高等数学下册复习

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高等数学下册复习资料

高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。

学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。

因此，复习高等数学下册是非常必要的。

一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。

在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。

2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。

3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。

这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。

二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。

学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。

2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。

学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。

同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。

3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。

通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。

4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。

在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。

三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。

通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

高数下册常用常见知识点

高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。

2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。

3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。

4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。

ay。

az)，向量b=(bx。

by。

bz)，则a±b=(ax±bx。

ay±by。

az±bz)，λa=(λax。

λay。

λaz)。

5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。

二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。

2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。

三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。

2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。

3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。

4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。

2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分)1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解:设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分）所求平面方程为 032=++z y x （6分） 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分）⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ （6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π三、解答题（共35分每题7分)1．设vue z =，而22y x u +=,xy v =,求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分）2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yz x z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -=,xz F y -=,xy e F zz -= （5分）xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂．（7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解:添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d （5分）ππ=-⋅=022 （7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+，即xe xf x f =-')()( （3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=，（6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解：因为)!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ （3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= （6分) 故该级数收敛．（7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分）0d 3-=⎰⎰⎰Ωv （6分）34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分)在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=，令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大．（6分）六、（8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→nn a a R n n n n ,故收敛半径为1=R ．（2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法，级数收敛; 当1=x 时，级数为调和级数,发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分）再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分）七、（5分)设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ （2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分）由于上式右边可导,所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ,故3=C ．因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ．(5分）八．（5分）已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有x x x x e C e C xe e y --++='2212, x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π．4。

高数下册复习知识

高数下册复习知识.多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数最典型的是二元函数极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续，则求导次序可交换微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。

只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在，且连续，则微分一定存在极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。

对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。

若通项趋于零，看是否正项级数。

若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。

高等数学下册知识点

高等数学下册知识点第七章空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-，取点M 使MB AM 2=，则向量OM=。

2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110，则AB=。

3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,，则cos cos cos 222ξηζ++= 。

4、设向量a 的方向角απβ=3,为锐角，γπβ=-4=，则a = 。

5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。

6、过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，，垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是130211:1--=-=-z y x L ，11122:2zy x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--03206:2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为（）（A ）． 6π （B ）．4π （C ）．3π （D ）2π．9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（）（A ）A D ==0 （B ）B C =≠00, （C ）B C ≠=00, （D ）B C ==0 10、平面3510x z -+=（）（A ）平行于zox 平面（B ）平行于y 轴（C ）垂直于y 轴（D ）垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z ++-=22100的距离为（）（A ）1 （B ）±1 （C ）－1 （D ）1312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为。

13、过点(,,)121与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为。

14、平面0218419=++-z y x和0428419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。

高数下知识点复习

高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的定义为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质：(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。

(2) 导函数的值表示函数的斜率。

(3) 导函数具有线性性质，即对于常数a和b，有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。

(4) 导函数的导数为二阶导数，记作$f''(x)$。

3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点附近的变化量。

微分的定义为：$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括：(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算：若函数f(x)和g(x)可导，则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。

数列的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数N，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<\varepsilon$。

2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。

函数的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$。

3.极限的性质极限具有如下的性质：(1) 唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。

高等数学下册复习第九章(二重积分)

1 1 x 2 0 1 x
1 x2 0 0
典型例题
13 把下列积分化为极坐标形式并计算积分值（2） dx x y dy (4) dy (x y )dx 14 利用极坐标计算下列各题
a x 2 2 0 0
a
a2 y2
2
2
0
0
(2) ln(1 x y )d ，其中 D 是由圆周 x2y2 1 及坐标轴
(x2

y 2 )]d
y 轴上半平面部分
定理3
设 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，若 D
关于原点对称，则

D
0 f x，y d 2 f x，y d D3
f x，-y ＝ f x，y ， x，y D f x，-y f x，y ， x，y D
第九章二重积分
内容要点一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义：和式的极限
n
f ( i ,i ) i D f ( x , y )d lim 0
i 1
2.曲顶柱体的体积: V f ( x, y )d

D
平面薄片的密度: M ( x, y )d
将D分割, 如图. 则 2 2 xyf ( x y )d 0, D2 xd 0. D
D xd D1 xd
2
0 x3 xdx x 3 dy 1

0 4 dx x 1
2 , 5 2 . 5
所以, D x[1 yf
x 2 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy

高等数学(下)知识点总结

高等数学(下)知识点总结1、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：双叶双曲面：4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：5）椭圆柱面：双曲柱面：6）抛物柱面：（二）平面及其方程1、点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，；4、点到平面的距离：（三）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、两直线的夹角：，，；4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，；第九章多元函数微分法及其应用1、连续：2、偏导数：；3、方向导数：其中为的方向角。

4、梯度：，则。

5、全微分：设，则（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、微分法1）复合函数求导：链式法则若，则，（二）应用1）求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，① 若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；② 若，函数没有极值；③ 若，不定。

2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：2、计算：1）直角坐标，，2）极坐标，（二）三重积分1、定义：2、计算：1）直角坐标-----------“先一后二”-----------“先二后一”2）柱面坐标，3）球面坐标（三）应用曲面的面积：第一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，、向量形式：2、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则、（三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分在内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：—“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”，为下侧取“级数：（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：3、收敛半径的求法：，则收敛半径4、泰勒级数展开步骤：（直接展开法）1）求出；2）求出；3）写出；4）验证是否成立。

高数下册复习知识点总结

高数下册复习知识点总结：§8空间解析几乎与向量代数1. 给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。

2. 向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，掌握两个向量垂直和平行的条件。

3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。

空间曲线在坐标平面上的投影方程。

4.平面方程和直线方程及其求法。

5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6.点到直线以及点到平面的距离。

§9 多元函数微分法及其应用1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。

2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。

3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。

4.利用充分条件判断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。

§10 重积分1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。

2.选择合适的坐标系计算三重积分。

3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；4.利用质心和转动惯量公式求解问题。

§11曲面积分与曲线积分1.两类曲线积分的计算与联系；2.两类曲面积分的计算与联系；3.格林公式和高斯公式的应用。

§12曲面积分与曲线积分1.常数项积分的敛散性判别：（1）正项级数；（2）交错级数；（3）一般级数2.幂级数的收敛域（1）标准型（2）非标准型幂级数的和函数，幂级数展开3. 傅里叶级数的和函数以及展开式。

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高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1）利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高数下册总复习知识点.pptx

F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导，z f (u, v)
在点处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋转椭球面
z
o
y
x
（1）球面（2）圆锥面（3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2

高数下知识点复习

高数下知识点复习高等数学下册包含了许多重要的知识点，对于我们深入理解数学的应用和进一步学习其他学科都有着至关重要的作用。

下面就来对这些知识点进行一个系统的复习。

首先是多元函数的微积分学。

多元函数与一元函数有很多相似之处，但也存在着明显的差异。

对于多元函数的极限与连续，要理解多元函数极限的定义和存在条件。

它比一元函数的极限更为复杂，因为需要考虑多个方向上的趋近情况。

连续性的判断也是基于极限的概念，需要函数在某点的极限值等于该点的函数值。

多元函数的偏导数是重点之一。

偏导数表示函数在某一变量方向上的变化率。

计算偏导数时，将其他变量视为常数，只对关注的变量进行求导。

比如对于函数＼（f(x,y)＼），＼（f_x\）表示对＼（x\）的偏导数，＼（f_y\）表示对＼（y\）的偏导数。

偏导数的几何意义可以理解为曲面在某一坐标轴方向上的切线斜率。

全微分则是综合考虑了各个变量的变化对函数值的影响。

它的表达式为＼（dz ＝ f_x dx ＋ f_y dy\）。

接着是多元函数的极值问题。

通过求解偏导数为零的方程组，得到驻点。

然后利用二阶偏导数判断驻点是否为极值点。

这里会涉及到判别式＼（D ＝ f_{xx}f_{yy} f_{xy}＾2\）。

若＼（D ＞ 0\）且＼（f_{xx} ＞ 0\），则为极小值点；若＼（D ＞ 0\）且＼（f_{xx} ＜0\），则为极大值点；若＼（D ＜ 0\），则不是极值点。

然后是重积分。

二重积分可以用于计算平面区域上的面积、质量等。

将二重积分化为累次积分是常见的计算方法，要根据积分区域的形状选择合适的积分顺序。

三重积分则是对空间区域的积分，其计算方法与二重积分类似，但更加复杂。

在重积分的应用中，求曲面的面积是一个重要的内容。

需要利用曲面的方程和相应的积分公式进行计算。

再来说说曲线积分和曲面积分。

曲线积分分为第一型曲线积分和第二型曲线积分。

第一型曲线积分与曲线的长度有关，常用于计算曲线的质量等。

高数下复习重点

高数下复习重点第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算1向量的模（向量的长度），单位向量，零向量，相等向量，自由向量，向量夹角，向量平行，向量垂直的概念2向量的加法：交换律，结合律，︱a+b︱≤a︱+︱b︱3数乘：–1a称为a的负向量数乘满足：⑴结合律⑵分配律⑶当a≠0时，1/︱a︱×a是与a同方向的单位向量⑷a≠0，a∥b～存在实数k使a=k b⑸向量的坐标运算4向量的坐标表示～向量的坐标运算5向量的模与方向余弦平p277第二节向量的乘积1向量的数量积及其满足的性质p2792向量数量积的坐标运算3向量的向量积定义，几何意义，满足的性质及运算法则p2814向量的混合积的性质：a，b，c共面的充要条件为〔abc〕=0其几何意义：以a，b，c为相邻三棱的平行六面体的体积第三节空间曲面1平面方程：点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0n=｛A,B,C｝一般式：Ax+By+Cz+D=0三点式方程：〔AB AC AD〕=02两平面夹角：Cosθ=︱n1.n2︱／︱n1︱︱n2︱θ∈[0,∏∕2]∏1∥∏2～A1/A2=B1/B2=C1/C2∏1⊥∏2～A1A2+B1B2+C1C2=03点到平面的距离公式d=︱Ax0+By0+Cz0+D︱/(A,B,C,的平方和开根号)4柱面其方程的特点：方程中缺一个字母5旋转曲面∑是由yoz坐标面上曲线C：f（y，z）=0绕z轴旋转一周而成，期房称为f（±x，y的平方和开根号，z）=0；若为绕y轴则方程为f（y，±x，z的平方和开根号）=0第四节空间曲线1空间曲线方程：一般方程参数方程2空间曲线在坐标面上的投影的算法3空间直线方程：一般式点向式参数方程两点式4两直线夹角Cosθ=︱s1.s2︱/︱s1︱︱s2︱L1⊥L2～m1m2+n1n2+p1p2=0L1∥L2～m1/m2=n1/n2=p1/p2L⊥∏～m/A=n/B=p/CL∥∏～Am+Bn+Cp=0典型例题p295 例题75平面束典型例题p296 例题8，p290 2、（6）第九章多元函数微分学第一节多元函数的概念1邻域，去心邻域，内点，聚点，边界点的概念及关系2有界点集与无界点集3开集，闭集，连通集，区域，开区域，闭区域第二节二元函数的极限与连续典型例题p305例题4定理2讨论二元函数的连续性3最值定理，有界定理，介值定理，零点定理第三节偏导数1偏导数的定义2可偏导，对x，y的偏导数都存在3偏导数的几何意义：对某个未知量的偏导数就是在某点处的切线关于某轴的斜率4偏导数的计算：实质为一元函数的求导5定理1p313第四节全微分1偏微分的概念2全微分：等于各偏微分之和dz=Adx+Bdy2可微的必要条件p3173可微的充要条件p3184可微的充分条件p3185推论p3196利用全微分计算多元函数的函数近似值第五节多元复合函数的求导法则1二元函数偏导数的求导法则（定理1p322）2多元函数偏导数求导公式（定理2p327）3全微分形式不变性p3274若u=u（x，y），v=v（x，y),z=f(u,v),则dz=du+dv=（u对x的偏导数dx+u对y的偏导数dy）+（v对x的偏导数dx+v对y的偏导数dy）第六节隐函数的微分法1隐函数存在定理一p329其本质是让等式两边同时对x求导2隐函数存在定理二p331实质同一3隐函数存在定理三p333实质同一4隐函数存在定理四p333实质同一“3-2”“4-2”型，其本质是解方程组5全微分典型例题p336 例题6第七节方向导数和梯度1方向导数的求法定理1p3392方向导数推广到n元函数3梯度的概念p3414梯度与方向导数的关系p3415梯度推广至三元函数6方向导数为梯度与单位方向向量的数量积，即梯度的模长第九节多元函数的极值1极值存在的必要条件p3472极值存在的第二充分条件p3483条件极值的求法：Lagrange乘数法4最值求解步骤：①求出f（x，y）在D内部所有可能极值点②求出f（x，y）在D边界上的所有可能条件极值点③分别计算上述各点处的函数值，最大的就是f（x，y）在D上的最大值，最小者就是f（x，y）在D上的最小值第十节多元函数微分学的几何应用1定理1p3592法平面的概念：与曲线的切向量相垂直的面3定理2p3604定理3p3605定理4p3626定理5p3637关系图p367第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1dσ=dxdy曲顶柱体的体积v=⎰⎰f（x，y)dσ2二重积分的几何意义p3723二重积分的性质p373（积分中值定理）4定理1,2（二重积分的对称性：奇偶对称性，轮轮换对称性）p373第二节二重积分的计算1利用直角坐标计算dσ=dxdy2利用极坐标计算dσ=rdrdθ（被积函数中有x，y的平方和项）第三节三重积分的概念及性质（详见笔记)1三重积分的性质p3912奇偶对称性，轮换对称性第四节三重积分的计算1利用直角坐标计算dv=dxdydz2先二后一条件：穿过空间区域Ω的内部且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点不超过两个3利用柱面坐标计算dv=rdrdθdz4利用球面坐标计算dv=p的平方sinφdpdφdθ第五节重积分的应用空间曲面面积（详见笔记)本章重点p411第十一章曲线积分第一节对弧长的曲线积分。

高数下册复习要点

高等数学下册知识点
1 向量的数量积、垂直与平行的充要条件、向量间夹角公式
2 求平面与直线的位置关系
3 求直线与平面方程
4 空间曲线的切向量及切线方程
5 空间曲面的切平面方程
6 计算一阶偏导数及二阶偏导数
7 求方程所确定的隐函数的偏导数
8 抽象函数的偏导数
9 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值
10 求方向导数、梯度
11 利用直角坐标和极坐标计算二重积分
12 交换积分次序
13 计算立体的体积（二重积分或三重积分）
14 曲线积分与路径无关条件
15 计算对弧长的曲线积分
16 利用格林公式计算对坐标的曲线积分
17 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
18 正项级数的审敛法（比较审敛法及其极限形式、比值审敛法）
19 常见的几种级数（几何级数、调和级数、p级数）的敛散性
20 交错级数的莱布尼兹审敛法，绝对收敛和条件收敛
21 幂级数的收敛域和和函数的确定
22 傅里叶级数的展开式及系数计算公式、傅里叶级数的收敛定理。

高数下知识点复习

高数下知识点复习在高等数学下册的学习中，我们接触到了许多重要的知识点。

这些知识点不仅是数学学科的基础，也在实际应用中发挥着重要作用。

接下来，让我们一起对这些知识点进行一次系统的复习。

首先，我们来看看多元函数微分学。

多元函数的概念是这部分的基础，与一元函数不同，多元函数有多个自变量。

对于二元函数 z ＝ f(x, y)，我们要理解其定义域、值域等概念。

偏导数是多元函数微分学中的重要内容。

偏导数表示函数在某一方向上的变化率。

对于函数 z ＝ f(x, y)，其关于 x 的偏导数记为∂z/∂x，关于 y 的偏导数记为∂z/∂y。

计算偏导数时，我们把其他自变量看作常数，只对所关注的自变量求导。

全微分则是对多元函数微小变化的一种精确描述。

如果函数 z ＝f(x, y)的全微分 dz ＝∂z/∂x dx ＋∂z/∂y dy，那么全微分在近似计算和误差分析中有着广泛的应用。

接下来是多元复合函数求导法则。

这部分内容相对复杂，需要我们理清函数之间的复合关系。

比如，对于形如 z ＝ f(u(x, y)， v(x, y)）的复合函数，我们要使用链式法则来求导。

隐函数求导也是一个重点。

当方程 F(x, y) ＝ 0 确定了隐函数 y ＝y(x)时，我们通过对方程两边同时求导来得到隐函数的导数。

再说说方向导数与梯度。

方向导数表示函数沿某一方向的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向是函数值增加最快的方向，其模长等于方向导数的最大值。

在多元函数极值问题中，我们要掌握极值的必要条件和充分条件。

通过求解偏导数为零的方程组，得到可能的极值点，然后再利用充分条件判断是极大值还是极小值。

然后是重积分。

二重积分是将平面区域上的函数进行积分，它可以用来计算平面图形的面积、质量等。

在计算二重积分时，我们可以将其化为累次积分，根据积分区域的特点选择合适的积分顺序。

三重积分则是对空间区域上的函数进行积分，其计算方法与二重积分类似，但更加复杂。

我们可以通过直角坐标、柱坐标、球坐标等不同的坐标系来计算三重积分。

高等数学下册知识点归纳3篇

高等数学下册知识点归纳高等数学下册知识点归纳高等数学下册作为大学数学课程中的重要一环，其课程内容涵盖了微积分以及线性代数等多个重要领域，相信对于每个学习高等数学的学生来说，都必须要掌握其相应的知识点。

本文将从微积分和线性代数两个方面，对高等数学下册的知识点进行归纳总结，以供大家参考学习。

一、微积分1.导数与微分导数是微积分的核心概念之一，可以帮助我们研究函数的斜率、速度、加速度以及最值等问题。

在学习导数时，需要了解导数的定义与性质、基本初等函数的导数公式、高阶导数、隐函数的导数、参数方程的导数以及向量值函数的导数等内容。

而微分则是求导数的方法之一，其重要性在于可以将函数的微小变化与函数值联系起来，从而更好地理解函数的变化规律。

在学习微分时，需要认识微分的定义及其性质、微分的基本公式、微分中值定理以及微分中的应用。

2.积分与定积分积分是微分的逆运算，其运用十分广泛，可以帮助我们求出函数的面积、体积、重心、质心以及积累效应等问题。

在学习积分时，需要了解积分的定义、基本计算公式、换元积分法、分部积分法、定积分的性质以及定积分的应用等内容。

而定积分则是积分的一种形式，旨在求解有限区间内的面积与体积等问题。

在学习定积分时，需要掌握定积分的本质及其性质、定积分的计算方法、定积分的应用以及牛顿-莱布尼茨公式等重点内容。

3.微积分基本定理微积分基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理。

在牛顿-莱布尼茨公式中，当函数f在[a,b]上连续可导时，积分f(x)dx在[a,b]上的值等于F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

而在积分中值定理中，则指存在一个c∈[a,b]，使得f(c)×(b-a)=∫abf(x)dx。

这两个定理是微积分的核心，为高等数学学习提供了基础。

二、线性代数1.向量空间与线性变换向量空间和线性变换是线性代数中的重要概念，向量空间是指一些向量的集合，满足一定的条件和性质；线性变换是指两个向量空间之间的映射，满足一定的线性性质。

高等数学下知识点总结6篇

高等数学下知识点总结6篇高等数学下知识点总结6篇借鉴经验和教训，对自己的工作和生活进行反思和总结，从而不断进步。

深入学习，专攻某一领域有利于个人成长和职业发展。

下面就让小编给大家带来高等数学下知识点总结，希望大家喜欢!高等数学下知识点总结1第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式。

主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。

对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。

高等数学下册总复习

与 y0确. 定
3.设 f(x,y)连,改续变二 1d次 yy23y2积 f(x,y分 )dx 0 2
的积.分次序
4.设由平x面 yz1,xy1,x0,y0,z1
围成的闭三区重域积， f(分 x 将 ,y,z)dxd化 yd为 z
先z对，再 y，对最x后的对三次 . 积分
n1
若 un
收敛n 1
若
,
u
n
称 u n
绝
对n收 1敛
称 u n
条
发n散 1 ,
件n收 1敛
Leibniz判别法:
若
unun10,
且 limun
n
0,
则交错级数 (1) nun 收敛
n 1
1.设
级a数 n 2收
n1
敛
，
证 an明收(级敛 7分 )数 n1 n
2.判别交错 (级 1)nn数的敛散性
(2)点M0(x0,y0,z0) 到平面：A x+B y+C z+D = 0
的距离：
M0
d
M1M0 n n
Ax0By0Cz0D A2B2C2
d
n
M1
1.求过 (2， 1 点， 3)且平行 2 xxy直 yz2 z2 线 10 0的直对称式及方参程数方程
n1 3n1
3求 . 幂级 n 1n数 22n1xn的收敛(要区讨间论端点处 )
4、判别 n 1(n(1n010)13n0)0是否收敛？若(9'收 ) 敛
5、求
xn的收敛域及和函求数级，数并
n1 n
1 13

高等数学下册知识点归纳

高等数学下册知识点归纳高等数学下册知识点归纳高等数学是数学各个分支中最重要的一门学科之一，包括微积分、线性代数、概率论、常微分方程等多个分支。

本文主要对高等数学下册中的主要知识点进行归纳概括，以方便学生复习和总结。

1. 多元函数微积分多元函数微积分是高等数学的重点内容之一，包括多元函数的极限、连续、可微、偏导数、全微分及其应用、重积分等知识。

其中，偏导数和全微分是多元函数微积分的基础，重积分则是其最具实际意义的应用之一。

2. 常微分方程常微分方程是一种描述自然现象和工程问题的重要数学模型，包括一阶和二阶常微分方程及其组合形式。

常微分方程的解法有解析法和数值法两种，解析法主要包括分离变量法、同解叠加法、常系数线性齐次方程组等方法。

数值法则包括欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。

3. 线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的数学分支，是数学领域中最重要的基础学科之一。

线性代数主要包括向量、矩阵及其运算、线性变换及其矩阵表示、特征值、特征向量以及相似矩阵等内容。

4. 概率论概率论是研究随机现象的概率和统计规律的一门学科，具有广泛的应用背景，包括生命科学、物理学、金融学等领域。

概率论主要包括概率空间、随机变量及其分布、多维随机变量及其联合分布、独立性、条件概率、贝叶斯公式、随机过程以及极限定理等内容。

5. 复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，是一种比实函数更为复杂的函数。

复变函数包括全纯函数及其导数、几何意义、级数展开、奇点、留数、调和函数以及边值问题等内容。

6. 傅里叶级数与变换傅里叶级数与变换是一种将非周期函数表示成一系列正弦和余弦函数或复指数函数的方法。

傅里叶级数是周期函数的展开，傅里叶变换是非周期函数的展开。

傅里叶级数和变换在信号处理、图像处理、量子力学等众多领域中有着广泛应用。

7. 向量场与曲线积分向量场与曲线积分是研究向量场在平面和空间中的性质以及曲线上的曲面积分的一门学科。

向量场主要研究向量函数在区域内的变化规律，曲线积分是将向量场沿着曲线的积分。

高等数学下册知识点

《高等数学下册知识点全解析》高等数学作为理工科专业的重要基础课程，其下册内容涵盖了多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等重要知识领域。

掌握这些知识点，对于深入理解和应用数学及相关学科至关重要。

一、多元函数微积分学1. 多元函数的概念多元函数是指含有多个自变量的函数。

例如，二元函数 z =f(x,y)，其中 x,y 是自变量，z 是因变量。

多元函数的定义域是自变量取值的集合，值域是因变量取值的集合。

2. 偏导数对于多元函数 z = f(x,y)，在某一点处对其中一个自变量求导，而保持其他自变量不变，得到的导数称为偏导数。

偏导数的计算方法与一元函数导数的计算方法类似，只是在求导过程中只对一个变量进行求导。

3. 全微分全微分是多元函数在某一点处的微小变化量的近似表达式。

对于二元函数 z = f(x,y)，如果函数在某一点处可微，则全微分为dz = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy，其中 fx(x,y)和 fy(x,y)分别是函数对 x 和 y 的偏导数。

4. 多元复合函数求导法则当一个多元函数是由多个函数复合而成时，需要使用多元复合函数求导法则来求导。

例如，对于函数 z = f(u,v)，其中 u =u(x,y)，v = v(x,y)，则根据复合函数求导法则，有∂z/∂x = ∂z/∂u* ∂u/∂x + ∂z/∂v * ∂v/∂x，∂z/∂y = ∂z/∂u * ∂u/∂y + ∂z/∂v * ∂v/∂y。

5. 隐函数求导法对于由方程 F(x,y,z)=0 所确定的隐函数 z = z(x,y)，可以通过对方程两边同时对 x 和 y 求导，来求出隐函数的偏导数。

在求导过程中，需要注意将 z 看作是 x 和 y 的函数，使用复合函数求导法则。

6. 多元函数的极值与最值多元函数的极值是指函数在某一点处取得的局部最大值或最小值。

求多元函数极值的方法是先求出函数的驻点（即偏导数为零的点），然后再判断驻点是否为极值点。