浅谈矩阵在实际生活中的应用
矩阵的实际应用
MP
3450
3940
3810
3580
1670 1900 1830 1740
表3汇总了总成本
应用2 人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间 迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬 到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到 市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市 区和郊区的居民人口比例是多少？30年、 50年后又如何？
应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付 、管理费等见表1. 每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据：
(1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中 的数据均可表示为一个矩阵.
0.10 M 0.30
0.30 0.40
0.15 0.25
4000
P
2000
4500 2600
4500 2400
4000
2200
0.10
0.20
Hale Waihona Puke 0.155800 6200 6000 6000
MP 的第一列表示夏季生产三种产品的总成本 MP 的第二列表示秋季生产三种产品的总成本 MP 的第三列表示冬季生产三种产品的总成本 MP 的第四列表示春季生产三种产品的总成本
则L可以用于预测以后每阶段海龟的数量，成
为莱斯利矩阵，相应的种群模型通常称为莱斯利种 群模型. 利用表4给出的数字，模型的莱斯利矩阵为
0
0 127 79
高等数学的矩阵在实际生活中的应用修订稿
高等数学的矩阵在实际生活中的应用内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）矩阵在实际生活中的应用一．【摘要】随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。
而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。
本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。
【关键词】高等数学矩阵实际应用二．应用举例1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。
但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。
在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。
例1.某工厂生产三种产品A、B、C。
每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。
财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。
表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。
两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。
如下所示： 通过矩阵的乘法运算得到MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本； MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本；MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。
MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。
对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。
线性代数的应用研究——矩阵在实际生活中的应用
线性代数的应用研究——矩阵在实际生活中的应用一、可逆矩阵在保密通信中的应用随着计算机与网络技术的迅猛发展，通信技术中的保密工作显得尤为重要，怎样确保通信过程中信息的安全变得至关重要，因此大量各具特色的密码体系不断涌现。
矩阵作为线性代数的重要组成部分，其应用领域也从传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，尤其是在保密通信中发挥着重要作用。
（一）可逆矩阵 1、矩阵矩阵的定义：m 行n 列的矩形数表称为m 行n 列矩阵，简称m ×n 矩阵，矩阵用大写黑体字母A ，B ，C ，…表示。
如：A=[a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … …a m1 a m2 … a mn ] 这m ×n 个数称为矩阵A 的元素， a ij 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素，一个m ×n 矩阵A 也可简记为A =(a ij ) m×n 或 A m×n 。
矩阵加法：设有两个m ×n 矩阵A =(a ij ) ，B =(b ij )，矩阵A 与B 的和记作A +B ，规定为A +B =（a ij +b ij ）m×n。
矩阵乘法：设A =(a ij ) m×n ，B =(b ij ) m×n 。
矩阵A 与矩阵B 的乘积记作AB ，规定为AB =(c ij ) m×n 其中c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +⋯+a is b sj =∑a ik b kj s k=1 (i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n)。
2、矩阵的逆于n 阶矩阵A ，如果存在一个n 阶矩阵B ，使得AB=BA=1，则称矩阵A 为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵。
记作A-1，即A-1=B。
（二）保密通信1、背景自从人类有了文字书写之后，就考虑使用一些手段来保障通信的机密，防止被获取甚至被篡改。
早期的古典密码，如人类最早由记载的棋盘密码、恺撒密码、维吉尼亚密码等，相对比较简单。
我看矩阵在实际生活中的应用
矩阵在实际生活中的应用华中科技大学文华学院城市建设工程学部环境工程1班丛目录摘要 (3)实际应用举例 (4)论文总结 (15)参考文献 (16)摘要：随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”。
下面通过具体的例子来说明矩阵在经济生活中、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理的应用。
关键词：矩阵、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理一：矩阵在经济生活中的应用1．“活用”行列式定义定义：用符号表示的n阶行列式D指的是n!项代数和，这些项是一切可能的取自D不同行与不同列上的n个元素的乘积的符号为。
由定义可以看出。
n阶行列式是由n!项组成的，且每一项为来自于D 中不同行不同列的n个元素乘积。
实例1：某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。
该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格(以1万元人民币为单位)．在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂?设这个问题的效率矩阵为，根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者!从行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6(项)，如下：由上面分析可见报价数的围是从最小值54万元到最大值58万元。
由④得到最小报价总数54万元，因此，该城市应选定④即2．“借用”特征值和特征向量定义：“设A是F中的一个数．如果存在V中的零向量，使得，那么A就叫做的特征值，而叫做的属于本征值A的一个特征向量。
实例2：发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位)，是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位)．若干年后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为和它们之间的关系为试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。
矩阵的应用及案例
矩阵的应用及案例矩阵是数学中的一种重要工具，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从不同领域的案例出发，介绍矩阵的应用。
1. 图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用。
例如，我们可以将一张图片表示为一个矩阵，每个像素点对应矩阵中的一个元素。
通过对矩阵进行变换，可以实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
此外，矩阵还可以用于图像的压缩和去噪等处理。
2. 机器学习在机器学习中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组数据表示为一个矩阵，每行对应一个样本，每列对应一个特征。
通过对矩阵进行运算，可以实现分类、聚类等任务。
此外，矩阵还可以用于神经网络的训练和优化。
3. 量子计算在量子计算中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一个量子态表示为一个矩阵，通过对矩阵进行运算，可以实现量子门的操作。
此外，矩阵还可以用于量子算法的设计和优化。
4. 金融风险管理在金融风险管理中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组金融数据表示为一个矩阵，每行对应一个时间点，每列对应一个资产。
通过对矩阵进行运算，可以实现风险分析和投资组合优化。
5. 信号处理在信号处理中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一个信号表示为一个矩阵，通过对矩阵进行变换，可以实现信号的滤波、降噪等处理。
此外，矩阵还可以用于音频和视频的压缩和编码。
6. 网络分析在网络分析中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一个网络表示为一个矩阵，每行和每列对应一个节点，矩阵中的元素表示节点之间的连接关系。
通过对矩阵进行运算，可以实现网络的聚类、社区发现等任务。
7. 人脸识别在人脸识别中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组人脸图像表示为一个矩阵，每行对应一个图像，每列对应一个像素。
通过对矩阵进行运算，可以实现人脸识别和人脸比对等任务。
8. 自然语言处理在自然语言处理中，矩阵也是一个重要的工具。
例如，我们可以将一组文本表示为一个矩阵，每行对应一个文档，每列对应一个词汇。
矩阵在生活中的应用
矩阵在生活中的应用
矩阵是数学中一个重要的概念，它在生活中有着广泛的应用。
从科学到工程，
从经济到医学，矩阵都扮演着重要的角色。
在科学领域，矩阵被广泛应用于物理学、化学等学科中。
在物理学中，矩阵被
用来描述物体的运动和变形，例如在力学中，矩阵可以表示物体受力的情况，从而帮助科学家们分析物体的运动规律。
在化学中，矩阵被用来描述化学反应的过程，从而帮助化学家们预测反应的结果。
在工程领域，矩阵被广泛应用于控制系统、通信系统等领域。
在控制系统中，
矩阵被用来描述系统的状态和控制输入之间的关系，从而帮助工程师们设计出高效的控制系统。
在通信系统中，矩阵被用来描述信号的传输和处理过程，从而帮助工程师们设计出高效的通信系统。
在经济领域，矩阵被广泛应用于金融、市场分析等领域。
在金融中，矩阵被用
来描述资产的收益和风险之间的关系，从而帮助金融分析师们进行投资决策。
在市场分析中，矩阵被用来描述市场数据之间的关系，从而帮助市场分析师们预测市场走势。
在医学领域，矩阵被广泛应用于医学影像处理、生物信息学等领域。
在医学影
像处理中，矩阵被用来描述医学影像的特征，从而帮助医生们进行疾病诊断。
在生物信息学中，矩阵被用来描述生物数据之间的关系，从而帮助生物学家们研究生物信息。
总的来说，矩阵在生活中有着广泛的应用，它不仅帮助科学家们研究自然规律，还帮助工程师们设计出高效的系统，帮助金融分析师们进行投资决策，帮助医生们诊断疾病。
可以说，矩阵已经成为了现代社会不可或缺的数学工具之一。
矩阵在经济问题中的应用
矩阵在经济问题中的应用
1、矩阵在经济生活中的应用
矩阵就是在行列式的基础上演变而来的，可活用行列式求花费总和最少等类似的问题；可借用特征值和特征向量预测若干年后的污水水平等问题；也可利用矩阵的方法求线性规划问题中的最优解，求解企业生产哪一种类型的产品，获得的利润最大。
2、在人口流动问题方面的应用
这是矩阵高次幂的应用，比如预测未来的人口数量、人口的发展趋势等。
3、矩阵在密码学中的应用
可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。
4、矩阵在文献管理中的应用
在现代搜索中往往包括几百个文件和成千的关键词，但可以利用矩阵和向量的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。
矩阵图法的用途十分广泛，在质量管理中，常用矩阵图法解决以下问题：
1、把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点；
2、明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠；
3、明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；
4、当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除。
矩阵的应用及案例
矩阵的应用及案例矩阵是数学中一种重要的数据结构，它的使用不仅可以方便我们分析和解决数学问题，而且在现实应用中也得到了广泛的应用。
本文将介绍矩阵的应用及其实际案例。
首先，我们来看一下矩阵的一般定义。
一个矩阵是由m行n列的实数组成的数学表示，用来表示常量或连续变量的特殊容器，可以用来描述数据的多维关系，也可以用来解决多元函数和多元方程组等数学问题。
矩阵在现实生活中，也有着广泛的应用。
比如，矩阵可以用来解决运输问题，它可以解决产品在运输过程中的最优选择问题；矩阵也可以用来求解复杂的统计问题，比如计算各类投资的最优组合，从而有效提高投资回报；矩阵还可以用来解决线路规划问题，比如求解最短路径、最优路线等。
此外，矩阵也可以应用于许多其它领域，比如机器学习中的支持向量机（SVM）、神经网络建模和图像处理等。
因此，我们可以看到矩阵在很多领域得到了广泛的应用。
让我们看看一些现实的案例，以更具体的方式来了解矩阵的应用。
比如，在金融领域，矩阵可以用来计算定价，比如期权定价和资产定价，也可以用来计算风险、收益投资组合等；在基因组学中，矩阵可以用来分析基因的表达模式、比较基因家族信息，以及追踪变异基因的演化轨迹等；在信息分析领域，矩阵可以用来提取特征、估计参数和建立模型，也可以用来进行文档类别划分等。
从以上的案例可以看出，矩阵可以用来解决很多现实问题，在许多领域得到了广泛的应用。
然而，在有些情况下，使用矩阵可能会遇到一些问题，比如矩阵求解非常耗费计算资源，或者在处理非线性函数和方程时，可能不能得到最优解等。
总之，矩阵在很多领域都有很多应用，可以解决很多实际问题，但也要考虑到它可能带来的一些问题，以便更好地应用它。
以上就是有关矩阵的应用及其实际的案例。
希望本文能够给读者介绍矩阵的应用及实际案例，从而使读者更加深入地了解矩阵的应用。
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浅谈矩阵在实际生活中的应用摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。
我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。
在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。
在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。
关键词：线性代数矩阵实际应用Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.Keywords: linear algebra matrix practical application1 引言数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。
数学应用的领域遍及我们日常生活的每个部分，数学是我们的基本功，是每个人或多或少都应该懂的知识。
数学是一门神奇的学科，它有着迷人的魅力，让一代又一代的数学爱好者为之痴迷，他们在这方面也做出不朽的贡献。
如今，我们将带着好奇的心走进数学领域中的一门有趣的课——《线性代数》，其中我们将对矩阵的应用做简要的介绍。
矩阵是一个大家听起来很陌生的次，但它简单易懂而且在生活中有重要的作用。
下面我们将举例论述矩阵在实际生活中的应用。
2 实际应用举例2.1 生产成本计算在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，但是得到的原始数据往往纷繁杂乱，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。
在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。
例1.某工厂生产三种产品A 、B 、C 。
每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。
财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。
表1.生产单位产品的成本（元） 表2.每种产品各季度产量（件）解：我们用矩阵的方法考虑这个问题。
两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。
如下所示：通过矩阵的乘法运算得到MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本；MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本； MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。
MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101510204030152010M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200040003500250030003700480028002000250030002000N ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8500012050011000087000220000303000352000222000110000159000178500113500MNMN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。
对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。
如下表：表3. 总成本汇总表这样，我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。
从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。
2.2 人口流动问题例2.假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：1) 在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万人从事工业，5万人经商； 2) 在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商； 3) 在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商； 4) 在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。
现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。
解：若用三维向量(x i ,y i ,z i )T表示第i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x 0,y 0,z 0)T=(25，10，5)T。
而欲求(x 1,y 1,z 1)T，(x 2,y 2,z 2)T并考察在n →∞时(x n ,y n ,z n )T的发展趋势。
依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为即：以(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T代入上式，即得:即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=0001000100017.02.01.02.07.01.01.01.08.0zy x Z z y x Y z y x X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0z y x A z y x Z Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛85.105.21111Z Y X以及即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。
进而推得：即n 年之后从事各业人员的人数完全由 决定。
在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。
不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。
2.3 应用矩阵编制Hill 密码密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。
1929年，希尔（Hill ）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。
下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
假设我们要发出“attack ”这个消息。
首先把每个字母a ，b ，c ，d ……x ，y ，z 映射到数1，2，3，4……24，25，26。
例如1表示a ，3表示c ，20表示t ，11表示k ，另外用0表示空格，用27表示句号等。
于是可以用以下数集来表示消息“attack ”：把这个消息按列写成矩阵的形式：第一步：“加密”工作。
现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如: 于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以A 变成“密码”（B ）后发出。
第二步：“解密”。
解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵A 的逆矩阵A -1这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙” 。
当然矩阵A 是通信双方都知道的。
即用 从密码中解出明码：通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“attack ”。
在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性。
上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。
运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。
可见矩阵的作用是何其强大。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112032011M ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211321A BAM =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2560266140101112032011210211321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-1111221101A MB A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-11203201125602661401011111221101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛85.91.1105.190002111222z y x A z y x A Z Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111z y x A z y x A Z Y X n n n n n n n n A {}11,3,1,20,20,13 结束语通过这次论文的举例，加深了我们对矩阵的认识，深刻理解了矩阵在实际生活中的应用，矩阵在实际生活中的应用还有很多，在次就不一一列举，以后在日常生活中会经常接触。
这次通过对矩阵的学习不仅加深了对矩阵的认识，而且在计算机图形学中也加强了对矩阵变换的应用，使我们对其矩阵变换过程有了更好的理解。
相信在以后的学习过程中，我们能更有兴趣，热爱数学，情迷数学。
参考文献[1] 上海交通大学数学系. 线性代数（第二版）[M]. 北京：科学出版社，2007.[2] 陆枫，何云峰.计算机图形学基础[M]. 北京：电子工业出版社，2008.[3] 郭龙先，张毅敏，何建琼.高等代数[M].北京：科学出版社，2011。