人教版八年级数学上册教案： 14.2.2 完全平方公式
人教版数学八年级上册《14.2.2 完全平方公式》教案
14.2.2 完全平方公式教学目标1.完全平方公式的推导及其应用.2.了解公式的几何意义.3.熟练运用公式进行计算.教学重点难点重点：完全平方公式的推导过程、结构特征、几何意义及灵活应用.难点：理解完全平方公式的结构特征，并能灵活应用公式进行计算.课前准备多媒体课件教学过程导入新课导入一：高菲同学做作业时,把一滴墨水滴在一道数学题上,题目变成了■x+1,看不清x前面的数字是什么,只知道这个二次三项式能写成一个整式的平方,急得她抓耳挠腮,你能帮助她吗?学习了完全平方公式之后,问题将迎刃而解.导入二：有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给一块糖;来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖;来三个,就给每人三块.(1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(3)第三天共有(a+b)个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?导入三：问题：知识回顾学生完成下列题目：(1)合并同类项法则：.ab+ba=(1+1)ab=2ab；2xy-5xy+xy=(2-5+1)xy.(2)多项式与多项式相乘的法则：.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.(3)根据乘方的定义，我们知道：=a·a，那么应该写成什么样的形式呢？= .探究新知问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？=(p+1)(p+1)= ；= ；=(p-1)(p-1)= ；= .师生活动教师用多媒体展示题目，学生完成计算，然后观察计算结果都有哪些规律，再以小组为单位进行交流，说出有什么发现.追问1：你还能计算，吗？学生计算，老师进行巡视了解各位学生的计算情况，并做适当引导，学生交流后归纳出完全平方公式如下：，.追问2：你能用语言叙述完全平方公式吗？师生活动学生思考、交流后回答，最后归纳得出：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.追问3：观察公式的左、右两边，公式的结构有何特征？师生活动学生观察后，进行讨论、交流总结得出：①公式左边是两项(数)的和(或差)的平方.②公式的右边有三项，两个平方项，且符号相同，一个两项乘积的两倍或其相反数.(首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方)问题2：你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？图1图2(1)如图1所示，可以看出大正方形的边长是，面积是；还可以看出大正方形是由个小正方形和个长方形组成的.所以大正方形的面积与这四个图形面积之和.阴影部分的正方形边长是，面积是；另一个小正方形的边长是，它的面积是;另外两个长方形的长都是，宽都是，所以每个长方形的面积都是.于是就可以得出：，这正好符合完全平方公式.(2)如图2所示，大正方形的边长是，它的面积是；长方形DCGE与长方形BCHF是全等图形，长都是，宽都是，所以它们的面积都是；正方形HCGM的边长是，它的面积是；正方形AFME的边长是，它的面积是.从图中可以看出正方形AFME的面积等于正方形ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积，再加上正方形HCGM的面积，也就是：，这正好符合完全平方公式.教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程.若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题.新知应用例1 运用完全平方公式计算：；(2)；；.师生活动师生共同分析解答，教师板书(1)，学生板书(2)(3)(4).在解答(1)的过程中，教师引导学生明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后依照公式展开，再化简得出结果；在解答(2)(3)(4)的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法.解：+2·(4m)·；(2)-2·y·+-y+；-2·(-a)·；.问题4：通过对(3)(4)两个小题的计算，你发现与相等吗？与相等吗？师生活动教师提出问题，学生思考后回答：都相等.教师追问：与相等吗？师生活动教师出示问题，学生通过计算、思考、讨论后回答，根据回答情况，教师做具体的解析：将作差，得-2ab.若两式相等，则有-2ab=0，=ab.因此，只有在a=b或b=0的情况下，两式才相等.例2 运用完全平方公式计算：；.师生活动师生共同分析，得出：本例中的102接近100，99接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算，即；.解：==10 000+400+4=10 404；(2)==10 000-200+1=9 801.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.D-12y+36 -16y+16(3)249 001 (4)40 4014.解：(1)原式＝-2xy).(2)原式+2x+1=2x+10.把x=2代入,得2x+10=2×2+10=14.5.解：∵a+b=5,∴,∴=25,∴=25,∴=25-12,∴=13.6.课堂小结教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学了哪些内容？(2)完全平方公式是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？布置作业教材第112页习题14.2第2题.板书设计14.2.2 完全平方公式(第1课时)完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，即，.教学反思1.完全平方公式的推导可类比平方差公式的推导方法：①多项式乘多项式；②几何意义.可先充分发挥学生自主学习、探究的能力,再借助学生与学生之间的合作交流学习来完成学习任务.2.教学过程中,教师要渗透数学思想方法,如数形结合思想、化归思想等.3.在教学过程中,有意识地安排公式的推导过程与的相统一,但又把它与同等对待.最后练习中,对于两者的联系与区别再加以说明,让学生领会到数学中的辩证统一思想.。
八年级数学上册14.2.2完全平方公式教案(新人教版)
完全平方公式
一、教学目标
用完全平方公式分解因式。
二、过程与方法
1、理解完全平方公式的特点。
2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。
3、会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用。
4、能灵活应用提公因式、公式法分解因式。
三、情感、态度与价值观
通过综合运用提公因式、完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力，通过知识结构图培养学生归纳总结的能力。
四、重点、难点
重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活应用公式分解因式
五、教学过程
(1)2
222)3(33296+=+∙∙+=++x x x x x。
人教版八年级数学上册教案：-14.2.2-完全平方公式
１４.２.2 完全平方公式第1课时完全平方公式先看图1，可以看出大正方形的边长是a+ｂ，还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.阴影部分的正方形边长是a,所以它的面积是a２.另一个小正方形的边长是b,所以它的面积是b2．另外两个矩形的长都是a，宽都是ｂ，所以每个矩形的面积都是aｂ;大正方形的边长是ａ+ｂ，其面积是(a+ｂ)2．于是就可以得出:(a＋ｂ）２＝a2＋2ａb+b2.3．学生尝试验证(a－ｂ）2＝a２-２ａｂ＋b2，分组交流，各组展示:如图2中,大正方形的边长是a,它的面积是a２;矩形DCGＥ与矩形BCHＦ是全等图形，长都是ａ,宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2;正方形AＦＭE的边长是(ａ－b),所以它的面积是(ａ-ｂ)2．从图中可以看出正方形AＥMＦ的面积等于正方形AＢCD的面积减去两个矩形DCＧE和BCHF 的面积再加上正方形ＨCＧM的面积，也就是(a－b)２＝a2－2aｂ＋b2.教师小结：这两个公式叫做完全平方公式，从刚才的推理可以看出,数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征.完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过平方差公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可.在完全平方公式的验证过程中，通过对类比平方差公式的面积验证,抓住机遇,进一步渗透数形结合的思想、类比的思想,渗透“特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示”的一般过程.三、运用新知,解决问题1.应用完全平方公式计算:（1)(３m＋2n）２；２．运用完全平方公式计算:(1）1０12;（2)９8２.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式,确定好公式中的a,b;第三步化简.运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用,教学时可让学生自己独立解决此问题,让学生通过应用举例,达成本节课的基本学习目标．四、课堂小结,提炼观点第2课时添括号法则。
人教版八年级数学上册：14.2.2 完全平方公式 教案设计
完全平方公式【教学目标】（一）知识与技能。
1．完全平方公式的推导及其应用。
2．完全平方公式的几何解释。
（二）过程与方法。
1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。
（三）情感、态度与价值观。
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。
【教学重点】完全平方公式()2a b ±=a 2±2ab+b 2的推导及应用。
【教学难点】理解完全平方公式的结构特征。
【教学过程】一、问题与情境。
问题：1．请你叙述平方差公式并用字母表示。
2．哪位同学能说一下平方差公式是怎样得到吗？探究：计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2 =（p+1）（p+1）=_______（2）（m+2）2 =__________（3）（p-1）2 =（p-1）（p-1）= __________（4）（m-2）2=___________验证：（a+b ）2=___________（a-b）2=___________概括：完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
特征：左边：两个数和或差的平方，是两项式。
右边：二次三项式，首末是这两数的平方，中间是这两项积的2倍，符号与前面相同。
讨论：1.你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗？2.用完全平方公式计算：（1）1022；（2）992。
二、再探新知。
完成下列各题：（1）()++___________a b c（2）()-+___________a b c（3）a b c a++=+（___________）（4）a b c a--=-（___________）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括号里的各项不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项改变符号。
人教版数学八年级上 册14.2.2完全平方公式教案
《完全平方公式》教案
拓广探索师:我们还可以根据几
何图形来证明这
个公式.
折纸展示，你能根
据图中面积来说明完
全平方公式吗？
利用折纸来处理
这部分内容可以
有效吸引学生注
意力，但依然忽略
了两项差的平方
这一情况。
教学过程随
堂
演
练
例1：用完全平方公式计算：
①()2
4n
m+；②2)
2
1
(y
x-；
③()2
3
2-y
x+；④()2
2
-b
a-.
学生自行计算，可以互相订正，检查同桌做的有没
有问题。
例2：计算：①1022；②992．
师：我们通过上节课的学习知道了平方差公式可以
用来简化一些形式特殊的乘法运算，那完全平方公
式可以简化运算吗？
优点：学生互相订
正能有效激励
学生的学习兴
趣及合作交流
意识。
不足：将例题当练
习做了，教师
没有给出严格
的过程示范，
为课后作业的
完成造成了一
定的影响，另
外，使课堂时
间留空了。
课
堂
小
结
师：通过这节课的学习你有哪些收获？
生：1.掌握了使用完全平方公式条件和结论的结构
特征；
2.明确了完全平方公式与平方差公式的结构差
异；
3.能灵活地应用完全平方公式.
作
课本112页复习巩固第2题. 业
布
置。
人教版八年级上册数学 14.2.2 完全平方公式 优秀教案
14．2.2完全平方公式1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．(重点)2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)一、情境导入1．教师引导学生复习平方差公式．学生积极举手回答．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．二、合作探究探究点一：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【类型二】构造完全平方式如果36x＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【类型三】运用完全平方公式进行简便运算利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值已知x－y＝6，xy＝－8.(1)求x2＋y2的值；(2)求代数式12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；(2)∵12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝12(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋12[(x－y)2－z2]－xz－yz＝12x2＋12y 2＋12z 2＋xy ＋xz ＋yz ＋12x 2＋12y 2－xy －12z 2－xz －yz ＝x 2＋y 2，又∵x 2＋y 2＝20，∴原式＝20.方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ，x 2＋y 2＝(x －y )2＋2xy .【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab .那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )A ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )B ．(a －b )(a ＋2b )＝a 2＋ab －2b 2C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2D ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2解析：空白部分的面积为(a －b )2，还可以表示为a 2－2ab ＋b 2，所以，此等式是(a－b )2＝a 2－2ab ＋b 2.故选C.方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．探究点二：添括号后运用完全平方公式计算：(1)(a －b ＋c )2； (2)(1－2x ＋y )(1＋2x －y )． 解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则．解：(1)原式＝[(a －b )＋c ]2＝(a －b )2＋c 2＋2(a －b )c ＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2＋2ac －2bc ＝a 2＋b 2＋c 2－2ab ＋2ac －2bc ；(2)原式＝[1＋(－2x ＋y )][1－(－2x＋y )]＝12－(－2x ＋y )2＝1－4x 2＋4xy －y 2.方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a ±b )2的形式．注意a ，b 可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．三、板书设计完全平方公式1．探究公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； 2．完全平方公式的几何意义；3．利用完全平方公式计算．本节的探讨方式和上节类似，都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式．完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中可以将两个公式写作一个公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2，有助于学生的记忆．在探究两数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己画图证明．。
人教版八年级上册数学教案：14.2.2完全平方公式
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）完全平方公式的推导：使学生理解并掌握a²±2ab+b²=（a±b）²的推导过程，这是本节课的核心内容，是后续运用的基础。
举例：通过具体的数值代入，如（3±1）²，引导学生观察、分析并总结出完全平方公式的结构特征。
2.教学难点
（1）完全平方公式的推导过程：对于部分学生来说，理解a²±2ab+b²=（a±b）²的推导过程可能存在困难，需要通过具体的实例和引导来帮助学生理解。
突破方法：利用几何图形（如正方形）的面积变化，形象地展示完全平方公式的推导过程。
（2）符号的运用：在运用完全平方公式时，学生容易混淆±符号的运用，导致运算错误。
关于学生小组讨论环节，我觉得这是一个很好的让学生主动参与、积极思考的机会。通过讨论，学生们不仅巩固了所学的知识，还学会了如何将理论应用于实际。但在讨论过程中，我也发现有些学生较为内向，不太愿意发表自己的观点。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中多给予这些学生鼓励和支持，帮助他们树立自信心。
最后，总结回顾环节，我觉得学生对完全平方公式的掌握程度还有待提高。在今后的教学中，我会加强对学生的个别辅导，关注他们的学习困难，确保每个学生都能熟练掌握完全平方公式。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级上册数学教案：14.2.2完全平方公式
《完全平方公式》教学设计教材分析本节内容选自人民教育出版社出版的《义务教育教科书》八年级上册第十四章第二节第二课时，主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。
它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的，其地位和作用主要体现在以下两个方面：（1）整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
（2）乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。
学情分析我班学生基础高低参差不齐，有的基础较牢，成绩较好。
当然也有个别学生没有养成良好个人学习习惯。
这样要因材施教，使他们在各自原有基础上不断进步。
从考试情况来看，及格率12.24%，60分以上占32.65%，总体情况分析，学生两极分化严重，优等生比例偏小，优等生大多学习热情高，但对问题的分析能力、计算能力、概括能力存在严重不足，尤其是所涉及的知识拓展和知识综合能力方面不够好，学生反应能力弱。
教学目标知识与技能1．通过对完全平方公式的探索和推导，进一步发展符号（字母）的识别运用能力和推理能力。
2．培养学生进一步地掌握、灵活运用公式的能力。
过程与方法经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力；情感态度与价值观对公式的推导及理解，培养学生思维严密的习惯。
来源于生活实际的数学问题，是用以培养学生热爱数学并用运用数学的好习惯。
对公式结构的分析和认识，使学生有条理的思考和语言表达能力。
人教版八年级数学上册教案：14.2.2 完全平方公式
变式一(改变公式中a，b的符号)
计算： .
解题思路：本例改变了公式中a，b的符号，处理方法之一：把式子变形为 ＝ ＝ 再用公式计算(反思得： ＝ ； ＝ )；方法二：把式子变形为： ＝ 后直接用公式计算；方法三：把式子变形为 ＝ 后直接用公式计算．在此处应注意添括号的法则！
变式二(改变公式中的项数)计算：
课堂小结：
(1)谈谈你的收获吧！
(2)你还有哪些疑惑？
布置作业：
课本P112习题14.2第2，3，7题
课堂总结，发展潜能
活动
四：
课堂
总结
反思
【知识网络】
框架图式总结，加上生动记忆方法，使学生易于接受.
【教学反思】
①[授课流程反思]
让学生带着原有的知识背景、生活体验和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学合作交流、反思等，构建对知识的形成和运用．
教师提问：那我们就利用简单的(a＋b)2与(a－b)2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．
学生活动：计算出(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，完成后，一位学生上讲台板演．
教师活动：利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容完全平方公式．
[归纳]完全平方公式：
②[讲授效果反思]
教师在此立足于强化新知识的同时，着眼于激发学生的思考兴趣和发现兴趣，培养学生的归纳理解能力．本节课在中学代数占据着非常重要的位置，一定要使学生熟悉这个公式及它的各种变形．
③[师生互动反思]
在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习，有学生之间的交流，也有师生之间的交流，在课堂中构建和谐，民主的气氛．对于作业习题的布置打破传统的格局，使不同层面的学生得到不同发展．④[习题反思]
14.2.2完全平方公式 教案
(4)(α-b)(a-b)=
活动一：
2.西湖湿地公园对一块边长为a米的正方形花圃进行重新规划，以备来年种植新的花卉。
(1)若将其边长增加b米，则规划后花圃的面积为
平方米。
(2)若将其边长减少b米，则规划后花圃的面积为
平方米。
要求：
①请用手中的卡片拼出或剪出规划后的花圃；
三、完全平方公式
(1)(4m~n)2(2)(n-4m)2
(3)(3x+∣.y)2(4)(—3Ty)2
(5)1022;(6)(99—)2
5
五、小结：
学生总结，教师补充。
六、布置作业：
思考：计算：（a+b+c）2
教学
反思
教学设计
课题
14.2.2Βιβλιοθήκη 全平方公式(1)学校教法
探究式
执教者
教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何解释.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力.
2.进一步向学生渗透从特殊到一般、类比、转化、数形结合等思想，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.
(三)情感与价值观要求
在探索完全平方公式和灵活应用完全平方公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神.
重点
完全平方公式的结构特点、几何解释。
难点
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算。
教学过程
师生活动
一、复习引入
二、公式几何验证
1.计算
(1)(a+b)(m+n)=
八年级数学上册 14.2.2 完全平方公式教案 (新版)新人教版
完全平方公式教学目标：一、知识与技能1、通过对完全平方公式的探索和推导，进一步发展符号（字母）的识别运用能力和推理能力。
2、培养学生进一步地掌握、灵活运用公式的能力。
二、过程与方法1、通过实际生活背景（实验田面积计算），运用多项式乘法法则，推导出公式(a+b) =a+2ab+b2、关于公式(a-b) =a-2ab+b的获得，既可照（a+b）的公式推导方法，但利用(a-b)=[a+(-b)]更能体现公式使用条件的广泛性和“代数”的意义。
三、情感与态度对公式的推导及理解，培养学生思维严密的习惯。
来源于生活实际的数学问题，是用以培养学生热爱数学并用运用数学的好习惯。
对公式结构的分析和认识，使学生有条理的思考和语言表达能力。
教学重难点：重点对公式(a±b) =a±2ab+b的理解难点：完全平方公式的运用课前准备：投影仪、幻灯片教学设计：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
人教版八年级数学上册同步教案：14.2.2 完全平方公式
14.2 乘法公式(第2课时)一、内容和内容解析1．内容完全平方公式．2．内容解析完全平方公式是具有特殊形式的两个多项式相乘得到的一种特殊形式，即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．完全平方公式的符号表示和语言表述解释了公式的结构特征．公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2错误！未找到引用源。
中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．完全平方公式在代数中具有广泛的应用，它也是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础．完全平方公式是以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，通过一组特例的计算、比较、分析、归纳，抽象概括出一般结论，进而通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，其过程体现了从特殊到一般的思想方法，具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能．为了进一步了解平方差公式，可以利用错误！未找到引用源。
的几何意义——面积，运用表示面积的方法解释完全平方公式，以便直观地把握公式，体会数形结合思想．基于以上分析，确定本节课的教学重点：完全平方公式．二、目标和目标解析1．目标(1)理解完全平方公式，能用公式进行计算．(2)经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展学生的符号意识和几何直观观念．2．目标解析达成目标(1)的标志：学生能够根据多项式乘法法则推导出完全平方公式，把握完全平方公式的基本结构与特征，会用符号表示，能用数学语言表述公式的内容，当字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确使用公式进行计算．达成目标(2)的标志：学生掌握完全平方公式的推导过程、几何解释，学生在公式的探索过程中，经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，从而提高自身的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质，最终达到灵活、准确应用公式的目的，培养学生观察、分析、归纳和推理能力．三、教学问题诊断分析学生刚接触整式乘法公式，在对多项式乘多项式法则的理解和运用不很透彻，对完全平方公式的结构特点的理解和掌握会有一定的难度．学生在应用公式过程中经常会出现的困难有：(1)公式中三个单项式的符号经常出错，正、负号的位置易混淆；(2)用于解释完全平方公式的图形的理解及用其推导完全平方公式正确性的时候，不会运用面积法建立等式，从而对完全平方公式的正确性进行验证．本节课的教学难点：完全平方公式的结构特点及公式的图形验证方法的掌握．四、教学过程设计1．探究完全平方公式问题1 计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝_______；(m＋2)2＝_______；(2)(p－1)2＝_______；(m－2)2＝_______．师生活动：教师提出问题，学生先独立计算，然后互相交流，得到结果．(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋2p＋1；(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋4m＋4；(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2－2p＋1；(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2－4m＋4．设计意图：承前启后，复习旧知，为本节内容的引入作铺垫；让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会本节内容与多项式乘法的关系．追问1：上述问题中原式有什么特点？追问2：结果的项数和系数(符号)有什么特点？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括．发现原式是两个数的完全平方，结果中有这两个数的平方和，而2p＝2·p·1，4m＝2·m·2，恰好是这两个数乘积的二倍，(1)(2)之间只差一个符号．设计意图：以“探索”的形式安排的这4个题目，按照多项式的乘法法则计算，从而得到4个题目结果的共同点．问题2你能将发现的规律用一般化的式子表示出来吗？师生活动：学生独立思考后回答，相互补充得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2= a2－2ab＋b2．设计意图：让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法．追问：你能推导出上述式子对任意的a，b都成立吗？师生活动：教师引导学生运用多项式乘法法则及合并同类项，可以推导出：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2．对于(a－b)2＝a2－ab－ab＋b2，学生可能会利用已推导出的公式验证：(a －b)2＝[a＋(－b)2]＝a2＋2·a·(－b)＋b2＝a2－2ab＋b2，教师应当给予鼓励．设计意图：通过不同角度验证完全平方公式的正确性，让学生学会辩证的看待问题，从而加深对公式的理解和对公式结构的掌握，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以正确地写出结果．在推理论证猜想的过程中，体会“归纳——演绎”的基本思想方法．2．理解完全平方公式问题3 我们将前面探究所得的式子(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，称之为乘法的完全平方公式，你能将完全平方公式用文字语言表述吗？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流互相补充．若学生有困难，教师可以引导学生总结公式结构特征：(1)等式左边：两数和(或差)的平方；(2)等式右边：两个数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍．学生用自己的语言叙述这两个公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．设计意图：让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解和掌握．练习下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x＋y)2＝x2＋y2；(2)(x－y)2＝x2－y2；(3)(x－y)2＝x2＋2xy＋y2；(4)(x＋y)2＝x2＋xy＋y2．师生活动：学生观察、思考后回答问题，对错误的题目加以修改，如有答错，其他同学给予及时的纠正，对于重点且易错的环节教师在最后总结时进行强调．教师对学生可能会出现的错误作及时的预防，(1)漏了乘积项；(2)等号右边变成平方差；(3)乘积项符号和前面一致；(4)乘积项漏了系数2．设计意图：通过观察、对比，找出它们的异同，提高对公式的理解，增强对公式特点的掌握，消除知识的负迁移作用，杜绝错误的发生．问题4 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程．若学生感到有困难，教师可以引导学生回忆用面积说明平方差公式时关键是用a，b表示出图中相关正方形和长方形(矩形)的面积，再找到它们的等量关系．通过图1，可以看出大正方形的边长是(a＋b)．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是(a＋b)，其面积是(a＋b)2．于是就可以得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．这正好符合完全平方公式．可以用相同的方法来研究图2的几何意义．如图2，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是(a－b)，所以它的面积是(a－b)2．从图中可以看出正方形AFME的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．就是(a－b)2＝a2－2ab＋b2，这也正好符合完全平方公式．设计意图：教师提供多种模式，由学生选择一种去解决．培养学生学习的主动性，开阔学生的思路．同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；正确引导学生学习时知识的正迁移，公式的几何意义有利于学生对公式的直观理解，在此过程中体会数形结合思想．3．应用完全平方公式例1 运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)2；(2)．师生活动：师生共同分析，引导学生分清题目中哪部分相当于公式中的a，哪部分相当于公式中的b，就是让学生明确“公式中的a，b可表示数，也可表示单项式、多项式或其他的式子”的变化规律．在这个过程中教师要关注学生能否正确的利用完全平方公式计算，可提醒学生：第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．设计意图：具体体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式．例2 运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992．师生活动：师生共同分析解答，教师板书．学生掌握了这种方法后，可让同桌相互出题解答，再次体会公式的价值．设计意图：这是体会公式“优势”的实例．让学生经历了从特殊到一般后，再体会从一般运用到特殊，也就是当公式中的项换成具体数字时仍适用，开阔学生的思维，学生对公式的理解也获得了升华．问题5 思考：(a＋b)2与 (－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？师生活动：教师出示题目后，给学生一定的独立思考的空间，然后小组之间进行讨论和交流，确定做法和答案后，在班级进行展示，其他小组纠正、补充，全班达成一致后，教师做最后的归纳总结，让学生在理论上得以提升．前两对都相等，(－a－b)2转化为[－(a＋b)]2的方法讲评，力求人人过关．做了一些题目巩固方法后，再尝试让学生归纳出用“同号得正，异号得负”的方法来验证结论中乘积项符号的正确性，第三对可以用做差法得到2b2－2ab，只有a＝b或b＝0才相等，学生答对即可，无须严格推导．设计意图：通过式子间的互相转化，不仅可以加深学生对知识间联系的认识，更可以提高学生灵活运用公式解决问题的能力．练习1．计算：(1)(a＋5)2；(2)(y－7)2；(3)(3＋x)2；(4)(2－y)2．设计意图：给出一组简单的习题，对照公式，如果学生掌握较好可以口答，让学生结合具体问题牢记公式．2．计算：(1)(2x＋3y)2；(2)(－2x＋3y)2；(3)；(4)．师生活动：选择4名水平相当的学生进行板演，其他学生自己练习，教师巡视检查，及时给予点拨和纠正，学生检查、修改完毕后，对板演同学题目的过程和结果进行核对，纠错，教师对产生的共性问题进行解释和强调．设计意图：进一步强化学生对法则的理解，由浅入深，循序渐进的原则，分数作为字母的系数，可以提高学生的识别能力和计算能力．3．在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．设计意图：灵活运用所学知识，逆用完全平方公式，为因式分解和配方法打基础．预案：例3若a＋b＝5，ab＝－6，求a2＋b2，a2－ab＋b2．设计意图：提高学生运用公式的灵活性、增强学生的思维张力．4．小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)完全平方公式结构有什么特点？设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，回顾做题经历，畅谈个人体会，互相交流借鉴．知识更加系统化、结构化，初步形成知识网络．5．布置作业教材习题14.2第2，4，6，7题．五、目标检测设计1．若(x－y)2＋N＝x2＋xy＋y2，则N为()．A．xy B．0 C．2xy D．3xy设计意图：检测学生对完全平方公式的理解情况．2．计算：(1)(2m－1)2；(2)(6a＋5b)2；(3)(－2m－1)2；(4)9982．设计意图：检测学生对完全平方公式的运用情况．。
人教初中数学八年级上册 14.2.2 完全平方公式教案
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项 是左边二项式中两项乘积的2倍．
作业
板书设计
§14．2．2．1完全平方公式
一、1.探究公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
2.完全 平方公式的几何意义：
二、应用举例：利用完全平方公式计算：
教学反思
预习要点
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；
（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；
2．学生探 究
3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2 p+1
（m+2）2=（m +2）（m+2）= m2+4m+4
a-（b+c ）=a-b-c
添括号法则：a+b+c=a+（b+c）a+b+c=a-（-b-c）
1．填空：（略）2．判断下列运算是否正确：
（1）方法一：用去括号法则验证．方法二：用添括号 Nhomakorabea则验证．
二、乘法公式的深化应用．
例：计算（1）（x+2 y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）2
（3）（x+3）2-x2（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b- =2a-（b- ）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
人教版数学八年级上册 14.2.2完全平方公式(教学设计)
《完全平方公式》教学设计课题：完全平方公式课型：新授课课时：一课时【教学目标】1.知识与技能（1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。
（2）学会将多项式进行添括号的变形。
【教学重点】完全平方公式及其它的应用。
【教学难点】完全平方公式的应用。
【教学过程】一、知识回顾1.说一说乘法的平方差公式？答案：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2.填空(1)(2)(2)________;(2)()()________;11(3)(21)(12)________;(4)(2)(2)________.22a a m n m n x x p q q p +-=-+--=+-=+-= 答案：（1）24a -；（2）22m n -；（3）214x -；（4）22144q p -二、探究问题：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2222(1)(1)(1)(1)___________;(2)(2)______________________;(3)(1)(1)(1)___________;(4)(2)______________________.p p p m p p p m +=++=+==-=--=-==答案：（1）221p p ++；（2）(2)(2)m m ++，244m m ++；（3）221p p -+；（4）(2)(2)m m --，244m m -+推导： 22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+归纳：乘法的完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+或222()2a b a ab b ±=±+图形演示：练习：1.下面各式计算对不对？如果不对，应当怎样改正？()222(1).a b a b +=+答案：×，222a ab b ++ ()22(2).4816m m m -+=++答案：×，2816m m -+ ()222(3).a b a b -=-答案：×，222a ab b -+2.计算：221 (4);(2)(().21)m n y +- 解： 22222(1)(4)(4)2(4)168m n m m n n m mn n +=+⋅⋅+=++22221(2)()2112()2214y y y y y -=-⋅⋅+=-+3.运用完全平方公式计算：22(1)102;(2)99.解： 2222(1)102(1002)10021002210000400410404=+=+⨯⨯+=++=2222(2)99(1001)1002100111000020019801=-=-⨯⨯+=-+=三、应用提高已知(x ＋y )2＝18，(x －y )2＝6，求x 2＋y 2和xy 的值． 解：∵(x +y )2=18，(x −y )2=6，∴x 2+y 2+2xy =18①，x 2+y 2−2xy =6②，①＋②得，2(x 2+y 2)=24，∴x 2+y 2=12；①－②得，4xy =12，∴xy =3.四、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说乘法的完全平方公式？2.应用完全平方公式时要注意什么？五、达标测评1．计算(－a －b )2的结果是( )A ．a 2＋b 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋2ab ＋b 2D ．a 2－2ab ＋b 2 答案：C提示：2222()()2a b a b a ab b --=+=++2．下列计算正确的是( )A ．(x ＋y )2＝x 2＋y 2B ．(x －y )2＝x 2－2xy －y 2C ．(x ＋2y )(x －2y )＝x 2－2y 2D ．(－x ＋y )2＝x 2－2xy ＋y 2答案：D3.计算： 2211(2)9.8(1)()()x x x ＋－＋；解： 222(1)(1)(1)211x x x x x x x x =++--=+＋－＋2(2)(100.2)10040.0496.04－＝－＋＝4.先化简，再求值：2a (a ＋2b )－(a ＋2b )2，其中a ＝－1，b ＝3. 解： 2a (a ＋2b )－(a ＋2b )2＝ 2a 2＋4ab －(a 2＋4ab ＋4b 2)＝ 2a 2＋4ab －a 2－4ab －4b 2＝a 2－4b 2当a ＝－1，b ＝3时，原式＝(－1)2－4×32＝－35.六、布置作业教材110页练习题第1题．。
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式教案
完全平方公式教学目标1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．2．熟练应用公式进行计算．教学重点完全平方公式的推导过程、结构特点以及几何解释，并能灵活应用．教学难点理解完全平方方式的结构特征，并能灵活应用．教学过程设计一、创设情景，明确目标1．多项式乘以多项式的法则是什么？(多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．)2．观察下列计算过程及结果：(1)(p＋q)(p＋q)＝________________＝________________；(2)(x－y)(x－y)＝________________＝________________.展示点评：怎样快速的计算形如(2x＋y)2的运算，这就是我们今天所要学习的主要内容．二、自主学习，指向目标自学教材第109页至110页，思考下列问题：1．完全平方公式的推导的依据多项式乘以多项式的乘法法则2．完全平方公式的特征是：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍；与平方差公式的区别是平方差公式是两数的和乘以两数的差，等于这两数的平方差，其结果是一个二项式．3．从几何的角度去理解完全平方公式，观察下图，可以得到：(1)(a＋b)2＝________；(2)(a－b)2＝________．三、合作探究，达成目标探究点一完全平方公式活动一：1.根据条件列式：(1)a，b两数和的平方可以表示为________；(2)a，b两数平方的和可以表示为________．2．填写教材P109四个计算结果．展示点评：(1)一个多项式的平方运算可以看做哪种形式的运算(两个相同的多项式的乘法运算)(2)课本中的二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(三项)(3)上列算式运算的依据是什么？ (依据是多项式乘以多项式的乘法法则)(4)观察上列算式，运算出结果后的三项式与等式左边的二项式有什么关系？(等号的左边是两数的和或差的平方；等号的右边是这两数的平方和，加上或减去这两数积的2倍．)3．归纳：由上述规律可得到公式：(a＋b)2＝________；(a－b)2＝________．完全平方公式：两数和(或差)的平方等于这两个数的______加上(或减去)这两个数积的______倍．可记作：首平方，尾平方，二倍乘积放中央．4．观察教材图14 .2－2及14 .2－3你通过图形中的面积，得到什么结果？(a ＋b)2＝a 2＋ab ＋b 2＋ab ＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2；5．观察教材P 110例3中的两个算式，能否用完全平方公式进行计算？若能用，公式中a ，b 分别代表什么？例1 运用完全平方公式计算：(1)(4m ＋n)2(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122 (3)(－2a －3b)2 展示点评：从平方的意义看，⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122与⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y 2的结果一样吗？(－2a －3b)2与(－3b －2a)2的结果相同吗？而(4m ＋n)2与(4m －n)2的结果呢？展示点评：互为相反数的平方结果相等，因此(y －12)2与(12－y)2的结果一样；而4m ＋n 与4m －n 不一定相等或是相反数，因此其平方的结果不一定相等．小组讨论：应用完全平方公式计算应注意什么？解答过程见课本P 110例3反思小结：1.应用公式时，可以先确定两数的平方和，再加上(或减去)两数积的2倍；切记不要漏掉两数积的2倍；2.互为相反数的两个多项式的平方相等．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二 完全平方公式的综合应用活动二：运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992小组讨论：一个较大或较小数的平方运算，如何巧妙地进行变形，应用完全平方公式，快速的进行计算呢？展示点评：把102或99写成两数和或差的形式，再进行计算．反思小结：对于较大数的平方可以转化成两整数和(或差)的平方，再运用完全平方公式进行计算比较简便．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．完全平方公式的推导及其几何意义；2．完全平方公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式；3．应用完全平方公式进行计算，有关数字计算题应用完全平方公式可以使计算简便．4．数学思想：类比、数形结合．五、达标检测，反思目标1．( x＋3y )2＝x2＋6xy＋__9y2__．2．a2－kab＋9b2是完全平方式，则k＝__±6__．3．计算(－a－b)2结果是( B )A．a2－2ab＋b2B．a2＋2ab＋b2C．a2＋b2D．a2－b24．运用乘法公式计算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12； (2)1052； 解：(1)原式＝14x 2－x ＋1 (2)原式＝(100＋5)2＝1002＋2×100×5＋25＝10000＋1025＝11025(3)(a －b －3)(a －b ＋3)．解：原式＝[(a －b )－3][(a －3)＋3] ＝(a －b )2－9＝a 2－2ab ＋b 2－95．已知x ＋y ＝9，xy ＝20，求(x －y)2的值． 解：(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝81－80＝1 ●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本第112页2、3(2)(3)、7.2．课后作业：见《学生用书》．。
人教版八年级数学(上册)14.2.2《完全平方公式》教案
完全平方公式重庆市礼嘉中学校教学内容：人教版八年级上册第109--110页，完全平方公式。
教材分析：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，同时也是数学方法“配方法”的基础。
而且，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起到十分重要的作用。
本节内容安排两个课时，今天学习第一课时。
教学目标：1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。
2、利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式，掌握完全平方公式的计算方法。
3、体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。
重、难点重点：完全平方公式的推导及利用完全平方公式进行简单计算。
难点：理解公式中字母的广泛含义。
教学过程一、创设情境有一位老人非常喜欢小孩，每当有孩子到家做客时，老人都拿出糖果招待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来3个孩子，老人就给每个孩子三块糖.......1、第一天有a个男孩一起去老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？2、第二天有b个女孩一起去老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？3、第三天有(a+b)个孩子一起去老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？4、第三天给的糖果数与前两天给的糖果总数一样多吗？比较：(a+b)2与a2+b2（设计意图：利用实际问题，启发学生思考，并转化为数学问题，引出新课）二、探究：计算下列各式,你能发现什么规律?1、(p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______；2、(m+2)2= _________;3、(a-3)2 = (a-3 ) (a-3) = ________;4、(x-4)2 = _________.师：生独立计算，并并现结果有什么共同点？生：展示刚才计算结果，并讨论结果有什么共同点？师生共同归纳得出完全平方公式的结构特征：（1）左边是一个二项式的完全平方；（2）右边的积有三项，其中两项是左边两数的平方和，另一项是左边两数乘积的2倍，且符号与左边两数之间的符号相同。
人教版八年级数学上册(教案)：14.2.2《完全平方公式》
《完全平方公式》一、教材分析说课内容：《整式的乘除与因式分解》的《完全平方公式》。
教材的地位和作用：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。
而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用。
本节内容共安排两个课时，这次说课是其中第一个课时。
完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
教学目标和要求：由课标要求以及学生的情况我将三维目标定义为以下三点：知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。
过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。
情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。
教学的重点与难点：根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
而难点应为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。
在教学过程中多处留有空白点以供学生独立研究思考。
二、教法与学法（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。
（2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。
（3）由易到难安排例题、练习，符合八年级学生的认知结构特点。
（4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。
三、教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情景，推导公式计算1、想一想（电脑演示）一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图所示）（要求学生从不同的角度表示图形的面积）观察动画，学生抢答：⑴、四块实验田的面积分别为：、、、；⑵、两种形式表示实验田的总面积：复习旧知，并以问题引入。
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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【教学目标】
1.利用添括号法则灵活应用乘法公式进行运算.
2.利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力.
3.鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神.
【重点难点】
重点：利用添括号法则灵活应用乘法公式进行运算.
难点：根据式子特点灵活添加括号，使其符合乘法公式特点.
3.学生尝试验证(a－b)2＝a2－2ab＋b2，分组交流，各组展示：
如图2中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是(a－b)，所以它的面积是(a－b)2.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积，也就是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
教师小结：这两个公式叫做完全平方公式，从刚才的推理可以看出，数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过平方差公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可.在完全平方公式的验证过程中，通过对类比平方差公式的面积验证，抓住机遇，进一步渗透数形结合的思想、类比的思想，渗透“特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示”的一般过程.
2.完全平方公式的应用.
难点：完全平方公式的特点及整体思想的渗透.
┃教学过程设计┃
教学过程
设计意图
一、设计问题，导入新课
问题1：教师开门见山：前面我们学习了多项式乘以多项式和平方差公式，请同学们计算：
(1)(2x＋1)(x＋3)；(2)(m＋2n)(m－3n)；
(3)(3a＋2b)(3a－2b); (4)(2x－3y)(2x＋3y).
先看图1，可以看出大正方形的边长是a＋b，还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2.另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2.另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a＋b，其面积是(a＋b)2.于是就可以得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
3.多项式乘以多项式的法则是什么？
4.计算：(1)(2x＋y－1)2；(2)(3a－2b－4c)(3a－2b＋4c).
师生活动：1题学生独立计算，订正答案，结合第1题回答第2题；
回答第3题后，独立计算.
乘法公式是特殊化的多项式乘法，而平方差公式和完全平方公式的推广可以简化运算，第4题的运算过程与结果学生会有模糊的感知，从而为后续教学奠定基础.
二、师生互动，运用新知
问题1：计算：(1)[(2x＋y)－1]2；(2)[(3a－2b)－4c]·[(3a－2b)＋4c].
通过计算，说说你的发现.
四、课堂小结，提炼观点
通过本节课的学习，你有何收获和体会？还有哪些困惑？
五、布置作业，巩固提升
教材第112页 第2，4题
【板书设计】
完全平方公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
【教学反思】
本节课充分发挥了学生自主学习、探究的能力.从归纳猜想、随堂练习到公式验证、巩固提高，都渗透着从学生自主探索，再到学生与学生之间的合作交流学习，都突出了学生是探索性学习活动的主体这一理念.此外，还充分挖掘本课时教材中的隐含的各种数学思想，在教学中渗透如数形结合思想、换元思想、化归思想，注重培养学生发现问题、解决问题的能力.
三、运用新知，解决问题
1.应用完全平方公式计算：
(1)(3m＋2n)2；
2.运用完全平方公式计算：
(1)1012；(2)982.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式，确定好公式中的a，b；第三步化简.
运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题，让学生通过应用举例，达成本节课的基本学习目标.
并回忆多项式乘以多项式法则和平方差公式.
问题2：请同学们计算：
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；
(2)(x＋y)2＝________；
(3)(p－1)2＝________；
(4)(x－y)2＝________.
学生通过多项式乘以多项式的法则进行计算，教师巡视指导，发现计算中的问题给予个别指导.
┃教学过程设计┃
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课
1.计算：
(1)(2x－1)(2x＋1)；(2)(2a＋3b)(3b－2a)；
(3)(2x－3y)2；(4)(4a＋b)2.
2.结合上题回答：(1)具备什么特点的式子可以应用平方差公式或完全平方公式？
(2)平方差公式、完全平方公式中字母代表什么？
完全平方公式与平方差公式一样，都是多项式乘以多项式的特殊形式，因此通过设置复习，计算问题2培养学生观察、思考、提出问题的能力，让学生经历从一般到特殊的过程，为公式的发现、证明奠定基础.
二、师生互动，探究新知
问题1：通过计算你有什么新的发现？请类比上节课平方差公式的学习过程，试着用语言叙述或式子表达出来.
学生交流，讨论.
文字叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
符号叙述：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
问题2：怎么验证这一规律？
1.学生可以通过计算来验证；
2.如学生想不到通过面积法，教师提示上一节课平方差公式的面积验证过程，提示如何验证(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2?
14.2.2完全平方公式
第1课时完全平方公式
【教学目标】
1.掌握完全平方公式的基本特征，理解公式的几何背景.
2.会用完全平方公式进行计算.
3.经历完全平方公式的探索过程，发展学生的符号感和推理能力.
4.通过完全平方公式的应用，体会公式中字母的含义，渗透整体、数形结合、类比的数学思想.
【重点难点】
重点：1.完全平方公式的推导过程，结构特点，几何解释；