新北师大版八上第一章勾股定理测试题3

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北师大版八年级上册第一章勾股定理测试题

初二年级单元测试题数学（第一章：勾股定理）一、填空题：(每题3分，共24分)1. 小明把一根70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：_______________（填“能”、或“不能”）2. 有一个育苗棚，棚高0.5米，顶面的塑料薄膜面积为13平方米，棚长10米，可覆盖的种植面积为___________平方米。

3. 如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD 2=____________.4. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°,D 是BC 上一点，AB=3,BD=1.8,AD=2.4,则DC=___________.5. 如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______.6. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______.7. 四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.则四边形ABCD 的面积为____________.8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________.二、选择题(每题3分，共24分)9. 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（）（A ）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)a b cdO A BCDA B C ABC D 2032A BBCA B C以上答案都不对10. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)11.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm12.如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7,BC=24,三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（）（A ）1 (B)3 (C)4 (D)513.在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（）（A ）42 (B)32 (C)42或32 (D)37或33.14.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm 2,则斜边长为（）. （A ）80cm (B)30cm (C)90cm (D120cm. 15.如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b ），余下的部分拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式。

北师大版八年级(上)数学全章测试：勾股定理(含答案)

第1章勾股定理全章测试一、填空题1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．3题图4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB ＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．4题图5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA ＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．5题图6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．6题图7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．8题图二、选择题9．下列三角形中，是直角三角形的是( )(A)三角形的三边满足关系a＋b＝c(B)三角形的三边比为1∶2∶3(C)三角形的一边等于另一边的一半(D)三角形的三边为9，40，41 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )．10题图(A)450a元(B)225a元(C)150a元(D)300a元11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )．(A)2 (B)3 (C)22(D)3212．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC＋BC 等于( )．(A)5 (B)135 (C)1313(D)59三、解答题13．已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长．14．如图，已知一块四边形草地ABCD ，其中∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝20m ，CD ＝10m ，求这块草地的面积．15．△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 在BC 边上运动，猜想AP 2＋PB ·PC 的值是否随点P 位置的变化而变化，并证明你的猜想．16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．图1 图2 图3(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案1．8． 2．.3 3．.10 4．30． 5．2．6．3．提示：设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程． 7．26或.2658．6．提示：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt △． 9．D ． 10．C 11．C ． 12．B13．.2172提示：作CE ⊥AB 于E 可得,5,3==BE CE 由勾股定理得,72=BC 由三角形面积公式计算AD 长． 14．150m 2．提示：延长BC ，AD 交于E ． 15．提示：过A 作AH ⊥BC 于HAP 2＋PB ·PC ＝AH 2＋PH 2＋(BH －PH )(CH ＋PH ) ＝AH 2＋PH 2＋BH 2－PH 2 ＝AH 2＋BH 2＝AB 2＝16． 16．14或4．17．10； .16922n +18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，.10226,1028,268+++ 19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6由勾股定理得：AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况．①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6得△ABD 的周长为32m ．图1②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4图2由勾股定理得：54=AD ，得△ABD 的周长为.m )5420(+． ③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，图3由勾股定理得：325=x ，得△ABD 的周长为.m 380。

北师版八上数学第一章勾股定理单元测试卷(含答案)

北师版八上数学第一章勾股定理单元测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）A．=345a b c==，，B．45 133 a b c===，，C．91215a b c===，，D．2a b c===，，2.如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A．10B．12C．14D．163.已知ABC△的三边长分别为5，13，12，则ABC△的面积为（）A．30B．60C．78D．不能确定4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍5.已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形()．A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定6.如图所示，在ABC∆中，三边a b c，，的大小关系是（）A.a b c << B.c a b <<C.c b a << D.b a c<<7.如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（）A．x y =B．x y >C．x y <D．不确定8.以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形9.若三角形中两边的垂直平分线的交点正好落在第三条边上，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形10.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD ，EF ，GHB．AB ，EF ，GH C．AB ，CD ，GHD．AB ，CD ，EFF HG E D BC A二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC △是______三角形．12.△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______；(2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；(3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______；(4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．14.在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c,若c－a＝4，b＝16，则a、c 分别为.15.已知ABC ∆的A B C ∠∠∠，，的对边分别是a b c ，，，且满足()22220a b a b c -++-=，则三角形ABC 的形状是．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16.已知：三角形ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE =AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．17.如图，ON是垂直于地面OM的墙面，AB是一根斜靠在墙面上长为a的木条，当木条端点A沿墙面下滑时，B沿地面向右滑行⑴设木条AB的中点为P，试判断木条滑行过程中，墙角处点O到P的距离怎样变化？说明理由⑵木条在什么位置时，ABO的面积最大？最大面积为多少？18.如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．19.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．20.已知a b c ，，为ABC △的三边，且()()()::2:7:1a c a b c b -+-=-，试判断△ABC 的形状．21.阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为13，求这个三角形的面积．22.如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，E 、F 为BC 上的点，且45EAF ∠=︒，求证：222EF BE FC =+．F E CB A答案解析一、选择题1.D2.C;可得到14个直角三角形，分别为ABE △、ADE △、ABD 、△BED 、△BCE CFE 、、△△BCF BEF 、、△△ACF ADF ACD CDF AEC DBF、、、、、△△△△△△3.A;∵22251213+=，∴三角形为直角三角形，∵长为5，12的边为直角边，∴三角形的面积=12×5×12=30．4.B5.C6.D;a =10b 5，c =13.选D.()()2222a a a x a y +=-++化简得()2220a x y x y -=+>，x y>8.B;设最大半圆半径为c ，最小半圆半径为a ，第三个半圆半径为b ，则三角形中最长边为2c ，最短边长为2a ，第三边为2b ；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，222222a b c πππ+=化简得：222a b c +=∴()()()222222a b c +=，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．9.B10.B;8AB =，20CD =5EF =13GH =，选B．二、填空题11.直角12.(1)13；(2)9；(3)2，3；(4)1，2．13.182cm ;设AB 为3x ，BC 为4x ，AC 为5x ，∵周长为36，AB +BC +AC =36，∴3x +4x +5x =36得x =3∴AB =9，BC =12，AC =15∵222AB BC AC +=，∴ABC △是直角三角形过3秒时，936236BP BQ =-==⨯=，∴()2119361822PBQ S BP BQ cm =⨯=⨯-⨯=△．14.a ＝30，c ＝3415.等腰直角三角形;因为222a b a b c =+=，，所以为等腰直角三角形三、解答题16.（1）先连接AD ，构造全等三角形：△BED 和△AFD ．AD 是等腰直角三角形ABC 底边上的中线，所以有∠CAD =∠BAD =45°，AD =BD =CD ，而∠B =∠C =45°，所以∠B =∠DAF ，再加上BE =AF ，AD =BD ，可证出：△BED ≌△AFD ，从而得出DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，从而得出∠EDF =90°，即△DEF 是等腰直角三角形；（2）还是证明：△BED ≌△AFD ，主要证∠DAF =∠DBE （∠DBE =180°-45°=135°，∠DAF =90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．17.⑴木条在滑行过程中，墙角处点O 到P 的距离保持不变，连结OP ，因为木条在滑行过程中，ABO ∆始终是以AB 为斜边的直角三角形，所以斜边上的中线1122OP AB a ==⑵设Rt ABO ∆中AB 边上的高为h ，则12ABC S ah ∆=，在木条滑动的过程中，三角形的面积随h 的变化而变化，显然除OH 与OP 重合外，总有OH OP <，即12h a <，当Rt ABO ∆是等腰直角三角形时，OH 与OP 重合，h 取得最大值12a ，这时三角形的面积最大，所以当木条与底面夹角为45︒时，ABO ∆的面积最大，最大面积为211112224ABC S ah a a a ∆==⋅=18.(1)易证△CAE∽△EBD，∴∠CEA+∠BED=∠CEA+∠ACE=90°，∴∠CED=90°，∴CE⊥DE(2)由（1）可知AC =5，AE =BD =12，∴CE =1319.EC＝3cm;设EC＝x，则6，CF＝4．在Rt CEF △中(8－x)2＝x 2＋42，解得x＝320.∵()():2:7a c a b -+=-∴9270a b c +-=①∵()():2:1a c c b --=-∴20a b c -+=②∵()():7:1a b c b +-=∴870a b c +-=③∵①+②得:3:5a c =，①-③得:3:4a b =∴::3:4:5a b c =∴△ABC 是直角三角形．21.（1）∵BD =CD ，AD =12BC ，∴AD =BD =DC ，∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ，∵∠B +∠BAD +∠CAD +∠C =180°，∴∠BAD +∠CAD =90°，即∠BAC =90°．（2）根据题意用语言表述为：如果三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（3）因为一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，所以这个三角形为直角三角形，又∵1AB AC +=+∴()24AB AC +=+,2224AB AB AC AC +⨯+=+即224AB AC BC ⨯+=+，AB AC ⨯=∴直角三角形的面积可得2．22.过点A 作线段AD ，使CAF BAD ∠=∠，且AD AF =．在ACF ∆和ABD ∆中，AC AB CAF BAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF ABD∆∆≌∴CF BD =，DBA FCA∠=∠90DBE DBA ABE FCA ABE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在ADE ∆和AFE ∆中，45AE AE EAF EAD AD AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADE AFE ∆∆≌∴ED EF =在Rt BDE ∆中，222DE BD BE =+，∴222EF BE FC =+．D F E C B A。

2022八年级数学上册第一章勾股定理测试卷3新版北师大版

第一章勾股定理一、选择题（每题4分，共28分）1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，83．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．a:b:c=3:4:5 B．∠A:∠B:∠C=1:2:3C．a2:b2:c2=1:2:3 D．a2:b2:c2=3:4:56．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对二、填空:（每空4分，共计28分）8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为．9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度:b= ，c= ．10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答: （填“能”、或“不能”）12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝．14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．三、解答题:（每题11分，共计44分）15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°; （1）求BD的长;（2）求四边形ABCD的面积．18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？四、附加题19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2;（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共28分）1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解:∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为＝5．故选:A．【点评】本题考查了勾股定理:在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8【考点】KS:勾股定理的逆定理．【专题】55:几何图形．【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．【解答】解:A、∵6+8＝14，∴不能组成三角形;B、＝10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形;C、∵＝10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形;D、∵＝10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形．故选:D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】算术平方根．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解:由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故选:A．【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解:如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．故选A．【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．a:b:c=3:4:5 B．∠A:∠B:∠C=1:2:3C．a2:b2:c2=1:2:3 D．a2:b2:c2=3:4:5【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理．【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形;由三角形内角和定理得出B是直角三角形;即可得出结果．【解答】解:∵a:b:c=3:4:5，32+42=52，∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形;∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠C=90°，B是直角三角形;∵a2:b2:c2=1:2:3，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形，C是直角三角形;∵a2:b2:c2=3:4:5，∴a2+b2≠c2，∴三角形不是直角三角形;故选:D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理;熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm【考点】勾股定理;等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．【解答】解:如图:由题意得:AB=AC=10cm，BC=16cm，作AD⊥BC于点D，则有DB=BC=8cm，在Rt△ABD中，AD==6cm．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理．【专题】网格型．【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解:∵正方形小方格边长为1，∴BC==2，AC==，AB==，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．故选:A．【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理:已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．二、填空:（每空4分，共计28分）8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为7或25 ．【考点】勾股定理．【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【解答】解:分两种情况:当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25;当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．故答案为:7或25．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度:b= 12 ，c= 10 ．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理进行计算即可．【解答】解:b==12;c==10，故答案为:12;10．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49 cm2．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现:四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解:由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为:49cm2．【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答: 能（填“能”、或“不能”）【考点】勾股定理的应用．【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．【解答】解:能，理由如下:可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．故答案为能．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为2或2．【考点】KQ:勾股定理．【专题】552:三角形．【分析】分两种情况:①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解:分两种情况:①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC＝＝＝2;②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得:AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2;综上所述，BC的长为2或2．故答案为:2或2．【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝﹣1 ．【考点】勾股定理．【专题】11:计算题．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解:如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，故答案为:﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm（杯壁厚度不计）．【考点】KV:平面展开﹣最短路径问题．【专题】27:图表型．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解:如图:将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．三、解答题:（每题11分，共计44分）15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）【考点】勾股定理的应用．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解答】解:如图所示:因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC==15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．【解答】解:由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，∠ACB=90°，则AB==5km．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°; （1）求BD的长;（2）求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度;（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．【解答】解:（1）∵∠A=90°，∴△ABD为直角三角形，则BD2=AB2+AD2=25，解得:BD=5．（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】应用题;操作型．【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．【解答】解:由折叠可得:△BDC≌△BDE，∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴FD=FB，设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理得:x2=（8﹣x）2+62，解得:x=，即FD=cm，则S△BDF=FD•AB=cm2．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有:折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．四、附加题19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．【考点】勾股定理的应用;三角形的面积;勾股定理的逆定理．【专题】应用题．【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．【解答】解:连接AC，则在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．答:这块地的面积是216平方米．【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2;（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形．【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题;（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S △ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．【解答】（1）证明:延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，∵DE=DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF=FG，∵D是BC中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，∵∠ACB+∠DBE=90°，∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，∵CG2+CF2=FG2，∴BE2+CF2=EF2;（2）解:连接AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，∴S四边形AEDF=S△ABC，∴S△AEF=×5×12=30，∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理测试卷(附答案)

13.在
中， ∠ , ∠ , ∠ 的对边分别是、、，若 2 + 2 = 25, 2 − 2 = 7 ，又 = 5 ，则
最大边上的高为________.
14.如图，H 是△ABC 内一点，BH⊥CH，AH＝6，CH＝3，BH=4，D、E、F、G 分别是 AB、AC、CH、BH 的中点，则四边形 DEFG 的周长是________.
理由如下：连接 OD． ∵OA=OD ∴∠ODA=∠A 又∵∠BDE=∠A ∴∠ODA=∠BDE ∵AB 是⊙O 直径 ∴∠ADB=90° 即∠ODA+∠ODB=90° ∴∠BDE+∠ODB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD⊥DE ∴DE 与⊙O 相切；（2）∵R=5， ∴AB=10，在 Rt△ABC 中
BC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的⊙O 与 AC 边交于点 D，过点 D 的直线交 BC 边于点 E， ∠BDE=∠A．（1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径 R=5，tanA=34 ，求线段 CD 的长．
15.已知 △
，
延长线于 G，连接
= ， ⊥ ，点 F 在上，作 ⊥ ， ∠ = 2∠ ， = = 2 ，则
，直线交于 E，交的长为________．
三、解答题（共 7 题；共 55 分）
16.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanC=
1 2
，AC=3
5 ，AB=4，求△ABC 的周长．
19.如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.2 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？

北师大版八年级数学上册第一、二章《勾股定理与实数》综合测试(3)

最新北师大版《八年级数学名师新课同步单元达标练习》非精品不上传第1页佛山中学数学吉老师 137********QQ ：107669811八年级数学(上)第一、二章综合测试（3）一、选择题：1、已知9，a ，15是一组勾股数，则a =（） A 、6 B 、10 C 、12 D 、132、下列各数中，有理数的个数为（）31- ； 2 ； 35.0 ； 2π ； 0 ；0.21211211121111……；25-； 364- ； 173-；A 、3B 、4C 、5D 、6 3、下列说法中不正确．．．的是（） A 、－1的立方根是－1。

B 、－4的平方根是2±。

C 、0的平方根与立方根相等。

D 、每一个数都有一个立方根。

4、下列几种说法中 : ①无限小数都是无理数○2无理数与无理数的和一定还是无理数 ○3无理数的相反数还是无理数 ○4无理数与有理数的和一定是无理数 ○5正数、负数和0统称有理数 ○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数正确的有 ( )个。

A 、1B 、2C 、3D 、4 5、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（）A 、1360B 、213C 、1380D 、66、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A 、6cmB 、12cmC 、13cmD 、14cm 7、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（） A 、2cm B 、3 cm C 、4 cm D 、5 cm8、下列各式估算正确的是（）A 、4.605676≈B 、38.65603≈C 、66.043.0≈D 、969003≈9、下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②6、8、10；③ 32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（） A 、5组； B 、4组； C 、3组； D 、2组 10、如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（）A.、2－1 B 、 1－2 C 、2－2 D 、2－2 二、填空题：11、81的平方根是；—8的立方根是 12、 Rt △ABC 的三边分别为a,b 和c,已知a=3,b=4，则c= ； 13、大于5-且小于3的所有整数和是____________14、如果4是5m+1的算术平方根,那么2-10m=_______________。

第一章勾股定理单元测试卷（含答案与解析）

【新北师大版八年级数学（上）单元测试卷】第一章《勾股定理》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或1002.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形 B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形 D．三个角度之比为1：1：2的三角形3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为204.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：256.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．5111.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．含答案与解析一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或100【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2，解得：x2=100；（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x2=28．故选：D．2.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形【分析】A、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故为直角三角形；B、32+42=52，故为直角三角形；C、82+162≠172，故不为直角三角形；D、最大角=180°×=90°，故为直角三角形．故选：C．3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：25【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；D、因为72+242=252，所以能组成直角三角形，故选项正确；故选D．6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB=1000米．故选C．7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18．故选A．9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．以上关系都有可能【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系．【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，∠C是直角，则有a2+b2=c2；∠A是直角，则有b2+c2=a2．故选：D．10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．51【分析】根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．【解答】解：∵ =15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．11.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故选B．12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．【分析】（1）由勾股定理可求出正方形A的边长的平方，而正方形的面积=边长×边长，正好为所求出的值．（2）由勾股定理可得：斜边的平方=两直角边的平方和，将两直角边代入即可求出x的值．【解答】解：（1）设A的边长为a，如图（1）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：所以正方形A的面积为a2=36．（2）如图（2）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：x2=52+122，所以，斜边x=13．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．【分析】要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．【解答】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= 24 ．【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，故（14﹣b）2+b2=102，解得：b1=6，b2=8，则a1=8，a2=6，即S△ABC=ab=×6×8=24．故答案为：24．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC 的周长；（2）根据勾股定理的逆定理，看△ABC的三边是否符合勾股定理，即可判断出△ABC是否是直角三角形．【解答】解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，又AD=12，BD=16，CD=5，∴AB=20，AC=13，△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．（2）∵AB=20，AC=13，BC=21，AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN=m，∴BC2=1，NC2=，BN2=，∴BC2+NC2=BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，∴MA=7.5 m．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2∴x2+52=（x+1）2解得x=12∴AB=12∴旗杆的高12m．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．【解答】解：由图可得：正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）【分析】从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，再由勾股定理进行解答即可．【解答】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，则AC=2πr≈2×3×4=24（cm），则E′B=E′D′=AC=×24=12（cm）．又∵EA=8cm，EE′=3cm，∴AE′=EA﹣EE′=8﹣3=5（cm）．在Rt△ABE′中，AB2=AE′2+E′B2=52+122=132，∴AB=13（cm），∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，即16+x2=64﹣16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，故EC的长为3cm．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．。

北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》综合测试卷(包含答案)

北师版数学八年级上册第1章勾股定理综合测试卷（时间90分钟，满分120分）题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的为( ) A ．∠A ＝∠B －∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶1∶2 C ．b 2＝a 2－c 2D ．a ∶b ∶c ＝2∶3∶42．若一个三角形的三边长为a ，b ，c 且满足(a ＋b ＋c)(a 2－b 2－c 2)＝0，则这个三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形3．在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，则△ABC 的面积为( ) A ．180 B ．90 C ．54 D ．1084．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．3倍C ．4倍D ．5倍5．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是( ) A ．169B ．119C ．13D ．1446．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于( ) A.1013B.1513C.6013D.75137．如图，圆柱高8 cm ，底面圆的半径为6π cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定8．已知直角三角形的斜边长为5 cm ，周长为12 cm ，则这个三角形的面积是( ) A ．12 cm 2 B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 29. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．1010．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D′处，若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( ) A.32 B ．3 C ．1 D.43第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为____.12．如图有一个棱长为9 cm 的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A 爬到C 点(C 点在一条棱上，距离顶点B 3 cm 处)，则需爬行的最短路程是____cm.13．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD ＝__________．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．15．如图是一个长方体，则AB＝________，阴影部分的面积为________．16．红方侦察员小马的正前方400 m处有一条东西走向的公路，突然发现一辆蓝方汽车在公路上行驶，他拿出红外线测距仪测得汽车与他相距400 m，10 s后又测得汽车与他相距500 m，则蓝方汽车的速度是________m/s.17．定义：如图，点M，N将线段AB分割成线段AM，MN，NB，且以AM，MN，NB为边可组成一个直角三角形，点M，N是线段AB的勾股分割点．若M，N是线段AB的勾股分割点，且AM＝3，BN＝5，则MN2的值为____.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2。

北师大八年级上《第1章勾股定理》单元测试(3)含答案解析

《第1章勾股定理》一、选择题1．下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形2．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，154．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm5．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形6．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2二、填空题8．等腰三角形的面积为48cm2，底边上的高为6cm，腰长为cm．9．如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是．10．如图，直角三角形中未知边的长度x= ．11．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形．12．已知甲乙两个人从一个地点出，甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙俩人相距．13．如图，带阴影的正方形面积是．14．如图，每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积等于．三、解答题15．暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？16．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？17．如图，长方体的长BE=20cm，宽AB=10cm，高AD=15cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？附加题18．如图：折叠长方形ABCD（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC= ．《第1章勾股定理》参考答案与试题解析一、选择题1．下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】A、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故为直角三角形；B、32+42=52，故为直角三角形；C、82+162≠172，故不为直角三角形；D、最大角=180°×=90°，故为直角三角形．故选：C．【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．2．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为20【考点】勾股定理．【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．3．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【考点】勾股定理．【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．【点评】熟练运用勾股定理进行计算，从而求出斜边的长．5．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】相似三角形的性质．【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．【解答】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．6．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知两点之间，线段最短是解答此类问题的关键．7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【考点】勾股定理；完全平方公式．【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．【解答】解：∵a+b=14∴（a+b）2=196∴2ab=196﹣（a2+b2）=96∴ab=24．故选A．【点评】这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．二、填空题8．等腰三角形的面积为48cm2，底边上的高为6cm，腰长为10 cm．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据面积先求出底边长，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵等腰三角形的面积为48cm2，底边上的高为6cm，∴底边长=16cm，根据勾股定理，腰长==10cm．【点评】此题主要考查：等腰三角形的“三线合一”的性质和勾股定理的应用．9．如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是336 ．【考点】勾股定理．【分析】要求图中字母所代表的正方形面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设A的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另乙直角边为b，则c2=400，b2=64，已知斜边和以直角边的平方，由勾股定理可求出A的边长的平方，即求出了图中字母所代表的正方形的面积．【解答】解：设A的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另乙直角边为b，则c2=400，b2=64，如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：a2=c2﹣b2=400﹣64=336，所以，图中字母所代表的正方形面积是a2=336．【点评】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．10．如图，直角三角形中未知边的长度x= 13 ．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据勾股定理直接解答即可．【解答】解：根据勾股定理可得：52+122=x2，解得：x=13或﹣13（舍去）．故答案为：13．【点评】本题考查了勾股定理的知识，难度不大，注意细心运算即可．11．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理逆定理，三角形两短边的平方和等于长边的平方，即可得出其为直角三角形．【解答】解：∵152+362=392，∴可得三角形为直角三角形．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的应用．12．已知甲乙两个人从一个地点出，甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙俩人相距5km ．【考点】勾股定理的应用．【分析】因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．【解答】解：如图，∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，∴AB==5km，故答案为5km．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解及实际生活中的运用．13．如图，带阴影的正方形面积是100 ．【考点】勾股定理．【分析】设带阴影的正方形面的边长为a，在该直角三角形中，由勾股定理可求出a2，正方形的面积=边长×边长=a2，将求出的a2代入即可求出该正方形的面积．【解答】解：设带阴影的正方形面的边长为a，如上图所示：在直角三角形中，由勾股定理可得：a2=62+82=100，该正方形的面积为a2=100．【点评】本题考查了勾股定理和求正方形的面积公式，在直角三角形，由勾股定理可求出正方形边长的平方，即求出了正方形的面积．14．（春•绵阳期末）如图，每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积等于7 ．【考点】三角形的面积．【分析】根据图形，则三角形的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积．【解答】解：△ABC的面积=4×5﹣（2×5+4×3+2×2）=20﹣13=7．【点评】此类题要善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．三、解答题15．（•都江堰市校级期末）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？【考点】勾股定理的应用．【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，根据题意可知，AD=8﹣3+1=6千米，BD=2+6=8千米，在Rt△ADB中，由勾股定理得AB==10千米，答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．16．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？【考点】勾股定理的应用．【分析】设使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形的位置为点C，则AC+BC=70cm，设AC=x，则BC=（70﹣x）cm，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x的值．【解答】解：已知如图：设AC=x，则BC=（70﹣x）cm，由勾股定理得：502=x2+（70﹣x）2，解得：x=40或30，若AC为斜边，则502+（70﹣x）2=x2，解得：x=，若BC为斜边，则502+x2=（70﹣x）2，解得：x=，所以这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或cm或cm．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．17．如图，长方体的长BE=20cm，宽AB=10cm，高AD=15cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH、C′D、C′H剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHC′在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿AB、AF、EF剪开，向下翻折，使面CBEH和下面在同一个平面内，连接AM，然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．【解答】解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，由题意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=15cm，在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM=15cm；将长方体沿CH、C′D、C′H剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHC′在同一个平面内，连接AM，如图2，由题意得：BM=BC+MC=5+15=20（cm），AB=10cm，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=10cm，连接AM，如图3，由题意得：AC=AB+CB=10+15=25（cm），MC=5cm，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM=5 cm，∵15＜10＜5，则需要爬行的最短距离是15 cm．【点评】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．附加题18．如图：折叠长方形ABCD（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC= 3cm ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合．【分析】利用勾股定理可得BF的长，也就求得了FC的长，进而利用勾股定理可得EC的长．【解答】解：由折叠可知：AF=AD=BC=10，DE=EF．∵AB=8，∴BF==6，∴FC=4，EF=ED=8﹣EC，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即EC2+42=（8﹣EC）2，解得EC=3．故答案为：3cm．【点评】考查有关折叠问题的应用；利用两次勾股定理得到所需线段长是解决本题的关键．。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理综合测评 (Word版含答案)

第一章勾股定理综合测评（本试卷满分100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，则下列结论正确的是（）A．AB＝AC+BC B．AB＝AC•BCC．AB2＝AC2+BC2D．AC2＝AB2+BC2图1 图2 图3 图4 图52.下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，93.如图2，分别标有“放”“鸡”“岛”的三个正方形围成一个直角三角形，标有“放”、“鸡”的正方形的面积分别为18，50，则图中标有“岛”字的正方形的面积是( )A.34B.32C.30D.284．已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝2：3：4C．a2＝b2﹣c2D．a＝，b＝，c＝15.如图3，有一块长方形空地ABCD，如果AB=300米，AD=400米，要从A走到C，至少要走（）A．300米B．400米C．500米D．700米6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A．3 B．4 C．15 D．7.27.如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（）A．100π-24 B．100π-48 C．25π-24 D．25π-488.如图5，已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（）A.8B.10C.12D.169.如图6，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7 m，梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′等于（）A.3 m B．4 m C．5 m D．6 m图6 图710.如图7，在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点F处，则BE的长为（）A.263B.9C.38D.37二、填空题（每小题3分，共18分）11.已知一直角三角形的两条直角边长分别是20，15，斜边长为x，则x=_____.12.有一组勾股数，如果其中的两个数分别是17和8，那么第三个数是_____.13.图8所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，如果EF=4，AH=12，那么AB的长为_____.图814.在△ABC中，三边长a，b，c满足a:b:c=9:40:41，周长为90，则△ABC的面积为_____.15.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为．16. 勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为________________．三、解答题（共52分）17.（6分）如图9，在△ABC 中，AB=25，AC=17，边BC 上的高AD=15，求BC 的长．18.（6分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，如果a=215，b=225，c=10，这个三角形是直角三角形吗？请说明理由. 小康的解答如下：解：这个三角形不是直角三角形.理由如下：因为a 2+b 2=（215）2+（225）2=2425，c 2=100，所以a 2+b 2≠c 2. 所以△ABC 不是直角三角形.请问：小康的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.19.（8分）如图10，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船向南偏东55°的方向航行．2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两船相距40海里，问：乙船的航行速度是每小时多少海里？20.(10分）某游乐场计划修建一个图11所示的游泳池供游客休闲娱乐，泳池底部如图所示.已知∠DAB=90°，AB 的长为40 m ，AD 的长为30 m ，BC 的长为120 m ，CD 的长为130 m.求该泳池的占地面积.21.（10分）图12是小明家的一块直角三角形绿地，量得两条直角边的长分别为BC=18米和AC=24米，现要将该直角三角形绿地扩充成一个等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，请你求出扩充后的等腰三角形绿地的面积.22.（12分）如图13，在△ABC中，已知AB=1，AC=2，CB＇⊥BC，且CB＇=CB，△A＇B＇C≌△ABC，连接AB＇，AA＇.（1）判断△ACA＇的形状，并说明理由；（2）若AB＇=3，求∠B＇A＇C的度数.附加题（20分，不计入总分）23.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小东以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图15-①或图15-②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小东利用图14-①验证勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图14-①所示摆放，其中∠DAB=90°，试说明：a2+b2=c2.解：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．因为S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，又S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b-a），所以12b2+12ab=12c2+12a（b-a）.所以a2+b2=c2.解决问题：请参照上述方法，利用图15-②完成下面的验证：将两个全等的直角三角形按图15-②所示摆放，其中∠DAB=90°．试说明：a2+b2=c2．第一章勾股定理综合测评一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.B10. A 提示：在Rt △ABD 中，由勾股定理求得BD=13.根据折叠的性质，得EF=AE ，∠DFE=∠A=90º，DF=DA=5.设AE=x ，则EF=x.在Rt △BEF 中，FB=13-5=8，BE=12-x ，根据勾股定理，得FE 2+FB 2=EB 2，即x 2+82=(12-x)2，解得x=310.所以BE=12-310=263. 二、11.25 12. 15 13.20 14.180 15.（x ﹣3）2+64＝x 2 16. （11，60，61）三、17.解：在Rt △ADC 中，由勾股定理，得DC 2=AC 2-AD 2=172-152=64，所以DC=8.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=252-152=400，所以BD=20.所以BC=BD+DC=20+8=28. 18.解：小康的解答不正确.正确的解答过程如下：这个三角形是直角三角形.理由：因为21510225>>，所以b 是这个三角形的最长边. 因为a 2+c 2=（215）2+102=4625，b 2=(4625)2252=，所以a 2+c 2=b 2.所以△ABC 是直角三角形.19. 解：由题意，得AC=12×2=24（海里）．因为∠EAC=35°，∠FAB=55°，所以∠CAB=90°．因为BC=40海里，AC=24海里，在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2-AB 2=402-242=1024，所以AB=32海里．因为乙船也行驶了2小时，所以乙船的航行速度是32÷2=16（海里/时）． 20.解：连接BD.因为∠DAB=90°，AB=40 m ，AD=30 m ，所以BD=50 m.因为BC=120 m ，CD=130 m ，所以BD 2+BC 2=CD 2.所以△BCD 是直角三角形.所以∠DBC=90°. 所以S 四边形ABCD =S △DAB +S △BCD =12AB·AD+12BC·BD=12×40×30+12×120×50=3600（m 2）. 答：该泳池的占地面积为3600 m 2.21.解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=24米，BC=18米，由勾股定理可得AB=30米.应分以下三种情况：①如图2，当AB=BD=30米时，S △ABD =21AC·BD=21×24×30=360（平方米）.②如图3，当AD=AB 时，因为 AD=30米，AC=24米，由勾股定理可得DC=18米.因为AC ⊥BD ，所以BD=2DC=36米.所以S △ABD =21AC·BD=21×24×36=432（平方米）. ③如图4，当AD=BD 时，设AD=BD=x 米，则CD=(x-18)米.在Rt △ACD 中，DC 2+AC 2=AD 2，即 (x-18)2+242=x 2，解得x=25，所以S △ABD =21AC·BD=21×24×25=300（平方米）. 综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的面积为360平方米或432平方米或300平方米. 22.解：（1）△ACA ＇是等腰直角三角形.理由：因为CB ＇⊥BC ，所以∠BCA+∠ACB ＇=90º.因为△A ＇B ＇C ≌△ABC ，所以∠BCA=∠B ＇CA ＇，AC=A ＇C.所以∠ACB ＇+∠B ＇CA ＇=90º，即∠ACA ＇=90º.所以△ACA ＇是等腰直角三角形.（2）因为△ACA ＇是等腰直角三角形，所以∠AA ＇C=45º.在Rt △ACA ＇中，根据勾股定理，得AA ＇2=AC 2+ A ＇C 2=22+22=8.因为A ＇B ＇=AB=1，所以AA ＇2+A ＇B ＇2=8+1=9，AB ＇2=9.所以AA ＇2+A ＇B ＇2= AB ＇2.所以△A ＇AB ＇是直角三角形，且∠AA ＇B ＇=90º.所以∠B ＇A ＇C=45º+90º=135º. 23.解：如图5，连接BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，可得BF=b-a.因为S 五边形ACBED =S △ACB +S △ABE +S △ADE =12ab+12b 2+12ab ，又S 五边形ACBED =S △ACB +S △ABD +S △BDE =12ab+12c 2+12a （b-a ），所以12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b-a ），整理，得a 2+b 2=c 2．。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》测试卷(含答案)

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一、选择题（共8 小题，4*8=32）1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A ．5B ．6C ．7D ．82. 在ΔABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C ＝90°,则下列等式中成立的是( )A ．a2＋b2 ＝2c2B ．b2＋c2 ＝a2C ．a2＋c2 ＝b2D ．c2－a2 ＝b23. 若ΔABC 的三边a ，b，c 满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2 | ＝0，则ΔABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4. 如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12 海里/小时的速度航行，二号舰以16 海里/小时的速度航行，离开港口 1.5 小时后它们分别到达相距30 海里的A ，B 两点，则二号舰航行的方向是( )A ．南偏东30°B ．北偏东30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°5. 一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm，如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯足将向外滑动( )A. 150cmB. 90cmC. 80cmD. 40cm6. 如图，长为12 cm 的橡皮筋放置在直线l 上，固定两端A 和B ，把中点C 竖直向上拉升4.5 cm 至点D 处，则拉长后橡皮筋的长为( )A ．20 cmB ．18 cmC ．16 cmD ．15 cm67. 如图所示，圆柱高8 cm，底面圆的半径为π cm，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定8. 有下面的判断：①△ABC 中，a2＋b2≠c2 ，则ΔABC 不是直角三角形。

北师大版八年级数学上册第1章勾股定理章节测试卷 (含解析)

第1章《勾股定理》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（）A．4m2−1B．4m2+1C．m2−1D．m2+12．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D 的面积之和为（）A．11B．14C．17D．203．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）A．2B．52C．5D．2546．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（）A．13B．12C．11D．107．图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C．D．8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（）A．3B．−2+3C．−1+3D．−39．如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）A．12cm B．13cm C．25cm D．26cm10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI 的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．12．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使CD=13，则AD 的长为 km．13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为．14．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有（填写序号）．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=，△APE的面积等于12．16．已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=3，AC=5，AD=2，求证：AD⊥AB．18．（6分）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？19．（8分）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．20．（8分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1) 求线段BG的长；(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)如图（1），把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求BE的长；(2)如图（2），把△ABC沿直线AF折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出BF的长．22．（8分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．23．（8分）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n 上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是．答案解析一．选择题1．D【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2−1，∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1，故选：D．2．C【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AAC=CE，再根据全等三角形和勾股定理可得S B=S C+S A=5+3=8，同理可得S D=S C+ S E=5+4=9，最后求正方形B、D的面积之和即可．【详解】解：如图：由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AC=CEA∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°，∴AC2=BC2+AB2，∴AC2=DE2+AB2,即S B=S C+S A=5+3=8,同理：S=S C+S E=5+4=9;D∴S+S B=8+9=17．D故选C．3．C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．【详解】解：A. 阴影部分面积为4，则正方形的边长为2，故能拼成正方形，不符合题意；B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为10，∵12+32=10，故能拼成正方形，不符合题意；C.阴影部分面积为11，则正方形的边长为11，根据网格的特点不能构造出11的边，故不能拼成正方形，符合题意D. 阴影部分面积为13，则正方形的边长为13，∵22+32=13，故能拼成正方形，不符合题意；故选C．4．A【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.【详解】如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2∴AB2=0.72+ 2.42= 6.25在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，BD2+A'D2=A'B2∴BD2+22= 6.25∴BD2= 2.25∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米，故答案选A5．B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=AC2−A B2=52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．6．A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，{AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=AB2−A F2=3，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE =12AD⋅EF=12DG⋅h+12EG⋅h，即S△ADG +S△AEG=12AD⋅EF，∵S△AEG =12⋅GE⋅h=92，S△ADG=S△AEG，∴S△ADG +S△AEG=92+92=9，∴9=12AD⋅3，∴AD=6，∴FD=AD−AF=6−4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，故选：A．7．A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2+b2=c2，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式(a+b)2=4×12ab+c2，可得a2+b2 =c2；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(a+b)22=2×12ab+12c2，可得a2+b2=c2；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，可得a2+b2=c2．故选：A．8．B【详解】根据勾股定理得：AB=2，AD=3，∴AE=3，∴OE=2−3，∴点E表示的数为−2+3．故答案为：B．9．B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=242=12 cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=242=12cm，∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2+BC2=52+122=13cm，故选：B.10．D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得AC2−B C2=AK2−B K2，然后计算S12+S42−(S22+S32)=0，即可判断④．【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；∵ S1-S4=S3-S2，∴S12+S42−2S1S4=S22+S32−2S2S3，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，∴S12+S42=AC4+AB2BK2，S22+S32=BC4+AK2AB2，∵AB2=AC2+ BC2，AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2，∴AC2−A K2=BC2−B K2，即AC2−B C2=AK2−B K2，∴S12+S42−(S22+S32)=AC4+AB2BK2−(BC4+AK2AB2)=AC4−B C4+AB2(BK2−A K2)=(AC2+BC2)(AC2−B C2)−A B2(AC2−B C2) =AB2(AC2−B C2)−AB2(AC2−B C2)=0，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，二．填空题11．c2+ab a2+b2+ab【详解】解：如图所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab．故答案为c2+ab，a2+b2+ab．12． 20 13【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得AB=12−（−8）=20故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE=1−（−17）=18由ΔADE是直角三角形，得：（CE−CD）2+AE2=a2∴52+122=a2故答案为：13 13．102【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA3=3，OA4=4=2，.. OA n=n，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得S10即可．【详解】由题意得：OA2=OA12+A1A22=12+12=2，OA3=OA22+A2A32=12+(2)2=3，OA4=OA32+A3A42=12+(3)2=4=2,∴OAn=n，∴OA10=10，∴S10=12OA10⋅A10A11=12×10×1=102，故答案为：102．14．①③【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为5，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可．【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为5的正方形，符合题意；如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为5的正方形，符合题意；按照②中剪法，无法拼接成边长为5的正方形，不符合题意；故选①③．故答案为：①③．15．3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，∴AB=AC2+BC2=162+122=20，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE=12BC＝8cm，S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2．当点P在线段AC上运动时，∵△APE的面积等于12，即S△APE =14S△ACE，∴AP=14AC=3，∴t=3÷1=3秒；当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，同理可知BP=14BE=2cm，∴t=(12+8+2)÷1=22秒；当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，同理可知CP=12CE=2cm，∴t=(12+8−2)÷1=18秒；故答案为∶3或18或22．16．13【分析】通过过点A 作GC 的平行线AN ，并在AN 上截取AH =AC ，构造全等三角形，得到当B ，D ，H 三点共线时，可求得AE +BD 的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】如图，过点A 作GC 的平行线AF ，并在AF 上截取AH =AC ，连接DH ，BH ．则∠HAD =∠C ．在△ADH 和△CEA 中，{AD =CE ，∠HAD =∠C ，AH =CA ，∴△ADH≌△CEA(SAS)，∴DH =AE ，∴AE +BD =DH +BD ，∴当B ，D ，H 三点共线时，DH +BD 的值最小，即AE +BD 的值最小，为BH 的长．∵AG ⊥BG ，AB =41，AG =5，∴在Rt △ABG 中，由勾股定理，得BG =AB 2−A G 2=(41)2−52=4．如图，过点H 作HM ⊥GC ，交GC 的延长线于点M ，则四边形AGMH 为长方形，∴HM =AG =5，GM =AH =AC =8，∴在Rt △BMH 中，由勾股定理，得BH =BM 2+HM 2=(4+8)2+52=13．∴AE+BD的最小值为13．故答案为：13．三．解答题17．证明：如图，延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE，∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC，又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=EC=3，∠BAD=∠E，又∵AE=2AD=4,AC=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB．18．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=x m，则OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，．∴32+（8-x）2=x2，解得x=7316∴机器人行走的路程BC为73m．1619．（1）解：第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1，第二个数为4=2×1×(1+1)，第三个数为4=2×(1+1)+1，第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1，第二个数为12=2×2×(2+1)，第三个数为12=2×2×(2+1)+1，第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1，第二个数为24=2×3×(3+1)，第三个数为25=2×3×(3+1)+1，所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9，第二个数为2×4×(4+1)=40，第三个数为2×4×(4+1)+1=41，∴第四组勾股数组为(9,40,41)；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)，证明：∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n+1)2=(2n2+2n+1)(2n2+2n+1)=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)220．解：（1）如图，连接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），即线段BG的长度为5dm；（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137②把ABEF展开，如图此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55③如图所示，把BCFGF展开，此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．21．（1）解：∵直线DE是对称轴，∴AE=BE，∵AC=6,BC=8，设AE=BE=x，则CE=8−x在Rt△ACE中，∠C=90°，∴AC2+CE2=AE2，∴62+(8−x)2=x2，，解得x=254∴BE=254（2）解：∵直线AF是对称轴，∴AC=AG，CF=CG，∵AC=6,BC=8，设CF=CG=x，则BF=8−x，∴在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=AC2+BC2=62+82=10，∴BG=AB−AG=4，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，∴GF2+BG2=BF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴BF=8−3=5．22．解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（3）如图所示，在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，DM、FM即为裁剪线，将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG 重合，得到正方形DMFH，∴剪出的块数最少为5块，故答案为：5．23．如图：∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，∴四边形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）•CC′÷2＝(a+b)22S △ACB ＝12AC ⋅BC =12ab ，S △BC ′B ′＝12ab ，S △ABB ′＝12c 2，所以(a +b)22=12ab +12ab +12c 2，a 2+2ab+b 2＝ab+ab+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；拓展1．过A 作AP ⊥BC 于点P ，如图2，则∠BMF ＝∠APB ＝90°，∵∠ABF ＝90°，∴∠BFM+∠MBF ＝∠MBF+∠ABP ，∴∠BFM ＝∠ABP ，在△BMF 和△ABP 中，{∠BFM =∠ABP ∠BMF =∠APB =900BF =AB，∴△BMF ≌△ABP （AAS ），∴FM ＝BP ，同理，EN ＝CP ，∴FM+EN ＝BP+CP ，即FM+EN ＝BC ，故答案为FM+EN ＝BC ；拓展2．过点D 作PQ ⊥m ，分别交m 于点P ，交n 于点Q ，如图3，则∠APD ＝∠ADC ＝∠CQD ＝90°，∴∠ADP+∠DAP ＝∠ADP+∠CDQ ＝90°，∴∠DAP ＝∠CDQ ，在△APD 和△DQC 中，{∠DAP =∠CDQ ∠APD =∠DQC AD =DC，∴△APD ≌△DQC （AAS ），∴AP ＝DQ ＝2，∵PD ＝1，∴AD 2＝22+12＝5，∴正方形的面积为 5，故答案为5．。

北师大版八年级数学：第一章勾股定理同步测试题三套

第一章勾股定理综合测试三套姓名勾股定理综合测试(一)一、选择题：（每小题4分，共32分）1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，122、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm24、如图，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（）A．6 B．8 C．10 D．125、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米6、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤247、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2 C．10cm2D．12cm28、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（）A、36，B、22C、18D、12二、填空题（每小题3分，共21分）9、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为厘米。

10、如图，从电线杆离地面６米处向地面拉一条长１０米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为米。

11、如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=8，则AD2= 。

12、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则________AB米。

北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷(含答案)

北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一．选择题1．下列线段不能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．2，3，C．4，7，5D．1，，2．下列各组数中，能构成直角三角形的三边的长度是（）A．3，5，7B．，，C．0.3，0.5，0.4D．5，22，233．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A．4m B．6m C．8m D．10m4．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定5．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）A．B．C．D．6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．77．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）cm．A．14B．15C．16D．178．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．19．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．6，8，10B．9，41，40C．8，12，15D．5k，12k，13k（k为正整数）10．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2二．填空题11．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为．12．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是边AC上的高，CD＝2，则BD＝．14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝cm．15．若△ABC的三边a、b、c，其中b＝1，且（a﹣1）2+|c﹣|＝0，则△ABC的形状为．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．17．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．18．请写出两组勾股数：、．19．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元．20．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．三．解答题21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．22．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．23．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．24．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．25．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．26．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．27．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、52+122＝169＝132，故是直角三角形，不符合题意；B、22+（）2＝9＝32，故是直角三角形，不符合题意；C、42+52＝41≠72，故不是直角三角形，符合题意；C、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，不符合题意．故选：C．2．解：A、∵32+52＝34≠72，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；B、∵（）2+（）2＝7≠（）2 ，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；C、∵（0.3）2+（0.4）2＝0.25＝（0.5）2，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；D、∵52+222＝509≠232，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误．故选：C．3．解：在Rt△AOB中，AB＝＝10m，∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．即少走了4m．故选：A．4．解：根据题意得：如图：OA＝40×20＝800m．OB＝40×15＝600m．在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故选：C．5．解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，由题意可得，，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，∴这个直角三角形的面积＝ab＝．故选：A．6．解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．7．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故选：B．8．解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．故选：A．9．解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、82+122≠152，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（5k）2+（12k）2＝（13k）2，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；故选：C．10．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．二．填空题11．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以，KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故答案是：110．12．解：由图形及题意可知，AB2+BC2＝AC2设旗杆顶部距离底部有x米，有32+x2＝52，得x＝4，故答案为4．13．解：由已知得：AD＝AC﹣CD＝8，AB＝10，∵BD是高，∴△ADB是直角三角形，∴BD2+AD2＝AB2，∴BD＝＝6．14．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝5，∵FC∥DE，∴∠AFC＝∠D＝45°，由勾股定理得，AF＝＝5（cm），故答案为：5．15．解：∵（a﹣1）2+|c﹣|＝0，∴a﹣1＝0，c﹣＝0，解得a＝1，c＝，∵12+12＝（）2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．16．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．故答案为：2π．17．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．阴影故答案是：96m218．解：两组勾股数是：3、4、5；6、8、10；故答案为：3、4、5；6、8、10．19．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，S 四边形ABCD ＝S △BAD +S △DBC ＝，＝＝36．所以需费用36×200＝7200（元）．故答案为：720020．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为（2+3）×3dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：x 2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x ＝17．故答案为：17．三．解答题21．证明：∵MN ⊥AB 于N ，∴BN 2＝BM 2﹣MN 2，AN 2＝AM 2﹣MN 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AM 2，又∵∠C ＝90°，∴AM 2＝AC 2+CM 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AC 2﹣CM 2，又∵BM ＝CM ，∴BN 2﹣AN 2＝﹣AC 2，即AN 2﹣BN 2＝AC 2．22．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴，∵CD ＝12，AD ＝13，∵AC 2+CD 2＝52+122＝169，AD 2＝169，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴∠C ＝90°，∴△ACD 是直角三角形，∵点E 是AD 的中点，∴CE ＝．23．（1）△ABE 是等腰直角三角形，证明：∵Rt △ABC 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt △ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠BAC +∠CAE ＝∠CAE +∠DAE ＝90°，又∵AB ＝AE ，∴△ABE 是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，∴四边形ABFE 的面积等于：b 2．（3）∵S 正方形ACFD ＝S △BAE +S △BFE即：b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ），整理：2b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ）∴a 2+b 2＝c 2．24．解：（1）△ABC 为直角三角形，理由：由图可知，，BC ＝，AB ＝＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．25．解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；．26．解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则有CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解之得：x＝9，∴AD＝12，∴S＝BC•AD＝×14×12＝84．△ABC27．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理测试题含答案

第 1 页八年级上北师大版第一章勾股定理测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是（）.（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，412. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为（）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）29 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 及D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（）.（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）85. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（）.（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）1360 7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为（）.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，则这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）.（A ）6秒（B ）5秒（C ）4秒（D ）3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形及中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，则2)(b a + 的值为（）.（A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）1 10. 如图5所示，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE=12，BF=16，则由点E 到F 的最短距离为（）.（A ）20 （B ）24 （C ）28 （D ）32二、填空题（每小题3分，共30分）第 2 页11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 .（2）斜边x= .4AB =，分别 13. 如图7，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．14. 四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形.15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且及AE 重合，则CD 的长为．三、简答题（50分）16.（8分）如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积.17.（8分）如图10，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.（1）在方格纸上，以线段AB 为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法.（2）你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？18.（8分）如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD 上，CE=2m ，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）19.（8分）如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？20.（8分）如图13（1）所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图13（2）所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.（1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条.///C B A ∠的大（2）试比较立体图中∠ABC 及平面展开图中小关系.21.（8分）如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，则梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 22.（8分）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．1. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形及中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1第 3 页图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，则2)(b a 的值为（）.（A ）1（B ）12（C ）13（D ）252. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）. （A ）532、（B ）1086、（C ）222543、、（D ）1、2、33. 如图2，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高.若AB=5cm ，BC=6cm ，则AD= cm.4. 正方体的棱长为2cm ，用经过A 、B 、C 三点平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm.5. 如图4，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD 上，CE=2m ，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）6. 为了打击索马里海盗，保护各国商船顺利通行，我海军某部奉命前往某海域执行保航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 出的某外国商船招到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°方向有我军护航舰（图5），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.该船舰需要多少分钟可以达到商船所在位置处？（结果精确到个位）。