1A+b0I=
（3）相似对角化：
若A是可对角化的n阶方阵，则存在P ，有P-1AP=diag（λ1λ2…λn）=Λ
故A=PΛP-1；
有f（A）= = =
=
=
同理，f（At）=
求｛P｝：解方程组（λI-｛A｝）｛P｝=0，归一法，即可求得P1…Pn。
例题：A= ，求eAt。
矩阵分析
1，
1，Cm×n上的矩阵｛A（k）｝，有｛A（k）｝=（aij（k））m×n。
2，矩阵序列收敛：若limk→+∞aij（k）=aij，i=1，…m，j=1，…n，则｛A（k）｝→A=（aij）m×n，写作limk→+∞A（k）=A或A（k）→A（k→+∞）。
3，性质：设limk→+∞A（k）=A，limk→+∞B（k）=B，其中A（k），B（k），A，B为适当阶矩阵， ，有：
（2）待定系数法：
运用了一些数值分析的理论：f（λ）=（λ-λ1）r1（λ-λ2）r2…（λ-λs）λs，λk都是互异的，r1+r2+…rs=n，g（At）= ， g（λt）= 改写成：g（λt）=q（λ，t）f（λ）+r(λ,t）（*）；其中，q（λ，t）为含参数的关于λ的幂级数，r（λ，t）是含参数t且次数不超过n-1的关于λ的多项式。
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n
, .
T
例如在R 中, a1 , a2 , , an
,
a a a
2 1 2 2
2 n
在C 中,
n
a1 , a2 , , an ,
T
a1 a2 an
2
Байду номын сангаас
2
2
定理3.1.2 : 设V 是酉(欧氏)空间, 、 V , k C , 那么 (1) 0, 当且仅当 0时, 0; (2) k k ; (3) , ; (4) . (非负性) (齐次性) ( 柯西一许瓦滋不等式) (三角不等式)
证 : , V,设 ,2 , ..., n ) x, =(1 , 2 , ..., n ) x (1 , 2 , ..., n ) y. =(1 , 2 , ..., n ) y (1
由坐标变换公式，知 x Px, y Py,
2 2 2 2
, , 2 Re( , ) 2 ( , ) ( )2 ,
.
在R n中, 柯西 - 许瓦兹不等式即 :
2 2 2 2 2 a1 a2 an b12 b2 bn ，
T
T
令 ( , )
T
H n
a1 b1 a2 b2 ... an bn 容易验证，所规定的 ( , )是C 的内积， 从而C 成为酉空间。
n
二、酉（欧氏）空间的性质
1. 欧氏空间的性质
(1)( , k ) k ( , ); ( 2)( , ) ( , ) ( , ); (3)( ki i , ) ki ( i , );
即
, , 0, , ,
即
2
,
2
2
所以， | ( , ) ||| || || || .
(4)
2 2
2
, , , , , 即
T
x1 x2
xn A x1 x2 xn ( , )
T
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号: A A
H
T
,
称A H为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1) A H ( A)T ; (2)( A B ) H A H B H ; (3)( kA) H kA H ; (4)( AB ) B A ;
例3.1.1 设R n是n维实向量空间，若
=(a1 ,a 2 ,...,a n ) , =(b1 ,b 2 ,...,b n )
T
T
令 ( , ) T a1b1 a2b2 ... anbn 容易验证，所规定的 ( , )是R 的内积，从而
n
R n 成为欧氏空间。
, , , , k k , . , , , ,
于是，由以上3式有
, , , , , , 0. , , , ,
(1)( , ) ( , ), (2)( k , ) k ( , ), (3)( , ) ( , ) ( , ), (4)( , ) 0, 当且仅当 0时( , ) 0.
其中、 、 为V中任意向量, 任意复数k C ; 称定义有这样内积的线性空间V 为n维复欧氏 空间或酉空间. 欧氏空间与酉空间统称为内积空间.
显然，实对称矩阵是实Hermite矩阵;酉空间的度 量矩阵是Hermite矩阵.欧氏空间的度量矩阵是实对称 阵。
对于线性空间不同的基，它们的度量矩阵是不 同的，它们之间的关系由下述定理给出。
, 2 , n 为酉空间 定理3.1.1 : 设1 , 2 , , n和1 的两个基, A、B分别为这两个基的度量矩阵，基的过 度矩阵为P，即 1 , 2 , , n P , 1 , 2 , , n 那么两个度量矩阵满足 BT P H AT P .
n n n
,使
B P AP , 则称A和B是复相合的;
n n 设A、B R nn , 如果存在P Rn ,使
B P T AP , 则称A和B是实相合的.
三、酉空间(欧氏空间)的度量 1、向量的长度 : 定义3.1.6 : 设V 是酉(欧氏)空间, V , 的长度 (即模)定义为为 :
i 1 i 1 n n n
( 4)( , ki i ) k i ( , i ).
i 1 i 1
n
设1 , 2 , , n为n维酉空间V 的一组基,
, V 且 xi i , y j j
i 1 j 1
n
n
则
n n n n ( , ) xi i , y j j xi y j ( i , j ) j 1 i 1 i 1 j 1 令gij ( i , j ) i , j 1, 2, , n .
T
n
例3.1.5设n 维空间R 中对向量( n阶矩阵) A, B 规定内积为 ( A, B ) tr ( A B ),
T
2
n n
A, B R
n n
,
则R
n n
是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V 是复数域C 上的n维线性空间, 如果对V中 任意两个向量、 , 有唯一确定的
复数与之对应, 这复数记为( , )且满足下列四个 条件, 则这复数( , )称为 与的内积 :
注: 1.今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例3.1.1定
义的内积运算.
2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因 而得到不同的欧氏空间.
例3.1.2 设在R 2中对向量 (a1 , a2 )T 和 (b1 , b2 ) 规定内积为 ( , )=2a1b1 +a1b2 +a 2 b1 +a 2 b2 , 证明R 2按照如上的内积运算构成是欧氏空间。 例3.1.3 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值 连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x) C[a,b], 规定
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
解析几何中，是用向量的长度和夹角来定 义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念， 再引入向量的长度、夹角等概念。
称n阶方阵： G gij
为基1 ,2 ,,n的度量矩阵.
G gij
g11 g 21 g n1
g12 g22 gn 2
g1n g2 n gnn
1 , 1 2 , 1 , n 1
H H H
(5)( A H ) H A; (6)若A可逆，则( A H )1 ( A1 ) H .
定义3.1.4 : 设A C nn ,
若A A, 则称A为Hermite矩阵;
H
若A A, 则称A为反Hermite矩阵.
H
容易证明： （ 1）AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ); ( 2) AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ).
不妨取
, k= ,由于( , ) ,
2
2
, ,
, ( , ) 那么， k , , , ; ( , ) ,
, k , , ; ,
注
在复数域C上定义内积时，不能象实数 (i ,i )=i ( , )=-( , ),
2
域上内积定义方式，否则会出现矛盾。如 ( , )>0, 这样( , )<0,矛盾！实际上( ,k )=k( , )
例3.1.6 设C 是n维复向量空间，若
n
=(a1 ,a 2 ,...,a n ) , =(b1 ,b 2 ,...,b n )
证 : (1)、 (2)易证.
(3)当 0, Cauchy Schwarz不等式成立;
当 0，k R(或k C),有 0 - k
2
k , k
, k , k , k k ( , )
(f(x),g(x))= f(x)g(x)dx
a b
T
容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一 个内积，从而C[a,b]成为一个欧氏空间。
例3.1.4 设A为n阶正定矩阵，对于R 中的任意两 个列向量X,Y，规定 (X,Y)=X AY 容易验证(X,Y)是R n 上的一个内积，于是R n 成为一 个欧氏空间。
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V 是实数域R上的n维线性空间, 如果对V中任意两个向量、 , 有唯一确定 的实数与之对应, 这实数记为( , ), 并且满足 下列四个条件, 则这实数( , )称为 与 的 内积:
(1) ( , ) ( , ) (2) ( k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0 其中 , , 是V 中任意向量, k R; 称定义有这 样内积的线性空间V 为n维欧氏空间.
, .
T
例如在R 中, a1 , a2 , , an
,
a a a
2 1 2 2
2 n
在C 中,
n
a1 , a2 , , an ,
T
a1 a2 an
2
Байду номын сангаас
2
2
定理3.1.2 : 设V 是酉(欧氏)空间, 、 V , k C , 那么 (1) 0, 当且仅当 0时, 0; (2) k k ; (3) , ; (4) . (非负性) (齐次性) ( 柯西一许瓦滋不等式) (三角不等式)
证 : , V,设 ,2 , ..., n ) x, =(1 , 2 , ..., n ) x (1 , 2 , ..., n ) y. =(1 , 2 , ..., n ) y (1
由坐标变换公式，知 x Px, y Py,
2 2 2 2
, , 2 Re( , ) 2 ( , ) ( )2 ,
.
在R n中, 柯西 - 许瓦兹不等式即 :
2 2 2 2 2 a1 a2 an b12 b2 bn ，
T
T
令 ( , )
T
H n
a1 b1 a2 b2 ... an bn 容易验证，所规定的 ( , )是C 的内积， 从而C 成为酉空间。
n
二、酉（欧氏）空间的性质
1. 欧氏空间的性质
(1)( , k ) k ( , ); ( 2)( , ) ( , ) ( , ); (3)( ki i , ) ki ( i , );
即
, , 0, , ,
即
2
,
2
2
所以， | ( , ) ||| || || || .
(4)
2 2
2
, , , , , 即
T
x1 x2
xn A x1 x2 xn ( , )
T
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号: A A
H
T
,
称A H为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1) A H ( A)T ; (2)( A B ) H A H B H ; (3)( kA) H kA H ; (4)( AB ) B A ;
例3.1.1 设R n是n维实向量空间，若
=(a1 ,a 2 ,...,a n ) , =(b1 ,b 2 ,...,b n )
T
T
令 ( , ) T a1b1 a2b2 ... anbn 容易验证，所规定的 ( , )是R 的内积，从而
n
R n 成为欧氏空间。
, , , , k k , . , , , ,
于是，由以上3式有
, , , , , , 0. , , , ,
(1)( , ) ( , ), (2)( k , ) k ( , ), (3)( , ) ( , ) ( , ), (4)( , ) 0, 当且仅当 0时( , ) 0.
其中、 、 为V中任意向量, 任意复数k C ; 称定义有这样内积的线性空间V 为n维复欧氏 空间或酉空间. 欧氏空间与酉空间统称为内积空间.
显然，实对称矩阵是实Hermite矩阵;酉空间的度 量矩阵是Hermite矩阵.欧氏空间的度量矩阵是实对称 阵。
对于线性空间不同的基，它们的度量矩阵是不 同的，它们之间的关系由下述定理给出。
, 2 , n 为酉空间 定理3.1.1 : 设1 , 2 , , n和1 的两个基, A、B分别为这两个基的度量矩阵，基的过 度矩阵为P，即 1 , 2 , , n P , 1 , 2 , , n 那么两个度量矩阵满足 BT P H AT P .
n n n
,使
B P AP , 则称A和B是复相合的;
n n 设A、B R nn , 如果存在P Rn ,使
B P T AP , 则称A和B是实相合的.
三、酉空间(欧氏空间)的度量 1、向量的长度 : 定义3.1.6 : 设V 是酉(欧氏)空间, V , 的长度 (即模)定义为为 :
i 1 i 1 n n n
( 4)( , ki i ) k i ( , i ).
i 1 i 1
n
设1 , 2 , , n为n维酉空间V 的一组基,
, V 且 xi i , y j j
i 1 j 1
n
n
则
n n n n ( , ) xi i , y j j xi y j ( i , j ) j 1 i 1 i 1 j 1 令gij ( i , j ) i , j 1, 2, , n .
T
n
例3.1.5设n 维空间R 中对向量( n阶矩阵) A, B 规定内积为 ( A, B ) tr ( A B ),
T
2
n n
A, B R
n n
,
则R
n n
是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V 是复数域C 上的n维线性空间, 如果对V中 任意两个向量、 , 有唯一确定的
复数与之对应, 这复数记为( , )且满足下列四个 条件, 则这复数( , )称为 与的内积 :
注: 1.今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例3.1.1定
义的内积运算.
2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因 而得到不同的欧氏空间.
例3.1.2 设在R 2中对向量 (a1 , a2 )T 和 (b1 , b2 ) 规定内积为 ( , )=2a1b1 +a1b2 +a 2 b1 +a 2 b2 , 证明R 2按照如上的内积运算构成是欧氏空间。 例3.1.3 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值 连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x) C[a,b], 规定
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
解析几何中，是用向量的长度和夹角来定 义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念， 再引入向量的长度、夹角等概念。
称n阶方阵： G gij
为基1 ,2 ,,n的度量矩阵.
G gij
g11 g 21 g n1
g12 g22 gn 2
g1n g2 n gnn
1 , 1 2 , 1 , n 1
H H H
(5)( A H ) H A; (6)若A可逆，则( A H )1 ( A1 ) H .
定义3.1.4 : 设A C nn ,
若A A, 则称A为Hermite矩阵;
H
若A A, 则称A为反Hermite矩阵.
H
容易证明： （ 1）AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ); ( 2) AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ).
不妨取
, k= ,由于( , ) ,
2
2
, ,
, ( , ) 那么， k , , , ; ( , ) ,
, k , , ; ,
注
在复数域C上定义内积时，不能象实数 (i ,i )=i ( , )=-( , ),
2
域上内积定义方式，否则会出现矛盾。如 ( , )>0, 这样( , )<0,矛盾！实际上( ,k )=k( , )
例3.1.6 设C 是n维复向量空间，若
n
=(a1 ,a 2 ,...,a n ) , =(b1 ,b 2 ,...,b n )
证 : (1)、 (2)易证.
(3)当 0, Cauchy Schwarz不等式成立;
当 0，k R(或k C),有 0 - k
2
k , k
, k , k , k k ( , )
(f(x),g(x))= f(x)g(x)dx
a b
T
容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一 个内积，从而C[a,b]成为一个欧氏空间。
例3.1.4 设A为n阶正定矩阵，对于R 中的任意两 个列向量X,Y，规定 (X,Y)=X AY 容易验证(X,Y)是R n 上的一个内积，于是R n 成为一 个欧氏空间。
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V 是实数域R上的n维线性空间, 如果对V中任意两个向量、 , 有唯一确定 的实数与之对应, 这实数记为( , ), 并且满足 下列四个条件, 则这实数( , )称为 与 的 内积:
(1) ( , ) ( , ) (2) ( k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0 其中 , , 是V 中任意向量, k R; 称定义有这 样内积的线性空间V 为n维欧氏空间.