静安青浦区初三二模数学试卷及答案
2023年上海市青浦区九年级中考二模数学试卷(含答案解析)
2023年上海市青浦区九年级中考二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题平面直角坐标系xOy 内，点P 在第二象限的概率为____．12．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度．13．已知点2()1,M -和点N 都在抛物线22y x x c =-+上，如果MN x ∥轴，那么点N 的坐标为____．14．已知点G 为ABC 的重心，AB a=，AC b = ，那么= AG __．（用a 、b 表示）15．如图，图中反映轿车剩余油量q (升)与行驶路径s (千米)的函数关系，那么q 与s 的函数解析式为____．16．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为____分米．17．如图3，在平面直角坐标系xOy 内，已知点(3,1)G -，(1,3)A -，(4,0)B -，如果C 是以线段AB 为直径的圆，那么点G 与C 的最短距离为____．三、解答题18．如图，在Rt ABC △中，90610C BC AB ∠=︒==，，，点D 是边AB 的中点，点M 在边AC 上，将ADM △沿DM 所在的直线翻折，点A 落在点E 处，如果EC AB ，那么CE =____．111 (1)求边AB的长；(2)已知点D在AB边上，且13ADBD=，连接22．某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示.已知参加乒乓球运动的人数有题.(1)求参加篮球和足球运动的总人数；(2)学校为本次活动购买了一些体育器材，数每人一只配备的，购买篮球的费用是单价比足球的单价便宜10元多少人？23．如图，在平行四边形ABCDBD于点F，且2AB BF BD=⋅(1)求证：点F 在边AB 的垂直平分线上；(2)求证：AD AE BE BD = ．24．如图，已知抛物线214y x bx c =-++为点A ．(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)将该抛物线向右平移m 个单位(0m >求m 的值；(3)在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为于点F ，求点C 到直线GF 的距离．25．如图，半圆O 的直径10AB =点D 是弧AC 上一点．(1)若点D 是弧AB 的中点，求tan DOC ∠(2)连接BD 交半径OC 于点E ，交CH 于点①用含m 的代数式表示线段CF 的长；②分别以点O 为圆心OE 为半径、点C m 取值范围．参考答案：故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键．6．D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于y x =-，当x =-二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项B.对于4y x =+，当2x =-时，2y =三象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项1【点睛】本题考查了中线的性质，15．1508q s =-+【分析】根据图象，通过待定系数法，即可解答．【详解】解：根据图象，可得函数与坐标轴的交点为设函数解析式为q ks b =+，将()050，，()4000，代入函数解析式得：解得1850k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故q 与s 的函数解析式为18q =-故答案为：1508q s =-+．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，熟练运用待定系数法是解题的关键．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．17．2【分析】首先根据题意画图，可求得直线据两点间距离公式，即可求解．【详解】解：根据题意画图如下：=设直线AB的解析式为y kx【详解】解：如图，过点D 作EC 的垂线段，交EC 于点F ，过点90610BC AB ︒==，，，226810+=，是边AB 的中点，152AD BD AB ===，ADM 沿DM 所在的直线翻折，点A 落在点E 处，5DA DC ==，在Rt ACH 中，45C ∠=︒．∴45HAC C ∠=∠=︒，即AH CH =．在Rt ABH △中，1tan 2AH B BH ==．∴2BH AH =．设AH x =，那么CH x =，2BH x =．∵AH BC ⊥，∴90DGC AHC ∠=∠=︒．∴DG AH ∥，即BD BG AB BH =．由13AD BD =得34BD AB =．∵8BH =，∴34BG BH =，即6BG =．∴6BG CG ==，即DG 是线段BC 的垂直平分线．∴BD CD =，∴BCD B ∠=∠．原抛物线21(2)44y x =--+向右平移132∴1742G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2502F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1702P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4GP PF ==，∴GPF 是等腰直角三角形，GFP ∠在Rt MOF △中，OMF OFM ∠=∠=∴192CM OM OC =-=．∵点D 是弧AB 的中点，AB 是直径，∴OD AB ⊥．∴90CHB DOB ∠=∠=︒，∴OD CH ∥，∴DOC OCH ∠=∠．过点O 作OM BC ⊥，垂足为点M ．由垂径定理，在Rt BOM △中，34BM OM OB ==，，在Rt BCH △中，sin CH BC OBC =⋅∠=）HG OC ∥交BD 于点G .,,HGB OEB GHB EOB =∠∠=∠,HGB OEB ∽1855BH BO ==，1825m =．HG OC∥,,CEF HGF ECF FHG =∠∠=∠,CEF HGF ∽CE GH=，51825CF m CF m -=-．6001201257m m-=-．o OE m ==，6001201257c m r CF m -==-，d OC =当两圆内切时，60012051257m m m --=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．答案第17页，共17页。
2019-2020学年上海市青浦区九年级第二学期(二模)考试数学试卷(含答案)
青浦区2019学年九年级第二次学业质量调研测试数 学 试 卷（时间100分钟，满分150分） Q2020.05考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1． (0)a a ≠的倒数是（ ▲ ）（A ）a ； （B ）a -； （C ）1a ； （D ）1a-． 2．计算2(2)x -的结果，正确的是（ ▲ ）（A ）22x ； （B ）22x -； （C ）24x ； （D ）24x -． 3．如果反比例函数ky x=的图像分布在第二、四象限，那么k 的取值范围是（ ▲ ） （A ）0k >； （B ）0k <； （C ）0k ≥； （D ）0k ≤． 4．下列方程中，没有实数根的是（ ▲ ）（A ）； （B ）；（C ）；（D ）． 5． 为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查220x x -=2210x x --=2210x x -+=2220x x -+=中，下列说法正确的是（ ▲ ）（A ）400名学生中每位学生是个体； （B ）400名学生是总体； （C ）被抽取的50名学生是总体的一个样本； （D ）样本的容量是50． 6．如图1，点G 是ABC ∆的重心，联结AG 并延长交BC 边于点D ．设a AB =u u u r r ，b GD =u u u r r ，那么向量BC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ▲（A ）32BC b a =-u u u rr r； （B ）32BC b a =+u u u rr r；（C ）62BC b a =-u u u r r r；（D ）62BC b a =+u u u rr r．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7． 计算：3a a ÷= ▲ ．8． 在实数范围内因式分解：22m -= ▲ ． 9． 函数y 的定义域是 ▲ ．10．不等式组1020.x x +≥⎧⎨->⎩，的解集是 ▲ ．11．如果将直线3y x =平移，使其经过点（0,-1），那么平移后的直线表达式是 ▲ ． 12．从2，3，4，5，6这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是 ▲ ． 13．如果点D 、E 分别是ABC ∆的AB 、AC 边的中点，那么ADE ∆与ABC ∆的周长之比是 ▲ ．图114．已知点C 在线段AB 上，且012AC AB <<．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是 ▲ ．15．随机选取50粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如右表所示．估计该作物种子发芽的天数的平均数约为 ▲ 天．16．在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，如果点A 落在射线BC 上的点A '处．那么=AA ' ▲ ．17．在Rt ABC ∆中，90oACB ∠=，3AC =，4BC =．分别以A 、B 为圆心画圆，如果⊙A 经过点C ，⊙B 与⊙A 相交，那么⊙B 的半径r 的取值范围是 ▲ ． 18．小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割 出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的 两条直线称为这两个直角三角形的相似．．分割线．．．． 如图2、图3，直线CG 、DH 分别是两个不相似的Rt ABC ∆ 和Rt DEF ∆的相似分割线，CG 、DH 分别与斜边AB 、EF 交于 点G 、 H ，如果BCG ∆与DFH ∆相似，3AC =，5AB =，4DE =，8DF =，那么AG = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]GCA图2HFED图319．（本题满分10分）计算：2121182-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程：24211422x x x x -=---+. 21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o，4AC BC ==， 点D 在边BC 上，且3BD CD =，DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE .（1）求线段AE 的长； （2）求ACE ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分）某湖边健身步道全长1500米，甲、乙两人同时从同一起 点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过 程中，甲、乙两人间的距离y （米）与出发的时间x的关系如图5中OA —AB 折线所示．（1）用文字语言描述点A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时x 的值． 23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）如图6，在平行四边形ABCD 中，BE 、DF 分别是平行四边形的ABCDE 图4GBA图5两个外角的平分线，12EAF BAD ∠=∠，边AE 、AF 分别交两条角平分线于点E 、F ．（1）求证：ABE ∆∽FDA ∆；（2）联结BD 、EF ，如果2DF AD AB =⋅，求证：BD EF =．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y a x a x =-+ 的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3∠=CAO ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDF FDP S S =V V 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将△PCD 沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交轴于点M ，交轴于点N ，求OM ON的值．x y 图7备用图25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图8，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C 在半圆O 上.过点A 作AD ⊥OC ，垂足为点D ，AD 的延长线与弦BC 交于点E ，与半圆O 交于点F （点F 不与点B 重合）.（1）当点F 为»BC的中点时，求弦BC 的长； （2）设OD x =，DE AEy =，求与的函数关系式；（3）当△AOD 与△CDE 相似时，求线段OD 的长.y x OABCDE FOABCDE F备用图图8青浦区2019学年九年级第二次学业质量调研测试评分参考 202005一、选择题：1．C ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．D ； 6．C ．二、填空题：7．2a ； 8．(m m ； 9．3x ≥-；10．12x -≤<； 11．31y x =-； 12．35；13．1:2； 14．点B 在⊙C 外； 15．1.8；16． 17．2＜r ＜8； 18．3．三、解答题：19．解：原式4+． ····················································· （8分）=3． ············································································· （2分）20．解：两边同乘以(2)(2)x x +-，得242(2)4(2)x x x x -+=--- ································································ （4分）2320x x -+=．·················································································· （2分） 解得121,2x x ==． ·············································································· （2分） 经检验，11x =是原方程的根，22x =是原方程的增根，舍去． ······················· （1分）所以，原方程的根是1x =．······································································· （1分） 21．证明：（1）∵4BC =，3BD CD =， ∴3BD =． ······································ （1分）∵AB=BC ， ∠ACB =90°∴∠A =∠B =45°．································· （1分）∵DE ⊥AB ， ∴在Rt △DEB 中，cos 2BE B BD==．∴BE =·· （2分）在Rt △ACB 中，AB ==AE =·············· （1分）（2）∵过点E 作EH ⊥AC 于点H.∴在Rt △AHE 中，cos AH A AE ==，AH=cos45AE ⋅︒= 52············· （1分） ∴53422CH AC AH =-=-=，∴EH= AH=52···································· （2分） ∴在Rt △CHE 中，cot ∠ECB =35CH EH=，即∠ECB 的余切值是35············· （2分）22．解：（1）20分钟时，甲乙两人相距500米． ··············································· （3分）（2）1500==7520V 米分甲，1000==5020V 米乙分··································· （4分）依题意，可列方程：75（x -20）+50(x -20)=500 ······································· （1分） 解这个方程，得 x =24 ····································································· （1分）答：甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟50米，两人相遇时x 的值为24． ·· （1分）23．证明：（1）∵∠EAF=12∠BAD．∴∠DAF+∠BAE=12∠BAD ·························（1分）∵DF平分∠HDC，∴∠HDF=12∠HDC．····································（1分）又∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠BAD=∠CDH．∴∠HDF =∠DAF+∠BAE．·······················································（1分）又∵∠HDF =∠DAF+∠F， ·······················································（1分）∴∠BAE=∠F． ······································································（1分）同理：∠DAF=∠E···································································（1分）∴△ABE∽△FDA ····································································（1分）（2）作AP平分∠DAB交CD∴∠DAP=12∠BAD，∵∠HDF=12∠CDH，且∠BAD=∠CDH∴DF∥AP ·······················································································（1分）同理：BE∥AP，∴DF∥BE∵△ABE∽△FDA ∴AD DFBE AB=，即BE DF AD AB⋅=⋅···························（1分）又∵2DF AD AB =⋅∴BE =DF ························································································ （1分） ∴四边形DFEB 是平行四边形 ····························································· （1分） ∴BD =EF ························································································ （1分）24．解：（1）∵二次函数243y ax ax =-+的图像与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0，3) ∴OC =3 ·························································· （1分）联结AC ，在Rt △AOC 中，tan ∠CA O=OC OA=3∴OA =1 ·························· （1分） 将点A （1，0）代入243y ax ax =-+，得430a a -+=, ······················· （1分） 解得： 1a =．所以，这个二次函数的解析式为 243y x x =-+． ································· （1分） （2）过点C 作CG ⊥DF ，过点P 作PQ ⊥DF ，垂足分别为点G 、Q ．∵抛物线243y x x =-+的对称轴为直线2x =，∴2CG =．····················· （1分）∵23CDF FDP CG PQ S S ∆∆==，∴3PQ =． ························································· （1分） ∴点P 的横坐标为5． ······································································· （1分） ∴把5x =代入 243y x x =-+，得 8y =∴点P 的坐标为（5，8） ········· （1分）（3）过点P 作PH ⊥OM ，垂足分别为点H∵点P 的坐标为（5，8） ∴OH=5，PH=8． ··············································· （1分） ∵将△PCD 沿直线MN 翻折，点P 恰好与点O 重合，∴MN OP ⊥，∴∠ONM +∠NOP=90°． ···················································· （1分） 又∵∠POH +∠NOP=90°，∴∠ONM =∠POH ． ········································································ （1分） ∴85tan tan OMPHONM POM ON OH ∠=∠===．············································ （1分） 25．解：（1）联结OF ，交BC 于点H ．∵F 是»BC 中点，∴OF ⊥BC ，BC =2BH ． ····················································· （1分）∴∠BOF =∠COF ．∵OA =OF 且OC ⊥AF ，∴∠AOC=∠COF∴∠AOC =∠COF =∠BOF =60° ·································································· （1分）在Rt BOH ∆中，Sin ∠BOH =BHOB =2························································ （1分）∴BH BC =·········································································· （1分） （2）联结BF ．∵AF ⊥OC ，垂足为点=D ，∴AD =DF ． ······················································· （1分） 又∵OA = OB ，∴OD ∥BF ，22BF OD x ==． ································································· （1分）∴32DECDxEF BF x -==， ············································································· （1分）∴33DEx DFx -=+ 即33DE x AD x -=+ ·································································· （1分） ∴36DEx AE -=， ····················································································· （1分） ∴36x y -=． ······················································································· （1分） （3）AOD ∆∽CDE ∆，分两种情况：①当DOA DCE ∠=∠时,CB AB //，不符合题意，舍去． （1分） ②当DAO DCE ∠=∠时，联结OF ．∵,OA OF OB OC ==，∴,OAF OFA OCB OBC ∠=∠∠=∠．DAO DCE ∠=∠ΘOBC OCB OFA OAF ∠=∠=∠=∠∴． （1分） ∵2AOD OCB OBC OAF ∠=∠+∠=∠， （1分）30OAF ∴∠=︒ ，2321==∴OA OD ． （1分） 即，线段OD 的长为32。
初中青浦二模数学试卷答案
一、选择题1. 答案：D解析：由题意可知，x的值应该是2的倍数，而选项中只有D是2的倍数。
2. 答案：A解析：根据勾股定理，a² + b² = c²，代入选项验证，只有A选项符合条件。
3. 答案：C解析：题目中提到，三角形ABC是等腰三角形，所以AB = AC，又因为BC是斜边，所以BC > AB，故选C。
4. 答案：B解析：由题意可知，正方形的对角线相等，所以AC = BD，又因为AB = BC，所以三角形ABC是等边三角形。
5. 答案：D解析：由题意可知，x + y = 5，x - y = 1，解这个方程组，得到x = 3，y = 2。
二、填空题6. 答案：7解析：由题意可知，x² - 6x + 9 = 0，这是一个完全平方公式，所以x = 3。
7. 答案：8解析：由题意可知，a + b = 10，ab = 15，解这个方程组，得到a = 5，b = 5。
8. 答案：-2解析：由题意可知，-2x + 3 = 0，解这个方程，得到x = 3/2，即x = -2。
9. 答案：45°解析：由题意可知，∠ABC = 45°，∠ACB = 90°，所以∠BAC = 45°。
10. 答案：18解析：由题意可知，x² + 2x - 15 = 0，这是一个二次方程，解这个方程，得到x = 3 或 x = -5，所以x + y = 3 + (-5) = -2，即x + y = 18。
三、解答题11. 答案：（1）由题意可知，x² - 5x + 6 = 0，解这个方程，得到x = 2 或 x = 3。
（2）当x = 2时，代入原方程，得到2² - 5×2 + 6 = 0，所以x = 2是方程的解。
（3）当x = 3时，代入原方程，得到3² - 5×3 + 6 = 0，所以x = 3也是方程的解。
2019~2020学年上海市青浦区九年级二模数学试卷及参考答案
2019~2020学年上海市青浦区九年级⼆模数学试卷及参考答案2019~2020学年上海市青浦区九年级⼆模数学试卷（时间：100分钟，满分150分）⼀、选择题（本⼤题共6题，每题4分，满分24分） 1.(0)a a ≠的倒数是（）（A ）a ；（B ）a -；（C ）1a；（D ）1a -．2. 计算2(2)x -的结果，正确的是（）（A ）22x ；（B ）22x -；（C ）24x ；（D ）24x -．3. 如果反⽐例函数ky x =的图像分布在第⼆、四象限，那么k 的取值范围是（）（A ）0k >；（B ）0k <；（C ）0k ≥；（D ）0k ≤．4. 下列⽅程中，没有实数根的是（）（A ）220x x -=；（B ）2210x x --=；（C ）2210x x -+=；（D ）2220x x -+=．5. 为了了解某校初三400名学⽣的体重情况，从中抽取50名学⽣的体重进⾏分析，在这项调查中，下列说法正确的是（）（A ）400名学⽣中每位学⽣是个体；（B ）400名学⽣是总体；（C ）被抽取的50名学⽣是总体的⼀个样本；（D ）样本容量是50．6. 如图，点G 是ABC △的重⼼，联结AG 并延长交BC 边于点D ．设AB a =u u u r r ，GD b =u u u r r，那么向量BC u u u r ⽤向量a r 、b r表⽰为（）（A ）32BC b a =-u u u r r r ；（B ）32BC b a =+u u u r r r ；（C ）62BC b a =-u u u r r r ；（D ）62BC b a =+u u u r r r ．第6题图⼆、填空题（本⼤题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：3a a ÷=____________．8. 在实数范围内因式分解：22m -=____________．9. 函数y ____________． 10. 不等式组10;20.x x +≥??->?的解集是____________．11. 如果将直线3y x =平移，使其经过点(0,1)-，那么平移后的直线表达式是__________． 12. 从2、3、4、5、6这五个数中任选⼀个数，选出的这个数是素数的概率是________．13.如果点D、E分别是ABC△边的中点，那么ADE△与ABC△的周长之⽐是_______．14.已知点C在线段AB上，且12AC AB<<．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是____________．15.随机选取50粒种⼦在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如下表所⽰．估计该作物种⼦发芽的天数的平均数约为_________天．16.在ABC△中，3AB AC==，2BC=，将ABC△绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点'A处，那么'AA=____________．17.在Rt ABC△中，90ACB∠=?，3AC=，4BC=，分别以A、B为圆⼼画圆，如果⊙A 经过点C，⊙B与⊙A相交，那么⊙B的半径r的取值范围是____________．18.⼩明学习完《相似三⾓形》⼀章后，发现了⼀个有趣的结论：在两个不相似的直⾓三⾓形中，分别存在经过直⾓顶点的⼀条直线，把直⾓三⾓形分成两个⼩三⾓形后，如果第⼀个直⾓三⾓形分割出来的⼀个⼩三⾓形与第⼆个直⾓三⾓形分割出来的⼀个⼩三⾓形相似，那么分割出来的另外两个三⾓形也相似，他把这样的两条直线称为这两个直⾓三⾓形的相似分割线．如图，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt ABC△和Rt DEF△的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果BCG△与DFH△相似，3AC=，5AB=，4DE=，8DF=，那么AG=____________．第18题图三、解答题（本⼤题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）-2121182-- ?．20. （本题满分10分）解⽅程：24211422x x x x -=---+．21. （本题满分10分，每⼩题各5分）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，4AC BC ==，点D 在边BC 上，且3BD CD =，DE AB ⊥，垂⾜为点E ，联结CE ．（1）求线段AE 的长；（2）求ACE ∠的余切值．22. （本题满分1哦分，其中第（1）⼩题3分，第（2）⼩题7分）某湖边健⾝步道全长1500⽶，甲、⼄两⼈同时从同⼀起点匀速向终点步⾏．甲先到达终点后⽴刻返回，在整个步⾏过程中，甲、⼄两⼈间的距离y （⽶）与出发时间x （分）之间的关系如图中OA AB -折线所⽰．（1）⽤⽂字语⾔描述点A 的实际意义；（2）求甲、⼄两⼈的速度及两⼈相遇时x 的值．23. （本题满分12分，其中第（1）⼩题7分，第（2）⼩题5分）如图，在平⾏四边形ABCD 中，BE 、DF 分别是平⾏四边形的两个外⾓的平分线，12EAF BAD ∠=∠，边AE 、AF 分别交两条交平分线于点E 、F ．（1）求证：ABE △∽FDA △；（2）联结BD 、EF ，如果2DF AD AB =?，求证：BD EF =．24. （本题满分12分，每⼩题各4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，⼆次函数243y ax ax =-+的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，且tan 3CAO ∠=．（1）求这个⼆次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDF FDP S S =△△时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，将PCD △沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，求OMON的值．备⽤图25.（本题满分14分，其中第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题4分）如图，已知AB是半圆O的直径，6AB=，点C在半圆O上，过点A作AD OC⊥，垂⾜为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为?BC的中点时，求弦BC的长；（2）设OD x=，DEyAE=，求y与x的函数关系式；（3）当AOD△与CDE△相似时，求线段OD的长．备⽤图。
上海市静安区、青浦区2019年中考二模数学试题(解析版)
上海市静安区、青浦区2019年中考二模数学试题一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]．．．．B、﹣5．（4分）（2019•老河口市模拟）如果▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断▱ABCD6．（4分）（2019•静安区二模）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（）数学试卷二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．（4分）（2019•静安区二模）计算：=．=故答案为：8．（4分）（2019•静安区二模）不等式组的解集是x＞2．解：＞．＞9．（4分）（2019•静安区二模）如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．10．（4分）（2019•静安区二模）如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0没有实数根，那么m的取值范围是m ＞10．11．（4分）（2019•静安区二模）如果点A（﹣1，2）在一个正比例函数y=f（x）的图象上，那么y随着x 的增大而减小（填“增大”或“减小”）．12．（4分）（2019•静安区二模）将抛物线y=2x2+1向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是y=2（x ﹣3）2+1．数学试卷13．（4分）（2019•静安区二模）某校200名学生一次数学测试的分数均大于75且小于150，分数段的频数分布情况如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135～150有35人（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），那么测试分数在120～135分数段的频率是0.25．即可求出测试分数在==14．（4分）（2019•静安区二模）从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是．∴摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是：=故答案为：．15．（4分）（2019•静安区二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，，那么=．，则可表示出、，从而可得出===，又∵=，=﹣=﹣．故答案为：﹣﹣．16．（4分）（2019•静安区二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2=4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是r＞7．17．（4分）（2019•静安区二模）在△ABC中，∠A=40°，△ABC绕点A旋转后点C落在边AB上的点C′，点B落到点B′，如果点C、C′、B′在同一直线上，那么∠B的度数是30°．数学试卷C=（（18．（4分）（2019•静安区二模）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是．EF=2a的面积比是故答案为：三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）（2019•静安区二模）化简：，并求当时的值．+．=20．（10分）（2019•静安区二模）解方程组：．解：原方程组可化为，，，解得原方程组的解是，数学试卷21．（10分）（2019•静安区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD 相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=．求：（1）∠DBC的余弦值；（2）DE的长．ADB=，ADB=，=，BD==20ADB==；DBC==，==，=，DE=BD=20=．22．（10分）（2019•静安区二模）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．时，23．（12分）（2019•静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．求证：（1）AF=CE；（2）BF2=EF•AF．，数学试卷．24．（12分）（2019•静安区二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD=，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y．（1）求⊙O的半径；（2）如图，当点E在AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果EF=，求DF的长．DC=2，在2AE=，再在=；x=BE=FH=2；，然后利用DH=DC=4，2，的半径为；AG=AE=x：==y=，；，即x=﹣DF=y===，=BE==：﹣，DF=DH+FH=2+数学试卷25．（14分）（2019•静安区二模）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD 的长．y=，由，6=∴反比例函数的解析式为，解得故二次函数的解析式为；数学试卷CD=。
2019~2020学年上海市青浦区九年级二模数学试卷及参考答案
2019~2020学年上海市青浦区九年级二模数学试卷（时间：100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.(0)a a ≠的倒数是（ ）（A ）a ； （B ）a -； （C ）1a；（D ）1a -．2. 计算2(2)x -的结果，正确的是（ ）（A ）22x ；（B ）22x -；（C ）24x ；（D ）24x -．3. 如果反比例函数ky x =的图像分布在第二、四象限，那么k 的取值范围是（ ） （A ）0k >；（B ）0k <； （C ）0k ≥； （D ）0k ≤．4. 下列方程中，没有实数根的是（ ）（A ）220x x -=；（B ）2210x x --=； （C ）2210x x -+=；（D ）2220x x -+=．5. 为了了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，下列说法正确的是（ ） （A ）400名学生中每位学生是个体；（B ）400名学生是总体；（C ）被抽取的50名学生是总体的一个样本；（D ）样本容量是50．6. 如图，点G 是ABC △的重心，联结AG 并延长交BC 边于点D ．设AB a =u u u r r ，GD b =u u u r r，那么向量BC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ）（A ）32BC b a =-u u u r r r ； （B ）32BC b a =+u u u r r r ；（C ）62BC b a =-u u u r r r ； （D ）62BC b a =+u u u r r r ．第6题图二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：3a a ÷=____________．8. 在实数范围内因式分解：22m -=____________．9. 函数y ____________． 10. 不等式组10;20.x x +≥⎧⎨->⎩的解集是____________．11. 如果将直线3y x =平移，使其经过点(0,1)-，那么平移后的直线表达式是__________． 12. 从2、3、4、5、6这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是________．13.如果点D、E分别是ABC△边的中点，那么ADE△与ABC△的周长之比是_______．14.已知点C在线段AB上，且12AC AB<<．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是____________．15.随机选取50粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如下表所示．估计该作物种子发芽的天数的平均数约为_________天．16.在ABC△中，3AB AC==，2BC=，将ABC△绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点'A处，那么'AA=____________．17.在Rt ABC△中，90ACB∠=︒，3AC=，4BC=，分别以A、B为圆心画圆，如果⊙A 经过点C，⊙B与⊙A相交，那么⊙B的半径r的取值范围是____________．18.小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个三角形也相似，他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt ABC△和Rt DEF△的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果BCG△与DFH△相似，3AC=，5AB=，4DE=，8DF=，那么AG=____________．第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）-2121182⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20. （本题满分10分）解方程：24211422x x x x -=---+．21. （本题满分10分，每小题各5分）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 在边BC 上，且3BD CD =，DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE ．（1）求线段AE 的长；（2）求ACE ∠的余切值．22. （本题满分1哦分，其中第（1）小题3分，第（2）小题7分）某湖边健身步道全长1500米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与出发时间x （分）之间的关系如图中OA AB -折线所示．（1）用文字语言描述点A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时x 的值．23. （本题满分12分，其中第（1）小题7分，第（2）小题5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE 、DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线，12EAF BAD ∠=∠，边AE 、AF 分别交两条交平分线于点E 、F ．（1）求证：ABE △∽FDA △；（2）联结BD 、EF ，如果2DF AD AB =⋅，求证：BD EF =．24. （本题满分12分，每小题各4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y ax ax =-+的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，且tan 3CAO ∠=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDF FDP S S =△△时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，将PCD △沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，求OMON的值．备用图25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，已知AB是半圆O的直径，6AB=，点C在半圆O上，过点A作AD OC⊥，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为»BC的中点时，求弦BC的长；（2）设OD x=，DEyAE=，求y与x的函数关系式；（3）当AOD△与CDE△相似时，求线段OD的长．备用图。
2020-2021学年上海市静安区、青浦区中考二模数学试题及答案解析
上海市静安区、青浦区中考二模数 学（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．当2-<a 时，2)2(+a 等于（A ）2+a （B ）2-a （C ）a -2 （D ）2--a 2．如果b a <，那么下列不等式中一定正确的是（A ）b b a -<-2 （B ）ab a <2 （C ） 2b ab < （D ）22b a <3．已知函数2)1(-+-=k x k y (k 为常数)，如果y 随着x 的增大而减小，那么k 的取值范围是（A ）1>k （B ）1<k （C ） 2>k （D ）2<k4．某校九年级200名学生在第一学期的期末考试中数学成绩（分数都是整数）分布如下表： 表中每组数据含最小值和最大值，在最低分为75分与最高分为149分之间的每个分数都有学生，那么下列关于这200名学生成绩的说法中一定正确的是（A ）中位数在105~119分数段 （B ）中位数是119.5分 （C ）中位数在120~134分数段 （D ）众数在120~134分数段5．如图，将△ABC 沿直线AB 翻折后得到△1ABC ，再将△ABC 绕点A 旋转后得到△22C AB ，对于下列两个结论：①“△1ABC 能绕一点旋转后与△22C AB 重合”； ②“△1ABC 能沿一直线翻折后与△22C AB 重合”的正确性是 （A ）结论①、②都正确 （B ）结论①、②都错误 （C ）结论①正确、②错误 （D ）结论①错误、②正确 6．如果四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AO ＝CO ，那么下列条 件中 不能．．判断四边形ABCD 为平行四边形的是 （A ）OB ＝OD （B ）AB//CD （C ）AB ＝CD （D ）∠ADB ＝∠DBC 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7．数25的平方根是 ▲ ． 8．分解因式：=--122x x ▲ ．9．如果二次根式x 23-有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ． 10．关于x 的方程0122=++-m mx x 根的情况是 ▲ ．11．如果抛物线h x a y +-=2)1(经过点A （0，4）、B （2，m ），那么m 的值是 ▲ ． 12．某小组8位学生一次数学测试的分数为121，123，123，124，126，127，128，128，那么这个小组测试分数的标准差是 ▲ ．（第5题图）13．从3位男同学和2位女同学中任选2人参加志愿者活动，所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是 ▲ ．14．如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，AD=2CD ，如果b BD a A B ==,，那么=BC ▲ ．15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90° ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，点F 在边BC 上，AF 与DE 相交于点G ，如果∠AFB ＝110° ，那么∠CGF 的度数是 ▲ ．16. 将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知012=--x x ，可用“降次法”求得134--x x 的值是 ▲ ．17．如果⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，⊙O 1的半径是5，点O 1到AB 的距离为3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是 ▲ ．18．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，四边形AEFG 是正方形，如果∠B= 60°， AD=1，那么BC 的长是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（本题满分10分）化简：x x x x -++--12121)1)(1(，并求当13+=x 时的值．20．（本题满分10分）（第18题图）（第14题图）解方程：411322=+++x x x x ．21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，对角线BD= 4，21tan =∠CBD ． 求：（1）边AB 的长；（2）∠ABE 的正弦值．22．（本题满分10分）小丽购买了6支水笔和3本练习本，共用21元；小明购买了12支水笔和5本练习本，共用39元．已知水笔与练习本的单价分别相同，求水笔与练习本的单价．23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：BD DG AD ⋅=2； （2）联结CG ，求证：∠ECB ＝∠DCG ．（第21题图） ABCED（第23题图）ABCDE GF24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，31cos =∠BAO ，设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）（第24题图）如图，反比例函数的图像经过点A（–2，5）和点B（–5，p），□ABCD的顶点C、D分别在y 轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A、C、D．（1）求直线AB的表达式；（3）如果点E且∠DCE＝∠BDO，求点E（第25题图）上海市静安区、青浦区中考二模数学试卷参考答案及评分标准.10一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2．A ； 3．B ； 4．B ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．5±； 8．)21)(21(--+-x x ； 9．23≤x ； 10．没有实数根； 11．4； 12．6； 13．53； 14．a b 2123-； 15．︒40； 16．1； 17．4≥r ； 18．32+． 三、（本大题共7题, 第19~22题每题10分, 第23、24题每题12分, 第25题14分, 满分78分） 19．解：原式=x xx -+-11……………………………………………………………………（4分）=xxx -=-111……………………………………………………………………（2分） 当13+=x 时，原式=233)13)(13()13(313131-=-+--=+--．…………………（4分） 20．解：设xx y 12+=，…………………………………………………………………………（1分）得：43=+y y，………………………………………………………………………（1分） 0342=+-y y ，…………………………………………………………………（1分）.3,121==y y ……………………………………………………………………（2分）当1=y 时，,112=+xx 012=+-x x ，此方程没有数解．…………………（2分）当3=y 时，,312=+x x 0132=+-x x ，253±=x ．………………………（2分） 经检验253±=x 都是原方程的根，…………………………………………（1分） 所以原方程的根是253±=x ．21．解：(1) 联结AC ，AC 与BD 相交于点O ，………………………………………………（1分）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO ＝221=BD ．……………………（1分） ∵Rt △BOC 中，21tan ==∠OB OC CBD ，………………………………………（1分） ∴OC ＝1，…………………………………………………………………………（1分） ∴AB ＝BC ＝5212222=+=+OC BO ．……………………………………（1分）（2）∵AE ⊥BC ，∴AC BD AE BC S ABCD ⋅⋅21＝＝菱形，………………………………（2分）∵AC ＝2OC ＝2，∴42215⨯⨯＝AE ，…………………………………………（1分）∴54＝AE ，………………………………………………………………………（1分）∴54sin ==∠AB AE ABE ．…………………………………………………………（1分）22．解：设水笔与练习本的单价分别为x 元、y 元，…………………………………………（1分）∴⎩⎨⎧=+=+,39512,2136y x y x ………………………………………………………………………（4分）解得⎩⎨⎧==.3,2y x ……………………………………………………………………………（4分）答：水笔与练习本的单价分别是2元与3元．…………………………………………（1分）23．证明：（1）∵AB=AC ，AD ＝,21AC AE ＝,21AB ∴AD ＝AE ，…………………………（1分） ∵∠BAD=∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE ．…………………………………………（1分） ∴∠ABD ＝∠ACE ，…………………………………………………………………（1分） ∵DF ⊥AC ，AD ＝CD ，∴AF ＝CF ，………………………………………………（1分） ∴∠GAD ＝∠ACE ，∴∠GAD ＝∠ABD ．………………………………………（1分） ∵∠GDA=∠ADB ，∴△GDA ∽△ADB ．…………………………………………（1分） ∴ADDGDB AD =，∴BD DG AD ⋅=2．……………………………………………（1分） （2）∵ADDG DB AD =，AD ＝CD ，∴CD DGDB CD =．………………………………………（1分） ∵∠CDG=∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC ．…………………………………………（1分） ∴∠DBC=∠DCG ．…………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ．……………………………………………………（1分） ∵∠ABD ＝∠ACE ，∴∠ECB ＝∠DBC=∠DCG ．………………………………（1分）24．解：（1）在⊙O 中，作OD ⊥AB ，垂足为D ，……………………………………………（1分）在Rt △OAD 中，31cos ==∠OA AD BAO ，………………………………………（1分）∴AD=31AO=1． ∴AB=2AD=2．………………………………………………（1分） （2）联结OB 、PA 、PC ，∵⊙P 与⊙O 相切于点A ，∴点P 、A 、O 在一直线上．……………………（1分）∵PC=PA ，OA=OB ，∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA ，∴PC//OB ．………（1分） ∴AO PA AB AC =，∴AC 32xAC AB PA =⋅=． ………………………………………（1分） ∵81322222=-=-=AD OA OD ，CD=AD+AC=132+x ， ∴OC=8)132(222++=+x CD OD ，………………………………………（1分）∴81124312++=x x y ，定义域为0>x ．…………………………………（1分）（3） 当⊙P 与⊙O 外切时，∵∠BOA=∠OCA ，∠CAO=∠POC ，∴△OAC ∽△OCP ．∴OPOCOC OA =，∴OP OA OC ⋅=2，……………………（1分） ∴)3(3)81124(912x x x +=++，∴01=x （不符合题意，舍去）4152=x ， ∴这时⊙P 的半径为415．………………………………………………………（1分） ∴2932=x ，427=x ，∴这时⊙P 的半径为427．……………………………（1分） ∴⊙P 的半径为415或427．25．解：（1）设反比例函数的解析式为xky =．∵它图像经过点A （–2，5）和点B （–5，p ）， ∴5=2-k，∴10-=k ，∴反比例函数的解析式为xy 10-=．……………………（1分）∴2510=--=p ，∴点B 的坐标为（–5，2）．……………………………………（1分） 设直线AB 的表达式为n mx y +=，则⎩⎨⎧+-=+-=,52,25n m n m ………………………………（1分） ∴⎩⎨⎧==.7,1n m ∴直线AB 的表达式为7+=x y ．………………………………………（1分） （2）由□ABCD 中，AB//CD ，设CD 的表达式为c x y +=，…………………………（1分）∴C （0，c ），D （–c ，0），…………………………………………………………（1分） ∵CD ＝AB ，∴22AB CD =∴2222)52()25(-++-=+c c ，……………………（1分）∴c ＝–3，∴点C 、D 的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．………………………（1分）（3）设二次函数的解析式为32-+=bx ax y ，⎩⎨⎧-+=--=,3390,3245b a b a ………………………（1分） ∴⎩⎨⎧-==.2,1b a ∴二次函数的解析式为322--=x x y ．…………………………（1分） 作EF ⊥y 轴，BG ⊥y 轴，垂足分别为F 、G ．∵OC ＝OD ，BG ＝CG ，∴∠BCG ＝∠OCD=∠ODC ＝45 º．∴∠BCD=90º，∵∠DCE ＝∠BDO ，∴∠ECF=∠BDC ．……………………………………………（1分）∴tan ∠ECF=tan ∠BDC=35)30()03()23()50(2222=++-+++=CD BC .…………………………（1分） 设CF ＝3t ，则EF ＝5t ，OF ＝3–3t ，∴点E （5t ，3t –3），………………………（1分） ∴31025332--=-t t t ，2513,(021==t t 舍去）.∴点E （513，2536-）.………（1分）。
初中数学 上海市静安区、青浦区中考模拟第二次模拟考试数学考试卷考试题及答案
xx学校xx学年xx 学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（）A．B．C．D．阿试题2:下列方程中，有实数根的是（）A．B．C． x3+3=0 D． x4+4=0试题3:函数y=kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限试题4:已知一组数据3、4、4、5、6、7、4、7，那么这组数据的（）A．中位数是5.5，众数是4 B．中位数是5，平均数是5C．中位数是5，众数是4 D．中位数是4.5，平均数是5试题5:如果▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断▱ABCD为菱形的是（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OAB=∠OBC C．∠OAB=∠OCD D．∠OAB=∠OAD试题6:一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（）A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直试题7:计算：= ．试题8:不等式组的解集是．试题9:如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是．试题10:如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0没有实数根，那么m的取值范围是．试题11:如果点A（﹣1，2）在一个正比例函数y=f（x）的图象上，那么y随着x的增大而（填“增大”或“减小”）．试题12:将抛物线y=2x2+1向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是．试题13:某校200名学生一次数学测试的分数均大于75且小于150，分数段的频数分布情况如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135～150有35人（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），那么测试分数在120～135分数段的频率是0.25 ．试题14:从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是．试题15:在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，，那么= ．试题16:如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2=4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是．试题17:在△ABC中，∠A=40°，△ABC绕点A旋转后点C落在边AB上的点C′，点B落到点B′，如果点C、C′、B′在同一直线上，那么∠B的度数是．试题18:在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是．试题19:化简：，并求当时的值．试题20:解方程组：．试题21:已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=．求：（1）∠DBC的余弦值；（2）DE的长．试题22:一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．试题23:已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．求证：（1）AF=CE；（2）BF2=EF•AF．试题24:已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD=，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y．（1）求⊙O的半径；（2）如图，当点E在AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果EF=，求DF的长．试题25:如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．试题1答案:解答：解：A、符合因式分解的定义，故本选项正确；B、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选A．试题2答案:解答：解：A、≥0，因而方程一定无解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解；C、x3+3=0，则x=﹣，故选项正确；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解．故选C．试题3答案:解答：解：∵k＞0∴﹣k＜0，∴﹣k﹣1＜0∴y=kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象经过一、三、四象限，故选B．试题4答案:解答：解：平均数=（3+4+4+5+6+7+4+7）÷8=5，中位数是（4+5）÷2=4.5，在这组数据中4出现3次，最多，则众数是4．故选D．试题5答案:解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠OAB=∠ACD，∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选D．试题6答案:解答：解：∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的，∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．故选：C．试题7答案:解答：解：原式==．故答案为：解答：解：，由①得，x＞；由②得，x＞2，故此不等式组的解集为：x＞．故答案为：x＞．试题9答案:解答：解：如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．试题10答案:考点：根的判别式．解答：解：∵关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0没有实数根，∴△=（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，即40﹣4m＜0，解得，m＞10．故答案是：m＞10．试题11答案:解答：解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），∵过点（﹣1，2），∴2=k×（﹣1），解得k=﹣2，故正比例函数解析式为：y=﹣2x，∵k=﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小，故答案为：减小．试题12答案:解答：解：抛物线y=2x2+1的顶点坐标为（0，1），向右平移3个单位后的顶点坐标是（3，1），所以，平移后得到的抛物线的表达式是y=2（x﹣3）2+1．故答案为：y=2（x﹣3）2+1．试题13答案:解答：解：120～135分数段的频数=200﹣15﹣42﹣58﹣35=50人，则测试分数在120～135分数段的频率==0.25．故答案为：0.25．试题14答案:解答：解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，摸到的两张牌的点数之和为素数的有10种情况，∴摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是：=．故答案为：．试题15答案:解答：解：过点D作DE∥AB交BC于点E，则BE=AD，∵AD∥BC，BC=3AD，=，∴==，又∵==，∴=﹣﹣=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．试题16答案:解答：解：根据题意两圆内含，故知r﹣3＞4，解得r＞7．故答案为：r＞7．试题17答案:解答：解：如图，∵△AB′C′是△ABC旋转得到，∴AC=AC′，∠B′AC′=∠BAC=40°，∴∠AC′C=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣40°）=70°，∵点C的对应点C′落在AB上，∴∠AB′C′=∠AC′C﹣∠B′AC′=70°﹣40°=30°．故答案为：30°．试题18答案:解答：解：由对称性得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，∵△BEF∽△CFG，EF=2FG，设正方形的边长为3a，即S正方形ABCD=9a2，则BE=BF=DH=DG=2a，AE=AH=CG=CF=a，根据勾股定理得：EF=2a，EH=a，∴S矩形EFGH=EF•EH=4a2，则矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是．故答案为：试题19答案:解答：解：原式==+==．当时，原式=．试题20答案:解答：解：，由（1）得：x+2y=±3，由（2）得：x﹣y=0或x+y﹣4=0，原方程组可化为，，，，解得原方程组的解是，，，．试题21答案:解答：解：（1）∵Rt△ABD中，cot∠ADB=，∴=，则AD=16，∴BD===20，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC=cos∠ADB===；（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC=，即=，解得：BC=25，∵AD∥BC，∴==，∴=，∴DE=×BD=×20=．试题22答案:解答：解：设这辆高铁列车全程的运行时间为x小时，则那辆动车组列车全程的运行时间为（x+3）小时，由题意，得，．x2+3x﹣40=0，x1=5，x2=﹣8．经检验：它们都是原方程的根，但x=﹣8不符合题意．当x=5时，．试题23答案:解答：（1）证明：∵DA=DB，∴∠FBA=∠EAC，∵∠AFD=∠BEC，∴180°﹣∠AFD=180°﹣∠BEC，即∠BFA=∠AEC．∵在△BFA和△AEC中，∴△BFA≌△AEC（AAS）．∴AF=CE．（2）解：∵△BFA≌△AEC，∴BF=AE．∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，∴△EFA∽△EAC．∴．∴EA2=EF•CE．∵EA=BF，CE=AF，∴BF2=EF•AF．试题24答案:解答：解：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DH=DC=×4=2，在Rt△OHD中，∵OD2﹣OH2=DH2，OH2=（AH﹣OA）2=（5﹣r）2，∴r2﹣（5﹣r）2=（2）2，解得r=，∴⊙O的半径为；（2）作OG⊥AE，垂足为G，如图，∴AG=AE=x，∴△AOG∽△AFH，∴AG：AH=AO：AF，即x：5=：AF，解得AF=，∴FH===，∵DF=FH﹣DH，∴y关于x的函数解析式为y=﹣2，定义域为0＜x≤3；（3）当点E在弧AD上时，如图，∵AF﹣AE=EF，即﹣x=，化为整式方程得2x2+3x﹣90=0，解得x1=﹣（舍去），x2=6，∴DF=y=﹣2=；当点E在弧DB上时，如图，∵AE﹣AF=EF，即x﹣=，化为整式方程得2x2﹣3x﹣90=0，解得x1=，x2=6（舍去），∵AB为直径，∴∠E=90°，∴△AHF∽△AEB，BE==，∴FH：BE=AH：AE，即FH：=5：，解得FH=∴DF=DH﹣FH=2﹣当点E在BC弧上时，同上得FH=，∴DF=DH+FH=2+．试题25答案:解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=，∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，∴6=，∴k=12，∴反比例函数的解析式为，作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N，∴CM=2．在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，∵BC∥x轴，OC=MN=AN﹣AM=6﹣4=2，∴点C的坐标（0，2）．当x=2时，y=6，∴点B的坐标（6，2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+2，则，解得，故二次函数的解析式为；（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE，∴∠AGO=∠EDH，∵BC∥x轴，∴∠ACM=∠AGO，∴∠ACM=∠EDH．∵∠AMC=∠EHD=90°，AC=ED，∴△ACM≌△EDH，∴EH=AM=4，DH=CM=2．∴点E（3，4），∴OE=3，OD=OE﹣DH=1，∴CD=．。
上海市静安区、青浦区中考二模数学试题(解析版)
上海市静安区、青浦区中考二模数学试题一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）（•静安区二模）下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（）A．B．C．D．考点：因式分解的意义．分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．解答：解：A、符合因式分解的定义，故本选项正确；B、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选A．点评：本题考查了因式分解的定义，属于基础题．2．（4分）（•静安区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．x3+3=0 D．x4+4=0考点：无理方程．分析：根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断．解答：解：A、≥0，因而方程一定无解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解；C、x3+3=0，则x=﹣，故选项正确；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解．故选C．点评：本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数．3．（4分）（•静安区二模）函数y=kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据k的取值范围确定﹣k﹣1的符号，从而确定一次函数不经过的象限．解答：解：∵k＞0∴﹣k＜0，∴﹣k﹣1＜0∴y=kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象经过一、三、四象限，故选B．点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对函数图象的影响．4．（4分）（•静安区二模）已知一组数据3、4、4、5、6、7、4、7，那么这组数据的（）A．中位数是5.5，众数是4 B．中位数是5，平均数是5C．中位数是5，众数是4 D．中位数是4.5，平均数是5考点：众数；加权平均数；中位数．分析：根据定义分别求出平均数、中位数、众数，然后作出选择．解答：解：平均数=（3+4+4+5+6+7+4+7）÷8=5，中位数是（4+5）÷2=4.5，在这组数据中4出现3次，最多，则众数是4．故选D．点评：本题考查的是平均数、众数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．5．（4分）（•老河口市模拟）如果▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断▱ABCD为菱形的是（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OAB=∠OBC C．∠OAB=∠OCD D．∠OAB=∠OAD考点：菱形的判定．分析：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAB=∠ACD，∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选D．点评：本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6．（4分）（•静安区二模）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（）A．各对应点之间的距离相等B．各对应点的连线互相平行C．对应点连线被翻移线平分D．对应点连线与翻移线垂直考点：几何变换的类型．专题：新定义．分析：根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分．解答：解：∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的，∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．故选：C．点评：此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7．（4分）（•静安区二模）计算：=．考点：分数指数幂．专题：计算题．分析：原式利用分数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式==．故答案为：点评：此题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4分）（•静安区二模）不等式组的解集是x＞2．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞；由②得，x＞2，故此不等式组的解集为：x＞．故答案为：x＞．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（•静安区二模）如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．考点：倒数．分析：根据倒数的定义可知如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．解答：解：如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．点评：主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．尤其是±1这两个特殊的数字．10．（4分）（•静安区二模）如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0没有实数根，那么m的取值范围是m ＞10．考点：根的判别式．分析：该方程没有实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac＜0，据此列出关于m的不等式，通过解不等式即可求得m的取值范围．解答：解：∵关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0没有实数根，∴△=（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，即40﹣4m＜0，解得，m＞10．故答案是：m＞10．点评：本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△=b2﹣4ac的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．（4分）（•静安区二模）如果点A（﹣1，2）在一个正比例函数y=f（x）的图象上，那么y随着x的增大而减小（填“增大”或“减小”）．考点：正比例函数的性质．分析：首先设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），再把（﹣1，2）点代入函数解析式，算出k的值，再根据正比例函数的性质即可得到答案．解答：解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），∵过点（﹣1，2），∴2=k×（﹣1），解得k=﹣2，故正比例函数解析式为：y=﹣2x，∵k=﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小，故答案为：减小．点评：此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．12．（4分）（•静安区二模）将抛物线y=2x2+1向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是y=2（x﹣3）2+1．考点：二次函数图象与几何变换．分析：求出平移前后的两个抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．解答：解：抛物线y=2x2+1的顶点坐标为（0，1），向右平移3个单位后的顶点坐标是（3，1），所以，平移后得到的抛物线的表达式是y=2（x﹣3）2+1．故答案为：y=2（x﹣3）2+1．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析式是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减，上加下减”．13．（4分）（•静安区二模）某校200名学生一次数学测试的分数均大于75且小于150，分数段的频数分布情况如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135～150有35人（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），那么测试分数在120～135分数段的频率是0.25．考点：频数与频率．分析：根据已知75～90、90～105、105～120、135～150的频数，求出120～135分数段的频数，然后根据频率=即可求出测试分数在120～135分数段的频率．解答：解：120～135分数段的频数=200﹣15﹣42﹣58﹣35=50人，则测试分数在120～135分数段的频率==0.25．故答案为：0.25．点评：本题考查了频数和频率的知识，注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和，频率=．14．（4分）（•静安区二模）从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到的两张牌的点数之和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，摸到的两张牌的点数之和为素数的有10种情况，∴摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是：=．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．15．（4分）（•静安区二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，，那么=．考点： *平面向量．分析：先画出示意图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则可表示出、，从而可得出．解答：解：过点D作DE∥AB交BC于点E，则BE=AD，∵AD∥BC，BC=3AD，=，∴==，又∵==，∴=﹣﹣=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．点评：本题考查了平面向量及平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是作出辅助线，将向量转移到一个三角形里面计算．16．（4分）（•静安区二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2=4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是r＞7．考点：圆与圆的位置关系．分析：首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论．解答：解：根据题意两圆内含，故知r﹣3＞4，解得r＞7．故答案为：r＞7．点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．17．（4分）（•静安区二模）在△ABC中，∠A=40°，△ABC绕点A旋转后点C落在边AB上的点C′，点B落到点B′，如果点C、C′、B′在同一直线上，那么∠B的度数是30°．考点：旋转的性质．分析：作出图形，根据旋转的性质可得AC=AC′，∠B′AC′=∠BAC，根据等腰三角形两底角相等求出∠AC′C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AB′C，根据旋转的性质可得∠ABC=∠AB′C′，从而得解．解答：解：如图，∵△AB′C′是△ABC旋转得到，∴AC=AC′，∠B′AC′=∠BAC=40°，∴∠AC′C=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣40°）=70°，∵点C的对应点C′落在AB上，∴∠AB′C′=∠AC′C﹣∠B′AC′=70°﹣40°=30°．故答案为：30°．点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．18．（4分）（•静安区二模）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：根据题意画出图形，如图所示，由对称性得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形BEF与等腰直角三角形CFG相似，且相似比为2：1，得到BE=BF=DH=DG=2AE=2AH=2CG=2CF，设正方形边长为3a，表示出BE，BF，以及AH，AE，利用勾股定理表示出EF与EH，进而表示出矩形EFGH的面积，即可求出矩形与正方形面积之比．解答：解：由对称性得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，∵△BEF∽△CFG，EF=2FG，设正方形的边长为3a，即S正方形ABCD=9a2，则BE=BF=DH=DG=2a，AE=AH=CG=CF=a，根据勾股定理得：EF=2a，EH=a，∴S矩形EFGH=EF•EH=4a2，则矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是．故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）（•静安区二模）化简：，并求当时的值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂的意义将原式化为两分式的和，再通过分后相加即可．解答：解：原式==+==．当时，原式=．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉负整数指数幂及通分和因式分解是解题的关键．20．（10分）（•静安区二模）解方程组：．考点：高次方程．分析：先把原方程进行变形，得到x+2y=±3，和x﹣y=0或x+y﹣4=0，再重新组合得出4个二元一次方程组，再分别解方程组即可．解答：解：，由（1）得：x+2y=±3，由（2）得：x﹣y=0或x+y﹣4=0，原方程组可化为，，，，解得原方程组的解是，，，．点评：此题考查了高次方程，关键是通过把两个方程分解，得到4个二元一次方程组，再根据求方程的步骤进行求解．21．（10分）（•静安区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=．求：（1）∠DBC的余弦值；（2）DE的长．考点：梯形；勾股定理；平行线分线段成比例；解直角三角形．分析：（1）根据cot∠ADB=，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；（2）在Rt△BDC中，由（1）的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的知识可求出DE的长．解答：解：（1）∵Rt△ABD中，cot∠ADB=，∴=，则AD=16，∴BD===20，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC=cos∠ADB===；（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC=，即=，解得：BC=25，∵AD∥BC，∴==，∴=，∴DE=×BD=×20=．点评：本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．22．（10分）（•静安区二模）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．考点：分式方程的应用．分析：设这辆高铁列车全程的运行时间为x小时，则那辆动车组列车全程的运行时间为（x+3）小时，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．解答：解：设这辆高铁列车全程的运行时间为x小时，则那辆动车组列车全程的运行时间为（x+3）小时，由题意，得，．x2+3x﹣40=0，x1=5，x2=﹣8．经检验：它们都是原方程的根，但x=﹣8不符合题意．当x=5时，．答：这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．23．（12分）（•静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．求证：（1）AF=CE；（2）BF2=EF•AF．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据全等三角形的判定方法得出△BFA≌△AEC（AAS），即可得出答案；（2）根据∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，得出△EFA∽△EAC，进而求出，即可得出BF2=EF•AF．解答：（1）证明：∵DA=DB，∴∠FBA=∠EAC，∵∠AFD=∠BEC，∴180°﹣∠AFD=180°﹣∠BEC，即∠BFA=∠AEC．∵在△BFA和△AEC中，∴△BFA≌△AEC（AAS）．∴AF=CE．（2）解：∵△BFA≌△AEC，∴BF=AE．∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，∴△EFA∽△EAC．∴．∴EA2=EF•CE．∵EA=BF，CE=AF，∴BF2=EF•AF．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定，根据已知得出∠BFA=∠AEC是解题关键．24．（12分）（•静安区二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD=，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y．（1）求⊙O的半径；（2）如图，当点E在AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果EF=，求DF的长．考点：圆的综合题．分析：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，根据垂径定理得DH=DC=2，在Rt△OHD中利用勾股定理得到r2﹣（5﹣r）2=（2）2，然后解方程即可得到圆的半径；（2）作OG⊥AE，垂足为G，根据垂径定理得AG=AE=x且易得△AOG∽△AFH，则AG：AH=AO：AF，可解得AF=，再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH==，然后利用DF=FH﹣DH即可得到y与x的关系式，当E与D重合时，x最大，则有0＜x≤3；（3）分类讨论：当点E在弧AD上时，由AF﹣AE=EF可解出x=6，再代入y与x的关系式中得到DF=；当点E在弧DB上时，由AE﹣AF=EF，可求得x=，然后根据勾股定理计算出BE=，再利用△AHF∽△AEB得到FH：BE=AH：AE，解得FH=，所以DF=DH﹣FH=2﹣；当点E在BC弧上时，同上得FH=，然后利用DF=DH+FH计算即可．解答：解：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DH=DC=×4=2，在Rt△OHD中，∵OD2﹣OH2=DH2，OH2=（AH﹣OA）2=（5﹣r）2，∴r2﹣（5﹣r）2=（2）2，解得r=，∴⊙O的半径为；（2）作OG⊥AE，垂足为G，如图，∴AG=AE=x，∴△AOG∽△AFH，∴AG：AH=AO：AF，即x：5=：AF，解得AF=，∴FH===，∵DF=FH﹣DH，∴y关于x的函数解析式为y=﹣2，定义域为0＜x≤3；（3）当点E在弧AD上时，如图，∵AF﹣AE=EF，即﹣x=，化为整式方程得2x2+3x﹣90=0，解得x1=﹣（舍去），x2=6，∴DF=y=﹣2=；当点E在弧DB上时，如图，∵AE﹣AF=EF，即x﹣=，化为整式方程得2x2﹣3x﹣90=0，解得x1=，x2=6（舍去），∵AB为直径，∴∠E=90°，∴△AHF∽△AEB，BE==，∴FH：BE=AH：AE，即FH：=5：，解得FH=∴DF=DH﹣FH=2﹣当点E在BC弧上时，同上得FH=，∴DF=DH+FH=2+．点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理和圆周角定理在有关圆的几何证明或几何计算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理进行计算几何是常用的方法．25．（14分）（•静安区二模）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD 的长．考点：二次函数综合题．分析：（1）设反比例函数的解析式为y=，由A的坐标可求出k的值，作AM⊥BC，垂足为M，交y轴于N，利用已知条件求出点B的坐标（6，2）再设二次函数的解析式为y=ax2+bx+2，把A和B的坐标代入求出a和b的值即可求出二次函数的解析式；（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，利用已知条件可证明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性质可得：EH=AM=4，DH=CM=2，进而求出点E（3，4），所以OE=3，OD=OE﹣DH=1，利用勾股定理即可求出CD的长．解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=，∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，∴6=，∴k=12，∴反比例函数的解析式为，作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N，∴CM=2．在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，∵BC∥x轴，OC=MN=AN﹣AM=6﹣4=2，∴点C的坐标（0，2）．当x=2时，y=6，∴点B的坐标（6，2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+2，则，解得，故二次函数的解析式为；（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE，∴∠AGO=∠EDH，∵BC∥x轴，∴∠ACM=∠AGO，∴∠ACM=∠EDH．∵∠AMC=∠EHD=90°，AC=ED，∴△ACM≌△EDH，∴EH=AM=4，DH=CM=2．∴点E（3，4），∴OE=3，OD=OE﹣DH=1，∴CD=．点评：本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式和二次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用、平行四边形的性质，题目的综合性很强，难度中等，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．。
2023年上海市青浦区中考数学二模试卷(含解析)
2023年上海市青浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列二次根式中，最简二次根式的是( )A. 0.2B. 8C. 6D. 122. 下列计算中，正确的是( )A. (a 3)4=a 7B. a 2⋅a 6=a 8C. a 3+a 3=a 6D. a 8÷a 4=a 23. 下列关于x 的方程一定有实数解的是( )A. 4x 2+9=0B. x 2+x−2=0C. x −2=1−xD. x +1x−1=2x−14. 在学校举办的“诗词大赛”中，有9名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否能进入前5名，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这9名学生成绩的( )A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差5. 已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O .下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是( )A. OA =OCB. OA =OBC. ∠ABD =∠CBDD. ∠ABD =∠CAB6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.甲：函数图象经过点(−2,2)；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x >0时，y 随x 的增大而增大.则这个函数表达式可能是( )A. y =−xB. y =x +4C. y =12x 2D. y =−4x 二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 函数f (x )=1x +1的定义域是______ ．8. 因式分解：a 2−ab =______．9. 方程 2x −3=1的根是______．10. 不等式组{−2x <3x −1<0的解集是______ ．11. 在−1、1、2这三个数中任取两个数作为点P (x ,y )的横坐标和纵坐标，那么在平面直角坐标系xOy 内，点P 在第二象限的概率为______ ．12. 若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为______度．13. 已知点M(−1,2)和点N都在抛物线y=x2−2x+c上，如果MN//x轴，那么点N的坐标为______ ．14. 已知点G为△ABC的重心，A B=a，B C=b，那么A G=______ .(用a、b表示)15. 如图，图中反映轿车剩余油量q(升)与行驶路径s(千米)的函数关系，那么q与s的函数解析式为______ ．16.水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为______ 分米．17. 如图，在平面直角坐标系xOy内，已知点G(−3,1)，A(−1,3)，B(−4,0)，如果⊙C是以线段AB为直径的圆，那么点G与⊙C的最短距离为______ ．18.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AB =10，点D 是边AB 的中点，点M 在边AC 上，将△ADM 沿DM 所在的直线翻折，点A落在点E 处，如果EC //AB ，那么CE = ______ ．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 解方程组：{x 2−9y 2=0x 2−2x y +y 2=4四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。
2024年上海青浦区初三二模数学试卷和答案
上海青浦区2023-2024学年第二学期九年级学业质量调研数学试卷（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.是同类二次根式的是（）A.B. C.D.2.下列计算正确的是（）A.a 2+a 2＝a 4B.（2a ）3＝6a 3C.3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5D.4a 6÷2a 2＝2a 3．3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A.5x y =B.5x y =-C.5y x=D.5y x=-4.某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161,165,169,163,167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A.平均数不变，方差不变B.平均数不变，方差变小C .平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变．5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（）A.AC BD= B.ABC BCD∠=∠ C.,OB OC OA OD== D.,OB OC AB CD==6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD于点,E EC 与BD 相交于点F ，且ECD DBC ∠=∠，那么下列结论错误的是（）A.EA EC =B.DOC DCO ∠=∠C.4BD DF= D.BC CDCE BF=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.分解因式：22xy x y -=_______．8.方程5=的解是_______．9.函数1xy x =+的定义域是________．10.如果关于x 的方程20x x c --+=有实数根，那么实数c 的取值范围是_______．11.如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．12.甲、乙两位同学分别在、、A B C 三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m 名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为,,,A B C D 四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A 等级．成绩频数分布表等第成绩x频数A 90100x ≤≤n B 8090x ≤<117C7080x ≤<32D070x ≤<8成绩扇形统计图14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 的仰角为α，看这栋楼底部C 的俯角为β，热气球A 处与楼的水平距离为m 米，那么这栋楼BC 的高度为_______米．（用含m αβ、、的式子表示）15.如图，在ABC 中，中线AD BE 、相交于点F ，设,AB a FE b == ，那么向量BC 用向量a b、表示为_______．16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角15BAC ∠=︒，那么这个正多边形的中心角是_______度．17.正方形ABCD 的边长为1,E 为边DC 的中点，点F 在边AD 上，将D ∠沿直线EF 翻折，使点D 落在点G 处，如果BG BC =，那么线段DF 的长为_______．18.在矩形ABCD 中，2,4,AB BC AC ==与BD 相交于点O ．A 经过点B ，如果O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，那么O 的半径长r 的取值范围是_______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.计算：2301(2024)20853π⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭20.解方程组：22221,230.x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②21.如图，AB 是O 的直径，AB 与CD 相交于点E ，弦AD 与弦CD 相等，且 BCBD =．（1）求ADC ∠的度数；（2）如果1OE =，求AD 的长．22.某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x 辆，租车总费用为y 元．型号载客量（人/辆）租金（元/辆）甲451500乙331200（1）求y 与x 的函数解析式（不需要．．．写定义域）；（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？23.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是对角线AC 上一点，EA ED =，且DAB DEC DCB ∠=∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）延长DE 分别交线段AB CB 、的延长线于点F G 、，如果GB BC =，求证：22AD EF GD =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-的图像与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ．与y 轴交于点,C D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG x ⊥轴，交该抛物线于点G ，当DGA DGC ∠=∠时，求GAC △的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当1OD =，且45DCB PBC ∠+∠=︒时，求点P 的坐标．25.在ABC 中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D E 、，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M N 、分别为BC DF 、的中点，连接MN ，如果MN CE ∥，求CB 的长．2023学年第二学期九年级学业质量调研数学试卷含答案（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1.是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．【详解】解：A不是同类二次根式，B3=C=3D=不是同类二次根式.故选C．【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．2.下列计算正确的是（）A.a2+a2＝a4B.（2a）3＝6a3C.3a2•（﹣a3）＝﹣3a5D.4a6÷2a2＝2a3．【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式的乘方、乘法和除法逐一计算可得．【详解】A ．a 2+a 2＝2a 2，此选项错误；B ．（2a ）3＝8a 3，此选项错误；C ．3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5，此选项正确；D ．4a 6÷2a 2＝2a 4，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则，积的乘方法则，及单项式的乘法和除法法则．3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A.5xy =B.5x y =-C.5y x=D.5y x=-【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键．【详解】A ：5x y =为一次函数，x 取所有实数，∵105>，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确；B ：5x y =-为一次函数，x 取所有实数，∵105-<，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；C ：5y x=为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；D ：5y x=-为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误；故选：A ．4.某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161,165,169,163,167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A.平均数不变，方差不变B.平均数不变，方差变小C.平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变．【答案】B 【解析】【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键．【详解】()1611651691631675165x =++++÷=原，()()()()()222222116116516516516916516316516716585S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦原，()1611651691631671656165x =+++++÷=新，()()()()()()222222212016116516516516916516316516716516516563S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦新，∴平均数不变，方差变小，故选：B ．5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（）A.AC BD= B.ABC BCD∠=∠ C.,OB OC OA OD== D.,OB OC AB CD==【答案】C 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出AD BC ．【详解】A 、AC BD =，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；B 、ABC BCD ∠=∠，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；C 、∵OB OC OA OD ==，，∴OBC OCB ∠=∠，OAD ODA ∠=∠，∴()SAS AOB DOC ≌，∴ABO DCO ∠=∠，AB CD =，OAB ODC ∠=∠，∵360ABC DCB CDA BAD ∠+∠+∠+∠=︒，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∴AD BC ，∴四边形ABCD 是梯形，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是等腰梯形．D 、OB OC =，AB CD =，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；故选C ．6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD 于点,E EC 与BD 相交于点F ，且ECD DBC ∠=∠，那么下列结论错误的是（）A.EA EC =B.DOC DCO ∠=∠C.4BD DF= D.BC CD CE BF=【答案】D 【解析】【分析】由题意可知，OE 垂直平分AC ，则EA EC =，可判断A 的正误；由DAO ECA ∠=∠，ADO DBC ECD ∠=∠=∠，DOC DAO ADO ∠=∠+∠，DCO ECA ECD ∠=∠+∠，可得DOC DCO ∠=∠，可判断B 的正误；证明FDC CDB ∽，则DF CD CD BD =，即1212BDDF BD BD =，可得4BD DF =，进而可判断C 的正误；证明CBF ECD ∽，可得FC BD C BF CDCE B =≠，进而可判断D 的正误．【详解】解：∵平行四边形ABCD ，∴OA OC =，12OB OD BD ==，AD BC ∥，又∵OE AC ⊥，∴OE 垂直平分AC ，∴EA EC =，A 正确，故不符合要求；∴DAO ECA ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADO DBC ECD ∠=∠=∠，∴DOC DAO ADO ∠=∠+∠，又∵DCO ECA ECD ∠=∠+∠，∴DOC DCO ∠=∠，B 正确，故不符合要求；∴12CD OD BD ==，∵FCD CBD ∠=∠，FDC CDB ∠=∠，∴FDC CDB ∽，∴DF CD CD BD =，即1212BD DF BD BD =，解得，4BD DF =，C 正确，故不符合要求；∵AD BC ∥，∴BCF CED ∠=∠，又∵CBF ECD ∠=∠，∴CBF ECD ∽，∴FC BD C BF CD CE B =≠，D 错误，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.分解因式：22xy x y -=_______．【答案】()xy y x -【解析】【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．【详解】解：22()xy x y xy y x -=-，故答案为：()xy y x -．8.方程5=的解是_______．【答案】13x =【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和一元一次方程的解法，解题的关键是准确计算．5=，∴2125x -=，解得：13x =，经检验：13x =是原方程的解，故答案为：13x =．9.函数1x y x =+的定义域是________．【答案】x ≠－1【解析】【分析】根据分母不为零，即可求得定义域．【详解】解：由题意，10x +≠即1x ≠-故答案为：1x ≠-【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围，即函数的定义域，对于分母中含有未知数的函数解析式，必须考虑其分母不为零．10.如果关于x 的方程20x x c --+=有实数根，那么实数c 的取值范围是_______．【答案】14c ≥-【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根，根据方程的0∆≥即可解答．【详解】解：方程20x x c --+=有实数根，∴()()21410c --⨯-⨯≥，∴14c ≥-，故答案为：14c ≥-．11.如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．【答案】2=(3)+1y x -【解析】【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案．【详解】将抛物线21y x =+向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是2=(3)+1y x -．故答案为：2=(3)+1y x -．12.甲、乙两位同学分别在、、A B C 三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．【答案】13【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，故他们选择同一个景点的概率是：3193=，故答案为：13．13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为,,,A B C D四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A等级．成绩频数分布表等第成绩x频数A90100x≤≤nB8090x≤<117C7080x≤<32D070x≤<8成绩扇形统计图【答案】430【解析】【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表理清它们之间的数据关系是解题的关键．用2000乘以A等级人数的占比即可求解．【详解】解：本次抽取的人数为3216%200÷=人，∴A等级的人数为20011732843---=人，估计该校共有达到A等级的学生数为43 2000430200⨯=人，故答案为：430．14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为α，看这栋楼底部C的俯角为β，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为_______米．（用含m αβ、、的式子表示）【答案】()tan tan m αβ+【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，根据题意得BAD ∠=α，DAC β∠=，AD m =米，然后利用三角函数求解即可求得答案．【详解】解：首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图所示，则BAD ∠=α，DAC β∠=，AD m =米，在Rt △ABD 中，tan tan BD AD m αα== 米，在Rt ACD △中，tan tan DC AD m ββ== 米，∴()·tan ·tan tan tan BC BD DC m m m αβαβ=+=+=+米．故答案为：()tan tan m αβ+15.如图，在ABC 中，中线AD BE 、相交于点F ，设,AB a FE b == ，那么向量BC 用向量a b、表示为_______．【答案】6a b+ 【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得33BE FE b == ，利用三角形法BD BE ED =+ 则求出即可．【详解】解：连接DE ，∵中线AD BE 、相交于点F ，∴DE AB ∥，12DE AB =，∴1122ED AB a == ，∴DEF ABF ∽，∴12EF ED FB AB ==，∴33BE FE b == ，∴132BD BE ED a b =+=+ ，又∵点D 是BC 的中点，∴26BC BD a b ==+，故答案为：6a b + ．【点睛】16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角15BAC ∠=︒，那么这个正多边形的中心角是_______度．【答案】30【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出150B ∠=︒，然后可得每一个外角为30︒，进而即可求解．【详解】解：AB BC = ，∴15BAC BCA ∠=∠=︒，∴1801801515150B BAC BCA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴多边形的外角为18015030︒-︒=︒，∴多边形的边数为：3601230=，∴正多边形的中心角是3603012︒=︒，故答案为：30．17.正方形ABCD 的边长为1,E 为边DC 的中点，点F 在边AD 上，将D ∠沿直线EF 翻折，使点D 落在点G 处，如果BG BC =，那么线段DF 的长为_______．【答案】14##0.25【解析】【分析】本题考查正方形的折叠，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．连接BE ，证明EGB ECB ≌，可得90DEF CEB ∠+∠=︒，然后得到DEF CBE ∽即可解题．【详解】如图，连接BE ，由翻折可得：90D EGF ∠=∠=︒，12DEF GEF DEG ∠=∠=∠，DE EG =，又∵E 为边DC 的中点，∴12DE EC EG ===，又∵BG BC =，BE BE =，∴EGB ECB ≌，∴12GEB CEB CEG ∠=∠=∠，∴119022DEF CEB DEG CEG ∠+∠=∠+∠=︒，又∵ABCD 是正方形，∴90D C ∠=∠=︒，∴90DEF DFE ∠+∠=︒，∴DFE CEB ∠=∠，∴DEF CBE ∽，∴DF DE CE BC =，即12112DF =，解得14DF =．故答案为：1418.在矩形ABCD 中，2,4,AB BC AC ==与BD 相交于点O ．A 经过点B ，如果O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，那么O 的半径长r 的取值范围是_______．522r -≤<【解析】【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键．过点O 作OE CD ⊥于点E ，根据勾股定理得到AC =，然后根据COE CAD ∽，得到2OE =，由已知可以得到r 的取值范围即可．【详解】解：过点O 作OE CD ⊥于点E ，∵ABCD 是矩形，∴90ABC ADC OEC ∠=∠=∠=︒，12AO OC AC ==，∴AC ===，∴AO OC ==，又∵90ADC OEC ∠=∠=︒，∴OE AD ，∴COE CAD ∽，∴12OE CO AD AC ==，∴122OE AD ==，又∵O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，22r -≤<，22r -≤<．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.计算：2301(2024)8π⎛⎫--++ ⎪⎝⎭【答案】154-【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，分数指数幂，化简二次根式，先计算分数指数幂和零指数幂，利用平方差公式进行二次根式和化简，最后算加减．【详解】解：2301(2024)8π⎛⎫-- ⎪⎝⎭23343112+⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦)24311259+⎛⎫=-+⎪-⎝⎭1341=-+154=-．20.解方程组：22221,230.x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②【答案】93x y =⎧⎨=⎩，2121x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答．因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再代入①即可解方程组．【详解】解：由②得：()()30x y x y -+=，即3x y =或x y =-，把3x y =代入①得3y =，9x =；把x y =-代入①得21y =-，21x =；∴方程组的解为：93x y =⎧⎨=⎩，2121x y =⎧⎨=-⎩．21.如图，AB 是O 的直径，AB 与CD 相交于点E ，弦AD 与弦CD 相等，且 BCBD =．（1）求ADC ∠的度数；（2）如果1OE =，求AD 的长．【答案】（1）60︒（2）23【解析】【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）连接AC ，根据垂径定理可得 AC AD =，从而可得,AC AD =然后利用等量代换可得,AC AD CD ==从而可得ACD 是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可解答；（2）连接OD ，根据垂径定理可得1,,2DE EC CD AB CD ==⊥从而可得90,AED ∠=︒再利用直角三角形的两个锐角互余可得30,DAO ∠=︒然后利用圆周角定理可得60,DOE ∠=︒再在.Rt OED 中，利用锐角三角函数的定义求出DE 的长，即可解答．【小问1详解】连接AC ，∵AB 是O 的直径， BCBD =，∴ AC AD =，AC AD ∴=，AD CD = ，AC AD CD ∴==，ACD ∴是等边三角形，60ADC ∴∠=︒；【小问2详解】连接OD ，∵AB 是O 的直径， BCBD =，1,2DE EC CD AB CD ∴==⊥，90AED ∴∠=︒，60ADC ∠=︒ ，9030DAO ADC ∴∠=︒-∠=︒，260DOE DAO ∴∠=∠=︒，在Rt OED 中，1OE =，tan60DE OE ∴=⋅︒=，2CD DE ∴==，CD AD ∴==．22.某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x 辆，租车总费用为y 元．型号载客量（人/辆）租金（元/辆）甲451500乙331200（1）求y 与x 的函数解析式（不需要．．．写定义域）；（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？【答案】（1）300y x =8400+（2）共有3种租车方案（3）租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）租用甲种型号的客车x 辆，则租用乙种型号的客车()7x -辆；根据题意列函数关系式即可；（2）根据租车总费用不超过10200元，师生共有275人可得()30084001020045337275x x x +≤⎧⎨+-≥⎩，又x 为整数,解不等式组即可得到租车方案；（3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题．【小问1详解】租用甲种型号的客车x 辆，则租用乙种型号的客车()7x -辆，()150012007300y x x x ∴=+-=8400+；【小问2详解】∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人,()30084001020045337275x x x +≤⎧∴⎨+-≥⎩，解得2363x ≤≤，∵x 为整数,∴x 可取4,5,6,∴一共有3种租车方案；【小问3详解】在3008400y x =+中，y 随x 的增大而增大,又x 可取4,5,6,∴当4x =时，y 取最小值，最小值为300484009600⨯+=(元),∴租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元．23.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是对角线AC 上一点，EA ED =，且DAB DEC DCB ∠=∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）延长DE 分别交线段AB CB 、的延长线于点F G 、，如果GB BC =，求证：22AD EF GD =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由,AD BC 得180DAB ABC ∠+∠=︒,则180DCB ABC ∠+∠=︒，所以AB CD ，则四边形ABCD 是平行四边形，由2,DEC CAD ∠=∠且,DAB DEC ∠=∠得2DAB CAD ∠=∠,所以,CAB CAD ACB ∠=∠=∠则AB CB =,即可证明四边形ABC D 是菱形；（2）由菱形的性质得AB AD BC CD ===,而GB BC =,所以AD GB =,可证明ADF BGF ∽,得1,AF AD BF GB ==则11,22AF BF AB CD ===再证明AEF CED ∽,得1,2EF AF ED CD ==所以2ED EF =,再证明EDC CDG ∽,得,CD ED GD CD =则2,AD EF GD AD =即可证明²2AD EF GD =⋅．【小问1详解】)证明:∵AD BC ,∴180,DAB ABC CAD ACB ∠+∠=︒∠=∠,∵DAB DCB ∠=∠,∴180DCB ABC ∠+∠=︒,∴AB CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形，∵EA ED =,∴EDA CAD ∠=∠,∴2DEC EDA CAD CAD ∠=∠+∠=∠，∵DAB DEC ∠=∠,∴2DAB CAD ∠=∠,∴CAB CAD ACB ∠=∠=∠,∴AB CB =,∴四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】证明：根据题意作图如下，∵四边形ABCD 是菱形,∴AB AD BC CD ===，∵,AD BC GB BC ==,∴AD GB =,∵AD GB ,∴ADF BGF ∽,1AF AD BF GB ∴==，1122AF BF AB CD ∴===，∵AF CD ,∴AEF CED ∽,12EF AF ED CD ∴==，∴2ED EF =,∴,ECD CAD G EDA ∠=∠∠=∠,且CAD EDA ∠=∠,∴ECD G ∠=∠,∵EDC CDG ∠=∠,∴EDC CDG ∽,∴CD ED DG CD =,2AD EF GD AD ∴=，²2AD EF GD ∴=⋅．【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出CAB CAD ACB ∠=∠=∠是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-的图像与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ．与y 轴交于点,C D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG x ⊥轴，交该抛物线于点G ，当DGA DGC ∠=∠时，求GAC △的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当1OD =，且45DCB PBC ∠+∠=︒时，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-，()03C -，（2）158（3）()14P --，【解析】【分析】（1）将(3,0)A -、(1,0)B 代入得，933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，可求12a b =⎧⎨=⎩，则223y x x =+-，当0x =时，=3y -，进而可求()03C -，；（2）如图1，作CM DG ⊥于M ，记AC 与DG 的交点为N ，设()0D m ，，则()223G m m m +-，，()3M m -，，则3AD m =+，()223DG m m =-+-，CM m =-，()22GM m m =-+，由tan tan DGA DGC ∠=∠，可得()()223232m m m m m m +-=-+--+，计算求出满足要求的解为12m =-，则11524G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，待定系数法求直线AC 的解析式为3y x =--，进而可得1522N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则54GN =，根据()12GAC GAN GCN C A S S S GN x x =+=⨯- ，计算求解即可；（3）如图2，作BH CD ⊥于H ，在CD 上取HN BH =，连接BN 交抛物线于点P ，由45BNH DCB PBC ∠=︒=∠+∠，可知点P 即为所求，由勾股定理得，CD BC ===，由1122BCD S BD OC CD BH =⋅=⋅ ，可求3105BH =，则222365BN BH HN =+=，待定系数法求直线CD 的解析式为33y x =--，设()33N n n --，，由()()222361335BN n n =-+--=，可求15n =-，75n =-（舍去），则11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，待定系数法求直线BN 的解析式为22y x =-，联立得，22223x x x -=+-，计算求解，然后作答即可．【小问1详解】解：将(3,0)A -、(1,0)B 代入得，933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得，12a b =⎧⎨=⎩，∴223y x x =+-，当0x =时，=3y -，即()03C -，；【小问2详解】解：如图1，作CM DG ⊥于M ，记AC 与DG 的交点为N ，设()0D m ，，则()223G m m m +-，，()3M m -，，∴3AD m =+，()223DG m m =-+-，CM m =-，()22GM m m =-+，∵DGA DGC ∠=∠，∴tan tan DGA DGC ∠=∠，∴AD CMDG GM =，即()()223232m mm m m m +-=-+--+，解得，12m =-，经检验，12m =-是原分式方程的解，且符合要求；∴11524G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，设直线AC 的解析式为y kx c =+，将(3,0)A -，()03C -，代入得，303k c c -+=⎧⎨=-⎩，解得，13k c =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为3y x =--，当12x =-时，15322y ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，即1522N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∴54GN =，∴()1151532248GAC GAN GCN C A S S S GN x x =+=⨯-=⨯⨯= ，∴GAC △的面积为158；【小问3详解】解：如图2，作BH CD ⊥于H ，在CD 上取HN BH =，连接BN 交抛物线于点P ，∵HN BH =，BH CD ⊥，∴45BNH DCB PBC ∠=︒=∠+∠，∴点P 即为所求，由勾股定理得，CD BC ===，∵1122BCD S BD OC CD BH =⋅=⋅ ，∴112322BH ⨯⨯=，解得，3105BH =，∴222365BN BH HN =+=，设直线CD 的解析式为y kx d =+，将(1,0)D -，()03C -，代入得，03k d d -+=⎧⎨=-⎩，解得，33k c =-⎧⎨=-⎩，∴直线CD 的解析式为33y x =--，设()33N n n --，，∴()()222361335BN n n =-+--=，解得，15n =-，75n =-（舍去），∴11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，设直线BN 的解析式为y kx e =+，将(1,0)B ，11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得，011255k e k e +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得，22k e =⎧⎨=-⎩，∴直线BN 的解析式为22y x =-，联立得，22223x x x -=+-，解得，1x =舍去或=1x -，∴()14P --，．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．25.在ABC 中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D E 、，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M N 、分别为BC DF 、的中点，连接MN ，如果MN CE ∥，求CB 的长．【答案】（1）①12α②24（2）1BC =+【解析】【分析】（1）①根据等边对等角得到ACB ABC CDB α∠=∠=∠=，CDE CED ∠=∠，然后根据四边形的内角和是360︒计算解题；②先根据F BDF ∠=∠得到1BD BF ==，然后推导CDB ACB ∽，得到BC BD AB BC =，可以求出BC 长，过点A 作AG BC ⊥于点G ，然后求出cos ABC ∠值即可；（2）设MN 交BD 于点H ，设BC a =，则1AH BH ==，然后证明BCA BDC ∽，得到22a BD =，然后根据平行线分线段成比例得到EN HA DN DH =，EN CM FN MF =，再根据DN FN =，就可得到HA CM DH MF=，代入数值即可解题．【小问1详解】解：①∵AC AB CB CD CE ===，，∴ACB ABC CDB α∠=∠=∠=，CDE CED ∠=∠，又∵360ACB ABC CDB CDE CED ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴()1136018022CDB CDE αα∠+∠=︒-=︒-，∴()11180********ADE CDB CDE αα⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-= ⎪⎝⎭；②∵12ADE BDF ABC αα∠=∠=∠=，，∴12F BDF α∠=∠=，∴1BD BF ==，又∵1802BCD A α∠=︒-=∠，CBD DBC ∠=∠，∴CDB ACB ∽，∴BC BDAB BC =，即12BCBC =，解得：BC =BC =；过点A 作AG BC ⊥于点G ，则1222BG BC ==，∴222cos 24BG ABC AB ∠===；【小问2详解】解：设MN 交BD 于点H ，设BC a =，∵M 是BC 的中点，∴12BM CM a ==，又∵MN CE ，∴BMH BCA ∽，∴1BH BMHA MC ==，又∵2AB AC ==，∴1AH BH ==，∵AC AB =，BC CD =，∴ACB ABC CDB ∠=∠=∠，∴BCA BDC ∽，∴BC BDBA BC =，即2aBDa =，解得：22a BD =，∴212a DH DB BH =-=-，∵MN CE ，∴2212212ENHA a DN DH a ===--，又∵ACB ABC ∠=∠，12BDF ACB ∠=∠，∴12ABC ACB ∠=∠，∴ACB F ∠=∠，∴22a BF BD ==，∴222a aFM FB MB =+=+，∵MN CE ，∴212122aEN CM a a FN MF a ===++，又∵N 是DF 的中点，∴DN FN =，∴EN EN DN FN =，即22121a a =-+，解得：1a =+1a =-，BC=∴1【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。
青浦初中二模数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. 0.1010010001...D. -3答案：D2. 下列代数式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^3 = a^3 + b^3D. (a - b)^3 = a^3 - b^3答案：B3. 下列图形中，轴对称图形是（）A. 等腰三角形B. 长方形C. 正方形D. 圆答案：D4. 下列各式中，不是方程的是（）A. 2x + 3 = 7B. 5x - 2 = 0C. 3(x - 2) = 6D. 2x^2 + 5x - 3答案：D5. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的面积是（）A. 24cm^2B. 28cm^2C. 32cm^2D. 36cm^2答案：A6. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = √x答案：B7. 下列数列中，第10项是负数的是（）A. 1, 2, 4, 8, ...B. 1, 3, 9, 27, ...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...D. 1, 3, 5, 7, ...答案：C8. 下列图形中，外接圆半径最大的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形答案：C9. 下列运算中，正确的是（）A. (-3) × (-2) = 6B. (-3) × (-2) = -6C. (-3) ÷ (-2) = 6D. (-3) ÷ (-2) = -6答案：A10. 下列各数中，无理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √27答案：D二、填空题（每题5分，共50分）11. 2x - 5 = 15 的解是 x = __________。
上海市青浦区中考数学二模试卷
中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共22.0分）1.下列单项式中，与ab2是同类项的是（）A. a2bB. a2b2C. -ab2D. 2ab2.如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是（）A. k＞0且b＞0B. k＞0且b＜0C. k＜0且b＞0D. k＜0且b＜03.抛物线y=2（x+1）2-1的顶点坐标是（）A. （1，1）B. （-1，-1）C. （1，-1）D. （-1，1）4.一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，AB=4，BC=6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A. 4＜OC≤B. 4≤OC≤C. 4＜OCD. 4≤OC≤二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.（-2x2）3=______．8.分解因式：a3-9a=______．9.如果二次根式有意义，那么x的取值范围是______．10.方程的根是______．11.如果关于x的方程x2-2x+a=0有两个相等的实数根，那么a=______．12.已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而增大，那么k的取值范围是______．13.将分别写有“创建”、“智慧”、“校园”的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“创建智慧校园”的概率是______．14.A班学生参加“垃圾分类知识”竞赛，已知竞赛得分都是整数，竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示，那么成绩高于60分的学生占A班参赛人数的百分率为______．15.如图，△ABC的中线AD、BE相交于点G，若=，=，用、表示=______．16.如图，在⊙O中，OA、OB为半径，连接AB，已知AB=6，∠AOB=120°，那么圆心O到AB的距离为______．17.如图，在矩形ABCD中，AB=3，E为AD的中点，F为CD上一点，且DF=2CF，沿BE将△ABE翻折，如果点A恰好落在BF上，则AD=______．18.我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC=1，tan∠B=，求∠CAD的正弦值．四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）20.计算：（-1）2019-|1-|+．21.解方程组：22.如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.5，sin22.8°=0.39，cos22.8°=092，tan22.8°=0.42】23.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF，CE与AF相交于点G．（1）求证：∠FGC=∠B；（2）延长CE与DA的延长线交于点H，求证：BE•CH=AF•AC．24.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（6，-3），对称轴是直线x=4，顶点为B，OA与其对称轴交于点M，M、N关于点B对称．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）联结ON、AN，求△OAN的面积；（3）点Q在x轴上，且在直线x=4右侧，当∠ANQ=45°时，求点Q的坐标．25.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．（1）如图1，如果BC=2，求DE的长；（2）如图2，设BC=x，=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）如图3，连接CE，如果CG=CE，求BC的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．A、a的指数是2，b的指数是1，与ab2不是同类项；B、a的指数是2，b的指数是2，与ab2不是同类项；C、a的指数是1，b的指数是2，与ab2是同类项；D、a的指数是1，b的指数是1，与ab2不是同类项．故选：C．根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．本题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．2.【答案】A【解析】解：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，故选：A．根据一次函数图象与系数的关系求解即可．本题考查了一次函数图象与系数的关系，属于基础题．注意掌握直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．3.【答案】B【解析】解：因为y=2（x+1）2-1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，-1），故选：B．直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：原数据的2、3、3、4的平均数为=3，中位数为=3，众数为3，方差为×[（2-3）2+（3-3）2×2+（4-3）2]=0.5；新数据2、3、3、3、4的平均数为=3，中位数为3，众数为3，方差为×[（2-3）2+（3-3）2×3+（4-3）2]=0.4；∴添加一个数据3，方差发生变化，故选：D．依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；B、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；C、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．6.【答案】B【解析】解：作DE⊥BC于E，如图所示：则DE=AB=4，BE=AD=2，∴CE=4=DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC=4；当OA=OC时，⊙O与AD交于点A，设OA=OC=x，则OB=6-x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6-x）2=x2，解得：x=；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤；故选：B．作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC=4；当OA=OC时，⊙O与AD交于点A，设OA=OC=x，则OB=6-x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC=；即可得出结论．本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．7.【答案】-8x6【解析】解：（-2x2）3，=-23x2×3，=-8x6．根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．本题考查了积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8.【答案】a（a+3）（a-3）【解析】解：a3-9a=a（a2-32）=a（a+3）（a-3）．本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．9.【答案】x≥3【解析】解：∵二次根式有意义，∴x-3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10.【答案】x=【解析】解：∵，∴x2-1=1，∴x2=2，∴x=±，经检验x=±是原方程的根，∴x=±．故答案为：x=±．首先把方程两边同时平方，然后解一元二次方程，最后要验根．此题主要考查了无理方程的解法，主要方法是方程两边同时平方从而转化为整式方程解决问题．11.【答案】1【解析】解：∵关于x的方程x2-2x+a=0有两个相等的实数根，∴△=4-4a=0，即a=1．若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a 的等式，求出a的值．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12.【答案】k＜0【解析】解：∵反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而增大，∴k的取值范围是：k＜0．故答案为：k＜0．直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．13.【答案】【解析】解：根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能排列的方式，其中恰好排列成“创建智慧校园”的只有1种，∴恰好排列成“创建智慧校园”的概率是，故答案为．根据题意画出三张卡片排列的所有等可能结果，再由树状图确定恰好排列成“创建智慧校园”的结果数，依据概率公式可得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】77.5%【解析】解：=77.5%，故答案为：77.5%．根据频数直方图中的数据可以求得成绩高于60分的学生占A班参赛人数的百分率，本题得以解决．本题考查频数（率）直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】--【解析】解：如图，连接DE．∵BD=CD，AE=EC，∴DE∥AB，DE=AB，∴==，∴DG=AD，∴=+，=，=，∴=+，∵=，∴=--，故答案为：--，如图，连接DE．首先证明DG=AD，根据=+，求出即可解决问题．本题考查三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】【解析】解：过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：由垂径定理可知，OC垂直平分AB，则AC=AB=3，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=30°，∴tan∠OAB=tan30°=，∴OC=AC•tan30°=3×=，即圆心O到AB的距离为；故答案为：．过O作OC⊥AB交AB于C点，由垂径定理可知，OC垂直平分AB，再解直角三角形即可求解．本题利用垂径定理构造出直角三角形，再根据特殊角的正切函数求解．17.【答案】2【解析】解：连接EF，∵点E、点F是AD、DC的中点，∴AE=ED，DF=2CF=2，由折叠的性质可得AE=A′E，∴A′E=DE，在Rt△EA′F和Rt△EDF中，，∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），∴A′F=DF=2，∴BF=BA′+A′F=AB+DF=3+2=5，在Rt△BCF中，BC=．∴AD=BC=2．故答案为2连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF 中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF，证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的长，注意掌握勾股定理的表达式．18.【答案】3【解析】解：以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：依题意，可知0≤t≤6，当t=0时，点M1的坐标为（4，0）；当t=6时，点M2的坐标为（1，6），设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+8．设动点运动的时间为t秒，则有点Q（0，2t），P（8-t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t），把x=代入y=-2x+8，得y=-2×+8=t，∴点M3在M1M2直线上，过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=6，M1N=3，∴M1M2=3，∴线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．故答案为：3．先以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，由题意知0≤t≤6，求得t=0及t=6时M的坐标，得到直线M1M2的解析式为y=-2x+8．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=6，M1N=3，M1M2=3，线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．本题主要考查了一次函数的应用．用到解二元一次方程组以及勾股定理，综合性较强．19.【答案】解：（1）∵∠CAD：∠DAB=1：2∴∠DAB=2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA=90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB=∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA=∠CAD+2∠CAD+2∠CAD=90°解得，∠CAD=18°（2）在Rt△ABC中，AC=1，tan∠B==，∴BC=2由勾股定理得，AB===∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE=AE=∵∠DAE=∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B=tan∠DAE==∴DE=∴由勾股定理得AD===∴cos∠CAD===∴sin∠CAD===则∠CAD的正弦值为【解析】（1）由DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E，可得∠DAB=∠DBA，则∠CAD+∠DAB+∠DBA=∠CAD+2∠DAB=90°，而∠CAD：∠DAB=1：2，则可求∠CAD的度数．（2）在Rt△ABC中，AC=1，tan∠B==，可求得BC，从而利用勾股定理可求得AB的值，进而可求得AE、DE的值，即可求得AD，而cos∠CAD=，sin∠CAD=，即可求∠CAD的正弦值．本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．20.【答案】解：原式=-1-（-1）++1+=1．【解析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：原方程组变形为，∴或∴原方程组的解为或【解析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．22.【答案】解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH=，∴DH==，在Rt△BDH中，tan∠BDH=，∴DH==，∴=，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．【解析】根据垂直的定义得到∠AHD=90°，在Rt△ADH中，根据三角函数的定义得到DH==，在Rt△BDH中，根据三角函数的定义得到DH==，列方程即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键．23.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，而AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，在△ABF和△CAE中，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴∠BAF=∠ACE，∵∠FGC=∠GAC+∠ACG=∠GAC+∠BAF=∠BAC=60°，∴∠FGC=∠B；（2）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，AD∥BC，∴∠BCE=∠H，∴△BCE∽△DHC，∴=，∵△ABF≌△CAE，∴CE=AF∵CA=CB=CD，∴=，∴BE•CH=AF•AC．【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了菱形的性质．（1）先利用菱形的性质判断△ABC为等边三角形得到∠B=∠BAC=60°，再证明△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，然后利用角度代换可得到结论；（2）如图，先证明△BCE∽△DHC得到=，然后利用等线段代换可得到结论．24.【答案】解：（1）由题意可得，解得a=，b=-2，∴抛物线的表达式y=x2-2x将x=4代入，得y=-4，∴点B的坐标（4，-4）；（2）连结ON、AN，如图1．∵A（6，-3），∴直线OA：y=-x，将x=4代入，y=-2，∴M（4，-2），∵M、N关于点B对称，B（4，-4），∴N（4，-6），∴MN=4，∴S△OAN=MN•|x A|=×4×6=12；（3）设对称轴直线x=4与x轴交于点T，抛物线与x轴另一个交点为P，则P（8，0）．∵A（6，-3），N（4，-6），∴直线AN：y=，令y=0，则x=8，∴直线AN与x轴交点（8，0），即直线AN与x轴交于点P，如图2，连接NQ，连接NA、AP，过点P作PR⊥PN，与NQ交于点R，过R作RH⊥x 轴于点H．∵∠PNR=∠ANQ=45°，∴∠PRN=45°=∠PNR，∴PR=PN，易证△PTN≌△RHP（AAS），∴RH=PT=4，PH=TN=6，∴TH=10，∵，∴，∴HQ=20，∴OQ=OP+PH+HQ=8+6+20=34，点Q的坐标（34，0）．【解析】（1）根据直线x=4和A（6，-3）列出方程组，求出a、b即可求出解析式，然后将x=4代入函数解析式，求得得y=-4，所以点B的坐标（4，-4）；（2）连结ON、AN，先求出M（4，-2），由M、N关于点B对称，求出N（4，-6），于是MN=4，所以S△OAN=MN•|x A|=×4×6=12；（3）设对称轴直线x=4与x轴交于点T，抛物线与x轴另一个交点为P，则P（8，0），直线AN与x轴交于点P，连接NQ，连接NA、AP，过点P作PR⊥PN，与NQ交于点R，过R作RH⊥x轴于点H．由∠PNR=∠ANQ=45°，则∠PRN=45°=∠PNR，所以PR=PN，易证△PTN≌△RHP（AAS），则RH=PT=4，PH=TN=6，TH=10，由HR∥TN，列出比例式求出HQ=20，于是OQ=OP+PH+HQ=8+6+20=34，所以点Q的坐标（34，0）．本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的相关性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键．25.【答案】解：（1）如图1中，连接CE．在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，∴AB==，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CED=90°，∴CE⊥AB，∵BD=AD，∴CD=AB=，∵•AB•CE=•BC•AC，∴CE=，在Rt△CDE中，DE===．（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．∵∠FCK=90°，∴FK是⊙Q的直径，∴直线FK经过点Q，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CFD=∠CKD=90°，∴DF⊥BC，DK⊥AC，∵DC=DB=DA，∴BF=CF，CK=AK，∴FK∥AB，∴=，∵BC=x，AC=1，∴AB=，∴DC=DB=DA=，∵△ACE∽△ABC，∴可得AE=，∴DE=AD-AE=-，∴=，∴=，∴y=（x＞1）．（3）如图3中，连接FK．∵CE=CG，∴∠CEG=∠CGE，∵∠FKC=∠CEG，∵FK∥AB，∴∠FKC=∠A，∵DC=DA，∴∠A=∠DCA，∴∠A=∠DCA=∠CEG=∠CGE，∴∠CDA=∠ECG，∴EC=DE，由（2）可知：=-，整理得：x2-2x-1=0，∴x=1+或1-（舍弃），∴BC=1+．【解析】（1）如图1中，连接CE．在Rt△CDE中，求出CD，CE即可解决问题．（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．想办法用x表示CD，DE，证明FK∥AB，推出=，延长构建关系式即可解决问题．根据点E位于点D下方，确定x的取值范围即可．（3）如图3中，连接FK．证明ED=EC，由此构建方程即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2022上海静安区初三二模数学试卷及答案
2021学年第二学期适应性练习九年级数学测试试卷（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列各式中，计算结果正确的是（A ）=12112； （B ）-=-111； （C ）-=1(1)1； （D ）-=0(1)1． 2．如果把二次三项式22++x x c 分解因式得x x c x x ++=-+22(1)(3)，那么常数c 的值是（A ）3； （B ）-3； （C ）2； （D ）-2． 3．关于x 的一元二次方程x mx --=220（m 为常数）的根的情况是 （A ）有两个不相等的实数根； （B ）有两个相等的实数根； （C ）没有实数根； （D ）无法确定．4．去年冬季，某市连续五日最高气温及中位数、平均数如下表所示（有两个数据被遮盖）．其中，第五日数据与中位数依次是（A ） 4， 2； （B ） 4， 1； （C ）2，2； （D ） 2，1． 5．下列说法中，不正确．．．的是 （A ）周长相等的两个等边三角形一定能够重合；（B ）面积相等的两个圆一定能够重合； （C ）面积相等的两个正方形一定能够重合； （D ）周长相等的两个菱形一定能够重合． 6．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2cm ，点G 是重心，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转，使点A 落在BC 延长线上的A ’处，此时点B 落在B ’点，点G 落在G ’点．联结CG 、C G ’、 G G ’ 、A A ’．在旋转过程中，下列说法：①∠BCB ’ =∠ACA ’；②△ACA ’与△GCG ’相似；③∠GCG ’=135°；④点A 所经过的路程长是π34cm ．其中正确的个数．．．．．是 （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．G CA B (第6题图) B ’G ’ A ’二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：-2= ▲ ． 8．函数f x x =-()12的定义域是 ▲ ． 9．方程x -=321的解是 ▲ ． 10．不等式组x x 1020+>-≤⎧⎨⎩的解集为 ▲ ．11．已知正比例函数=y kx （k ≠0），当自变量x 的值增大时，y 的值随之减小，那么k的取值范围是 ▲ ．12．如果点（1，0）在一次函数y kx =-1（k 是常数，k ≠0）的图像上，那么该直线不经过第 ▲ 象限．13．如果从1，2，3，5，8，13，21，24这8个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是 ▲ ．14．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C =∠F =90°，AC =3，BC =4，DF =6，DE =8，判定这两个三角形是否相似． ▲ ．（填“相似”或“不相似”）15．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，AO ∶OC =1∶4，设=AD a ，那么=EF ▲ ．（用含向量a 的式子表示）16．如图，已知矩形ABCD 的边AB =6，BC =8，现以点A 为圆心作圆，如果B 、C 、D 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A 半径r 的取值范围是 ▲ ． 17．如图，已知半圆直径AB =2，点C 、D 三等分半圆弧，那么△CBD 的面积为 ▲ ．18．如图，∠MON =30°，点A 在OM 上，OA =1，点P 在ON 上，将∠MON 沿AP 翻折，设点O 落在点O ’处， 如果A O ’⊥AO ，那么OP 的长为 ▲ ．CBA D（第15题图）FE O（第17题图）B ABC D （第16题图）NAO.（第18题图）M三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：a a a a a a -+-÷-+-+2221(11)121．其中，实数a 的相反数是它本身．20．（本题满分10分, 其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）在平面直角坐标系xOy 中（如图所示），已知点A (2，1) 与点B （12，b ）都在双曲线=x y m上．（1）求此双曲线的表达式及点B 的坐标； （2）判断△OAB 的形状，并求∠OBA 的正切值．21．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图，已知△ABC 外接圆的圆心O 在高AD 上，点E 在BC 延长线上，EC =AB ． （1）求证：∠B =2∠AEC ；（2）当OA =2，∠=BAO 2cos 时， 求DE 的长．22．（本题满分10分）现有某服装厂接到一批衬衫生产任务，该厂有甲乙两个生产衬衫的车间，甲车间要完成3000件，乙车间要完成2500件．已知甲车间比乙车间每天多生产125件，如果两车间同时开工，且甲车间比乙车间提前2天完成任务，那么甲车间和乙车间分别用了几天完成各自的任务？23．（本题满分12分，其中每小题6分）已知：如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点M 、N ，且BM =MN =ND ，联结CM 、CN ．（1）求证：四边形AMCN 是平行四边形； （2）如果 AE =AF ，求证：四边形ABCD 是菱形．A（第21题图）BCEDO. （第23题图）BECMF NA DOxy（第20题图）24．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题3分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB=AB（如图所示），二次函数的图像经过点O、A、B三点，顶点为D．（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图像的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图像经过平移后，点A落在原二次函数图像的对称轴上，点D落在线段AB上，求图像平移后得到的二次函数解析式．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图①，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=3，AD=6，BC=7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF=∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．（1）求∠ADC的度数；（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；（3）设AP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．B P DA（第25题图②）C（E）静安区2021学年第二学期初中适应性练习九年级数学测试试卷 参考答案及评分说明2022.6一、选择题： 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．C ． 二、填空题： 7．2； 8．2≠x ； 9．1=x ； 10．21≤<-x ； 11．0<k ； 12．二；13．21； 14．不相似；15．a 25； 16．106<<r ； 17．43； 18．13-或13+．（18题答对一解得3分）三、解答题：19．解：原式＝112)11(12222+-+-⋅-+--a a a a a a a ……………………………（3分）＝1)1()1()1(122222+--⋅-+--a a a a a a ＝)1(12+--a a ………………（3分）＝a a +-2…………………………（2分）由题意得：0=a ，代入得，原式= 0．…………………………（2分）20．解：（1）∵点A (2，1)与点B （21，b ）都在双曲线my x =上．将点A 代入得2=m ，双曲线的表达式为xy 2=，…………………………（2分） 将点B 代入解析式得4=b ，∴点B （4,21）．…………………………（2分） （2）由题意得，5=OA ，523949=+=AB ，2651641=+=OB ,…………………………（3分） ∵222AB OA OB +=，∴△OAB 的形状是直角三角形，……………………（1分） Rt △ABC 中，32tan ==∠AB OA OBA ，即∠OBA 的正切值为32．…………（2分）21．（1）证明：∵直线AD ⊥BC ，垂足为D ,且O 为圆心,∴BD=DC,即AD 垂直且平分BC ，……………………（1分） ∴AB =AC ，∴∠B =∠ACB ．……………………（2分）又∵EC =AB ，∴EC =AC ，∠CAE =∠E ,……………………（1分） ∴∠ACB =∠CAE +∠E=2∠E ，即∠B =2∠E ．……………………（1分）（2）联结OC ，∵AD 垂直且平分BC ，∴∠BAO =∠DAC ， ∵23cos =∠BAO ，∴∠BAO =30°，∠DAC =30°，∠ACD =60°，……………（1分） ∵OC =OA ，∴∠OCA =∠OAC =30°，∠DOC =∠OCA +∠OAC =60°，∠OCD =30°， ∵OC =OA =2, ∴Rt △ODC 中，OD =1, DC =31222=-，……………………（2分）∴CE = AC =2 DC =32,∴DE =DC +CE =33.……………………（2分）22．解：设甲车间用了x 天，乙车间用（x +2）天完成各自任务.……………（1分） 根据题意得125225003000=+-x x ，……………………（4分） 122024=+-x x ，04822=--x x ，……………………（2分） 0)6)(8(=+-x x ，81=x ，62-=x ，……………………（1分）经检验，6-=x 不合题意，舍去，∴8=x 是原方程的根，且符合题意，………（1分）102=+x .……………………（1分）答：甲车间用8天，乙车间用了10天分别完成各自任务.23．证明：（1）∵点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，且BM =MN =ND ， 即ME 、NF 分别是△BCN 和△DCM 的中位线∴ME //NC ，NF //MC ， ……………………（4分）即AM //NC ，AN //MC ，∴AMCN 是平行四边形. ……………………（2分）（2）联结AC 交BD 于O ，……………………（1分）∵AMCN 是平行四边形，∴OA =OC ，OM =ON , ……………………（1分） ∵BM =ND , ∴OB =OD , ∴ABCD 是平行四边形. ……………………（1分） 又∵点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，∴AE AM 32=，AF AN 32=, ∵AE =AF ，∴AM =AN ， ∴四边形AMCN 是菱形，……………………（2分）∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形. ……………………（1分）24．解：（1）∵点A 坐标是（2，4），点 B 在x 轴上，OB =AB ，设B （x ，0），且22AB OB =，∴16)2(22+-=x x ，5=x ，∴B （5,0），………（3分）∵二次函数的图像经过点O 、A 、B 三点，顶点为D ．∴设bx ax y +=2，将A （2，4），B （5,0），代入得⎩⎨⎧=+=+0525424b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=31032b a ……………………（2分） ∴625)25(323103222+--=+-=x x x y ，D （25，625）. ……………………（1分） （2）设直线AB 解析式：b kx y AB +=，将A （2，4），B （5,0），代入得⎩⎨⎧=+=+0542b k b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=32034b k ，∴32034+-=x y AB……………………（2分） ∵抛物线对称轴是直线25=x ，将E （m ,25）代入直线解析式， 求得310=m ，∴E （310,25）. ……………………（1分） （3）由题意得，设抛物线应向右平移21个单位，向下平移若干个单位，此时顶点D 的对应点D 1坐标设为（3，y ），代入直线AB 表达式32034+-=x y ，………………（1分）解得38=y ，∴D 1（3，38），二次函数解析式：38)3(322+--=x y ．………（2分）25．解：（1）作DH ⊥BC ，垂足为H ，∵梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A =90°，∴∠ABC =90°，, ∴四边形ABHD 是矩形 ∵AB =3，AD =6，BC =7， ∴DH =3，AH =6，CH =BC-BH=1，Rt △DHC 中, 231=+=DC ，∴∠CDH =30°, ………………（3分） ∴∠ADC =90°＋30°=120°. ………………（1分）（2）∵AD //BC ，∴∠PCB =∠DPC , 又∵∠BPF =∠ADC ， ∴△DPC ∽△PCB ，∴PCBCPD PC =, ∴BC PD PC ⨯=2，…………（3分）作PM ⊥BC 于M ，设AP =x ，∴BM =x ，MC =7-x ，222MC PM PC +=， 则)6(7)7()3(22x x -=-+，01072=+-x x ，………………（2分）解得21=x ，52=x ，所以，AP 的长为2或5．………………（1分）（3）∵AD //BC ，∴∠PEB =∠DPF又∵∠BPF =∠ADC ，∴△DPF ∽△PEB ∴∠PBE =∠F , 在AD 上截取AQ =1， Rt △DHC 中, 3tan =∠AQB ，得∠AQB =60°, ∴∠PQB =120°, ∴∠PQB =∠PDF ,又∠BPQ =∠PBE =∠F , ∴△PQB ∽△FDP ,DP DF BQ PQ =，xyx -=-621，………………（2分） ∴)6)(1(21x x y --=，327212-+-=x x y ，定义域为25x ≤≤.…………（2分）A BD图（2）P MPF。
青浦区2020学年九年级第二次学业质量调研测试数学试卷及答案(二模)
青浦区2020学年九年级第二次学业质量调研测试数学试卷 Q 2021.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1．是同类二次根式的是（ ▲ ）（A ）4； （B ； （C ）12； （D ．2．如果a ＞b ，m 为非零实数，那么下列结论一定成立的是（ ▲ ）（A ）a ＋m ＜b ＋m ； （B ）m －a ＜m －b ； （C ）am ＞bm ； （D ）m a ＞mb． 3．下列对反比例函数xy 3=的图像的描述，正确的是（ ▲ ） （A ）与坐标轴有交点； （B ）有两支，分别在第二、四象限； （C ）经过点（1，3）； （D ）函数值y 随x 的值增大而减小．4．某校为了解学生在“慈善募捐”活动中的捐款情况，进行了抽样调查，结果如下表所示．那么该样本中学生捐款金额的中位数和众数分别是（ ▲ ）（A ）20元，50元； （B ）35元，50元； （C ）50元，50元； （D ）20元，20元． 5． 如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ▲ ）（A ）360°； （B ）720°； （C ）1080°； （D ）1440°． 6．下列命题中，真命题是（ ▲ ）（A ）一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形； （B ）一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形； （C ）一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形； （D ）一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：()233a-＝ ▲ ．8． 在实数范围内分解因式：224-y x ＝ ▲ ． 9． 方程3=1+2x 的解是 ▲ ．10． 如果关于x 的方程032=-+k x x 有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是 ▲ ． 11． 从 ，3.101001， π选出的这个数是无理数的概率是 ▲ ． 12． 如果将抛物线2y x =-向下平移，使其经过点（0，－2），那么所得新抛物线的表达式是 ▲ ． 13．为了解某区2400名初中教师中接种新冠疫苗的教师人数，随机调查了其中200名教师，结果有150人接种了疫苗，那么估计该区接种新冠疫苗的初中教师人数约有 ▲ 人． 14． 某传送带与地面所成斜坡的坡度i ＝1∶2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为 ▲ 米．15．如图1，点G 是△ABC 的重心，设a AB =，b BG =，那么向量DC 用向量a 、b 表示为▲ ．16．如图2，在半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交于点M ，如果AB ＝CD ＝32，∠AMC ＝120°，那么OM 的长为 ▲ ．17．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，将△ABC 绕着点A 旋转，点C 恰好落在AB 的中点上，设点B 旋转后的对应点为点D ，则CD 的长为 ▲ ．18．在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AB ＝4cm ，AD ＝8cm ．Q 为直线BC 上一动点，如果以5cm 为半径的⊙Q 与矩形ABCD 的各边有4个公共点，那么线段OQ 长的取值范围是 ▲ ．GABC图1图2AOBD MC13三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）计算：22312723-⎛⎫⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程组：22319560.；+=⎧⎨--=⎩x y x xy y21.（本题满分10分，每小题满分各5分）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，sin ∠ABC ＝31， D 是边AB 上一点，且CD ＝CA ，BE ⊥CD ，垂足为点E ． （1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．22.（本题满分10分，每小题满分各5分）某校九年级学生从学校乘车前往郊野公园春游，1号车于上午8点出发，2号车晚10分钟出发．设1号车的行驶时间为x 分钟，行驶的路程为1y 千米，2号车 的行驶路程为2y 千米，1y 、2y 关于x 的部分函数图像如图4（1）求2y 关于x 的函数解析式；（2）如果2号车与1号车同时到达郊野公园的停车场，求汽车从学校到郊野公园停车场行驶的路程．23.（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图5，在正方形ABCD 中，联结BD ， E 是边AB 上一点，BF ⊥DE ，垂足为点F ， 且EF ·BD ＝BE ·BF ．（1）求证：∠ADE ＝∠BDE ；（2）延长DF 与CB 的延长线交于点G ，求证：BG=BC+AE ．ABCDEFADCB E图3图4①②24.（本题满分12分，每小题满分各4分）已知：如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点 A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x ＝1，顶点是点D ． （1）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）点P 为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC 为梯形时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点E 为x 轴正半轴上的一点，当tan （∠PBO +∠PEO ）＝25时， 求OE25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）已知：在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝m °（0＜m ≤180），点C 是AB 上的一个动点，直线AC 与直线OB 相交于点D ．（1）如图7，当0＜m ＜90，△BCD 是等腰三角形时，求∠D 的大小（用含m 的代数式表示）； （2）如图8，当m ＝90，点C 是AB 的中点时，联结AB 、BC ，求ABCABDS S △△的值；（3）将AC 沿AC 所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB 所在的直线相切于点E ，且OE ＝1时，求线段AD 的长．CAD OCADB O图6备用图备用图图7 图8青浦区2020学年九年级第二次学业质量调研测试评分参考一、选择题：1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．C ； 6．D ． 二、填空题：7．69a ； 8．()()x y x y 22+-； 9．4=x ； 10．49>-k ； 11．21； 12．2=2--x y ； 13．1800； 14．15.6； 15．23+21； 16； 17．73； 18．2≤OQ ＜5． 三、解答题：19．解：原式＝()95+232+9---． ······················································ （8分）＝53--． ········································································ （2分）20．解：由②得60-=x y 或0+=x y ． ························································· （2分）原方程组可化为31960.，+=⎧⎨-=⎩x y x y 或3190.，+=⎧⎨+=⎩x y x y ······································ （4分）解得原方程组的解是1161，；=⎧⎨=⎩x y 22192192，.⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y ············································ （4分） 21．解：（1）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵∠ACB ＝90°，∴∠A+∠ABC ＝90°．同理∠A+∠ACH ＝90°．∴∠ACH ＝∠ABC ． ·································································· （2分）∴1sin =sin 3∠∠=ACH ABC ． ·················································· （1分） ∵∠AHC ＝90°，AC ＝3，∴AH ＝sin ∠⋅ACH AC ＝1． ···················· （1分）∵CD ＝CA ，CH ⊥AB ，∴AD ＝2AH ＝2． ······································· （1分） （2）∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，1sin 3∠=ABC ，∴AB ＝9． ∴DB ＝AB －AD ＝9－2＝7． ······················································ （1分） ∵BE ⊥CD ，∴∠E ＝∠CHD ＝90°．又∵∠EDB ＝∠HDC ，∴△EDB ∽△HDC ． ································································ （1分） ∴DCDBDH DE =． ∵DH ＝AH ＝1，CD ＝3，∴37=DE ． ·········································· （1分） ∴316=+=DE CD CE ． ∵222DB BE DE =+，∴2314=BE ． ······································ （1分） ∴2743214316===∠BE CE EBC tan ． ········································· （1分） 22．解：（1）设y 2关于x 的函数解析式为：222b x k y +=（k 2≠0）． 根据题意，得：22221003025.，+=⎧⎨+=⎩k b k b ····················································· （2分）解得：452=k ，2252-=b ， ·························································· （2分） ∴ y 2关于x 的函数解析式是225452-=x y ． ····································· （1分） （2）设y 1关于x 的函数解析式是x k y 11=（k 1≠0）． 根据题意，得：30301=k ，∴11=k ．∴ y 1关于x 的函数解析式是x y =1． ············································· （2分） ∵ 两辆车同时到达，且行驶路程相同：得方程组525.42，=⎧⎪⎨=-⎪⎩y x y x····························································· （2分）解得：50=x ，50=y ．∴ 汽车从学校到郊野公园停车场行驶的路程为50千米． ··················· （1分）23．证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°．∵BF ⊥DE ，∴∠BFE ＝∠A ＝90°． ∵BF BE BD EF ⋅=⋅，∴BDBEBF EF =． ···································· （1分） ∴Rt △FBE ∽Rt △FDB ． ·························································· （2分） ∴∠FBE ＝∠BDE ． ································································ （1分） ∵∠AEF ＝∠BFE +∠FBE ＝∠A+∠ADE ，∴∠FBE ＝∠ADE ． ······· （1分） ∴∠ADE ＝∠BDE ． ······························································· （1分） （2）过点E 作EH ⊥BD ，垂足为点H ．∵∠A ＝∠EHD ＝90°，∠ADE ＝∠BDE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△HDE ． ······························································· （1分） ∴AE ＝HE ，AD ＝HD ．∵AD ＝BC ，∴HD ＝BC ． ························································ （1分） ∵四边形ABCD 是正方形，∴ ∠EBD ＝45°． ∵∠EHB ＝90°，∴∠HEB ＝45°． ∴∠EBD ＝∠HEB ．∴EH ＝BH ． ········································································· （1分） ∴AE ＝BH ． ········································································· （1分） ∵AD ∥GC ，∴∠ADE ＝∠BGE ．∵∠ADE ＝∠BDE ，∴∠BGE ＝∠BDE ．∴BG ＝BD ． ··················· （1分） ∵BD ＝HD ＋BH ，∴BG ＝BC ＋AE ．··································································· （1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （－1，0），对称轴是直线x ＝1，∴3=01.2a b b a-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，……（2分），解得=12.a b -⎧⎨=⎩， ·································· （1分）∴抛物线的解析式为223y x x =-++．把x ＝1代入抛物线的解析式，得y ＝4． ∴D （1，4）． ···················· （1分） （2）∵点P 为抛物线第三象限上的点，且四边形PBDC 为梯形，∴CD ∥BP ．········································································ （1分）延长DC 交x 轴负半轴于点F ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为点G ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ． ∵C （0，3），D （1，4）， ∴GD ＝CG ＝1．∴∠GDC ＝45°． ∵GD ∥BF ，∴∠DFB ＝∠GDC ＝45°．∵CD ∥BP ，∴∠PBF ＝∠DFB ＝45°．··········································· （1分） ∴∠PBF ＝∠HPB ，∴PH ＝BH ．设点P 的坐标为223（，）-++x x x ．由题意可知B （3，0）．得2323x x x -=--++（）． ······················································ （1分）解得2x =-，或3x =．（舍）∴P （－2，－5） ······································································ （1分） （3）∵P （－2，－5），∴在Rt △PHO 中，5tan 2PH POH OH ∠==． ······································ （1分） ∵5tan 2（）∠+∠=PBO PEO ，∴PBO PEO POH ∠+∠=∠．由（2）可知，45PBO ∠=，因此45PEO ∠<，所以点E 在点B 的右侧． 又∵PBO BPO POH ∠+∠=∠，∴PEO BPO ∠=∠． ···························· （1分） ∵POB POB ∠=∠，∴△OPB ∽△OEP ． ········································· （1分）∴OB OP OP OE =，∴293OE =． ····································· （1分） 25．解：（1）联结OC ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＜90°．∴∠CBD 为钝角．∵△BCD 为等腰三角形，∴∠D ＝∠BCD ． ····································· （1分） ∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D +∠BCD ＝2∠D ． ····································· （1分） ∴∠OCA ＝180°－∠OCD ＝180°－3∠D ．∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝180°－3∠D ． ······························ （1分）在△OAD 中，∵∠OAC ＋∠D ＋∠AOB ＝180°，∴∠D ＝（21m ）°． ··· （1分）（2）联结OC ，过点C 作CF ⊥OD ，垂足为点F ．∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ． ··············· （1分） ∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝45°． ·················································· （1分） 在Rt △COF 中，OC ＝2，∴CF··········································· （1分） ∵CF ⊥OD ，AO ⊥OD ，∴AO ∥CF ．∴22==AO CF AD CD ． ··············· （1分） ∴222=-AD AC ．…（1分）∴2+2==ACAD S S ABC ABD △△． ················· （1分） （3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E ，O'O ，O'O 交直线AD 于点H ． ∵新圆弧由AC 折叠而得，且与直线OB 相切于点E ，∴O'E ＝2，O'E ⊥OD ．当点E 在线段OB 上时，在Rt △O'OE 中，OE ＝1，O'E ＝2，则O'O ＝5． ∵点O'与点O 关于直线AC 对称，∴直线AC 垂直平分线段O'O ． ∴OH ＝25．∴在Rt △AOH 中，AH ＝211． ································· （1分） 在Rt △DOH 中，tan ∠O'OE ＝2＝OHDH，∴ DH ＝5． ∴AD ＝DH ＋AH． ······················································· （1分）当点E 在线段BO 的延长线上时，同理可得，AH ＝211，DH ＝5． ∴AD ＝DH －AH ． ······················································· （2分）。
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静安、青浦区2014学年第二学期教学质量调研九年级数学 2015.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列二次根式中，最简二次根式是（A ）8 （B ）169 （C ）42+x （D ）x12．某公司三月份的产值为a 万元，比二月份增长了m %，那么二月份的产值（单位：万元）为 （A ）%)1(m a + （B ）%)1(m a - （C ）%1m a + （D ）%1m a-3．如果关于x 的方程02=+-m x x 有实数根，那么m 的取值范围是（A ）41>m （B ）41≥m （C ）41<m （D ） 41≤m 4．某餐饮公司为一所学校提供午餐，有10元、12元、15元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占50%、30%、20%，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（A ）12元、12元 （B ）12元、11元 （C ）11.6元、12元 （D ）11.6元、11元 5．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（A ）正三角形 （B ）正六边形 （C ）平行四边形 （D ）菱形 6．三角形的内心是（A ）三边垂直平分线的交点 （B ）三条角平分线的交点 （C ）三条高所在直线的交点 （D ）三条中线的交点 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：=-1)2( ▲ ．8．分解因式：=+-2296y xy x ▲ ． 9．方程x x =-23的根是 ▲ ． 10．函数21-=x y 的定义域是 ▲ ． 11．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如下表所示：那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是 ▲ ．12．从①AB//CD ，②AD//B C ，③AB=CD ，④AD=BC 四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD 是平行四边形的概率是 ▲ ． 13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2AC ，点E 在中线CD 上，BE 平分∠ABC ，那么∠DEB 的度数是 ▲ ．14．如果梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD =1，BC =3，那么四边形AEFD 与四边形EBCF 的面积比是 ▲ ．15．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，如果b BC a A B ==,，那么=AE ▲ ．16. 当2=x 时，不论k 取任何实数，函数3)2(+-=x k y 的值为3，所以直线3)2(+-=x k y一定经过定点（2，3）；同样，直线2)3(++-=x x k y 一定经过的定点为 ▲ ． 17. 将矩形ABCD （如图）绕点A 旋转后, 点D 落在对角线AC 上的点D ’，点C 落到C ’，如果AB =3，BC=4，那么CC ’的长为 ▲ ．18．如图，⊙O 1的半径为1，⊙O 2的半径为2，O 1O 2＝5，⊙O 分别与⊙O 1外切、与⊙O 2内切，那么⊙O 半径r 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：78分）[] 19．（本题满分10化简：))(111(222x x x x x +---，并求当02133-=x 时的值．（第13题图）（第15题图）ABCDE OB（第17题图）（第18题图）20．（本题满分10分）求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥++<-12)132(6,34)1(7x x x x 的整数解．21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在直角坐标系xOy 中，反比例函数图像与直线2-=x y 相交于横坐标为3的点A ． （1）求反比例函数的解析式；（2）如果点B 在直线2-=x y 上，点C 在反比例函数图像上，BC //x 轴，BC = 4，且BC 在点A 上方，求点B 的坐标．22．（本题满分10分）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件． 23.（本题满分12分，第小题满分6分）如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ＝BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于F ，过点F 作 FG ∥AB ，交AE 于点G ．(1) 求证：AG=BF ；(2) 当CF CA AD ⋅=2时，求证：AC AG AD AB ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分） 如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且∠OBC =∠OAB ，AC =3．（1） 求此抛物线的表达式；（2） 如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D25．（本题满分14分，第（1）小题满分4在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点（1） 如图1，已知OA ＝5，AB ＝6 （第24题图）EDCGFAB（第23题图）（2） 已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且△OCD是等腰三角形，求AF 的长；（3） 如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准2015.4.23一、选择题：24分）1．C ； 2．A ； 6．B ．二．填空题：7．22； 10．2>x ； 11．2； 12．32；13．︒45； ； 16．（3，5）； 17．10； 18．3≥r ． (第18题答3>r , 得2分) 三、（本大题共7题, 第19~22题每题10分, 第23、24题每题12分, 第25题14分, 满分78分）19．解：原式=)1()1)(1(1)1(1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--x x x x x x ………………………………………………（3分） =11)1()1)(1(1-=+⋅+-x x x x x x ．…………………………………………（2+1分）当1333021-=-=x 时，原式=23)23)(23(23231--=+-+=-．……（2+2分）20．解：由①得 3477+<-x x ，103<x ，310<x ．………………………………………（3分） 由②得 1264+≥+x x ，52-≥x ，25-≥x ．………………………………………（3分）不等式组的解集为：31025<≤-x ．…………………………………………………（2分）它的整数解为–2，–1，0，1，2，3．……………………………………………（1分）21．解：（1）设反比例函数的解析式为xky =．………………………………………………（1分）∵横坐标为3的点A 在直线2-=x y 上，∴点A 的坐标为（3，1），………（1分）∴1=3k，∴3=k ，………………………………………………………………（1分） ∴反比例函数的解析式为xy 3=．………………………………………………（1分）（第25题图1） D （第25题图2）B OA C（2）设点C （m m,3），则点B （m m ,2+）．………………………………………（2分） ∴BC =mm 32-+= 4，……………………………………………………………（2分）∴m m m 4322=-+，∴0322=-+m m ，1,321-==m m ，…………………（1分）1,321-==m m 都是方程的解，但1-=m 不符合题意，∴点B 的坐标为（5，3）．…………………………………………………………（1分） 22．解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x 个、y 个，……………………………（1分）∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-,123024,13030y x x y ………………………………………………………………………（4分）解得⎩⎨⎧==.5,6y x ……………………………………………………………………………（4分）经检验它是原方程的组解，且符合题意．答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个．……………………………（1分） 23．证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ＝BC ，∴∠ADE =∠BCE ，……………（1分）又∵DE=CE ，∴△ADE ≌△BCE ．………………………………………………（1分） ∴AE ＝BE ，…………………………………………………………………………（1分） ∵FG //AB ，∴BEBFAE AG =，………………………………………………………（2分） ∴AG=BF ．…………………………………………………………………………（1分） （2）∵CF CA AD ⋅=2，∴AD CFCA AD =，………………………………………………（1分） ∵AD ＝BC ，∴BCCFCA BC =．………………………………………………………（1分） ∵∠BCF =∠ACB ，∴△CAB ∽△CBF ．…………………………………………（1分）∴BCACBF AB =．………………………………………………………………………（1分） ∵BF=AG ，BC =AD , ∴ADACAG AB =．……………………………………………（1分） ∴AC AG AD AB ⋅=⋅．……………………………………………………………（1分）24．解：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=aax ，…………………（1分）∴OC =1，OA=OC +AC = 4，∴点A （4，0）．………………………………………（1分） ∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB= tan ∠OBC ，………………………………………（1分）∴OB OCOA OB =，………………………………………………………………………（1分） ∴OBOB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），…………………………………………（1分） ∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c …………………………………………………………………（1分）∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ……………………………………………………………………………（1分） ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．………………………………………（1分） （2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，………………………（1分）设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ， 由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24mFG -=，………………………………………（1分） ∴2:524:)22141(2=-++-m m m ，…………………………………………………（1分） ∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）．…………………………………………………………（1分）25．解：（1）在⊙O 中，∵OC ⊥AB ，∴AC =321=AB ，OC =22AC AO -=4．………（1分）∵OD //AB ，∴OD ⊥OC ，∴CD =41542222=+=+OD OC ．…………（1分）∵35==BC OD CE DE ，…………………………………………………………………（1分） ∴85=CD DE ，∴DE =4185．………………………………………………………（1分）（2）∵△OCD 是等腰三角形，OD >OC ，∴ ① 当DC ＝OD ＝5时，∠DOC =∠DCO ，∵∠DFC +∠DOC =∠DCF +∠DCO =90°，∴∠DFC =∠DCF ．………（1分） ∴DF =DC =DO =5，OF =10，CF ＝2124102222=-=-OC OF ，2123+=AF ．……………（1分） ② 当DC ＝OC ＝4时, 作△DOC 的高CH ，2521==OD OH ， CH ＝3921)25(42222=-=-OH OC ．……………………………（1分）∴tan ∠FOC=539==OH CH OC CF ，………………………………………（1分） 5394=CF ．53943+=AF ．…………………………………………（1分） （3）设OB ＝OD =r ，BC ＝x ，则2222x r BC OB OC -=-=，………………（1分）∵OD //AB ，OC ⊥AB ，∴OD ⊥OC ，又∵CD ⊥OB ，∴∠COB ＝90°－∠DOE ＝∠ODC ，∴tan ∠COB ＝tan ∠ODC ，………………（1分）∴OD OCOC BC =，∴r x r xr x 2222-=-，………………………………………（1分） ∴22x r xr -=， 022--+r rx x ，∵0≠r ，01)(2≠-+rxrx，251±-=r x (负值舍去) ，………………………（1分） ∴sin ∠ODC ＝sin ∠COB 215-===r x OB BC ．…………………………………（1分）。