矩阵分析第三章3.1-2综述
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第三章_matlab矩阵运算
Matlab 仿真及其应用
主讲：陈孝敬 E-mail:chenxj9@
第3章
数学运算
主要内容：
①矩阵运算； ②矩阵元素运算；
3.1 矩阵运算
3.1.1 矩阵分析
1．向量范式定义：
x x x
1
n
k 1
xk
2 k
2
k 1 n
x
n
1/ 2
k 1
xk
向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
3.1.2 矩阵分解
矩阵分解：把矩阵分解成比较简单或对它性质比较熟悉的若干 矩阵的乘积的形式；
1．Cholesky分解： Cholesky分解是把对称正定矩阵表示成上三角矩阵的转 置与其本身的乘积，即：A=RTR，在Matlab中用函数chol 来计算Cholesky分解 例3-13 求矩阵A=pascal（4）的Cholesky分解， A=pascal(4) R=chol(A) R’*R
例3-18.求解方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
解 先用Matlab函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解 系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解, 这样即可得到该方程组的通解,程序如下: >> >> >> >> >> >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0] ′; format rat C=null(A , ′r′); %求基础解系 [L,U]=lu(A); %A=LU,L为上三角阵,U为下三角阵 X0= U\(L\b) %用LU求出一个齐次方程的特解
主讲：陈孝敬 E-mail:chenxj9@
第3章
数学运算
主要内容：
①矩阵运算； ②矩阵元素运算；
3.1 矩阵运算
3.1.1 矩阵分析
1．向量范式定义：
x x x
1
n
k 1
xk
2 k
2
k 1 n
x
n
1/ 2
k 1
xk
向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
3.1.2 矩阵分解
矩阵分解：把矩阵分解成比较简单或对它性质比较熟悉的若干 矩阵的乘积的形式；
1．Cholesky分解： Cholesky分解是把对称正定矩阵表示成上三角矩阵的转 置与其本身的乘积，即：A=RTR，在Matlab中用函数chol 来计算Cholesky分解 例3-13 求矩阵A=pascal（4）的Cholesky分解， A=pascal(4) R=chol(A) R’*R
例3-18.求解方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
解 先用Matlab函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解 系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解, 这样即可得到该方程组的通解,程序如下: >> >> >> >> >> >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0] ′; format rat C=null(A , ′r′); %求基础解系 [L,U]=lu(A); %A=LU,L为上三角阵,U为下三角阵 X0= U\(L\b) %用LU求出一个齐次方程的特解
中科院矩阵分析chapt3
矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。
sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。
定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。
即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。
性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。
||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。
矩阵分析课件
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
矩阵分析第三章ppt课件
2
我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 m n阶的实矩 阵的集合 R m n 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满
足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。 不过这里的“向量”是实矩阵！！
二、线性空间(Linear Space)的概念
定义1.1如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运算 封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那 么就称集合 V 为数域 F 上的线性空间或向量空间：
例1.2 闭区间 [ a , b ] 上的所有实值连续函数按通常 函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C [a , b ] 例1.3 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常 多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P [ x ] n 例1.4 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数
乘，构成线性空间 l
( A 2 ) 加 法 结 合 律 ： ( ) ( ) ，
(A 3) 具有加法单位元（零向量） R2 ，使得 (A4) 具有加法逆元（负向量） R2 ，使得 ( )
( M 1 ) 数 乘 的 结 合 律 ： k () l ( k l )
( M 1 ) 数 乘 的 结 合 律 ： k () l ( k l )
( M 2 ) 数 乘 的 单 位 元 ： 1
( D 2 ) 分 配 律 2 : ( k l ) kl
( D 1 ) 分 配 律 1 : k ( ) k k
例1.1所有 m n阶的实（复）矩阵按矩阵的加法 m n m n 和数乘，构成线性空间 R (C ) 。
三、线性空间的基本性质
如果 V 是数域 F 上的线性空间，则
(1 )
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。
矩阵分析3ppt课件
3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
应用 计算矩阵多项式
1 0 2
例 A0 1 1 ，求(A) 2A8 3A5 A4 A2 4
0 1 0
特征多式E- A 3 21，于是A3 2A10 (A) (2A5 4A3 5A2 9A)(A3 2A1)
24A2 37A10E
0 0 ( 2 ) ( 1)( 2 )
1 0
0
0 0
0
(
0 1)(
2)
4. 多项式矩阵与史密斯标准形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
性质 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩 史密斯标准形中的d i 即是不变因子
充要条件 两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因 子，相同的不变因子，相同的初等因子
2
n
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1
1
0
1 2 1
2
P －1 A P
1
1
2
100
2100 2 2101 2 0
A100
P
1
P －1
2100 1
2101 1
0
1
2100 1 2101 2 1
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵 不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较 简单的分块对角阵与它相似？
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
第3讲 矩阵分析
( 使得对一切k 都有 aijk ) M (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n).
定义 设A为方阵, 且k 时, A( k ) 0, 则称A为收敛矩阵.
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
定理 Ak 0的充要条件是 ( A) 1. 定理 Ak 0的充要条件是只要有一种 矩阵范数 , 使得 A 1. 1/ 2 1/ 3 例: A 是否为收敛矩阵？ 1/ 4 1/ 5 解： A
2
1 -1 1 -1 1 -1 B BB B 0 00 0 0 0
2
A A2 A3 ; B B 2 B 3
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
1 2 1 3 e I A A A 2! 3!
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矩阵论
矩阵分析
matrix theory
矩阵函数 - - -以n阶矩阵为自变量和函数值的一种函数. 定义 设一元函数f ( z )能够展开为z的幂级数 f ( z ) ck z k
k 0
z r
其中r 0表示该幂级数的收敛半径. 当n阶矩阵A的谱半径 ( A) r时, 把收敛的矩阵幂级数 ck Ak 和称为矩阵函数, 记为f ( A), 即
1 1 1 1 1 N 1 1 2 2 3 N 1 N 1 N 1
N 1 1 2 0
S
(N )
A( k )
k 1
N
1 N 1 9 4 N N 1
3 4k 的收敛性. 1 k ( k 1)
定义 设A为方阵, 且k 时, A( k ) 0, 则称A为收敛矩阵.
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定理 Ak 0的充要条件是 ( A) 1. 定理 Ak 0的充要条件是只要有一种 矩阵范数 , 使得 A 1. 1/ 2 1/ 3 例: A 是否为收敛矩阵？ 1/ 4 1/ 5 解： A
2
1 -1 1 -1 1 -1 B BB B 0 00 0 0 0
2
A A2 A3 ; B B 2 B 3
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1 2 1 3 e I A A A 2! 3!
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矩阵函数 - - -以n阶矩阵为自变量和函数值的一种函数. 定义 设一元函数f ( z )能够展开为z的幂级数 f ( z ) ck z k
k 0
z r
其中r 0表示该幂级数的收敛半径. 当n阶矩阵A的谱半径 ( A) r时, 把收敛的矩阵幂级数 ck Ak 和称为矩阵函数, 记为f ( A), 即
1 1 1 1 1 N 1 1 2 2 3 N 1 N 1 N 1
N 1 1 2 0
S
(N )
A( k )
k 1
N
1 N 1 9 4 N N 1
3 4k 的收敛性. 1 k ( k 1)
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(2)在欧氏空间中: 度量矩阵是正定矩阵; 度量矩阵是可逆的.
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
解析几何中，是用向量的长度和夹角来定 义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念， 再引入向量的长度、夹角等概念。
i 1
i 1
设1,2 , ,n为n维酉空间V的一组基,
n
n
, V且 xii , y j j 则
i 1
j1
n
n
nn
( , ) xii , y j j
xi y j (i , j )
i1
j 1
i1 j1
令gij (i , j ) i, j 1, 2, , n .
样内积的线性空间V 为n维欧氏空间.
例3.1.1 设Rn是n维实向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T 令 ( , ) T a1b1 a2b2 ... anbn 容易验证，所规定的 ( , )是Rn的内积，从而
Rn成为欧氏空间。
注: 1.今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例3.1.1定
义的内积运算.
2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因 而得到不同的欧氏空间.
例3.1.2 设在R2中对向量 (a1, a2 )T 和
(b1, b2 )T 规定内积为
( , )=2a1b1+a1b2 +a2b1+a2b2 ,
证明R2按照如上的内积运算构成是欧氏空间。
例3.1.3 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值 连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x) C[a,b], 规定
( , )
T
a1b1 a2 b2 ... an bn H 容易验证，所规定的 ( , )是Cn的内积，
从而Cn成为酉空间。
二、酉（欧氏）空间的性质
1. 欧氏空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1
n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
i 1
i 1
2. 酉空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1
n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
注 在复数域C上定义内积时，不能象实数 域上内积定义方式，否则会出现矛盾。如
(,)>0, (i,i)=i2(,)=-(,), 这样(,)<0,矛盾！实际上(,k )=k(, )
例3.1.6 设Cn是n维复向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T
令
显然，实对称矩阵是实Hermite矩阵;酉空间的度 量矩阵是Hermite矩阵.欧氏空间的度量矩阵是实对称 阵。
定义3.1.4 : 设A C nn , 若AH A,则称A为Hermite矩阵;
若AH A,则称A为反Hermite矩阵.
容易证明： （1）AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji );
(2)AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ).
(f(x),g(x))= b f(x)g(x)dx a
容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一 个内积，从而C[a,b]成为一个欧氏空间。
例3.1.4 设A为n阶正定矩阵，对于Rn中的任意两 个列向量X,Y，规定
(X,Y)=X T AY 容易验证(X,Y)是Rn上的一个内积，于是Rn成为一 个欧氏空间。
称n阶方阵： G gij
为基1,2 , ,n的度量矩阵.
g11 g12
G
gij
g21
g22
gn1 gn2
1 2
,1 ,1
n ,1
1,2 2,2
n,2
g1n
g2n
gnn
1 2
, ,
n n
n ,n
度量矩阵性质：
(1)设G为度量矩阵,则G GT ;
(1)( , ) ( , ), (2)(k , ) k( , ), (3)( , ) ( , ) ( , ), (4)( , ) 0, 当且仅当 0时(, ) 0.
其中、、 为V中任意向量,任意复数k C;
称定义有这样内积的线性空间V 为n维复欧氏 空间或酉空间.
欧氏空间与酉空间统称为内积空间.
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
解析几何中，是用向量的长度和夹角来定 义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念， 再引入向量的长度、夹角等概念。
i 1
i 1
设1,2 , ,n为n维酉空间V的一组基,
n
n
, V且 xii , y j j 则
i 1
j1
n
n
nn
( , ) xii , y j j
xi y j (i , j )
i1
j 1
i1 j1
令gij (i , j ) i, j 1, 2, , n .
样内积的线性空间V 为n维欧氏空间.
例3.1.1 设Rn是n维实向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T 令 ( , ) T a1b1 a2b2 ... anbn 容易验证，所规定的 ( , )是Rn的内积，从而
Rn成为欧氏空间。
注: 1.今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例3.1.1定
义的内积运算.
2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因 而得到不同的欧氏空间.
例3.1.2 设在R2中对向量 (a1, a2 )T 和
(b1, b2 )T 规定内积为
( , )=2a1b1+a1b2 +a2b1+a2b2 ,
证明R2按照如上的内积运算构成是欧氏空间。
例3.1.3 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值 连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x) C[a,b], 规定
( , )
T
a1b1 a2 b2 ... an bn H 容易验证，所规定的 ( , )是Cn的内积，
从而Cn成为酉空间。
二、酉（欧氏）空间的性质
1. 欧氏空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1
n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
i 1
i 1
2. 酉空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1
n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
注 在复数域C上定义内积时，不能象实数 域上内积定义方式，否则会出现矛盾。如
(,)>0, (i,i)=i2(,)=-(,), 这样(,)<0,矛盾！实际上(,k )=k(, )
例3.1.6 设Cn是n维复向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T
令
显然，实对称矩阵是实Hermite矩阵;酉空间的度 量矩阵是Hermite矩阵.欧氏空间的度量矩阵是实对称 阵。
定义3.1.4 : 设A C nn , 若AH A,则称A为Hermite矩阵;
若AH A,则称A为反Hermite矩阵.
容易证明： （1）AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji );
(2)AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ).
(f(x),g(x))= b f(x)g(x)dx a
容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一 个内积，从而C[a,b]成为一个欧氏空间。
例3.1.4 设A为n阶正定矩阵，对于Rn中的任意两 个列向量X,Y，规定
(X,Y)=X T AY 容易验证(X,Y)是Rn上的一个内积，于是Rn成为一 个欧氏空间。
称n阶方阵： G gij
为基1,2 , ,n的度量矩阵.
g11 g12
G
gij
g21
g22
gn1 gn2
1 2
,1 ,1
n ,1
1,2 2,2
n,2
g1n
g2n
gnn
1 2
, ,
n n
n ,n
度量矩阵性质：
(1)设G为度量矩阵,则G GT ;
(1)( , ) ( , ), (2)(k , ) k( , ), (3)( , ) ( , ) ( , ), (4)( , ) 0, 当且仅当 0时(, ) 0.
其中、、 为V中任意向量,任意复数k C;
称定义有这样内积的线性空间V 为n维复欧氏 空间或酉空间.
欧氏空间与酉空间统称为内积空间.