图的定义和基本术语
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1-2图的概念和术语
7/21/2013 8:48 AM
19
Havel定理(证明,续)
证明: () 设d可简单图化为G=<V,E>, 其中V={v1,v2,…,vn}, d(v1)d(v2)…d(vn). (1) 若NG(v1)={v2,v3, …,vd1+1}, 则令 G’=<V’,E’>, V’=V-{v1}, E’=E-{ (v1,v2), (v1,v3), …, (v1,vd1+1) }, 于是d’可简单图化为G’. (2) 若ij( i<j viNG(v1) vjNG(v1) ),
3
2,2
1,2 (d+,d-)
9
握手定理
定理1:设G=<V,E>是无向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d(v1)+d(v2)+…+d(vn)=2m. # 定理2:设D=<V,E>是有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d+(v1)+d+(v2)+…+d+(vn) = d-(v1)+d-(v2) +…+d-(vn) = m. # 推论:任何图中,奇数度顶点的个数是偶数. #
v2
vi
d = (d1,
d2,
d3,
……
vn vj dd1+1, dd1+2, …… dn) vd1+1 vk
21
7/21/2013 8:48 AM
Havel定理(证明,续)
证明: () (2)若ij(1i<jnviNG(v1)vjNG(v1)), 则由didj可得 k(1knvkNG(vj)vkNG(vi)), 令G1=<V,E{(v1,vi),(vk,vj)}{(v1,vj),(vk,vi)}>, 则G1与G的度数列都还是d,重复这个步骤, 直到化为(1)中情形为止. #
第7章图_数据结构
v4
11
2013-8-7
图的概念（3）
子图——如果图G(V,E)和图G’(V’,E’),满足：V’V，E’E 则称G’为G的子图
2 1 4 3 5 6 3 5 6 1 2
v1 v2 v4 v3 v2
v1 v3 v4
v3
2013-8-7
12
图的概念（4）
路径——是顶点的序列V={Vp,Vi1,……Vin,Vq}，满足(Vp,Vi1),
2013-8-7 5
本章目录
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构
7.2.1 数组表示法 7.2.2 邻接表 （ *7.2.3 十字链表 7.3.1 深度优先搜索 7.3.2 广度优先搜索 7.4.1 图的连通分量和生成树 7.4.2 最小生成树
*7.2.4 邻接多重表 ）
7.3 图的遍历
连通树或无根树
无回路的图称为树或自由树 或无根树
2013-8-7
18
图的概念（8）
有向树：只有一个顶点的入度为0，其余 顶点的入度为1的有向图。
V1 V2
有向树是弱 连通的
V3
V4
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19
自测题
7. 下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是
2013-8-7
29
图的存贮结构：邻接矩阵
若顶点只是编号信息，边上信息只是有无（边），则 数组表示法可以简化为如下的邻接矩阵表示法: typedef int AdjMatrix[MAXNODE][MAXNODE];
*有n个顶点的图G=(V,{R})的邻接矩阵为n阶方阵A,其定 义如下：
1 A[i ][ j ] 0
【北方交通大学 2001 一.24 （2分）】
图的概念术语
图的概念术语图是离散数学中的一种数学模型，用来描述对象之间的关系。
图由节点（顶点）和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
在图中，一对节点之间的关系可以有多种不同的定义方式，这决定了图的种类和图的应用领域。
图论是研究图的性质、结构和算法的学科。
图的概念术语包括以下内容：1. 节点（顶点）：图中的基本元素，用来表示对象。
节点可以是任意类型的数据，比如人、城市、物品等等。
2. 边：图中节点之间的关系，用来表示节点之间的连接或者直接关系。
边可以是有向的（有方向的）或无向的（无方向的），分别用箭头或无箭头表示。
3. 有向图：边是有方向的图，表示节点之间具有指向性的关系。
如果节点A指向节点B，表示A与B有关联，但B与A不一定有关联。
4. 无向图：边是无方向的图，表示节点之间的关系是相互的，没有指向性。
如果节点A与节点B相连，表示A与B有关联，同时B与A也有关联。
5. 权重（边的权值）：边上的值或者权重，用来表示两个节点之间的关系的程度。
可以是一个实数或其他类型的值。
6. 路径：在图中，通过多个节点和边连接而成的序列。
路径可以是简单路径（不重复经过节点）或者回路（首尾相连）。
7. 连通图：在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径相连，则称该图为连通图。
如果部分节点之间没有路径相连，则称为非连通图。
8. 强连通图：在有向图中，如果任意两个节点之间都存在路径相连（可以是单向或双向），则称该图为强连通图。
9. 子图：图的一个子集，包含了原图的一部分节点和边。
10. 图的度：一个节点的度是指与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度，分别表示指向该节点和指出该节点的边的数量。
11. 图的邻接：两个节点之间直接相连，也即存在一条边直接连接这两个节点。
如果两个节点之间没有直接边相连，则称为不邻接。
12. 连通分量：无向图中的最大连通子图，其中任意两个节点之间都存在路径相连。
13. 图的密度：图中边的数量与节点数量的比值，用来描述图的紧密程度。
北京理工大学数据结构图课件
A
B C D
第 5 页
E
7.1 图的定义与术语
3、无向图——无向图G是由两个集合V(G)和 E(G)组成的。 其中：V(G)是顶点的非空有限集。 E(G)是边的有限集合，边是顶点的 无序对，记为 (v,w) 或 (w,v)，并且 (v,w)=(w,v)。
第 6 页
7.1 图的定义与术语
例如：
G2 = <V2,E2> V2 = { v0 ,v1,v2,v3,v4 } E2 = { (v0,v1), (v0,v3), (v1,v2), (v1,v4), (v2,v3), (v2,v4) }
V5
第 15 页
7.1 图的定义与术语
非 连 通 图
V0
V1
V2
V3
V0
V1 V3
V2
强连通分量
第 16 页
7.1 图的定义与术语
7、生成树
包含无向图 G 所有顶点的极小连通子图称为G生 成树。 极小连通子图意思是：该子图是G的连通子图， 在该子图中删除任何一条边，子图不再连通。
V0 V2 V3 V4 V3 连通图G1 V1 V0 V1 连通 所有顶点 V4 无回路
第 22 页
7.2 图的存储结构 3、有向图的逆邻接表 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为终点的弧：用线性链表存储。
vexdata V0 V1 0 1 v0 v1 v2
v3
firstarc 3 0 0 ^ ^
V2
V3
2 3
^
^
2
章 类似于有向图的邻接表，所不同的是： 以同一顶点为终点弧：用线性链表存储
Boolean visited[MAX]; // 访问标志数组
B C D
第 5 页
E
7.1 图的定义与术语
3、无向图——无向图G是由两个集合V(G)和 E(G)组成的。 其中：V(G)是顶点的非空有限集。 E(G)是边的有限集合，边是顶点的 无序对，记为 (v,w) 或 (w,v)，并且 (v,w)=(w,v)。
第 6 页
7.1 图的定义与术语
例如：
G2 = <V2,E2> V2 = { v0 ,v1,v2,v3,v4 } E2 = { (v0,v1), (v0,v3), (v1,v2), (v1,v4), (v2,v3), (v2,v4) }
V5
第 15 页
7.1 图的定义与术语
非 连 通 图
V0
V1
V2
V3
V0
V1 V3
V2
强连通分量
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7.1 图的定义与术语
7、生成树
包含无向图 G 所有顶点的极小连通子图称为G生 成树。 极小连通子图意思是：该子图是G的连通子图， 在该子图中删除任何一条边，子图不再连通。
V0 V2 V3 V4 V3 连通图G1 V1 V0 V1 连通 所有顶点 V4 无回路
第 22 页
7.2 图的存储结构 3、有向图的逆邻接表 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为终点的弧：用线性链表存储。
vexdata V0 V1 0 1 v0 v1 v2
v3
firstarc 3 0 0 ^ ^
V2
V3
2 3
^
^
2
章 类似于有向图的邻接表，所不同的是： 以同一顶点为终点弧：用线性链表存储
Boolean visited[MAX]; // 访问标志数组
数据结构图
所以：对于点多边少的稀疏图来说，采用邻接表 结构使得算法在时间效 率上大大提高。
16
3/12
广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS ） BFS类似于树的层序遍历； 用一个数组用于标志已访问与否，还需要一个工作队列。
【例】一个无向图的BFS
8
6
CD
4
7
HG
BA
邻接多重表(Adjacency Multilist)
9
边表
• 在某些应用中，有时主要考察图中边的权值以及所依附的 两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结 构。
• 边表结构采用顺序存储，用2个一维数组构成，一个存储 顶点信息，一个存储边的信息。边数组的每个元素由三部 分组成：
– 边的起点下标 – 边的终点下标 – 边的权值
1
A [i][
j]
0
如果 (vi , v j ) 或 vi , v j G的边 其它
无权图的邻接矩阵表示示例
V1
V2
V0
3
V3
4 12/15
带权图的邻接矩阵的定义
A [i][ j] wij
如果 (vi , vj ) 或 vi , v j G的边 其它
带图权的图邻的接邻矩接阵矩表阵示表示示例示[例例6.9]
1
第一部分 图的定义和术语
2
图的定义
“图” G可以表示为两个集合：G =（V, E）。每条 边是一个顶点对（v, w） E ，并且 v, w V。
通常：用 |V| 表示顶点的数量（|V| ≥ 1）， 用 |E| 表示边的数量（|E| ≥ 0）。
(1) 无向图（完全有向图边数与顶点数之间的 关系） (2) 有向图（完全有向图弧数与顶点数之间的 关系） (3) 简单图：没有重边和自回路的图 (4) 邻接 (5) 路径，路径长度 (6) 无环（有向）图：没有任何回路的（有向）图 (7) 度，入度，出度 (8) 无向图的顶点连通、连通图、连通分量 (9) 有向图的顶点强连通，强连通图、连通分量
《图的定义和术语》课件
连通图(connected graph)
连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
强连通图(strongly connected graph)
强连通图是指有向图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
无向图(undirected graph)
无向图是指边没有方向的图，任意两个顶点之间都存在边连接。
邻接矩阵是一种表示图的方式，使用二维数组来记录顶点之间的连接关系。
邻接表(adjacency list)
邻接表是一种表示图的方式，使用链表或数组来记录每个顶点的相邻顶点。
图的遍历(traversing the graph)
图的遍历是指按照某种规则遍历图中的所有顶点和边，例如深度优先搜索和广度优先搜索。
图的着色是指给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同。
欧拉图(Eulerian graph)
欧拉图是指可以沿着每条边只经过一次的闭合路径遍历图中所有边的图。
哈密顿图(Hamiltonian graph)
哈密顿图是指可以沿着一条路径遍历图中所有顶点一次且只一次的图。
邻接矩阵(adjacency matrix)
《图的定义和术语》PPT 课件
本课件将介绍图的定义和一些重要术语，包括顶点、边、路径、圈、简单图、 完全图等，以及图的遍历和邻接矩阵等。
简介
什么是图
图是由一些点和这些点之间连接关系组成的 数据结构，常用于解决各种实际问题。
图的用途
图可以用于模拟网络、路径规划、社交网络 分析等领域，具有广泛的应用价值。
图的定义
图由顶点集合和边集合组成，一般用V表示顶点集合，用E表示边集合。
顶点(vertex)
顶点是图的基本元素，通常用不同的符号或编号表示。在图中表示为圆点。
数据结构(C语言版)_第7章 图及其应用
（1）创建有向图邻接表 （2）创建无向图的邻接表
实现代码详见教材P208
7.4 图的遍历
图的遍历是对具有图状结构的数据线性化的过程。从图中任 一顶点出发，访问输出图中各个顶点，并且使每个顶点仅被访 问一次，这样得到顶点的一个线性序列，这一过程叫做图的遍 历。
图的遍历是个很重要的算法，图的连通性和拓扑排序等算法 都是以图的遍历算法为基础的。
V1
V1
V2
V3
V2
V3
V4
V4
V5
图9.1(a)
图7-2 图的逻辑结构示意图
7.2.2 图的相关术语
1．有向图与无向图 2．完全图 （1）有向完全图 （2）无向完全图 3．顶点的度 4．路径、路径长度、回路、简单路径 5．子图 6．连通、连通图、连通分量 7．边的权和网 8．生成树
2． while(U≠V) { (u,v)=min(wuv;u∈U，v∈V-U); U=U+{v}; T=T+{(u,v)}; }
3．结束
7.5.1 普里姆(prim)算法
【例7-10】采用Prim方法从顶点v1出发构造图7-11中网所对 应的最小生成树。
构造过程如图7-12所示。
16
V1
V1
V2
7.4.2 广度优先遍历
【例7-9】对于图7-10所示的有向图G4，写出从顶点A出发 进行广度优先遍历的过程。
访问过程如下：首先访问起始顶点A，再访问与A相邻的未被 访问过的顶点E、F，再依次访问与E、F相邻未被访问过的顶 点D、C，最后访问与D相邻的未被访问过的顶点B。由此得到 的搜索序列AEFDCB。此时所有顶点均已访问过， 遍历过程结束。
【例7-1】有向图G1的逻辑结构为：G1=(V1,E1) V1={v1,v2,v3,v4},E1={<v1,v2>，<v2,v3>，<v2,v4>，<v3,v4>，<v4,v1>，<v4,v3>}
实现代码详见教材P208
7.4 图的遍历
图的遍历是对具有图状结构的数据线性化的过程。从图中任 一顶点出发，访问输出图中各个顶点，并且使每个顶点仅被访 问一次，这样得到顶点的一个线性序列，这一过程叫做图的遍 历。
图的遍历是个很重要的算法，图的连通性和拓扑排序等算法 都是以图的遍历算法为基础的。
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图9.1(a)
图7-2 图的逻辑结构示意图
7.2.2 图的相关术语
1．有向图与无向图 2．完全图 （1）有向完全图 （2）无向完全图 3．顶点的度 4．路径、路径长度、回路、简单路径 5．子图 6．连通、连通图、连通分量 7．边的权和网 8．生成树
2． while(U≠V) { (u,v)=min(wuv;u∈U，v∈V-U); U=U+{v}; T=T+{(u,v)}; }
3．结束
7.5.1 普里姆(prim)算法
【例7-10】采用Prim方法从顶点v1出发构造图7-11中网所对 应的最小生成树。
构造过程如图7-12所示。
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V1
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7.4.2 广度优先遍历
【例7-9】对于图7-10所示的有向图G4，写出从顶点A出发 进行广度优先遍历的过程。
访问过程如下：首先访问起始顶点A，再访问与A相邻的未被 访问过的顶点E、F，再依次访问与E、F相邻未被访问过的顶 点D、C，最后访问与D相邻的未被访问过的顶点B。由此得到 的搜索序列AEFDCB。此时所有顶点均已访问过， 遍历过程结束。
【例7-1】有向图G1的逻辑结构为：G1=(V1,E1) V1={v1,v2,v3,v4},E1={<v1,v2>，<v2,v3>，<v2,v4>，<v3,v4>，<v4,v1>，<v4,v3>}
数据结构-第7章图答案
7.3 图的遍历 从图中某个顶点出发游历图，访遍图中其余顶点， 并且使图中的每个顶点仅被访问一次的过程。 一、深度优先搜索 从图中某个顶点V0 出发，访问此顶点，然后依次 从V0的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍 历图，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访 问到，若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中 一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程， 直至图中所有顶点都被访问到为止。
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)) { // 按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组 visited。 for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问 EnQueue(Q, v); // v入队列 while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u visited[u] = TRUE; Visit(u); // 访问u for ( w=FirstAdjVex(G, u); w!=0; w=NextAdjVex(G, u, w) ) if ( ! visited[w]) EnQueue(Q, w); // u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q
4。邻接多重表
边结点
mark ivex
顶点结点
ilink
jvex
jlink
info
data
firstedge
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef emnu {unvisited, visited} VisitIf; typedef struct Ebox { VisitIf mark; // 访问标记 int ivex, jvex; // 该边依附的两个顶点的位置 struct EBox *ilink, *jlink; // 分别指向依附这两个顶点的下一条 边 InfoType *info; // 该边信息指针 } EBox; typedef struct VexBox { VertexType data; EBox *firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边 } VexBox; typedef struct { VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]; int vexnum, edgenum; // 无向图的当前顶点数和边数 } AMLGraph;
图的定义和基本术语图的存储结构图的遍历生成树最短路径
操作结果: 在图G中增添新顶点v。
DeleteVex(&G, v) //删除顶点 初始条件: 图G存在， v和G中顶点有相同特性 。 操作结果:删除G中顶点v及其相关的弧。
InsertArc(&G, v, w) //插入弧 初始条件:图G存在，v 和w是G中两个顶点。 操作结果:在G中增添弧<v,w>，若G是无向的， 则还增添对称弧<w,v>。
DestroyGraph (&G ) // 销毁 初始条件:图G存在。 操作结果:销毁图G 。
LocateVex(G, u) // 定位 初始条件:图G存在，u 和G中顶点有相同特性 。 操作结果: 若G中存在顶点u ，则返回该顶点在 图中位置 ；否则返回其它信息。
GetVex(G, v)// 求值 初始条件:图G存在，v 是G中某个顶点。 操作结果:返回v的值。
//{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcCell {// 弧的定义 VRType adj;//VRType是顶点关系类型。对无权图，
//用1或0表示相邻否；对带权图，则为权值类型。 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcCell ,
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM];
V2
V3
0110 0000 0001 10 0 0
//－ －图的数组(邻接矩阵)存储表示－－
#define INFINITY INT_MAX //最大值∞ #define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数 typedef enum{DG,DN,UDG, UDN }graphkind；
表示，称为无向边；
DeleteVex(&G, v) //删除顶点 初始条件: 图G存在， v和G中顶点有相同特性 。 操作结果:删除G中顶点v及其相关的弧。
InsertArc(&G, v, w) //插入弧 初始条件:图G存在，v 和w是G中两个顶点。 操作结果:在G中增添弧<v,w>，若G是无向的， 则还增添对称弧<w,v>。
DestroyGraph (&G ) // 销毁 初始条件:图G存在。 操作结果:销毁图G 。
LocateVex(G, u) // 定位 初始条件:图G存在，u 和G中顶点有相同特性 。 操作结果: 若G中存在顶点u ，则返回该顶点在 图中位置 ；否则返回其它信息。
GetVex(G, v)// 求值 初始条件:图G存在，v 是G中某个顶点。 操作结果:返回v的值。
//{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcCell {// 弧的定义 VRType adj;//VRType是顶点关系类型。对无权图，
//用1或0表示相邻否；对带权图，则为权值类型。 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcCell ,
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM];
V2
V3
0110 0000 0001 10 0 0
//－ －图的数组(邻接矩阵)存储表示－－
#define INFINITY INT_MAX //最大值∞ #define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数 typedef enum{DG,DN,UDG, UDN }graphkind；
表示，称为无向边；
数据结构-图的定义和术语
继续进行 ·3
·4
搜索。
·5
·6
·7
·3 ·1
·2
·4 从结点 5 出发的搜索序列：
5、6、2、3、1、4、7 适用的数据结构：栈
图的遍历
2、广度（宽度）优先搜索:
• 树：
A
B
C
D
EFG H
I JK
树的按层次进行访问的次序： A、B、C、D、E、F、G、H、 I、J、K、L
适用的数据结构：队列
L A
1
·1
2
12
11
·2
·11
·12
3
6
7
10
·3 ·6 ·7
·10
4
5
8
9
·4 ·5 ·8
·9
图的广度优先的访问次序：
1、2、11、12、3、6、7、10、4、5、8、9
适用的数据结构：队列
图的连通性问题
2、有向图的强连通分量的求法：续 •强连通分量的求法：
1、对有向图 G 进行深度为主的搜索，按照退 出该结点的次序给结点进行编号。最先退 出的结点的编号为 1，其它结点的编号按 次序逐次增大 1。
点1
3 已在U中
16 21 35
0 0 0
lowcost 表示最小距离
4∞ 0
adjvex 表示相应结点(在V －U中的)
5∞
0
lowcost adjvex
U1
6
5 1
25 35 4
3
6
4
2
566 图G
数组：closedge[ 6 ]
00 15 2 20 35 0 46 2 54 2
lowcost adjvex
数据结构(C++)--图
Essential of Lecture Fourteen ：
一、图的概念 二、图的应用 三、图的基本术语 四、图的存储结构
难点
1
一、图的概念
（Graph） Graph）
定义:图是由顶点集合(vertex)及边的集合 定义:图是由顶点集合 及边的集合 组成的一种数据结构： 组成的一种数据结构： Graph＝ Graph＝( V, R ) 其中: 某个数据对象} 其中: V = { x | x ∈ 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； 是顶点的有穷非空集合； R = {(u, v) | u, v ∈ V } {(u 是顶点之间关系的有穷集合， 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做 (edge)集合 集合。 边(edge)集合。
1, 如果 < i , j >∈ E 或者 (i , j ) ∈ E Matrix[i ][ j ] = 0, 否则
1 7 3 4 2 8 3 1 6 5 5 4 2
最小(生成 树 最小 生成)树 生成 也称为 最小(支撑 树 最小 支撑)树 支撑
5
二、图的应用举例
例2： 最短路问题（SPP-Shortest Path Problem） ： 最短路问题（ ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 假设货柜车的运行速度是恒定的， 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 5 A 7 C 4 B 6 4 F 5 3 E 1
5 (开始) A 开始) 7 4
一、图的概念 二、图的应用 三、图的基本术语 四、图的存储结构
难点
1
一、图的概念
（Graph） Graph）
定义:图是由顶点集合(vertex)及边的集合 定义:图是由顶点集合 及边的集合 组成的一种数据结构： 组成的一种数据结构： Graph＝ Graph＝( V, R ) 其中: 某个数据对象} 其中: V = { x | x ∈ 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； 是顶点的有穷非空集合； R = {(u, v) | u, v ∈ V } {(u 是顶点之间关系的有穷集合， 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做 (edge)集合 集合。 边(edge)集合。
1, 如果 < i , j >∈ E 或者 (i , j ) ∈ E Matrix[i ][ j ] = 0, 否则
1 7 3 4 2 8 3 1 6 5 5 4 2
最小(生成 树 最小 生成)树 生成 也称为 最小(支撑 树 最小 支撑)树 支撑
5
二、图的应用举例
例2： 最短路问题（SPP-Shortest Path Problem） ： 最短路问题（ ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 假设货柜车的运行速度是恒定的， 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 5 A 7 C 4 B 6 4 F 5 3 E 1
5 (开始) A 开始) 7 4
图的定义和术语(4)
连 通 图 强 连 通 图
2021/8/17
V0
V1
V2
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V0
V1
V2
V3
V0
V1 V4
非 连
通
图
V3
V2 V5
V0
V1
非
强
连
通
V2
V3
图
7.权 某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这种带权 图叫做网络。
8.子图 设有两个图G=（V，{E}）、G1=（V1，{E1}），若 V1 V，E1 E，则称 G1是G的子图。 例:(b)、(c) 是 (a) 的子图
2021/8/17
基本术语：
1.有向图与无向图
在有向图中，顶点对<v, w>是有序的。在无向图中，顶 点对(x, y)是无序的。有向边又可称为弧, <vi,vj>中vi称 为弧尾或初始点，vj称为弧头或终端点。
1
1
3
2
4
3
2
654
5
6
7
无向图
V={1,2,3,4,5,6,7}
VR={(1,3),(3,4),(4,5),(1,2),(2, 6),(2,7),(6,7),(5,6),(1,5),(1,7) } 2021/8/17
adjvex nextarc 4^
3
5^
4
5^
3
^
3^
逆邻接表：有向图中对每个结点建立以Vi为弧头的弧的单链表。
例： a b
cd G1
vexdata firstarc adjvex nextarc
1
a
4^
2
b
1
^
3
图的基本概念及拓扑排序
生成树： 是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只
有n-1条边。 如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。 若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通 图。
最小生成树：若无向连通带权图G=<V,E,W>,T是G的一棵生成树，T的各边权之
和称为T的权，记做W（T），G的所有生成树中权值最小的生成树 称为最小生成树。
带权图： 即边上带权的图。其中权是指每条边可以标上 具有某种含义的数值（即与边相关的数）。
网 络： ＝带权图
路径： 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)应当是属于E的边。
最小生成树算法： Prim算法和kruskal算法
简单路径：路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复。
回 路： 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合，
则称这样的路径为回路或环。
例：
图的数学表示
点: 用整数0, 1, 2, …, V-1表示 边: 用无序数对(u, v)表示, 或者表示成u-v
4. 你认为，对于给定的两个位置A，B，聪明的机器人从A位置到B位置至少需要判断几次？
5. input
6. 第一行：M 表示以下有M组测试数据（0<M<=8）
7. 接下来每组有两行数据
8.
头一行：N A B（1<=N<=50,1<=A,B<=N）
9.
下一行：K1 K2···Kn（0<=Ki<=N）
有n-1条边。 如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。 若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通 图。
最小生成树：若无向连通带权图G=<V,E,W>,T是G的一棵生成树，T的各边权之
和称为T的权，记做W（T），G的所有生成树中权值最小的生成树 称为最小生成树。
带权图： 即边上带权的图。其中权是指每条边可以标上 具有某种含义的数值（即与边相关的数）。
网 络： ＝带权图
路径： 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)应当是属于E的边。
最小生成树算法： Prim算法和kruskal算法
简单路径：路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复。
回 路： 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合，
则称这样的路径为回路或环。
例：
图的数学表示
点: 用整数0, 1, 2, …, V-1表示 边: 用无序数对(u, v)表示, 或者表示成u-v
4. 你认为，对于给定的两个位置A，B，聪明的机器人从A位置到B位置至少需要判断几次？
5. input
6. 第一行：M 表示以下有M组测试数据（0<M<=8）
7. 接下来每组有两行数据
8.
头一行：N A B（1<=N<=50,1<=A,B<=N）
9.
下一行：K1 K2···Kn（0<=Ki<=N）
图论 第1章 图的基本概念
G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint） 若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的 （edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。 如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为 证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知， 偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。 因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则 且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]
《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用，如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域，如人工智能和 物联网。
2
Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用，用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现，用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
1
最大流
介绍网络流问题和最大流算法，用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科，将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语，为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别，并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法，如邻接矩阵和邻接表， 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
1
广度优先搜索（BFS）
2
介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索（DFS）
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
1
Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用，用于寻找图中两个节点间的最短路径。
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V0
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6.2 案例引入
案例6.1 ：六度空间理论
你和任何一个陌生人之 间所间隔的人不会超过6 个，也就是说，最多通 过6个中间人你就能够认 识任何一个陌生人。
如何验证该 理论呢？
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6.3 图的类型定义
CreateGraph(&G,V,VR) 初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。 操作结果：按V和VR的定义构造图G。
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无向图的邻接矩阵表示法
v1
v2
v3
v4
v5
顶点表： （ v1 v2 v3 v4 v5 ）
邻接矩阵： 0 10 0 01 0 v1
A.Edge =
01 0 01 0 01 v2 0 01 0 01 01 v3
01 0 01 0 10 v4
0 10 01 10 0 v5
分析1：无向图的邻接矩阵是对称的；
01 0 0 0 v4
注：在有向图的邻接矩阵中， 第i行含义：以结点vi为尾的弧(即出度边）； 第i列含义：以结点vi为头的弧(即入度边）。
分析1：有向图的邻接矩阵可能是不对称的。 分析2：顶点的出度=第i行元素之和
顶点的入度=第i列元素之和 顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和
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连通图（强连通图）
在无（有）向图G=(V,E)中，若对任何两个顶点v、u 都存在从v到u的路径，则称G是连通图（强连通图）。
连
V0
V1
通
图
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强 V0
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图 V2
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非
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通
V3
V2 V5
图
V0
V1
非
强
连
V2
V3
通 图
连通分量
无向图G的极大连通子图称为G的连通分量。
DFSTraverse(G) 初始条件：图G存在。 操作结果：对图进行深度优先遍历。
BFSTraverse(G) 初始条件：图G存在。 操作结果：对图进行广度优先遍历。
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6.4 图的存储结构
顺序存储结构： 数组表示法（邻接矩阵）
链式存储结构： 多重链表
邻接表 邻接多重表 十字链表
重点介绍： 邻接矩阵(数组)表示法 邻接表(链式)表示法
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数组（邻接矩阵）表示法
建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩 阵（表示各个顶点之间关系）。
设图 A = (V, E) 有 n 个顶点，则图的邻接矩阵是
一个二维数组 A.Edge[n][n]，定义为：
1, 如果< i, j > E 或者 (i, j) E A.Edge [i][ j] 0, 否则
问：当有向图中仅1个顶点的入度为0,其 余顶点的入度均为1，此时是何形状？
答：是树！而且是一棵有向树！
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路径：连续的边构成的顶点序列。 路径长度：路径上边或弧的数目/权值之和。 回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。 简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同
的路径。 简单回路：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径
极大连通子图：该子图是G连通子图，将G的任何不
在该子图中的顶点加入，子图不再连通。
非 V0 连 通 图 V3
V1 V4 V2 V5
连通分量
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V2
V5
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强连通分量
有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分量。 极大强连通子图：该子图是G的强连通子图，将D的任 何不在该子图中的顶点加入，子图不再是强连通的。
强连通分量
V0
V1
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V3
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极小连通子图：该子图是G的连通子图，在该子图中 删除任何一条边，子图不再连通。 生成树：包含无向图G所有顶点的极小连通子图。 生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树 的集合。
V0
V1
V2
V3
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连通图G
V0
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V2
V3
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G的生成树
稀疏图：有很少边或弧的图(e<nlog2n)。 稠密图：有较多边或弧的图。 邻 接：有边/弧相连的两个顶点之间的关系。
存在(vi, vj)，则称vi和vj互为邻接点； 存在<vi, vj>，则称vi邻接到vj， vj邻接于vi
权与网：图中边或弧所具有的相关数称为权。表明 从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。带权的图 称为网。
分析2：顶点i 的度＝第 i 行 (列) 中1 的个数；
特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余1。
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有向图的邻接矩阵表示法
v1
A
v3
v2
顶点表： ( v1 v2 v3 v4 )
邻接矩阵： 0 10 01 0 v1
A.Edge = 0 0 0 0 v2
v4
0 0 0 01 v3
网（即有权图）的邻接矩阵表示法
定义为： A.Edge[ i ][ j ]=
Wij <vi, vj> 或（vi, vj）∈VR ∞ 无边（弧）
6.1 图的定义和术语
图：Graph=(V,E)
V：顶点(数据元素)的有穷非空集合；
E：边的有穷集合。
无向图：每条边都是无方向的
有向图：每条边都是有方向的
G2
G1
V1
V2
V1
V2
V3
V4
V5
V3
V4
完全图：任意两个点都有一条边相连
无向完全图 n(n-1)/2 条边
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有向完全图 n(n-1) 条边
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子图
设有两个图G=（V，E）、G1=（V1，E1）， 若V1V，E1E，则称 G1是G的子图。 例:(b)、(c) 是 (a) 的子图
V0
V1
V2
V3
V4
V1
V2
V3
V4
(a)
(b)
(c)
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顶点的度：与该顶点相关联的边的数目，记为TD(v) 在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。 顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边的条数, 记作 ID(v) 顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数, 记作OD(v)
教学内容
6.1 图的定义和基本术语 6.2 案例引入 6.3 图的类型定义 6.4 图的存储结构 6.5 图的遍历 6.6 图的应用 6.7 案例分析与实现
教学目标
1.掌握：图的基本概念及相关术语和性质 2.熟练掌握：图的邻接矩阵和邻接表两种存储表示方法 3.熟练掌握：图的两种遍历方法DFS和BFS 4.熟练掌握：最短路算法（Dijkstra算法） 5.掌握：最小生成树的两种算法及拓扑排序算法的思想