高三二模数学试卷
2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷附答案解析
2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷（满分150分，完卷时间120分钟）2024.4考生注意:1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数lg(2)y x =-的定义域为2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=.3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，则(5)P X >=.4．已知点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.5．已知7270127(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，则5a =．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则此圆锥的体积为.（结果中保留π）7．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.8．已知函数()2log f x x =，若()()()1212f x f x x x =≠，则124x x +的最小值为．9．12,F F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为10．已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD 的取值范围是.11．已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++≤=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是.12．某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分.13．已知集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，则A B = （）A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{0,1,2}D ．{0,2,4}14．垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（）x2345y22.33.4mA ．变量x 、y 之间呈正相关关系B ．可以预测当8x =时，y 的值为6C ． 3.9m =D ．由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.8515．已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b <.若a ，b 是函数2y ax bx c =-+的两个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15122⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．51,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设2()sinsin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a、b 及c ，若a =b ，3()2f A =，求角C ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；(2)若2AB =，60DAB ∠=︒，PD =，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小.19．某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为1p 、2p 、3p ，假定1p 、2p 、3p 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若13p 4=，223p =，312p =，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X 的分布，并求X 的期望()E X ；(3)已知1231p p p >>>，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.20．如图，椭圆22:12y x Γ+=的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆Γ上.(1)求线段MN 的长；(2)若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ △的面积；(3)是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆Γ上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数ln y x x a =⋅+（a 为常数），记()()y f x x g x ==⋅.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+；(3)当1a =时，求证：e ()cos xg x x x +<.1．2+∞（，）【详解】要使函数lg(2)y x =-有意义，则202x x ->⇒>，所以函数lg(2)y x =-的定义域为2+∞（，），故答案为2+∞（，）.2．2i -+##i-2【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+3．0.2##15【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，可得(5)0.5(35)0.50.30.2P X P X >=-≤≤=-=.故答案为：0.2.4．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，可得π3xOA ∠=，所以5π326ππxOP ∠=+=，可得5πcos6P x ==，5π1sin 62P y ==，所以点P 的坐标为12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5．21【分析】先将7x 变形为7[1(1)]x +-的形式，再应用二项式定理求解即可.【详解】77[1(1)]x x =+-，由二项式定理得：5567C (1)T x =-，所以5257776C C 2121a ⨯====⨯.故答案为：21.6【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【详解】由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则212ππ2l =，所以2l =，则半圆的弧长为2π，所有圆锥的底面半径为2π2πr =，1r =，所以圆锥的体积为：21π1π33⨯⨯=．．7．5【分析】根据题意，列出方程求得14a =-，得到25n S n n =-且26n a n =-，结合n n S a <，列出不等式，即可求解.【详解】由等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，可得115422522a a ⨯+=+⨯⨯，解得14a =-，所以2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-，且3(1)226n a n n =-+-⨯=-，因为n n S a <，即2526n n n -<-，整理得27+60n n -<，解得16n <<，因为N n *∈，所以使得n n S a <成立的n 的最大值为5.故答案为：5.8．4【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得121x x ⋅=，利用基本不等式即可求解．【详解】()222log ,01log log ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，若()()()1212f x f x x x =≠，不妨设1201x x <<≤，则2122log log x x -=，所以2122212log log log 0x x x x +=⋅=，即121x x ⋅=，所以1244x x +≥=，当且仅当112x =，22x =时，等号成立．故答案为：4．9【分析】根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=︒，再利用勾股定理可求得122||c F F =，从而可求得双曲线的离心率．【详解】解：22||:||:||3:4:5AB BF AF = ，不妨令||3AB =，2||4BF =，2||5AF =，22222||||||AB BF AF += ，290ABF ∴∠=︒，又由双曲线的定义得：12||||2BF BF a -=，21||||2AF AF a -=，11||345||AF AF ∴+-=-，1||3AF ∴=．12||||3342BF BF a ∴-=+-=，1a ∴=．在Rt △12BF F 中，222221212||||||6452F F BF BF =+=+=，2212||4F F c = ，2452c ∴=，13c ∴=．∴双曲线的离心率13c e a==．故答案为：13．10．()1,2【分析】取AC 的中点E ，由题意可得2CD mCE nCB =+，从而推得,,B D E 三点共线，进而得出CE CD CB <<，即可得出答案.【详解】取AC 的中点E ，则2CA CE =，又2CD mCA nCB mCE nCB =+=+，又因为21m n +=，故,,B D E 三点共线，即点D 在中线BE 上运动，在正三角形ABC 中，BE AC ⊥，又0m >，0n >，则CE CD CB <<，故()1,2CD ∈ .故答案为：()1,211．1{|02a a <≤或1}a =【分析】令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，分类讨论a 的取值范围，判断()g x ，()h x 的单调性，结合()f x 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，当01a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递减，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，因为()f x 存在最小值，故需()2(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，结合01a <<，此时102a <≤；当12a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递增，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(2,)a +∞，因为()f x 存在最小值，故需()22g a ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得34a ≤，这与12a <<矛盾；当1a =时，()5g x x =-+在(],2-∞上单调递减，且在(],2-∞上的值域为[)3,+∞，()2h x =，此时存在最小值2；则实数a 的取值范围为1{|02a a <≤或1}a =．故答案为：1{|02a a <≤或1}a =．12．1540【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，结合题意转化为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，进而转化为四个正整数的和为23，结合隔板法，即可求解.【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，则有恒等式()()()()3030*x y x z y z +-+-+-=，其中1x ≥，5y x -≥，5z y -≥，300z -≥，即1x ≥，41y x --≥，41z y --≥，311z -≥，故()*式为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有322C 1540=种方法．故答案为：1540．13．D【分析】直接根据交集概念求解.【详解】因为集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，所以{0,2,4}A B = .故选：D.14．C【分析】利用回归直线方程可判断A 选项；将8x =代入回归直线方程可判断B 选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为回归直线方程0.70.4y x =+，故变量x 、y 之间呈正相关关系，A 对；对于B 选项，当8x =时，0.780.46y =⨯+=，B 对；对于CD 选项，23453.54x +++== ，则0.7 3.50.4 2.85y =⨯+=，故样本的中心点的坐标为()3.5,2.85，另一方面，2 2.3 3.4 2.854my +++==，解得 3.7m =，C 错D 对.故选：C.15．B【分析】由a ，b 为函数2()f x ax bx c =-+的两个零点可得()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+，即可得21a b a =-、41a c a =-，由两边之和大于第三边，结合题意可得15122a <<.【详解】由,ab 为函数2()f x ax bxc =-+的两个零点，故有()()2a x a xb ax bxc --=-+，即()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+恒成立，故()a a b b +=，2a b c =，则21a b a =-，242211a a c a b a a a==⨯=--，由a ，b ，c 为某三角形的三边长，且a b <，故10a ->，且21a a a<-，则112a <<，因为b c a +>必然成立，所以a c b a b c +>⎧⎨+>⎩，即42241111a a a a a a a a a a⎧+>⎪⎪--⎨⎪+>⎪--⎩，解得10201a a ⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，所以1122a <<，故a的取值范围是：11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.16．C【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前n 项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前n 项和性质分析②的真假，综合可得答案.【详解】根据题意，对于命题①，{}n a 是公差不为零的等差数列，若120k a a a ⋅= ，则在12,,,k a a a 中，至少有一项为0，假设()0,1m a m k =≤≤，则()()()12121212102m m m m a a S m a ---+==-=，必有12210k S S S -⋅= ，反之，在等差数列{}n a 中，若23n a n =-，则121,1a a =-=，有20S =，则120k S S S ⋅= 成立，但120k a a a ⋅= 不成立，故12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件，故①正确；对于命题②，若{}n a 是等比数列，设其公比为q ，若N k ∈，2k ≥时，有120k S S S ⋅= ，则12,,,k S S S 中，至少有一项为0，则1q ≠，假设0,m S =则有()110,1mm a q S q-==-必有1mq=，又由1q ≠，必有m 为偶数且1q =-，故10k k a a ++=，反之，若10k k a a ++=，则1q =-，必有20S =，则有N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= ，若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=，故②正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解.17．(1)π1()sin(62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π求出ω即可；（2）由3()2f A =得出2π3A =，过点C 作AB CD ⊥于点D ，得出π6ACD ∠=，分别求出,AD CD 的长，结合AB即可得出BD CD =，进而得出BCD ∠，根据ACB BCD ACD ∠=∠-∠即可求得答案．【详解】（1）1cos 3π1()sin sin()2262x f x x x ωωω-=+=-+，因为函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以π2T =,则2π2πT ω==，解得1ω=，所以π1()sin()62f x x =-+．（2）由3()2f A =得，π13ππ()sin(2π,Z 62262f A A A k k =-+=⇒-=+∈，因为(0,π)A ∈，所以ππ62A -=，即2π3A =，22221cos22b c a A bc +-===-，解得622c =(舍负)，过点C 作AB CD ⊥于点D ，如图所示，由π2π,23D BAC ∠=∠=得，π6ACD ∠=，则1π,cos 2262AD AC CD AC ===⨯=，所以BD AB AD =+=BD CD =，所以π4BCD ∠=，则πππ4612ACB BCD ACD ∠=∠-∠=-=．18．(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出//AB 平面PCD ，然后根据平面ABE ⋂平面PCD EF =，利用线面平行的性质定理证出//EF CD ；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，根据线面垂直的判定定理，证出BH ⊥平面PAD ，可得BEH ∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，然后在Rt BEH △中利用锐角三角函数的定义算出答案．【详解】（1）证明： 平面ABE 与直线PC 相交于点F ，∴平面ABE ⋂平面PCD EF =，四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，AB ⊄ 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，AB ⊂ 平面ABE ，平面ABE ⋂平面PCD EF =，//EF CD ∴；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，菱形ABCD 中，AB AD =，60DAB ∠=︒，ABD ∴ 是等边三角形，H 是AD 中点，BH AD ∴⊥，PD ⊥ 平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，BH PD ∴⊥，PD 、AD ⊂平面PAD ，PD AD D = ，BH ∴⊥平面PAD ．BEH ∴∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，E 是PD 中点，PD =12DE PD ∴==PD ⊥ 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，H 为AD 中点，112DH AD ∴==，Rt DEH △中，3EH =，等边ABD △中，高BH AD ==Rt BEH ∴ 中，tan BH BEH EH ∠=可得π6BEH ∠=，即直线BE 与平面PAD 的所成角等于π6．19．(1)2324(2)121223p p p p --+(3)先派出甲【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解；（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可．【详解】（1）设事件A 表示“该小组比赛胜利”，则()3121112344343224P A =+⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，则1(1)P X p ==，12(2)(1)P X p p ==-，12(3)(1)(1)P X p p ==--，所以X 的分布为：X123P 1p 12(1)p p -12(1)(1)p p --所以112121212()2(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p =+-+--=--+；（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为1E ，由（2）可知，1121223E p p p p =--+，若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为2E ，则2323223E p p p p =--+，则1212123232121323(23)(23)22E E p p p p p p p p p p p p p p -=--+---+=--+21313132()2()()(2)p p p p p p p p =---=--，因为1231p p p >>>，所以130p p ->，220p -<，所以120E E -<，即12E E <，所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．20．(1)MN =22(3)2-1-.【分析】（1）根据已知求出点N 的横坐标，根据对称性可得线段MN 的长；；（2）线段PQ 的中点在x 轴上，得Q 点纵坐标，代入椭圆方程得Q 点横坐标，此时1QF x ⊥轴，易得其面积；（3）假设存在2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，由平行四边形对角线互相平分把E 点坐标用,P Q 点坐标表示，然后把,Q E 坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出110,,x y x 的关系，结合起来可得00x =或01x x =-，再分别代入求得1y ，得结论．【详解】（1）由22:12y x Γ+=可得：a =1b =，从而1c ==，所以令1y =，则2112x +=，解得：22x =±，所以MN =（2）线段PQ 的中点在x 轴上，则1P y =，所以1Q y =-，即2QF y ⊥轴，所以令1y =-，则2112x +=，解得：x =所以221211222POF S F Q F F =⋅==（3）22121122222POF S F Q F F =⋅=⨯= ，假设存在以2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，2(0,1)F -，因为四边形2F QEP 是矩形，一定为平行四边形，所以222F P F Q F E +=，则021x x x =+，212y y =+，所以011(,2)E x x y ++，,Q E 都在椭圆上，()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，变形得201012220x x x y +++=①，又22QF PF ⊥，所以220F Q F P ⋅=，即110110(,1)(,2)2(1)0x y x y x x +⋅=++=，则11022y x x +=-②，②代入①得20010x x x +=，解得：00x =或01x x =-，若00x =时，11y =-，122x =±，此时P 与1F 重合，Q 点坐标为2(,1)2±-；若01x x =-时，联立()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，消去1x 可得：211420y y ++=，解得：12y =-因为1y ⎡∈⎣，所以12y =-所以存在满足题意的Q点，其纵坐标为2-1-..【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下：第一步：假设结论存在；第二步：结合已知条件进行推理求解；第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．21．(1)12(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题以，得到()ln ,0a g x x x x=+>，求得2()x a g x x -'=，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解；（2）设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，求得()lnx h x t x '=-，求得函数()h x 的单调性和最小值为(2t h ，得到()(2t h x h ≥，即可得证；（3）根据题意，得到1e ln cos xx x x x +<-，结合cos [1,1]x ∈-，把转化为1e ln 1x x x x +<-，设()1e ln 1,0x k x x x x x=+-+>，利用导数求得()k x 的单调性和最大值()12e k =-，即可得证.【详解】（1）解：由题意，函数ln y x x a =⋅+，且()()y f x x g x ==⋅，可得()()ln ,0f x a g x x x x x ==+>，则221()a x a g x x x x-'=-=，所以(1)1g a '=-，又因为(1)ln1g a a =+=，所以()g x 在1x =处的切线方程为(1)(1)y a x a =--+，又因为函数()y g x =在1x =处的切线过原点，可得0(1)(01)a a =-⋅-+，解得12a =.（2）解：设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，可得()ln ()ln()2h x x x t x t x a =+--+，其中0x t <<，则()ln 1ln()1lnx h x x t x t x'=+---=-，令()0h x '>，可得1x t x >-，即20x t t x ->-，即20x t x t-<-，解得2t x t <<，令()0h x '<，可得01x t x <<-，解得02t x <<，所以()h x 在(,)2t t 上单调递增，在(0,)2t 上单调递减，可得()h x 的最小值为(2t h ，所以()(2t h x h ≥，又由()()()(ln 2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a =+-=+=-+，所以()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+.（3）解：当1a =时，即证1e ln cos xx x x x+<-，由于cos [1,1]x ∈-，所以e e cos 1x x x x x -≥-，只需证1e ln 1xx x x+<-，令()1e ln 1,0xk x x x x x=+-+>，只需证明()0k x <，又由()22211e (1)(1e )(1)x x x x k x x x x x ---'=--=，因为0x >，可得1e 0x -<，令()0k x '>，解得01x <<；令()0k x '<，解得1x >，所以()k x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()k x 在1x =处取得极大值，也时最大值，所以()()max 12e 0k x k ==-<，即()0k x <，即1a =时，不等式e ()cos x g x x x +<恒成立.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2024届上海市长宁区高三二模数学试题及答案
上海市长宁区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 1,2A ， 1,3,B a ，若A B ，则a ．2.不等式213x 的解集为．3.在41x的展开式中2的系数为．4.在5.若3a6.直线27.8.的取值9.10.的横11.出租车没有载客行驶的里程出租车空驶率出租车行驶的总里程．依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型,,,u f t s k a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%x ，则x．（精确到0.01）12.已知平面向量a 、b 、c满足：a b 2c ，若0c a c b ，则a b 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设z C ，则“z z ”是“z R ”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.已知直线a 、b 和平面 ，则下列判断中正确的是（）.A 若//a ，//b ，则//a b ；.B 若//a b ，//b ，则//a ；.C 若//a ，b ，则a b ；.D 若a b ，//b ，则a ．15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6，9.7，9.5，9.9，9.4，9.8，9.3，10.0．已知这组数据的第x百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）.A 65；.B 70；.C 75；.D 80．16.设数列 n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c ，则称数列n a p ．.A .C 三、17.（1）（2） y g x 的值域．第18题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB AD ，11AA ．（1）求二面角1D AC D 的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球．（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望和方差．已知椭圆22:163x y ，O 为坐标原点．（1）求 的离心率e ；（2）设点 1,0N ，点M 在 上，求MN 的最大值和最小值；（3）点 2,1T ，点P 在直线3x y 上，过点P 且与OT 平行的直线l 与 交于A 、B 两点．试探究：是否存在常数 ，使得2PA PB PT 恒成立？若存在，求出该常数的值；若不存在，请说明理由．设函数 y f x 的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ，都有 f x k ，则称函数 y f x 有上界，实数k 的最小值为函数 y f x 的上确界．记集合 0,n n f x M f x y x在区间上是严格增函数．（1）求函数21y x（26x ）的上确界：（2）若 3212ln f x x hx x x M ，求h 的最大值；（3）设函数 y f x 的定义域为 0, ．若 2f x M ，且 y f x 有上界，求证： 0f x ，且存在函数 y f x ，它的上确界为0．上海市长宁区2024届高三二模数学试卷-简答D 1B 12023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.2； 2. 1,2 ；3.4；4.23； 5.1； 6.47.无关；8. 1,02,2；9.3 ；10.13；11.20.68；12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.C ；14.C ；15.D ；16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）sin 26f x x.每空2分，解析式2分（2） 22sin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x1111cos 2sin 222242x x x，……..4分因为0,2x ，所以32,444x ，进而sin 242x，…….6分所以函数y g x的值域为12………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）设BD 与AC 相交与E ，连接1D E 因为ABCD 为正方形，所以BD AC ，又因为1DD 平面ABCD ，所以DE AC ，…….2分所以1D ED 即为二面角1D AC D 的平面角，……..4分由已知DE 1tan D EDD1B1二面角1D AC D的大小为arctan2.……..6分（2）连接1BA、1BC因为11//BA CD，所以1//BA平面1D AC，…….2分因为11//BC AD，所以1//BC平面1D AC，……..4分所以平面11//BA C平面1D AC，………6分因为直线BP 平面11BA C，所以直线//BP平面1D AC.………8分方法二：以AB、AD、1AA为x y z、、轴，建立空间直角坐标系.则0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，10,2,1D，………2分因为点P在直线11A C上，所以可设,,1P a a，……..4分设平面1D AC的法向量为,,n x y z，由0n AC，1n AD，得220x y，20y z，所以可取1,1,2n，……..6分因为2,,1BP a a，所以0n BP，进而n BP，又因为BP不在平面1D AC上，所以直线//BP平面1D AC.…….8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，…….2分第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326……..4分所以第二次取出的球是红球的概率为112263………6分（2）2329C112CP X ，116329C C112CP X ，2629C5212CP X ，所以X的分布为01211512212，……….4分1154012122123E X……..6分2151342126E X ，所以 22131676918D XE X E X，…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.解：（1）设 的半长轴长为a ，半焦距为c ，则a，c ，………2分所以2c e a.……..4分（2）设 ,M x y ，MN……2分因为x ……3分所以当2x时，MN ，……..4分当x 时，MN 取得最大值为1 .…….6分（3）设 ,3P a a ， 11,A x y ， 22,B x y ，则直线13:322l y x a，………2分2222PT a ，………3分11111,3,22a PA x a y a x a x，22221,3,22a PB x a y a x a x………4分将直线l 方程代入椭圆方程得 2222240x a x a 所以 1222x x a ， 21224x x a ，……..5分21212125544PA PB x a x a x x a x x a 25224a ,……..6分得254PA PB PT ，所以存在54，使得2PA PB PT 恒成立.……..8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.x得 10f x ，0k ，……3分取21x x ，且2x，由21x x ，得212221f x f x x x①由2x，得 12222122f x f x k x x x ②①式与②式矛盾，所以假设不成立，即对于任意 0,x ，均有 0f x .……6分令 10f x x x，则 231f x y x x因为当0x 时，430y x，所以2f x y 在 0, 上严格增， 2y f x M。
2024届上海市静安区高三二模数学试题及答案
上海市静安区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.中国国旗上所有颜色组成的集合为．2.已知i 是虚数单位，复数2z im i是纯虚数，则实数m 的值为．3.函数1lnxy 的定义域为． 4.5.N 闭区间6.2,6 内，7.8.①a 9.10.0,1,2i ）个次品的概率如下：则各批产品通过检查的概率为．（精确到0.01）11.已知实数 0,6a ，记 f x x a．若函数 y f x 在区间 0,2上的最小值为2 ，则a 的值为．12.我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点 ,P x y都满足方程2220x x y y ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点,2M到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.函数2sin cos y x x （x R ）的最小正周期为（）.A14.设）.A // ；.C ，则// ．15.设.A16.于任意的,a b Z ，方程x a b 与a y b 都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法（ ）不构成群，因为方程01y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有（）①自然数集N 关于自然数的加法（ ）构成群；②有理数集Q 关于有理数的乘法（ ）构成群；③平面向量集关于向量的数量积（ ）构成群；④复数集C 关于复数的加法（ ）构成群．.A 0个；.B 1个；.C 2个；.D 3个．第12题图第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a ，5b ，7c ．（1）求角C 的大小；（2）求 sin A C 的值．18.（本题满分15分，第1小题满分5分，第2小题满分10分）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间 160,165， 165,170， 170,175，175,180， 180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．（1）求身高不低于170cm 的学生人数；（2）将身高在 170,175， 175,180， 180,185区间内的学生依次记为A 、B 、C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．第19题图1第19题图219.（本题满分15分，第1小题满分6分，第2小题满分9分）如图1所示，ABCD是水平放置的矩形，AB ，2BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面ABD 平面BCD ．（1）求四面体ABCD 的体积V ；（2）试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得l AD ？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得//l AD ？第20题图江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD AC；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为1:（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；（2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土.请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．已知k R ，记 xxf x a k a （0a 且1a ）．（1）当e a （e 是自然对数的底）时，试讨论函数 y f x 的单调性和最值；（2）试讨论函数 y f x 的奇偶性；（3）拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数 y f x 的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数 y f x 的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）上海市静安区2024届高三二模数学试卷-简答）2211030,3032210100,03250040,030x x x x x x ；（2）63.9m ；（3）略．参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21；3．)1,2( ；4．2；5．1360；6．5π3；7．1 ；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d ．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222ab c b a C ，所以3π2 C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有C c B b sin sin ，即.1435sin sin c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin( .1435………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin ，即.1433sin sin c C a A 所以.1413sin 1cos 2 A A 故，.1435sin cos cos sin )sin( C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222 bc a c b A ，所以.1433sin A 故，.1435sin cos cos sin )sin( C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x ，所以1[150.14]0.065x ．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60 (人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360(人),620260 (人),610160(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ，垂足为E ．因为平面 ABD 平面BCD ，有AE 平面BCD，则AE ……………………4分所以11122332BCD V S AE△．.........2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ． (1)证明：过点C 作CF BD ，垂足为F ．因为AE 平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ，则存在l AD ．…4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //…1证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D 矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分则，圆O 的方程为10022 y x ；由221tanC ，10 OE 得220 ，30 CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221x y ．所以直线OE 的斜率为22 ，其方程为x y 22 ，将其代入10022 y x ，得点E 的坐标为3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD ，即222)10(30r r ，解得50 r ．所以，圆M 的方程为22250)40( y x ，故，用函数表示过桥道路为：.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分BD(2)解1：由点E 的坐标为3220,310，得22arctan 2πEOF ，所以圆弧EF 的长为22arctan 2π10 3.398，……………………2分由点D 的坐标为 0,30，点M 的坐标为 40,0 ，得43arctan DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan 50 32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为 22022arctan 2π1043arctan 50 9.63 m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD ，即222)10(30 r r ，解得40 r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30( y x ，将直线OG 的方程代入10022 y x 得，点G 的坐标为6,8故，用函数表示过桥道路为：.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为3220,310OE ，)8,6( OG ，则15283,cosOG OE OG OE ，即，15283arccos , OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos10 9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π OND ，所以圆弧GD 的长为 34arctan 2π40 25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为 22015283arccos10 34arctan 2π40 63.9m ． (2)分(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形 所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形 )3m ．………2分方案2：AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形 所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形 )3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f e e )('，当0 k 时，0)(' x f ，故函数)(x f y 在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y 在R 上无最值．……………………1分当0 k 时，令0)(' x f ，得k x ln 21，所以，当k x ln 21,时，0)(' x f ，函数)(x f y 在k ln 21,上为严格减函数；…1分当 ,ln 21k x 时，0)(' x f ，函数)(x f y 在,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y 在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y 为偶函数” “对于任意的R x ，都有)()(x f x f ”对于任意的R x ，都有R x ，并且x x x x a k a a k a ； 对于任意的R x ，0))(1( x x a a k 1 k ．故，1 k 是)(x f y 为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y 为奇函数” “对于任意的R x ，都有)()(x f x f ”对于任意的R x ，都有R x ，并且x x x x a k a a k a ； 对于任意的R x ，0))(1( x x a a k 1 k ．故，1 k 是)(x f y 为奇函数的充要条件．……………………3分当1 k 时，)(x f y 是非奇非偶函数.(3)①当0 k 时，函数)(x f y 有对称中心0),log(21k ．即，当0 k 时，对于任意的R x ，都有R x ，并且))((log x k f a )(x f ．………2分证明：当0 k 时，令0)( x f ，解得)(log 21k x a为函数)(x f y 的零点由xx a k a x f )(得，))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a xx a a k )(x f ．……………………2分②答案1：当0 k 时，函数)(x f y 有对称轴k x a log 21．即，当0 k 时，对于任意的R x ，都有R x ，并且)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0 k 时，由xx a k a x f )(得，)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a x x a a k )(x f ．答案2：当1 k 时，)(x f y 的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R x ，都有)()(x f x f ．………………………………………………1分答案3：当0 k 时，函数)(x f y 的零点为)(log 21k x a，即.0)(log 21k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y 的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =∈-≤Z ，则A 的子集个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．162．下列命题中，真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ≥，则a b ≥D ．若22a b +=，则244a b +≥ 3．复数()31i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.5P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（ ）A ．若()0.9P AB =，则A ，B 相互独立B ．若A ，B 相互独立，则()0.6P A B =C ．若()0.5P A B =，则()0.25P AB =D ．若B A ⊆，则()0.8P B A =5．已知向量,,a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()c b a ⋅-=r r r （ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-6．某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A ．42种 B ．40种 C ．36种 D ．30种7．已知圆22:(1)9C x y -+=，直线:0l x y m ++=，P 为直线l 上的动点．过点P 作圆C 的切线PM ，PN ，切点为M ，N ．若使得四边形PMCN 为正方形的点P 有且只有一个，则正实数m =（ ）A ．1B ．C ．5D ．7 8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12 D二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X ，Y 满足21Y X =+，则()2()1D Y D X =+B ．若随机变量()2~3,X N σ，且(6)0.84P X <=，则(36)0.34P X <<=C ．若线性相关系数r 的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强D ．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m ，40，50；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则70m n += 10．如图，在边长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是正方形A 1B 1C 1D 1内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若DP ∥平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B ．若AP P 的轨迹长度为2πC ．若AP AP 与平面CEFD ．若Р是棱A 1B 1的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π11．已知函数()()3cos f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象既关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，也关于直线3π4x =轴对称，且()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值可能是（ ） A ．25B ．65C ．2D ．145三、填空题12．已知向量a r ，b r 满足24a b ==r r ，且25a b -=r r ，则向量a r ，b r 夹角的余弦值是.13．甲、乙等5人参加A ，B ，C 这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A 活动，则他们参加活动的不同方案有种.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为常数λ（0λ>，1λ≠），则点M 的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知()()1,0,0,1A B -，M 是平面内一动点，且MA MB=则点M 的轨迹方程为.若点Р在圆22:(2)36C x y -+=上，则2PA PB +的最小值是.四、解答题15．已知 a n 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列 a n 的通项公式；(2)设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列 b n 的前2n 项和2n T . 16．ChatGPT 是AI 技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT 人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i ）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？（ii ）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++． 参考数据：17．如图，在三棱锥P ABC -中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC V 内部一点且PM ⊥平面ABC ．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值． 18．已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()112e m x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()10F ,，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．(1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．。
2024届上海普陀区高考数学二模试卷及答案
普陀区2023 -2024学年第二学期高三数学质量调研2024.4考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得票分.1.已知复数1i z =+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点的坐标为______.2.已知R a ∈，设集合{1,,4}A a =，集合{1,2}B a =+，若A B B =，则a =______.3.若3cos 35πθ⎛⎫−=⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 4.已知()2~4,2X N ，若(0)0.02P X <=，则(48)P X <<=______. 5.若实数a ，b 满足20a b −≥，则124ab+的最小值为______.6.设2012(1)(1,N)nn n x a a x a x a x n n +=++++≥∈，若54a a >，且56a a >，则1ni i a ==∑______.7.为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.若表中数据可用回归方程 2.3(118,N)y x b x x =+≤≤∈来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为______.（精确到整数）8.设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是______.9.若向量a 在向量b 上的投影为13b ，且|3|||a b a b −=+，则cos ,a b 〈〉=______.10.已知抛物线2y =的焦点F 是双曲线Γ的右焦点，过点F 的直线l 的法向量(1,3)n =−，l 与y 轴以及Γ的左支分别相交A ，B 两点，若2BF BA =，则双曲线Γ的实轴长为______.11.设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki ii m t S==−∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++，则(2024)f =______.12.已知R a ∈，若关于x 的不等式(2)e 0xa x x −−−>的解集中有且仅有一个负整数，则a 的取值范围是______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A 、B ，白球标记为C ，则它的一个样本空间可以是（ ）A .{,}AB BC B .{,,}AB AC BC C .{,,,}AB BA BC CBD .{,,,,}AB BA AC CA CB14.若一个圆锥的体积为3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为2π，则该圆锥的侧面积为（ ）AB .2πC .D .15.直线l 经过定点(2,1)P ，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，动圆M 在OAB △的外部，且与直线l 及两坐标轴的正半轴均相切，则OAB △周长的最小值是（ ）A .3B .5C .10D .1216.设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +−−<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A .①成立②成立B .①成立②不成立C .①不成立②成立D .①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤S ABCD −ABCD 2SA SB ==E F SC 17.（本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分8 分如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1 的正方形， ， 、 分别是、BD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ； （2）若二面角S AB D −−的大小为2π，求直线SD 与平面ABCD 所成角的大小. 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0ϕπ<<，它的最小正周期为π.（1）若函数12y f x π⎛⎫=−⎪⎝⎭是偶函数，求ϕ的值；（2）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，6A π=，2B f ϕ−⎛⎫=⎪⎝⎭，求b 的值.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.（1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件B 为“大货车从中间直行车道通行”，求()P AB ；（2）用X 表示张先生每周工作日出行事件A 发生的次数，求X 的分布及期望[]E X .20.（本题满分18 分）本题共有 3 个小题，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分.设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，Γ的离心率是短轴长的4倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBF S ∆的值；（3）设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于函数()y f x =，1x D ∈和()y g x =，2x D ∈，设12D D D =，若1x ，2x D ∈，且12x x ≠，皆有()()()()1212(0)f x f x t g x g x t −≤−>成立，则称函数()y f x =与()y g x =“具有性质()H t ”.（1）判断函数2()f x x =，[1,2]x ∈与()2g x x =是否“具有性质(2)H ”，并说明理由；（2）若函数2()2f x x =+，(0,1]x ∈与1()g x x=“具有性质()H t ”，求t 的取值范围； （3）若函数21()2ln 3f x x x=+−与()y g x =“具有性质(1)H ”，且函数()y g x =在区间(0,)+∞上存在两个零点1x ，2x ，求证22122x x +>.参考答案一、填空题 1.()1,1− 2. 2 3.354.0.485. 26. 10237. 578. q=39.310.2 11. 7 12.211,23e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题13.B 14. C 15. C 16. D 三、解答题 17.（1）证明略（2）3π18.（1）23π（2）19.（1）16（2）分布列：01234532808040101243243243243243243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，期望5320.（1）2212x y +=（2）1（3）21.（1）具有，说明略 （2）[)2,+∞（3）证明略。
2024届上海市长宁区高三下学期二模数学试卷(解析版)
2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。
顺义区2024届高三二模数学试题及答案
顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形， 其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024北京西城区高三二模数学试题及答案
2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
河北省衡水市部分学校2024届高三下学期二模考试 数学试题(含解析)
2023—2024学年度下学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b a b +=- ,()()1,2,,3a b m == ，则实数m =（）A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．75C ．95D ．703．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE BCF -，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若AD ⊥面ABFE ，且222EF AB AE BF ===，记三棱锥D ABF -的体积为1V ，则该五面体的体积为（）A ．18V B ．15V C ．14V D ．13V 4．已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+（）A ．215-B ．215C ．79-D ．795．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A ．78B ．92C ．100D ．1226．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．3B CD ．27．已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A ．(4)2f =B ．()20g '=C ．(1)(3)f f -=-D ．(1)(3)4f f +=8．已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知,z z ∈C 是z 的共轭复数，则（）A ．若13i13i z +=-，则43i 5z --=B ．若z 为纯虚数，则20z <C ．若(2i)0z -+>，则2iz >+D ．若{||3i3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B = R ，则实数a 的取值范围为.13．已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C的圆的方程为．14．已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，则以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()()21sin 02f x x x ωωω=-+>的最小正周期为4π.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()2cos cos ,a c B b C -=⋅求()f A 的取值范围.16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB = ，2BE EM = ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值．17．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X ，求()E X ；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记n P 为王老师第n 天坐地铁去学校的概率，求{}n P 的通项公式.18．已知()2e 2e x xf x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，(2)当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；(3)()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.19．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．1．B【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b+=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，(),3b m = ，所以6a b m ⋅=+，所以60+=m ，解得6m =-.故选：B.2．A【分析】根据第p 百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，575% 3.75i =⨯=，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.故选：A.3．C【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,D AEF D ABF F BCD ---，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以ABD BCD S S =△△，所以1F BCD F ABD V V V --==.记梯形ABFE 的高为h ，因为2EF AB =，所以112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅= ，所以122D AEF D ABF V V V --==，所以该五面体的体积111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=.故选：C4．A【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值.【详解】sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.故选：A 5．C【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.故选：C 6．C【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422a a a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．7．ABD【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A ：∵()g x 为偶函数，则()()g x g x =-，两边求导可得()()g x g x ''=--，∴()g x '为奇函数，则()00g '=，令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B ：令=2x ，则可得()()(2)22(2)22f g f g ⎧+='-='⎪⎨⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f x g x '+++=，()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=，两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立，又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f x g x f x g x ''-+-=---=，()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-，∴()f x 以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.8．D【分析】分别构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，利用导数研究其单调性，得到223111ln(1)223x x x x x x -<+<-+，(0)x >，再将a 看成3ln(10.1)+，c 看成ln(10.3)+，利用上述的不等式比较大小即可．【详解】解：由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯-⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．9．AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A ；z 为纯虚数，可设()i 0z b b =≠，根据复数的四则运算可判断B ；由()2i 0z -+>结合数大小比较只能在实数范围内可判断C ；设复数i z a b =+，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】()()()213i 13i 43i13i 13i 13i 5z ++-+===--+，所以43i 5z --=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠，所以222i z b =，因为2i 1=-且0b ≠，所以20z <，故B 正确；由()2i 0z -+>，得i(2)z a a =+>，因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C 错误；设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3ia b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A 选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一平面内，由余弦定理求出AE BE +的最小值，得到周长的最小值；C 选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D 选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C 选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.【详解】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD AD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于AD CD ==4AC =，22222241cos23CD AD ACADC CD AD+-+-∠===⋅，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，所以(222222cos 22222163AB BD AD BD AD ADB ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-=+ ⎝⎭故AB ==ABE 的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM =PM =，则133MF BM ==，故PF =设OF ON R ==，故OP PF OF R =-=，因为PNO ∽PFM △，所以ON OP FM PM =3R-=解得3R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C选项可知，其高为3r ，由C 选项可知，PF 是正四面体-P ABC 的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则3QS r =，SF r =，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14得，如图正四面体P HJI -中，QZ r =，3QP r =，正四面体P ABC -高为34r r r +⨯，解得r =，D 正确.故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径12．()0,1【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0B x x a a x x a =>>=或},0x a a -，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.13．()(223328x y -+=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+=.14．502【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到250250240a b -≥，想要有实根，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，结合根的判别式与基本不等式得10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理得到20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，即可解决问题.【详解】由题意得，210031003410030S T -⨯≥，又因为1100310035021003()10032a a S a +==，1100310035021003()10032b b T b +==，代入得250250240a b -≥，要使方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 有实数解，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，显然第502个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程1003103200x a x b -+=的判别式分别为11003,∆∆，则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()422a a ab a b a a b b b +∆+∆=-+-=+-+≥-⨯即2250211003502502502(2)82(4)02a b a b ∆+∆≥-=-≥，等号成立的条件11003a a =，所以10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理可得20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，故答案为：502.15．(1)2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得ω的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得π,3B =继而得到ππ,62A <<整体代入求函数值的范围即可.【详解】（1）()21sin 22f x x x ωω=-+11cos2sin2222x x ωω-=-1πcos2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为2π4π,2T ω==所以1,4ω=故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π,,2262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得4π2π4π4π,,33k x k k -≤≤+∈Z 当0k =时4π2π,,33x -≤≤又[]0,π,x ∈所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()2cos cos ,a c B b C -=⋅得（2sin sin )cos sin cos ,A CB BC -=所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A .因为sin 0,A ≠所以1cos ,2B =又()0,π,B ∈所以π,3B =又三角形为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，所以ππ5π42612A <+<，又()26πsin A f A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5πππππππsin sin sin cos cos sin 12464646⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则πsin 2264A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()f A的取值范围为⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据2AB AM ==，MB =利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，MD =120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM 的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）为2AB AM ==，MB =，所以222AM AB MB +=，所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A = ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，MD =则44121cos 2222MAD +-∠==-⨯⨯，且0180MAD ︒<∠<︒，可知120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则)3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，则420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得723,,33EC ⎫=-⎪⎭ ，()0,2,2BM =-，)3,1,2BD =-- ，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则·220·320BM n y z BD n y z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，取1z =得)3,1,1n = ，设直线EC 与平面BDM 所成角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯，所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15.17．(1)0.15(2)()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭(3)1225757n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出数学期望；(3)由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，由递推关系求出数列的通项.【详解】（1）记事件A =“硬币正面向上”，事件B =“7：40-7：45到校”则由题有()0.5P A =，()0.2P B A =，()0.1P B A =，故()()()()()0.50.20.50.10.15P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2892232323312391055555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2891032323232331289105555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以上两式相减得：()28922232323235555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()1028910313333553513555522515E X ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅++==-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.所以()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.（3）由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，则1525757n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，这说明57n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为以15277P -=为首项，25-为公比的等比数列.故1522775n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1225757n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭.18．(1)4e 2ey x =-+(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析(3)()1⎡⎣【分析】（1）当0a =时，求得()()21e xf x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22x F x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x xf x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x x f x a x =-，再由max 1()0f x a +≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1ex x h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【详解】（1）解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.（2）解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e 21e e e 22x x x xf x x x =-+=--'，令()e 22x F x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）解：由()2e 2e x x f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e 0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x xf x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-='>，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((1e h x h ≥=-()()10h x h <-=，所以实数a的取值范围是()1⎡⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313282y y y y t +==-+，由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，4=，解得AM ='，所以111122144AM BN AM AM θθ=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN -⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n mn y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m nθθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ=，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AMAQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=++，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)
江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024北京昌平区高三二模数学试题及答案
2024北京昌平高三二模数 学本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}{21,0,1,2,3,20A B x x x =-=->∣∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{}1C ．{}1,0,1,2-D ．1,3-2．已知数列{}n a 满足122,4n n a a a +==，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）A ．16B ．24C ．30D ．623．已知抛物线()220y px p =>的焦点和双曲线2213y x -=的右顶点重合，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．64．在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．－15B ．15C ．30D ．3605．若01,1a b c <<<>，则（ ）A ．bac c<B ．log log c c a b>C ．sinsin c ca b>D ．c c a b <6．若圆22860x x y y m ++-+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],9-∞B ．(],16-∞C ．[)9,25D ．[)16,257．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,//m ααβ⊂，则“n β⊥”是“n m ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()()24,1,ln 1, 1.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[]4,0-C ．[]3,0-D ．(],2-∞9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过t min 后的温度为y ℃，可选择函数()600.920 0ty t =⨯+≥来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A ．2.5min B ．4.5min C ．6min D ．8min10．已知数列n a 满足434121,1,n n n n a a a a --=-==，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误的是（ ）A ．311a =B ．20241a =-C ．∃非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a +=D ．*n ∀∈N ，都有22n S =-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数1iiz +=，则z z ⋅=______．12．已知ABC △中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S = ______．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点P 满足()0AP AB λλ=> ．当13λ=时，AC PD ⋅= ______；当λ=______．时，PC DP ⋅取得最大值．14．已知p ：设函数()f x 在区间()0,+∞上的图象是一条连续不断的曲线，若()()120f f ⋅>，则()f x 在区间()1,2内无零点．能说明p 为假命题的一个函数的解析式是______．15．已知曲线:4,0G x x y y +=为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线G 关于直线y x =成轴对称图形；②经过坐标原点0的直线l 与曲线G 有且仅有一个公共点；③直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为2π-；④设直线:2l kx γ=+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．本小题13分已知函数())cos 3cos f x xx x a =+-的图像经过点3,62π⎛⎫⎪⎝⎭．（I ）求实数a 的值，并求()f x 的单调递减区间；（II ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．17．本小题14分如图，在棱长均为2的四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是1CC 的中点，BC 交平面1AD E 于点F ．（I ）求证：点F 为线段BC 的中点；（II ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱1111ABCD A B C D -存在且唯一确定．（i ）求二面角1D AF B --的余弦值；（ii ）求点1B 到平面1AD EF 的距离．条件①：1DD ⊥平面ABCD ；条件②：四边形ABCD 是正方形；条件③：平面11AA D D ⊥平面11CC D D ．注：如果选择的条件不符合要求，则第II 问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）某行业举行专业能力测试，该测试由,,A B C 三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C 项测试成绩合格，且,A B 两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C 项测试成绩不合格，且,A B 两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：测试项ABC频数161510用频率估计概率．（I ）试估计甲参加该专业能力A 项测试成绩合格的概率；（II ）设X 表示甲获得的认定分，求X 的分布列和数学期望()E X ；（III ）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为23．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．19．本小题15分已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）设,A B 是椭圆E 的左、右顶点，F 是椭圆E 的右焦点．过点F 的直线l 与椭圆E 相交于,M N两点（点M 在x 轴的上方），直线,AM BN 分别与y 轴交于点,P Q ，试判断OP OQ是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．20．（本小题15分）已知函数()e xaf x x =+．（I ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值；（III ）若0a >，当0x >时，求证：()()ln ln f a x f a x ->+．21．本小题15分已知12:,,,N Q a a a 为有穷正整数数列，12N a a a ≤≤≤ ，且12N s a a a =+++ ．从Q 中选取第1i 项，第2i 项， ，第m i 项()12m i i i <<< ，称数列1,i i i a a ，,m i a 为Q 的长度为m 的子列．规定：数列Q 的任意一项都是Q 的长度为1的子列．若对于任意的正整数t s ≤，数列Q 存在长度为m 的子列12,,,m t t t a a a ，使得12m t t t a a a t +++= ，则称数列Q 为全覆盖数列．（I ）判断数列1,1,1,5和数列1,2,4,8是否为全覆盖数列；（II ）在数列Q 中，若21s N ≤-，求证：当2n N ≤≤时，1211n n a n a a a -≤≤++++ ；（III ）若数列Q 满足：11a =，且当2n N ≤≤时，1211n n a a a a -≤++++ ，求证：数列Q 为全覆盖数列．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2024届湖南省邵阳市高三下学期二模数学试题及答案
2024年邵阳市高三第二次联考试题卷数学本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.一组数据：11,30,31,25,20,32,41的第30百分位数为（ ）A.30B.31C.25D.202.若集合{}*28,xA xx =>∈N ∣，集合{}2780B xx x =--<∣，则A B ⋂的真子集个数为（ ）A.14B.15C.16D.313.已知α为锐角，若1sin 4α=，则2cos2α=（ ）4.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）A.240种B.120种C.156种D.144种5.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，2,1,45AB CD A ∠=== .点P 在线段AB 与线段BL 上运动，则EH FP ⋅的取值范围为（）A.[]4,6-B.[]0,6C.[]0,8D.[]4,86.已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,60,2ABC ABC PA AC ∠=== ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A.14π3 B.28π3C.10πD.5π7.已知直线:220l x y --=与椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点.若弦AB 被直线:20m x y +=平分，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12 8.已知函数()f x 的定义域为(),f x 'R 为()f x 的导函数.若()1e f =，且()()e xf x f x +<'在R 上恒成立，则不等式()()2e xf x x <-的解集为（）A.(),2∞-B.()2,∞+C.(),1∞-D.()1,∞+二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()sin3f x x x =+，则下列结论正确的有（ ）A.()f x 的最小正周期为2π3 B.()f x 关于点π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 关于直线π18x =对称 D.()f x 在区间π7π,618⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减10.已知复数12,z z 满足：1221,22i z z z ==--（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的有（ ）A.()11i 2z -=B.11i z =-C.12z z -的最小值为1-D.12z z -的最大值为1+11.已知函数()f x 在R 上可导，且()f x 的导函数为()g x .若()()()42,21f x f x g x =-+-为奇函数，则下列说法正确的有（ ）A.()10g =B.()20f =C.()()28f f =D.20241()4048i f i ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若51525,60S S ==，则47a a +=__________.13.在ABC 中，π,3A AB =AB ，则cos C =__________.14.已知0,0x y >>2x y >+恒成立，则实数m 的取值范围是__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）如图所示，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD .（1）证明：1BD CC ⊥；（2）若1112,1,60AB AA A B ABC ∠==== ，棱BC 上是否存在一点P ，使得平面1AD P 与平面1ADD .若存在，求线段CP 的长；若不存在，请说明理由.16.（15分）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求a 的值及样本平均数的估计值；（2）若所有学生的初试成绩X 近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ为样本平均数的估计值，10.5σ=.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x ，答对物理题的概率为y .若小明全部答对的概率为18，答对两道题的概率为P ，求概率P 的最小值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-+≈……，()()220.9545,330.9973P X P X μσμσμσμσ-+≈-+≈………….17.（15分）设函数()()1e ,0xf x m x m =+>.（1）求()f x 的极值；（2）若对任意()1,x ∞∈-+，有()ln 2e xf x …恒成立，求m 的最大值.18.（17分）已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为()1F ，点(M 在双曲线上，直线l 与双曲线Γ交于,A B 两点.（1）若l 经过点()2,0-，且90AOB ∠= ，求AB ；（2）若l 经过点1F ，且,A B 两点在双曲线Γ的左支上，则在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值.若存在，请求出QAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由.19.（17分）给定整数3n …，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.（1）分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3, 1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）（2）任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +…；（3）当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.2024年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8.D 解析：构造()()()()()()()()2e e e ,10,eeex xxxxxf x f x f x f x f xg x x g x g x -⋅-+=+=+=<''∴' 在R 上单调递减，由()()2e xf x x <-得：()()()1e 2e ,21eex x xf x f f x x x +<+<=+，即()()1g x g <.1x ∴>，故选D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）11.ACD 解析：由()()24f x f x ++=，知()y f x =的周期为4.且()()()()()()][()()123413248f f f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦，所以2024411()506()4048i i f i f i ====∑∑，故D 正确.由()21g x -为奇函数知()g x 关于()1,0-对称，所以()10g -=.由()()24f x f x ++=得()()2f x f x ++=''0，即()()20g x g x ++=.故()g x 的周期为4且()()110g g -+=，可得()10g =，故A 正确.由上知()g x 的周期为4且()g x 关于()1,0-对称，所以()g x 关于()3,0对称.则有()()60g x g x +-=，即()()60f x f x '+-='.所以()()6f x f x c --=，令3x =，得0c =.故()()60f x f x --=，所以()f x 关于3x =对称.又()()244f f +=，所以()()242f f ==，故B 错误.又()()48f f =，所以()()28f f =，故C 正确.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.914.()∞+14.()∞+ 解析：原不等式等价于m >，令z ==.令t =+t …，则z t ==在()∞+上单调递减，z m ∴=∴>…故m 的范围是()∞+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）（1）证明：连接,AC 底面ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥.又1AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥.又1,AC AA A BD ⋂=∴⊥平面1A AC .四棱台1111ABCD A B C D -中，11,AA CC 延长线交于一点，11,,,A C C A ∴四点共面.1BD CC ∴⊥.（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()(10,0,0,0,2,0,A D D ，若存在点P满足题意，则设)[],0,1,1Py y ∈-.易知平面1AD D 的一个法向量()1,0,0,n = 设平面1AD P 的法向量()000,,m x y z =.()1,,0AD AP y ==.则10,0.m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则00000,0.y y y ⎧+=⎪+⋅=令0y =，则()001,,1z x y m y =-=-=--.cos ,m n m n m n ⋅∴===⋅，解之得12y =±.故在棱BC 上存在点P 满足题意，此时12CP =或32CP =.16.（15分）（1）()100.0120.0260.0320.011a ⨯++++= ，0.02a ∴=.样本平均数的估计值为500.12600.26700.32800.2900.169⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）69,10.5μσ== .()()10.95459020.022752P X P X μσ-∴=+==…….∴能参加复试的人数约为400000.02275910⨯=（人）.（3）由题意有218x y =.答对两道题的概率()()212221123P x y C x x y x xy x y =-+-=+-.而22113848x y P x x =∴=+-.令()213(01)48f x x x x =+-<…，则()2124f x x x=-'，∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减；1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.∴当12x =时，min 3()8f x =.故概率P 的最小值为38.17.（15分）解：（1）()()2e ,0xf x m x m =+>'.令()0f x '>，得2x >-，令()0f x '<，得2x <-.故()f x 在(),2∞--单调递减，在()2,∞-+单调递增.()f x ∴在2x =-处取得极小值()22e mf -=-，无极大值.（2）()ln 2e xf x …对()1,x ∞∀∈-+恒成立，即()ln 2e ln 1xm x x -+-…对()1,x ∞∀∈-+恒成立.令()()()2e ln 1,1,xg x x x x ∞=-+-∈-+，则只需min ln ()m g x …即可.()()12e 1,1,1x g x x x ∞=--∈-++'.()g x '在()1,∞-+上单调递增且()00g '=.∴当()1,0x ∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；当()0,x ∞∈+时，()()0,g x g x '>单调递增.()min ()02g x g ∴==.故22ln 2lne ,0e m m =∴<……，故m 的最大值为2e .18.（17分）解：（1）把(M 代入22221x y a b-=得：22461a b-=，又()1,F c ∴=.又222a b c +=，解得1,a b ==.∴双曲线方程为2212y x -=.若直线l 的斜率不存在时，:2l x =-，此时不妨设((,2,A B --.4620OA OB ⋅=-=-≠，舍去.若l 的斜率存在，设l 方程为()2y k x =+，代入2212y x -=，化简得()()222224420k x k x k ---+=.设()()1112,,,A x y B x y ，则22121222442,22k k x x x x k k ++==--，()()()22121212122622242k y y k x k x k x x x x k -⎡⎤=+⋅+=+++=⎣⎦-.90AOB ∠=，得0OA OB ⋅= ，即12120x x y y +=.则222224260.122k k k k k +-+=∴=--.AB ===（2）假设存在(),0Q m ，使得QA QB ⋅为定值.设l 方程为x ty =，代入2212y x -=，化简得()222140t y --+=.由题意()2222210,Δ48162116160t t t t -≠=--=+>.12122421y y y y t +==-.由题意221210,210,2y y t t <∴-<<.()()1122,,QA QB x m y x m y ⋅=-⋅-()()1122,,ty m y ty m y =⋅--())()2212121)t y y m t y y m =+-++())22241(21t m t m t =+⋅-+++-2(m =+要使QA QB ⋅41=-，解之得0m =.∴存在()0,0Q ，使得QA QB ⋅为定值-1.此时12112QAB S FQ y y =⋅-===222231,1,1232.2u u t t u u ⎡==+<-=-∴∈⎢⎣….3QAB S u∴==.32y u u =- 在⎡⎢⎣递减，32y u u ∴=-在1u =时取得最大值1.QABS ∴ 的最小值为.19.（17分）解：（1）集合S 是理想数集，集合T 不是理想数集.（2）不妨设集合{}12345,,,,P x x x x x =且125x x x <<< ，即()()15min ,max P x P x ==.P 为理想数集，*,14i i ∴∀∈N ……，则11i i x x +-…，且*00,14i i ∃∈N ……，使得0011i i x x +-=.当10x …时，()()()()()()152132435411min max 2424P P x x x x x x x x x x x x +=+=-+-++-+-++ …….当且仅当11i i x x +-=且10x =时，等号成立；当50x …时，()()()()()()15152132435455min max 2424P P x x x x x x x x x x x x x x +=+=--=-+-+-+---…….当且仅当11i i x x +-=且50x =时，等号成立；当150,0x x <>时，()()()()()()151521324354min max 4P P x x x x x x x x x x x x +=+=-+=-+-+-+-….当且仅当11i i x x +-=时，等号成立.综上所述：()()min max 4P P +….（3）设122024x x x <<< .P 为理想数集.*1,12023,1i i i i x x +∴∀∈-N ………，且*00,12023i i ∃∈N ……，使得0011i i x x +-=.∴对于{}2025,,j j j P x x P -=⊆ ，同样有*1,11012,1j j i j x x +∀∈-N ……….下先证对n 元理想数集P ，有()()min max 1P P n +-….不妨设集合P 中的元素满足12n x x x <<< .即()()1min ,max n P x P x ==.P 为理想数集，*1,11,1i i i i n x x +∴∀∈--N ………，且*00,11x i n ∃∈-N ……，使得0011i i x x +-=.当10x …时，()()()()()112132111min max 2121n n n n P P x x x x x x x x x x x n x n -+=+=+=-+-++-+-+- ……，当且仅当11i i x x +-=且10x =时，等号成立；当0n x …时，()()()()()1121321min max 2121n n n n n n P P x x x x x x x x x x x n x n -+=+=--=-+-++----- ……，当且仅当11i i x x +-=且0n x =时，等号成立；当10,0n x x <>时，()()()()11211min max 1n n n n P P x x x x x x x x n -+=+=-+=-++-- ….当且仅当11i i x x +-=时，等号成立.()()min max 1P P n ∴+-….()()min max 20252j j P P j ∴+-….当且仅当11j j x x +-=时，等号成立.1202422023101210132023,2021,,1x x x x x x ∴+++ ……….∴理数()212202420231101220232021110122t x x x +⨯=++++++== ….当且仅当10120x =或10130x =时，等号成立.。
上海市虹口区2024届高三二模数学试卷及答案
第10题图1第10题图2上海市虹口区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.若3sin 5x ，则cos 2x ．2.已知一个球的表面积为36 ，则该球的体积为．3.过抛物线24y x 焦点的弦AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长度为．4.5.6.7.8.则lim n n S9.c a 的最大值为10.O ，将篮球且AB BC11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ．若12AB AA ，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段PA 、PM 的长度和的最小值为．第11题图12.已知关于x 的不等式 2ln 340x k x x k x 对任意 0,x 均成立，则实数k 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.欧拉公式e cos sin i i把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos 和sin 联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数z 满足32e 2i z i i，则z （）.A 14.设 f x y g x 的.A 2x对称；.C 2 ．15.②数据③已知.A 16.①对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ；②若 g x 的值域为 ,m M ， 1f m ， 1f M ，则对任意x R 都有 f x g x ．则下列判断正确的是（）.A ①②都是假命题；.B ①②都是真命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①是真命题，②是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列 n a 满足25a ，9672a a ．（1）求 n a 的通项公式；（2）设数列 n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a ，若432m S ，求正整数m 的最小值．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，CA CB ，D 为AB 的中点，2CA CB ，13CC ．（1）求证：1//AC 平面1B CD ；（2）若1CC 平面ABC ，点P 在棱1AA 上，且PD 平面1B CD ，求直线CP 与平面1B CD 所成角的正弦值．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：（1）求样本质量差的平均数x ；假设零件的质量差 2~,X N，其中216，用x 作为 的近似值，求 5668P X 的值；（2）0.9973．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1x y a b（0a b ）的焦距为 0,1P 在椭圆 上，动直线l 与椭圆 相交于不同的两点A 、B ，且直线PA 、PB 的斜率之积为1．（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线PA 的法向量为 1,2n，求直线l 的方程；（3）是否存在直线l ，使得PAB 为直角三角形？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数 y f x 满足：对任意12,x x R ，120x x ，都有12120f x f x x x ，则称函数 y f x 具有性质P ．（1）设 e xf x ， 3g x x x ，分别判断 y f x 与 y g x 是否具有性质P ？并说明理由；（2）设 sin 2f x x a x 若函数 y f x 具有性质P ，求实数a 的取值范围；（3）已知函数 y f x 具有性质P ，且图像是一条连续曲线，若 y f x 在R 上是严格增函数，求证： y f x 是奇函数．上海市虹口区2024届高三二模数学试卷-简答（第18题图1）A 11参考答案和评分标准2024年4月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．7252．36π3.64．,225．126.1447.8．39.112.1,1e二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.D15.C16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：(1)设等差数列 n a 的公差为d ，则由条件，得11158725a d a d a d ， (3)分解得13a ，2d ，故 1121n a a n d n ．……6分（2）由（1）可得123n a n ，则22(23)(21)8(1).n b n n n ……8分所以18,n n b b 故数列 n b 是以116b 为首项、8为公差的等差数列，故168(1)4(3).2m m m T m m……11分因为432m T ，所以23108m m ，所以 1290m m ，所以9m 或12m ．因为m 为正整数，所以m 的最小值是10．……14分18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：（1）连接B 1C 与CB 1底相交于点E ，因四边形11BCC B 为平行四边形，所以点E 是B 1C 的中点.……2分又因D 为AB 的中点，故DE 为1BAC 的中位线，从而1.AC DE ∥……4分故由111B CD DE B D A C C 平面,平面，得（第18题图2）1AC ∥平面1B CD .……6分解：(2)由条件知1,,CA CB CC 两两垂直，故以点C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系;则相关点的坐标为：1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(2,0,3),C A B D A 11(0,2,3),(0,0,3).B C ……8分设点(2,0,t),P 的坐标为则1(1,1,t),(1,1,3),DP DB从而由1(1,1,t)(1,1,3)3t 20,DP DB 得2t .3所以点22(2,0,),(2,0,).33P CP 的坐标为故……10分设平面1B CD 的一个法向量为(,,),n x y z则1(,,)(1,1,0)0,(,,)(0,2,3)230,n CD x y z x y n CB x y z y z即,2,3x y z y取3,y 得(3,3,2).n (12)分设直线CP 与平面1B CD 所成的角为,则222(2,0,)(3,3,2)3sin cos ,2(2,0,)(3,3,2)3CP n (14)分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）由条件得：样本平均数为54557216046632566360100x (2)分由22,,60,16,X N x 得：(5668)(6046024)P X P X ……4分()(22)P X P X0.68270.95450.8186.……6分解：（1）由条件知1,b c (2)分所以2224,a b c 于是椭圆 的方程为22 1.4x y ………4分（2）由条件知：直线PA 的斜率为12，方程为11,2y x 则由2211,214y x x y得，220,x x 所以 2.A x 从而(2,0).A ………6分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为21,y x 同理可得1615(,).1717B所以直线l 的斜率为150()5171662()17A Bk，………8分从而直线l 的方程为50(2),6y x 即55(56100).63y x x y或……10分（3）假设存在满足条件的直线l ，并设直线PA 的方程为1(0),y mx m 则由221,14y mx x y 得22(41)80,m x mx 所以2841A mx m．………12分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为11,y x m同理可得22188144()1B m mx m m故直线l 的斜率为11(1)(1)A B A B A B A BA B A Bmx x mx x y y m m k x x x x x x222222222222224228181(()41(4)41441488(41)(4)()()4144141111(153(1)33m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m分当PAB 为直角三角形时，只有可能90,90,PAB PBA 或于是1,.k k m m或若1k m，由111(),3m m m可得m k 从而若k m ，由11(3m m m可得22m k 也有因此，直线l的斜率为2………18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）()y f x 不具有性质P .理由：取122,1x x ，有21212()()e e01f x f x x x (2)分()y g x 具有性质P .理由：对任意12,x x R ，120x x ，有23322212112211221221212()()1311024f x f x x x x x x x x x x x x x x x x. (4)分（2）函数()y f x 具有性质P ，故对12,x x R ，120x x ，都有1212()()0f x f x x x ，而()y f x 是奇函数，故1212()()0f x f x x x ，即()y f x 是严格增函数， '12cos 20f x a x恒成立. (7)分若0a ，则 min '120f x a ，解得102a ；若0a ，则 '10f x 恒成立；若0a ，则 min '120f x a ，解得102a.综合上述，实数a 的取值范围为11,.22……10分证明：（3）因函数()y f x 的定义域为R ,要证明()y f x 是奇函数，只要证明：对任意实数0,x 000f x f x 即可.对任意实数0,x 设 0,f x c 则由()y f x 具有性质P 知：当00x x 时，000.f x f x x x ① (12)分设 0(),h x f x f x f x c 当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ② (14)分当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ③于是由曲线()y h x 的连续性，函数()y h x 在R 上存在零点,x 即0()()()0.h x f x f x ④……16分由函数()y f x 在R 上严格增，知：函数()y h x 在R 上严格增；所以由②知0,x x 由③知0;x x 故0.x x 故由④得：000()()()0,h x f x f x 即对任意对任意实数0,x 均有000f x f x ；因此，函数()y f x 是奇函数.……18分另证：（3）由()y f x 具有性质P ，知：当0x 时 00f x f ，当0x 时00f x f ，由零点存在定理知 000f f ，即 00f .……12分下面用反证法证明()y f x 是奇函数.假设存在0x 使得 000f x f x ，不妨设00x ，则由()y f x 在R 上严格增，知000f x f f x .若 000f x f x ，则构造函数00()2f x f x F x f x，000000(0)00222f x f x f f x f f x F f，000000()022f x f x f x f x F x f x，由零点存在定理知，存在0(),t x 0,使得()0F t ,……14分即000()2f x f x f t f x；而()y f x 在R 上严格增，同样由单调性知00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，从而有00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，与()y f x 具有性质P 矛盾.……16分若 000f x f x ，构造函数00()2f x f x G x f x，同理也可推出与()y f x 具有性质P 矛盾.综合上述，存在0x 使得 000f x f x 的假设不能成立，即对任意R x 都有0f x f x ，故()y f x 是奇函数.……18分。
新疆乌鲁木齐市2025届高考数学二模试卷含解析
新疆乌鲁木齐市2025届高考数学二模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 2．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）A ．10110B ．9110C ．11111D ．122113．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]4．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．45．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625-B ．627-C ．63-D ．962-7．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．22D ．68．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．229．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=10．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<11．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市2024届高三下学期二模数学试卷含答案
2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()UB A ⋂=ð（）A.{}12x x ≤≤ B.{}12x x <≤ C.{}2x x > D.{}12x x ≤<【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到A ，进而根据补集和交集求出答案.【详解】{}{2202A x x x x x =-->=>或}1x <-，{}12U A x x =-≤≤ð，故(){}{}{}12112U A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂≥=≤≤ð.故选：A 2.已知i2i z z-=+，则z =（）A.12B.2C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算和模长计算求出即可.【详解】i i i12i =1iz z z z -=-=+⇒--，所以()()()i 1i i 111i 1i 1i 222z ----===--+-，所以2z ==，故选：B.3.设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（）A.,,a b a b αβ∥∥∥B.,,a b a b αβ⊥⊥⊥C.,,a b a b αβ⊥⊥∥D.,,a b a αβ∥∥与b 相交【答案】C 【解析】【分析】通过举反例可判定ABD ，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.【详解】选项A ：当满足,,a b a b αβ∥∥∥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故A 错误；选项B ：当满足,,a b a b αβ⊥⊥⊥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故B 错误；选项C ：因为,a a b b αα⊥⇒⊥∥，又b β⊥，所以αβ∥，故,,a b a b αβ⊥⊥∥是αβ∥的一个充分条件，故C 正确；当满足,,a b a αβ∥∥与b 相交时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故D 错误；故选：C.4.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（）A.164B.332 C.532D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4比2获胜的概率为33251115C ()()22232⋅⋅⨯=．故选：C ．5.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（）A.125125122T T -+= B.125125122T T +=C.22125125122log log T T -+= D.22125125122log log T T +=【答案】B 【解析】【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：15121()2T ，乙的质量为：25121()2T ，由题意可得21151251251221111()()()2422T T T +=⋅=，所以125125122T T +=．故选：B ．6.已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A.(]),4-∞-+∞B.[]1,1-C.(-D.⎡-⎣【答案】D 【解析】【分析】作出函数的图象，由题意可得()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，从而得1(1)1f a -≤-≤，结合图象可得115a ≤-≤，求解即可．【详解】因为222,12,1()2,131|3,14,3x x x x x x f x x x x x x x ⎧-≤⎧-≤⎪⎪==-<<⎨⎨--⎪⎩⎪-+≥⎩，作出函数的图象，如图所示：由此可知函数()y f x =在(,1)-∞和(3,)+∞上单调递减，在(1,3)上单调递增，且()1f 1=-，()3f 1=，又因为关于x 的方程()(1)0f x f a --=至少有两个不同的实数根，所以()(1)f x f a =-至少有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，所以1(1)1f a -≤-≤，又因为当1x ≤时，2()2f x x x =-，令221x x -=，可得1x =-；当3x ≥时，()4f x x =-，令41x -=-，解得5x =，又因为1(1)1f a -≤-≤，所以115a -≤-≤，解得4a -≤≤．故选:D ．7.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC 面积的最大值为（）A.1B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C 的大小，再由余弦定理及基本不等式可得ab 的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．【详解】因为1111tan tan tan tan A B A B++=，可得tan tan 1tan tan A B A B ++=，即sin sin sin sin 1cos cos cos cos A B A BA B A B++=，整理可得sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B A B ++=，即sin()cos()A B A B +=-+，在三角形中sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，即sin cos C C =，()0,πC ∈,可得π4C =；由余弦定理可得222π2cos 24c b a ab ab =+-≥，当且仅当a b =时取等号，而2c =，所以2(2ab ≤=+，所以11sin 2(21222ABC S ab C =≤⨯+⨯= ．即该三角形的面积的最大值为1．故选：A ．8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y 轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A.12B.1C.1+D.2+【答案】D 【解析】【分析】设000(,)(0)P x y x <，根据题设条件得到02c x =-，22074c y =，再利用00(,)P x y 在椭圆上，得到42241240c a c a -+=，即可求出结果.【详解】如图，设000(,)(0)P x y x <，12(,0),(,0)F c F c -，则直线2PF 的方程为00()y y x c x c=--，令0x =，得到00cy y x c -=-，所以0(0,)cy E x c--，0200000(,),(,)cy PF c x y PE x y x c-=--=--- ，因为23PF PE = ，所以003c x x -=-，得到02cx =-，故0(,)2c P y -，又3PO GO = ，所以0(,)63y c G -，得到02107(,))263cG y c F PF y ==--- ，又210GF PF ⋅= ，所以22070123y c -+=，得到22074c y =①，又因为0(,)2c P y -在双曲线上，所以2202241c y a b -=②，又222b c a =-③，由①②③得到42241240c a c a -+=，所以421240e e -+=，解得26e =+或26e =-，又1e >，所以226(2e =+=+，得到2e =+，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A.两圆的圆心距OC 的最小值为1B.若圆O 与圆C 相切，则a =±C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D.若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A ，因为两圆的圆心距1d OC ==≥，所以A 项正确；对于B ，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1=，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±．综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±，故B 项不正确；对于C ，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，||(,)d OC R r R r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<0a ≠，故C 项不正确；对于D ，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD ．10.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A.11n nS S qS +=+B.对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C.对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D.若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<<【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：分1q =，1q ≠两种情况计算可判断A ；对于B ：1q =-可说明不成立判断B ；，分1q =，1q ≠两种情况计算可判断C ；根据2121211(1)n n n S S a q q -+--=+，若21{}n S -是递增数列，可求q 判断D.【详解】对于A ：当1q =时，11(1)n S n a +=+，1111(1)n S qS a na n a +=+=+，故成立，当1q ≠时，1111)1n n a q S q ++-=-（，11111(1)(1)11n n n a q a q S qS a q q q+--+=+⨯=--，所以11+=+n n S a qS 成立，故A 正确；对于B ：当1q =-时，20S =，所以232,,n n n n n S S S S S --不成等比数列，故B 错误；对于C ：当1q =时，12131,24,39n n n S na S na S na ===，故23,2,3n n n S S S 不成等差数列，当1q ≠时，若存在q ，使23,2,3n n n S S S 成等差数列，则23223n n n S S S ⨯=+，则23111(1)(1)(1)43111n n n a q a q a q q q q---⨯=+⨯---，整理得24(1)13(1)n n n q q q +=+++，所以230n n q q -=，所以13nq =，所以对任意*N n ∈，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列，故C 正确；对于D ：2121212211(1)n n n n n S S a a a q q -+-+-=+=+，若21{}n S -是递增数列，则可得211(1)0n a q q-+>，因为10a <，所以21(1)0n q q -+<，可解得10q -<<，所以若10a <，则数列21{}n S -递增的充要条件是10q -<<，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（）A.函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数C.当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点D.设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC ，利用裂项相消及累加求和判断D.【详解】易知7πππ1sinsin 123422224⎛⎫=+=+⋅= ⎪⎝⎭，同理π7πsincos 12124==，()ππsin sin sin66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭211sin cos 222x x -=+-7π1sin 2122x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭对A,π7π13π19π,π,,,2121212x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x 先减后增，故A 错误；对B,5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 2x =-为奇函数，故B 正确；对C,ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,7ππ13π,,121212t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦则sin t 在ππ,122⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π13π,212⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即()f x 在ππ,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，又π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭)12144-->-，ππ111sin 2412244244f -⎛⎫-=-==-- ⎪⎝⎭，故函数()41y f x =+恰有两个零点，故C 正确；对D ,易知π6n n a =，令()πsin sin 6g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()12f x g x =-，()1ππsinsin 36g a =-，()2ππsin sin 23g a =-,……………………..()20242024ππ2023ππsin sin 6666g a ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()120242024ππππ13sin sin sin 337π666222i i g a =⎛⎫⎛⎫∑=+-=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()112024202412027202422i i i i f a g a ==∑==∑-⨯=-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判断D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________．【答案】15【解析】【分析】利用6x ⎛- ⎝的通项公式36216(1)C (06,N)r r r r T x r r -+=-≤≤∈，即可求出结果.【详解】因为6x ⎛- ⎝的展开式的通项公为3662166C ((1)C (06,N)rr r r r rr T x x r r --+==-≤≤∈，由3632r -=，得到2r =，所以3x 的系数为226(1)C 15-=，故答案为：15.13.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM =，则AM = _________．【答案】【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与x 轴交于点E ，根据圆的性质及抛物线的定义可得ABF △为等边三角形，即可求出BF ，再在AFM △中利用余弦定理计算可得.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，准线l ：=1x -，设准线与x 轴交于点E ，则()1,0E -，依题意B 、D 均在y 轴的左侧，又AB FM =，所以M 也在y 轴的左侧且B 点在x 轴上方，又AD 为圆F 的直径，所以π2ABD ∠=，即AB BD ⊥，由抛物线的定义可知AB AF =，又BF AF =，所以ABF △为等边三角形，所以π3BAF AFB ∠=∠=，则π3BFM AFN ∠=∠=，所以4cos EF BF BFM==∠，所以4BF AF MF ===，2π3AFM ∠=，在AFM △中AM ===故答案为：14.已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则+++_________．【答案】+【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将所求转化为距离和的最小值，利用几何关系求得最值.【详解】如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,P x y z 为空间任意一点，因为20y z +-=，则P 在平面11ABC D 所在的平面内运动，表示P 与点()10,0,0A 和点()12,0,0B 的距离之和，因为1A 关于平面11ABC D 的对称点为D ，故111PA PB DB +≥=，当且仅当P 为1DB 中点即P 为正方体中心时等号成立；表示P 与点()1,0,2M 和点()1,2,0N 的距离之和，则PM PN MN +≥=，当且仅当P 在MN 所在直线上时等号成立，++的最小值为+，当且仅当P 为正方体中心时等号成立故答案为：+【点睛】关键点点睛：本题考查空间中距离最值问题，关键是利用空间坐标系将所求转化为距离和，并注意等号成立条件.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）12（2）11．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD 的距离为2，进而由锥体体积公式求出答案；（2）证明出BO AD ⊥，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【小问1详解】如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 的距离为2，12π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=△所以三棱锥M ABC -的体积为131322=．【小问2详解】连接,BO BD ，因为π3BAD ∠=，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,0,,2,P A B C -，所以(()1,,,2,,,,2,0,02222M AM PB BC ⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x =-=⎪⎩，解得0x =，取1z =，则1y =，所以()0,1,1n =．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,11AM n AM n AM nθ⋅===⋅．即AM 与平面PBC 所成角的正弦值为11．16.已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22143x y+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意得b =，将点3(1,)2代入椭圆的方程可求得2a 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设:1l x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线l 和椭圆的方程，可得122634ty y t +=-+，122934y y t =-+，直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得116(4,)2y M x +，同理226(4,2y N x +，由斜率公式计算即可．【小问1详解】因为2b =，所以b =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22213x y a +=得21314a +=，解得24a =，故椭圆C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可设()()1122:1,,,,l x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，易知0∆>恒成立，所以12122269,3434t y y y y t t +=-=-++，又因为()2,0A -，所以直线PA 的方程为()1122y y x x =++，令4x =，则1162=+y y x ，故1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而()()111212126266,413333y x y y k k ty ty +===-++，故()()()212121222212121222363643419189333993434y y y y t k k t t ty ty t y y t y y t t -+====-+++++--+++为定值．17.树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．（1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()18,19P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】（1）证明见解析；（2）平均数为96分，标准差为18分；（3）将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．【解析】【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解；（2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解；（3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解.【小问1详解】()()222111n mi i i i s x z y z m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()22111n mi i i i x x x z y y y z m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()()()2222111()2()()2()n mi i i i i i x x x z x x x z y y y z y y y z m n ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦+⎩⎭∑∑()()()123112(2(2()0nni i n i i x x x z x z x x x z x x x x nx ==--=--=-++++-=⎡⎤⎣⎦∑∑ ，同理()12()0nii yy y z =--=⎡⎤⎣⎦∑．所以{}222221()(x y s n s x z m s y z m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+.【小问2详解】将该班参加考试学生成绩的平均数记为z ，方差记为2s ，则()13010020909650z =⨯+⨯=，所以{}222130256(10096)20361(9096)32250s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦18≈，所以18s ≈．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．【小问3详解】由（2）知96,18μσ==，所以全年级学生的考试成绩X 服从正态分布()296,18N ，所以()()961896180.68,960.5P X P X -≤≤+≈≥=．()(7896)(96114)0.34,114(78)0.16P X P X P X P X ≤<=≤<≈≥=<≈．故可将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．18.已知曲线():e e xxC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．【答案】（1）e e y x =-+；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，得到()()10,1e f f '==-，利用导数的几何意义写出切线方程；（2）令()e e e e xxg x x x =-+-+，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，得到证明；（3）求导得到()f x 的单调性，结合函数图象得到01t <<，不妨令120,01x x <<<，结合曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，得到231etx x <=-+，转化为证明122x t <-，又111e e x x t x =-，只要证11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案.【小问1详解】因为()e e xxf x x =-，所以()()()10,e ,1e xf f x x f =-''==-，所以直线l 的方程为：()e 1y x =--，即e ey x =-+【小问2详解】令()e e e e xxg x x x =-+-+，则()e e e e e e xxxxg x x x =--++=-+'，令()()h x g x ='，则()()1e xh x x +'=，由()0h x '>，解得1x >-，由()0h x '<，解得1x <-，所以()h x 在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，当x →-∞时，()()e,10h x h →-=，所以()g x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，所以除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．【小问3详解】由()e 0xf x x '=->，解得()0,e 0xx f x x <=-<'，解得0x >，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()max ()01,10f x f f ===，当x →-∞时，()0f x →．因为()()1212,f x f x t x x ==≠，则01t <<，不妨令120,01x x <<<．因为曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，设点()3,x t 在切线上，有()3e 1t x =--，故31etx =-+，由（1）知()0,1x ∈时，()()x f x ϕ>，则()()()223x f x t x ϕϕ>==，即231etx x <=-+，要证：1221etx x t +<--，只要证：121121e et tx x x t +<+-<--，只要证：122x t <-，又111e e xxt x =-，只要证：11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，则()2e 1xF x x '=--，易证()F x '在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()2110eF x F ≤-=-'<'，所以()F x 在(),0∞-上单调递减，所以()()00F x F >=成立，所以原命题成立．【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到31e t x =-+，且231etx x <=-+，从而只需证明122x t <-，再勾股函数进行求解.19.在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．【答案】（1）23；（2）4；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据所给定义直接计算即可；（2）依题意可得1max ,112xy x y⎧⎫⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩⎭，再分类讨论，从而确定“t -圆”的图形，即可求出其面积；（3）首先利用导数说明函数()()01tf t t t=≥+的单调性，结合绝对值三角不等式证明即可.【小问1详解】由定义知，1224122||max ,max ,112124233t PQ ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎬+-+-⎩⎭⎪⎪⎩⎭；【小问2详解】设(),P x y 是以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆上任一点，则1max ,112xy x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭．第21页/共21页若1112y x yx ≤=++，则11x y ⎧=⎪⎨≤⎪⎩；若1112xy x y ≤=++，则有11y x ⎧=⎪⎨≤⎪⎩．由此可知，以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的图形如下所示：则“t -圆”的面积为224⨯=.【小问3详解】考虑函数()()01t f t t t =≥+．因为()210(1)f t t ='>+，所以()f t 在[)0,∞+上单调递增．又131223x x x x x x -≤-+-，于是1312231223131223122312231111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+---≤=++-+-+-+-+-+-+-1223122311x x x x x x x x --≤++-+-，同理，131223131223111y y y y y y y y y y y y ---≤++-+-+-．不妨设1313131311y y x x y y x x --≤+-+-，则13122313131223111t x x x x x x PP x x x x x x ---=≤++-+-+-1212232312122323max ,max ,1111x x y y x x y y x x y y x x y y ⎧⎫⎧⎫----⎪⎪⎪⎪≤+⎨⎬⎨⎬+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1223t t PP P P =+.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“t -距离”的定义，再结合不等式及导数的知识解答.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三二模数学试卷
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．设集合{}1,3,5,7A =，47{|}B x x =≤≤，则A B ⋂=__________．
2．已知复数z 满足1i i z ⋅=+（i 为虚数单位），则Imz =__________．
3．若直线10ax by ++=的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为__________．
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =__________．
5．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为__________．
6．在81)x
-的二项展开式中，常数项的值为__________． 7．若x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，则3x y +的最大值为__________．
8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为__________．（结果用最简分数表示）
9．已知直线1:l y x =，斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，…，这样依次得线段01B A 、11A B 、21B A 、22A B 、…、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=__________．
10．已知()2f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有
12120()()x x f x f x -<-，则不等式()131(12)x f f +-+<的解集为__________．
11．已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为__________．
12．已知函数()sin cos 4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零
点，则实数k 的所有取值之和为__________．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
14．某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300
个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015
k ==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ）
A ．45
B ．46
C ．47
D ．48 15．已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M ．N 两点，交y 轴于点
E ，若
1EM MF λ=u u u u r u u u u r ，2EN NF λ=u u u r u u u r ，则12λλ+==（ ）
A ．2-
B ．12-
C ．1
D ．1- 16．关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对
应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．{}5
B ．{}1-
C ．()0,1
D ．(){}0,11-U
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，1AA =，M 是侧棱1
C C 上一点，设MC h =．
（1）若h =111ABM A B C -的体积；
（2）若异面直线BM 与11AC 所成的角为60︒，求h 的值．
18．已知函2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=+>．
（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值;
（2）当1ω=时，设ABC V 的内角A ．B ．C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32
A
f =，且a =，6b =，求ABC V 的面积．
19．如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储
备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米()0100x <<，A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为()0.5100x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．
（1）求函数()f x 的解析式;
（2）若规划仓库使用的年限为*
()n n ∈N ，()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义．
20．在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆2
2:12
x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．
（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值;
（2）若3b =，且32
PD PC =u u u r u u u r ，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为
13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知数列{}n x ，若对任意*
n ∈N ，都有212n n n x x x +++>成立，则称数列{}n x 为“差增数列”． （1）试判断数列2*()n a n n =∈N 是否为“差增数列”，并说明理由；
（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*
n a ∈N ，121a a ==，对于给定的正整数m ，当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；
（3）若数列{}lg n x 为“差增数列”，*
2),00(2n n ≤∈N ，且122020lg lg lg 0x x x +++=L ，证明:10101011 1x x <．
参考答案
一、填空题
1．{}5,7 2．1- 3．4
π 4．6 5．50π 6．28 7．5 8．128 9．1a q - 10．(1,)+∞
11．1,24
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12．1（122+之和） 二、选择题
13．B 14．C 15．D 16．D
三、解答题
17．（1）3
；（2）2
18．（1）3())32f x x πω=++，12
ω=；
（2）3A π
=，2c =或4，面积为
19．（1）当050x <≤，100000()f x x
=； 当50100x <<，100000()100f x x =
-；
（2）50n +
20．（1）2
π （2）:1AD y x =-+，:21BC y x =-，23Q x =
； （3）)(0,3P
21．（1）是；
（2）*,17{2|}190m m m ∈≤≤N ；
（3）略．。