《结构力学习题集》-矩阵位移法习题及答案

第八章 矩阵位移法 – 老八校一、判断题：1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。

2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。

3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。

4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。

5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应满足的变形条件。

6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。

7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。

8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。

9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。

10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。

11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.2134123412341234( )二、计算题：12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。

123ll4l5EI2EIEA(0,0,0)(0,0,1)(0,2,3)(0,0,0)(0,2,4)(0,0,0)EI13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。

EI ，EA 均为常数。

l14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。

E 为常数。

ll1342A , I AA /222A I , 2A15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224,。

[][]k k 1112 [][]k k 2122 []k =ii iii单刚分块形式为 ：16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵[]K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。

,cos α=C ,sin α=S ,C C A ⋅= S S D S C B ⋅=⋅=,，各杆EA 相同。

l[]k EA l i=A B A BD B D A B D -i i---对称17、计算图示刚架结构刚度矩阵中的元素8811,K K （只考虑弯曲变形）。

设各层高度为h ，各跨长度为l h l 5.0,=，各杆EI 为常数。

18、计算图示结构原始刚度矩阵的元素4544,K K 。

l19、用先处理法写出图示梁的整体刚度矩阵[]K 。

123llli 0123i i20、用先处理法写出图示梁的结构刚度矩阵[]K 。

123ll4lEI EI EI 2321、已知图示结构在整体坐标系中的单元刚度矩阵。

用先处理法集成结构刚度矩阵[]K 。

（用子块形式写出）。

5[][]k k 1112 [][]k k 2122 []k =ii iii单刚分块形式为 ：22、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

E =常数。

ll23、用先处理法写出图示刚架的结构刚度矩阵[]K，只考虑弯曲变形。

EI EI EIEI=o ol ll24、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

各杆长度为l ，EA 、EI 为常数。

ABCD25、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

各杆长度为 l 。

A BCD EA EIEI226、用先处理法写出以子块表示的图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

m12m27、用先处理法写出图示桁架的结构刚度矩阵[]K 。

已知各杆EA =常数。

[][]kkEA l ①②==--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥1010*********000，整体坐标系中的单元刚度矩阵：[]k EA l ③=--------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥241111111111111111l28、用先处理法写出图示刚架结构刚度矩阵[]K 。

已知：[][][]kkk①②③===⨯--------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥1030000300000123001230030100030503000030000012300123003050030100429、计算图示结构结点3的等效结点荷载列阵{}P 3E 。

m224m43kN/m30、计算图示结构结点2的等效结点荷载列阵{}P 2E 。

l/2l /2q31、计算图示结构结点2的等效结点荷载列阵{}P 2E 。

l /2ll /2l32、计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

l /2l /2l /2l /2ll33、计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵{}P 。

l /2l l /234、计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵{}P 。

m3m3m 4m 435、用先处理法计算图示连续梁的结点荷载列阵{}P 。

m4m4m436、计算图示结构的综合结点荷载列阵元素431,,P P P 。

lll37、用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

l/2/238、计算图示结构结点荷载列阵中的元素654,,P P P 。

l/2l /2(0,7,8)339、计算图示结构综合结点荷载列阵中的元素431,,P P P 。

ll lP40、计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 中的元素9873,,,P P P P 。

lll241、计算图示刚架对应于自由结点位移的综合结点荷载列阵{}P 。

m3m3m42、计算图示刚架对应自由结点位移的综合结点荷载列阵{}P 。

各杆长度为 4m 。

43、计算图示结构结点2的综合结点荷载列阵{}P 2。

l /2l l /2l l44、计算图示刚架考虑弯曲、轴向变形时的综合结点荷载列阵{}P 。

45、若考虑弯曲、轴向变形，用先处理法写出图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

l /2l/2ql46、考虑弯曲、轴向变形，计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

m 4m2m2m347、考虑弯曲、轴向变形时，用先处理法计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

8mm5m648、用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

/2/2ll49、用先处理法计算图示桁架的综合结点荷载列阵{}P 。

3m450、计算图示结构的自由结点荷载列阵{}P 。

8m10kN51、计算图示结构中杆12的杆端力列阵中的第6个元素。

已知杆12的杆端位移列阵为{}[]δ120=---- 0 0.3257 0.0305 0.1616 0.1667T。

1m1m=1kNEI=1kN m.252、计算杆14的轴力。

已知图示桁架EA =1kN ,结点位移列阵为：{}[]∆=--01726504007 0 2.5677 0.0415 1.0415 1.3673 1.6092 1.6408 0 1.2084 T..。

1m1m53、计算杆23的杆端力列阵的第2个元素。

已知图示结构结点位移列阵为： {}[]∆=0 0 0 -0.1569 -0.2338 0.4232 0 0 0T。

m1mm1kN m.54、计算图示结构中杆34的杆端力列阵中的第3个元素和第6个元素。

不计杆件的轴向变形。

已知图示结构结点位移列阵为：{}[]∆=---0 0 0 0.2 0 0.1333 0.2 0.2 0.3333 0 0.3667 0 0.7556 0.2 0.6667T 。

1m1m55、已知图示桁架的结点位移列阵（分别为结点2、4沿x 、y 方向位移）为：{}∆=(/())1EA ×[]342322. 1139.555 137.680 1167.111T ---，设各杆EA 为常数。

计算单元①的内力。

4m20kN56、已知图示桁架杆件①的单元刚度矩阵为式(a)，又已知各结点位移为式(b)，则杆件①的轴力（注明拉力或压力）应为N ①= 。

l[]k EA l u v u v u v u v Pl EA ①=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪1(a) b)010*********005100230011223344ΛΛΛΛ(57、已求得图示结构结点2、3的结点位移为式(a)、(b)并已知单元②的整体坐标的单元刚度矩阵为式(c)。

计算单元②2端的弯矩。

（长度单位m ，力单位kN ，角度单位弧度）u v u v 22233303159810φφ⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⨯⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪=---⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⨯=0.2-160-4010(a) , 10(b) -5-5ΛΛΛΛ..[]k ②=-------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⨯1501515015050005001502150115015150150500050015011502105............ΛΛ(c)58、计算单元①的轴力。

已知图示结构结点1、3的结点位移为：[][]u v u v Pl EA 1133 5 1 2 3TT=-⋅/ 。

1234①②⑤④③59、已知各杆的E A=⨯=-21101042.kN/m, m22,{}[]T∆21009524025689⨯=-..。

计算图示桁架单元①的杆端力列阵。

4m2kN60、计算图示结构单元③的杆端力列阵{}③F，已知各杆,cm300,kN/cm101.2424=⨯=IE,cm202=A cml100=，结点2位移列阵{}[][]T2T2222rad5313.0cm4596.0cm4730.0101--⨯⨯==∆-θvu。

3l l20kN61、考虑杆件的轴向变形，计算图示结构中单元①的杆端力{}F①。

已知：I=(/),124m4E=⨯3107kN/m2，m2A=05.。

结点1的位移列阵{}[]δ16110370022710151485=⨯⨯---...m m rad T。

5m62、计算图示刚架单元①在局部坐标下的杆端力{}F ①。

已知各杆E 、A 、I 、l 均为常数，{}[]∆=--ql EIl l 2100002727 0 519 0 0T，不考虑杆件的轴向变形。

lq63、已知图示梁结点转角列阵为{}[]∆=056516822 -/ /Tql i ql i ，EI =常数。

计算B 支座的反力。

1m1m第八章 矩阵位移法（参考答案）1、(O)2、(X)3、(O)4、(X)5、(X)6、(O)7、(O)8、(X) 9、(O) 10、(O) 11、(A)12、i K l EI i i K l EA k k l i K 4,/,12,/,/361333222====+= 13、K EA l EI l K EI l K 223342151260=+==//,/, 14、K EA l K EI l EA l K EI l 4455366336412==+=/,//,/ 15、[][][][][][]K K K K K K 222222222421=++=①②③③,16、K EAl 77241=+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪, K EAl 7824=- 17、K EI l K EI l 1138828820==/,/18、l EA lEI K +=34412 045=K2134(1,2,3)(10,11,12)(7,8,9)(4,5,6)(4,5,0)① ② ③(7,8,0)19、[]K i i i i i i i i i =⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥4202224122223333(+) 4(+) 020、[]K i i i i i i i =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥840012216612 0 对称，i EI l =/ 21、[][][][][][][][]K K K K K K K K =+++⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥22222112112222①③③③③②④22、[]K i l i l i l i i i i EI l =-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=366622/// 12 4对称，式中：23、[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=336l EI K24、 25、(0,0,0)统一编码如图:①② ③ (1,0,4)63(0,0,0)1(1,0,2)4(1,0,3)5(0,0,0)2(0,0,0)(0,0,0)(1,2,3)(0,0,0)(1,2,0)单 元 结 点 位 移 编 码 如 图 ：③① ②13524[]4 0 4 0 0 46- 0 0 12223⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l EI l EI l EIl EI l EI l EA K []⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 12 6 36 0 0 223l EI l EI l EA lEI l EI K26、、k k k k k k 221112212222①②②②②③++⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ 27、123①②③ (0,0)(0,0)(0,1)(0,1)(2,3)(2,3)[]K EAl =⨯+-+---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥24221111221111128、[]K =⨯⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1061203003240300300429、{}P 3E kN kN kN m =-⋅⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪2122 30、{}P ql ql ql 2E =--⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪//22231、{}P ql ql 2E =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭224/ 32、{}P ql ql ql ql =--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪2222242524248////33、{}[]P M Pl Pl ql ql =---(/)(//)/88121222 T34、{}[]P =-7 34 0T35、(0,0)(1,2)(0,3)(0,0)① ② ③{}P =--⋅-⋅⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪ kN 5kN m 16kN m 236、P ql P ql P ql 1324224===-,/,37、{}P ql ql ql =-⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪ ///222524238、P ql P ql P ql 45622212==-=/,/,/39、P p l P P ql P M P l ql 113341282812=-=--=-+,,40、2685、P ql P ql P ql P 327891112220==-=-=/,/,/, 41、{}[]P =---6 22 14 5 12 18T42、{}[]P =---4 10 4 0 6 4T43、{}P P P Pl 2 =--⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪///2323444、(0,0,0)(1,4,3)(0,0,0)(1,2,3)1234 {}P =---⋅⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪38170kN kN kN m45、(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0,)(0,0,0){}P ql ql ql ql ql =--⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪ 01112238222////46、{}[]P T40 -32 -14=47、{}P =--⋅⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪ kN 10kN 10kN m 1048、{}TPl ql ql P P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=812,2,2,0,0249、{}P =⎧⎨⎩⎫⎬⎭8kN 6kN 50、{}[]kN P T40,30,20,10--= 51、4319.066-==F S 52、N 1400587=-.kN 53、F 202336=.kN54、F F 3603330333=⋅=-⋅.,.kN m kN m 55、{}[]F①=-85581.kN 85.581kN T.. 56、3P (压力)57、M 28925②=-.kN58、N P ①=3(压 力 )59、{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=0 kN 5 0 kN 5 ①F60、{}F ③=----⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪ kN kN kN.m kN kN kN.m 19319726651561193197261321.....61、 {}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=m kN 3873.13kN 8698.13 kN 1006.11 m kN 0385.4kN 1302.10 kN 1006.11 ①F62、{}F ql ql ql ql ①分=⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪ 007902340020800575722....()63、R ql B =↑067857.()。