【七年级】七年级数学上册第五章一元一次方程53应用一元一次方程水箱变高了学案无答案新版北师大版

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北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计

北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计一、教学目标1.知识目标1.了解一元一次方程的基本概念；2.能掌握应用一元一次方程解决实际问题的方法；3.能够理解水箱变高的原理，掌握相关计算方法。

2.能力目标1.能够运用所学知识解决实际问题；2.能够培养分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点1.一元一次方程的基本概念；2.应用一元一次方程解决实际问题的方法。

三、教学难点1.能够理解水箱变高的原理；2.掌握相关计算方法。

四、课前准备1.教师准备讲义、钢尺、铅笔等教学用品；2.学生准备好课本及学习笔记。

五、教学方法1.讲授法；2.解题法。

六、教学过程Step 1 教师引入1.教师通过举例解释一元一次方程的基本概念；2.通过讲解水箱的变化，引出应用一元一次方程解决实际问题。

Step 2 教师讲解1.教师介绍水箱变高的原理，并引导学生用题目中提供的数据建立数学模型；2.教师通过讲解应用一元一次方程的方法帮助学生求解。

Step 3 学生练习1.学生独立完成练习题；2.学生根据自己的思路和答案，对照教师提供的参考答案。

Step 4 教师提高1.教师解释练习题的解题过程，帮助学生理解其中的数学方法和思想；2.教师指导学生在实际生活中运用所学知识解决问题。

七、作业布置1.学生独立完成书本上“应用一元一次方程解决实际问题”一节中的习题；2.要求学生在作业本上注明题号，并写出解题过程和答案。

八、教学反思本堂课通过引出实际问题的方式，较好地激发了学生学习的兴趣，让学生能够比较轻松、简单地掌握一元一次方程的基本概念和应用方法。

需要注意的是，在练习时可以引导学生先思考、后问问题、后解答，这样能够更好地培养学生分析问题和解决问题的能力。

北师大版七年级数学上册教案《应用一元一次方程——水箱变高了》

《水箱变高了》教学设计教材分析《应用一元一次方程——水箱变高了》为北师大版七年级数学上册第五章第三节，在学生学习了求解一元一次方程之后，学习列一元一次方程解决实际问题中的容积面积类问题。

本节课关键为寻找等量关系，同时使学生体会数学的有用性，感受方程建模思想。

教学目标1.知识目标：借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2.能力目标：通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力。

3.情感目标：通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望。

教学重难点【教学重点】列一元一次方程解容积类应用题。

【教学难点】寻找变化过程中的不变量，准确找到数量关系。

课前准备多媒体课件。

教学过程一、复习引入复习长方形、正方形、圆的周长与面积公式和长方体、正方体、圆柱的体积公式。

【设计意图】通过复习周长、面积和体积公式，使学生更快更准找到等量关系。

二、自主探究、解决问题1.阿基米德与皇冠阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他被称为想撬动地球的人。

阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？【设计意图】通过著名的阿基米德和皇冠的故事，激发学生兴趣的同时使学生体会皇冠体积与水的体积的等量关系。

2.小组活动：将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的“瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的“矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下，新水箱的高变成了多少？解：设新水箱的高为x 厘米由题得：x ×10×=36×5×22ππ 解之得： x=9 r答：新水箱的高为9㎝。

学生活动：学生小组探究，可以借助填表格理清数量关系。

最后展示时应强调书写规范。

七年级数学上册第五章一元一次方程5.3应用一元一次方程—水箱变高了作业设计(新版)北师大版

5.3应用一元一次方程——水箱变高了一、选择题1. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（）A. 54－x＝20%×108B. 54－x＝20%（108＋x）C. 54＋x＝20%×162D. 108－x＝20%（54＋x）2. 某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x 人，则可列方程（）A. 22＋x＝2×26B. 22＋x＝2（26－x）C. 2（22＋x）＝26－xD. 22＝2（26－x）3. 甲数是2013，甲数是乙数的还多1．设乙数为x，则可列方程为（）A. 4（x－1）＝2013B. 4x－1＝2013C. x＋1＝2013D. （x＋1）＝20134. 学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，设有x辆汽车，可列方程（）A. 45x－28＝50（x－1）－12B. 45x＋28＝50（x－1）＋12C. 45x＋28＝50（x－1）－12D. 45x－28＝50（x－1）＋125. 我校初一所有学生参加2012年“元旦联欢晚会”，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是（）A. 30x－8＝31x＋26B. 30x＋8＝31x＋26C. 30x－8＝31x－26D. 30x＋8＝31x－266. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（）A. 1.2×0.8x＋2×0.9（60＋x）＝87B. 1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）＝87C. 2×0.9x＋1.2×0.8（60＋x）＝87D. 2×0.9x＋1.2×0.8（60－x）＝877. 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电量15万度．如果设上半年每月平均用电x度，则所列方程正确的是（）A. 6x＋6（x－2000）＝150000B. 6x＋6（x＋2000）＝150000C. 6x＋6（x－2000）＝15D. 6x＋6（x＋2000）＝158. 希望中学九年级1班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，则下列方程中，正确的是（）A. 2（x－1）＋x＝49B. 2（x＋1）＋x＝49C. x－1＋2x＝49D. x＋1＋2x＝499. 为创建园林城市，盐城市将对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔6米栽1棵，则树苗缺22棵；如果每隔7米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A. 6（x＋22）＝7（x－1）B. 6（x＋22－1）＝7（x－1）C. 6（x＋22－1）＝7xD. 6（x＋22）＝7x10. 一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿数之和是196，设鸡的只数是x，依题意列方程为（）A. 2x＋4（70－x）＝196B. 2x＋4×70＝196C. 4x＋2（70－x）＝196D. 4x＋2×70＝19611. 一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（）A. （1＋50%）x×80%＝x－28B. （1＋50%）x×80%＝x＋28C. （1＋50%x）×80%＝x－28D. （1＋50%x）×80%＝x＋2812. 甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程（）A. 98＋x＝x－3B. 98－x＝x－3C. （98－x）＋3＝xD. （98－x）＋3＝x－313. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6．5m，甲让乙先跑5m，设x秒后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（）A. 7x＝6.5x＋5B. 7x＋5＝6.5xC. （7－6.5）x＝5D. 6.5x＝7x－514. 某商场把一个双肩背书包按进价提高50%标价，然后再按八折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8元．设每个双肩背书包的进价是x元，根据题意列一元一次方程，正确的是（）A. （1＋50%）x•80%－x＝8B. 50%x•80%－x＝8C. （1＋50%）x•80%＝8D. （1＋50%）x－x＝815. 王大爷存入银行2500元，定期一年到期后扣除20%的利息税后得到本息和为2650元，若这种储蓄的年利率为x，那么可得方程（）A. 2500（1＋x）＝2650B. 2500（1＋x%）＝2650C. 2500（1＋x•80%）＝2650D. 2500（1＋x•20%）＝2650二、填空题16. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为______．17. 小明与家人和同学一起到游泳池游泳，买了2张成人票与3张学生票，共付了155元．已知成人票的单价比学生票的单价贵15元，设学生票的单价为x元，可得方程______．18. “比a的2倍小3的数等于a的3倍”可列方程表示为：______．19. 一台电脑的进价为2000元，原标价为3000元，现打折销售，要使利润率保持20%，那么需要在原标价的基础上打几折？设需要打x折．可列方程为______．20. 七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为______．三、解答题21. 在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）22. 有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1．5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是多少元？23. A、B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米，快车先开15分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？（只列出方程，不用解）24. 抗洪救灾小组在甲地段有28人，乙地段有15人，现在又调来29人，分配在甲乙两个地段，要求调配后甲地段人数是乙地段人数的2倍，求应调至甲地段和乙地段各多少人？25. 一份试卷，一共30道选择题，答对一题得3分，答错一题扣1分，小红每题都答了，共得78分，那么小红答对了几道题？请根据题意，列出方程．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54-x=20%（108+x）．故选B．考点：一元一次方程的应用.2. 【答案】B【解析】设第二组调到第一组x人,则第一组的现有人数为:(22+x)人,第二组的现有人数为:(26－x)人,又由于第一组现有人数是第二组的2倍,因此可列方程为: 22+x=2(26－x),故选B.3. 【答案】C【解析】设乙数为x,则根据甲数是乙数的还多1,可列出方程:,故选C.4. 【答案】C【解析】本题中等量关系为:45×汽车数量+28=50×(汽车数量－1) －12,设汽车数量为x,根据题意可得: 45x＋28＝50（x－1）－12,故选C.5. 【答案】D【解析】应根据实际人数不变可列方程，解出即可得出答案.由题意得：30x+8=31x﹣26，故选D．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．6. 【答案】B【解析】设该铅笔卖出x支，则圆珠笔卖出（60﹣x）支.由题意得，0.8×1.2x+0.9×2（60﹣x）=87．故选B．7. 【答案】A【解析】设上半年每月平均用电x度，在下半年每月平均用电为（x﹣2000）度，根据全年用电量15万度，列方程即可．设上半年每月平均用电x度，在下半年每月平均用电为（x ﹣2000）度，由题意得，6x+6（x﹣2000）=150000．故选A．点评：本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，列方程．8.【答案】A【解析】利用该班少一名男生时，男生人数恰为女生人数的一半用男生的人数表示出女生的人数，利用女生人数+男生人数=49求解．设男生人数为x人，则女生为2（x﹣1），根据题意得：2（x﹣1）+x=49，故选A．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到正确的等量关系．9.【答案】B【解析】设原有树苗x棵，根据首、尾两端均栽上树，每间隔6米栽一棵，则缺少22棵，可知这一段公路长为6（x+22﹣1）；若每隔7米栽1棵，则树苗正好用完，可知这一段公路长又可以表示为7（x﹣1），根据公路的长度不变列出方程即可．设原有树苗x棵，由题意得6（x+22﹣1）=7（x﹣1）．故选B．点评：查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题是根据公路的长度不变列出的方程．“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．10.【答案】A【解析】设鸡的只数为x,则猪的头数为(70－x)头,根据鸡,猪的腿数之和是196,可列方程:2x＋4（70－x）＝196,故选A.11.【答案】B【解析】根据售价的两种表示方法解答，关系式为：标价×80%=进价+28，把相关数值代入即可．标价为：x（1+50%），八折出售的价格为：（1+50%）x×80%；∴可列方程为：（1+50%）x×80%=x+28，故选B．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．12. 【答案】D【解析】设甲班原有人数是x人，根据甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等可列出方程．设甲班原有人数是x人，（98﹣x）+3=x﹣3．故选D．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．13. 【答案】B【解析】等量关系为：甲x秒跑的路程=乙x秒跑的路程+5，找到相应的方程或相应的变形后的方程即可得到不正确的选项．乙跑的路程为5+6.5x，∴可列方程为7x=6.5x+5，A正确，不符合题意；把含x的项移项合并后C正确，不符合题意；把5移项后D正确，不符合题意；故选B．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．14.【答案】A【解析】先根据题意表示出标价为(1+50%)x，再表示出售价为(1+50%)x·80%，利用售价-进价=利润即可得到方程.设每个双肩背书包的进价是x元，根据题意得：（1+50%）x•80%﹣x=8．故选：A．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．15.【答案】C【解析】根据等量关系:本息和=本金+利息－利息税,设年利率为x,则一年的利息为:2500x,扣除一年的利息税后的利息为: 2500x(1－20%)=2500x•80%,根据题意可列出方程: 2500（1＋x•80%）＝2650,故选C.二、填空题16.【答案】20x＝15（x＋4）－10．【解析】根据等量关系:实际15天完成的数量比计划20天完成的数量多10个,设原计划每天生产x个,原计划20天生产数量为:20x,实际15天生产的数量为:15(x+4),根据题意可列出方程为: 20x＝15（x＋4）－10,故答案为: 20x＝15（x＋4）－10.17.【答案】3x＋2（x＋15）＝155【解析】根据等量关系:2张成人票的价钱+3张学生票的价钱=共付的钱数,设学生票的单价为x元,因为成人票的单价比学生票的单价贵15元,所以成人票的单价为:(x+15)元,根据题意可列出方程为: 3x＋2（x＋15）＝155,故答案为: 3x＋2（x＋15）＝155.18.【答案】2a－3＝3a【解析】因为比a的2倍小3的数为:2a－3,a的3倍为:3a,根据题意可列出方程为: 2a－3＝3a,故答案为: 2a－3＝3a.19.【答案】3000×＝2000（1＋20%）．【解析】等量关系:售价=进价+进价×利润率,售价=标价×折扣,设需要打x折,根据题意可列出方程为: 3000×=2000（1＋20%）,故答案为: 3000×=2000（1＋20%）.20.【答案】2x＋56＝589－x【解析】因为设到雷锋纪念馆的人数为x人，所以到毛泽东纪念馆的人数是(2x+56)人，根据共589人，可列方程得：x+2x+56=589.考点：列一元一次方程．三、解答题21.【答案】31＋x＝2[18＋（20－x）]．【解析】设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20-x）人，根据等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数=2×（原来植树的人数+支援植树的人数），列方程即可．解：设支援拔草的有x人，由题意得：31+x=2[18+（20-x）]．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．22.【答案】飞机票价格应是1200元．【解析】设飞机票价格应是x元，根据该旅客购买了180元的行李票，列方程求解．解：设飞机票价格应是x元，由题意得：（30﹣20）×1.5% x=180，解得：x=1200．答：飞机票价格应是1200元．23.【答案】．【解析】等量关系:快车行驶的路程+慢车行驶的路程=两车相距的路程,设快车开出x小时后两车相遇,快车行驶的路程为:60x千米,慢车行驶的路程为:40(x－)千米,根据题意可列出方程.解:设快车开出x小时后两车相遇,根据题意得:.24.【答案】应调至甲地段20人，则调至乙地段9人解：设应调至甲地段x人，则调至乙地段（29-x）人.根据题意得28+x=2（15+29-x）,解得x=20 .经检验，符合题意.所以29-x=9.答：应调至甲地段20人，则调至乙地段9人.25.【答案】3x－（30－x）×1＝78．【解析】等量关系为:答题得分=答对的题得分－答错题扣的分,设答对了x道题,则答错了(30－x)道题,答对题得分为:3x,答错的题扣分为: (30－x),根据题意可列出方程.解:设小红答对了x道题,由题意得:3x－（30－x）×1＝78.。

北师大版七年级上册数学53应用一元一次方程-水箱变高了导学案.docx

七年级数学学科导学案执笔人：郭光侏学校：卢店镇初屮审核人：数学备课组集体备课一、课题 5・3应用一元一次方程——水箱蚕髙亍二、学习目标1. 通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题：2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用； 3.培养学生敢于克服数学屮的I 木I难，建立学好数学的自信心. 三、学习重点和难点重点：使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程. 难点：抓住问题变化中的不变量，确定等量关系. 预习案一、温故知新认真阅读教材P141〜P142内容，并回顾F列内容: 1.方程解应用题的5个步骤是什么？⑴ ___________ ⑷ ___________2.填空长方形的周长二长方体的体积二圆的周长二— 圆柱的体积二—而积二 ____ 正方体的体积二面积二 _______探究案二、导学释疑活动探究（一）：水箱变高了阅读课本P141思考下列问题：（1）、这个问题中的等量关系是：旧水箱的（2）、设水箱的高变为xm,填写下表：（3） ____________________、根据等量关系，列出方程：（记得用兀不要用3.14哦）二新水箱的解得：x= _______ .因此，水箱的高变成了 ________ m变式练习：将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少? 这个问题屮的等量关系是： _________________________________________ 解：旧水箱新水箱底面直径/m底面半径/ni高/m容积/m‘活动探究（二人阅读课本P141-142例题，完成下列问题 ⑴使得该长方形的长比宽多l ・4m,此时长方形的长和宽各为多少米？ ⑵使得该长方形的长比宽多0.8m,此吋长方形的长和宽各为多少米？它所围成的长方形少⑴中所围成长方形相比，血积有什么变化？批注栏⑶使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与⑵屮和比又有什么变化？解题感悟：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验？训练案三、巩固提升1、用直径为40mm、长为lm的圆钢，能拉成直径为4mm、长为 ________ m的钢丝。

应用一元一次方程——水箱变高（教案）

北师大版数学七年级 5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学设计课题 5.3应用一元一次方程——水箱变高了单元第五单元学科数学年级七学习目标1．通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力．2．借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题3. 通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力．4. 通过对实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望．重点寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．难点寻找图形问题中的等量关系，建立方程．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1、教师出示课件：教师以“橡皮泥的变化”为情境引入：思考：1. 放在手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化？你发现了其中的相等关系吗？1、变胖了，变矮了.（即高度和底面半径发生了改变.)2、手压前后体积不变,重重不变通过思考问题，引入本课：应用一元一次方程——水箱变高了。

学生思考橡皮泥的变化？交流、讨论、总结。

从而引入应用一元一次方程——水箱变高了。

教师以“橡皮泥的变化”为载体，激发学生的学习兴趣,让让学生初步体会“形积变化”问题，同时简单地感受、分析出不变量与变量间的等量关系.把学生引入探究新解法的情境中,自然地引入本节课的课题——应用一元一次方程——水箱变高了.讲授新课2、出示课件教师引导学生探索水箱容积不变，高度如何变化？某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。

现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。

那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米?想一想：什么发生了变化？什么没有发生变化？等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积解：设水箱的高变为 xm，填写下表：根据等量关系，列出方程：π×22×4 = π×1.62x 让学生自己通过观察,分析、交流、辩证、归纳，然后老师讲解，师生交流，总结应用一元一次方程——水箱变高了.1.通过学生的观察、对比、分析和讨论，师生共同探究应用一元一次方程——水箱变高了，既可以培养学生观察、思考、分析、总结、归纳能力，又培养了学生的语言表达能力，体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节学的解方程方法解决实际问题.引导学生通过填表，找到等量关系，正确列出方程.同时还可以解方程得 x=6.25因此，高变成了6.25 厘米等体积变形做一做：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？等量关系：（长+宽）× 2=周长解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得(x+1.4 +x) ×2 =10解得 x =1.81.8+1.4=3.2此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得(x+0.8 +x) ×2 =10解得 x=2.12.1+0.8=2.9此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？解：设正方形的边长为xm.根据题意，得(x +x) ×2 =10解得 x=2.5正方形的边长为2.5m正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）教师引导学生总结:当周长不变时，围成正方形面积最大.3、出示课件试一试：例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．解析: 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r ＋2(π－2)]m.根据题意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大．答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．师生共同总结：注意事项(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．学习兴趣，调动了学生学习的积极性，一方面巩固学生对所学知识的掌握，另一方面充分利用情境，有助于学生发散思维能力的培养.课堂练习1.要锻造一个半径为5 cm，高为8 cm的圆柱毛坯，应截取半径为4 cm的圆钢的高度为( A ) A．12.5 cm B．13 cm C．13.5 cm D．14 cm 2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( B )A．20 cm B．24 cm。

教学设计七年级数学上册_5.3应用一元一次方程——水箱变高了学案

小组活动，交流想法．
（三）课堂实战演练
将一个底面直径为 20cm、高为 9cm 的“矮胖”形圆柱拉伸成底面直径为 10cm 的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
（全部小组展示： 1 人讲解 1 人制作教具 1 人解方程）
布置导学案任务
解：设
【分析与解】在这个问题中等量关系是__________ 根据等量关系，列出方程： ______________________(记得用π 不要用 3.14 哦) 解得 x=_______ 答：
哪个量没有变化？
D. 12＋x＝x＋4＋x 2.用一根长为 12 米的铁丝围成一个长方形.使得该长方形的长比宽多 2 米，此时长方形的长、宽各为多少米?面积为多少? 解：设此时长方形的宽为 x 米，则它的长为_____米，根据题意，得：_____，解得_____.它所围成的长方形的长为_____ 米，宽为_____米，此时所围成的长方形面积为：_____平方米.
一、导入：二、探究学习一（一）知识回顾
① 长方形的周长公式________，面积公式________,正方体体积公式 _______ ② 正方形的周长公式________，面积公式________,正方体体积公式 _______ 学生课前回顾提交随机抽取并展示评价
③ 圆的周长公式 ________ ，面积公式 ________, 圆柱的体积公式
小组板演解题过程 3.组间交流
提示：哪个量没有变化?
⑶使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与⑵中相比又有什么变化？
（4）小组探究:你觉得围成正方形面积是否为最大？如果不是，自主探究，演示动画说明理由。

【北师大版】七年级数学上册教案：5.3应用一元一次方程(水箱变高了)

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了一.学生起点分析本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中不变量，对于基本图形体积. 面积. 周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习.二.教学任务分析本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中等量关系. 在实际生活中经常会遇到类似本节情境问题，最关键是抓住变化中不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程. 教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系. 特别是对例1，应让学生根据生活经验和原有基础分组独立完成，然后请各小组汇报: 四个小问题解答情况，最后组织学生展开讨论：解这道题关键是什么？从解这道题中你有哪些收获和体验？因此，本节教材处理策略是：展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.三.教学目标1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2. 通过分析图形问题中数量关系体会方程模型作用，进一步提高学生分析问题.解决问题.敢于提出问题能力.3. 通过对实际问题探讨，使学生在动手独立思考. 方程意识过程中，进一步体会数学应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生好奇心和主动学习欲望.四.教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：运用情境，解决问题；第三环节：操作实践，发现规律；第四环节：体验数学模型第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.环节一：创设情境，引入新课活动内容：情境1成语“朝三暮四”故事（附内容：从前有个叫狙公人养了一群猴子.每一天他都拿足够栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子话，等不到下一个栗子收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子时候很是生气，呲牙咧嘴.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）问题1猴子为什么高兴了？这其中有什么数学奥秘吗？情境2：教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水（容量一样，A短而宽，B长而窄）.问题2:请问大家哪瓶矿泉水多？为什么？教师拿出两个相同量杯，让学生把两瓶矿泉水分别倒进两个量杯中，结果全体同学都说一样多，没有说对同学，不好意思笑了.教师：不要紧张，现在还有一个机会证明自己.情境3：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”圆柱体，然后再让这个“瘦长”圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖圆柱，请思考下列几个问题：在你操作过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱底面直径变了没有? 圆柱高呢？在这个变化过程中，是否有不变量？是什么没变？活动目让学生在愉快地玩过程中体会等体积变化现象中蕴涵不变量.同时分析出不变量与变量间等量关系活动实际效果：学生能够感受到：两瓶形状不一样矿泉水体积是一样，手里橡皮泥在手压前和手压后发生了变化，变胖了，变矮了.即高度和底面半径发生了改变，但手压前后体积不变，重量不变.环节二：运用情景，解决问题活动内容：张师傅将一个底面直径为20厘米.高为9厘米“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中圆柱体积保持不变，那么圆柱高变成了多少？（在这个环节中可安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.可给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系.）活动目的：将上述环节中体会到形之间变与不变关系，量之间等量关系抽象成数学问题，利用前几节解方程方法解决实际问题.活动实际效果：学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了下面表格来帮助分析.由实验操作环节知“锻压前体积=锻压后体积”，从而得出方程.解：设锻压后圆柱高为xcm,由题意nX （20）2X 9=nX （10）2X x, 2 2解之，得x=36.黑板上两组学生中有一组学生将n值取3.14 ,带入方程，教师应在此给予指导，不要早说，现在恰到好处！（1）此类题目中n值由等式基本性质就可以约去，无须带具体值；（2）若题目中n值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定n值取到什么精确程度.环节三：操作实践，发现规律活动内容：学生用预先准备好40厘米长铁丝，以小组作出不同形状长方形，通过测量边长，近似求出长方形面积，比较小组内四个同学计算结果，你发现了什么？活动目的：我们知道：学生自己亲手经历操作后感受会更深刻.所以设置此环节，让学生手.眼.脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.这样能培养学生经过观察.分析.归纳.总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂问题中道理就在我们玩过程中，就在我们生活中.活动实际效果：由学生实际操作得到近似值已反映出来一个很好规律.学生：由操作过程，同学们作出长方形形状有“胖”有“瘦”，反映到表中数据为：当长方形周长一定，它长逐渐变短，宽随之逐渐变长，面积在逐渐变大•当长与宽一样长时面积最大.过程感悟：不要怕完不成进度，这个过程进行完成后，学生对课本设置相关内容就剩下规范解题过程了，学生理解远比直接先讲教材例题效果要好多•（此处教师可用几何画板来完成）环节四：练一练，体验数学模型活动内容：课本例题例1：一根长为10米铁丝围成一个长方形.1. 若该长方形长比宽多1.4米.此时长方形长和宽各为多少米？2. 若该长方形长比宽多0.8米，此时长方形长和宽各为多少米？它围成长方形面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？3. 若该长方形长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形边长是多少？它围成长方形面积与（2）中相比，又有什么变化？4. 如果把这根长为10米铁丝围成一个圆，这个圆半径是多少？面积是多少？请思考：解此例题关键是什么？通过此题你有哪些收获和体验？你能试着设计表格解决这个问题吗？活动实际效果：因为有了环节三铺垫，有效地分解难点，学生掌握很好. 完整解题过程留成课后作业.环节五：课堂小结1. 通过对“我变高了” 了解，我们知道“锻压前体积=锻压后体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题关键，其中也蕴涵了许多变与不变辩证思想. 2. 遇到较为复杂实际问题时，我们可以借助表格分析问题中等量关系，借此列出方程，并进行方程解检验.3. 学习中要善于将复杂问题简单化.生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题.环节六：布置作业1. P184随堂练习习题5.7 】2•思考：地面上钉着用一根彩绳围成直角三角形.如果将直角三& * 角形锐角顶点一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，C L_L 6 则所钉长方形长，宽各是多少？面积是多少？五.教学反思1. 创造性地使用教材.本节课引入新颖自然，通过两个实验（情景2为液态物体变化，情景3为固态物体变化），使学生对课题有了初步认识，并通过学生对实验观察，发现了在物体形状变化时不变量，从而为列方程找等量关系作了铺垫.环节2中表格发给每个小组，为增强小组讨论结果展示起到了较好作用.环节3中通过让学生自己设计表格为讨论得出起到辅助作用2. 相信学生并为学生提供充分展示自己机会本节课设计中，通过学生多次动手操作活动，引导学生进行探索，使学生确实是在旧知识基础上探求新内容，探索过程是没有难度任何学生都会动手操作，每个学生都有体会过程，都有感悟可能，这种形式让学生切身去体验问题情景，从而进一步帮助学生理解比较复杂问题，再把实际问题抽象成数学问题.3. 注意改进方面本节课由于构题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生求知欲望，课堂气氛活跃，讨论问题积极主动.但由于学生发表自己想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后予以改进.。

应用一元一次方程 ——水箱变高了教学设计

四、教学设计
1．创设情境，引发思考做实验，把准备好的又矮又胖量筒100毫升倒入“瘦长”形的量筒体中，观察水面高度有无变化，思考：量筒哪些量变了？哪些量没变？
2．合作探究，获得新知1）黑板出示1，有一位工人师傅要锻造底面直径为20㎝的“矮胖“形圆柱，可他手边只有底面直径是10㎝，高为36㎝的“瘦长”形圆柱，这位师傅想知道将
这个“瘦长”形圆柱体锻压成“矮胖”形圆柱（底面直径为20㎝）高变成了多少？你能帮他吗？
本课学了如何在问题中寻找等量关系，并列方程解决问题，最后检验合理性，一步步骤可概括为设（未知数）、找（等量关系）、列（方程）、解（方程）、检（合理性）
通过前几节解方程的学习，学生已经掌握了解、列方程的基本方法，在此过程中也初步掌握了运用方程解决实际问题的一般过程，基本会通过分析简单问题中已知量与未知量的关系列出方程解应用题，但学生在列方程解应用题时常常会遇到从题设条件中找不到所依据的等量关系，或虽能找到等量关系，但不能列出方程这样的问题，因此，在教师的引导下，通过学生亲自动手制作模型，自主探索在模型变化过程中的等量关系，建立方程，从而将图形问题代数化。
二、学情分析
通过前几节解方程的学习，学生已经掌握了解、列方程的基本方法，在此过程中也初步掌握了运用方程解决实际问题的一般过程，基本会通过分析简单问题中已知量与未知量的关系列出方程解应用题，但学生在列方程解应用题时常常会遇到从题设条件中找不到所依据的等量关系，或虽能找到等量关系，但不能列出方程这样的问题，因此，在教师的引导下，通过学生亲自动手制作模型，自主探索在模型变化过程中的等量关系，建立方程，从而将图形问题代数化。
本节课采取学生自主探究的学习方法，让学生在实践中分析总结规律，把个人结论在小组内展示，黑板上展示，实行组内交流纠错表现方式，让学生经历过程，体验成功，获得快乐，对能抓住万变中不变量的学生大加赞赏，在课后要注重反思，在创设情境中学生能否积极思考，分析变化中的定量关系而不只看热闹，学生参与的人数及积极性怎样，能否透过变化现象抓住不变的本质。

53应用一元一次方程——水箱变高了

53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。

我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。

假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。

根据题意，水箱的体积变大了。

即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。

由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。

这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。

现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。

根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。

这说明增加的高度必须大于0。

这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。

例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。

那么现在的高
度就变成了2+1=3米。

通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。

总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。

在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。

当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。

但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。

我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。

希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。

北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计 (2)

北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计1. 课程目标本课程的目标是通过学习应用一元一次方程解决实际问题的方法，使学生能够掌握解一元一次方程的基本方法，并能够运用所学知识解决关于水箱变高的问题。

2. 教学重点本节课的教学重点是让学生掌握应用一元一次方程解决实际问题的方法，并能够灵活地运用所学知识解决问题。

3. 教学难点本节课的教学难点是如何运用所学知识解决关于水箱变高的问题，并能够灵活运用所学知识求解答案。

4. 教学准备•准备一份课件，包括学习目标、知识点、实例演示和练习等内容。

•准备一些实际问题，例如水箱变高等。

•准备一些解一元一次方程的题目。

5. 教学过程5.1. 导入老师通过实际问题的引入，让学生了解本课学习的实际用途，并概述本课程内容和目标。

5.2. 讲解老师结合课件，详细讲解一元一次方程的定义、解法和应用，帮助学生建立解决实际问题的基本思路。

5.3. 实例演示老师通过实际问题的演示，让学生亲身体验解决实际问题的方法，并引导学生灵活运用所学知识解决问题。

例如：问题：高度为2m，长为4m，宽为3m的水箱，水面上升了h米，求此时水箱装了多少水。

解法：设水箱内装有x立方米的水，根据水箱的形状可以得到下列方程：x/(4*3)=(2+h)/1将方程化简得：12(2+h)=4*3*x化简后得6h+24=12x从而求出x=2h+4。

5.4. 练习老师出示一些解一元一次方程的题目，让学生在课堂上积极完成，巩固所学知识。

例如：1.解方程 2x + 3 = 7x - 11。

2.解方程 4(x + 3) - 3(2x - 1) = 2(3x - 5)。

3.解方程 5(x + 1) - 2(2x - 3) = 3(4 - x)。

5.5. 总结老师对本节课所学内容进行总结，让学生对所学知识有充分的理解和掌握。

6. 教学反思本课程通过实际问题的引入，让学生掌握了应用一元一次方程解决实际问题的方法。

七年级数学上册《应用一元一次方程水箱变高了》优秀教学案例

2.设定未知数，建立方程：设定未知数为水位上升的高度，根据水箱的形状和已知条件，建立一元一次方程。
3.解方程，求解未知数：运用一元一次方程的解法，求解未知数，并解释结果的实际意义。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组学生合作解决一个与水箱变高类似的问题。具体步骤如下：
1.小组讨论：每组学生根据问题，共同分析、讨论，建立一元一次方程模型。
3.小组合作学习模式
小组合作学习在本案例中发挥了重要作用。通过合理分组，确保每个学生都能在小组中发挥自己的优势，共同解决问题。在合作学习过程中，学生相互讨论、交流、分享，不仅提高了团队协作能力，还培养了沟通能力和解决问题的能力。
4.反思与评价相结合
本案例注重学生的反思与评价。在教学过程中，引导学生对自己的学习过程进行反思，总结收获和不足，提高自我认知。同时，组织学生进行相互评价，学会欣赏他人、提出建设性意见。这样的设计有助于促进学生之间的相互学习，提高教学质量。
在教学过程中，以水箱变高为背景，引导学生运用一元一次方程的知识，解决实际的水位变化问题。这不仅有助于巩固学生对一元一次方程的理解，还能培养学生将数学知识应用于现实生活的能力，提高学生的创新意识和解决问题的能力。
本案例注重以人为本，关注学生的个体差异，鼓励学生主动探究、合作交流，以实现课程标准中倡导的“人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”的理念。通过本节课的学习，让学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，感受数学的无穷魅力。
同时，我还会组织学生进行相互评价，让学生学会欣赏他人的优点，发现他人的不足，并给出建设性的意见。通过评价，促进学生之间的相互学习，提高整体教学质量。
此外，我还将结合课堂教学，定期对学生的学习成果进行评价，关注学生的个体差异，鼓励学生发挥潜能，不断提高教学效果。

北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.3应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿

北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.3应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿一. 教材分析北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.3应用一元一次方程——水箱变高了》这一节的内容，是在学生已经掌握了方程的解法以及一元一次方程的概念的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是让学生学会如何运用一元一次方程来解决实际问题，特别是涉及到水箱变高的问题。

这个问题既贴近学生的生活，又能很好地引导学生将数学知识运用到实际生活中，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步掌握了方程的解法以及一元一次方程的知识，对于解决实际问题，他们也有一定的经验。

但是，由于年龄和认知水平的限制，他们在解决实际问题时，可能会遇到一些困难，比如对问题理解不深，对数学模型的建立不清晰等。

因此，在教学过程中，我需要充分考虑学生的这些特点，帮助他们更好地理解问题，建立数学模型，从而解决问题。

三. 说教学目标教学目标包括知识与技能目标、过程与方法目标以及情感态度与价值观目标。

通过本节课的学习，学生能够掌握一元一次方程在解决实际问题中的应用，提高他们的数学应用能力。

在解决问题的过程中，学生能够学会如何建立数学模型，提高他们的数学思维能力。

同时，通过解决实际问题，学生能够感受到数学在生活中的重要性，增强他们的数学学习兴趣。

四. 说教学重难点本节课的重难点是如何引导学生建立数学模型，并运用一元一次方程来解决问题。

对于这个问题，学生可能会存在对问题理解不深，对数学模型的建立不清晰等问题。

因此，在教学过程中，我需要引导学生深入理解问题，明确数学模型的建立方法，从而解决问题。

五. 说教学方法与手段为了达到本节课的教学目标，我计划采用情境教学法、问题驱动教学法和案例教学法等教学方法。

通过创设情境，引导学生主动探索，发现问题，建立数学模型，从而提高他们的数学应用能力。

同时，我还会利用多媒体教学手段，如PPT、动画等，来辅助教学，使抽象的数学问题形象化，便于学生理解。

北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿

北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》这一节内容，是在学生已经掌握了一元一次方程的基本知识、解一元一次方程的基本方法的基础上进行讲解的。

通过前面的学习，学生已经知道如何列出一元一次方程，并能够熟练地解一元一次方程。

而本节课，则是让学生运用一元一次方程解决实际问题，从而提高学生解决实际问题的能力，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的基本知识和解一元一次方程的基本方法，对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决问题，也有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往因为对问题的理解不够深入，而导致列出的方程不正确，或者解出的答案与实际情况相差较远。

因此，在教学过程中，我需要引导学生深入理解问题，培养学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生会将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，提高运用数学知识解决生活问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生感受到数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.教学难点：学生对实际问题的理解，如何正确列出方程，并解出符合实际情况的答案。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。

同时，我会利用多媒体手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解问题，提高解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

2.新课讲解：讲解如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

数学七年级上册5.3《应用一元一次方程---水箱变高了》学案2

应用一元一次方程—水箱变高了学案学习目标、重点、难点【学习目标】1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.【重点难点】寻找面体积问题中的等量关系。

知识概览图—图5—4—1是一筒状的地膜示意图，其内圆半径和外圆半径分别为r＝10厘米和R=20厘米，高h＝50厘米.如果地膜的厚度是0.005厘米，你能计算出这些地膜的总长度是多少吗?教材精华知识点1 相关公式长方体体积＝长×宽×高.圆柱体积=πr2h(h为圆柱的高，r为底面半径).长方形周长=2×(长+宽)，长方形面积=长×宽.知识点2 形积变化问题对于这类问题，虽然形状、面积和体积都可能发生变化，但应用题中仍然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的等量关系找出来，然后根据这个等量关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：(1)形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相等.(2)形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后周长相等.(3)形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.课堂检测第1页共4页基本概念题1、用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，围成的长方形的长为多少米?设长方形的宽为x 米，可列方程为( )A.x+(x+0.6)＝5.2B.x+(x －0.6)=5.2C.2[x+(x+0.6)]=5.2D.2[x+(x －0.6)]＝5.2综合应用题2、用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2(π－2)m ，求两根等长铁丝的长度，并通过计算比较说明谁的面积大.探索创新题3、如图5－4－2所示，地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的长、宽各是多少?面积是多少?体验中考古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节.如图5—4—3，圆桌半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm ，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.设每人向后挪动的距离为x ，根据题意，可列方程( ) A. 8)1060(26)1060(2x ++=+ππ第3页共4页 B. 66028)60(2⨯=+ππx C.2π(60+10)×6＝2π(60+x)×8D.2π(60－x)×8＝2π(60+x)×6学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解析：依据长方形周长公式就可得答案. 答案：C2、分析：此题的等量关系为：正方形周长＝圆周长.解：设圆的半径为r m ，则正方形边长为[r+2(π－2)]m.由题意得2πr ＝4(r+2π－4)，即r ＝4.故圆周长是8π m ，圆面积是16π m 2，正方形面积是4π2m 2.因为16π>4π·π，所以圆的面积更大.答：铁丝长为8π m ，圆的面积大.规律周长相等的圆和正方形，圆的面积大.3、分析：由于直角三角形有两个锐角，所以此题应分两种情况讨论：去掉顶点A 的钉子围成一个长方形，此时BC 是长方形的一条边，或去掉顶点B 的钉子围成一个长方形，此时AC 是长方形的一条边.我们可以把AC 或BC 分别看做长方形的长，把宽设为x ，在图形变化过程中，彩绳的长度保持不变，即等量关系为：三角形的周长＝长方形的周长.解：设长方形的宽为x 当去掉顶点A 的钉子时，6+8+10＝6×2+2x ，解得x ＝6，所以长方形的长为6，宽为6，S 1＝6×6=36.当去掉顶点B 的钉子时，6+8+10=8×2+2x ，解得x=4，所以长方形的长为8，宽为4，S 2＝8×4＝32.答：所钉成的长方形的长为6，宽为6，面积为36；或长为8，宽为4，面积为32.体验中考解析：根据挪动前6人之间的距离与挪动后8人之间的距离相等，可列方程为：8)1060(26)1060(2x ++=+ππ.答案：A。

北师大版数学7年级上册5.3《应用一元一次方程--水箱变高了》教学设计

《应用一元一次方程--水箱变高了》通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。

进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性。

【教学重点】应用简单图形（如正方形、长方形、梯形、圆柱、正方体、长方体等）的周长、面积、体积公式，学会分析等量关系来列方程、解放程。

【教学难点】学会分析等量关系来列方程、解放程。

尝试练习、探索归纳总结。

电教平台。

1.如果长方形的面积是56平方厘米，它的长与宽相差1厘米，请问这个长方形的长、宽各是多少厘米？2.一圆柱的体积是314立方厘米，底面圆的半径是5厘米，此圆柱的高为多少厘米？一、探索练习：将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有如下的等量关系：锻压前的体积＝锻压后的体积。

解：设锻压后圆柱的高为x 厘米，填写下表：根据等量关系，列出方程：（接着解方程）答：高变成了厘米。

二、巩固练习：1、用一根长为12米的铁丝围成一个长方形。

（1）使得该长方形的长比宽多1.6米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积为多少？（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中的长方形面积相比又有什么变化？解：（1）设此时长方形的宽为米，则它的长为米。

根据题意，得：（列方程并解方程）它所围成的长方形的长为此时所围成的长方形面积为：（2）设长方形的宽为米，则它的长为米。

根据题意，得：（列方程并解方程）它所围成的长方形的长为：此时所围成的长方形面积为：此时与（1）中所围成的长方形的面积相比，情况如何？（3）设正方形的边长为米。

根据题意，得：（列方程并解方程）此时所围成的正方形的面积为此时与（2）中所围成的长方形的面积相比，情况如何？2、圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍，那么大圆柱的高是多少？3、墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右图实线所示。

七年级数学上册第五章一元一次方程5.3《应用一元一次方程水箱变高了》学案(新版)北师大版

运用一元一次方程——水箱变高了内容：运用一元一次方程——水箱变高了课型：新授课时间：一：自主学习与探究认真阅读教材Pl41～Pl42内容，并回顾下列内容：1．列方程解应用题应注意哪些事项?(1)_________________． (2)____________________．(3)__________________．2．列出方程解应用题的5个步骤是什么?(1)__________________． (2)________________．(3)__________________． (4)_________________．⑤____________________.3．填空：长方形的周长=_________．面积=__________ ．长方体的体积=_________．正方体的体积=__________．圆的周长=___________．面积=_______________．圆柱的体积=_______________．解决以下问题：1．将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为l0厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少?假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有如下的等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设锻压后圆柱的高为x 米，填写下表：根据等量关系，列出方程：___________________________________________．解得 x _______________．答：高变成了__________厘米．2．用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形．(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为________米，宽为_________米．(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为_______米，宽为_____米，它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化?(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是______米，它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化? 99x二：典例讲练例1．请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是 ( )【跟踪练习】1．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m，而长减少了5 m，那么面积增加15 ㎡，设长方形原来的宽为x m，则所列方程是 ( )2．一块矩形草坪的长比宽多l0米，它的周长是132米，求宽x．所列的方程是 ( )3．如图5—3—3，把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积．解：设正方形A的边长为x厘米，则正方形B的边长为________厘米；正方形C的边长为________厘米；正方形D的边长为________厘米；正方形E的边长为________厘米．由题意可得方程：______________________．解得x= ________，答：长方形的面积为___________平方厘米．【当堂达标】7．用直径为120 mm的圆钢铸造成5.9㎏的工件，已知每立方厘米的圆钢重7.8g，这样需截取圆钢的长是多少㎜?解题时，设需要截圆钢的长为x mm，那么下面列方程正确的是( )8．为了做一个试管架，在长为a cm(a>6 cm)的木板上钻3个小孔(如图5—3—4)，每个小孔的直径为2cm,则x等于 ( )9．已知一个三角形三条边长的比为2：4：5，最长边比最短边长6 ㎝，则这个三角形的周长为 ( )A．21 ㎝ B．22㎝ C．23 ㎝ D．24 ㎝10．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图5—3—8实线所示．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图5—3—8虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为___________________厘米?11.要锻造直径为16厘米、高为5厘米的圆柱形毛坯．设需截取边长为6厘米的方钢x厘米，可得方程为___________________________.12.(2012.山西)图5—3—5是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图5—3—5所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________.13·一个底面半径为4㎝，高为10㎝的圆柱形烧杯中装1 cm高的水．把烧杯中的水倒入底面半径为1㎝的圆柱形试管中，刚好倒满试管．问试管的高为多少㎝?三：巩固练习一、选择题1．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图5—3—6所示，则长方形ABCD 的面积为 ( )A．98 B．196 C．280 D．2842.用长为20米的铁丝围成一个长方形方框，使长为6.2米，宽为x米，则可列方程为 ( )3.一个长方形的周长是40 cm ，若将长减少8 cm ，宽增加2 cm ，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm4.有一个底面半径为10 cm ，高为30 cm 的圆柱形大杯中存满了水，把水倒人一一个底面直径为lo cm 的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为 ( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm二、填空题5.三角形三边长之比为7：5：4，若中等长度的一边长的两倍比其它两边长的和少3 cm ，则三角形的周长为_________________________.6.将底面直径为12厘米，高为30厘米的圆柱水桶装满水，倒人一个长方体水箱中，水只占水箱容积的32，设水箱容积为x 立方厘米，则可列方程_________________． 7．将一个底面直径是10厘米，高为40厘米的圆柱锻压成底面直径为l5厘米的圆柱，求它的高?若设高为x 厘米，则所列的方程为_____________．8.三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体(下底面为圆面，单位：㎝)如图5—3—7所示．则三个几何体的体积和为_____________3cm ．(计算结果保留π)三、解答题9．将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖’’形圆柱，高变成了多少?四、拓展应用10．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是多少？四：课后反思：。

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应用一元一次方程—水箱变高了教师寄语：相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量一、学习目标——目标明确、行动有效1. 体会直接与间接设未知数的解题思路，从而建立方程,解决实际问题； 2．通过解决实际问题，使学生进一步明确必须检验方程的解是否符合题意；3．通过对实际问题的解决，体会方程模型的作用，发展学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.课标要求：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.二、温馨提示——方法得当，事半功倍学习重点：分析问题中的等量关系，锻压前体积等于锻压后体积．学习难点：变型前的体积等于变型后的体积，是列方程的关键．三、课前热身——温故而知新解方程 ⑴⑵⑶四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究点1：等体积变形问题某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m 的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m 减少为3.2m ，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m 变为多少米？在这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积.设水箱的高变为m，填写下表：底面半径/m列出方程：____________________.例题：用直径为4cm的圆钢,铸造三个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件, 需要截取多长的圆钢?练习：1.用一根直径为10厘米的圆柱形铁柱铸造12只直径为10厘米的铅球，问应截取多少铁柱？3）（V2. 两个圆柱形容器如图所示，它们的直径分别为4cm和8cm，高分别为41cm和10cm，我们先在第二个容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中，问：第一个容器的水面离容器口有多少厘米？探究点2：等长变形问题例题：用一根为100m的铁丝围成一个长方形：(1)使得该长方形的长比宽多14m，此时长方形的长与宽各为多少m？(2) 使得该长方形的长比宽多8m，此时长方形的长与宽各为多少？它所围成的长方形的面积与（1）中围成的面积有什么变化？（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是a m，它所围成的正方形面积与(2)中的相比又有什么变化？(4) 如果把这根长为100米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？练习：1. 第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100m2，这两块试验田面积共2900 m 2，两块试验田的面积分别是多少？2．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1. 要锻造一个直径为8cm,高为4cm 的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm 的圆钢( )cm.A. 12B. 16C. 24D. 322. 用两根长为24cm 的铁丝分别围成一个长与宽之比为2:1的长方形和正方形,则长方形和正方形的面积依次为( )cm 2A. 9,8B. 8,9C. 32,36D. 36,323．一个高50mm ，底面直径120mm•的圆柱体钢件熔化后锻造成一个底面直径为60mm 的圆柱体，求该圆柱体的高是多少？4. 在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，•再将瓶内的水倒入一个底面直径为6cm，高为10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，•那么瓶内水还剩多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．5．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m而长减少了5m，那么面积增加15m2，设长方形原来的宽为m，所列方程是（）A ．B ．C ．D ．6．用长为10m的铁丝沿墙围成一个长方形(墙的一面为长方形的长,不用铁丝), 长方形的长比宽长1m,求长方形的面积.7．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示，小颖所钉长方形的长为多少厘米？。

吴川市第一中学七年级数学上册第五章一元一次方程3应用一元一次方程__水箱变高了教案新版北师大版7

3 应用一元一次方程——水箱变高了1．通过分析图形问题中的等量关系，建立方程解决问题．2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．重点列一元一次方程解简单的图形变化的实际问题．难点从复杂问题中寻找等量关系．一、情境导入1．课件出示两瓶矿泉水(容量一样，一瓶短而宽，另一瓶长而窄)．教师：哪瓶矿泉水多？为什么？2．教师演示：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱．教师：在刚才操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？学生思考后回答问题，教师点评．二、探究新知课件出示教材第141页图5－1，提出问题：某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4 m变为多少米？教师：这道题该如何解答呢？其中的等量关系是什么？引导学生找出等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积．教师：设水箱的高度为x，请同学们把下表补充完整．旧水箱新水箱底面半径/m高/m容积/m3教师：根据等量关系，怎样列出方程？解得x的值是多少？学生列出方程并解答，教师点评．课件出示实验题：一个圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个长方体形状的可盛水的盒子里(玻璃杯的容积大于长方体的容积)，当盒子装满水时，玻璃杯中的水下降了多少？要求学生用玻璃杯按要求分组实验后，全班交流各组得到的结果及解决问题的方法、步骤，并派小组代表进行操作示范、讲解．教师巡视课堂，指导、参与学生的实验．三、举例分析例(课件出示教材第141页例题)要求学生分四人小组讨论解决问题，并根据计算的结果画出各自的长方形(或正方形)．最后，抽派小组代表阐述解题的步骤以及思路，并展示自己所在的小组所画的长方形(或正方形)．四、练习巩固教材第142页“随堂练习”．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．列一元一次方程解实际问题时，关键是什么？六、课外作业教材第144页习题5.6第1～3题．本节课是对前面所学的一元一次方程的一个应用——水箱变高了．让数学与几何问题相结合，使学生学以致用．在课堂上，让学生观察水箱由“矮”变“高”的变化过程，引导学生找出问题中的等量关系，列出方程，并解方程，使问题得到解决．通过学生自己动手操作实验、计算、验证，调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程.2 比较线段的长短【知识与技能】了解“两点之间线段最短”的性质；能借助尺、规等工具比较两条线段的大小；能用圆规作一条线段等于已知线段；理解线段中点的概念，会用数量关系表示中点及进行相应的计算.【过程与方法】感受用类比的思想比较两条线段的大小，经过体会由感性认识上升到理性认识的过程，发展学生的符号感和数感；发展几何图形意识和探究意识.【情感态度】在积极参与、合作交流中体验到教学活动中充满着探索和创造，在学习中获得成功的经验，提高学习数学的兴趣.【教学重点】线段长短的两种比较方法：线段中点的概念及表示方法；线段的和、差、倍、分关系.【教学难点】叠合法比较两条线段大小；会画一条线段等于已知线段.一、情境导入，初步认识把弯曲的河道改直就可以缩短航程.在公园的河面上修建曲折的桥，就能增加观光的路程,你知道这其中的道理吗？怎样比较两个同学的高矮？你有哪些方法？【教学说明】通过生活中常见的例子，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.线段公理问题1 教材第110页图4—6及有关图的内容.【教学说明】学生通过观察，实际操作，很容易得出正确的结论.【归纳结论】两点之间的所有连线中，线段最短.这一事实可以简述为：两点之间，线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.2.线段的比较问题2 教材第110页的“议一议”.【教学说明】学生通过实物的比较到线段的比较，归纳比较两条线段长短的方法.【归纳结论】如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法进行比较：一种方法是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较，即度量法；另一种方法是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较,即叠合法.3.作一条线段等于已知线段问题3 如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB.【教学说明】学生通过操作，掌握作一条线段等于已知线段的方法.作图规律如下：（1）作射线A′C′(如图所示)；（2）用圆规在射线A′C′上截取A′B′=AB.线段A′B′就是所求作的线段.4.线段中点的定义及表示方法如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点，这时AM=BM=12AB（或AB=2AM=2BM）.5.线段中点性质的运用问题4 在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB=4cm，BC=3cm.如果点O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？【教学说明】学生画图加以分析，与同伴进行交流，进一步掌握线段中点的性质.【归纳结论】线段的和，差，中点计算时，应注意数形结合，根据已知条件画出图形再加以分析.三、运用新知，深化理解1.如图，从A到B有3条路径，最短的路径是（）A.①B.②C.③D.都一样第1题图第2题图2.如图，已知线段AD＞BC,则线段AC与BD的关系是（）A.AC＞BDB.AC=BDC.AC ＜BDD.不能确定3.已知线段AB=8cm，在直线AB上取点C，使BC=2cm，则线段AC的长是___cm.4.教材第112页上方的“随堂练习”第1题.5.教材第112页上方的“随堂练习”第2题.6.已知点A、B、C是同一直线上的三个点，且AC=9cm，BC=5cm，求线段AB和BC的中点间的距离.【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测线段的比较，线段的中点等知识的掌握情况，对学生的疑惑教师应及时指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.【答案】1.C2.A3.10或64.可用刻度尺量出AB各线段的长度，再量出线段A′B′的长度.将AB各线段和与A′B′长度作比较，也可用尺规作图法将AB的每段长度移到线段A′B′上，再做判断.5.6. 4.5cm四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾线段的公理，线段的比较，线段的中点等有关知识.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，进行知识的提炼和归纳.【板书设计】1.布置作业：从教材“习题4.2”中选取.2.完成练习册中本课时的相应作业.本节课从学生探究线段的公理，线段的比较方法，线段的中点的表示方法，到运用线段中点的性质解决具体问题等方面，培养学生动手、动脑习惯，提高学生解决问题的能力.幂运算公式的应用与逆用幂的运算公式有四个，这是整式乘法中最基础的公式，在有的习题中直接运用幂的运算公式，而有的习题中则需要逆用这些公式.幂的运算公式：①同底数幂相乘：aman=am+n②幂的乘方： (am)n=amn③积的乘方： (ab)m=ambm同底数幂相除：am÷an=am-n (a≠0)这些公式也可以这样用：⑤am+n= aman⑥amn=(am)n⑦ambm=(ab)m⑧ am-n= am÷an (a≠0)例1：（1）计算 232422（2）已知：3m=4 3n=16 求：3m+n【分析】在这个例题中（1）题是几个同底数幂相乘，可以直接运用同底数幂相乘的公式aman=am+n计算.（2）题就需要把同底数幂的乘法公式逆用，即运用am+n= aman才能解决问题.解：（1）232422=23+4+2=29=512.（2）3m+n=3m3n=4×16=64.例2：（1）计算（22）3（2）已知 am=2 ， an=3，求 a3m+2n【分析】（1）题是幂的乘方，可以直接运用公式(am)n=amn计算.（2）题则需要先逆用同底数幂相乘的公式am+n= aman，得到a3m+2n=a3ma2n，再逆用幂的乘方的公式amn=(am)n，得到a3m=(am)3和a2n=(an)2.解：（1）（22）3=22×3=26=64.（2）a3m+2n=a3ma2n=(am)3(an)2=2332=8×9=72例3：（1）计算0.1256×26×46（2）已知( x3xm)2=x14，求的m值.【分析】在（1）题中只要逆用积的乘方的公式ambm=(ab)m，得到0.1256×26×46=(0.125×2×4)6就可以求出结果.（2）题中先直接运用(ab)m=ambm得( x3xm)2＝x2×3x2m=x6+2m得到：( x3xm)2＝x2×3x2m=x6+2m就可以解决问题了.解：（1）0.1256×26×46=(0.125×2×4)6＝16＝1.（2）( x3xm)2＝x2×3x2m=x6+2m＝x14，所以6+2m=14，可以解得：m=4例4：（1）计算x6÷x4（2）已知am=3，an=5，求a2m-n的值【分析】（1）题中只要直接运用公式am÷an=am-n就可以解决问题.（2）题中需要先逆用积的乘方的公式am-n= am÷an，得到a2m-n＝a2m an=(am)2 an就可以解决问题.解：（1）x6÷x4＝x6-4=x2.（2） a2m-n＝a2m an=(am)2 an=（3）2×5＝9×5＝45.。