矩阵的实际应用

2070 3810 1830
1960 3580 1740
M P 的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本 M P 的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本 M P 的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本
每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到
每一季度的总成本可由每一列相加得到
应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付 、管理费等见表1. 每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据： (1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中 的数据均可表示为一个矩阵.
2 67 5 28 2 75 1
81 1 62 3 129 20
9 15 14
反过来查表： 1
A
2 B
3 C

24 X
25 Y
26 Z
即可得到信息action．
1 2 1
1 67 1 44 1 43
81 1 52 3 43 20
9 15 14
反过来查表：
1 A 2 B 3 C 24 X 25 Y 26 Z
即可得到信息action．
4 1 3 3 2 20 1 9
1 0 0 0
15 103 14 70 0 38 0 9
2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1
43 14 0 0
而
A
的逆矩阵为
A
1
所以
1 0 1 A C 0 0
2 1 0 0
1 2 1 0
0 103 1 70 2 38 1 9
43 1 14 3 0 20 0 9
15 14 0 0
x1 , x1 0 , x30 , 0 .7 0 4 0 0 .7 2 8 3 0 .7 4 5 9 x50
0 .2 5 0 8 , 0 .7 4 9 2
应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作 用。现在密码学涉及很多高深的数学知识，这里 只做简单介绍。 密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成 密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称 为密文。从明文到密文的过程称为加密，反之为 解密。
1 经过一次转机(也就是坐两次航班)能到达的城 市,可以由邻接矩阵的平方A2A1^2来求得。
0 0 1 0 A 2 A1 A1 0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0
在【假设】中，也可将单词中从左到右，每4个字母分位 一组，并将对应的4个整数排成4维的列向量，加密后仍为4维 的列向量，其分量仍为整数，最后不足4个字母时用空格上。 信息action，使用上述代码，则此信息的编码是：1，3， 20，9，15，14．可以写成两个向量
1 15 3 14 ,b b1 2 20 0 9 0
A 1 B 2 C 3 X 24 Baidu Nhomakorabea 25 Z 26
（2）假设将单词中从左到右，每3个字母分为一组， 并将对应的3个整数排成3维的行向量，加密后仍为3 维的行向量，其分量仍为整数。
【加密、解密】 若要发出信息action，使用上述代码，则此信
息的编码是：1，3，20，9，15，14．可以写成两个 向量:
我们选择不同的可逆矩阵 A（密钥），则可得到不同的密文。 如： 选择可逆矩阵
1 A 2 3 2 2 4 3 1 3
action的编码矩阵是
1 B 3 20
9 15 14
则
1 AB 2 3
2 2 4
3 1 1 3 3 20
矩阵的实际应用
线性代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是线 性代数最基本的概念，矩阵的运算是线性代数的基本 内容。矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换， 以形成新的数表。如果你了解原始数表的含义，而且 你可以从中抽象出某种变化规律，你就可以用线性代 数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的 一些结论。这些结论就可以直观的、简洁的数表形式 展现在你眼前。在日常生活中，矩阵无时无刻不出现 在我们的身边，例如生产管理中的生产成本问题、人 口的流动和迁徙、密码学、图论、生态统计学、以及 在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到的配方 问题、超市物品配送路径等都和矩阵息息相关。
解
的第一列表示夏季生产三种产品的总成本 M P 的第二列表示秋季生产三种产品的总成本 M P 的第三列表示冬季生产三种产品的总成本 M P 的第四列表示春季生产三种产品的总成本
MP
计算
MP
得：
0 . 10 M 0 . 30 0 . 10
0 . 30 0 . 40 0 . 20
A 变成“密码”后发出
2 1 1 3 9 81 2 15 52 2 14 43
于是将要发出的信息（或矩阵）经乘以
1 A b1 1 0 2 1 1 3 1 67 2 3 44 , 2 20 43 1 A b2 1 0
可逆矩阵 A 是事先约定的，这个可逆矩阵 A 称为解密的钥匙， 或称为“密匙” ）．即用
A
1
从密码中恢复明码：
67 0 1 A 44 2 43 1
0 2 1
1 2 1
1 2 1
1 1 1
0 . 15 4000 0 . 25 P 2 0 0 0 5800 0 . 15 2160 3940 1900
4500 2600 6200
4500 2400 6000
4000 2200 6000
1870 M P 3450 1670
1870 M P 3450 1670 2160 3940 1900 2070 3810 1830 1960 3580 1740
表3汇总了总成本
应用2 人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间 迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬 到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到 市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市 区和郊区的居民人口比例是多少？30年、 50年后又如何？
81 9 1 A 52 15 43 14
1 67 1 1 44 3 , 1 43 20
或者
0 1 A C 2 1
人口迁徙模型
从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式的递推式为
x k A x k 1 A x k 2 A x 0
2 k
输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98], x0[0.3;0.7] x1A*x0, x10A^10*x0, x30A^30*x0, x50A^50*x0 得到： 9 6 0 0 .2 0 .2 7 1 7 0 .2 5 4 1
反过来查表： 1
2 B
3 C

24 X
25 Y
26 Z
A
即可得到信息action．
应用4 网络和图
图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用 有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：
0 0 1 0 A1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
即action的编码矩阵可以写成
。
1 3 B 20 9
15 14 0 0
设可逆矩阵
1 0 A 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
于是
1 0 AB 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息
进行加密处理，提出了在密码史上有重要地位的希尔
加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
【准备】若要发出信息 action，现需要利用矩阵
乘法给出加密方法和加密后得到的密文，并给出相应
的解密方法。
【假设】（1）假定26个英文字母与数字之间有以 下的一一对应关系：
1 9 b1 3 , b 2 1 5 20 14
或者写成一个矩阵
1 B 3 20 9 15 14
第一步 “加密”
现任选一个三阶的可逆矩阵，例如
1 A 1 0 2 1 1 3 2 2
9 67 15 28 14 75
81 62 = C 129
因为
A
1

1 3 2 1
3 3 1
2 5 2 1
所以
1 A C
1 3 2 1
3 3 1
人口迁徙模型
这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人 口变量用市区和郊区两个分量表示。 一年以后，市区人口为xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊区人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成：
x c 1 0 .9 4 0 .0 2 x1 x s 1 0 .0 6 0 .9 8 0 .3 0 .2 9 6 0 Ax0 0 .7 0 .7 0 4 0
0 . 10 M 0 . 30 0 . 10 0 . 30 0 . 40 0 . 20 0 . 15 0 . 25 0 . 15 4000 P 2000 5800 4500 2600 6200 4500 2400 6000 4000 2200 6000
或者
1 AB 1 0
2 1 1
3 1 2 3 2 20
9 67 15 44 14 43
81 52 C 43
第二步 “解密”
67 在收到信息： 4 4 43 81 后，可予以解密（当然这里 52 43