数学建模 公园内道路设计问题模型

公园内道路设计问题模型摘要随着社会前进步伐的逐渐加快，人们的生活节奏也被无形的越拉越紧。

获得更多收益的同时，我们的身体也严重透支。

这就使人们越来越开始关注自身的锻炼问题。

毫无疑问，人们在城市、学校里选择放松、锻炼的最佳去处就是公园了。

本文主要讨论公园内的道路修建问题。

在数据的处理方面，我们较多的使用了matlab软件，因为他在数值计算和调用函数方面有着强大的功能，尤其在编程解决具体问题时它操作简便，效率高，能节省大量时间。

给出的三个问题都是优化问题，要求修的路程尽量短。

因此我们有两个基本思路：一是充分利用边界上的道路，能通过边界解决的问题尽量不再去另外修路。

二是充分利用已经修过的道路，通过“少修多连”的方法尽量减少路程，我们也称其为“借路原理”。

在问题的解决过程中，我们主要是计算出数据，然后考虑是否满足思路一，紧接着通过思路二来进一步优化、减少路程。

我们不是直接求出最优路径，而是利用排除法思维，先找到一条优化道路，但紧跟其后又找到了更优化的路径，通过层层对比，最终确定出最优路线。

关键字：matlab软件基本思路一基本思路二排除法一．问题的重述广州某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园，不仅为了美化校园环境，也是想为其学生提供更好的生活环境。

公园计划有若干个入口，现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连（可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长），使总的道路长度和最小，前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。

主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园，其相关数据为：长200米，宽100米，1至8各入口的坐标分别为：P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25). 示意图见图1，其中图2即是一种满足要求的设计，但不是最优的。

请建立数学模型解决以下问题：问题一：假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：A(50,75)，B(40,40)，C(120,40)，D(115,70）。

问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短，并计算新修路的总路程。

问题二：现在公园内可以任意修建道路，如何在满足条件下使总路程最少。

给出道路交叉点的坐标，并计算新修路的总路程。

问题三：若公园内有一条矩形的湖，新修的道路不能通过，但可以到达湖四周的边，示意图见图3。

重复完成问题二的任务。

其中矩形湖的四个顶点坐标为R1(140,70),R2(140,45),R3(165,45),R4(165,70)。

注：以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。

图 1 公园及入口示意图图 2 一种可能的道路设计图二．问题的分析和符号说明题目中对道路的修建有一个“硬性要求”，也是大前提，即“前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍”，下面我们来考虑P1和P7，P1与P7间的直线距离乘以1.4等于141.0，而P1和P7仅通过边界路线相连接的最短距离为130,由于130<141.0，满足题目所给的大前提，所以无需再专门修路连接P1和P7。

同理，对于其他任意两点也可尝试上述计算方法，尽量排除无关紧要的点，从而可大大简化问题，减少了计算量。

下面我们需要对一些常用变量进行命名：1,2,3,4,5,6,7,8……………………….P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8S mn……………………………………….m,n仅通过边界线路相连的最短距离m--n……………………………………….m,n间的直线距离m~n(q)……………………………………m,n间通过方法q相连的距离（示例：1~6(1--B--A--6)即为通过方法(1—B--A--6)使1连接上6的距离。

）然后，我们可以运用matlab来计算上面提出的问题，只需用一个循环结构，便可以省去很多繁琐的运算。

然后我们可以得到下面一个概览表：解题用图- 1 概览表通过观察易知，仅1~5, 1~6, 1~8, 3~4, 3~5, 3~6, 3~7, 2~5, 2~6, 2~7之间不符合Smn>=1.4*(m--n)的条件，需要重新规划路线。

从而问题变得很简明。

三．模型假设1.近似认为每个入口都是一个质点，不占用空间位置，从而m ，n 之间修的直线路线的长度即为|mn|。

2.认为道路的宽度为0，即所修的路都是线段，长分别是a 和b 的两条路线相交，则两条路的总长度是a+b 。

3.认为公园的地面是完全平整无凹陷和突起的。

四．模型建立根据上面的陈述，我们大致可总结出修路要遵循的两个原理：A1：满足m~n （q ）<=1.4*（m--n ）的两点m ，n 间不需再专门修路。

A2：应充分利用已经修过的路来完成需修而未修的两点间的路，简称为“借路”原理。

下面我们将尝试在这两个原理的基础上，根据三个问题的不同要求，运用排除比较的方法来尽量确定最优道路。

五．模型求解问题一：1.求解前提条件该问题有一个基本要求就是“确定要使用4个道路交叉点为：A(50,75)，B(40,40)，C(120,40)，D(115,70）” 。

首先要明白什么是道路交叉点。

我们取任一个交叉点Q ，则至少有两条不同的道路通过Q ，下面列出的三种情况都是符合题意的：解题用图- 2解题用图- 3情况一：一点通过三条不同道路 情况二：一点通过多条不同道路QQQ解题用图- 4情况三：一点通过两条不同道路这里需要特别注意解题用图-4中所给的情况，只有两条道路以折线方式相交仍视点Q为道路交叉点。

前面所提到的“至少有两条不同的道路通过Q”中的“不同道路”具体指两条不能连成线段的道路，如图，解题用图- 5此时认为只有一条路通过Q，即Q不是道路交叉点这是一种不符合Q为交叉点的情况。

另一种不符合Q为交叉点的情况是没有任何道路通过Q。

2.开始求解观察需要重新修建道路的各点组合，即1~5, 1~6, 1~8, 3~4, 3~5, 3~6, 3~7, 2~5, 2~6, 2~7，发现1,2,3均需要连到5,6，所以选择从5,6点开始着手。

先考虑6点。

一．1,6之间需要满足原理A1，最简单的办法就是1- -6，连接后，若不再修建其他道路，2~6（2- -1- -6）=131.1<1.4*S（2,6）=141.6，满足原理A1（下面再有此种论断则简化些为m~n（q）=a<b,A1.所需数据可在解题用图-1中找到），2~7(2- -1- -6- -7)=156.1>150.8，不符A1。

专门再为2~7修路代价太大，因此改变1~6之间的连接方法。

解题用图- 6二．考虑1~6通过1- -B- -6的方法，并且连接2- -B（原理A2），则1~6（1- -B- -6）=104.9<141.6，A1。

2~6（2- -B- -6）=141.4<141.6，A1。

2~7（2- -B- -6- -7）=126.4<150.8，A1.解题用图- 7有人会提出疑问，当连接1~6(1- -6)但2~7（2- -B- -6- -7）不符A1时，为何不像连接2- -B一样，从2或7到（1- -6）直线上修一条路（A2）？其实这是为了能使1,2能与5相连。

解题用图- 8继续我们二中的方法。

检验可得3~6（3- -2- -B- -6）=211.4<224.1，A1。

3~7（3- -2- -B- -6- -7）=236.4<252.4，A1。

下面着重考虑1,2,3和5的连接。

3~5.3~5较简单，为使路程尽量短且通过C，D点，3~5取3- -C- -D- -5，又3~5（3- -C- -D- -5）=117.4<150.8，A1。

1~5由于A点还没有通过任何道路，所以考虑1~5（1- -B—A- -5）, 此时1~5=155.4<198，A1。

2~5取2~5（2- -B- -A- -5）（A2），此时2~5=151.9<170，A1。

解题用图- 9存在以下疑问：*为什么不取1~5（1- -B- -A- -D- -5），2~5（2- -B- -A- -D- -5），这样通过“借路”（A2），使总路程减少了（A- -5）-（A- -D）=9.1？解*：如果这样，那么2~5（2- -B- -A- -D- -5）=173.1>170.9，不符A1。

解题用图- 10现在看1~5, 1~6, 3~5, 3~6, 3~7, 2~5, 2~6, 2~7，之间的路程修建似乎可以结束了，但通过观察现有图形，考虑将A- -6代替B- -6（A2），因为前者明显比后者短些。

下面我们进行一些替换后的检验（主要靠A1）：1~6（1- -B- -A- -6）=110.2<140，A1。

2~6（2- -B- -A- -6）=106.7<140.7，A1。

2~7（2- -B- -A- -6- -7）=131.7<151.8，A1。

3~6（3- -2- -B- -A- -6）=216.7<224.1，A1。

3~7（3- -2- -B- -A- -6- -7）=241.7<252，A1。

1,2,3到5的路线和原来完全一样，不用再赘述。

所以数据完全符合要求，即可以用A- -6代替B- -6。

解题用图- 11*又有以下问题：用A- -6代替B- -6后，A点成了交叉点，那么若取1~5（1- -B- -C- -D- -5），2~5（2- -B- -C- -D- -5），路程会不会更短？解*：即便换线路后新数据完全符合A1，但（B- -C）>（A- -5），路程反而增加，舍弃不用。

解题用图- 12*为什么不2~5（2- -C- -D- -5）。

1~5（1- -C- -D- -5）？解*：同上个问题，即便换线路后新数据完全符合A1，但（2- -C）>（A- -5），路程反而增加，舍弃不用。

解题用图- 13接下来考虑1~8和3~4.1~8：最直接最简便的方法当然是直接连接1,8两点，但考虑（A2），我们可以过8做1- -B的垂线，设垂足为P显然比直接连接减少了路长，下面检验，1~8（1- -P- -8）=42.9<44.8，A1。

3~4：和1~8思路完全相同，过4做3C的垂线，垂足设为O，检验。

3~4(3- -O--4)=70.6<89.6，A1。

我们再对1~8和3~4的求解过程做些补充。

因为上述方法可用有一个大前提，就是（角43C）和（角81B）都是锐角，我们将证明列在下面：角43C：a=arctan（1）=45度b=arctan（1.25）>45度所以（角43C）=180-a-b<90，是锐角。