矩阵实际应用+大例题

3x3矩阵跟3x1矩阵乘法例题

3x3矩阵跟3x1矩阵乘法例题矩阵乘法是数学中常用的一种运算，它是把两个矩阵的元素做乘法的积，按照一定的规律合并，最终形成一个新的矩阵，这就是矩阵乘法。

本文将通过一个例题来描述3X3矩阵和3X1矩阵的乘法，以加深大家对矩阵乘法运算的理解。

3X3矩阵跟3X1矩阵乘法我们以如下矩阵为例：A=│7t9t6│3t2t1│6t5t7│B=│9│2│8│首先我们要确保两个矩阵相乘的条件，要求A的列数和B的行数相等，也就是3X3矩阵的列数等于3X1矩阵的行数，这一点在这里都满足，所以可以完成矩阵乘法的运算。

实际运算有了上面的矩阵后，接下来就可以开始进入实际的矩阵乘法运算，它就是把矩阵里面的元素按照一定的规律做相应的乘法，然后把结果相加，最后形成一个新的矩阵。

A*B=│159│37│170│要进行矩阵的乘法，可以按照如下的公式：(A*B)ij=(A)ik*(B)kj上面的公式有三个变量，其中i是A的行号，j是B的列号，而k是共同的行列号，因此每次乘法的结果都只有一个，它的计算公式就是把行号和列号相等的元素相乘，再把结果相加，最后得出结果。

以上面的两个矩阵为例，它们相乘得到的新矩阵应该是：A*B=│159│37│170│上面的计算公式说明，新矩阵里面的每一个元素都是原始矩阵里面行号和列号相等的元素乘积，再把这些乘积按照规律进行合并，最终得到新的矩阵。

以上就是3X3矩阵和3X1矩阵的乘法运算的具体过程，结合实际的例子可以加深大家的理解。

矩阵乘法的应用矩阵乘法是一种常用的运算，它在计算机科学和数学中都有大量的应用，特别是在矩阵告诉编码、图像处理和计算机视觉领域都有大量的应用。

矩阵乘法也是在很多领域里面常用的一种运算，特别是在线性代数和概率论中，用它来进行数据分析，预测未来趋势，预测各种参数等，都有很大的帮助。

结论本文通过一个实际的例子描述了3X3矩阵和3X1矩阵的乘法运算，介绍了它的实际操作过程，以及它在线性代数、概率论等各个领域的应用。

关于矩阵的习题

1 O 0 O 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 mn
E11 E22 Err .
所以 PE Q PE Q PE Q 11 22 rr
B1 B2 Br ,
第20题设n阶方阵A可逆,将A的第i行与第j行元素交换后得到B.(1)证明B可逆; (2)求AB-1. 解:(1) 根据已知条件,有E(i,j)A=B (*) (E(i,j)是初等矩阵) . 又A可逆, 所以A 行初等变换 E 即 Ps…P2P1=A, 代入 (*)式: E(i,j)Ps…P2P1=B, 即 P1-1P2-1…Ps-1E(i,j)-1B=E, B行初等变换 E 所以B可逆. (2) E(i,j)A=B, E(i,j)AB-1=E , AB-1=E(i,j) -1=E(i,j)
所以A-E可逆,并且(E-A)-1=E+A+A2+ … +Ak-1
第11题设A为n阶方阵,且满足A2+2A-3E=O, 证明(1) A可逆,并求A的逆. (2)A-2E可逆,并求(A-2E)的逆. 证明: (1)
A2 2 A 3E O, 则A( A 2 E ) 3E A 2E A( ) E. 3
A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain ai1 ai 2 ain 0 aij 0(i、j 1， 2，，n).
这与A为n阶非零实矩阵矛盾，所以│A│≠O。
2 2 2
第23题设A是秩为 r 的mXn矩阵,证明A必可表示成秩为1的mXn 矩阵之和.
即存在m阶的可逆矩阵p1及n阶可逆矩阵q1使oe??11oo??????0000?1?0?0000000100000000000012211rrnmnmnmrreeeoooeoeaqp????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????因为所以21221111112211rrrrrbbbqpeqpeqpeqqppqeeepa???????????????????其中

矩阵特征值的应用实例

摘要: 在线性代数一书中我们学习了矩阵特征值的应用，我们研究了它的以下应用实例，第一是通过Fibonacci数列通项，莱斯利（Leslie）种群模型，第二是通过特征值在线性方程组的求解问题研究特征值在线性方程组中应用，还列举了特征值和特征向量相关的性质.关键词：Fibonacci数列,莱斯利（Leslie）种群模型，特征值,特征向量,基础解系，特征多项式,互逆变换英文题目Abstract:In the theory of matrix eigenvalue,we have learned it’sapplications .we will mainly probe into the applications of two of them. The first one is the application of eigenvalue in model by building the model of formula of term of the Fibonacci sequence and Leslie population model. The second one is the application of eigenvalue in differential equation by solving the problem of linear differential equations，and then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors.Key words: fibonacci sequence, Leslie population model, eigenvalue ,eigenvector, characteristic ,exchange polynomial正文： 1 引言矩阵特征值是线性代数的一个重要内容,在理论和实际应用上都起着非常重要的作用。

矩阵相似与对角化应用实例

1
n
2
C2 x2
，
稳态向量将为 C1 x1 ．为求 C1 ，可将方程 C1 x1 C2 x2 W0
1.1 期望问题
例题
写为一个线性方程组
32CC11
C2 C2
p， 10 000
p
，
将这两个方程相加，得到 C1 2 000 ．因此，对 0 p 10 000 范围内的任意整数 p ，稳
乘以
A
0.7 0.3
0.2 0.8
，
即 1 年后结婚女性和单身女性的人数为
0.7
W1
AW0
0.3
0.2 0.8
8 2
000 000
6 4
000 000
．
1.1 期望问题
例题
为求得第 2 年结婚女性和单身女性的人数，计算
W2 AW1 A2W0 ，
一般地，对于第 n 年来说，需要计算Wn AnW0 ．
An x(0)
(
x(n) 1
，x2(n) ) ．
为了计算 An ，注意到 A 有特征值 1 和 1 ，因此它可分解为乘积： 2
A
1 1
2 1
1 0
0 1 2
1 3 1 3
2
3
，
1 3
1.3 伴性基因
例题
故Байду номын сангаас
x (n)
1 1
21
1 0
0 1 2
n
1 3 1 3
2 3 1 3
身女性开始，则W0 (10 000 ，0) ，然后可以用前面的方法将W0 乘以 An 计算出Wn ．在这种情况下，可得W14 (4 000 ，6 000) ，仍终止于相同的稳态向量．

矩阵的约当标准型例题

矩阵的约当标准型例题
矩阵的约当标准型例题
现有矩阵A，它的维数是4 时 5，其中包含的5个元素由一、二、三、四、五组成。

要求将矩阵A转换为约当标准型，使右下角的元素
均为1，左上角的元素均为0，其他元素在0 到1 之间。

解：
首先，我们将矩阵A转换为置换矩阵G，并对G进行分解：
G=L·U，
其中L为置换下半三角阵，U为置换上半三角阵。

然后，对应元素进行变换，得到新的矩阵P：
P=L·U·A，
其中P为约当标准型矩阵。

最后，我们将矩阵P解余子式，得到矩阵A的约当标准型：
A~=P/U 。

例如，矩阵A如下：
A=
1 2 3 4 5
2 1
3 5 4
3 5 2
4 1
4 1
5 3 2
5 4 1 2 3
利用上述方法，我们可以将它转换为约当标准型，得到
A~=
0 0 0 0 1
0.08 0 0 0.25 1
0.08 0.25 0 0 1
0.54 0.25 1 0 1
1 0.75 0.25 0 1
如此，矩阵A的约当标准型便得以求得。

矩阵的例题

矩阵的例题一．矩阵乘法1. 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210021 α是n 维列向量，A=E-aa T ,B=E+2aa T ,求AB 与BA 。

解：显然A 与B 均为n 阶方阵，由矩阵运算规律可得AB =[E-aa T ][E+2aa T ]=E+2aa T -aa T -2aa T aa T =E+(1-2a T a)aa T由于214141210021210021=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=ααT ，所以AB= E 。

由于A 与B 是同阶方阵，故由AB= E ，可得必有BA= E 。

注1：对n 维列向量a 来说，aa T 与a T a 有很大不同，由此也说明任意矩阵A ，AA T 与A T A 未必相同，应看仔细，不能混为一谈。

注2：作矩阵运算时，应尽量先根据运算规则进行符号运算，最后将具体数字代入求得结果。

2．设A 与B 是n 阶矩阵，且满足A 2=A ，B 2=B 及（A+B ）2=A+B ，求证AB =0。

证明：由于（A+B ）2=A 2+AB+BA+B 2，故由已知可得AB+BA=0，（1）两边分别左，右乘A ，得AB+ABA=0及ABA+BA=0，故AB+BA=-2ABA 代入（1）式可得AB=0。

二．幂的运算1．设,,2132,1001,2132Q P A Q P Λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=计算nA QP ,。

解：;100121322132E QP =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ;122)1(01⎩⎨⎧+=Λ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λk n k n En nQP Q QP QP QP P Q P Q P Q P Q P AnnnΛ=ΛΛΛΛ=ΛΛΛ=Λ=)()()(][]][[][⎪⎩⎪⎨⎧+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==⎩⎨⎧+=Λ=12741272122k n k n E k n QP kn PQ2．已知。

分块矩阵的应用相关例题

分块矩阵的应用相关例题分块矩阵是为了简化矩阵的运算而产生的一种工具，在处理高阶矩阵的时候，可以将大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，这就将矩阵中的元素由数扩展为矩阵，在运算时，把这些小矩阵当作数来处理，这就是分块矩阵的运算。

分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵完全一样，在本文中不再叙述。

本文主要列举了分块矩阵在高等代数课程中的若干应用。

分为三章，第一章讲了分块矩阵在化简运算方面的应用，包括对矩阵乘法新的理解和Gramer 法则的证明。

第二章讲了分块矩阵的思想在证明一些经典定理中的应用，主要证明了Cayley-Hamilton 定理和齐次线性方程组解的结构定理。

第三章列举了一些运用分块矩阵的例题。

关键词：高等代数；分块矩阵；化简运算。

1.1 例题1.1.1 例题1：给定n m ⨯矩阵A ,试求出下面矩阵方程的通解：''A X X A =.解：设矩阵A 的秩为r .已知存在n 阶非异方阵P 和m 阶非异方阵Q ,使得000rEPAQ ⎛⎫=Λ= ⎪⎝⎭. 由此可知11A P Q --=Λ,所以1111()''P Q X X P Q ----Λ=Λ,即1111(')'(')'Q P X X P Q ----Λ=Λ.等式两边左乘以'Q ,再右乘以Q ,于是等式变成111'()'''(()')'P XQ Q X P P XQ ---Λ=Λ=Λ.利用矩阵的分块,将n m ⨯矩阵1()'P XQ -和Λ同法分块,即记111212122()'Y Y P XQ Y Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是有 1112112121221222''00''0000rr Y Y Y Y EE Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此 11111212'0'000Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即120Y =,1111'Y Y =.所以11121220()'YP XQ Y Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,1111'Y Y =.这证明了所求的n m ⨯矩阵X 可表为11121220'Y X P Q Y Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,1111'Y Y =.反之,任意上面形式的n m ⨯矩阵X ,只要r 阶方阵适合条件1111'Y Y =,则''A X X A =.故求出了矩阵方程''A X X A =的通解.1.1.2 例题2：设,A B 分别为数域F 上的m 阶方阵和n 阶方阵,C 为数域F 上秩为r 的m n ⨯阶矩阵,其中m n >且AC CB =.证明：A 与B 至少有r 个公共特征值,且1>若A 与B 的特征多项式互素,则0C =.2>若C 为列满秩矩阵,则B 的特征值全部为A 的特征值. 证明：首先对特殊的C 进行证明,假设000rI C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11122122A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11122122B B B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则 112100A AC A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,111200B B CB ⎛⎫=⎪⎝⎭. 由AC CB =得1111A B =,210A =,120B =.显然,A 和B 至少有r 个相同的特征值.现在来证明一般情形.因为C 的秩等于r ,不妨设000rE C P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中P 是m 阶可逆矩阵,Q 是n 阶可逆矩阵,则000000rrEE AC AP Q CB P QB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是 11000000rr EE P AP QBQ --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由前面的证明,1P AP -和1QBQ -至少有r 个相同的特征值,因此A 和B 至少有r 个相同的特征值.1>A 与B 的特征多项式互素,说明A 与B 有零个公共特征值,则矩阵C 秩为零,所以0C =.2>若C 为列满秩矩阵,即C 的秩为n ,则A 与B 至少有n 个公共特征值,又因为B 是n 阶方阵,故B 的特征值全部为A 的特征值.1.1.3 例题3：令A ,B ,C 为数域F 上的n 阶方阵,A 可逆,并且0i CB CA B ==,1,2,,i n =.证明：A B C A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆,并求其逆矩阵.证明：先证()()r C r B n +=的情形.设()r C r =,我们知道存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得 000rEPCQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1112112122B B Q BP B B --⎛⎫= ⎪⎝⎭,111212122A A Q AQ A A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中矩阵分块方式都遵照PCQ 的形式. 由条件0i CB CA B ==,1,2,,i n =.及分块矩阵运算可知110B =,120B =.()()122122122221220i A B B A A B B ==,1,2,,1i n =-. (7)则可记 11121212221221000000**0**r A A A B Q A A B B Q M C A P E P --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 其中1****PAP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.由于11()()r Q BP r B n r --==-和式(7)知,()2122B B 中存在()()n r n r -⨯-可逆矩阵022B 使得012220A B =,则120A =.所以11122det()det()det()0Q AQ A A -=⋅≠,则11A 可逆.于是我们可以对M 左乘初等行变换矩阵1P ,使得1112122212211100000000**0**A A B Q A A B B Q PM P C A P P --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, (8) 故 1121det()det()det()det()0PM Q AQ PAP A --=⋅=≠, 这就说明det 0A B C A ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,A B C A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆得证.由于以上对A B C A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的操作都是可逆的,并且上三角可逆矩阵0a b c ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵是11110a a bc c ----⎛⎫- ⎪⎝⎭,则可以求出A B C A ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵,对之后讨论的情形,求逆矩阵方式都类似,不再赘述.我们还是把重点放在证明上. 下面证()()r C r B n +<的情形.易知()0r C =或()0r B =时结论一定成立,设()0r C r =>,()0r B s =>. 我们先从简单情形入手,令3n =,1r =,1s =,这时1112212221221000**0**a A A A B B M E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 可对其进行初等行变换消去()2122B B 的一行并对M 进行初等列变换让33b 为可逆量(此时即非零量)11121313233100000**0**00**a A M b b b E ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,即111213222321133331000****0**00**a a a a a a M a b E ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中*代表无关紧要的量.由条件式(7)计算后可知130a =,12230a a =,1222230a a a =.若120a =,则110a ≠,经初等行变换可消去1E ,得类似式(8)的11222321233330000000****00**00**a a a a M a b ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,随即得证.若230a =,则330a ≠,经初等列变换消去()2122B B 的最后一行,得到1112222123310000000**0000**00**a a a a M a E ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,类似之前的讨论也可证明结论成立.到此3n ≤时结论成立.以上讨论是从求C 的等价标准型的角度出发,若从求B 的等价标准型开始,也能得到以上结论,也就是说C 和B 有某种“对称性”,所以我们只考虑()()r C r B ≤的情形.再证一下4n =的情形,则需要考虑的有两种情况：()()1r C r B ==或()1r C =,()2r B =.()()1r C r B ==时,对M 进行类似之前的处理后得111222214414410000*****0**00**a A A Ab M a E ⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中m n A ⨯代表矩阵A 中的m n ⨯小矩阵. 由条件式(7)计算后可知12210A A ⨯⨯=,1222210i A A A ⨯⨯⨯=,1,2i =. (9)若120A ⨯=或210A ⨯=,则对应的11a 可逆或33a 可逆,则进行适当的初等行变换或列变换就得到我们想要的式(8)或“对称”的类似式,总之都能得证.反之,1221()()1r A r A ⨯⨯==,对1M 中12A ⨯所在的列进行初等列变换,对21A ⨯所在的行进行初等行变换,得111222233334442441000000*******0**00**a a a a a ab M a E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 由条件式(9)得230a =,22330a a =,2232330a a a =,则220a =或330a =,对应的进行初等行变换或列变换可以消去12a 或34a ,进而可消去1E 或44b ,进而可证结论成立.()1r C =,()2r B =时, 对M 进行类似之前的处理后得1112221222122100000****0**00**a a a A B M A E ⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,由条件式(7)知12120a A ⨯=,由此说明120a =或120A ⨯=,则类似之前讨论,可证结论成立.最后证一般情形,处理后的()()()()()()()000000**00**rrr n r s n r s n r s n r s sn r rs n r s ss s n r s ss sr rA A A A AA AB B M B E ⨯----⨯----⨯-⨯⨯--⨯--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中ss B 是可逆矩阵. 由条件式(7)可得()()()()()()0i r n r s n r s s r n r s n r s n r s n r s s A A A A A ⨯----⨯⨯----⨯----⨯==,1,2,,2i n =-. (10)若()0r n r s A ⨯--=或()0n r s s A --⨯=,则对应的rr A 可逆或ss A 可逆,则进行适当的初等行变换或列变换就得到我们想要的式(8)或“对称”的类似式,总之都能得证.反之,我们可以继续对()()()(),,r n r s n r s n r s n r s s A A A ⨯----⨯----⨯仿照矩阵,,C A B 的形式进行分块,经过适当处理后可得到()()n r s n r s A --⨯--中类似式(10)的条件式,并重复上述判别,若能消去()r n r s A ⨯--或()n r s s A --⨯中对应的类似“r E ”或“ss B ”的矩阵,则能消去r E 或ss B ,进而证明结论.不行的话就对新得到的条件式中的相应矩阵再分块…,由于n 是有限数,如此进行下去,最终能得到条件0LN =,而其中一定有一个矩阵是一阶的,也就是一定有0L =或0M =,再经过适当行变换列变换可使M 变成类似式(8)的矩阵,从而结论得证.。

矩阵实际应用+大例题

T
E 2 XX
T

T T

E 2 XX T H ,
HH H E 2 XX
T 2
H是对称矩阵 .
T 2
E 4 XX T 4 XX T XX T

E 4 XX T 4 X X T X X T
E 4 XX 4 XX E .
T T
A A 发站 B C D
其中
B
CDD来自表示有航班.2
A A B C D
B
C
D
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
0
1 1 1
改成1,空白地方填上
1 1
0 0
1
0 0
1
0 0
0
0
3
此数表反映了四城市间交通联接情况.
三、矩阵的乘法
1.引例某地有 1 , 2 两个工厂生产甲,乙,丙三种产品. 矩阵 A 表示一年中各工厂生产每种产品的数量, 矩阵 B 表示每种产品的单位价格及单位利润, 矩阵 C 表示各工厂的总收入和总利润.
F1 F2 F3 F4
S1 S2 S3
17 7 11 21 15 9 13 19 18 8 15 19
1
例某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. B 四城市间的航班图情况常用表格来表示: A C 到站
价格矩阵四种食品food在三家商店shop中单位量的售价以某种货币单位计可用以下矩阵给出1915181913152111某航空公司在abcd四城市之间开辟了若干航线如图所示表示了四城市间的航班图如果从a到b有航班则用带箭头的线连接a四城市间的航班图情况常用表格来表示

十个利用矩阵乘法解决的经典题目

不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。

在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。

一个n 行m 列的矩阵可以乘以一个m 行p 列的矩阵，得到的结果是一个n 行p 列的矩阵，其中的第i 行第j 列位置上的数等于前一个矩阵第i 行上的m 个数与后一个矩阵第j 列上的m 个数对应相乘后所有m 个乘积的和。

比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。

其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：经由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。

我们可以得A^(n/2) * A （其中n/2取整）。

这就告诉我们，计算A^n 也可以使用二分快速求幂的方法。

例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。

根据典题目2 给定矩阵A ，请快速计算出A^n （n 个A 相乘）的结果，输出的每个数都mod p 。

到这样的结论：当n 为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n 为奇数时，A^n = A^(n/2) * 这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。

经典题目3 POJ3233 (感谢rmq )分别相加）。

输出的数据mod m 。

这道题两次二分，相当经典。

首先我们知道，A^i 可以二分求出。

然后我们需要对整个题目的数据规模k 进行二分。

比如，当k=6时，有： A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 = 题目大意：给定矩阵A ，求A + A^2 + A^3 + … + A^k 的结果（两个矩阵相加就是对应位置k<=10^9。

(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)应用这个式子后，规模k 减小了一半。

“矩阵与变换”典型例题精析

“矩阵与变换”典型例题精析
“矩阵与变换”是新课标选修42的内容，要求理科选学的学生掌握，也会在高考题中出现.矩阵部分的内容很多，学习时应抓住哪些要点呢？本文试通过典型例题给同学们以指导.
例1 求抛物线y2=2px(p＞0)在矩阵 0-110对应的变换作用下得到的曲线.
分析^p 本题主要考查一个平面图形在矩阵作用下变换得到的新的平面图形，既可以采用一般性的转移法求解，也可以充分利用变换矩阵的几何意义巧妙地解决问题.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文
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高中数学矩阵的运算范例例题

解■
(2) ∴A＝ 1（3X＋2Y）＝ 2
1 12 2 8
8 24

＝

6 4
4 12
①－②可得 2B＝3X－2Y B＝ 1（3X－2Y） 2
3X－2Y＝

6 6
6 12
－
6 2
2 12
＝

0 4
4 0
∴B＝
1（3X－2Y）＝ 2
(1)
（A＋B）（A－B）＝

－2 1
5 4 6 1
3 2
＝

－3 10
4 15
例题 10 矩阵相乘：（A＋B）（A－B）＝A2＋BA－AB－B2
已知
A，B
均为
2
阶方阵，且
A＋B＝

－2 1
5 6

，A－B＝

4 1
3 2

，
试求：

＝
12 22
22 22
32 1
32

＝
4
4 4
9
9

a31
a32
a33

32
32
32

9
9 9
下一题
範例 2 矩陣的相等
試求下列矩陣中的未知數 x，y 的值：
(1)

x＋1 －3
7 2 y＋3
＝
2x －3
7 y
。
2 2
2 4
＋2

3 1
1 6

＝

6 6
6 12
＋
6 2
2 12

第三章矩阵及其运算典型例题及求解

0 0 ,
A2

0
,则
1

0n 1

E

An

n k 0
Ckn

Ak
=C0n

A0
+C1n

A
即
1 0n 1 0 0 0 1 0 1 0 1 n 0 n 1
1 1 0 0 [例 2] 设 A 0 1 1 0 , 求 A2 , A3 和 An
1 1 1
[分析]在一个列向量和一个行向量的矩阵乘法时，要注意到一个行向量和一个列向量的矩阵乘法是一个数。
[解] 令 Ta k ，则 T T k T
1 1 1 1 1 1 3 3 3
T T 1 1 1 1 1 1 3 3 3
1 1 2 2
故
R

1
2

1

2
，要使
R

1
2

1

2
,
2 1 2
2 1 2
必须 2 2 1 0 ，即 1。
a1
[例 10]
设
A

a2

b1
,
b2
,
an

,bn 0 ，证明： R A 1，且存在常数 k ，使 A2 kA 。
1 0 0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
1
1
0 0

22

1 1 =(E,A-1)
0 0 1 0 0

矩阵乘法题目

矩阵乘法题目十个利用矩阵乘法解决的经典题目By Matrix67 好像目前还没有这方面题目的总结。

这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。

这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。

不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。

在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。

一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。

比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。

其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。

为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。

为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。

假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。

经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m 个操作后各点的位置。

操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。

其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。

如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。

利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。

假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。

预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。

十个利用矩阵乘法解决的经典题目

十个利用矩阵乘法解决的经典题目好像目前还没有这方面题目的总结。

这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。

这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。

不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。

在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。

一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m 个数对应相乘后所有m个乘积的和。

比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。

其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。

为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。

为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。

假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。

经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。

操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。

其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。

如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。

利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。

假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。

预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。

经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。

矩阵迹的典型例题

一、（吉林工业大学）设m n n m B A ⨯⨯,，证明AB 的特征多项式)(λAB f 与BA 的特征多项式)(λBA f 有如下关系)()(λλλλBA m AB n f f =。

证明把要证明的等式写成BA E AB E n m m n -=-λλλλ.用构造法：设0≠λ，令mn E ABE H λ1=,对⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλAB E OBE E A B E E A O E m n m n m n 11（这相当于广义初等行变换），两边取行列式，得AB E ABE E AB E H m m m mn -=-==λλλλ)(11,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m nm n m n E O B BA E E A O E E A B E λλλ11(这相当于广义初等列变换)，两边取行列式，得BA E BAE E ABE H n n n mn -=-==λλλλ)(11,由以上两式，得BA E AB E n m m n-=-λλλλ。

二、（北京航空航天大学）设m n n m B A ⨯⨯,，证明AB 与BA 有相同的非零特征值。

证明：由上题，知BA E AB E n m m n-=-λλλλ，设AB E m -λ的标准分解式子为)())((s s m m AB E λλλλλλλλ---=-- 21，其中021≠s λλλ,,, ，即AB 有S 个非零的特征值，则由上式，得)())((s sn n BA E λλλλλλλλ---=-- 21，即BA 也有S个非零的特征值。

三、（中国科学院）已知矩阵m n n m B A ⨯⨯,，证明)()(BA tr AB tr = 证明：)())((s sm m AB E λλλλλλλλ---=-- 21，所以AB 的全部特征根为2121=======++m s s s λλλλλλλλλ ,,,，)())((s s n n BA E λλλλλλλλ---=-- 21，所以BA 的特征根为02121=======++n s s s λλλλλλλλλ ,,,，所以)()(BA tr AB tr si i ∑===1λ。

利用矩阵乘法解决的十个经典题目

利用矩阵乘法解决的十个经典题目原作者所有于Matrix67好像目前还没有这方面题目的总结。

这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。

这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。

不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。

在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。

一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p 列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。

比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。

其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。

为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。

为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。

假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。

经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。

操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。

其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。

如果对每个点分别进行模拟，那么m 个操作总共耗时O(mn)。

利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。

假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。

预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。

1x3矩阵乘以3x1矩阵例题

1x3矩阵乘以3x1矩阵例题矩阵乘法是数学中的一种基本运算。

矩阵乘法的定义是：如果A 是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么A×B是一个m×p 的矩阵，其中每一个元素均为两个矩阵元素对应元素乘积之和。

例如，1x3矩阵乘以3x1矩阵，其中1x3矩阵A为：A=[a1,a2,a3]3x1矩阵B为：B=[b1][b2][b3]将矩阵A与B相乘可得到1x1的矩阵C，其中：C=[a1*b1+a2*b2+a3*b3]作为1x3矩阵乘以3x1矩阵的例题，假设A为：A=[2,3,4]B=[1][2][3]则C为：C=[2*1+3*2+4*3][20]以上就是1x3矩阵乘以3x1矩阵的具体计算方式。

矩阵乘法的计算方式也分为按行按列乘法，按行按列乘法是一种矩阵乘法的快捷计算方式。

它的思想是，按行把矩阵A拆分为m个行向量，按列把矩阵B拆分为p个列向量，然后行向量与列向量自左至右、自上至下相乘，得到1x1的结果。

例如1x3矩阵乘以3x1矩阵，其中1x3矩阵A为：A=[2,3,4]按行拆分后可得：[2][3][4]3x1矩阵B为：B=[1][2][3]按列拆分后可得：[1,2,3]按行按列乘法，把行向量与列向量自左至右、自上至下相乘，得到C：C=[2*1+3*2+4*3][20]以上就是1x3矩阵乘以3x1矩阵的按行按列乘法运算方法。

矩阵乘法是一种常见的计算方式，它涉及到多种数学概念，如：行列式、逆矩阵、线性系统、多项式和矩阵形式等。

矩阵乘法可解决许多实际问题，如：求解线性方程组、求解系数矩阵、预测数据行为、解决混合线性规划等。

当然，在实际中，矩阵乘法也有一定的局限性，如：矩阵乘法不适用于非矩阵元素、小矩阵乘以大矩阵时需要大量计算，因此，在应用时还需要注意。

总之，矩阵乘法是一种常见的数学计算方式，可解决多种实际应用问题，但在应用时也要注意其局限性。

1x3矩阵乘以3x1矩阵例题可以通过数学公式和按行按列乘法两种方式进行计算，熟练掌握该矩阵乘法的运算方式，有助于理解矩阵的概念，也有利于理解矩阵涉及到的多种数学概念、解决复杂实际问题。

利用矩阵求长度的例题

利用矩阵求长度的例题篇一：矩阵是当代数学中的一种重要工具，广泛应用于各种科学领域。

在许多问题中，我们可能需要计算矩阵的大小，例如矩阵的行数、列数或矩阵的行列式等。

今天，我们将介绍如何利用矩阵求长度的例题。

例题 1:计算以下矩阵的大小:begin{equation}A = begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix}end{equation}答案：矩阵 A 的大小为 3x3。

解：矩阵 A 是一个 3x3 的矩阵，由三个行和三个列组成。

因此，矩阵 A 的大小为 3x3。

例题 2:计算以下矩阵的行列式:begin{equation}B = begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix}end{equation}答案：矩阵 B 的行列式为 -2。

解：矩阵 B 是一个 3x3 的矩阵，由三个行和三个列组成。

矩阵 B 的行列式可以通过递归方式计算，也可以使用求逆矩阵的方法计算。

根据这两种计算方法，我们得到矩阵 B 的行列式为 -2。

在实际应用中，我们可能需要计算矩阵的维度，即矩阵中行数和列数的最大值。

例如，在例题 1 中，我们可以使用以下公式计算矩阵的维度:begin{equation}n = max(text{行数},text{列数})end{equation}在例题 2 中，我们可以使用以下公式计算矩阵的维度:begin{equation}n = max(text{行数},text{列数}) + 1end{equation}拓展：除了上述例题外，还有许多其他方法可以使用矩阵来计算大小。

例如，我们可以通过计算矩阵的迹来计算矩阵的大小，迹是矩阵中每行元素绝对值的和。

另外，我们也可以通过计算矩阵的对角线长度来计算矩阵的大小。

矩阵实际应用+大例题

3x3矩阵跟3x1矩阵乘法例题

关于矩阵的习题

矩阵特征值的应用实例

矩阵相似与对角化应用实例

矩阵的约当标准型例题

矩阵的例题

分块矩阵的应用相关例题

矩阵实际应用+大例题

十个利用矩阵乘法解决的经典题目

“矩阵与变换”典型例题精析

高中数学 矩阵的运算范例例题

第三章 矩阵及其运算 典型例题及求解

矩阵乘法题目

十个利用矩阵乘法解决的经典题目

矩阵迹的典型例题

利 用 矩 阵 乘 法 解 决 的 十 个 经 典 题 目

1x3矩阵乘以3x1矩阵例题

利用矩阵求长度的例题

高中数学矩阵的运算范例例题

第三章矩阵及其运算典型例题及求解

利用矩阵乘法解决的十个经典题目