平面向量及空间向量高考数学专题训练
高考数学总复习---平面向量知识与空间向量的应用
A、重心 外心 垂心
B、重心 外心 内心
10、在△OAB 中, OA =
a
a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( a
b b
) ，t∈R，则点
P 在(
)
A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上
B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上
a (1,0) m(0,1), m R Q b b (1,1) n(1,1), n R 是两个向量集
合，则 P Q = A． ｛〔1，1〕 ｝
B. ｛〔-1，1〕 ｝
C. ｛〔1，0〕 ｝
D. ｛〔0，1〕 ｝
9、已知 O、N、P 在 ABC 所在平面内，且满足| OA |＝| OB |＝| OC |， NA + NB + NC = 0 ，且
PA PB PB PC PC PA ，则点
O，N，P 依次是 ABC 的 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
平面向量与空间向量 专题强化练习
一、高考真题展示
1、设
a (4,3) ， a
在 b 上的投影为 5
2 B． 2, 7
2 2
， b 在 x 轴上的投影为 2，且 D． 2,8
b 14 ，则 b
为（
）
A． 2,14 2、设
2 C． 2, 7
a 1 e1 2 e2
。
a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y 2 ) ,则 a // b a b ( b 0 ) 或者
《空间向量》专题训练
高考链接一、单选题1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2)，平面α的法向量为n =(-2,0,-4)，则().A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂αD.l 与α斜交2.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是().C.æèçøD.èø3.在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的正切值为().A. B.23 C.D.4.如图1所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ,N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为().A. B.C. D.5.如图2，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD =AA 1=1，AB=3，E 为线段AB 上一点，且AE =13AB ，则DC 1与平面D 1EC所成角的正弦值为().B.C. D.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 是棱AB 上的点，且AE =14AB ，记直线OE 与直线BC 所成角为α，直线OE 与平面ABCD 所成角为β，二面角O -AB -C 的平面角为γ，则().A.α<β<γB.β<α<γC.β<γ<α D.γ<β<α7.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为().A.12 B.23 C.D.8.如图3，矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 为CD 的中点，ΔADE 沿着AE 向上翻折，使点D 到D ′.若D ′在平面ABCD 上的投影H 落在梯形ABCE 内部（不含边界），设二面角D ′-BC -E 的大小为α，直线D ′C ，D ′B 与平面ABC 所成角分别为β，γ，则().图3A.α<β<γB.β<α<γC.β<γ<αD.γ<β<α9.如图4，正四棱锥P -ABCD ，E 为线段BC 上的一个动点，记二面角P -CD -B 为α，PE 与平面ABCD 所成的角为β，PE 与CD 所成的角为γ，则（）.A.α≤β≤γB.γ≤α≤βC.β≤α≤γD.γ≤β≤α10.已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则().A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ111.设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）.记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则().A.β<γ，α<γB.β<α，β<γC.β<α，γ<αD.α<β，γ<β12.在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E ,F 分别是边AB ,CD 的中点，现将△ABC 沿着对角线AC 翻折，则直线EF 与平面ACD 所成角的正切值最大值为().A.2B.C.D.二、多选题13.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果 AB =(2,-1,-4)， AD =(4,2,0)，AP =(-1,2,-1).下列结论正确的有().A.AP ⊥ABB.AP ⊥ADC.AP 是平面ABCD 的一个法向量 AP ∥ BD宋思清图1图2图456D.三棱锥6______.图7图8图10为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆AD.△ABC是底面的内接上一点，PO=6DO．图1326.如图14，在三棱柱平面ABC ，E （1）求证：EF ∥（2）求证：平面AB 参考答案与解析一、单选题1-12BCCCA 二、多选题13.ABC;14.ABD;三、填空题17.13;18.3,m =(-1,-1,1),θ,13.由得PO =PC =.⊥PB ..y 轴正方向，O -xyz (0,-1,0),C 12,0),.0，=0，PCB 的一个法向.为等腰直角三角形，∴BD ⊥AC ，PBD ，PBD ，∴PB ⊥AC h ，==，⊥平面ABC ，。
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高考数学《向量》专题复习(专题训练)
高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是±.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
高三数学空间向量试题答案及解析
高三数学空间向量试题答案及解析1.如图，长方体中，分别为中点，（1）求证：．（2）求二面角的正切值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由长方体及E、F分别为AB、C1D1的中点知，AE平行且等于C1F，所以AEC1F是平行四边形，所以C1E∥AF，由线面平行的判定定理知，C1E∥面ACF；（2）易证FG⊥面ABCD，过F作FH⊥AC于H，连结HG，因为FG⊥面ABCD，则FG⊥AC，所以∠FHG为二面角F—AC—G的平面角，然后通过解三角形，求出FG、GH的长，即可求出∠FHG的正切值，即为二面角F-AC-G的正切值.试题解析：(1)证明：在长方体中，分别为中点，且四边形是平行四边形3分，5分(2)．长方体中，分别为中点，7分过做于，又就是二面角的平面角 9分，在中， 11分直角三角形中 13分二面角的正切值为 14分考点:线面平行的判定定理；二面角的计算；逻辑推理能力2.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．∵cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，∴n1·＝0，n 1·＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ.由cosθ＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1【答案】C【解析】如图，＝＋＝＋＝＋ (＋)．4.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【答案】（1）（2）－（3）（4）【解析】解：设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，(1)·＝(c－a)·(－a)＝a2－a·c＝；(2)·＝ (c－a)·(b－c)＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋ c.||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.即||＝，所以EG的长为.(4)设、的夹角为θ.＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cosθ＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【答案】D【解析】设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.【考点】空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题.6.如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】(1);（2）证明见解析.【解析】（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，， 10分，.又，平面. 12分【考点】（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.7.（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（2）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（3）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F.（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，所以△ECB是等边，,（2）建立空间坐标系如图，取向观点的坐标为, 向量设平面PBC的法向量平面PDC的法向量则【考点】本题主要考查空间垂直关系的证明、平行关系的运用，考查空间角的求解方法，考查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练
专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
专题训练41 空间向量的应用 - 2022届高考数学一轮复习 (新高考)
专题41 空间向量的应用一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，且13A M AN a ==，则MN 与平面11BBC C 的位置关系是（ ）．A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2．如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，平面ABC 的法向量为()2,1,2n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A ．43B C ．23 D ．23-3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB PA =，则平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角的余弦值为（ ）A ．13B 2C D 4．若正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1到平面ACD 1的距离为（ ）A ．1 BC D 5．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC ﹣A1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，若AB AA 1＝2，当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（ ）A B C ．13D 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）．A ．⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB CD O =，且AB CD ⊥，3SO OB ==，14SE SB =，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．2B C ．1316D 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1A C 所成的角的余弦值为（ ）A ．10B C D二、多选题（本大题共4小题，每小题有多个各选项符合题意） 9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若0a b ⋅<，则,a b <>是钝角B ．若a 为直线l 的方向向量，则λ()a R λ∈也是直线l 的方向向量C ．若1233AD AC AB =+，则可知2CD DB = D ．在四面体P ABC -中，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=10．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB =，BC =4AC =，A 到平面PBC 的距离为）A ．4PA =B ．三棱锥P ABC -的外接球的表面积为32πC ．直线AB 与直线PCD ．AB 与平面PBC 11．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，则下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥11B BED F -的体积为20B ．存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值C ．当点E 为1CC 的中点时，在直线AD 上存在点G ，使得CG =D ．存在唯一一点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且3CE =12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．当112AC A P =时，1B ，P ，D 三点共线 B ．当1AP AC ⊥时，1APD P ⊥C ．当113AC AP =时，1//D P 平面1BDC D ．当115AC AP =时，1A C ⊥平面1D AP 三、填空题（本大题共4小题）13．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD AB ，G 为ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成角的正弦值为__________．14．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==,E F 分别是,BC 11A C 的中点．设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF BD 的长为_______．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB DC ，2DCPD AB AD ===，Q 为PC 的中点，则直线PC 与平面BDQ 所成角的正弦值为__________．16．如图，在长方体中，12AD AA ==，3AB =，若E 为AB 中点，则点1B 到平面1D EC 的距离为________.四、解答题（本大题共6小题，答题过程应包括必要的公式、过程和文字说明）17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2的菱形，AB =160CBB ∠=︒，且1ABB ABC ∠=∠.（∠）证明：1AB CB ⊥；（∠）若二面角1A CB B --的平面角为60︒，求1CA 与平面1ACB 所成角的正弦值.18．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值.19．如图∠，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BAD π∠=，1AB BC ==，2AD =的E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到1A BE 的位置，如图∠．（1）证明：CD ⊥平面1A OC ；（2）若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值．20．如图，四边形ABCD 是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ∠平面ABCD ；（1）求证：AF∠平面BEG；，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值.（2）若AF FG参考答案1．B【解析】设1A A a =，11A B b =，11A D c =，由题意知：1A B AC =，又1A M AN ==， ()111133A M A B a b ∴==+，()1133AN AC b c ==+， 则()()1111213333MN A A AN A M a b c a b a c =+-=++-+=+， ∴MN 与1A A ，11A D 共面，//MN ∴平面11AA D D ，又平面11//AA D D 平面11BB C C ，//MN ∴平面11BB C C ．故选：B. 2．C【解析】分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C. 3．B【解析】解：设1AP AB ==，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0P ，0，1)，(0D ，1，0)，(1C ，1，0)， (1PC =，1，1)-，(0PD =，1，1)-，设平面PCD 的法向量(m x =，y ，)z ，则·0·0m PC x y z m PD y z ⎧=+-=⎨=-=⎩，取1y =，得(0m =，1，1)，平面ABP 的法向量(0n =，1，0)，设平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为θ，则||1cos ||||21m n m n θ==⨯ 故选：B ．4．B【解析】因为11//,AC AC AC ⊂平面111,ACD AC ⊄平面1ACD ，所以A 1C 1//平面ACD 1， 则点A 1到平面ACD 1的距离即为直线A 1C 1到平面ACD 1的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系，易知1AA →＝(0,0,1)， 由题得111,,,AC BD AC BB BDBB B BD BB ⊥⊥=⊂,平面1BDB ,所以AC ⊥平面1BDB ,所以1AC DB ⊥,同理1AD ⊥ 1DB , 因为11,,ACAD A AC AD =⊂平面1ACD ，所以1DB ⊥平面1ACD ，所以1DB →是平面1ACD 的一个法向量， 所以平面ACD 1的一个法向量为1DB →＝(1,1,1)，故所求的距离为1||||AA n n →→→⋅=故选：B5．A【解析】解：在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，ABAA 1＝2，当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，AC ＝BC ＝1，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1（0，1，2），C （0，0，0），A （1，0，0），B （0，1，0），11(0,1,2),(1,1,0),(0,0,2)BC BA BB =--=-= 设平面ABB 1A 1的法向量(,,)n x y z =， 则1020n BA x y n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取x ＝1，得(1,1,0)n =，设直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为θ，则11sin 5B Cn B C nθ⋅=== 所以cos θ=∠直线B 1C 与平面ABB 1A 1 故选：A ．6．A【解析】如图，设正方体棱长为1，()11101A PAC λλ=≤≤，则111A P AC λ=，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则()()111,0,0,0,1,0,,,022A C O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()111,1,0AC AC ==-，()1,,0A P λλ=-，又()11,0,1A ，则()1,,1P λλ-，所以11,,122OP λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 在正方体1111ABCD A B C D -中，可知体对角线1B D ⊥平面11A BC ，所以()11,1,1DB =是平面11A BC 的一个法向量，所以1sin cos ,OP DB θ===所以当12λ=时，sin θ0λ=或1时，sin θ． 所以sin θ∈⎣⎦. 故选：A ． 7．D【解析】由题意以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图， (0,3,0)A -，(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，(0,0,3)S ，又14SE SB =， 1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444OE OS SE OS SB =+=+=+-=． (3,0,3)SC =--，则274cos ,3OE SCOE SC OE SC -⋅<>===设异面直线SC 与OE 所成角为θ，则3cos cos ,10OE SC θ=<>=θ为锐角，sin θ=sin tan cos θαθ== 故选：D ．8．A【解析】如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()13,0,3A ，()0,4,0B ，()10,0,3C ，所以()13,0,3CA =，()10,4,3BC =-，所以111111cos ,3CA BCCA BC CA BC ⋅===⋅ 所以直线1BC 与1A C 所成角的余弦值为10． 故选：A.9．CD 【解析】对于A ，当a b =时，若0a b ⋅<，但a b π=，，不是钝角，所以A 错； 对于B ，当0λ=时，0a λ=，不是直线l 的方向向量，所以B 错；对于C ，12 3233AD AC AB AD AC AB =+⇒=+ ∠() 222ADAC AD AB CA AD DA AB -=-+⇒+=+∠ 2CD DB =，所以C 对；对于D ，如图，过P 作PO ⊥平面ABD 交平面于O 点，连CO 交AB 于M ，连AO 交BC 于N ，连BO 交AC 于T ，0PC BC PC BC AN BC ⋅=⇒⊥⇒⊥，同理CM AB O ⊥⇒为ABC 垂心，所以BT AC PB AC ⊥⇒⊥，从而 0PB AC ⋅=，所以D 对；故选：CD.10．ABD【解析】因为2AB =，BC =4AC =，所以222AB BC AC +=，即AB BC ⊥，又因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，设AP a =，根据等体积法P ABC A PBC V V --=，即111123232a ⨯⨯⨯=⨯⨯， 解得4a =，所以4AP a ==，故A 选项正确；所以三棱锥P ABC -的外接球的半径与以,,BC BA AP 为邻边的长方体的外接球的半径相等， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为32π，故B 选项正确；过点B 作PA 的平行线BD ，则BD ⊥平面ABC ，所以以点B 为坐标原点，,,BC BA BD 所在边分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B，()C ，()0,2,0A ，()0,2,4P ，所以()()0,2,0,2,4AB PC →→=-=--，所以cos ,AB PCAB PC AB PC →→→→→→⋅== 所以直线AB 与直线PC，故C 选项错误；因为()BC →=，()0,2,4BP →=，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z →=，则=0=0m BP m BC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即02x y z =⎧⎨=-⎩，令1z =，所以()0,2,1m →=-，由于()0,2,0AB →=- 故设AB 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,AB mm AB m AB θ→→→→→→⋅==== 所以AB 与平面PBC，故D 选项正确； 故选：ABD11．ABC【解析】长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，对于A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+，11//CC BB ，1CC ⊄平面11BB D ，1BB ⊂平面11BB D ，故1//CC 平面11BB D ，所以E 到平面11BB D 的距离等于1C 到平面1BB 的距离，设点1C 到平面1BB 的距离为d ， 过点1C 在平面1111D C B A 内作111C P B D ⊥，如图1所示，1BB ⊥平面1111D C B A ，1C P ⊂平面1111D C B A ，则11C P BB ⊥，1111BB B D B =，1C P ∴⊥平面11BB D ，且1111111431255B C C D C P B D ⋅⨯===， 故111111111255103325E BB D BB D V S C P -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，同理可得1110F BB D V -=， 所以11111120B BED F E BB D F BB D V V V ---=+=，A 对；对于B 选项，因为平面11//AA D D 平面11BB C C ，平面1BED 平面111AA D D D F =，平面1BED 平面11BB C C BE =，所以，1//BE D F ，同理可得1//BF D E ，故四边形1BED F 为平行四边形，则四边形1BED F 的周长为()12BE D E +，将长方体的侧面11D DCC 和11B BCC 沿棱1CC 展开到同一平面内，如图2所示，则1D E EB +的最小值为展开面中1D B 的长度，此时E 点为1D B 与1CC 的交点，1BD =，所以四边形1BED F 的周长的最小值为B 对； 对于C ，AD CD ⊥，即CDDG ⊥，所以，CG = 解得8DG =，C 对；对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D 、()14,3,5B 、()4,3,0B 、()10,0,5D ，设()0,3,E z ，则()14,3,5DB =，()14,3,5BD =--，()4,0,BE z =-，因为1BD ⊥平面1BED ，则1111692501650B D BD B D BE z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得165z =，即165CE =，D 错.故选：ABC.12．ACD【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AB =，所以11AD AA ==，则()1,0,0A ，()1101A ,,，()C ，()10,0,1D ，()1C ，()0,0,0D ，()B ，则()11AC =--，()11,0,1D A =-．A 选项，当112AC A P =时，P 为线段1A C 的中点，根据长方体的结构特征，P 为体对角线的中点，因此P 也为1B D 的中点，所以1B ，P ，D 三点共线，故A 正确．B 选项，当1AP AC ⊥时，1AP A C ⊥，由题意可得1AC 2AC ．由1111122A AC S AA AC AC AP =⋅=⋅，解得AP =1A P =P 为线段1A C 上靠近点1A 的五等分点，所以4455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则14155D P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1455AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1434102525255D P AP ⋅=-+-=-≠，所以AP 与1D P 不垂直，故B 错误．C 选项，当113AC AP =时，11111333A P AC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭．设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，由1300n DC y z n DB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，可得(3,1,n =-．又11112133D P A P A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以10D P n ⋅=，因此1D P n ⊥，又点1D 不在平面1BDC 内，所以1//D P 平面1BDC ，故C 正确．D 选项，当115AC AP =时，11111555A P AC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以11114155D P A P A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以110AC D P ⋅=，110AC D A ⋅=，因此11AC D P ⊥，11AC D A ⊥． 又111D P D A D ⋂=，则1A C ⊥平面1D AP ，故D 正确．故选：ACD ．13【解析】如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由已知，得()0,0,0D ，()0,0,1P ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ， 则重心22,,033G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因而()0,0,1DP =，22,,133GP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 设PG 与底面ABCD 所成的角为θ， 则317sin cos ,17DP GP DPGP DP GP θ⋅=<>==⋅ 14．【解析】解：如图以E 为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,2E F B ⎫-⎪⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()31,,2,0,1,222EF BD t ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos||||5EF BD EF BD θ⋅===解得1t =，所以20BD ==故答案为：15【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设2DC =，则1PD AB AD ===，PC =()()()10,0,1,0,2,0,1,1,0,0,1,2P C B Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()10,2,1,1,1,0,0,1,2PC DB DQ ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设平面BDQ 的法向量为(),,n x y z =， 则00DB n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则()1,1,2n =-， 直线PC 与平面BDQ 所成角为α，sin 2n PCn PCα⋅===⋅ 16【解析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接1CB ，由题意得0,3,0C （），1132,,0(0,0,2)(2,3,2)2E D B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ∠ 32,,02CE →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(0,3,2)CD →=-，1(2,0,2)CB →=， 设平面1D EC 的法向角为(,,)n x y z =，则100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3202320x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，令6z =，得(3,4,6)n =，∠ 点1B 到平面1D EC 的距离11861n CB d n →⋅==17．（∠）证明见解析；（∠. 【解析】解：（∠）证明：因为1BC BB =，1ABB ABC ∠=∠， 所以1ABB △与ABC 全等，所以1AC AB =，11CB BC O ⋂=，连接AO ，BO ，O 为1BC 中点， 1CB AO ⊥，1CB BO ⊥，AO BO O =，,AO BO ⊂平面AOB ， 所以1CB ⊥平面AOB ，又AB平面AOB 所以1AB CB ⊥.（∠）由（∠）知，AOB ∠为二面角1A CB B --的平面角，所以60AOB ∠=︒，且AO BO AB === 如图建立空间直角坐标系，则3)2A ，B ，1(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，33()22CA=，1(0,2,0)CB =，113()2OA OA BB =+=，13(2,)2CA =， 设平面1ACB 的法向量为()m x y z =，，，则100m CB m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20302y x yz =⎧++=，令x =0y =，1z =-，所以(3,0,1)m =-所以111|cos ,|2m CA mCA m CA ⋅<>===⨯ 所以1CA 与平面1ACB18．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：连接1B C ，ME .因为M ，E 分别为1BB ，BC 的中点，所以1//ME B C ，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点， 所以112ND A D =. 由题设知11//A B DC 且11A B DC =，可得11//B C A D 且11B C A D =， 故ME ∠ND 且ME ND =，因此四边形MNDE 为平行四边形， 所以//MN ED .又MN ⊄平面1C DE ，ED ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE .（2）解：由已知可得DE DA ⊥，以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向， DE 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()2,0,0A ，()12,0,4A ，()2M ，()1,0,2N ，()10,0,4A A =-， ()12A M =--，()11,0,2A N =--，()0,MN =.设(),,m x y z =为平面1A MA 的一个法向量，则110,0,m A M m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,40,x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩可取()3,1,0m =. 设(),,n p q r =为平面1A MN 的一个法向量，则10,0,n MN n A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,20,p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩可取()2,0,1n =-.则23cos ,2m nm n m n ⋅===⨯， 所以二面角1A MA N --. 19．（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）在题图∠中，因为1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，2BAD π∠=， 所以BE AC ⊥，即在题图∠中，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，又1OA OC O ⋂=， 所以BE ⊥平面1A OC ．又//,BC DE BC DE =，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以//CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，1BE OA ⊥，BE OC ⊥， 所以1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，所以12A OC π∠=．如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为111A B A E BC ED ====，//BC ED ，所以2B ⎫⎪⎪⎝⎭，E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12A ⎛ ⎝⎭，0,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则BC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，122AC ⎛=- ⎝⎭，()CD BE ==-．设平面1A BC 的一个法向量为()1,,n x y z =，平面1A CD 的一个法向量为()2,,n x y z =，平面1A BC 与平面1A CD 的夹角为θ．则1110,0,n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,0,x y y z -+=⎧⎨-=⎩可取()11,1,1n =； 2210,0,n CD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x y z =⎧⎨-=⎩可取()20,1,1n =．从而121212cos cos ,3n n n nn n θ⋅====⨯⋅即平面1A BC 与平面1A CD20．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）因为AB AE BC AB ==且90EAB ABC ∠=∠=︒， 所以EAB ABC ，所以EBA ACB ∠=∠，又因为90EBA EBC ∠+∠=︒，所以90ACB EBC ∠+∠=︒，所以90BFC ∠=︒， 所以BF CF ⊥，所以AF BE ⊥，又因为GF ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，所以GF AF ⊥，又GF BE F =，所以AF ⊥平面BEG ；（2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：因为1,2AB AE ==，所以BE ==，所以AB AE AF FG BE ⋅===，所以BF ==EF ==所以,,,0,E G A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0,EG ⎛= ⎝⎭， 设平面ABG 的一个法向量为(),,n x y z =，366,,0,0,333BA BG ⎛⎫⎛== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由00BA n BG n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得00x z ⎧=⎪+=，取1y =-，所以(2,n =-， 设直线EG 与平面ABG 所成角大小为θ，所以sincos ,EG n θ=<>==， 所以直线EG 与平面ABG。
空间向量练习及答案解析
空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ． －1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ． －1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．π3或－π314.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3)15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a2,1)，G (a 3,a 3,13)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a 6,a 6,23)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)，∵GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量， 又cos 〈GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×2＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A.12.【答案】A【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝m·n|m ||n |，得1√a 2+1＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3).15.【答案】C【解析】因为A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】 【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =√32x +12y −1=0,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||＝1√13+1+1＝√217.20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a2).∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,a2)，∵cos 〈DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴a 22＝a √2+a 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)， (1)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos 〈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45， 可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 此时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)， 由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，∵|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos 〈AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23， 故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34a,34a,0)，P (0,0，a )．(1)AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34a,−a 4,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a2)，E (√38a,38a,a 2)，∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,a 2,a 2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝−43√5＝－4√515， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515； (2)因为C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由{n ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−y −2=0,−x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝n·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{n 1·SC⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y −z =0,x −y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，第 11 页 共 11 页 所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66， 所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66. 26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{m ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x −2y −z =0,−x +y −z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝m·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||B 1C 1|＝−4√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)，(1)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55； (2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。
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平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分）
1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b
， 则锐角α为（ ）
A.
6π
B. 4π
C. 3
π D. 125π
2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a
-+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ）
A. 1
B.
51 C. 53 D. 5
7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a
,)2(,)2(⊥-⊥-（ ）
A.
6π B. 3
π
C. 32π
D. 65π
5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3
π
）平移，再将所得图像上各点的横坐标
变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+
3π)+2 B.y=sin(2x －3
π
)－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2
6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]
7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a
方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)
8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足
=OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( )
A.01123=-+y x
B.5)2()1(2
2
=-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x
9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则⋅的值为 （ ） A.2
m B.
212m C. 4
1
2m D. 432m
10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-⋅-=0,
则点P 的轨迹一定过△ABC 的 （ ）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
11．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1与BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为（ ） A. 23arccos
B. 1010arccos
C. arccos 53
D. arccos 5
2 12.三棱锥O-ABC 中，设的中点，分别为B C OA ,,,,N M c b a
===，点
G ∈MN ，MG:GN=2,则分别等于则z y x OC z OB y OA x OG ,,,++=（ ） A.
31, 31,31 B.31, 31,61 C.31, 61,31 D.61, 31,3
1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知),cos ,1,(sin ),sin ,1,(cos αααα==b a
则向量b a b a -+与的夹角为______
14．已知空间三点A(0,2,3), B(－2,1,6), C(1,－1,5),以AC AB 、
为边的平行四边形的面积为 15．已知向量B A B A B A m tan tan 223
)2sin 5,2cos
2(，则的模为+-=
的值为___ 16．若对n 个向量n a a a
,,,21存在n 个不全为零的实数,,,,21n k k k 使得
02211
=+++n n a k a k a k 成立，则称向量n a a a ,,,21为“线性相关”.依此规定，能说
明)2,2(),1,1(),0,1(321=-==a a a
“线性相关”的实数321,,k k k 依次可以取_____________________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况). 三、解答题（本大题共4小题，共58分）
17．（本题满分13）已知A(3,0),B(0,3),C(cos ).sin ,αα (1)若α2sin ,1求-=⋅的值；
(2)若. ),,0(,13||的夹角与求且πα∈=+
18．（本题满分16分）如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，,60
=∠ABC PA=AC=,2,a PD PB a =
=点E 在PD 上，且PE : ED=2 : 1.
(1) 证明：PA ⊥平面ABCD ； (2) 求的值；><AE BP ,cos
(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC
13．
2 14．37 15．9
16.
由
得
,0332211
=++a k a k a k ⎩⎨
⎧=+-=++0
20232221k k k k k 可得
⎪⎩⎪
⎨⎧=-==c k c k c k 242
13（取任一非零常数）c c ,0≠，故可取（－4,2，1）等.
17．解：（1）),3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=a a a a 由1-=⋅，得
3
2
sin cos ,1)3(sin sin cos )3(cos =
+∴-=-+-a a a a a a 两边平方，得 .9
5
2sin ,942sin 1-=∴=
+a a （2）2
1
cos ,13sin )cos 3(),sin ,cos 3(2
2
=∴=++∴+=+a a a a a OC OA
,2
3sin ,3),,0(==∴∈a a a π
π .
233=⋅OC OB 设OB 与OC 的夹角为θ, 则
,6
,23cos π
θθ＝ ∴=
=
.6π的夹角为与∴
20．解：（1）因为底面ABCD 是菱形，
60=∠ABC ，所以AB=AD=AC=.a
在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2,知PA ⊥AB.同理,PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD. （2）以A 为坐标原点，直线AD,AP 分别为y 轴，z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图. 由题设条件，相关各点的坐标分别为
)3
1,32,0(),,0,0(),0,21,23(
),0,0,0(a a E a P a a B A - ∴),2
1,23(),31,32,
0(a a a a a -== ∴51029
53131|
|||,cos 222
2=
+=⋅>=<a a a
a AE BP （3）∵),0,0(),0,,0(),0,2
1
,23(
a P a D a a C ∴).,0,0(),,2
1,23(),0,21,23(a a a a a a =-==
设点F 是棱PC 上的点，则 其中 ,10),,2
1
,23(
<λ<λ-λλ=λ=a a a PC PF ),2
1
,23(),21,23( λ-λλ+-
=+a a a a a a ))1(,)1(2
1,)1(23(
λ-λ+-λ=a a a . 得令21λ+λ=
,31)1(3221)1(2
1
23
)1(2
3221
1⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧λ=λ-λ+λ=λ+λ=-λa a a a a a a 解得.23,21,2121=λ-=λ=λ 即2
3
2121+-==
λ时，∴F 是PC 的中点时,,,共面. 又∵，平面AEC ⊄BF ∴当F 是棱PC 的中点时，BF .AEC //平面。