概率统计习题课

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概率论与数理统计习题课1-1

7 12
P( A B C ) =
事件的关系互斥：互斥：AB = φ 对立事件，对立事件，样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥，就称这n个事件互斥个事件两两互斥，就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中， 3 或者1、、未中，伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率重伯努利试验中，事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中一颗为1的概率。一颗为1的概率。解：
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号，某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号，求他拨号不超过3次而接通电话的概率；（1）求他拨号不超过3次而接通电话的概率；若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？（2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件解设A表示施放枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，则表示施放枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，

经济数学基础——概率统计课后习题答案

经济数学基础——概率统计课后习题答案1⽬录习题⼀ (1)习题⼆ (16)习题三 (44)习题四 (73)习题五 (97)习题六 (113)习题七 (133)1习题⼀写出下列事件的样本空间：(1) 把⼀枚硬币抛掷⼀次；(2) 把⼀枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷⼀枚硬币，直到⾸次出现正⾯为⽌；(4) ⼀个库房在某⼀个时刻的库存量(假定最⼤容量为M ).解 (1) Ω={正⾯，反⾯}　△ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m }掷⼀颗骰⼦的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数⼩于5”，D ＝“⼩于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对⽴事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，C ?D.3. 事件A i 表⽰某个⽣产单位第i 车间完成⽣产任务，i ＝1，2，3，B 表⽰⾄少有两个车间完成⽣产任务，C 表⽰最多只有两个车间完成⽣产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且⽤A i (i ＝1，2，3)表⽰出来. 解 B 表⽰最多有⼀个车间完成⽣产任务，即⾄少有两个车间没有完成⽣产任务.313221A A A A A A B ++=B －C 表⽰三个车间都完成⽣产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB ⽤⼀些互不相容事件的和表⽰出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对⽴的区别何在，举例说明.解两个对⽴的事件⼀定互不相容，它们不可能同时发⽣，也不可能同时不发⽣；两个互不相容的事件不⼀定是对⽴事件，它们只是不可能同时发⽣，但不⼀定同时不发⽣. 在本书第6页例2中A 与D 是对⽴事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否⼀定互不相容?画图说明.解不⼀定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B).因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容，D ?A ?F ，A ?C.8. 袋内装有5个⽩球，3个⿊球，从中⼀次任取两个，求取到的两个球颜⾊不同的概率.解记事件A 表⽰“取到的两个球颜⾊不同”. 则有利于事件A 的样本点数⽬＃A ＝1315C C .⽽组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1 图1－22P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表⽰有利于A 的样本点数⽬与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有⿊球的概率.解设事件B 表⽰“取到的两个球中有⿊球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P － 10. 抛掷⼀枚硬币，连续3次，求既有正⾯⼜有反⾯出现的概率.解设事件A 表⽰“三次中既有正⾯⼜有反⾯出现”, 则A 表⽰三次均为正⾯或三次均为反⾯出现. ⽽抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开⼀个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表⽰“门锁能被打开”. 则事件A 发⽣就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对⽴事件概率⽐较⽅便.12. ⼀副扑克牌有52张，不放回抽样，每次⼀张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花⾊各异；(2)四张中只有两种花⾊.解设事件A 表⽰“四张花⾊各异”；B 表⽰“四张中只有两种花⾊”.，113113113113452##C C C C A ，　C Ω==）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P === 30006048＋74366##)(452　）（.C ΩB B P === 13. ⼝袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹⾓的概率. 解设事件A 表⽰“取出的5枚硬币总值超过壹⾓”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω　，　= 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝ 14. 袋中有红、黄、⿊⾊球各⼀个，每次任取⼀球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全⽩”，C ＝“全⿊”，D ＝“⽆红”，E ＝“⽆⽩”，F ＝“⽆⿊”，G ＝“三次颜⾊全相同”，H ＝“颜⾊全不相同”，I ＝“颜⾊不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝243271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. ⼀间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率.解设事件A 表⽰“有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C 0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +.解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ?A ，求证P (B )≥P (A ）.证∵B ?A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A )∵P (B -A )≥0∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋bP (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中⼀次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A 表⽰“取到废品”，则A 表⽰没有取到废品，有利于事件A 的样本点数⽬为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA －＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ?A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ?A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,?a ≥b ，⼜因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，⽐较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的⼤⼩(⽤不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ?A ?A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. ⼀个教室中有100名学⽣，求其中⾄少有⼀⼈的⽣⽇是在元旦的概率(设⼀年以365天计算).解设事件A 表⽰“100名学⽣的⽣⽇都不在元旦”，则有利于A 的样本点数⽬为＃A ＝364100，⽽样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P = 0.239923. 从5副不同⼿套中任取4只⼿套，求其中⾄少有两只⼿套配成⼀副的概率.解设事件A 表⽰“取出的四只⼿套⾄少有两只配成⼀副”，则A 表⽰“四只⼿套中任何两只均不能配成⼀副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职⼯订阅报纸，93％的⼈订阅杂志，在不订阅报纸的⼈中仍有85％的职⼯订阅杂志，从单位中任找⼀名职⼯求下列事件的概率：(1)该职⼯⾄少订阅⼀种报纸或期刊；(2)该职⼯不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表⽰“任找的⼀名职⼯订阅报纸”，B 表⽰“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学⽣们的数学与外语两科考试成绩，抽查⼀名学⽣，记事件A 表⽰数学成绩优秀，B 表⽰外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB P P (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB P P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独⽴，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ).解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B ) ? 0.7＝0.4＋0.6P ( B )P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，如果A 与B 独⽴，问它们是否互不相容，为什么?解因P ( A )，P ( B )均⼤于0，⼜因A 与B 独⽴，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电⼦元件的寿命在1000⼩时以上的概率为0.8，求3个这种元件使⽤1000⼩时后，最多只坏了⼀个的概率.解设事件A i 表⽰“使⽤1000⼩时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独⽴，事件A 表⽰“三个元件中最多只坏了⼀个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上⾯等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630. 加⼯某种零件，需经过三道⼯序，假定第⼀、⼆、三道⼯序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何⼀道⼯序是否出现废品与其他各道⼯序⽆关，求零件的合格率.解设事件A 表⽰“任取⼀个零件为合格品”，依题意A 表⽰三道⼯序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定⼆者独⽴，现在从外部打电话给该车间，求⼀次能打通的概率；第⼆次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解设事件A i 表⽰“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. ⼀间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每⼈任取⼀副眼镜，求每个⼈都没有拿到⾃⼰眼镜的概率.解设A i 表⽰“第i ⼈拿到⾃⼰眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表⽰“每个⼈都没有拿到⾃⼰的眼镜”. 显然B 则表⽰“⾄少有⼀⼈拿到⾃⼰的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i ) =)41(1213141≤≤=?j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j ) =41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3) =2411213141= 85241241121414)(3424=-?+?-?=C C B P 83)(1)(=-=B P B P 33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取⼀个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3).解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31 P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61 P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3) ＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=- 34. 甲、⼄、丙三⼈进⾏投篮练习，每⼈⼀次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有⼀⼈投中；(2)最多有⼀⼈投中；(3)最少有⼀⼈投中.解设事件A 、B 、C 分别表⽰“甲投中”、“⼄投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独⽴.设A i 表⽰“三⼈中有i ⼈投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452(1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212(3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较⼤，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表⽰“甲在第2n －1次投中”与“⼄在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独⽴.设事件A 表⽰“甲先投中”.+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较⼤.36. 某⾼校新⽣中，北京考⽣占30％，京外其他各地考⽣占70％，已知在北京学⽣中，以英语为第⼀外语的占80％，⽽京外学⽣以英语为第⼀外语的占95％，今从全校新⽣中任选⼀名学⽣，求该⽣以英语为第⼀外语的概率.解设事件A 表⽰“任选⼀名学⽣为北京考⽣”，B 表⽰“任选⼀名学⽣，以英语为第⼀外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个⾏政⼩区，其⼈⼝⽐为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个⼩区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰从A 地任选⼀名居民其为南、北、中⾏政⼩区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表⽰“任选⼀名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. ⼀个机床有三分之⼀的时间加⼯零件A ，其余时间加⼯零件B ，加⼯零件A 时，停机的概率为0.3，加⼯零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表⽰“机床加⼯零件A ”，则A 表⽰“机床加⼯零件B ”，设事件B 表⽰“机床停⼯”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=?+?= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个⼝袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取⼀个球，放⼊与球上号数相同的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，计算第⼆次取到⼏号球的概率最⼤，为什么?解设事件A i 表⽰“第⼀次取到i 号球”，B i 表⽰第⼆次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成⼀个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P 41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P 41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P 61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P 应⽤全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第⼆次取到1号球的概率最⼤.40. 接37题，⽤⼀种检验⽅法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即⼀个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对⽆甲种疾病的⼈⽤此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在⼀次健康普查中，某⼈经此检验法查为患有甲种疾病，计算该⼈确实患有此病的概率.解设事件A 表⽰“受检⼈患有甲种疾病”，B 表⽰“受检⼈被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应⽤贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 01.09965.095.00035.095.00035.0=＋ 25.0=41. 甲、⼄、丙三个机床加⼯⼀批同⼀种零件，其各机床加⼯的零件数量之⽐为5 : 3 : 2，各机床所加⼯的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加⼯好的整批零件中检查出⼀个废品，判断它不是甲机床加⼯的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰“受检零件为甲机床加⼯”，“⼄机床加⼯”，“丙机床加⼯”，B 表⽰“废品”，应⽤贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 7305020＋1030＋06.05.006.05.0== (7)4)|(1)|(11=-=B A P B A P 42. 某⼈外出可以乘坐飞机、⽕车、轮船、汽车4种交通⼯具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这⼏种交通⼯具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅⾏者误期到达，求他是乘坐⽕车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表⽰外出⼈“乘坐飞机”，“乘坐⽕车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表⽰“外出⼈如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0?+?+?+??==0.20943. 接39题，若第⼆次取到的是1号球，计算它恰好取⾃Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应⽤贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=?==B P A B P A P B A P 44. ⼀箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求⽽拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表⽰⼀箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表⽰“抽取的10件中⽆次品”，先计算P ( B )∑++?===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P 37.0)(31)|(0==B P B A P 45. 设⼀条昆⾍⽣产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, … 其中λ＞0，⼜设⼀个⾍卵能孵化为昆⾍的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独⽴的，问此⾍的下⼀代有k 条⾍的概率是多少?解设事件A n ＝“⼀个⾍产下⼏个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该⾍下⼀代有k 条⾍”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n ≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(＞其中q =1－p . 应⽤全概率公式有∑∑∞=∞===k n n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有,2,1,0e )(e e !)()(===--k k p k p B P p pq kk λλλλλ习题⼆1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.2. ⼀箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次⼀件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P m m 依次计算得X 的概率分布如下表所⽰：3. 上题中若采⽤重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取⼀件取到优质品的概率是1/4，取到⾮优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应⽤伯努利公式有{}1694302=??? ??==X P {}1664341112=??==C X P {}1614122=??? ??==X P 4. 第2题中若改为重复抽取，每次⼀件，直到取得优质品为⽌，求抽取次数X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表⽰抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431???? ??-n .因此X 的概率分布为{}?=??==-,2,143411n n X P n 5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次⼀个直到取得新球为⽌，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=?====X P X P {}22091091121233=??==X P {}2201991011121234===X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若⼀次取出3个，求取到的新球数⽬X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P {}2202713122319===C C C X P {}22010823121329===C C C X P {}22084331239===C C X P 7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑-==∞=111n n pp P 解上⾯关于p 的⽅程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n ， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=?+++p p p p p 解⽅程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值.解 ∑=+?++==10015050)10021(1n cc cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为⼀个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1, 且p n ＞0. 所以它可以是⼀个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均⼤于零且不相等并⼜组成等差数列，求X 的概率分布. 解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需⼤于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满⾜条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c .解 {}∑∑∞=-∞====11e !1m mm m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm m m m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ解得λ--=e 11c 13. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，直到有⼀⼈投中为⽌，假定甲、⼄⼆⼈投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)⼆⼈投篮总次数Z 的概率分布；(2)甲投篮次数X 的概率分布；(3)⼄投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表⽰在第i 次投篮中甲投中，j 表⽰在第j 次投篮中⼄投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独⽴.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1?+?=-n,2,13.07.01=?=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1?+=-n，2,13.042.01=?=-n n 14. ⼀条公共汽车路线的两个站之间，有四个路⼝处设有信号灯，假定汽车经过每个路⼝时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停⽌前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第⼀次停车之前已通过的路⼝信号灯数⽬X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864P { X ＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f 问f (x )是否为⼀个概率密度函数，为什么?如果 (1).π23 ,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠?x x ,1d sin 2π0=?x x ⽽在??π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是⼀个概率密度函数.16. ≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，⼜1d e 202=?-∞+x c x c x f (x )是⼀个密度函数 .17. +=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f 问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由.解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==??++a x x a a a a由于x x f d )(?+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ～f ( x )∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解 )arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+??+∞+∞ 解⽅程π2??a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b b arctan π2|arctan π2d )(000==?=＜＜解关于b 的⽅程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电⼦元件的寿命X 是随机变量，概率密度为≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f 3个这种元件串联在⼀个线路中，计算这3个元件使⽤了150⼩时后仍能使线路正常⼯作的概率. 解串联线路正常⼯作的充分必要条件是3个元件都能正常⼯作. ⽽三个元件的寿命是三个相互独⽴同分布的随机变量，因此若⽤事件A 表⽰“线路正常⼯作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=?∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }.解 A x A x A x x 2d e 2d e 10||=?=?=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}??---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的⼆次⽅程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解 4x 2+4xY +Y +2=0.有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，-=.,01||,1)(2其他，＜x x cx f确定常数c ，计算.21||≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x x c==-?=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=≤?-x x x X P23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1. =.,0,10,21)(其他＜＜x x x f{}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解 {}t x X P x F t x d e 21)(||-∞-?=≤=当t ≤ 0时，x t x t x F e 21d e 21)(=?=∞-当t ＞0时，t t t x F tx t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||?+?=?=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P .解 a x a x x a ==?+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12 因此a =1x x t t t x F ∞-∞-=?+=arctan π1d )1(π1)(2 x arctan π121+= {}?+=?+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：≤-=.2,02,1)(2x x x A x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A {}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜28. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee x x A -+确定A 的值；求分布函数F ( x ) . 解 ?+=?+=∞∞-∞∞--x A x A x x x x d e 1e d e e 12 A A x 2πe a r c t a n ==∞∞- 因此 A ＝π2， xtx t t t x F ∞-∞--=+=?e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ～f ( x )，=.,00,π2)(2其他＜＜a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==?= 因此，a = π当0＜x ＜π时，=x x t t x F 0222πd π2)( 其他≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax ++-≤=-求X 的概率密度并计算a X P 10＜＜.解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )≤=-.0,e 2,0,0)(23＞　x x a x x f ax(1010F a F a x P a x P -=≤=?＜＜＜08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X ＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,31=n nY =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31n ＝1 , 2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,a x y hb y a y h x y 1)(,)(1)(='='-==],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，⽆论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 ,2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ). 解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos y h′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π . 因此 -=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1 , f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有.,0,e 1,1)(其他　＜＜y y y f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z 36. 随机变量X ～f ( x ) ，≤=-0,00,e )(x x x f x ＞ Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z 21 ≤=-.0,00e 21)(z ，z z z f z z ＞ 37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X , Z = X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在?? -2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y yy f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布. z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-. 因此当z ＞0时， )1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-= ??≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z = X1 与X 同分布. 38. ⼀个质点在半径为R ，圆⼼在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) . 解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是⼀个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l R l f L M 点的横坐标X 也是⼀个随机变量，它是弧长L 的函数，且 X ＝ R cos θ＝ R cos RL 函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝ R arccos Rx 22xR R l x --=' 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(xR R x R R x f X -=?--= 当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=?+?+?=EX 亦可从X 服从超⼏何分布，直接计算2120521=?==N N n EX 在第3题中21161216611690=?+?+?=EX 亦可从X 服从⼆项分布(2，41)，直接⽤期望公式计算： 21412=?==np EX 在第5题中图2-1(1) 3.122014220934492431=?+?+?+?=EX (2) 3.022013220924491430=?+?+?+?=EY 在第6题中，25.2220843220108222027122010=?+?+?+?=EX 在第11题中，??+++ -=d 313312d 311EX 31 ｜＜d ＜｜0 d 22+= 40. P { X = n } =nc , n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX . 解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑?==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的⽐为1 : 2 : 3，计算EX . 解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 }＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=?+?+?-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞?收敛，因此0d e 5.0||=?=-∞+∞-x x EX x n n 当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-?=?=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=?=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，-≤≤=.,0,21,2,10,)(＜＜x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解 x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101?-+?=?=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f b b ,c 均⼤于0，问EX 可否等于1，为什么?其他其他。

本科概率1-全概,习题课(白底)

概率统计第一章习题课
习题一
4. 从一副扑克牌的张黑桃中，有放回抽三次， 13 求取出的三张牌中: (1)没有同号的概率； (2)有同号的概率.
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 133
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 1 − P( A) = 1 − 133
5.某城市有A, B, C三种报纸.在居民中, 订A报的占 45%, 订B报的占35%, 订C报的占30%,同时订A与 B报的占10%,同时订A与C报的占8%,同时订B与 C报的占5%,同时订A, B与C报的占3%, 求下列概率：
P ( A3 ) = P ( H1H2 H3 )
加法公式独立性
P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14. P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 × 即飞机被击落的概率为0.458. 即飞机被击落的概率为
P( (1)只订A报的； AB C ) = P( A) − P( AB) − P( AC) + P( ABC ) = 0.3
(2)只订A与B报的； P( ABC ) = P( AB) − P( ABC ) = 0.07 (3)只订一种报的； P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.73 (4)恰好订两种报的；P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.14
∑ P( A ) P( B｜A )
k =1 k k
3
将这里得到的公式一般化，将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式

概率论第一章习题课

概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。

概率统计课后习题解答第1章

21．某车间有 5 台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1/3，试分别求在任一时刻车间里有 0，3，5 台车床处于停车状态的概率. 解：此题为 5 重伯努利概型。 22.设甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为 0.7 和 0.6，现每人投篮三次，试求：（1）两人进球数相等的概率。（2）甲比乙进球数多的概率。解：设甲、乙两人的进球数分别为 x 和 y，则（ 1） 1 1 P( X Y ) 0.330.43 C3 0.7 0.32 C3 0.6 0.42 C32 0.7 2 0.3 C32 0.62 0.4 0.730.63 0.321 （ 2） 1 1 P( X Y ) C3 0.7 0.32 0.43 C32 0.7 2 0.3(0.43 C3 0.6 0.42 ) 3 3 1 2 2 2 0.7 (0.4 C3 0.6 0.4 C3 0.6 0.4) 0.436 23．一商店出售的某种型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的 50%，另两家工厂的产品各占 25%，已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为 0.90、0.80、0.70，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率。解：设 A 表示随意取出一只晶体管是合格品，Bi（i=1,2,3）分别表示取出的产品由甲、乙、丙厂家生产，则由全概率公式有
P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 r.
12.已知 P(A)=0.7; P( A B )=0.3，试求 P( AB )。解：由 P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.7 P( AB) 得 P( AB) 0.7 0.3 0.4 ，从而 P( AB )=10.4 = 0.6。注意：教材上题目印刷错误 13.盒中有 10 小球，其中有 4 个是红色，从中任取两球，已知取出的两球至少有一个是红色，求另一球也是红色的概率。解：设取出的两球至少有一个是红色用 A 表示，则 P( A) P( A1 ) P( A2 )

概率论与数理统计随机变量及其分布习题课

2
01 排列及其逆序数
解以X表示此人外出时电话铃响的次数, 由题意知X~π(2t), t表示外出的总时间，则X的的分布律为
当t=10/60=1/6时，（1）
，故所求概率为
（2）设外出最长时间为t（单位：h），因为X~π(2t)，
3
01 排列及其逆序数
因此无电话打进的概率为
，
要使
即
，
解之得
0.3466小时约为21分钟，因此，某人应控制外出时间小
16
01 排列及其逆序数
ꢀ例8 设随机变量
,记
，则A. p随着 μ的增加而增加
C. p随着μ的增加而减少
B. p随着 σ的增加而增加 D. p随着σ的增加而减少
解
因为为单调增函数, p σ
,
所以随着的增加而增加
应选B.
17
01 排列及其逆序数
ꢀ例9 测量某距离时,随机误差X(单位:cm)具有密度函数：
则性。
6
01 排列及其逆序数 ꢀ例3 设随机变量X的概率密度为为X的分布函数, 求解由题意知,X的分布函数为
因此，
F(x)
7
01 排列及其逆序数 ꢀ例4 设某加油站每周补给一次油,如果这个加油站每周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为
试问该加油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概率控制在5%以下?
，求
解当y≤0时,Y的密度函数为当y>0时,Y的分布函数为
的分布. ；
对上式两边关于y求导，得
20
01 排列及其逆序数即
这是伽玛分布
的概率密度函数.
21
01 排列及其逆序数
ꢀ例11 设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A 之间.若此电流通过2Ω的电阻,在其上消耗的功率W=2I2, 求W的概率密度.

概率论与数理统计习题课1

（1）有机床需要工人照管的概率；
（2）机床因无人照管而停工的概率.
解：设 A 机床甲不需要工人照顾， B 机床乙不需要工人照顾， C 机床丙不需要工人照顾，
依题意，A、B、C 相互独立。
2019/7/17
16
第1章习题课
（1） P( A B C ) P( ABC )
)

1

29 90

61 90
.
3
P(B1B2 ) P( Ai )P(B1B2 | Ai )
i 1
1 ( 3 7 7 8 5 20) 2 . 3 10 9 15 14 25 24 9
2019/7/17
21
第1章习题课
从而
P ( B1
|
B2 )

P(B1B2 ) P(B2 )
于是 P( A) p 0.25(1 p) p [0.25(1 p)]2 p .
这是一个几何级数求和问题。由于公比
0 0.25(1 p) 1，该级数收敛。
P( A)
p
.
1 0.25(1 p)
若甲乙胜率相同，则
p
0.5 p 3 .
1 0.25(1 p)
i 1,2,3,.
A 甲获胜，
B 乙获胜，
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18
第1章习题课
则 A A1 A1B2B3 A4 A1B2B3 A4B5B6 A7 ;
P( A1 ) p ; P( A1B2B3 A4 ) 0.25(1 p) p ; P( A1B2B3 A4B5B6 A7 ) [0.25(1 p)]2 p ;

概率统计教案2章习题课二

出版社，2015 年 8 月.
参 [3] 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘：概率论与数理统计教案、作业册与
考
试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8
文
月.
献 [4] 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术
出版社，2007 年 7 月.
联系方式：zhengone@
k
讲评这两条性质常用来判断一个数列{pk}是否是某个离散型随机变量的概率分布, 或者确定概率分布中的待定参数. 只有 pk同时满足上述两条性质, 数列{pk}才能作为某个离散型随机变量的分布律.
2. 伯努利概型在 n 重伯努利试验中, 事件 A 恰好发生 k 次的概率为
P{X=k}= Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n . 讲评 n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型. 它有广泛的应用, 是研究与应用最多的模型之一. 3. 分布函数设 X 是一个随机变量(包括离散型及非离散型). x 是任意实数, 定义
《概率论与数理统计》教案第二章习题课郑一，戚云松，陈倩华，陈健编著大连理工大学出版社出版
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题
第二章随机变量及其概率分布内容习题课
目
课时：2
与
课
时
(1) 熟练计算离散型随机变量及其概率分布问题；
教 (2) 熟练计算连续型随机变量及其概率密度问题；学 (3) 熟练计算随机变量的分布函数；目 (4) 熟练计算随机变量函数的概率分布问题。的
(4) 若 f (x) 在点 x 处连续, 则有 ′F x ( ) = f ( ) x ; (5) 对连续型随机变量 x，总有P{X =a} =0 < ∞ − ,a ∞+ <. 讲评性质(1)和(2)是连续型随机变量的概率密度 f (x) 必须具有的特性, 常用来检查某一函数 f (x) 是否是连续型随机变量的概率密度. 性质(3)和(4)是由概率密度的定义导出的性质. 性质(3)和(4)表明：随机变量 X 落在区间 (a,b] 内的概率等于曲线 y f (x) 与 x=a, x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积. 性质 (5)表明：对于连续型随机变量 X , 总有

概率统计习题课1

求(1)参数A; (1)参数A 参数 (2)分布函数F(x); (2)分布函数F(x); 分布函数F(x) (3)落入区间[0,π/4]的概率. (3)落入区间[0,π/4]的概率. 落入区间[0, 的概率 (4)下面方程有实根的概率. (4)下面方程有实根的概率. 下面方程有实根的概率
大卫: 大卫:思索者
例1:设A,B是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 求P(B). P(B).
P( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) P( AB )
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) P( A) P( B)
∫
bHale Waihona Puke af ( x)dx = ∫ cos xdx = sin b sin a
a
b
练习5 下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数? 练习5:下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数?( )
0 x < 0 2 x ( A) F ( x) = 0 ≤ x <1 2 1 x ≥ 1
ln(1 + x) (C ) F ( x) = 1 + x 0
X 1 ~ b ( 20, 0.01) .
P{ X 1 ≥ 2} = 1 P{ X < 2} = 1 P{ X = 0} P{ X = 1} = 0.0169
80台设备不能得到及时维护 P"80台设备不能得到及时维护" 80台设备不能得到及时维护" = P( A ∪ A ∪ A ∪
1 2 3
(1 P( A) ) P( B) = P( A ∪ B) P( A)
P ( A ∪ B ) P ( A) 1 P( B) = = 1 P ( A) 3

概率论与数理统计(经管类)课后习题_第一章

P (A3|B) =
PB
%% .
通过计算得出第二产成产的概率最大.
0.2319
习题 1.4
1. 设 P(A)=0.4, P A B (1) A 与 B 互不相容; (2) A 与 B 相互独立;
(3) A B. 解: (1) P(B)= P A B
0.7,求在下列条件下分别求 P(B): P A 0.7 0.4 0.3;
(2)P A B (3) P A B
1 P A P B ,P B 1
PA B PA
P A P B P AB P A P B
1 0.5 0.5; P A =0.7.
2. 甲乙两人独立地各向同一目标射击一次,其中命中率分别为 0.6 和 0.7,求目标被命中的概率.若已知
目标被命中,求它是甲射中的概率.
P =
AB
=P
A
P AB = .
.
0.4
PA
PA
.
3.设 P(A)= ,P(B|A)= , P(A|B)= ,求 P A B
解:P(AB)= P(A)* (B|A)=
,
P AB
P(B)=
P A|B
PA B
PA
PB
P AB
11 1 4 6 12
1 3
4.设P A 0.3, P B
解: P B|A B
0.4, P AB 0.5, 求 P B|A B .
11.设 P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(A‐B)=0.3,求P AB , P A B , P AB . 解: P AB 1 P AB 1 P A P A B 1 0.4 0.6 P A B P A P B P AB P A P B P A P A B P AB 1 P A B 1 0.9 0.1

习题课2

e−5 ⋅ 5k ≈∑ ≈ 0.986305. k! k=0
点评: 点评保险业是概率论的生长点和重要应用领域之一. 本例为简化起见, 不计利息与管理费. 域之一本例为简化起见不计利息与管理费
13
设随机变量X 在区间[2，上服从均匀例7 设随机变量在区间，5]上服从均匀分布，现对X 次独立观测，分布，现对进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率的概率。两次观测值大于的概率。设随机变量Y 解设随机变量是3次独立观测中观测值大次独立观测中观测值大的次数, 于3的次数则 Y ~ B(3, p),其中p是X大于3的概率. 的次数由题意知 X 的概率密度为
P( Ak ) = P( X = k) =
1 k 对k ≥ 1, P(B Ak ) = ( ) , 2 λk −λ 1 k P( Ak B) = P( Ak )P(B Ak ) = e ⋅ ( ) , k! 2
10
k!
e , k = 0,1,2,⋯
∴P(B) = P ∑Ak B = ∑P( Ak B) k=1 k=1
X − 200 P( A ) = P{X ≤ 200} = P ≤ −0.8 1 25 =φ−0.8) = 0.212; ( φ P( A2 ) = P{200 ≤ X ≤ 240}= 2 (0.8) − 1 = 0.576;
15
P( A3 ) = 1 − P( A ) − P( A2 ) = 0.212. 1
1
一般要学会做三类习题：一般要学会做三类习题： ①利用某些已知条件求出随机变量的分布律或密度函数；密度函数；利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率； ②利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率；利用分布律或密度函数，求出分布函数。 ③利用分布律或密度函数，求出分布函数。 4. 二维随机变量及其联合分布函数；二维随机变量及其联合分布函数；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维连续型随机变量及其联合概率密度。二维连续型随机变量及其联合概率密度。 5. 二维随机变量的边缘分布和条件分布。二维随机变量的边缘分布和条件分布。 6. 随机变量的相互独立性。随机变量的相互独立性。 7. 随机变量函数的分布。随机变量函数的分布。

概率论与数理统计第二章习题课

y 1 e
2 x单调，反函数为：1 x ( y ) ln(1 y ) 2 1 x ( y ) 2(1 y )
1 2e ln(1 y ) 2(1 y ) 0 1 0 y 1 其它 0
返回下页结束
0 y 1 其它
下页
结束

（二）概率分布已知，相关问题的计算４．设离散型随机变量Ｘ的概率分布为
X p 0 0.25 1 0.2 3 α 7 0.3
求（１）α；（２）分布函数；（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝
解：(1)由 pk 1
k
得α＝0.25
x0 0 0.25 0 x 1 0.45 1 x 3 0.7 3 x 7 x7 1
典型例题
一、离散型随机变量（一）求概率分布 1.一批零件有９件合格品，３件次品，安装机器时，从中任取一个，直到取到正品，就下列两种取样方式 a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数Ｘ的概率分布．
2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次，求试验次数Ｘ的概率分布．
3. 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p (0＜p＜1），
(3) f ( x) F ( x)
x 2 xe , x 0 x0 0,
2
解：(1)利用F(+∞)=1,及F(x)
在x=0处的连续性得： A=1 A+B=0 所以Ａ＝１，B= -1
１－e 即：F ( x) 0,
x2 2
,x0 x0
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, k 2,3,
3. 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p (0＜p＜1），
设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。

第4,5章习题课1概率统计

第四、五章习题1、已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(---=x x e x f π试求X 的数学期望和方差。

2. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N (1,2)，Y ~N (0,1)，求Z =2X -Y +3的概率密度。

3. 已知随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=--⨯-0202)(822222x e a x ae e a x f x x xππλ 其中常数a >0，λ>0未知，且知E (X )=1。

求常数a ，λ。

4. 设X ，Y 是两个互相独立且均服从正态分布))21(,0(2N 的随机变量，求E (|X -Y |)，D (|X -Y |)。

5. 现有n 个袋子，每袋装有a 只白球和b 只黑球(a >0，b >0)，先从第一个袋中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋中，照这种办法依次摸下去，最后从第n 个袋中摸出一球，并记下颜色。

若在这n 次摸球中所得的白球总数为S n ，求E (S n )。

6．袋中有N 个球，其中白球数X 是随机变量，且知其数学期望E (X)=n ，(n ≤N )。

今从袋中随机摸一球，求获得白球的概率。

7．设随机变量X 在[0,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，且X 与Y 相互独立，试求E (XY )，D (XY )。

8. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求E (X +e -2X )9. 设随机变量X 在[-1,2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01000,1X X X Y 求D ( Y ).10．已知随机变量⎩⎨⎧>>=+-其他 000, y x e )y ,x (f ~)Y ,X ()y x ( 求：E (X )，E (XY )，P (X <Y )，又问X 与Y 是否相关？11. 设二维随机变量（X ，Y ）的密度函数为)],(),([21),(21y x y x y x p ϕϕ+= 其中),(1y x ϕ，),(2y x ϕ都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。

概率统计习题课八xin

2
R = X ≥ 1.96 ，试证样品容量 n 应取 25
由已知条件，证明: 由已知条件，若 H 0为真 Z =
其拒绝域为
X
{
}
Z ≥ zα 2 ,
R=
zα 2
σ n = z 0.025 = 1.96
~ N (0,1)
即
X ≥ Zα 2 ⋅ σ
而题中知拒绝域
{ X ≥ 1.96}
n = 1.96 ⋅ 5 / n
知拒绝域为
X − 70 t= ≥ tα / 2(n − 1), S/ n
由 n = 36, X = 66.5, S = 15, t 0.025 ( 35) = 2.0301,
X − 70 66.5 − 70 得t = = = 1.4 < 2.0301, S/ n 15 / 36 所以接受 H 0 , 认为全体考生的平均成绩是70分.
数理统计
解已知 X = 101, n = 10, S = 2, α = 0.05
由题意（1）、需检验
H 0 : µ = 100 ↔ H1 : µ ≠ 100
拒绝域
t =
X − 100 S n
≥ t α 2 ( 9) tα 2 (9) = 2.2622
接受H 0
X − 100 t = = 1.5 < 2.2622 S n
拒绝域为
t ≥ tα / 2(n1 + n2 − 2).
由 t0.025 (10 + 8 − 2) = t 0.025 (16) = 2.1199,
9 × 40.96 + 7 × 14.44 S = = 29.3575, S w = 5.418, 16 X −Y 27.3 − 30.5 得t = = = 1.245 < 2.1199, 1 1 5.418 × 0.474 Sw + n1 n2 所以接受 H 0 , 认为抗折强度的期望无显著差异.

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答第一章随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.13.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ⋃B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ⋃B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生女生北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324．袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球红球甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z Pα723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为3122 0 122 则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______.iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y 解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是 (A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D)y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数:))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.1310)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P 1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P 1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii.13)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ 其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时D 1z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219921811811)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅(i = 1, 2, …, n) 又设∑==ni i X X 1, 则27)()()(11nX E X E X E ni i ni i ===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 000<=>X X X , 则方差D(Y) = _______.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤-xY因为 33)0()1(20==>==⎰dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P3131)0()1(01==<=-=⎰-dx X P Y P于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=-=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010, 则∑==31i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______.解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0.8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ 其它10≤≤x , ⎩⎨⎧=--0)()5(y e y ϕ 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 322)()(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞-dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-==4639441262=⨯+⨯+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(22=-=Y E X E UV E .所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=--=--++=++=p p p p p p p x p x p x X E 7.0221=+p p9.5)1(94)(21213232221212=--++=++=p p p p p x p x p x X E 1.35821=+p p解得 p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y≥ μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2 (C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2 解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ-=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) =)()()])([(22Y E X E Y X Y X E -=-+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E - 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑∞=∞=-∞=+ 2222)11()1()1(a aa a a a a f =+-+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+-+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E∑∑∑∞=∞=+∞=+-+++=+-++=11111)1()1(11)1()1()1(k kkk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=-∞= 23)1(2)11(12)1(a a a a a aa a f +=+-+=+,所以2222)1(211)(a a a a a aX E +=-+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=-+=-=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2xx πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===⎰⎰-∞+∞-πππϕxdx xdx x x X E⎰-=-=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 122222-=+=⎰πππdx x x 3.求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 25.015.0)1(40.0145.002)(sin =⨯-+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎪⎭⎫⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =2P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+-04),()(22y xxye y x ϕ其它0,0>>y x求)(22Y X E +. 解. ⎰⎰⎰⎰>>+-∞+∞-∞+∞-+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞+-rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ 其它l x ≤≤0, Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0(X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ 其它l y x ≤≤,0.又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤ x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l }⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=∞+∞-∞+∞-21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ⎰⎰⎰⎰-+-=l y lxdy dx x y l dx dy y x l2002])([1])([13212122022ldy y l dx x ll l=+=⎰⎰ 6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =-=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =-=-=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<-∞=--x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+∞--dt te t ||21+μμμ==⎰⎰∞+-∞+∞--0||21dt e dt e tt⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+-02dt e t t+20022μμμ+==⎰⎰∞+-∞+-dt e dt e t t所以 22)]([)()(2222=-+=-=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x 其它122≤+y x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).解. 01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=-=X E X E X D , 41)]([)()(22=-=Y E Y E Y D0)()()()()(=-=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8)33.0)8.0()0(5===X P , 41.0)8.0(2.05)1(4=⨯⨯==X P20.0)8.0(2.0)2(3225=⨯⨯==c X P , 06.020.041.033.01)3(=---=≥X P又设YE(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度)(t f 、数学期望和方差.解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=-05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度: ⎩⎨⎧≥≥=+-,00,0,25),()(5y x e y x f y x关于T 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)(当 0<t 时⎰⎰⎰⎰≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)(当 0≥t 时⎰⎰⎰⎰≥≥≤++-≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x x t y t x te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525----------=-==⎰⎰⎰所以 ⎩⎨⎧<≥--=--0,00,51)(55t t te e t F t t T所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==-0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ⎰⎰∞+∞-∞+-===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以⎰⎰∞+∞-∞+-=-=-=-=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT第四章大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤ _______. 解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理:。

习题课4

第二步: 第二步对似然函数取对数 ln L(θ ); 第三步:对求导并令其等于0, 得似然方程(组第三步对ln L(θ )求导并令其等于得似然方程组) 第四步: 求解似然方程. 第四步求解似然方程注：当似然方程无解的时候, 应直接寻求当似然方程无解的时候使似然函数达到最大的解求得极大似然估计。使似然函数达到最大的解求得极大似然估计。
2
n
n
2 i
− nX .
2
点评：以上公式极其简单点评：以上公式极其简单, 却是统计学中常用公式, 务必熟记. 用公式务必熟记
9
是取自正态总体N(0, 22)的例2 设X1, X2, X3, X4是取自正态总体的一个样本, 一个样本令
Y = a ( X 1 − 2 X 2 )2 + b( 3 X 3 − 4 X 4 )2 ,
1 . F −α (n1, n2 ) = 1 F (n2 , n1 ) α
2
4. 两个抽样分布定理的重要结论两个抽样分布定理的重要结论: 单个正态总体): 单个正态总体 Th6.2.4 (单个正态总体 2 X −µ (n − 1)S2 σ ~ t(n − 1); ~ χ 2 (n − 1). X ~ N(µ , ); σ2 n S n 两个独立正态总体): 两个独立正态总体 Th6.2.5 (两个独立正态总体
1 1 Y1 = ( X 1 + X 2 + ⋯ + X 6 ), Y2 = ( X 7 + X 8 + X 9 ), 6 3 1 9 2 2 2(Y1 − Y2 ) S = ∑ ( X i − Y2 ) , Z= . 2 i =7 S
证明：证明：Z ~ t (2) . 点评：点评：历史上研究生入学试题. 历史上研究生入学试题

概率统计习题课一

生产的概率? 解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:
P( A1 | B)
P( A1 )P(B | A1 )
5
• P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，求P(A-B).
• P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(s -AB)
• P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0， P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。
• A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等， P(A)=p，求P(B).
（3）有利于事件C的基本事件数为62-2×2=32，P（C）=32/36=8/9
注意①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢？
3
• AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件的概率。
解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
=（4/10）×（3/9）+（6/10）×（4/9）
= 6/15
12 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲
厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.
=0.8×0.7×0.4=0.224

概率统计第一章习题课

14
1.39、某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间以后，发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根火柴的概率．
15
第七讲第一章习题课
1
1.4、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数字（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完 0 全不相同的数字组成的概率。 1.5、把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率。
2
1.6、为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率。 1.8、将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率： ⑴A——任意3个盒子中各有1个球； ⑵B——任意1个盒子中有3个球； ⑶C——任意1个盒子中有2个球，其它任意1个盒子中有1个球。
11
1.38、射击运动中，一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在五次独立射击中得到不少于48的概率。
12
1.20、在习题1.7中，求北家分到的13张牌中： ⑴至少缺一种花色的概率； ⑵四种花色都有的概率。
5
பைடு நூலகம்
1.17、设P（A）＞0，P（B）＞0，将下列四个数：P（A），P（AB），P（A∪B），P （A）+P（B），按由小到大的顺序排列，用符号≤联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。 1.21、袋中有a个白球与b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不放回，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。
1.34 1.34、甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中，则飞机击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机击落的概率是0.6；如果有三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。

概率统计习题课

概率统计习题课⼀随机事件及其概率1. ,,A B C 为三个随机事件，事件“,,A B C 不同时发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C 都不发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C ⾄少发⽣两件”可表⽰为。

2．从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是，事件“其中⼀个数是另⼀个数的两倍”的概率是。

3. 有r 个球，随机地放在n 个盒⼦中(r n ≤)，则某指定的r 个盒⼦中各有⼀球的概率为_ __ __。

4．把3个球随机放⼊编号为1,2,3的三个盒⼦(每个盒⼦能容纳多个球)，则三个盒⼦各放⼊⼀球的概率是___________。

5. 设,A B 为随机事件，()0.7P A =, ()0.3P A B -=,则()P A B =__ ___。

6．事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣，且()0.1,()0.2,P A P B ==，则()P A B =____。

7. 盒中有6个⼤⼩相同的球，4个⿊球2个⽩球，甲⼄丙三⼈先后从盒中各任取⼀球，取后不放回，则⾄少有⼀⼈取到⽩球的概率为___________。

8. 甲⼄两个盒⼦，甲盒中有2个⽩球1个⿊球，⼄盒中有1个⽩球2个⿊球，从甲盒中任取⼀球放⼊⼄盒，再从⼄盒中任取⼀球，取出⽩球的概率是。

9．某球员进⾏投篮练习，设各次进球与否相互独⽴，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮⾄少投中⼀次的概率是，则他的投篮命中率是。

10. 将⼀枚硬币抛掷3次，观察出现正⾯（记为H ）还是反⾯（记为T ），事件A ={恰有⼀次出现正⾯}，B ={⾄少有⼀次出现正⾯}，以集合的形式写出试验的样本空间Ω和事件,A B ，并求(),(),()P A P B P A B11. 已知()0.1,()0.2P A P B ==，在下列两种情况下分别计算()P A B 和()P A B ：(1) 如果事件,A B 互不相容； (2) 如果事件,A B 相互独⽴。

12. 盒中有3个⿊球7个⽩球，从中任取⼀球，不放回，再任取⼀球，(1)若第⼀次取出的是⽩球，求第⼆次取出⽩球的概率 (2)两次都取出⽩球的概率 (3) 第⼆次取出⽩球的概率 (4) 若第⼆次取出的是⽩球，求第⼀次取出⽩球的概率。

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