概率统计习题课

一 随机事件及其概率

1. ,,A B C 为三个随机事件，事件“,,A B C 不同时发生”可表示

为 ，

事件“,,A B C 都不发生”可表示为 ，事件“,,A B C 至少发生两件”可表示为 。

2．从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是 ， 事件“其中一个数是另一个数的两倍”的概率是 。

3. 有r 个球，随机地放在n 个盒子中(r n ≤)，则某指定的r 个盒子中各有一球的概率为_ __ __。

4．把3个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子(每个盒子能容纳多个球)，则三个盒子各放入一球的概率是___________。

5. 设,A B 为随机事件，()0.7P A =, ()0.3P A B -=,则()P A B =__ ___。

6．事件A 发生必然导致事件B 发生，且()0.1,()0.2,P A P B ==，则()P A B =____。

7. 盒中有6个大小相同的球，4个黑球2个白球，甲乙丙三人先后从盒中各任取一球，取后不放回，则至少有一人取到白球的概率为___________。

8. 甲乙两个盒子，甲盒中有2个白球1个黑球，乙盒中有1个白球2个黑球，从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒中任取一球，取出白球的概率

是 。

9．某球员进行投篮练习，设各次进球与否相互独立，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮至少投中一次的概率是，则他的投篮命中率是 。

10. 将一枚硬币抛掷3次，观察出现正面（记为H ）还是反面（记为T ），事件A ={恰有一次出现正面}，B ={至少有一次出现正面}，以集合的形式写出试验的样本空间Ω和事件,A B ，并求(),(),()P A P B P A B

11. 已知()0.1,()0.2P A P B ==，在下列两种情况下分别计算()P A B 和()P A B ：(1) 如果事件,A B 互不相容； (2) 如果事件,A B 相互独立。

12. 盒中有3个黑球7个白球，从中任取一球，不放回，再任取一球，(1)若第一次取出的是白球，求第二次取出白球的概率 (2) 两次都取出白球的概率 (3) 第二次取出白球的概率 (4) 若第二次取出的是白球，求第一次取出白球的概率。

二 一维随机变量 1．向平面区域{(,):1

}x y x y +≤内随机投3个点，则3个点中恰有2个点落在第一象限内的概率是 。

2．设随机变量X 服从二项分布(3,0.3)B ，且2Y X =，{4}P Y == 。

3．设圆形区域的半径X 服从区间[0,2]上的均匀分布，则圆形区域的面积2Y X π=的数学期望()E Y =________。

4．设随机变量X 的密度函数()f x 对x R ∀∈，有()()f c x f c x +=- , c 是常数，

则{}P X c >= ，()E X = 。

5．设随机变量X 的密度函数221

(),()x x f x x R

-+-=∈，

则2()E X = 。 6．抽样调查结果表明：某地区考生的外语成绩X 服从正态分布2(,)N μσ， 平均成绩72μ=，已知80分以上者占总人数的20%，则考生的外语成绩在64分至80分之间的概率是 。

7．一袋中装有六只球，编号是1,2,3,4,5,6，从中随机取出三个球，X 表示取出的球的最小号码，求X 的分布律，数学期望和方差。

8. 试验E 只有两种结果：A 和A ，且(),01P A p p =<<，试验E 独立重复地进行，(1) X 表示事件A 首次发生时的试验次数，求X 的分布律和数学期望； (2) Y 表示事件A 第r 次发生时的试验次数(r 是任一正整数), 求Y 的分布律和数学期望。

9. 盒中有3个黑球2个白球，每次从中任取一球，直到取到白球为止，X 表示抽取次数，(1) 如果每次取出的球不放回，求X 的分布律和数学期望；(2) 如果每次取出的球放回盒中，求X 的分布律和数学期望。

10. 设连续型随机变量X 的密度函数,01()0,

ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他，{0.5}0.625P X >=，(1) 确定常数,a b (2) 计算{10.5}P X -<< (3) 求()E X

11. 设随机变量X 的分布函数是()arctan F x A B x =+，求(1) 常数,A B (2)X 的概率密度()f x （3

）(1P X -≤≤

12. 乘客在某公交车站等车的时间X 服从正态分布2(7,2)N ，（单位：分钟）

(1) 求乘客的等车时间超过11分钟的概率((1)0.84Φ=,(2)0.98Φ=)

(2) 若一小时内有100位乘客在此车站等车，其中等车时间超过11分钟的人数是Y ，写出Y 的分布律，并求一小时内至少有两人等车时间超过11分钟的概率。

13. 在某次200米游泳比赛中，运动员的成绩2(180,20)X N （单位：秒），(1)成绩位于前40%的运动员直接晋级，则用时低于多少秒(设为a )的运动员得以晋级 (2)成绩位于后20%的运动员直接淘汰，则用时超过多少秒(设为b )的运动员被淘汰((0.25)0.6,(0.84)0.8Φ=Φ=)

14. 某人家住市区东郊，工作单位在西郊，上班有两条路线可选择：一条直穿市区，但可能塞车，所需时间(单位:分钟)服从正态分布2(30,10)N ；另一条环城高架，路程远但很少塞车，所需时间服从正态分布2(40,4)N ，为保证以较大概率上班不迟到，问：(1) 如果上班前50分钟出发，应选哪条路线(2) 如果上班前45分钟出发，应选哪条路线

((1.25)0.8944,(1.5)0.9332,(2)0.9772,(2.5)0.9938)Φ=Φ=Φ=Φ=

15. 设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，证明：(1) ()Y a b a X =+-服从

[,]a b 上的均匀分布；(2) ln Y X =-服从参数为1的指数分布。

16. 射箭比赛中的圆靶半径为米, 设击中靶上任一同心圆内的概率与该圆的面积成正比,并设箭支都能中靶, (1) 以X 表示箭支落点与圆心的距离，证明：X

的分布函数2

00()400.510.5

x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩； (2) 如图，从圆心起每米为一环，Y 表示射箭得到的环数，求Y 的分布律和数学期望。

17. (1) 设随机变量12,X X 相互独立，都服从参数为λ的泊松分布， 证明：12X X +服从参数为2λ的泊松分布；(2) 假设在一分钟内进入商场的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布，相邻两位顾客进入商场的间隔时间是T ，求T 的分布函数(){}F t P T t =≤和密度函数()f t 。

(提示：由(1)可知，在t 分钟内进入商场的顾客数服从参数为t λ的泊松分布)

三 二维随机变量

1.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数(,)(1)(1),0,0ax by F x y e e x y --=-->>，则其联合密度函数(,)f x y = 。

5 4 3 2 1