北大附中高三数学第三次调研试卷

北大附中2008第三次调研试卷

第Ⅰ卷 （选择题,共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合P ＝{x ∈N|1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于

A ．{－2，3}

B ．{－3，2}

C ．{3}

D ．{2}

2．函数f (x )＝1

1＋x 2（x ∈R ）的值域是

A ．[0，1]

B ．[0，1)

C ．(0，1]

D ．(0，1)

3．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列前9项和S 9等于

A ．45

B ．36

C ．27

D ．18

4．设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0，a ≠1)的图象过点（0，0），其反函数过点（1，2），则a +b 等于

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为

A ．±4

B ．±2 2

C ．±2

D ．± 2

6．“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

7．设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4

y )的最小值为

A ．15

B ．12

C ．9

D ．6

8．已知非零向量AB 与AC 满足，则△ABC 为

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．三边均不相等的三角形

9．已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a ＞0)。若x 1＜x 2，x 1＋x 2=0，则 A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)=f (x 2)

C ．f (x 1)

D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定

10．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π

3

，则双曲线的离心率为

A ．233

B ．263

C ． 3

D ．2

11．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离相等，则正确的结论是 A ．平面ABC 必不垂直于α B ．平面ABC 必平行于α

C ．平面ABC 必与α相交

D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内

12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明

文（解密）。已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d 。例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 A ．1，6，4，7

B ．4，6，1，7

C ．7，6，1，4

D ．6，4，1，7

第Ⅱ卷 （非选择题,共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)

13.在等比数列{a n }中，前n 项和S n =2n +c ，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于_______________. 14在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_________（结果用分数表示）

15. 水平桌面α上放有4个半径为2R 的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)。在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .

16. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≥≥≤-+≥-+.0,0,052,03y x y x y x 则y-2x 的最大值是------------

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95.

(Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用数字作答)； (Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用数字作答).

18.(本小题满分12分)

已知向量a =(1，1)，b =(1，0)，c 满足a ·c =0，且|a |=|c |，b ·c >0. (1)求向量c ；

(2)若映射f ：(x ，y)→(x ′，y ′)=x a +y c ； ①求映射f 下(1，2)的原象；

②若将(x ，y)作点的坐标，问是否存在直线l 使得直线l 上任一点在映射f 的作用下，仍在直线上，若存在求出l 的方程，若不存在说明理由.

19.(本小题满分12分)

如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC ，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC ，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6. (1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ；

(2)求二面角A-CD-B 的平面角的正切值；

(3)设过直线AD 且与BC 平行的平面为α，求点B 到平面α的距离.

20.(本小题满分12分)

在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5

A =-. （Ⅰ）求sin

B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫

+

⎪⎝⎭

的值.