离散数学课件第三章练习

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(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)

a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。

解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。

解因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。

3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。

解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。

R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。

3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。

离散数学第3章答案

习题3.11.(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) {aa , ab , ba , bb }(3) {-1,1}(4) {11,13,17,19,23,29}(5) {1,2,3, (79)(6) {2}2. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过200的自然数的集合;{|N 200}x x x ∈∧≤(2) 被5除余1的正整数的集合;+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧∃∈∧=+(3) 函数y =sin x 的值域;{|R 11}y y y ∈∧-≤≤(4) 72的质因子的集合;{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧∀∈∧≤<→/(5) 不等式031>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>(6) 函数2312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ⊆(2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ⊆(3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合;① 1A ∈② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ⊆(4) 5的正整数倍的集合.① 5A ∈② 如果x A ∈，则5x A +∈4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合):(1) ;A ∈∅(2) ;A ⊆∅ (3) };{A A ∈ (4) ;A A ⊆ (5) ;A A ∈ (6) };{A A = (7) }.{∅=∅答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。

离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)PPT课件

离散数学
主讲教师
13.11.2020
1
第三章集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
2
集合论集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中，每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三，四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
13.11.2020
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15
二、文氏图（Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
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二、文氏图（Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。

自考离散数学教材课后题第三章答案

3.1 习题参考答案1、写出下列集合的的表示式。

a)所有一元一次方程的解组成的集合。

A={x|x是所有一元一次方程的解组成的集合}晓津答案：A={x| ax+b=0∧a∈R∧b∈R}b) x2-1 在实数域中的因式集。

B={1,(x-1),(x+1)|x∈R}c)直角坐标系中，单位圆内（不包括单位圆周）的点集。

C={x,y| x2+y2<1 }晓津答案：C={a(x,y)|a为直角坐标系中一点且 x2+y2<1 }d)极坐标中，单位圆外（不包括单位圆周）的点集。

D={r,θ| r>1,0<=θ<=360}晓津答案：D={a(r,θ)|a为极坐标系中一点且 r>1,0<=θ<=2π }e)能被5整除的整数集E={ x| x mod 5=0}----------------------------------------------------------------2、判定下列各题的正确与错误。

a) {x}{x};正确b) {x}∈{x};正确晓津观点:本命题错误。

理由：{x}作为一个元素是一个集合，而右边集合中的元素并不是集合。

c) {x}∈{x,{x}};正确d) {x}{x,{x}};正确----------------------------------------------------------------3、设 A={1,2,4},B={1,3,{2}},指出下列各式是否成立。

a) {2}∈A; b) {2}∈B c) {2}Ad) {2}B; e) ∈A f) A解：jhju、晓津和wwbnb 的答案经过综合补充，本题的正确答案是：b、c、d、f成立，a，d、e不成立。

理由：a式中，{2}是一个集合，而在A中并无这样的元素。

因此不能说{2}属于A，当然如果说2∈A则是正确的。

对于e式也应作如此理解，空集是一个集合，在A中并无这个集合元素,如f 式则是正确的。

离散数学第三章集合与关系-习题课

11
河南工业大学离散数学课程组
四.证明R的反对称性方法1 用定义1证：任取 x,y∈A,设<x,y>∈R, <y,x>∈R.证出 x=y。方法2 用定义2证：任取 x,y∈A,x≠y, 设<x,y>∈R,证出<y,x>R. 方法3 用定理证：证出 R∩Rc IA . (见教材P118) 五.证明R的传递性：方法1 用传递定义证：任取 x,y,z∈A,设<x,y>∈R,<y,z>∈R, 证出 <x,z>∈R. 方法2 用传递闭包证：证出 t(R)=R, 即 R∪R2∪R3∪... =R. 方法3 用定理证：证出R R R ( P119 (2) a) ) 下面证明第113页 (4)
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离散数学
河南工业大学第三章
信息科学与工程学院
集合与关系
1
河南工业大学离散数学课程组 3-2（9）在什么条件下，下面命题为真？
a) (A-B)∪(A-C)=A (A-B)∪(A-C)= (A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C) = A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A 所以满足此式的充要条件是： A∩(B∩C)= Φ或A ~ (B∩C) b) (A-B)∪(A-C)=Φ (A-B)∪(A-C)= A∩~(B∩C)= A-(B∩C)=Φ 所以满足此式的充要条件是：A B∩C c) (A-B)∩(A-C)=Φ (A-B)∩(A-C)= (A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ 所以满足此式的充要条件是: A B∪C d) (A-B)(A-C)=Φ 因为当且仅当A=B ，才有AB=Φ 所以满足此式的充要条件是: A-B=A-C

湖南大学离散数学第三章习题一解答

第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。

1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。

(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。

解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。

由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。

已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。

（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ；只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。

湖南大学离散数学第三章习题一解答

(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。

解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。

由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。

《离散数学》课件第3章

(5)基数大于1的集合上的全域关系是自反的,对称的和传递的,但不是反自反的和反对称的.例如图3.1―11 所示的关系。
第3章二元关系
图 3.1―11
第3章二元关系
3.2 关系的合成
3.2.1 关系的合成前边已经指出，关系是序偶的集合，因此可以进
行集合运算。本节介绍一种对关系来说更为重要的运算——合成运算。假设R1是A到B的关系，R2是B到C的关系(参看图3.2-1)。合成关系R1R2是一个A到C的关系: 如果在关系图上，从a∈A到c∈C有一长度(路径中弧的条数)为2的路径，其第一条弧属于R1，其第二条弧属于R2，那么〈a，c〉∈R1R2。合成关系R1R2就是由〈a， c〉这样的序偶组成的集合。
例3.1-1和例3.1-2是列举法的例子。一个谓词P(x1,x2,…,xn)可以定义一个n元关系R:
R={〈x1,x2,…,xn〉|P(x1,x2,…,xn)} 例如,实数R上的二元关系＞可定义如下:
＞={〈x,y〉|x∈R∧y∈R∧x＞y} 反之,一个n元关系也可定义一个谓词:
P(x1,x2,…,xn)=
利用关系R的图示,也可写出关系R.
第3章二元关系
3.1.4 关系的特性在研究各种二元关系中,关系的某些特性扮演着重
要角色,我们将定义这些特性,并给出它的图示和矩阵的特点
定义3.1―5 设R是A上的二元关系, (1)如果对A中每一x,xRx,那么R是自反的.即
A上的关系R是自反的 x(x∈A→xRx)
第3章二元关系
例3.1-2 设学生集合A1={a,b,c,d},选修课集合A2={日语,法语},成绩等级集合A3={甲,乙,丙}.如果四人的选修内容及成绩如下:
a日乙 b法甲 c 日丙 d 法乙我们可表达为 S={〈a, 日 , 乙〉,〈b, 法 , 甲〉,〈c, 日 , 丙〉,〈d,法,乙〉}

《离散数学》课件-第3章集合的基本概念

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例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
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3.3 集合的运算
集合的运算并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
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集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集合称为A与B的并集，可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
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德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1）（AB）= A B • （2）（A B）= A B • 证明设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1）（AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。例如，全体整数全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},

离散数学课件-第3章-3

个男士和n个女士【Example】一个组有个男士和个女士。如果把他们男】一个组有n个男士和个女士。女相间地排成一排，有多少种方式？女相间地排成一排，有多少种方式？ Solution:
我们假设这一排列可以有不同性别的排头。我们假设这一排列可以有不同性别的排头。首先我们先考虑n个男士的排列，首先我们先考虑个男士的排列，所有的排列数个男士的排列 P (n, n)=n! 同样的我们也可以得到n个女士的排列数也为同样的我们也可以得到个女士的排列数也为n!. 个女士的排列数也为现在将n个男士与个女士相间的排列现在将个男士与n个女士相间的排列，我们可以采取先将女士排个男士与个女士相间的排列，列好，然后往其中进行男士的排列，列好，然后往其中进行男士的排列，并存在男士作为排头或女士作为排头的两种情况。为排头的两种情况。由乘积法则可以知道总的排列方式数为
单位有7位代表单位有3位代表【example】 A单位有位代表，B单位有位代表，排成一列】单位有位代表，单位有位代表，合影，要求B单位人排在一起。单位3人排在一起合影，要求单位人排在一起。 a) 问有多少种不同的排列方案？问有多少种不同的排列方案？ b) 若B单位的人不能相邻，且A单位的人排在两端，问单位的3人不能相邻单位的2人排在两端单位的人不能相邻，单位的人排在两端，有多少种不同的排列方案。有多少种不同的排列方案。 Solution： a) 将B单位个人的某一排列作为一个元素，参加单位进行排列。单位3 单位进行排列。单位个人的某一排列作为一个元素，参加A单位进行排列
Example 5 字母字母ABCDEFGH有多少种排列包含串有多少种排列包含串ABC？有多少种排列包含串？ Solution：由于字母ABC必须成组出线，我们可以通过找6个对必须成组出线，我们可以通过找个对由于字母必须成组出线和单个字母D、、、和的排列数得象，即组ABC和单个字母、E、F、G和H的排列数得即组和单个字母到答案。到答案。由于这6个对象可以按任何次序出线，由于这个对象可以按任何次序出线，存在个对象可以按任何次序出线 6！=6*5*4*3*2*1=720种ABCDEFGHZ字母的排列，其！字母的排列，种字母的排列成组出现。中ABC成组出现。成组出现

离散数学第3-5章习题答案

第三章1、用枚举法写出下列集合。

①英语句子“I am a student”中的英文字母；解：{I,a,m,s,t,u,d,e,n}②大于5小于13的所有偶数；解：{6,,8,10,12}③20的所有因数；解：{1,2,4,5,10,20}④小于20的6的正倍数。

解：{6,12,18}2、用描述法写出下列集合。

①全体奇数；解：S={x|x是奇数}②所有实数集上一元二次方程的解组成的集合；解：S={x|x是实数集上一元二次方程的解}③二进制数；解：S={x|x是二进制数}④能被5整除的整数集合。

解：S={x|x是能被5整除的整数}3、求下列集合的基数。

①“proper set”中的英文字母；解：S={p,r,o,e,s,t}所以 cardS=|S|=6②{{1,2}，{2,1,1}，{2,1,2,1}}；解： cardS=|S|=3③{x|x=2或x=3或x=4或x=5}；解：cardS=|S|=4④{{1，{2,3}}}。

解：cardS=|S|=14、求下列集合的幂集。

①“power set”中的英文字母；解：S={p,o,w,e,r,s,t}(S)是所有S的子集构成的集合，这里不一一列举了。

②{3,6,9}；解：℘(S)={Φ ,{3},{6},{9},{3,6},{3,9},{6,9},{3,6,9}} ③小于20的5的正倍数；解：S={5,10,15} ℘(S)={Φ,{5},{10},{15},{5,10},{5,15},{10,15},{5,10,15}} ④{{1,3}}。

解：℘(S)={Φ,{1,3}}5、设Φ=A ，B=a ，求P(A) ，P(P(A)) ，P(P(P(A))) ，P(B) ，P(P(B)) ，P(P(P(B)))。

解：P(A)={Φ};P(P(A))={Φ,{Φ}};P(P(P(A)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}P(B)={Φ,a };P(P(B))={Φ,{Φ},{a},{Φ,a}};P(P(P(B)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{{a}},{{Φ,a}},{Φ,{Φ}},{Φ,{a}},{Φ,{Φ,a}},{{Φ},{a}},{{Φ},{Φ,a}},{{a},{Φ,a}},{Φ,{Φ},{a}},{Φ,{Φ},{Φ,a}},{Φ,{a},{Φ,a}},{{Φ},{a},{Φ,a}},{{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}}.6、如果集合A 和B 分别满足下列条件，能得出A 和B 之间有什么联系？ ①A ∪B=A ； ②A ∩B=A ； ③A －B=A ； ④A ∩B=A －B ； ⑤A －B=B －A ； ⑥A B A =⊕。

离散数学第三章习题详细答案

离散数学第三章习题详细答案3.9解：符号化：p：a是奇数.q：a是偶数.r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔((p∧r)∨¬p)∨((q∧¬r)∨¬q)⇔(r∨¬p)∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r)∨¬q⇔1即为成佛该式为重言式，则原结论恰当。

方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔m0+m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7所述该式为重言式，则结论推理小说恰当。

3.10.解：符号化：p：a就是负数.q：b就是负数.r：a、b之四维负前提：r→(p∧¬q)∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q)∨(¬p∧q))→(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬(¬r∨(p∧¬q)∨(¬p∧q))∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只不含5个极小项，课件完整不是重言式，因此推理小说不恰当3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

解：③：①②谓词三段论⑤：③④谓词三段论⑦：⑤⑥假言推理小说3.12.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

第三章离散数学全文-大学课件-

⑵设f是满函数，要证f有右逆函数，即构造一个g:B A 使f·g=IB，则g为f的右逆函数。
证明：因为f是A B的满射，所以对 b∈B， a∈A使得f(a)=b。
构造g，对b∈B＝f(A）定义g(b)=a，其中a是满足f(a)=b的任意一个确定的a。
这样g给B中每一个元素定义了唯一的象。
所以g:B A的函数对 b"∈B,记a " =g(b ")，则f·g(b ")=f(g(b "))=f(a ")=b" =IB(b " 所以f·g=IB，g是f的右逆函数。
∴说这个小组有5个同学。
定义3-10：如果从集合Nm到A存在一个双射，则称集合A是
有限集，＃A＝m。＃Φ＝0，Φ也是有限集。不是有限集的集
合称为无限集
有限集中最简单的一种是可数集。
定义3-11：如果从集合N到A存在一个双射，则称A是可数集。记＃A＝§。“§ ”读作“阿列夫零”。有限集和可数集总称为可计数集。如果集合A是无限的但不是可数的，则称A是不可数集。
⒈n＝8时，可由一张3分和一张5分的邮票组合而成。则p(8)真。
⒉设n＝k时，p(k)真，即我们可以用3分和5分的邮票恰好组成k分的邮费。那么n＝k+1时：
①若我们组成的k分邮费中至少有一张5分的邮票，那么用2张三分的邮票去代替这张5分的邮票，我们就得到 k+1分的邮费。即p(k+1) 真。
②若k分的邮费全用3分的邮票组成，因此用两张5分的邮票去代替三张3分的邮票就得到k+1的邮费。即p(k＋1)真。
例1：Z(非负整数)是可数集
f:N Z f(x)=x-1 显然f是双射。
命题1：一个集合是可数集合的充要条件是它可以排成一个无序列的形式。

离散数学第三章

离散数学第三章第一篇：离散数学第三章第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r 结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r 结论：p∧q 证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)⑤ 置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q 结论：s→r 证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s 结论：⌝p 证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第二篇：离散数学离散数学课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} ⊆ A。

1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]A．C；B．A；C．B；D．Ø。

1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立？（1）N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S［不成立］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示？答：A = E；B = C；D = F1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且x2 ≤ 9 }（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }答：（1）A = { 0，1，2，3 }；（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且x≤ y }求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。

华科离散数学第三章

14
例3 设有函数f, g, h,均是由实数集R到R的函数,
且f (x)=x+3 ,g (x)=2x+1, h (x) ＝x/2 求复合函数 h •(g•f) , (h•g)•f 。
解: 所求的复合函数都是由R到R的函数
g f (x) g( f (x)) g(x 3) 2(x 3) 1 2x 7
所以# (BA)=8 。
f5={(a,2),(b,1),(c,1)} f6={(a,2),(b,2),(c,1)} f7={(a,2),(b,1),(c,2)} f8={(a,2),(b,2),(c,2)}
因此, #(BA)=(#B)#A 6
二、几种特殊的函数定义3－3 设f是一由A到B的函数,
8
练习 3－1
１.设A＝{1, 2, 3, 4, 5} , B={6, 7, 8, 9, 10}, 判断下列由A到B的关系哪些是函数,哪些不是函数。在相应的括号中键入“Y”或“N”。
(1) f1＝{(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ Y ）
(2) f2＝{(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)}
注意：当g•f 是内射时，g可能不是内射，例如
22
当g•f 是满射，f可能不是满射.
例如
当g•f 是双射时，f可能不是满射，g可能不是内射.
例如
23
例6 设有函数f：R→R和g：R→R，定义为
f(x)=x2－2 , g(x)=x＋4 试判断f是否内射？g•f是否内射。
解（1）f不是内射。
因为3 ≠－3 ,但f(3)=f(－3)=7
f 3 (1)= (f•f 2)(1)=f (f 2(1))=f (3)=4 类似地f 3 (2)=1, f 3 (3)=2, f 3 (4)=3

离散数学课件-第3章-4

初始条件是P0=10000. 我们可以使用迭代法找到关于Pn的公式。注意 P1=(1.11)P0 P2=(1.11)P1=(1.11)2P0 … Pn=(1.11)Pn-1=(1.11)nP0
当代入初始条件P0=10000，就得到公式
Pn=(1.11)n10000 我们可以使用数学归纳法验证它的正确性。
思考：关于这个难题有一个古老的传说，在汉诺有一座塔，那里的僧侣按照这个游戏的规则从一个珠子到另一个珠子移动64 个金盘子，据说当它们结束游戏时世界就到了末日。如果这些僧侣1秒钟移动1个盘子，这个世界将在他们开始多久以后终结？
Solution：
根据显式公式
Hn=2Hn-1+1 僧侣们移动64个金盘子需要 264-1=18 446 744 073 709 551 615 次移动来搬动这些盘子。每次移动需要1秒钟，他们将用5000亿年来求解这个问题。
Solution：注意到a1=9，因为存在10个1位十进制数字串，并且只有一个，即串0是无效的。通过考虑怎样由n-1位的数字串构成一个n位有效数字串，这就可以推导出关于这个序列的递推关系。从少1位数字的串构成n位有效数字串有两种方式。第一种，在一个n-1位的有效数字串后面加上一个非0的数字就可以得到一个n位的有效数字串。加这个数字的方式有9种。因此用这种方法构成n位有效数字串的方式有9an-1种。
公式对n=0是正确的，这是初始条件的直接结果。
假定Pn=(1.11)n10000,那么由递推关系和归纳假设， Pn+1=(1.11)Pn=(1.11)(1.11)n10000=(1.11)n+110000
这证明了对Pn的显式公式是正确的。
将n=30代入公式Pn=(1.11)n10 000就证明了在30年后账上包含 P30=(1.11)30 10000=228922.97美元。

《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论

判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则（2）结论引入规则（隐规则）（3）置换规则：等值置换（4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B）（6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C）（9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则（11）破坏性二难推理规则（12）合取引入规则

离散数学课后习题答案(第三章)

所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。
3-10.7设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
3-10.6设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使<a,b>在R之中，则R是一个等价关系。
证明：对任意a∈A，必存在一个b∈A，使得＜a,b＞∈R.
因为R是传递的和对称的，故有：
＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈R＜a, c＞∈R＜c,a＞∈R
由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈R＜a,a＞∈R
若c<0，则a<0u<0au>0
所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。
关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。
3-10.9设Π和Π是非空集合A上的划分，并设R和R分别为由Π和Π诱导的等价关系，那么Π细分Π的充要条件是RR。
2设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若
＜＜x,y＞,＜u,v＞＞∈R==＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
＜＜x,y＞,＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞,＜w,s＞＞∈R
（=）∧（=）=
＜＜x,y＞,＜w,s＞＞∈R
故R是传递的，于是R是A上的等价关系。
因此，RkRj，于是I/Rk细分I/Rj

离散数学课件 第三章练习

(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)

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《离散数学》课件第3章

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