(优选)第三章矩阵分析及其应用.

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矩阵及其应用ppt课件

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线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义,第三页中的线性方 程组可以表示成:
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵,x是列向量
[x1, x2, ..., xn],y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时,A是n阶方阵,如果A可逆,那么:
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m,计算Am。其中n 不超过50,m不超过1000000。
方阵的幂(二)
• 已知n阶方阵A和正整数m,计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50,m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图,问从A点恰好经过k步 (允许多次经过同一条边)走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50,边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m,计算xm的值。(n不超过50,m 不超过1000000)
数乘矩阵
类似地,矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵:
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组:
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具,用于研究和解决与矩阵相关的问题。

矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。

矩阵分析方法可以应用于多个领域,包括数学、物理、工程、计算机科学等。

在以下回答中,我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用,并提供一些相关论文的例子。

首先,让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组,可以表示为一个m×n的矩阵,其中m表示行数,n表示列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

通过矩阵分析,我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。

矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。

当两个矩阵相乘时,第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵,其行数等于第一个矩阵的行数,列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。

另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。

矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。

特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用,例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。

下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子:1. 图像处理:矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用,例如图像压缩和恢复。

论文例子:《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。

2. 数据处理:矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用,例如矩阵分解和矩阵推荐系统。

论文例子:《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。

3. 信号处理:矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用,例如语音信号处理和音频编码。

论文例子:《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。

4. 控制系统:矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用,例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。

矩阵分析与应用

矩阵分析与应用

编码理论
象层 步特征分 抽象层面的进一步特征分析
12
教学大纲
第 周 第一周 第二周 第三周 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 第四周 周四 第五周 周一 周 周四 背景介绍,矩阵分析应用 矩阵基础知识复习 向量空间,赋范空间 矩阵标量函数 逆矩阵,伪逆矩阵,MP逆矩阵 矩阵函数 Hermitian矩阵,酉矩阵,Toeplitz矩阵, 循环矩阵 Vandermonde矩阵,Fourier矩阵, Hadamard矩阵,稀疏矩阵 矩阵对角化分解 数值稳定性 矩阵对角化分解,数值稳定性 矩阵三角化分解,三角对角化分解
-1 -1
特征值,特征向量 特征值 特征向量
Ax x
2
矩阵分析课程介绍
起点:线性代数的矩阵基本知识 起点 线性代数的矩阵基本知识 目标:基于分析的语言,学习矩阵理论
特殊矩阵
矩阵 基本理论
矩阵分解
子空间与 投影分析
抽象代数 简介
矩阵特征 分析
3
矩阵基本理论
向量,向量空间,内积空间 加法,标量乘法,闭合 矩阵范数 矩阵“长度” A 矩阵标量函数
13
教学大纲
第六周 第七周 第八周 第九周 第十周 第十一周周 第十 周周 末 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 特征值,特征向量,Hamilton-Cayley定理 KL变换,主分量分析 广义特征值分解 R l i h商 特征值扰动 Rayleigh商,特征值扰动 子空间理论,子空间投影 投影分析 最小二乘 投影分析,最小二乘 稀疏矩阵表示,压缩感知 稀疏矩阵方程求解,优化理论与方法 抽象代数:群,环 抽象代数:域 第一阶段考核
y {A x, x R N }

矩阵的实际应用ppt课件

矩阵的实际应用ppt课件

应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付
、管理费等见表1.
每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据:
(1) 每一季度中每一类成本的数量; (2) 每一季度三类成本的总数量; (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中


2
2
1

44
52



3
15
1 1 1 43 43 20 14
反过来查表:
123
24 25 26
ABC
即可得到信息action.
XY Z
我们选择不同的可逆矩阵 A(密钥),则可得到不同的密文。
如: 选择可逆矩阵
1 2 3
A


应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多 高深的数学知识,这里只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码,尚未转换成 密码的文字信息称为明文,由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程 称为加密,反之为解密。
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年,希尔(Hill)通过矩阵理论对传输信息进行加密处理,提出了在密 码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
0.02 0.3 0.98 0.7
Ax0


0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年,此关系保持不变,因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 Ak x0 输入:A[0.94,0.02;0.06,0.98],

矩阵分析及其应用

矩阵分析及其应用

1
k
1 3
矩阵级数
定义:设 A(k) (aikj )mn Cmn,如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛, 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
ck J1k (1),
ck
J
k 2
(2
),,
ck
J
k r
(r
))
P
1
k 0
k 0
k 0
其中
ck ik
k0
k 0
ck
J
k i
(i
)
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di 1 k di 1 c c k k i
k 0
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di di
当 ( A) R 时,幂级数
k 1
k 1 i1 j1
i1 j1 k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义 设 A(k) (aikj )mn Cnn ,称形如
ck Ak c0I c1A c2 A2 ck Ak
k 0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理 设幂级数 ck xk 的收敛半径为R,A为 n 阶方阵。
同样可以证明其余的结论。
注意:这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
例:设
1 1 1 1
A 0 0 , B 0 0

新质量工具第五讲PUGH矩阵及其在方案优选中的应用

新质量工具第五讲PUGH矩阵及其在方案优选中的应用

新质量工具第五讲PUGH矩阵及其在方案优选中的应用一,引言无论在工作还是在生活中,当我们面临多种选择的时候,对问题的决策能力就显得非常重要.我们每天面临着大量需要作决定的问题.这些问题有的比较简单,有的比较复杂.但它们有共同的特点,就是需要进行比较和权衡,以作出最优的选择.作任何决策,决策者都需要知道两点,一是我们有哪些可能的选择,二是根据哪些判断准则来判定各种选择方案的优劣.对于只有一个判断准则的简单情况,决策可以非常简单,但是,判断准则较少的情况不太多见,大部分决策过程都有许多准则需要我们考虑.当存在多个判断准则的时候,情况就变得很复杂,此时我们需要对照多个准则来判定哪个选择方案最好.另外,在为数众多的判断准则中,往往有很多准则是相互矛盾,相互制约的.此时,我们的决策过程就变得更加复杂,需要综合考虑多种因素来作判断.权衡分析方法为解决这类问题提供了很好的工具.二,权衡分析工具在我们的产品开发过程中,众多的选择和相互冲突的判断准则都会使决策的过程变得很复杂,因此,权衡分析就显得作用很大,也很有必要.设计的权衡分析工具为比照关键准则来评价可能的选择方案提供了正规的,结构性的方法.这样的工具很多,最典型的就是概念权衡分析(Tradeoff) 和PUGH矩阵,它们都是用来帮助设计人员识别出最好的方案.这些不同的工具往往具有很多共同点:通常都列出所有的可选择项,列出判断准则,对照判断准则对每个选择项进行评分,比较2005年第2期(患第116期)各选择项相互之间豹得分,识别出总分最高的选择项.投衡分析应用矩阵霞蒲方蔷孵龚霉立橱详细初步概念低中高定性的定量的图1权衡分析工具的应用如图l中所示,PUGH矩阵可以运用在设计的任何阶段,对设计概念进行快速,定性的评估.它有助于选择明确的有利概念,在进行概念比较时提供迅速的搜索,或者进行从多种概念到少数优势概念的选择.在概念设计中,概念权衡分析可以在系统,子系统和部件级对多种可选择方案作出决策,它通过电子表格的形式提供定性和定量的分析数据.而PUGH矩阵是最常用的一种权衡分析工具,它帮助我们在面临多种可能时作出正确的选择,通常在我们进行概念设计时用来选择多种方案.相对概念权衡分析而言,PUGH矩阵的权衡分析进行得比较粗略,往往不提供定量的分析结论.在设计过程中,PUGH矩阵通常用于进行快速,定性的评估,帮助我们选择比较明显的优胜概念,在各种概念的相互比较中得到一个快速的判断,或者从众多的可选择概念中筛选出少数几个有希望的概念,以便继续观察,比较.三,PUGH矩阵的原理和方法如前所述,权衡分析工具的共同点是列出所有的可选择项,列出判断准则,对照判断准则对每个选择项进行评分,比较各选择项相互之间的得分,识别出总分最高的选择项.PUGH矩阵也符合这个特点.图2是一个空白的PUGH矩阵.PUGH矩阵可选择方案图例更好+n寸In相同s瑚}瑚}瑚}瑚}瑚}瑚}瑚}更差一嗽蝈蝈蝈判断准则1}田l{1ABCDEFGHIJ"更好"总数000000"更差"总数000000"相同"总数000000"更好"加权总数000000"更差"加权总数000000图2PUGH矩阵的模板如图2所示,PUGH矩阵是最简单的权衡分析工具,它从众多的可选择方案中选出一个基准(标杆)方案,然后对照判断准则,将其它方案与基准方案进行定性的比较,从而进行权衡分析.现在我们来看如何使用PUGH矩阵.首先,根据选择决策的关键因素建立选择的判断准则项.举例来说,这些判断准则项可以是成本,交付时间,风险,复杂程度等等.一般的原则是要避免太多的判断准则,通常以不超过20项为好,也不对判断准则项进行加权.在PUGH矩阵的结构中,把需要考虑的方案列在矩阵上端的一行,每个方案占一列.判断准则放在左边的一列,每个判断项为一行.为了清晰地判断各个方案,一定要保证参加分析的所有成员对可选择的方案和判断准则都有很好的理解.选择一个方案作为基准方案,通常挑选大家认为最好的方案作为基准方案.将每一个方案与基准方案进行比较,每次评估一个判断准则.然后在方案和判断准则对应的方框中填人一个符号:用"加号"表示这个方案在这个判断准则上比基准方案更好,用"减号"表示比基准方案差,用"S"表示与基准方案相等.在此过程中,记录下可能产生新方案和新判断准则的想法,以便把这些新想法融人迭代进行的下一次PUGH矩阵分析.统计所有的评价符号.在每列的下面累加"加号","减号"和"S"的总数.注意不能从"加号"的数量中减去"减号"的数量.评估总体评分.寻找"加号"最多,"减号"最少的方案,同时也寻找融合多种方案的方法,将一个方案的最强项应用到另一个方案,以加强其较弱的方面.这个过程将导致混合方案的产生.这些新产生的方案和以前记录的方案和判断准则都应该加入到矩阵中来,同时,将那些不能进一步改进的弱势方案从矩阵中删除.对不能帮助我们识别不同方案的判断准则也要删除.重新选择一个基准方案,还是象以前那样选择当前认为最强势的方案,通常都是从以前的筛选中得到的混合方案.重复这个过程直到产生出最好的方案.四,PUGH矩阵的应用实例在我们设计某一产品的过程中,形成了5种可选择的初始设计方案(方案的概念阶段, ConceptualDesign).我们需要根据可靠性,成本,产品性能,设计简单性,设计可实现性,设计通用性,商务和风险等判断准则来挑选优胜的设计方案.选择一个我们认为较好的设计方案作为基准方案,将其它的方案与之进行比较,得到如下的PUGH矩阵.从图3中可以看出,可选方案C具有明显的优势.2005年第2期(总第116期)1^【r'可选择的方案图例更好+∞U0相同S田日}更差一硪关键准则1}咖{醐可靠性++S成本S+性能S+简单性++S可实现性+通用性S+S商务+++风险S+S"更好"总数2451"更差"总数3324"相同"总数3113"更好"加权总数2451"更差"加权总数3324图3说明PUGH矩阵举例五,PUGH矩阵的优缺点分析最后,简单讨论一下PUGH矩阵的优缺点. PUGH矩阵有几个优点.首先,它对设计方案的定量细节要求得很少,因此在设计项目很早的阶段就可以应用于设计方案的比较.另外,PUGH矩阵的应用也比较简单,可以很快去除弱势的方案,帮助我们清晰和精炼方案的细节.同时,也可以识别出哪些判断准则对方案选择有重大的影响,从而帮助我们得到混合方案.PUGH矩阵关注所有的判断准则,力争使这些准则都能得到较好的满足,从而避免挑选出只对某一准则满足得很好的不合理的方案.PUGH矩阵也有2个缺点:第一,它对"更好"和"更坏"的程度没有进行详细的区分,只要都是"更好"或"更坏"就给予相同的评价.第二,在等级相近的时候,需要进一步进行风险分析.六,结束语本文简单介绍了权衡分析的基本思想以及PUGH矩阵的方法和应用.总体来说,PUGH矩阵是一种较为粗略的定性的权衡分析方法,主要应用在设计过程的早期阶段,用于对多个方案进行快速的比较和选择.如果在设计的后期,希望进行较为细致的分析,可以考虑权衡分析中其它更为详细的工具.-+一+一+一+一++一+一+?-+一+一+一+一+一+-+一+一+一+一+一+一+-+一+一+一+一+一+一+一+一+一+-+一+一+一+一+一+-+一+一+-+-+一+-+一+-(上接第28页)[3】GrubbsFE.ApproximateFiducialboundson reliabilityforthetwoparameternegativeexpo—nentialdistribution,Technometrics,13(2),1971,873—876.[4】EngelhardtM,BainLJ.Tolerancelimitsand confidencelimitsonreliabilityforthetwo--0araln- eterexponentialdistribution,Technometrics,20 (1),1978,37-39.[5】LawlessJF.Statisticalmodelsandmethodsforli~timedata,Wiley,1982.[6】周源泉等.可靠性评定.北京:科学出版社, 1990.[7】BainLJ,EngelhardtM.Statisticalanalysisof reliabilityandlifetestingmodel,(2nded.),Dekker,1991.[8】MartzHF,WallerRA.Bayesianreliability analysis,Wiley,1982.[9】EvansIG,NigmAHM.Bayesianprediction2005年第2期(总第116期)f0rthelefttruncatedexponentialdistribution. Technometrics,22(2),1980,201-204.[10】EpsteinB,SobelM.Sometheorensrelervant tolifetestingfromanexponentialdistribution,Ann.Math.Stat.,1954,25:373-381.[11】陈希孺.数理统计引论.北京:科学出版社, 1981.[12】周源泉.Gamma分布拟合及其应用.强度与环境,1988(4),44-50.[13】WilsonEB,HilfertyMM.Thedistribution ofChisquare,Proc.oftheNationalAcademy ofScience(U.S.),17(1931),684-688.[14】周源泉等.可靠性下限与可靠寿命下限间的对称原理.系统工程与电子技术,1993(3),64~72.[15】周源泉.质量可靠性增长与评定方法.北京航空航天大学出版社,1997.。

矩阵分析课件精品PPT

矩阵分析课件精品PPT

典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量,其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3,对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T,求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4),解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组,并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组,通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式,然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况,通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|,根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1,其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m,求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系,则A对应于特征值m的全部特征向量(其中I是与A 同阶的单位矩阵)。
特征值和特征向量求解方法

(完整word版)矩阵分解及其简单应用

(完整word版)矩阵分解及其简单应用

对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和,大体分为三角分解、QR 分解、满秩分解和奇异值分解。

矩阵的分解是很重要的一部分内容,在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题,在各个不同的专业领域也有重要的作用。

秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点,不仅表现在原理方面,更表现在计算方面,而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。

1. 矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积,即A=LU 则称A可作三角分解。

矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的,因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同,即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0, 即?k工0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件,否则怎么分解都没有意义。

矩阵的三角分解不是唯一的,但是在一定的前提下,A=LDU勺分解可以是唯一的,其中D是对角矩阵。

矩阵还有其他不同的三角分解,比如Doolittle 分解和Crout 分解,它们用待定系数法来解求 A 的三角分解,当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点,使算法更加简单方便。

矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。

由于A=LU,所以Ax=b可以变换成LU x=b,即有如下方程组:Ly = b{{Ux = y先由Ly = b依次递推求得y i, y2, ........ ,y n,再由方程Ux = y依次递推求得X n,x n-1 , ... ,X1 .必须指出的是,当可逆矩阵A不满足?k工0时,应该用置换矩阵P左乘A以便使PA 的n个顺序主子式全不为零,此时有:Ly = pb{{ Ux = y 这样,应用矩阵的三角分解,线性方程组的解求就可以简单很多了。

2. 矩阵的QF分解矩阵的QR分解是指,如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR其中Q为正交矩阵,R为实非奇异上三角矩阵。

QR分解的实际算法各种各样,有Schmidt正交方法、Give ns方法和Householder方法,而且各有优点和不足。

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(3)设 lim A(k) A, lim B(k) B ,其中 A(k) Cml , B(k) Cln
k
k
那么 lim A(k)B(k) AB
k
(4)设 lim A(k) A ,那么 lim PA(k)Q PAQ
k
k
其中 A(k ) Cmn , P C mm ,Q C nn
k 1
都绝对收敛, 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k) (aikj )22 C22 ,其中
a (k) 11 k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
sin
k 1
2k
那么矩阵级数
(5)设 lim A(k) A,且 {A(k )} , A均可逆,则 {( A(k ) )1} k 也收敛,且 lim( A(k) )1 A1 k
证明: (2) aA(k) bB(k) aA bB a A(k) A b B(k) B 0 (3) A(k)B(k) AB A(k)B(k) A(k)B A(k)B AB
(优选)第三章矩阵分析及其 应用.
矩阵序列与极限
定义 设已知矩阵序列 {A(k )},其中 A(k) (aikj )mn Cmn,当
k→∞, aikj aij时,称{A(k)}收敛,并称矩阵
A
(aij
)

mn
{A(k)}的极限,或称{A(k)}收敛于A,记为
lim A(k) A 或
k
不收敛的矩阵序列称为发散。
这样,当
lim A(k) A 0
k
时同样可得
lim A(k) A 0
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
(1)收敛矩阵序列的极限是唯一的。
(2)设 lim A(k) A, lim B(k) B
k
k
则 lim aA(k) bB(k) aA bB, a,b C k
c1 k1 ki ik
di di
ckl k(k 1)
(k l 1) (当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lim
k
J
k i
(i
)
0
的充要条件是 i 1。
lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 Cnn 的相容矩阵范数,则对任意 ACnn ,都
A(k ) A(1) A(2)
k 1
是收敛的,而且是绝对收敛的。
A(k )
定理 设 A(k) (aikj )mn Cmn,则矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛的充分必要条件是正项级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)

lim
k
aij (
k
)
aij
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
故有
lim
k
A(k )
A
(aij )
现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果 A 是另
外一种范数,那么由范数的等价性可知
d1 A(k) A A(k) A d2 A(k) A
收敛,其中 A 为任意一种矩阵范数。
mn
证明 取矩阵范数 A(k)
a (k) ij
,那么对每一对 i,j
都有
i1 j1
因此如果
A(k )
a (k) ij
A(k ) A(1) A(2) A(k )
A1 2 A(k ) A
0
1 A1 A(k) A
例 1 若对矩阵A的某一范数 A 1 ,则 lim Ak 0
k
例 2 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1 。 k
证明 设A的Jordan标准形 J diag(J1(1), J2(2 ), , Jr (r ))
i 1
J
i
(i
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag(
J
k 1
(1
),
J
k 2
(2
),
,
J
k r
(r
))
P
1
显然,
lim Ak 0
k
的充要条件是
lim
k
J
k i
(i
)
0, i
1,
2,
,r
又因 其中
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 kdi 1 ki
A(k) A
定理 矩阵序列{A(k)} 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性:设
lim
k
A(k )
A
[aij ]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
(4) PA(k)Q PAQ P(A(k) A)Q P A(k) A Q 0
(5) A1 ( A(k ) )1 A1 [ A ( A(k ) A)]1 A1 A1( A(k ) A) 1 A1( A(k) A)
1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列,但是其极限矩阵不 可逆。

a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆,但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有
mn
lim
k式即为
lim A(k) A 0
k
mn
充分性:设
lim
k
A(k ) A
lim k i1
j 1
a (k) ij
aij
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
1
k
1 3
矩阵级数
定义:设 A(k) (aikj )mn Cmn,如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛, 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
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