图定义和基本术语
机械制图基本常及术语
机械制图基本常识一、制图1、机械制图是用图样确切表示机械的结构形状、尺寸大小、工作原理和技术要求的学科。
图样由图形、符号、文字和数字等组成，是表达设计意图和制造要求以及交流经验的技术文件，常被称为工程界的语言。
2、在机械制图标准中规定的工程有：图纸幅面及格式、比例、字体和图线等。
在图纸幅面及格式中规定了图纸标准幅面的大小和图纸中图框的相应尺寸。
比例是指图样中的尺寸长度与机件实际尺寸的比例，除允许用1:1的比例绘图外，只允许用标准中规定的缩小比例和放大比例绘图。
3、机械图样主要有零件图和装配图，此外还有布置图、示意图和轴测图等。
零件图表达零件的形状、大小以及制造和检验零件的技术要求；装配图表达机械中所属各零件与部件间的装配关系和工作原理；布置图表达机械设备在厂房内的位置；示意图表达机械的工作原理，如表达机械传动原理的机构运动简图、表达液体或气体输送线路的管道示意图等4、表达机械结构形状的图形，常用的有视图、剖视图和断面图（旧称剖面图）等。
视图是按正投影法即机件向投影面投影得到的图形。
按投影方向和相应投影面的位置不同，视图分为主视图、俯视图和左视图、右视图、仰视图、后视图等，布局如下：仰视图右视图主视图左视图后视图俯视图如果是标准视图布局，不需标注视图名称，如不能按标准视图排列，应在视图上方标出视图名称“X”向，在相应的视图附近用箭头指明投影方向，并注上同样的字母。
视图主要用于表达机件的外部形状。
图中看不见的轮廓线用虚线表示。
机件向投影面投影时，观察者、机件与投影面三者间有两种相对位置。
机件位于投影面与观察者之间时称为第一角投影法。
投影面位于机件与观察者之间时称为第三角投影法。
两种投影法都能同样完善地表达机件的形状。
中国国家标准规定采用第一角投影法。
剖视图是假想用剖切面剖开机件，将处在观察者与剖切面之间的部分移去，将其余部分向投影面投影而得到图形。
剖视图主要用于表达机件的内部结构。
剖面图则只画出切断面的图形。
第7章图_数据结构
v4
11
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图的概念（3）
子图——如果图G(V,E)和图G’(V’,E’),满足：V’V，E’E 则称G’为G的子图
2 1 4 3 5 6 3 5 6 1 2
v1 v2 v4 v3 v2
v1 v3 v4
v3
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12
图的概念（4）
路径——是顶点的序列V={Vp,Vi1,……Vin,Vq}，满足(Vp,Vi1),
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本章目录
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构
7.2.1 数组表示法 7.2.2 邻接表 （ *7.2.3 十字链表 7.3.1 深度优先搜索 7.3.2 广度优先搜索 7.4.1 图的连通分量和生成树 7.4.2 最小生成树
*7.2.4 邻接多重表 ）
7.3 图的遍历
连通树或无根树
无回路的图称为树或自由树 或无根树
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18
图的概念（8）
有向树：只有一个顶点的入度为0，其余 顶点的入度为1的有向图。
V1 V2
有向树是弱 连通的
V3
V4
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19
自测题
7. 下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是
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29
图的存贮结构：邻接矩阵
若顶点只是编号信息，边上信息只是有无（边），则 数组表示法可以简化为如下的邻接矩阵表示法: typedef int AdjMatrix[MAXNODE][MAXNODE];
*有n个顶点的图G=(V,{R})的邻接矩阵为n阶方阵A,其定 义如下：
1 A[i ][ j ] 0
【北方交通大学 2001 一.24 （2分）】
离散数学中的图论着色算法-教案
离散数学中的图论着色算法-教案一、引言1.1图论的发展历程1.1.118世纪欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，奠定图论基础。
1.1.219世纪图论在数学和物理学领域得到发展。
1.1.320世纪图论在计算机科学中扮演重要角色。
1.1.4当前图论研究涉及网络科学、社会网络等多个领域。
1.2图论的基本概念1.2.1图由节点和边组成，用于表示物件与物件之间的关系。
1.2.2节点代表研究对象，边代表节点间的联系。
1.2.3图分为有向图和无向图，反映关系的方向性。
1.2.4图的度、路径、环等是图论中的基本术语。
1.3图论在现实中的应用1.3.1社交网络分析，如Facebook的社交图谱。
1.3.2电信网络设计，如电话网络的布局。
1.3.3交通运输规划，如航班路线的优化。
1.3.4计算机网络设计，如互联网的结构优化。
二、知识点讲解2.1图的着色问题2.1.1图的着色是将图中的节点用颜色进行标记，满足相邻节点颜色不同。
2.1.2着色问题分为正常着色和特定着色，如双色着色、列表着色等。
2.1.3着色问题在图论中具有重要地位，与图的性质紧密相关。
2.1.4着色问题广泛应用于地图着色、排课表、寄存器分配等领域。
2.2图的着色算法2.2.1Welsh-Powell算法，基于节点度进行着色。
2.2.2DSATUR算法，优先着色度数大且邻接节点着色多的节点。
2.2.3RLF算法，考虑节点邻接矩阵的行、列和节点度。
2.2.4图的着色算法不断发展，如启发式算法、遗传算法等。
2.3图的着色算法的应用2.3.1地图着色，确保相邻区域颜色不同。
2.3.2课程表安排，避免时间冲突。
2.3.3计算机寄存器分配，优化资源利用。
2.3.4光纤通信网络设计，减少信号干扰。
三、教学内容3.1图的着色问题的引入3.1.1通过地图着色实例引入图的着色问题。
3.1.2讲解正常着色和特定着色问题的区别。
3.1.3分析着色问题在现实中的应用场景。
3.1.4引导学生思考着色问题的数学模型。
第二十九讲心得体会
第二十九讲心得体会在这一讲中，我们学习了关于数据结构中的图的相关知识。
图是一种非常重要的数据结构，它可以用来描述各种各样的问题，比如网络、地图、社交网络等等。
在这篇文章中，我将分享我对这一讲的一些心得体会。
图的定义和基本术语首先，我们需要了解图的定义和基本术语。
图是由一组节点和一组边组成的。
节点也被称为顶点，边用来连接节点。
图可以分为有向图和无向图。
在有向图中，边有方向，而在无向图中，边没有方向。
我们还需要了解一些基本术语，比如路径、环、连通性等等。
图的表示方法在实际应用中，我们需要用计算机来表示图。
有两种常见的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间的连接关系。
邻接表则是一个链表数组，其中的每个链表表示一个节点的邻居节点。
邻接表比邻接矩阵更加节省空间，但是在查找某个节点的邻居节点时需要遍历链表，因此在某些情况下邻接矩阵更加高效。
图的遍历图的遍历是指从图中的某个节点出发，访问图中所有节点的过程。
有两种常见的遍历方法：深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历是从某个节点开始，尽可能深地访问节点，直到到达没有未访问过的邻居节点为止。
广度优先遍历则是从某个节点开始，先访问所有的邻居节点，然后再访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
深度优先遍历和广度优先遍历都可以用递归或者栈来实现。
最短路径最短路径是指从图中的一个节点到另一个节点的最短路径。
最短路径可以用广度优先遍历来实现。
我们可以用一个队列来存储当前节点的邻居节点，然后依次访问队列中的节点，直到找到目标节点为止。
在访问节点时，我们需要记录节点的深度，以便在找到目标节点后返回最短路径。
拓扑排序拓扑排序是指将有向无环图中的节点按照一定的顺序排序的过程。
拓扑排序可以用来解决很多实际问题，比如编译器的依赖关系分析、任务调度等等。
拓扑排序可以用深度优先遍历或者广度优先遍历来实现。
最小生成树最小生成树是指在一个连通的无向图中，找到一棵包含所有节点的生成树，并且这棵生成树的边权值之和最小。
数据结构图
所以：对于点多边少的稀疏图来说，采用邻接表 结构使得算法在时间效 率上大大提高。
16
3/12
广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS ） BFS类似于树的层序遍历； 用一个数组用于标志已访问与否，还需要一个工作队列。
【例】一个无向图的BFS
8
6
CD
4
7
HG
BA
邻接多重表(Adjacency Multilist)
9
边表
• 在某些应用中，有时主要考察图中边的权值以及所依附的 两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结 构。
• 边表结构采用顺序存储，用2个一维数组构成，一个存储 顶点信息，一个存储边的信息。边数组的每个元素由三部 分组成：
– 边的起点下标 – 边的终点下标 – 边的权值
1
A [i][
j]
0
如果 (vi , v j ) 或 vi , v j G的边 其它
无权图的邻接矩阵表示示例
V1
V2
V0
3
V3
4 12/15
带权图的邻接矩阵的定义
A [i][ j] wij
如果 (vi , vj ) 或 vi , v j G的边 其它
带图权的图邻的接邻矩接阵矩表阵示表示示例示[例例6.9]
1
第一部分 图的定义和术语
2
图的定义
“图” G可以表示为两个集合：G =（V, E）。每条 边是一个顶点对（v, w） E ，并且 v, w V。
通常：用 |V| 表示顶点的数量（|V| ≥ 1）， 用 |E| 表示边的数量（|E| ≥ 0）。
(1) 无向图（完全有向图边数与顶点数之间的 关系） (2) 有向图（完全有向图弧数与顶点数之间的 关系） (3) 简单图：没有重边和自回路的图 (4) 邻接 (5) 路径，路径长度 (6) 无环（有向）图：没有任何回路的（有向）图 (7) 度，入度，出度 (8) 无向图的顶点连通、连通图、连通分量 (9) 有向图的顶点强连通，强连通图、连通分量
《图的定义和术语》课件
连通图(connected graph)
连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
强连通图(strongly connected graph)
强连通图是指有向图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
无向图(undirected graph)
无向图是指边没有方向的图，任意两个顶点之间都存在边连接。
邻接矩阵是一种表示图的方式，使用二维数组来记录顶点之间的连接关系。
邻接表(adjacency list)
邻接表是一种表示图的方式，使用链表或数组来记录每个顶点的相邻顶点。
图的遍历(traversing the graph)
图的遍历是指按照某种规则遍历图中的所有顶点和边，例如深度优先搜索和广度优先搜索。
图的着色是指给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同。
欧拉图(Eulerian graph)
欧拉图是指可以沿着每条边只经过一次的闭合路径遍历图中所有边的图。
哈密顿图(Hamiltonian graph)
哈密顿图是指可以沿着一条路径遍历图中所有顶点一次且只一次的图。
邻接矩阵(adjacency matrix)
《图的定义和术语》PPT 课件
本课件将介绍图的定义和一些重要术语，包括顶点、边、路径、圈、简单图、 完全图等，以及图的遍历和邻接矩阵等。
简介
什么是图
图是由一些点和这些点之间连接关系组成的 数据结构，常用于解决各种实际问题。
图的用途
图可以用于模拟网络、路径规划、社交网络 分析等领域，具有广泛的应用价值。
图的定义
图由顶点集合和边集合组成，一般用V表示顶点集合，用E表示边集合。
顶点(vertex)
顶点是图的基本元素，通常用不同的符号或编号表示。在图中表示为圆点。
数据结构(C语言版)_第7章 图及其应用
实现代码详见教材P208
7.4 图的遍历
图的遍历是对具有图状结构的数据线性化的过程。从图中任 一顶点出发，访问输出图中各个顶点，并且使每个顶点仅被访 问一次，这样得到顶点的一个线性序列，这一过程叫做图的遍 历。
图的遍历是个很重要的算法，图的连通性和拓扑排序等算法 都是以图的遍历算法为基础的。
V1
V1
V2
V3
V2
V3
V4
V4
V5
图9.1(a)
图7-2 图的逻辑结构示意图
7.2.2 图的相关术语
1．有向图与无向图 2．完全图 （1）有向完全图 （2）无向完全图 3．顶点的度 4．路径、路径长度、回路、简单路径 5．子图 6．连通、连通图、连通分量 7．边的权和网 8．生成树
2． while(U≠V) { (u,v)=min(wuv;u∈U，v∈V-U); U=U+{v}; T=T+{(u,v)}; }
3．结束
7.5.1 普里姆(prim)算法
【例7-10】采用Prim方法从顶点v1出发构造图7-11中网所对 应的最小生成树。
构造过程如图7-12所示。
16
V1
V1
V2
7.4.2 广度优先遍历
【例7-9】对于图7-10所示的有向图G4，写出从顶点A出发 进行广度优先遍历的过程。
访问过程如下：首先访问起始顶点A，再访问与A相邻的未被 访问过的顶点E、F，再依次访问与E、F相邻未被访问过的顶 点D、C，最后访问与D相邻的未被访问过的顶点B。由此得到 的搜索序列AEFDCB。此时所有顶点均已访问过， 遍历过程结束。
【例7-1】有向图G1的逻辑结构为：G1=(V1,E1) V1={v1,v2,v3,v4},E1={<v1,v2>，<v2,v3>，<v2,v4>，<v3,v4>，<v4,v1>，<v4,v3>}
图的定义和基本术语图的存储结构图的遍历生成树最短路径
DeleteVex(&G, v) //删除顶点 初始条件: 图G存在， v和G中顶点有相同特性 。 操作结果:删除G中顶点v及其相关的弧。
InsertArc(&G, v, w) //插入弧 初始条件:图G存在，v 和w是G中两个顶点。 操作结果:在G中增添弧<v,w>，若G是无向的， 则还增添对称弧<w,v>。
DestroyGraph (&G ) // 销毁 初始条件:图G存在。 操作结果:销毁图G 。
LocateVex(G, u) // 定位 初始条件:图G存在，u 和G中顶点有相同特性 。 操作结果: 若G中存在顶点u ，则返回该顶点在 图中位置 ；否则返回其它信息。
GetVex(G, v)// 求值 初始条件:图G存在，v 是G中某个顶点。 操作结果:返回v的值。
//{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcCell {// 弧的定义 VRType adj;//VRType是顶点关系类型。对无权图，
//用1或0表示相邻否；对带权图，则为权值类型。 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcCell ,
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM];
V2
V3
0110 0000 0001 10 0 0
//－ －图的数组(邻接矩阵)存储表示－－
#define INFINITY INT_MAX //最大值∞ #define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数 typedef enum{DG,DN,UDG, UDN }graphkind；
表示，称为无向边；
双代号网络图中的基本知识及概念
双代号网络图中的基本知识及概念★ 双代号网络图的组成在双代号网络图中工作，节点和线路是其基本组成部分。
是以箭线表示工作节点表示工作的开始与结束及工作间的连接点工作两端节点的编号代表一项工作的网络图一、工作1、定义：是指把计划任务按实际需要的粗细程度划分而成子项目，是一项要消耗一定时间，而且大多数情况下也要消耗人力、材料等的活动，是网络计划构成的最基本单元。
（也可称活动、工序或过程）由于所在各自工程计划的规模不同，网络计划的作用不同，工作划分的粗细不同，大小范围也不同。
如对一个规模较大的建设项目而言，一项工作可以表示一幢建筑物或构筑物所形成的单位工程。
一个单位工程，既可划分成若干分部工程，也可划分成基本工作，如预制砼构件由支模板、绑钢筋、浇砼等工作组成。
2、工作的分类（三种）第一种：实工作：指既需占用时间，又需要消耗资源的大多数工作，如支模板、浇砼、墙面抹灰等。
第二种：技术间歇时间：这类工作仅占用时间，一般不耗费资源，如抹灰后需干燥一段时间，砼养护时间。
第三种：虚工作：指在网络图中既不占用时间，又不耗费资源的人为的虚拟的工作。
在双代号网络图中，虚工作有一种不可被替代的重要作用，它可以准确地表示相邻工作之间相互依存，相互制约的逻辑关系。
网络图中，箭尾表示工作的开始，箭头表示工作的完成。
工作名称标注在箭线上方从事该项的持续时间标注于箭线下方如箭线以垂直线的形式出现：工作名称通常标注于箭线左方其持续时间则填写于箭线的右方箭线的箭头和箭尾分别填上圆圈，在圆圈内填入符全规定的数字编号，箭头和箭尾的两端圆圈内编号即可代表这项工作。
二、节点1、定义：节点一般是用圆圈表示箭线之间的分离与交汇的连接点，是网络图的基本组成部分。
2、作用：节点表示工作的结束和工作开始的瞬间，具有承上启下的街接作用，它不占用时间，也不耗费资源3、对于一项工作而言，箭尾节点称为开始节点，箭头节点称为结束节点。
4、节点分类：起点节点中间节点终点节点（一）是网络图中的第一个节点，表示一个工程（项目）的开始，特点如下：（1）、在网络图诸节点中的编号最小的节点（2）、无内向箭线（箭头指向该节点的箭线称为内向箭线或指向箭线）（3）、无任何紧前工作和先行工作，在一个网络中，只应有一个起点，如一个网络图中，出现两个及两个以上的无内向箭线的节点是错误的。
数据结构-图的定义和术语
继续进行 ·3
·4
搜索。
·5
·6
·7
·3 ·1
·2
·4 从结点 5 出发的搜索序列：
5、6、2、3、1、4、7 适用的数据结构：栈
图的遍历
2、广度（宽度）优先搜索:
• 树：
A
B
C
D
EFG H
I JK
树的按层次进行访问的次序： A、B、C、D、E、F、G、H、 I、J、K、L
适用的数据结构：队列
L A
1
·1
2
12
11
·2
·11
·12
3
6
7
10
·3 ·6 ·7
·10
4
5
8
9
·4 ·5 ·8
·9
图的广度优先的访问次序：
1、2、11、12、3、6、7、10、4、5、8、9
适用的数据结构：队列
图的连通性问题
2、有向图的强连通分量的求法：续 •强连通分量的求法：
1、对有向图 G 进行深度为主的搜索，按照退 出该结点的次序给结点进行编号。最先退 出的结点的编号为 1，其它结点的编号按 次序逐次增大 1。
点1
3 已在U中
16 21 35
0 0 0
lowcost 表示最小距离
4∞ 0
adjvex 表示相应结点(在V －U中的)
5∞
0
lowcost adjvex
U1
6
5 1
25 35 4
3
6
4
2
566 图G
数组：closedge[ 6 ]
00 15 2 20 35 0 46 2 54 2
lowcost adjvex
数据结构(C++)--图
一、图的概念 二、图的应用 三、图的基本术语 四、图的存储结构
难点
1
一、图的概念
（Graph） Graph）
定义:图是由顶点集合(vertex)及边的集合 定义:图是由顶点集合 及边的集合 组成的一种数据结构： 组成的一种数据结构： Graph＝ Graph＝( V, R ) 其中: 某个数据对象} 其中: V = { x | x ∈ 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； 是顶点的有穷非空集合； R = {(u, v) | u, v ∈ V } {(u 是顶点之间关系的有穷集合， 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做 (edge)集合 集合。 边(edge)集合。
1, 如果 < i , j >∈ E 或者 (i , j ) ∈ E Matrix[i ][ j ] = 0, 否则
1 7 3 4 2 8 3 1 6 5 5 4 2
最小(生成 树 最小 生成)树 生成 也称为 最小(支撑 树 最小 支撑)树 支撑
5
二、图的应用举例
例2： 最短路问题（SPP-Shortest Path Problem） ： 最短路问题（ ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 假设货柜车的运行速度是恒定的， 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 5 A 7 C 4 B 6 4 F 5 3 E 1
5 (开始) A 开始) 7 4
图的定义和术语(4)
连 通 图 强 连 通 图
2021/8/17
V0
V1
V2
V3
V4
V0
V1
V2
V3
V0
V1 V4
非 连
通
图
V3
V2 V5
V0
V1
非
强
连
通
V2
V3
图
7.权 某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这种带权 图叫做网络。
8.子图 设有两个图G=（V，{E}）、G1=（V1，{E1}），若 V1 V，E1 E，则称 G1是G的子图。 例:(b)、(c) 是 (a) 的子图
2021/8/17
基本术语：
1.有向图与无向图
在有向图中，顶点对<v, w>是有序的。在无向图中，顶 点对(x, y)是无序的。有向边又可称为弧, <vi,vj>中vi称 为弧尾或初始点，vj称为弧头或终端点。
1
1
3
2
4
3
2
654
5
6
7
无向图
V={1,2,3,4,5,6,7}
VR={(1,3),(3,4),(4,5),(1,2),(2, 6),(2,7),(6,7),(5,6),(1,5),(1,7) } 2021/8/17
adjvex nextarc 4^
3
5^
4
5^
3
^
3^
逆邻接表：有向图中对每个结点建立以Vi为弧头的弧的单链表。
例： a b
cd G1
vexdata firstarc adjvex nextarc
1
a
4^
2
b
1
^
3
图论
8/4/2013 11:54 PM
Zhibo Lu
3
图论方法建模
[定义]顶点： Ｖ中的元素称为顶点，用带标记的点表示，也 称为结点/Vertices。 [定义]边： 在有向图G中,若e=(a，b)∈E，e称为G的有向边 /directed edge。用由a到b带箭头的线把a和b连起 来； 在无向图G中,若e=(a,b)∈E，e称为G的无向边 /undirected edge 。a、ｂ间用连线连结； 有向边和无向边统称为G的边/edge。
8/4/2013 11:54 PM Zhibo Lu 22
图论方法建模
说明： 图Ｃ不是Ｅ的补图。（不互为补图） 因为：
Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’ ＝ {[b,c],[b,d],[b,e], [c,d],[c,e],[d,e]}
Ｖ”＝{b,c,d,e} 而图C多了顶点a。
8/4/2013 11:54 PM Zhibo Lu 23
v5
v4 (b)
Zhibo Lu
v5
v4 (c)
v5
17
图论方法建模
[定义]补图/complementary graph ： Ｇ＝(V,E)是图，Ｇ’＝(V’,E’)是Ｇ 的子图，Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’，Ｖ”＝V－V’或 是Ｅ”中边所关联的所有顶点集合，则Ｇ” ＝(Ｖ”,Ｅ”)称为Ｇ’关于Ｇ的相对补图。 [定义]绝对补图：
8/4/2013 11:54 PM Zhibo Lu
v1
v2 e2 e6 e3 v3
12
e4
图论方法建模
[定理 (Handshaking)] 设无向图G=(V,E) 有e条边，则G中所有顶点的次之和等于e的 两倍。 证明思路：利用数学归纳法。 [定理] 无向图中次为奇数的顶点个数恰 有偶数个。 证明思路：将图中顶点的次分类，再利用 定理1。
图的基本概念及拓扑排序
有n-1条边。 如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。 若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通 图。
最小生成树：若无向连通带权图G=<V,E,W>,T是G的一棵生成树，T的各边权之
和称为T的权，记做W（T），G的所有生成树中权值最小的生成树 称为最小生成树。
带权图： 即边上带权的图。其中权是指每条边可以标上 具有某种含义的数值（即与边相关的数）。
网 络： ＝带权图
路径： 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)应当是属于E的边。
最小生成树算法： Prim算法和kruskal算法
简单路径：路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复。
回 路： 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合，
则称这样的路径为回路或环。
例：
图的数学表示
点: 用整数0, 1, 2, …, V-1表示 边: 用无序数对(u, v)表示, 或者表示成u-v
4. 你认为，对于给定的两个位置A，B，聪明的机器人从A位置到B位置至少需要判断几次？
5. input
6. 第一行：M 表示以下有M组测试数据（0<M<=8）
7. 接下来每组有两行数据
8.
头一行：N A B（1<=N<=50,1<=A,B<=N）
9.
下一行：K1 K2···Kn（0<=Ki<=N）
图论 第1章 图的基本概念
G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint） 若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的 （edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。 如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为 证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知， 偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。 因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则 且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]
《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用，如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域，如人工智能和 物联网。
2
Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用，用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现，用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
1
最大流
介绍网络流问题和最大流算法，用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科，将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语，为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别，并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法，如邻接矩阵和邻接表， 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
1
广度优先搜索（BFS）
2
介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索（DFS）
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
1
Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用，用于寻找图中两个节点间的最短路径。
了解图片专业术语
了解图片专业术语CMYKCMYK也称作印刷色彩模式，顾名思义就是用来印刷的。
它和RGB相比有一个很大的不同：RGB模式是一种发光的色彩模式，你在一间黑暗的房间内仍然可以看见屏幕上的内容；CMYK是一种依靠反光的色彩模式，我们是怎样阅读报纸的内容呢？是由阳光或灯光照射到报纸上，再反射到我们的眼中，才看到内容。
它需要由外界光源，如果你在黑暗房间内是无法阅读报纸的。
前面说过，只要在屏幕上显示的图像，就是RGB模式表现的。
现在加上一句：只要是在印刷品上看到的图像，就是CMYK模式表现的。
比如期刊、杂志、报纸、宣传画等，都是印刷出来的，那么就是CMYK模式的了。
和RGB类似，CMY是3种印刷油墨名称的首字母：青色Cyan、洋红色Magenta、黄色Yellow。
而K取的是black 最后一个字母，之所以不取首字母，是为了避免与蓝色Blue混淆。
从理论上来说，只需要CMY三种油墨就足够了，它们三个加在一起就应该得到黑色。
但是由于目前制造工艺还不能造出高纯度的油墨，CMY相加的结果实际是一种暗红色。
因此还需要加入一种专门的黑墨来中和维度高度和宽度，经过测量后应该存储图片的同时作相应记录。
DPIDPI是“dot per inch”的缩写。
顾名思义，就是指在每英寸长度内的点数。
通常，我们都使用dpi来作为扫描器和打印机的解析度单位，数值越高表示解析度越高。
目前，市面上出售扫描器的光学解析度主要有600×1200 dpi和1200×2400 dpi两种。
扫描器的光学解析度由两个数字构成，是因为横向解析度和纵向解析度不同。
较小的数字通常为纵向解析度，即我们一般区分扫描器解析度用的数值。
也就是说，600×1200 dpi的扫描器，我们通常简称为600 dpi。
HSBHSB模式，所有颜色可以通过表达它们的颜色、饱和度和亮度的百分比来定义。
插值法插值，有时也称为“重置样本”，是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩。
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}ArcNode; typedef struct VNode{
VetexType data;
头结点 data firstarc
ArcNode *firstarc;
} Vnode, AdjList [MAX_VERTEX_NUM ];
typedef struct {
AdjList verteces;
int
2021/2/21 出度：有向图中从某顶点出发的弧的数目
6
7.1 图的定义和基本术语(续三)
路径：两个顶点之间的顶点序列，该序列的每个顶点
与其前驱是邻接点，每个顶点与其后继也是邻接点
回路（环）：第一顶点和最后顶点相同的路径
简单路径： 顶点不重复的路径
连通：
两个顶点之间有路径
连通图： 任意两个顶点之间有路径
typedef struct {
VetexType vexs[MAX_VERTEX_NUM ];
AdjMatrix arc;
int
vexnum, arcnum;
GraphKind kind;
}MGraph;
2021/2/21
8
数组表示法(邻接矩阵)
无向图、有向图、网均适用 易求各顶点的度。
例如有向图G1和无向图G2的邻接矩阵为
顶点 边
2021/2/21
4
7.1 图的定义和基本术语(续一)
完全图：n个顶点有n(n-1)/2条边的无向图 有向完全图： n个顶点有n(n-1)条弧的有向图 稀疏图：有很少条边的图（如边数e < nlogn) 稠密图：非稀疏图 权： 与边或弧相关的数 网络： 带权的图
V1
2
V1
V2
2021/2/21
4
V2
V3 7
V3
5
7.1 图的定义和基本术语(续二)
子图： G =(V,{E})和G1 = (V1,{E1}) 若V1属于V, E1属于E 则G1是G的子图
V1
V1
V1
V1
V2
V3
V3
V4
V3
V4
邻接点：无向图中有边相连的两个顶点互为邻接点
顶点的度：无向图中和某顶点相连的邻接点数
入度：有向图中指向某顶点的弧的数目
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum{DG, DN, AG, AN} GraphKind;
typedef struct ArcCell{
VRType adj;
InfoType *info;
}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM ][MAX_VERTEX_NUM ]
2021/2/21
13
7.3.1 深度优先搜索
12345678 visited 1 1 0 1 1 0 0 1
V1
V2
V4
V5
V3
V6
V7
V1 V2 V4 V8 V5
stack
V8
遍历顺序：
V1 V2 V4 V8 V5 V3 V6 V7
非连通的图重复上述过程, 使每个顶点均被访问
2021/2/21
(b) 邻接矩阵
2021/2/21
10
7.2.2 邻接表
--- 链式存储结构
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct ArcNode{
表结点
int adjvex; struct ArcNode *nextarc;
Adjvex nextarc info
InfoType *info;
7.5 有向无环图及其应用 7.5.1 拓扑排序 7.5.2 关键路径
7.6 最短路径
7.6.1 从某个源点到其余各顶点的最短路径
2021/2/21 7.6.2 每一对顶点间的最短路径
2
第七章 图
图(Graph)是较线性表和树更为复杂的结构。
图中任意数据两个元素之间都可能相关。
G1 = (V1, { A1}) V1 = {v1,v2,v3,v4} A1 = {<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}
vexnum, arcnum;
int
kind;
2021/}2/2A1 LGraph;
11
邻接表的链式存储结构示意图
0 V1 1 V2 ^ 2 V3
3 V4
2
3^ 0^
G1的邻接表
0 V1
3^
1 V2
0^
2 V3
0^
3 V4
2^
2021/2/21 G1的逆邻接表
1^
邻接表： 求出度容易，求入度难
0 V1 1 V2
14
深度优先搜索算法
Boolean visited[MAX];
Status (* VisitFunc)(int v);
2 V3
3 V4 4 V5
3
1^
4
2
4
3
2
0^
2
1^
G2的邻接表
邻接表： 求入度容易，求出度难
0^ 1^
12
7.3 图的遍历
图的遍历：从图的某顶点出发，访问所 有顶点，且每个顶点仅被访问一次。 两种遍历图的路径： 深度优先搜索和广度优先搜索 它们对无向图和有向图都适用 深度优先搜索类似于树的先根遍历 广度优先搜索类似于树的层次遍历
连通分量： 无向图中的极大连通子图。
强连通图：任意两个顶点之间有双向路径 强连通分量：有向图中的极大强连通子图。 连通图的生成树：极小连通子图。
不唯一，但n个顶点的生成树 有且仅有n-1条边。 生成森林：
2021/2/21
7
7.2 图的存储结构 7.2.1 数组表示法
#define INFINITY INT_MAX
G2 = (V2, { E2}) V2 = {v1,v2,v3,v4,v5} E2 = {(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5) ,(v3,v4),(v3,v5)}
2021/2/21
3
7.1 图的定义和基本术语
有向图 G1
V1
V2
无向图 G2
V1
V2
V3
V4
V3
V4
V5
顶点 弧 弧尾 弧头
图定义和基本术语
2021/2/21
1
第七章 图
7.1 图的定义和基本术语
7.2 图的存储结构
7.2.1数组表示法 7.2.2邻接表 7.2.3十字链表 7.2.4邻接多重表
7.3 图的遍历 7.3.1 深度优先搜索 7.3.2 广度优先搜索
7.4 图的连通性问题 7.4.1 无向图的连通分量和生成树 7.4.2 最小生成树
01 1 0
01010
G1.arc =
0 0
0 0
0 0
0 1
10101 G2.arc = 0 1 0 1 1
10 0 0
10100
01100
n2的存储量
无向图的邻接矩阵总是对称的--可以采用压缩存储
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网及其邻接矩阵
V1
3
V6 1
V5
5
V2
8
4
7
9
V3(a) 网
57 4 8 9 56 5 3 1