10.2.1 随机事件作业答案
高中数学必修二 10 1 1 有限样本空间与随机事件 练习(含答案)
10.1.1有限样本空间与随机事件一、选择题1．下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象.故选：B.2．一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有（）A．（男，女），（男，男），（女，女）B．（男，女），（女，男）C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D．（男，男），（女，女）【答案】C【解析】由题知所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）.故选：C.3．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x＝( ) A．5B．6C．3或4D．5或6【答案】C【解析】依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x=3或4．故选CX 表示的随机试验的样本点是（）4．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么4A ．第一枚是3点，第二枚是1点B ．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二点枚是3点或两枚都是2点C ．两枚都是4点D ．两枚都是2点【答案】B【解析】依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”.故选：B.5．（多选题）下列事件是随机事件的是（ ）A ．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上B ．异性电荷相互吸引C ．在标准大气压下，水在1℃结冰D ．买一注彩票中了特等奖【答案】ADE【解析】根据题意得：A ，D 是随机事件，B 为必然事件，C 为不可能事件.故选：AD6．（多选题）已知非空集合,A B ，且集合A 是集合B 的真子集，则下列命题为真命题的是（ ） A ．“若x A ∈，则x B ∈”是必然事件B ．“若x A ∉，则x B ∈”是不可能事件C ．“若x B ∈，则x A ∈”是随机事件D ．“若x B ∉，则x A ∉”是必然事件 【答案】ACD【解析】对A ，符合真子集的定义，故A 正确；对B ， “若x A ∉，则x B ∈”也可能成立，故B 错误；对C ，“若x B ∈，则x A ∈成立，也可能x A ∉，故C 正确；对D ， “若x B ∉，则x A ∉”，由文氏图可以理解，故D 正确；故选：ACD.二、填空题7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=___________.【答案】{}0,2,4,6,8【解析】最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.8．在1,2,3,4,5这5个自然数中,任取2个数,它们的积是偶数的样本点是____________.【答案】(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5) 【解析】 从在1,2,3,4,5这5个自然数中,任取2个数,共有10个样本点,样本空间为{}(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)(3,5),(4,5), 又 若两个数的积是偶数,则这两个数中至少有一个是偶数,∴ 满足条件的样本点有(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5).9．某种饮料每箱装6听,其中有4听合格,2听不合格,现质检人员从中随机抽取2听进行检测,则检测出至少有1听不合格饮料的样本点有______个.【答案】9【解析】记4听合格的饮料分别为1A ,2A ,3A ,4A ,2听不合格的饮料分别为1B ,2B ,从中随机抽取2听的样本点有:12(,)A A ,13(,)A A ,14(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,23(,)A A ,24(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,34(,)A A ,31(,)A B ,32(,)A B ,41(,)A B ,42(,)A B ,12(,)B B ,共15个,∴ 至少有1听不合格饮料的本点有11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,41(,)A B ,42,A B ,12(,)B B ,共9个.10．已知关于x 的二次函数2()1(0)f x ax bx a =-+≠，设集合{1,2,3}P ，{1,1,2,3,4}Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到样本点(,)a b ，则使函数()y f x =有零点的样本点的个数为_______.【答案】6【解析】(,)a b 的情况有(1,1)-,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1)-,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)-,(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种.函数()y f x =有零点等价于240b a ∆=-,符合条件的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点.故答案为：6三、解答题11．将一枚骰子抛掷两次.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件E =“向上的点数之和大于8”.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,Ω=()()()()()()()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6()()()()()()()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.（2）()()()()()()()()()(){}3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6E =【解析】方法一（列举法）：（1）用(),x y 表示试验的结果，其中x 表示第1次抛掷后向上的点数，y 表示第2次抛掷后向上的点数，则样本空间()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,Ω=()()()()()()()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6()()()()()()()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.（2）()()()()()()()()()(){}3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6E =.方法二（树状图法）：把一枚骰子抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示：（1）由图，知样本空间()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,Ω=()()()()()()()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6()()()()()()()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.（2）事件E 包含10个样本点（已用“√”标记出），故()()()()()()()()()(){}3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6E =.12．大富翁，又名地产大亨，是一种多人策略图版游戏.参赛者分得游戏资金，通过掷骰子及交易策略，买地、建楼以赚取租金.问题（1）在大富翁游戏中，抛掷一枚骰子，观察其朝上面的点数，该试验的样本空间含6个样本点.若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点.（2）结合问题1，“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）用(,)x y 表示结果，其中x 表示第1次抛掷骰子朝上面出现的点数，y 表示第2次抛掷骰子朝上面出现的点数，则试验的所有结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个样本点.（2）“向上的点数之和大于8”包含10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).。
2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性课时作业含解析人教A版必修二
课时作业47 事件的相互独立性时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是( A )A．“两次得到的点数和是12”B．“第二次得到6点”C．“第二次的点数不超过3点”D．“第二次的点数是奇数”解析：“第二次得到6点”“第二次的点数不超过3点”“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，故选A.2．(多选)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( AB )A．A与B相互独立B．A与C相互独立C．A与C互斥D．A与B互斥解析：由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．3．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为P，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则P＝( A )A．0.4 B．0.6C．0.1 D．0.2解析：由题意可得该同学本次测试不合格，即三次投篮均未投中的概率为(1－P)3＝1－0.784＝0.216.解得：P＝0.4.4．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；③事件C与事件A相互独立．以上命题中，正确的个数是( D )A．0 B．1C ．2D ．3解析：P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12，P (AB )＝P (AC )＝P (BC )＝14，因为P (AB )＝14＝P (A )P (B )，故A ，B 相互独立；因为P (AC )＝14＝P (A )P (C )，故A ，C 相互独立；因为P (BC )＝14＝P (B )P (C )，故B ，C 相互独立．综上，选D.5．事件A ，B 是相互独立的，P (A )＝0.4，P (B )＝0.3，下列四个式子：①P (AB )＝0.12；②P (A B )＝0.18；③P (A B )＝0.28；④P (A B )＝0.42.其中正确的有( A )A ．4个B ．2个C ．3个D ．1个解析：事件A ，B 是相互独立的，由P (A )＝0.4，P (B )＝0.3知：在①中，P (AB )＝P (A )P (B )＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P (A B )＝P (A )P (B )＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中，P (A B )＝P (A )P (B )＝0.6×0.7＝0.42，故④正确．6．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率约为( D )A ．22.5%B ．15.5%C ．15.3%D ．12.4%解析：四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设事件A ＝“加工出来的零件是次品”，则P (A )＝(1－2%)(1－3%)(1－5%)(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率约为1－87.6%＝12.4%.二、填空题7．甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为12，13，14，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是34. 解析：依题意，设A 表示“至少有1人破译出密码”，则A 的对立事件A 表示“三人都没有破译密码”，则P (A )＝1－P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝34.8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是0.18.解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以41获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以41获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲队以41获胜的概率是P ＝0.108＋0.072＝0.18.9．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝16；P (A B )＝16.解析：因为P (A )＝12，P (B )＝23，P (A )＝12，P (B )＝13，所以P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16，P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16.三、解答题10．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2. 已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题被淘汰的概率．解：(1)记A i (i ＝1,2,3,4)＝“该选手能正确回答第i 轮的问题”，则P (A 1)＝0.6，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5，P (A 4)＝0.2.该选手被淘汰的概率：P ＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3A 4 )＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3 )＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)·P (A 4) ＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976. (2) P ＝P (A 1A 2＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3 )＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4) ＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8 ＝0.576.11．某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表. 规定：数据≥60，体质健康为合格.(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级优秀的概率． 解：(1)样本中合格的学生数为：5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为：20＋20＝40，这名学生体质健康合格的概率为3440＝1720.(2)设事件A ＝“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”， P (A )＝520＝14. 事件B ＝“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”， P (B )＝220＝110.因为A ，B 为独立事件，故所求概率为P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )[1－P (B )]＋(1－P (A ))P (B )＝14×910＋34×110＝310. ——能力提升类——12．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为( C )A.964B.664C.364D.164解析：甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为(1－34)2×34＝364. 13．在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子，其中有16颗红棋子，16颗绿棋子．某人有放回地依次从中摸出1颗棋子，则第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是( C )A.12B.931C.14D.1631解析：由题意，有放回地依次从中摸出1颗棋子，则第1次摸出红棋子的概率是1632＝12，第2次摸出绿棋子的概率是12，根据相互独立事件的概率公式可得，第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是P ＝12×12＝14.14．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768.解析：至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确，其概率为0.83＝0.512；②第一、二天预报准确，第三天预报不准确，其概率为0.82×0.2＝0.128；③第一天预报不准确，第二、三天预报准确，其概率为0.2×0.82＝0.128.∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是P＝0.512＋0.128＋0.128＝0.768.即所求概率为0.768.15．如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作；系统N1，N2正常工作的概率分别为P1，P2.(1)若元件A、B、C正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.8，求P1，P2；(2)若元件A、B、C正常工作的概率都是P(0<P<1)，求P1，P2，并比较P1，P2的大小关系．解：(1)设A＝“元件A正常工作”，B＝“元件B正常工作”，C＝“元件C正常工作”，则A，B，C相互独立．P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，故P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.6×0.8＝0.24，P2＝P(A)[1－P(B C)]＝0.5×(1－0.4×0.2)＝0.46.(2)P(A)＝P(B)＝P(C)＝P，P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝P3，P2＝P(A)[1－P(B C)]＝P[1－(1－P)2]，P1－P2＝P3－P[1－(1－P)2]＝2P3－2P2＝2P2(P－1)，又0<P<1，故P1－P2<0，即P1<P2.。
人教版高中数学必修第二册10.1随机事件与概率 一课一练 同步训练(含答案)
人教版高中数学必修第二册10.1随机事件与概率一课一练同步训练(时间:45分钟分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.以下事件是随机事件的是()A.在标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形的内角和为180°2.下列事件中随机事件的个数是()①同性电荷,互相排斥;②明天天晴;③自由下落的物体做匀速直线运动;④函数y=log a x(a>0,且a≠1)在定义域上是增函数.A.0B.1C.2D.33.甲、乙两队准备进行一场足球赛,根据以往的经验知甲队获胜的概率是12,两队打平的概率是16,则这次比赛乙队不输的概率是()A.16B.13C.12D.564.从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球,下列各组中的两个事件互斥而不对立的是()A.“至少有一个红球”和“至少有一个白球”B.“恰有一个红球”和“都是白球”C.“至少有一个红球”和“都是白球”D.“至多有一个红球”和“都是红球”5.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球,则两个小球同色的概率是()A.23B.25C.12D.136.某中学举行广播体操比赛,共10个队参赛,为了确定出场顺序,学校制作了从1到10共10个出场序号签供大家抽签,高一(1)班先抽,则他们抽到的出场序号小于4的概率为() A.710B.15C.25D.3107.在一次随机试验中,已知A,B,C三个事件发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法一定正确的是()A.B与C是互斥事件B.A+B与C是对立事件C.A+B+C是必然事件D.0.3≤P(A+B)≤0.58.若a,b∈{-1,0,1,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为()A.1316B.78C.34D.58二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.某战士射击一次中靶的概率为0.95,中靶环数大于5的概率为0.75,则中靶环数大于0且小于6的概率为.(只考虑整数环数)10.记事件A=“某人射击一次中靶”,且P(A)=0.92,则事件A的对立事件是,它发生的概率是.11.按文献记载,《百家姓》成书于北宋初年,表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏:表1赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏:表21:李2:王3:张4:刘5:陈6:杨7:赵8:黄9:周10:吴从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏,则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏之一的概率为.12.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是.(填序号)①对立事件;②不可能事件;③互斥但不对立事件;④对立但不互斥事件.三、解答题(本大题共3小题,共40分)13.(10分)已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.14.(15分)在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为12,中二等奖或三等奖的概率为512.(1)求任取一张,中一等奖的概率;(2)若中一等奖或二等奖的概率是14,求任取一张,中三等奖的概率.15.(15分)学校组织学生参加某项比赛,参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试,测试成绩分为A,B,C三个等级,其统计结果如下表:语言表达能力A B C文字组织能力A220B1a1C01b由于部分数据丢失,只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到语言表达能力或文字组织能力为C的学生的概率为310.(1)求a,b的值;(2)从测试成绩均为A或B的学生中任意抽取2位,求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率.参考答案与解析1.C[解析]在A中,在标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾,该事件是必然事件;在B 中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b,该事件是必然事件;在C中,走到十字路口,遇到红灯,该事件是随机事件;在D中,三角形的内角和为180°,该事件是必然事件.故选C.2.C[解析]由随机事件、必然事件、不可能事件的定义可知,②④是随机事件,①是必然事件,③是不可能事件.故选C.3.C[解析]由题意,“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件,因为甲队获胜的概率是12,所以这次比赛乙队不输的概率是1-12=12,故选C.4.B[解析]易知A选项中的两个事件可以同时发生,故不互斥;C,D选项中的两个事件为对立事件;B选项中的两个事件互斥,但事件“都是红球”也有可能发生,故不对立.故选B.5.B[解析]将大小材质完全相同的3个红球和3个黑球分别记为A1,A2,A3,a1,a2,a3,随机摸出两个小球,则试验的样本空间为Ω={A1A2,A1A3,A1a1,A1a2,A1a3,A2A3,A2a1,A2a2,A2a3,A3a1,A3a2,A3a3,a1a2,a1a3,a2a3},共包含15个样本点,其中“两个小球同色”包含的样本点有A1A2,A1A3,A2A3,a1a2,a1a3,a2a3,共6个,所以两个小球同色的概率P=615=25,故选B.6.D[解析]由题知样本空间中样本点的个数n=10,事件“高一(1)班抽到的出场序号小于4”包含的样本点的个数m=3,∴所求概率P= =310.故选D.7.D[解析]在A中,B与C有可能同时发生,不一定是互斥事件,故A错误;在B中,A+B和C 有可能同时发生,不一定是对立事件,故B错误;在C中,A,B,C不一定是互斥事件,故A+B+C 不一定是必然事件,故C错误;在D中,A,B,C不一定是互斥事件,∴P(A+B)≤0.5,∴0.3≤P(A+B)≤0.5,故D正确.故选D.8.A[解析]方法一:易知该试验共有16个样本点,当a=0时,f(x)=2x+b,无论b取{-1,0,1,2}中的何值,函数f(x)必有零点,所以满足条件的取法有4种,故有4个样本点符合要求;当a≠0时,函数f(x)=ax2+2x+b为二次函数,要使f(x)有零点,须有Δ≥0,即4-4ab≥0,即ab≤1,所以a,b取值组成的数对可以为(-1,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(-1,-1),(1,1),(1,-1),(-1,2),(2,-1),故满足条件的样本点有9个.综上,符合条件的样本点的个数为13,故所求概率为1316,故选A.方法二(排除法):易知该试验共有16个样本点,要使函数f(x)无零点,须有a≠0且Δ<0,即ab>1,所以a,b取值组成的数对可以为(1,2),(2,1),(2,2),故有3个样本点符合条件.所以所求概率为1-316=1316,故选A.9.0.2[解析]因为“中靶环数大于5”与“中靶环数大于0且小于6”是互斥事件,且两个事件的和事件为“射击一次中靶”,因此中靶环数大于0且小于6的概率为0.95-0.75=0.2.10.“某人射击一次未中靶”0.08[解析]事件A=“某人射击一次中靶”,则事件A的对立事件为“某人射击一次未中靶”,它发生的概率P( )=1-P(A)=1-0.92=0.08.11.13[解析]由题意得《百家姓》开头的24大姓氏中,是2018年中国人口最多的前10大姓氏的有8个,∴从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏,则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏之一的概率P=824=13.12.③[解析]根据题意,把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张纸牌,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生,故它们是互斥事件;又事件“丙分得红牌”与事件“丁分得红牌”也是有可能发生的,故事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件.故两事件之间的关系是互斥但不对立.13.解:记“甲射击一次,命中7环(不含7环)以下”为事件A,则P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1;记“甲射击一次,命中7环”为事件B,则P(B)=0.12.由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.(1)事件“甲射击一次,命中不足8环”即为A+B,由互斥事件的概率加法公式,知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22,故甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.(2)方法一:记“甲射击一次,命中8环”为事件C,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件D,则事件“甲射击一次,至少命中7环”为B+C+D,则P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9,故甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.方法二:因为“甲射击一次,至少命中7环”为事件 ,所以P( )=1-P(A)=1-0.1=0.9,故甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.14.解:(1)设任取一张,中一等奖、中二等奖、中三等奖、不中奖分别为事件A,B,C,D,则A,B,C,D是互斥事件,由题意得P(D)=12,P(B+C)=P(B)+P(C)=512,由对立事件的概率公式得P(A)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1-512-12=112,∴任取一张,中一等奖的概率为112.(2)∵P(A+B)=14,又P(A+B)=P(A)+P(B),∴P(B)=14-112=16,又P(B+C)=P(B)+P(C)=512,∴P(C)=14,∴任取一张,中三等奖的概率为14.15.解:(1)依题意可知语言表达能力或文字组织能力为C的学生共有(b+2)人,所以 +210=310,解得b=1,因为2+2+1+a+1+1+b=10,所以a=2.(2)测试成绩均为A或B的学生共有7人,其中语言表达能力和文字组织能力均为B的有2人,设为b1,b2,其余5人设为a1,a2,a3,a4,a5.从这7人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a 2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},样本点的个数为21,“选出的2人的语言表达能力和文字组织能力均为B”包含的样本点有(b1,b2),共1个,所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率P=1-121=2021.。
10.2.1随机事件及其概率
8
19
44
92
178
455
⑴ 计算表中击中靶心的各个频率；
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数 m
8
19 0.95
44 0.88
92 0.92
178 0.89
455
0.811
击中靶心的概率约是多少？ 答：击中靶心的概率约是0.9.
6019
12012 14984 36124
0.5016
0.5005 0.4995 0.5011
我们可以看到，当硬币抛掷的次数很多时， 出现正面的频率值是稳定的，接近于0.5，并 在它附近摆动。 定义： 一般地，在大量重复进行同一试验 时，事件A发生的频率m/n总是接近于某个常数， 并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P(A). 概率从数量上反映了一个事件发生的可能 性的大小。抛掷一枚硬币出现“正面向上”的 概率是0.5，指出现“正面向上”的可能性是 50﹪；任取一个乒乓球得到优等品的概率是 0.95，指得到优等品的可能性是95﹪；任取一 批油菜籽在相同条件下发芽的概率是0.9，指 油菜籽发芽的可能性是90﹪。
在概率论中，将试验的结果称为事件。 下面我们来看一些事件： ⑴ 导体通电时，发热； ⑵ 抛一石块，下落； ⑶ 在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化； ⑷ 在常温下，焊锡熔化； ⑸ 某人射击一次，中靶； ⑹ 掷一枚硬币，出现正面。
上面各事件的发生与否分别有什么特点？ 答：事件⑴和事件⑵是必然要发生的，事件⑶ 与事件⑷是不可能发生的，而事件⑸与事件⑹ 是可能发生也可能不发生的。
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确 定，但是在大量重复试验的情况下，事件的发生 呈现出一定的规律性。 有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果见下表：
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。
§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。
课时作业1：10.2 事件的相互独立性
10.2 事件的相互独立性1.掷一颗骰子一次，设事件A ：“掷出偶数点”，事件B ：“掷出3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 答案 B解析 事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此事件A 与B 相互独立.当“掷出6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件.2.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是( ) A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.99 答案 C解析 A i 表示“第i 次击中目标”，i ＝1,2， 则P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.9×0.9＝0.81.3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88 答案 D解析 设“甲被录取”记为事件A ，“乙被录取”记为事件B ，则两人至少有一人被录取的概率P ＝1－P (A B )＝1－(1－P (A ))(1－P (B ))＝1－0.4×0.3＝0.88.4.从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1个球，则23可能是( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率 答案 C解析 记4个选项中的事件分别为A ，B ，C ，D ，则 P (A )＝1－13×12＝56，P (B )＝13×12＝16，P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝23， P (D )＝13×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－13×12＝12. 5.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军.若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.35 C.23 D.12 答案 A解析 根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局，这两种情况互斥.甲队直接胜一局，其概率为P 1＝12；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P 2＝12×12＝14.由互斥事件的概率加法公式可得甲队获胜的概率为P ＝12＋12×12＝34. 6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________. 答案 35解析 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，所以p ＝35.7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________. 答案 35解析 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因为事件M ，N 相互独立，所以能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35.8.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为25，丙及格的概率为23，则三人中至少有一人及格的概率为________.答案2425解析 设甲及格为事件A ，乙及格为事件B ，丙及格为事件C ，则P (A )＝45，P (B )＝25，P (C )＝23，∴P (A )＝15，P (B )＝35，P (C )＝13， 则P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝15×35×13＝125，∴所求概率P ＝1－P (A B C )＝2425.9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.解 记A 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P (A )＝0.5； 记B 表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P (B )＝0.6； 记C 表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记D 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记E 表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”. (1)易知C ＝AB ，则P (C )＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D ＝(A B )∪(A B )，则P (D )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(3)易知E ＝A B ，则P (E )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2.故P (E )＝1－P (E )＝0.8.10.为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点. (1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； (2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.解 (1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P 1， 则P 1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.(2)消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，消费总额为1 400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，消费总额为1 300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033，所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14答案 C解析 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率为P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 12.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )等于( ) A.29 B.118 C.13 D.23 答案 D解析 由题意知，P (A )·P (B )＝19，P (A )·P (B )＝P (A )·P (B ). 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )(1－y )＝19，(1－x )y ＝x (1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y . ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.13.有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为________. 答案1124解析 一道数学难题恰有一人解出，包括：①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14；②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18；③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124. 14.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 答案 0.128解析 由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，故P ＝P [(A ＋A )A AA ]＝[1－P (A )]·P (A )·P (A )＝0.128.15.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14答案 C解析 灯泡不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的， ∴灯泡不亮的概率为12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯泡亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316.16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4的概率.解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为 1－14－12＝14，1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P 1＝14×12＝18；都付2元的概率为P 2＝12×14＝18；都付4元的概率为P 3＝14×14＝116.所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元. 所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516.。
二年级春季《数学》(人教版)10.2事件的相互独立性课后作业
10.2 事件的相互独立性课后练习1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第1枚正面朝上”，事件B =“第2枚正面朝上”，事件C =“2枚硬币朝上的面相同”，A ，B ，C 中哪两个相互独立？提示与答案：用h 表示“正面朝上”，t 表示“反面朝上”．则试验的样本空间为{},,,,Ω=hh ht th tt {},,A hh ht ={},,B hh th ={},.C hh tt =1()()(),2P A P B P C ===1()()(),4P AB P AC P BC ===所以A ，B ，C 两两独立． 2.设样本空间}{d c b a Ω，，，=含有等可能的样本点，且}.{}{}{d a C c a B b a A ，，，，，===请验证A ，B ，C 三个事件两两独立，但).()()()(C P B P A P ABC P ≠ 提示与答案：1()()(),2P A P B P C ===1()()(),4P AB P AC P BC ===所以A ，B ，C 两两独立．但是11()()()()=.48P ABC P A P B P C =≠ 3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是2.0，乙地的降雨概率是3.0，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.提示与答案：设A =“甲地下雨”，B =“乙地下雨”，()0.2,()0.3,P A P B ==且A 与B 互相独立．(1) 事件“甲、乙两地都降雨”=,AB 所以()()()0.20.30.06.P AB P A P B ==⨯= (2) 事件“甲、乙两地都不降雨”=,AB 事件A 和B 也互相独立，所以()()()(10.2)(10.3)0.56.P AB P A P B ==-⨯-= (3) 事件“至少一个地方降雨”=,A B 而A B 与AB 互为对立事件，所以()1()10.560.44.P A B P AB =-=-=4. 证明必然事件Ω和不可能事件φ与任意事件相互独立.提示与答案：设A 为任意事件，()1,Ω=P ()()()(),Ω==ΩP A P A P P A 即必然事件与任意事件独立；()0,P ∅=()()()(),P A P P P A ∅=∅=∅即不可能事件与任意事件独立．5.若()0,()0,P A P B >>证明：事件A 和B 互斥与A 和B 独立不能同时成立提示与答案：假设事件A ，B 独立，则有()()()0,P AB P A P B =>因此.AB ≠∅ 所以A 和B 不互斥． 反之，如果件A 和B 互斥，即,AB =∅那么()0,P AB =()()()P AB P A P B ≠,所以A 和B 不独立． 即A 和B 互斥与A 和B 独立不能同时成立．。
高中数学必修二《第十章 概率》同步练习及答案
《第十章概率》同步练习10.1随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件基础巩固训练一、选择题1．下列事件中，随机事件的个数为( )①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边．A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．2．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是( )A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．不能确定答案 A解析一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件．故选A.3．掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．一枚是3点，一枚是1点B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点C．两枚都是4点D．两枚都是2点答案 B解析掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．故选B.4．在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )A．5 B．6C．3或4 D．5或6答案 C解析由题意，知10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.5．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)4个样本点，选B.二、填空题6．“函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域(－∞，1]上是增函数”是________事件．答案随机解析当a>1时，y＝a x在(－∞，1 ]上是增函数．当0<a<1时，y＝a x在(－∞，1]上是减函数，故事件随a值变化会有不同结果，为随机事件．7．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为________．答案19解析一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个．其中方程有关根的充要条件为b2≥4ac，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个样本点．8．同样抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________．答案8,3解析由题意，样本点的总个数为23＝8，恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，共3个．三、解答题9．已知集合M＝{－1,0,1,2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标．(1)写出试验的样本空间；(2)求“点P落在坐标轴上”的样本点个数．解(1)样本空间Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}．(2)用事件A表示“点P落在坐标轴上”这一事件，则A包含的样本点有(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(2,0)，共7个．能力提升训练做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出事件A：“第1次取出的数字是2”的集合表示；(4)说出事件B＝{(0,1)，(0,2)}所表示的实际意义．解(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)易知这个试验的样本点的总数是6.(3)A＝{(2,0)，(2,1)}．(4)事件B表示“第1次取出的数字是0”．10.1.2 事件的关系和运算基础巩固训练一、选择题1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案 D解析由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B 正确．再由A∪C＝D成立可得C正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．2．抽查10件产品，设A＝{至少有2件次品}，则A－等于( )A．{至多有2件次品} B．{至多有两件正品}C．{至少有两件正品} D．{至多有一件次品}答案 D解析“至少有2件次品”表示事件包含次品数最少是2，对立事件则应该为“至多有一件次品”，故选D.3．一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( ) A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面答案 D解析对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.4．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A．①B．②④C．③D．①③答案 C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.5．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件的是( )A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少一个红球；都是白球D．至多一个红球；都是红球答案 B解析A中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个红，至少有一个白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，C，D中的两个事件互斥且对立．二、填空题6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪B－表示________．答案出现的点数为2,4,5,6解析因为B－表示“出现大于等于5的点数”，即“出现5,6点”，所以A ∪B－表示“出现的点数为2,4,5,6”．7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3，4，…，11,12中的一个．记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为________．答案A∩B∩C－解析∵事件A＝{2,4,7,12}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}．又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩C－＝{2,4}．8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”，其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．答案②④解析从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件．故答案为②④.三、解答题9．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：(1)密码被破译；(2)至少有一人破译；(3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译；(5)只有甲破译；(6)密码未被破译．解用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码，则(1)A∪B∪C；(2)A∪B∪C；(3)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C＋A－∩B－∩C－；(4)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C；(5)A∩B－∩C－；(6)A－∩B－∩C－.能力提升训练判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，他们可能同时发生．(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他们是对立事件．10.1.3 古典概型基础巩固训练一、选择题1．下列概率模型中，是古典概型的个数为( )①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型．故选A.2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.18答案 C解析集合{a，b，c，d，e}共有25＝32个子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，所以所求概率为832＝14.3．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )A.110B.18C.14D.12答案 C解析设两款优惠套餐分别为A，B，列举样本点如图所示．由图可知，共有8个样本点，这8个样本点发生的可能性是相等的．其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A，A，A)，(B，B，B)，共2个样本点，故所求概率为P＝28＝14.4．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.38B.58C.316D.516答案 B解析两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，共有16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a－b|≤1的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为1016＝58.5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一学生中进行了抽样调查．已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( ) A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案 D解析记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1，b2，b3.从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个，分别为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这10种结果发生的可能性是相等的．记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A所包含的样本点有(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共7个．根据古典概型的概率计算公式，得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)＝710＝0.7，故选D.二、填空题6．同时掷两枚相同的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为________．答案1 9解析同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36，这36个样本点发生的可能性是相等的，满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4个，故所求概率为436＝19.7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．答案1 5解析抽取的a，b组合有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种情况，这15种情况发生的可能性是相等的．其中(1,2)，(1,3)，(2,3)满足b>a，故所求概率为315＝15.8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．答案1 2解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12.三、解答题9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．解(1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．(2)不正确，理由如下：由(1)，知所有可能的摸出结果共12种，且这12种结果发生的可能性是相等的．其中摸出的2个球都是红球的结果有{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23，故不中奖的概率比较大．能力提升训练小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解(1)将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，这25个样本点发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(B)＝1225＝0.48.10.1.4 概率的基本性质基础巩固训练一、选择题1．甲、乙两队举行足球比赛，若甲队获胜的概率为13，则乙队不输的概率为( )A.56B.34C.23D.13答案 C解析乙队不输的概率为1－13＝23.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案 C解析设事件“抽检一件是甲级”为事件A，“抽检一件是乙级”为事件B，“抽检一件是丙级”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为乙级品和丙级品均属次品，且P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.故选C.3．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )A．0.3 B．0.6C．0.7 D．0.9答案 C解析∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，∴P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.选C.4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案 B解析设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.5．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B－(B－表示事件B的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56答案 C解析由题意，知B－表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B－互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋B－)＝P(A)＋P(B－)＝26＋26＝46＝23.二、填空题6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．答案120解析设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－9 20＝1120.再由题意，知1120n－920n＝12，解得n＝120.7．给出命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(4)若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件．其中错误命题的个数是________．答案 3解析由互斥事件与对立事件的定义可知(1)正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故(2)不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故(3)不正确；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝∅时，A，B才互为对立事件，故(4)不正确．8．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知1P1，1 P2是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋14＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．答案1223解析由P1满足方程x2－x＋14＝0知，P2 1－P1＋14＝0，解得P1＝12；因为1P1，1P2是方程x2－5x＋6＝0的根，所以1P1·1P2＝6，解得P2＝13.因此甲射击一次，不中靶的概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶的概率为1－13＝23.三、解答题9．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．解先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16个结果出现的可能性是相等的．又满足条件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝3 16，故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.能力提升训练某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．解(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)＝13，P(C＋D)＝512.又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－13－512＝14.所以甲的停车费为6元的概率为1 4 .(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16种情况发生的可能性是相等的；而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个．所以所求概率为316.10.2 事件的相互独立性基础巩固训练一、选择题1．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝14，P(B)＝23，则P(A B－)＝( )A.112B.16C.14D.12答案 A解析∵A，B是相互独立事件，且P(A)＝14，P(B)＝23，则A与B－也是相互独立事件，∴P(A B－)＝P(A)·P(B－)＝14×13＝112.故选A.2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？( )A．事件A，B同时发生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生答案 C解析P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )A ．0.12B ．0.88C ．0.28D ．0.42答案 D解析 P ＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.4．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( )A.14B.19C.13D.127 答案 D解析 有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为13，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为13×13×13＝127.5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12 答案 A解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.二、填空题6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________．答案49512解析 由已知每次打开家门的概率为18，则该人第三次打开家门的概率为⎝⎛⎭⎪⎫1－18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18×18＝49512.7．一道数学竞赛试题，甲同学解出它的概率为12，乙同学解出它的概率为13，丙同学解出它的概率为14，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概率为________．答案1124解析 只有一人解出的概率P ＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．答案 35解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35. 三、解答题9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．解设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A B－C－)＋P(A－B C－)＋P(A－B－C)＝P(A)P(B－)P(C－)＋P(A－)P(B)P(C－)＋P(A－)P(B－)P(C)＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－45×35×710＝83125.能力提升训练某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．解设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为P k(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率为P 0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512. 综合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．10.3 频率与概率 基础巩固训练一、选择题1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用A 表示正面朝上这一事件，则事件A 的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率接近0.6答案 B解析 事件A ＝{正面朝上}的概率为12，因为试验次数较少，所以事件A 的频率为35，与概率值相差太大，并不接近．故选B.2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为( )A.199 B.1100 C.99100 D.12答案 D解析 ∵第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等可能发生，∴所求概率为P ＝12.3．袋子中有四个小球，分别写有“东”“方”“骄”“子”四个字，从中任取一个球，取后放回，再取，直到取出“骄”字为止，用随机模拟的方法，估计第二次就停止的概率．且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“东”“方”“骄”“子”这四个字，每两个随机数为1组代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：23 14 12 31 3341 44 22 31 4312 13 24 42 3223 11 43 31 24则第二次停止的概率是( )A.14B.15C.13D.16答案 A解析由20组随机数，知直到第二次停止的有：23,43,13,23,43，共5组，故所求概率为P＝14.故选A.4．通过模拟实验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 77404422 7884 2604 3346 09526807 9706 5774 5725 65765929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数，在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为( )A.14B.13C.15D.16答案 A解析表示恰有三次击中目标的有：3013,2604,5725,6576,6754，共5组，随机数总共20组，故四次射击恰有三次击中目标的概率约为520＝14.5．一个样本量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据落在(10,40]上的频率为( )A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64答案 C解析(10,40]包含(10,20]，(20,30]，(30,40]三部分．所以数据在(10,40]上的频数为13＋24＋15＝52，由f n(A)＝nAn可得频率为0.52.故选C.二、填空题6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶．在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的频率是________．答案0.9 0.3解析打靶10次，9次中靶，1次脱靶，所以中靶的频率为910＝0.9；其中有3次中9环，所以中9环的频率是310＝0.3.7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．答案500解析设进行了n次试验，则有10n＝0.02，解得n＝500，故共进行了500次试验．8．样本量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算样本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．答案64 0.4解析样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率，知所求概率约为0.4.三、解答题9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中任意抽取一个，求：(1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率；(2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率；(3)事件C(d>6.96)的频率；(4)事件D(d≤6.89)的频率．解(1)事件A的频率f(A)＝17＋26100＝0.43.(2)事件B的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C的频率f(C)＝2＋2100＝0.04.。
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随机事件作业答案
1．下列事件中，随机事件的个数为( B)
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高
水位是29.8 m；④一个三角形的大边对小角，小边对大角．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：②中，方程x2＋2x＋5＝0，Δ＝4－20＝－16<0，可知它不可能有两个不相等的实数根，是不可能事件；④中，由于在同一个三角形中有大边对大角，小边对小
角，可知④也是不可能事件；而①③是随机事件．
2．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取两个数字，那么“这两个数字的和大于3”这一事件是( C)
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上均不正确
解析：从6个数字中取出两个数字，其和可能大于3，也可能等于3，故“这两个数字之和大于3”这一事件为随机事件．
3．下列事件是必然事件的是( A)
①若a、b、c都是实数，则a·(b·c)＝(a·b)·c
②函数y＝ax2－(a＋c)x＋c(a≠0)的图像与X轴有交点
③两条不重合的直线确定一个平面
④两圆有5条公切线
解析：④项是不可能事件．
A．①② B．①③ C．② D．③④
4．下面的事件，是不可能事件的有( B )
①在标准大气压下，水加热到80 ℃时会沸腾；
②a，b∈R，则ab＝ba；
③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．
A．② B．① C．①② D．③
5．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( D)
A．不可能事件 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
解析：掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．。