图的定义和术语共72页
图的基本定义
图（有向图、无向图）1．图的定义图1所示的⑴，⑵，⑶均为图(Graph)，它有若干个不同的点v1，v2，…，v n，在其中一些点之间用直线或曲线连接。
图中的这些点被称为顶点(vertex)或结点，连接顶点的曲线或直线称为边(edge)。
通常将这种由若干个顶点以及连接某些顶点的边所组成的图形称为图，顶点通常被称作是图中的数据元素。
图1在线性结构中每个元素只有一个前趋和一个后续，而图1中的各个图则与之不同，它是一种较为复杂的非线性数据结构，在图结构中的任意两个元素之间都可能相互联系，即每个元素都可能有多个前趋或多个后续。
图作为一种数据结构，通常又可被定义为：graph=(V，E)或G=(V，E)，即一个图是由顶点的集合V和边的集合E组成。
在图1中⑴图中的边没有方向，这类图称为无向图(undirected graph)。
在记录无向图时，(v1，v2 )等价于(v2，v1)。
在图1中⑵图中的边上有一个箭头，它表示边的方向，这类图称为有向图(directed graph)。
在记录有向图时，<v1，v2 >与<v2，v1 >是两条不同的边。
图1中⑴图的顶点集合为：V ＝｛v1，v2，v3，v4｝边集合为：E ＝｛（v1，v2），（v1，v3），（v2，v3），（v2，v4），（v3，v4）｝图1中⑵图的顶点集合为：V ＝｛v1，v2，v3，v4｝边集合为：E ＝｛<v1，v2 >，<v1，v3 >，<v1，v4 >，<v2，v1 >，<v4，v2 >}2 ．图的常用术语环(cycle)：图1中⑶图中的v1点本身也有边相连，这种边称为环。
有限图：顶点与边数均为有限的图，如图1中的三个图均属于有限图。
简单图：没有环且每两个顶点间最多只有一条边相连的图，如图1中的⑴图。
邻接与关联：当（v1，v2）∈E，或<v1，v2 >∈E，即v1，v2间有边相连时，则称v1和v2是相邻的，它们互为邻接点（adjacent），同时称（v1，v2）或<v1，v2 >是与顶点v1、v2相关联的边。
《图的定义和术语》课件
连通图(connected graph)
连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
强连通图(strongly connected graph)
强连通图是指有向图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
无向图(undirected graph)
无向图是指边没有方向的图，任意两个顶点之间都存在边连接。
邻接矩阵是一种表示图的方式，使用二维数组来记录顶点之间的连接关系。
邻接表(adjacency list)
邻接表是一种表示图的方式，使用链表或数组来记录每个顶点的相邻顶点。
图的遍历(traversing the graph)
图的遍历是指按照某种规则遍历图中的所有顶点和边，例如深度优先搜索和广度优先搜索。
图的着色是指给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同。
欧拉图(Eulerian graph)
欧拉图是指可以沿着每条边只经过一次的闭合路径遍历图中所有边的图。
哈密顿图(Hamiltonian graph)
哈密顿图是指可以沿着一条路径遍历图中所有顶点一次且只一次的图。
邻接矩阵(adjacency matrix)
《图的定义和术语》PPT 课件
本课件将介绍图的定义和一些重要术语，包括顶点、边、路径、圈、简单图、 完全图等，以及图的遍历和邻接矩阵等。
简介
什么是图
图是由一些点和这些点之间连接关系组成的 数据结构，常用于解决各种实际问题。
图的用途
图可以用于模拟网络、路径规划、社交网络 分析等领域，具有广泛的应用价值。
图的定义
图由顶点集合和边集合组成，一般用V表示顶点集合，用E表示边集合。
顶点(vertex)
顶点是图的基本元素，通常用不同的符号或编号表示。在图中表示为圆点。
7.1图的定义和术语7.2图的存储结构7.3图的遍历7.4图的连
例7.1
245
1
3
6
G1
图G1中：V(G1)={1,2,3,4,5,6} E(G1)={<1,2>, <2,1>, <2,3>, <2,4>, <3,5>, <5,6>, <6,3>}
例7.2 1
57
32
46
G2
图G2中：V(G2)={1,2,3,4,5,6,7} E(G1)={(1,2), (1,3), (2,3), (2,4),(2,5), (5,6), (5,7)}
<v,w>表示从v到w的弧， 谓词P(v,w)定义了弧<v,w>的意义或信息} 差不多操作P：
}
差不多操作
CreatGraph(&G, V, VR) // 按定义(V, VR) 构造图 DestroyGraph(&G): // 销毁图 LocateVex(G, u); // 假设G中存在顶点u，那么返回该顶点在 图中“位 置” ；否那么返回其它信息。 GetVex(G, v); // 返回 v 的值。
PutVex(&G, v, value); // 对 v 赋值value。
差不多操作
FirstAdjVex(G, v); // 返回 v 的“第一个邻接点” 。假设该顶点
/N/在extGAd中jV没ex有(G邻, 接v, w点)，; 则返回“空”。 // 返回 v 的（相关于 w 的） “下一个邻接 点”。假设 w 是 v 的最后一个邻接点，那么返回“空”。
typedef struct { // 图的定义 VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];// 顶点 信息 AdjMatrix arcs; // 弧的信息 int vexnum, arcnum; // 顶点数，弧数 GraphKind kind; // 图的种类标志 } MGraph;
一、图的定义
一、图的定义一、图的定义图是一系列顶点（结点）和描述顶点之间的关系边（弧）组成。
图是数据元素的集合，这些数据元素被相互连接以形成网络。
其形式化定义为：G=（V，E）V={Vi|Vi∈某个数据元素集合}E={(Vi,Vj)|Vi,Vj∈V∧P(Vi,Vj)}其中，G表示图，V是顶点的集合，E是边或弧的集合。
在集合E 中，P(Vi,Vj)表示顶点Vi和顶点Vj之间有边或弧相连。
二、图的术语顶点集：图中具有相同特性的数据元素的集合称为顶点集。
边（弧）：边是一对顶点间的路径，通常带箭头的边称为弧。
弧头：每条箭头线的头顶点表示构成弧的有序对中的后一个。
弧尾：每条箭头线的尾顶点表示构成弧的有序对中的前一个顶点，称为弧尾或始点。
度：在无向图中的顶点的度是指连那个顶点的边的数量。
在有向图中，每个顶点有两种类的的度：出度和入度。
入度：顶点的入度是指向那个顶点的边的数量。
出度：顶点的出度是由那个顶点出发的边的数量。
权：有些图的边（或弧）附带有一些数据信息，这些数据信息称为边（或弧）的权（weigh）。
三、图的分类有向图：在一个图中，如果任意两顶点构成的偶对（Vi,Vj）是有序的，那么称该图为有向图。
这里Vi是弧尾，Vj是弧头。
这表示有一个从顶点Vi到顶点 Vj的路径。
但是从Vj到Vi是不可能的。
无向图：在一个图中，如果有任意两顶点构成的边（Vi,Vj），（Vi,Vj）和（Vj ，Vi）是相同的。
在一个无向图中，如果任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为无向完全图。
无向完全图又称完全图。
在一个有向图，如果任意两个顶点之间都是弧相连，则称该图为有向完全图。
有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
四、图的基本操作1.SetNode()：在图中增加一个新的顶点2.GetNode()：获取图中指定顶点3.SetEdge()：在两个顶点之间添加指定权值的边或弧4.GetEdge()：获取两个顶点之间的边5.DelEdge()：删除两个顶点之间的边或弧6.GetNumOfVertex()：获取邻接矩阵顶点数7.GetNumOfEdge()：获取邻接矩阵边或弧的数目8.GetIndex()：获取指定顶点在数组中的索引9.IsEdge()：判断两个顶点之间是否存在边或弧10.IsNode()：判断指定结点是否是图的顶点。
第七章 图的定义和术语 1
⑵ 设一有向图G=(V,E)，其中V={a,b,c,d,e} ， E={<a,b>, <a,d>, <b,a>, <c,b>, <c,d>, <d,e>,<e,a>, <e,b>, <e,c>} ① 请画出该有向图，并求各顶点的入度和出 度。
V1
V2
V1
V2
V3 V3 V4 V4 V5
(a)
(b)
图7.1 图的示例 (a)有向图G1 (b)无向图G2
完全无向图：对于无向图，若图中顶点数为 n ，用e表示边的数目，则e [0，n(n-1)/2] 。具 有n(n-1)/2条边的无向图称为完全无向图。 完全无向图另外的定义是： 对于无向图G=(V，E)，若vi，vj V ，当 vi≠vj时，有(vi ,vj)E，即图中任意两个不同的顶 点间都有一条无向边，这样的无向图称为完全无 向图。
顶点vi经过若干条边能到达vj，称顶点vi和vj是连 通的，又称顶点vi到vj有路径。 对有向图G=(V，E)，从顶点vi到vj有有向路 径，指的是从顶点vi经过若干条有向边(弧)能到 达vj。
路径的长度：路径上边或有向边(弧)的数目 称为该路径的长度。 在一条路径中，若没有重复相同的顶点，该 路径称为简单路径；第一个顶点和最后一个顶点 相同的路径称为回路(环)；在一个回路中，若除 第一个与最后一个顶点外，其余顶点不重复出现 的回路称为简单回路(简单环)。
V1 V2 V1 V2
V3
V4
V3
V4
(G1)
强连通分量
生成树、生成森林：一个连通图(无向图)的 生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n 个顶点和只有足以构成一棵树的n-1条边，称为 图的生成树。如图7.5所示。
图的定义和术语
生成森林:一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成,含有图 生成森林:一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成, 中全部的结点,但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧. 中全部的结点,但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧. A B C F F E D E 图7.5 一个有向图及其生成森林 A B D C
(B, E), (C, D), (D, F), (B, F), (C, F) }
由顶点集和边 集构成的图称 作无向图.
B A F
C D E
15
A
21 2
9 11
弧或边带权的图
B
3
7
E
有向网或 分别称作有向网 有向网 无向网. 无向网
C
F B A E C A
设图G=(V,{VR}) 和 图 G′=(V′,{VR′}), B 且 V′V, VR′VR, 子图. 则称 G′ 为 G 的子图 子图
一般地,如果顶点 的度记为TD(vi),那么一个有 个顶点,e条 个顶点, 一般地,如果顶点vi的度记为 ,那么一个有n个顶点 条
1 边或弧的图,满足如下关系: 边或弧的图,满足如下关系:e = 2
n
∑ TD ( v
i =1
i
)
路径( ):在无向图 中从顶点v到顶点 路径(Path):在无向图 ):在无向图G=(V, {E})中从顶点 到顶点 的一个顶点序列 中从顶点 到顶点v'的一个顶点序列 (v = vi,0, vi,1, …, vi,m = v'),其中 i,j-1, vi,j)∈E,1≤j≤m.若G是有向图,则路 是有向图, ,其中(v ∈ , ≤≤ . 是有向图 径也是有向的,顶点序列满足<v 径也是有向的,顶点序列满足 i,j-1, vi,j>∈E,1≤j≤m. ∈ , ≤≤ . 路径的长度:路径上的边或弧的数目. 路径的长度:路径上的边或弧的数目. 回路或环(Cycle):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径. ):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径 回路或环( ):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径. 简单路径:序列中顶点不重复出现的路径. 简单路径:序列中顶点不重复出现的路径. 简单回路或简单环:除了第一个顶点和最后一个顶点之外, 简单回路或简单环:除了第一个顶点和最后一个顶点之外,其余顶点不 重复出现的回路. 重复出现的回路. 连通:在无向图 中 如果从顶点v到顶点 有路径,则称v和 是连通的 到顶点v'有路径 是连通的. 连通:在无向图G中,如果从顶点 到顶点 有路径,则称 和v'是连通的. 连通图( ):对于图中任意两个顶点 连通图(Connected Graph):对于图中任意两个顶点 i, vj∈V,vi和vj都 ):对于图中任意两个顶点v , 是连通的图. 是连通的图. 连通分量( ):指无向图中的极大连通子图 连通分量(Connected Component):指无向图中的极大连通子图. ):指无向图中的极大连通子图.
图的基本概念及术语汇总
第7 章
7．2 图的存储结构
7．3 图的遍历 7．4 图的应用
图
7．1 图的基本概念及术语
7．5 应用举例及分析 习题
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7．1 图的基本概念及术语
一、基本概念：
图：图G（Graph）由两个集合构成，记作G=（V，E），V 是顶点的有穷非空集合；E是用顶点对表示的边（Edge）的 有穷集合。 顶点：图中的数据元素通常称为顶点（vertex）。 无向图：若G中表示边的顶点对是无序的，则称为无向图。
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7、 权、网
在一个图的每条边或弧上，标上具有某
种含义的数值，这种与图的边相关的数值称 为权（weight），这种边或弧上带权的图称 为网（network）。
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7 ．2
图的存储结构
7.2.1 邻接矩阵表示法：
1、定义：设G=（V，E）是N个顶点的图（顶
点序号依次为0，1，2，3，……n-1）。G的
G1.arc=
G2.arc=
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3、邻接矩阵表示法的性质：
对于无向图：
1．邻接矩阵一定是对称的 2．第i行（或第i列）非0元素个数正好是第i个顶点的度TD （Vi）
对于有向图：
1．邻接矩阵不一定对称 2．第i行非0元素的个数是顶点i的出度OD（Vi），第i列非 0元素的个数是顶点i的入度ID（Vi） 3. 结构说明如下
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5、 路径，回路 无向图G=（V，E）中，路径是从顶点V到 顶点V′间的一个顶点序列（V=Vi0，Vi1，Vi2， Vi3，……，Vim=V′），其中，（Vij-1，Vij） ∈E（1≤j≤m）。 若是有向图，路径也是有向的。 路径的起点和终点相同（即V=V），则称此 路径为回路或环（cycle） 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 ★ 路径上边或弧的数目称为路径长度
图的基本概念及基本术语
图的基本概念及基本术语基本数据结构线性表结构：线性关系除了起始结点与终⽌结点外，每个结点只有⼀个直接前驱和⼀个直接后继树形结构：层次关系除了根结点外，每个结点只有⼀个⽗结点，但可以有多个⼉⼦结点图：⾮线性结构更加复杂每个结点(顶点)既可以有前驱结点也可以有后继结点，且个数不加限制。
图的其它分类简单图:不考虑顶点到其⾃⾝的边,即(u,v)是图G的边，则u≠v；且，如果图中没有相同的边,则称图为简单图。
完全图:设|V|=n, |E|=e。
对有向图G，若e=n(n-1)，则称G为完全有向图;对⽆向图G，若e=n(n-1)/2;则称G为完全⽆向图。
稀疏图: 有很少条边的图（e<nlogn）稠密图: 相反于稀疏图的图。
赋权图：若⽆向图的每条边都带⼀个权，则称相应的图为赋权⽆向图。
若有向图的每条边都带⼀个权，则称相应的图为赋权有向图。
通常，权是具有某种实际意义的数，⽐如，2个顶点之间的距离，耗费等。
⽹：带权的图称为赋权图或⽹。
顶点的度⽆向图顶点的度：关联于该顶点的边的数⽬，记为D(v)。
有向图顶点：以顶点v为终点的边的数⽬，称为v的⼊度，记为ID(v)；以顶点v为起点的边的数⽬，称为v的出度，记为OD(v)；顶点v的度则定义为该顶点的⼊度与出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v)。
基本操作：1. CreateGraph(G): 创建图G.2. DestroyGraph(G): 销毁图G.3. LocateVertex(G,v): 返回顶点v在图G中的位置，若没有顶点v，则返回值为“空”（-1）.4. GetVertex(G,i):返回图G中第i个顶点的值，若i⼤于图G中顶点数，则返回值为“空”(－1).5. FirstAdjVertex(G,v): 图G中顶点v的第⼀个邻接点。
若v⽆邻接点或图G中⽆顶点v，则返回值为“空”(-1)。
6. NextAdjVertex(G,v,w): 图G中顶点v的下⼀个邻接点紧跟在w后⾯）。
图的基本概念图定义
图
定义：所谓图是一个二元组，G=<V,E>
(1) V ={v1,v2,…,vn}为顶点集，元素称为顶点
(2) E={e1,e2,…,em}为边的集合，其中et为（vi,vj）或<vi,vj>， （vi,vj）是无向边， <vi,vj> 是有向边。
定义11.2
邻接点：若两个结点，由一条边所连接，则这两个结点称
(D), 最小度(D) (4)悬挂顶点：度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 (5)偶度顶点：度为偶数的顶点；奇度顶点：度为奇数的顶点。
定义11.15 生成子图（spanning subgraph） 设GG，若EE且V=V，则
称G为G的生成子图。
定义11.16 导出子图（derived subgraph）若G=<V,E>, 导 出子图有两种： V的导出子图：VV且V，以V为结点集，两端点均在V中边的全体 称为边集的子图，记作G[V] E的导出子图：EE且E，以E为边集，所有边都在E中的结点的全体
为邻接结点。
定义11.3
邻接的边（adjacent sides）：若两条边连接同一个结点，
则这两条边称为邻接的边。
定义11.4
（n,m）图：具有n个结点，m条边的图，称为（n,m）
图
定义11.5 有向图（directed graph）每一条边都是有向边的图，称为有 向图。反之，每一条边都不是有向边，而是无向边的图称为无向图。 定义11.6 混合图（mixed graph）图中不全是有向边，也不全是无向 边的图，是混合图。 定义11.7 完全图（complete graph）若G是（n,m）无向图（n ≧ 2）， 如果任意两个不同结点都是邻接点，则图G称为（n,m）无向完全图。 如果G是（n,m）图，在每一对结点之间都有一对方向相反的有向边， 则图G称为（n,m）有向完全图。
图的基本概念及术语汇总
短路径，逐个把第二组中的顶点加到第一组中去，直至S=V。
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7.5 应用举例及分析
C2
例7.1拓扑排序实用程序。 对应该有向图，用邻接链 表结构存储此图。程序首 先调用建立有向图邻接链 表的算法，建立有向图的 邻接链表，在此邻接链表 结构上，实现对有向图的 拓扑排序并输出结果。
e1
//每条弧对应一个结点
//顶点的入度 //顶点的信息 //每个顶点对应一单链表
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typedef struct {VEXNODE adjlist[MAXLEN]; //邻接链表 int vexnum,arcnum; //有向图的顶点数目、弧数目 int kind; //有向图的 kind = 1 }ADJGRAPH; ADJGRAPH creat_adjgraph() { EDGENODE * p; Int I,s,d;
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6、 连通，强连通
若从顶点Vi到Vj(i≠j)有路径，则称Vi和Vj是连通的。
如果无向图中任意两个顶点Vi和Vj都是连通的，则称该
无向图是连通图。无向图中极大连通子图称为连通分量。 在有向图中，若任意两个顶点Vi和Vj都连通，即从Vi到 Vj和Vj到Vi都有路径，则称该有向图为强连通图。有向图中 的极大连通子图称为该有向图的强连通分量。
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7 ．3
图 的 遍 历
图的遍历：从图中某顶点出发对图中每个
顶点访问一次，而且只访问一次，这一过程称
为图的遍历。
图的遍历方法有：深度优先搜索遍历和广
度优先搜索遍历。
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7.3.1 深度优先搜索遍历 算法描述：从图中某个顶点V出发，首先访问
图的定义和术语PPT共72页
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
图
10
0
24
28 14
1
16
10
0
6 4 (a) 0
1
10
0
6 4 (b) 0
14
1
2 3 1
16
5
25
6
18 12
2 5
2 5
25
4 22 3 原图
10
3 1
0
1
10
10
5
25
6
4 22 3 (c)
2 5
25
6
4 22 3 (d)
2 5
12 25
6
4 22 3 (e) (f)
2
12
思考：利用普里姆算法构造最小生成树
1 2 3 4 0 5
E={(0,1), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (3,4), (3,5), (4,5)}
如果无向图有n(n-1)/2条边，则称无向图为完全图。 1 2 3
完全图
0 5
0
4
1
有向完全图
2
如果有向图有n(n-1)条边，则称为有向完全图
8
9
回退 深度优先生成树
8
9
三、广度优先搜索(BFS)
广度优先搜索(BFS)是一种分层搜索方法 算法： 从图中某未访问过的顶点vi出发： 1）访问顶点vi ； 2）访问 vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …wk ； 3）依次从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的邻接 点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被 访问； 0 1
图
图的定义和术语
图的存储结构
图的定义(精)
BFSTRaverse(G,v,Visit()); 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，Visit是顶点的应用函数 操作结果：从顶点v起广度优先遍历图G，并对每个顶点调用函数Visit一 次。一旦Visit()失败，则操作失败。
tpyedef struct{
VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量
AdjMatrix arcs; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数
GraphKind kind; //图的种类标志
}MGraph;
17
18
关于邻接矩阵
9
v1与v2互为邻接点 e1依附于顶点v1和v2 v1和v2相关联 v1的度为3
通路 连通
10
对有向图， 如果每一对顶点之间都有通路，则称该图为强连通图。 环 入度 出度
11
有关概念：
Weight
network
Graph
Subgraph
Cycle
Path
12
顶点的位置 邻接点的位置
13
3
基本操作P：
CreateGraph(&G,V,VR); 初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。 操作结果：按V和VR的定义构造图G
DestroyGraph(&G); 初始条件：图G存在 操作结果：销毁图G
LocateVex(G,u); 初始条件：图G存在，u一G中顶点有相同特征 操作结果：若G中存在顶点u, 则返回该顶点在图中位置；否则 返回其它信息。