【数学】冀教版八年级上册第16章轴对称和中心对称【教学设计】角平分线的判定

角平分线的判定
学习目标：学习角平分线的判定定理，熟练地应用判定定理解决问题。

学习重点：角平分线的判定定理及其应用。

学习难点：灵活应用判定定理解决问题。

活动一、课前小测
1.如图1，OP平分∠AOB，PC⊥OA，垂足为C，PD⊥OB，垂足D，则PC与PD 的大小关系是（B ）
A.PC＞PD
B.PC=PD
C.PC＜PD
D.不能确定
2.如图2，在△ABC中，AB=AC，AD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中正确的有（ D ）
①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图3，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直平分AB交AB于E，若DE= AD=1.5cm，则BC=（ D ）
A.3cm
B.7.5cm
C.6cm
D.4.5cm
活动二、新课讲解
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN
相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上。

教师批注：一定要引导学生自己证明这个结论，然后在黑板上直接由条件得到结论，问学生是否成立？如果学生确定，那么可以让学生用一句完整的话总结一下自己的发现。

学生可能回答的过程中会遇到很多问题而且表达不是很全面，我们可以让学生自己补充，让他们体会学习的成就感。

证明：∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
活动三、例题讲解
例1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上。

教师批注：分析：
方法一：有角的平分线就会用到角平分线的性质，所以我们可以从条件到结论这种正推的方法，直接从条件入手，因为有两个角平分线而且他们都有交点，所以可以直接应用这个点的性质作角两边的垂线。

方法二：要我们证明一个点是否在角的平分线上，我们可以直接用角平分线的判定，这样也要过这个交点作角两边的垂线。

正好利用这个题目让学生体会一下反推的思想。

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
活动四、巩固练习
1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠DFC=90°
在Rt△BDE和Rt△CDF中
BE=CF（公共边
BD=CD
∴ Rt△BDE≌Rt△CFD（HL）
∴DE=DF
∴点D在∠BAC的平分线上
∴AD是△ABC的角平分线
活动五、知识应用
1.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
分析：
在确定集贸市场的位置时，一定要画
出角的平分线吗？你是怎样思
考的？你是如何证明的？
2.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村。

要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
分析：在确定度假村的位置时，一定要画出三个角的平分线吗？
你是怎样思考的？你是如何证明的？
3.直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：（ D ）
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
活动六、课堂小结：
请你说说本节课的收获。

1、角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

3、应用角平分线的定理解决相关实际问题。

作业：学习辅导。