2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——考前回扣4 含答案
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——解答题滚动练5
解答题滚动练51．已知α∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24. (1)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3的值． 解 方法一 联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24，sin 2α＋cos 2α＝1.⇒4sin 2α－(6－2)sin α－(1＋3)＝0，解得sin α＝6＋24或sin α＝－22， 因为α∈(0，π)，所以sin α＝6＋24， 所以cos α＝2－64. (1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝6＋24×22－2－64×22＝62×22＝32. (2)sin2α＝2sin αcos α＝2×6＋24×2－64＝－12，cos2α＝1－2sin 2α＝－32. cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝－32. 方法二 因为α∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝6－24＜12，所以5π6<α＋π3<4π3， sin 11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝sin π4cos π6－cos π4sin π6＝6－24， 所以α＋π3＝11π12，所以α＝7π12. (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4 ＝sin π3＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12－π3＝cos 5π6＝－32. 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，△ACD 是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝1，PD ＝2，N 为PD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PAB ；(2)求证：CN ∥平面PAB .证明 (1)因为BD 垂直平分AC ，所以BA ＝BC ，在△ABC 中，因为∠ABC ＝120°，所以∠BAC ＝30°.因为△ACD 是正三角形，所以∠DAC ＝60°，所以∠BAD ＝90°，即AD ⊥AB .因为AB ＝1，∠ABC ＝120°，所以AD ＝AC ＝3，又因为PA ＝1，PD ＝2，由PA 2＋AD 2＝PD 2，知∠PAD ＝90°，即AD ⊥AP .因为AB ，AP ⊂平面PAB ，AB ∩AP ＝A ，所以AD ⊥平面PAB .(2)方法一 取AD 的中点H ，连结CH ，NH .因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ，因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ，所以HN ∥平面PAB .由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH ⊥AD .由(1)知，BA ⊥AD ，所以CH ∥BA ，因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ，所以CH ∥平面PAB .因为CH ，HN ⊂平面CNH ，CH ∩HN ＝H ，所以平面CNH ∥平面PAB .因为CN ⊂平面CNH ，所以CN ∥平面PAB .方法二 取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN .因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且SN ＝12AD ， 因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN .由(1)知，AB ⊥AD ，所以CT ⊥AT ，在Rt △CBT 中，BC ＝1，∠CBT ＝60°，得CT ＝32. 由(1)知，AD ＝3，所以CT ＝12AD ， 所以CT ＝SN .所以四边形SNCT 是平行四边形，所以CN ∥TS .因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ，所以CN ∥平面PAB .3．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，两个定点A (a,2)，B (m,1)，其中a ∈R ，m >0.P 为圆O 上任意一点，且PA PB＝k (k 为常数)．(1)求常数k 的值；(2)过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝m 交于M ，N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，x 2＋y 2＝4， PA ＝(x －a )2＋(y －2)2，PB ＝(x －m )2＋(y －1)2， 因为PA PB ＝k ，所以(x －a )2＋(y －2)2＝k 2[(x －m )2＋(y －1)2]，又x 2＋y 2＝4，化简得2ax ＋4y －a 2－8＝k 2(2mx ＋2y －m 2－5)，因为P 为圆O 上任意一点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2mk 2，4＝2k 2，a 2＋8＝k 2(m 2＋5)，又m ＞0，k ＞0，解得⎩⎨⎧ k ＝2，a ＝2，m ＝1，所以常数k ＝ 2. (2)方法一 设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0－2,2y 0－t )，又点M ，N 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝1，(2x 0－2)2＋(2y 0－t )2＝1有解， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝1，8x 0＋4ty 0－t 2－7＝0有解， 即直线n ：8x ＋4ty －t 2－7＝0与圆C ：x 2＋y 2＝1有交点，则点(0,0)到直线n 的距离d ＝|t 2＋7|64＋16t 2≤1，化简得，t 4－2t 2－15≤0， 解得t ∈[－5，5]．方法二 设过E 的切线与圆C 切于切点F ，EF 2＝EM ·EN ，又M 是线段NE 的中点，所以EN ＝2MN ，EM ＝MN ，所以EF 2＝2MN 2，又EF 2＝EC 2－CF 2＝22＋t 2－1＝t 2＋3，MN ≤2，所以t 2＋3≤8，所以t ∈[－5，5]．4．已知函数f (x )＝－x 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，且该函数在x ＝1处取得极值．(1)求实数a 的值，并求出函数的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－b ＋5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点，求实数b 的值． 解 (1)由已知，得f ′(x )＝－2x －2a －1＋1x， 据题意，f ′(1)＝0，得到a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋x ＋ln x ， f ′(x )＝－2x ＋1＋1x ＝(2x ＋1)(－x ＋1)x. 由x ＞0，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＜0，得x ＞1，所以函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝－1， f (x )的单调增区间为(0,1)，f (x )的单调减区间为(1，＋∞)．(2)g (x )＝f (x )－b ＋5x 2＝－x 2＋7x 2＋ln x －b ，x ∈(0，2018)． 则g ′(x )＝－2x ＋72＋1x， 令g ′(x )＝0, 得x ＝2，负值舍去．当0＜x ＜2时，g ′(x )＞0，g (x )的单调增区间为(0,2)，当2＜x ＜2018时，g ′(x )＜0，g (x )的单调减区间为(2，2018)．所以函数g (x )＝f (x )－b ＋5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点，等价于g (2)＝0， 解得b ＝ln2＋3.。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题(冲刺集合195页)
2018考前三个月高考数学理科（江苏专用）总复习训练题(冲刺集合195页)附加题高分练+解答题滚动练+小题满分练 +中档大题规范练+压轴大题突破练+考前回扣中档大题规范练 1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解 (1)方法一 在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝3，得a 2＋c 2－b 2＝6c ，①b cos A ＝1，则b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，得b 2＋c 2－a 2＝2c ，②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B ) ＝sin(π－C )＝sin C ， 由asin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin C c，代入上式得 c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得a cos Bb cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan Atan B＝3. 又tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33， 解得tan B ＝33.又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A .(1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解 (1)方法一 在△ABC 中，由正弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ， 即sin A ＝2sin A cos A .因为A ∈(0，π)，则sin A ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.方法二 在△ABC 中，由余弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝bc cos A ＝3，得bc ＝23， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×23sin π3＝32.3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B .(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．解 (1)由b sin2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213.所以cos B ＝cos[π－(A ＋∠ACB )]＝－cos(A ＋∠ACB ) ＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝BCsin A sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5.在△BCD 中，由余弦定理，得CD ＝BD2＋BC 2－2BD ·BC cos B＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.3．空间平行与垂直1．(2017·南京学情调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点．(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD.证明(1)如图，连结A1C，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C. 又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 的中点， 因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ， 所以PD ∥OE .因为O 为BD 的中点，所以E 为PB 的中点． (2)在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以OC ＝22AB ， 所以PC ＝OC .因为G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO . 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， 所以PC ⊥BD .而四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 因为AC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ， 所以BD ⊥平面PAC ，因为CG ⊂平面PAC ，所以BD ⊥CG . 因为PO ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD ＝O ， 所以CG ⊥平面PBD .3．如图，已知平面PAC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥CB ，M 是AE 的中点． (1)若N 是PA 的中点，求证：平面CMN ⊥平面PAC ； (2)若MN ∥平面ABC ，求证：N 是PA 的中点．证明 (1)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥平面PAC ，因为M ，N 分别为AE ，AP 的中点，所以MN ∥PE ， 又因为PE ∥BC ，所以MN ∥BC ， 即MN ⊥平面PAC ，又MN ⊂平面CMN ， 所以平面CMN ⊥平面PAC .(2)因为PE ∥CB ，BC ⊂平面ABC ，PE ⊄平面ABC ， 所以PE ∥平面ABC ，设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ，则PE ∥l . 又MN ∥平面ABC ，MN ⊂平面PAE ，所以MN ∥l . 所以MN ∥PE ，因为M 是AE 的中点，所以N 为PA 的中点．4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点． (1)若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； (2)若A 1B ∥平面ADC 1，求BD DC的值．(1)证明 因为AB ＝AC ，点D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC .因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC . 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD .因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)解 连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为A 1C 的中点．因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD . 因为O 为A 1C 的中点，所以D 为BC 的中点， 所以BD DC＝1.4．应用题1．(2017·苏锡常镇调研)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)．设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问：当α为何值时l 最小，并求最小值．解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ，则∠DCB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，DH ＝h ，设AD ＝x .则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α.因为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h ，则x ＝S h －htan α， 则l ＝f (α)＝2DC ＋AD ＝S h＋h ⎝⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2.(2)f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α，令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3. 当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .答 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh(m)．2．(2017·南京学情调研)如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？解 (1)因为扇形AOC 的半径为40m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x,0＜x ＜π.在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ， 所以△COD 的面积S △COD ＝12OC ·OD ·sin∠COD＝1600sin(π－x )＝1600sin x ，从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π. (2)由(1)知，S (x )＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π， 则S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋12， 由S ′(x )＝0，解得x ＝2π3，从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时，S ′(x )＜0，因此S (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递减．所以当x ＝2π3时，S (x )取得最大值．答 当∠AOC ＝2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．3．某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值．解 (1)设一根木条长为x m ，因为S 四边形ABCD ＞14，所以4－x 2＞14，即x ＜152.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x ＞2， 所以42＜4x ＜215.答 四根木条总长的取值范围为(42，215)．(2)方法一 设AB 所在的木条长为a m ，则BC 所在的木条长为(3－a )m. 因为a ∈(0,2)，3－a ∈(0,2)，所以a ∈(1,2)．S 矩形ABCD ＝41－a 24·1－(3－a )24＝4－a 2·4－(3－a )2＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20， 设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，则f ′(a )＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4)， 令f ′(a )＝0，得a ＝32或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去)．当a 变化时，f ′(a )，f (a )的变化情况如下表：所以当a ＝32时，f (a )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4916，即S max ＝74.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二 设AB 所在的木条长为a m ，BC 所在的木条长为b m ．由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3.因为a ，b ∈(0,2)，所以b ＝3－a ∈(0,2)，从而a ，b ∈(1,2)． 由于AB ＝21－b 24，BC ＝21－a 24，S 矩形ABCD ＝41－b 241－a 24＝4－b24－a 2，因为4－b24－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )222＝74，当且仅当a ＝b ＝32∈(1,2)时，S 矩形ABCD ＝74为最大值．答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.4．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m ，要求通行车辆限高4.5m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy . (1)若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？隧道口截面面积公式为S ＝23lh.解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10，－32，代入抛物线方程解得a ＝3200， 令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40m.(2)抛物线最大拱高为h m ，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10，－h ＋92，代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400.因为h ≥6，所以92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40.所以S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l3l 2－400(20＜l ≤40)．所以S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2， 当20＜l ＜203时，S ′＜0；当203＜l ≤40时，S ′＞0，即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增，所以S 在l ＝203时取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274m ，拱宽为203m 时，使得隧道口截面面积最小．5．直线与圆1．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13. (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋(－4)2＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，(x －1)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0.∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)， 假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l .2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程； (2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．(1)若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2)若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ·k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值．解 (1)因为椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，所以A (－2,0)，F (1,0)．如图，因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1，±32， 根据对称性，可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0.由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)易知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝3. ①当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ ＝－k 2OP ＝－34，所以k OP＝±32，不妨设OP ：y ＝32x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ，x 24＋y23＝1，解得x ＝2，y ＝62，即P ⎝⎛⎭⎪⎫2，62， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为2. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)， 由k OP ·k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb (x 1＋x 2)＋4b 2＝0.(*)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3.由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b |k 2＋1，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值 6. 综上，因为6＞2，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.4．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m .在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l ，m ，欲再建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上，且要求PQ 与圆A 相切．(1)当P 距O 处2百米时，求OQ 的长； (2)当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．解 以O 为原点，直线l ，m 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为x 2＋(y －1)2＝1.(1)由题意可设直线PQ 的方程为x 2＋yq ＝1，即qx ＋2y －2q ＝0(q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切， ∴|2－2q |q 2＋22＝1，解得q ＝83，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．(2)设直线PQ 的方程为x p ＋y q＝1， 即qx ＋py －pq ＝0(p ＞1，q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切，∴|p －pq |q 2＋p 2＝1，化简得p 2＝q q －2，则PQ 2＝p 2＋q 2＝qq －2＋q 2， 令f (q )＝qq －2＋q 2(q ＞2)， ∴f ′(q )＝2q －2(q －2)2＝2(q －1)(q 2－3q ＋1)(q －2)2(q ＞2)， 当2＜q ＜3＋52时，f ′(q )＜0，即f (q )在⎝⎛⎭⎪⎫2，3＋52上单调递减；∴f (q )在q ＝3＋52时取得最小值，故当公路PQ 长最短时，OQ 的长为3＋52百米．6．圆锥曲线1．(2017·苏州期末)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解 (1)由e ＝ca ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3， 椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)代入，得b 2＝2， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2)由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0， 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2， 从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 故k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值． 2．(2017·常州期末)已知圆C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B (0，－2)，F (c,0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B . (1)求t 的值以及椭圆E 的方程；(2)过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？ 解 (1)由题意得b ＝2. 因为C (t,0)，B (0，－2)， 所以BC ＝t 2＋4＝20， 所以t ＝±4.因为t ＜0，所以t ＝－4.因为BC ⊥BF ，所以20＋c 2＋4＝(c ＋4)2， 所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5. 所以椭圆E 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y 24＝1，化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.若点P 存在，设P (m,0)，由题意k PM ＋k PN ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k (x 1－1)x 1－m ＋k (x 2－1)x 2－m＝0，所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0， 即2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m )10k 24＋5k 2＋2m ＝0，所以8m －40＝0，所以m ＝5.所以存在定点P (5,0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．3．(2017·无锡期末)已知椭圆x 24＋y 23＝1，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点(点B 在第一象限)．(1)若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，求△OBC 面积的最大值； (2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且3y 1＋y 2＝0，求当△OBC 的面积最大时直线l 的方程． 解 (1)直线OB 方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0，设过点C 且平行于OB 的直线l ′方程为y ＝32x ＋b .则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝32x ＋b消去y 整理得3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，此时Δ＝9b 2－12(b 2－3)，令Δ＝0，解得b ＝±23， 当b ＝23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32； 当b ＝－23时，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－32， 所以△OBC 面积的最大值为12×1＋94×|33＋3|13＝ 3. (2)显然，直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x ＝my ＋n .由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋n消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mn3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4.因为3y 1＋y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3mn 3m 2＋4，y 21＝4－n23m 2＋4，从而9n 2m 2(3m 2＋4)2＝4－n 23m 2＋4， 即n 2＝3m 2＋43m 2＋1，所以S △OBC ＝12|n |·|y 1－y 2|＝2|n |·|y 1|＝6|m |n 23m 2＋4＝6|m |3m 2＋1.因为B 在第一象限，所以x 1＝my 1＋n ＝3m 2n3m 2＋4＋n ＞0，所以n ＞0.因为y 1＞0，所以m ＞0， 所以S △OBC ＝6m 3m 2＋1＝63m ＋1m≤623＝3，当且仅当3m ＝1m ，即m ＝33时取等号，此时n ＝102， 所以直线l 的方程为x ＝33y ＋102，即y ＝3x －302.4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求AT ·BTMN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P ，若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)由点(b,2e )在椭圆C 上，得b 28＋4e 2b 2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝8－b 28＝1－b 28，所以b 28＋4b 2＝32.又b 2＜a 2＝8，解得b 2＝4， 所以椭圆C 的标准方程是x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由对称性知N (－x 0，－y 0)，其中y 1＜0. 因为MN ∥AB ，所以AT ·BT MN 2＝－y 1y 24y 20. 直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，直线MN 的方程为y ＝kx ，其中k ＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以y 1y 2＝－7k21＋2k2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2，所以y 2＝8k 21＋2k 2，从而得AT ·BT MN 2＝732. (3)由AP →＝25TB →，得－x 1＝25(x 2－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－81＋2k 2.又因为－x 1＝25(x 2－1)，所以x 1＝－4k 2＋23(1＋2k 2)，x 2＝16k 2－23(1＋2k 2)，从而－4k 2＋23(1＋2k 2)·16k 2－23(1＋2k 2)＝2k 2－81＋2k 2.整理得50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍)．因为k ＞0，所以k ＝ 2.压轴大题突破练 1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解 由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1. 当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2， 求得切线方程为y ＝2x －1. (2)解 令f ′(x )＝0，得x ＝e －(a ＋1)．∴当e－(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增， 此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e .当e－(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e －(a ＋1))＝－e－(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1) ＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立； 又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1)＝ln x －12x ＋12.设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x2x >0恒成立，∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立． 而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立， 函数y ＝g (x )单调递增， ∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件． 2．设函数f (x )＝e x－|x －a |，其中a 是实数． (1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x－|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－x ＋a ，x ≥a ，e x＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－1，x ≥a ，e x＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立， 故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0. 此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x＋1≥1>0，f (x )单调递增， 当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a－a －1≥ka 对任意a <0恒成立， 设g (a )＝e a－(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a－(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e ＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减， 又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意． 综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围； (3)求函数f (x )的零点个数． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)， 由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”． 对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)， 由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)， 由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[－1,1]． (3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值． 设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)，所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0，极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0，故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R . (1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3.因为a <0，由f ′(x )<0，解得a3<x <－a .所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，－a . (2)证明 当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )． 因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21， 所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)． 因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)， 即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0. 同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0， 两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0， 因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0， 即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0.因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2，所以x 1x 2<⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222.从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0.解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4. (3)解 由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)， 即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2. 又因为a >0，所以0<a <2. 因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2.从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0.令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数．又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立． 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，335.2．数 列1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n . 解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1. 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32.此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16.所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列．(2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列，所以a 2n －32＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ，即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n .由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3，所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－6n ＋9，所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32×13n －3n 2＋6n －52.因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89，所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)． (1)若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n －1}，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n <b 2n －1的所有正整数n 的集合．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)， 得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)． 又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0对一切n ∈N *都成立，即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 21－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立．令n ＝1，n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，a 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，a 1＝1，经检验，符合题意．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n . (2)由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n －1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n －1－4. b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n×(4×2n－4)－2n (8×2n－8＋2n) ＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n .b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n )＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n －1)＝2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n－8.所以b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8]＝2n⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－5n －52＋8＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52. 记f (n )＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，即f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8.记g (n )＝12×2n－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n－5，当n ＝1,2,3时，g (n ＋1)－g (n )<0；当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝12×2n －5＞0，因为当n ＝1时，g (1)＝－132＜0，所以g (4)<0，且g (6)＝－12<0，g (7)＝532>0.所以f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增，当n ＝1时，f (1)＝－5<0； 当n ＝2时，f (2)＝－34<0； 当n ＝3时，f (3)＝－100<0； 当n ＝4时，f (4)＝－224<0； 当n ＝5时，f (5)＝－360<0； 当n ＝6时，f (6)＝－24<0； 当n ＝7时，f (7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设f (k )＝4k2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12(k ＋1)－4k2k ＝4k(3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ<2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *， 则T 2k －1＝T 2k －(－1)2ka 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4. 综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列， 则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)， 所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12， 即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立， 故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列．4．若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“A 型数列”． (1)若首项为1，公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”，且其前n 项和为S n ，若对于任意n ∈N *，都有S n <32n 2＋n ，求{a n }的通项公式；(2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且{a n }为“A 型数列”，b n ＝23a n ，c n ＝a n(n ＋1)·2n －5，当数列{b n }不是“A 型数列”时，试判断数列{c n }是否为“A 型数列”，并说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >2， 由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，且S 1<52.由题意，得n ＋n (n －1)2d <32n 2＋n 对n ∈N *均成立，即d <3nn －1对n ≥2均成立， ∵3n n －1＝3＋3n －1>3， ∴d ≤3，又d ＞2， ∴d ＝3，∴a n ＝3n －2.(2)设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，∵{a n }的每一项均为正整数， 且a n ＋1－a n ＝a n q －a n ＝a n (q －1)>2>0， ∴a 1>0，且q >1，∵a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)>a n －a n －1，即在{a n －a n －1}中，a 2－a 1为最小项， 同理，在{b n －b n －1}中，b 2－b 1为最小项，由{a n }为“A 型数列”，可知只需a 2－a 1>2，即a 1(q －1)>2， 又∵{b n }不是“A 型数列”，且b 2－b 1为最小项， ∴b 2－b 1≤2，即a 1(q －1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得a 1(q －1)＝3， ∴a 1＝1，q ＝4或a 1＝3，q ＝2. ①当a 1＝1，q ＝4时，a n ＝4n －1，则c n ＝4n －1(n ＋1)·2n －5＝2n ＋3n ＋1， 令d n ＝c n ＋1－c n (n ∈N *)，则d n ＝2n ＋4n ＋2－2n ＋3n ＋1＝2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)，令e n ＝d n ＋1－d n (n ∈N *)，则e n ＝2n ＋4·n ＋1(n ＋2)(n ＋3)－2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)＝2n ＋3n ＋2·n 2＋n ＋2(n ＋1)(n ＋3)>0，∴{d n }为递增数列， 即d n >d n －1>d n －2>…>d 1，即c n ＋1－c n >c n －c n －1>c n －1－c n －2>…>c 2－c 1， ∵c 2－c 1＝323－8＝83>2，∴对任意的n ∈N *都有c n ＋1－c n >2， 即数列{c n }为“A 型数列”． ②当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3·2n －1，则c n ＝3·2n ＋1(n ＋1)·2n －5＝48n ＋1， 显然，{c n }为递减数列，c 2－c 1<0≤2， 故数列{c n }不是“A 型数列”； 综上所述，当a n ＝4n －1时，数列{c n }为“A 型数列”，当a n ＝3·2n －1时，数列{c n }不是“A 型数列”．。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——考前回扣2
回扣2 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．曲线y ＝f (x )＝xx 2＋1在点(1，f (1))处的切线方程是____________．答案 y ＝12解析 ∵f (x )＝xx 2＋1的导数f ′(x )＝1－x2(1＋x 2)2，∴曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝0，∵切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12.2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝__________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则1＋f ′(1)＝________. 答案 －3解析 由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，求导可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，f ′(2)＝4＋3f ′(2)，f ′(2)＝－2，则f ′(x )＝2x －6，f ′(1)＝2－6＝－4，所以1＋f ′(1)＝－3.4．设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析 由f (x )＝－e x－x ，得f ′(x )＝－e x－1， 因为e x＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________． 答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3， 经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意， 故a ＋b ＝－7.6．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32.7．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0的解集为____________． 答案 (－∞，－2016)解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0， 可得(x ＋2018)2f (x ＋2018)＜4f (2)， 即g (x ＋2018)＜g (2)，所以x ＋2018＜2，故x ＜－2016. 8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x <1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．答案 4解析 当x <1时，f (x )＝12x －1单调递减，且f (x )>－12；当x ≥1时，f (x )＝ln xx 2，则f ′(x )＝1－2ln xx3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当∈[1，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝12e >18，且f (x )≥0，当x 趋近于＋∞时，f (x )趋近于0.作出函数y ＝|f (x )|的大致图象如图所示，由图可知，函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4.9．已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xex ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增， 在(0，＋∞)上单调递减． ∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)， 单调减区间为(0，＋∞)．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减， ∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e2＞1；②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0；③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若x ∈(t,1]，φ′(x )≥0，φ(x )在(t,1]上单调递增， ∴2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}， 即2t ＋1et＜max⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e .(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在[0,1]上单调递减，故4e ≤2t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立．10．(2017·山东)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ， 所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ， 所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )． 令h (x )＝x －sin x ， 则h ′(x )＝1－cos x ≥0， 所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0； 当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值， 极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ；当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a . ②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值； ③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝0时，g (x )取到极大值， 极大值是g (0)＝－a ； 当x ＝a 时，g (x )取到极小值， 极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ；当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a >0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .。
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解答题滚动练41.(2017·佳木斯一中期中)已知函数f (x )＝34sin 2x ＋12cos 2x . (1)求函数f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (A )＝12，a ＝1，求△ABC 周长的最大值.解 (1)f (x )＝34sin 2x ＋12×12(1＋cos 2x )＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋14，由2x ＋π6＝2k π＋π2，得x ＝k π＋π6，k ∈Z ，当x ＝k π＋π6，k ∈Z 时，f (x )有最大值34，即f (x )取最大值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)f (A )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋14＝12，sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， ∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，A ＝π3，∴12＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )24，∴b ＋c ≤2，a ＋b ＋c ≤3，即△ABC 周长的最大值为3. 2.已知数列{a n }满足：a 1＝－23，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4(n ∈N *).(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝32(a n ＋1)(n ∈N *)，若对一切n ∈N *，都有(1－b 1)(1－b 2)…(1－b n )≤λ2n ＋1成立，求实数λ的最小值.解 (1)因为a n ＋1＋1＝－2a n －33a n ＋4＋1＝a n ＋13a n ＋4，因为1a n ＋1＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1，所以1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为3，公差为3的等差数列，所以1a n ＋1＝3n ，∴a n ＝13n －1.(2)由(1)知b n ＝12n ，设f (n )＝2n ＋1·⎝⎛⎭⎫12·34·56…2n －12n (n ≥1，n ∈N *)，由f (n ＋1)f (n )＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4＜1，得λ≥32，即λ的最小值为32. 3.几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即甲公司与乙公司，“快递员”的工资是“底薪＋送件提成”，这两家公司对“快递员”的日工资结算方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：(1)求乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系； (2)若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲公司的“快递员”日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由.解 (1)由题意，当0≤n ≤83时，y ＝120元，当n ＞83时，y ＝120＋(n －83)×10＝10n －710， ∴乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120，0≤n ≤83，10n －710，n ＞83. (2)X 的所有可能取值为152，154，156，158，160.①由题意，P (X ＝152)＝0.1，P (X ＝154)＝0.1，P (X ＝156)＝0.2，P (X ＝158)＝0.3，P (X ＝160)＝0.3， ∴X 的分布列为∴期望E (X )＝152×0.1＋154×0.1＋156×0.2＋158×0.3＋160×0.3＝157.2. ②设乙公司的日工资为Y ，则E (Y )＝120×0.1＋130×0.2＋150×0.1＋170×0.4＋190×0.2＝159.由于甲公司的日工资的期望(均值)没有乙公司的日工资的期望(均值)高，∴小王应当到乙公司应聘“快递员”的工作.4.已知函数f (x )＝12x 2＋a cos x ，g (x )是f (x )的导函数.(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线方程为y ＝π＋22x －π2＋4π8，求a 的值； (2)若a ≥0且f (x )在x ＝0时取得最小值，求a 的取值范围；(3)在(1)的条件下，当x ＞0时，求证g ′()x 2＋38x 2(1)解 f ′(x )＝x －a sin x ，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2－a ＝π＋22， ∴a ＝－1，经验证a ＝－1符合题意. (2)解 g (x )＝f ′(x )＝x －a sin x ， 则g ′(x )＝1－a cos x .①当a ＝0时，f (x )＝12x 2，显然在x ＝0时取得最小值，∴a ＝0符合题意； ②当a ＞0时，(i)当1a ≥1即0＜a ≤1时，g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0，∴当x ＜0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在x ＝0时取得最小值， ∴当0＜a ≤1时符合题意；(ii)当0＜1a ＜1，即a ＞1时，在(0，π)内存在唯一x 0使g ′(x )＝0，即cos x 0＝1a .当x ∈(0，x 0)时，∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cos x ＞cos x 0＝1a ，∴g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1a －cos x ＜0， ∴g (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0， 即f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴当x ∈(0，x 0)时，f (x )＜f (0)，这与f (x )在x ＝0时取得最小值，即f (x )≥f (0)矛盾， ∴当a ＞1时不合题意.综上，a 的取值范围是[0，1]. (3)证明 由(1)知，a ＝－1，此时g (x )＝x ＋sin x ，g ′(x )＝1＋cos x ，∴g ′(x )2＝1＋cos x 2＝⎪⎪⎪⎪cos x 2≥cos x2， ∴若要证原不等式成立，只需证cos x 2＋38x 2＞e x －1x成立.由(2)知，当a ＝1时，f (x )≥f (0)恒成立，即12x 2＋cos x ≥1恒成立，即cos x ≥1－12x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，∴cos x 2≥1－18x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，①∴只需证1－18x 2＋38x 21＋14x 2又由基本不等式知，1＋14x 2≥x (当且仅当x ＝2时取“＝”)，②∵①②两个不等式取”＝”的条件不一致，∴只需证x两边取对数得ln x ≥1－1x，③下面证③式成立，令φ(x )＝ln x －1＋1x ，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，∴φ(x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(1)＝0，即ln x －1＋1x ≥0，∴ln x ≥1－1x.即③式成立，∴原不等式成立.。
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练4 Word版含解析
4.概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小；(2)随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望. 解 (1)因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4，x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋9710＝79，所以n ＝5，所以m ＜n .(2)X 取0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 04C 25C 29＝518，P (X ＝1)＝C 14C 15C 29＝59，P (X ＝2)＝C 24C 05C 29＝16，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×518＋1×59＋2×16＝89.2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S 的概率满足：P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E (S )； ②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望. 解 (1)大学城校区应抽取15×80220＋80＝4(人).(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，即所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为 E (S )＝6×12＋12×13＋18×16＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和， 则ξ＝12，18，24，30，36， P (ξ＝12)＝12×12＝14；P (ξ＝18)＝12×13×2＝13；P (ξ＝24)＝12×16×2＋13×13＝518；P (ξ＝30)＝13×16×2＝19；P (ξ＝36)＝16×16＝136；E (ξ)＝12×14＋18×13＋24×518＋30×19＋36×136＝20.所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E (ξ)＝80.3.(2017·云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和期望. 下面的临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为K 2＝100(40×30－20×10)260×40×50×50≈16.67>10.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110，从而需抽取男生4人，女生2人. 故X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 22C 26＝115，P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (X ＝2)＝C 24C 26＝615＝25，所以X 的分布列为E (X )＝0×115＋1×815＋2×25＝43.4.(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值μ^＝9.97，σ的估计值σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.5.(2017·重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有5人，不超过100 km/h 的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 的人与性别有关；(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)∵K 2＝50(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆的概率为1550＝310.∴ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，310， ∴P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫3100⎝⎛⎭⎫7103＝3431 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫3101⎝⎛⎭⎫7102＝4411 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫3102⎝⎛⎭⎫7101＝1891 000，P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫3103⎝⎛⎭⎫7100＝271 000， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910＝0.9或E (ξ)＝np ＝3×310＝0.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度. (1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率； (2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望.解 (1)记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”. 因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4， 由样本条形图可知，所求的概率为P (A )＝P (x ＜μ－3σ)＋P (x ＞μ＋2σ)＝P (x ＜78.4)＋P (x ＞89.4) ＝1100＋4100＝120. (2)记事件B 为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P (B )＝C 25C 2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120， 所以P ()ξ＝0＝C 02⎝⎛⎭⎫1200⎝⎛⎭⎫19202＝361400， P ()ξ＝1＝C 12⎝⎛⎭⎫1201⎝⎛⎭⎫19201＝19200，P ()ξ＝2＝C 22⎝⎛⎭⎫1202⎝⎛⎭⎫19200＝1400， 因此ξ的分布列为由ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120知，期望E (ξ)＝2×120＝110.。
2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：考前回扣9含答案
x x′ 量)(x′，y′)，则称 T 为一个变换，简记为 T：(x，y)→(x′，y′)或 T： y → y′ .
2．几种常见的平面变换 (1)恒等变换．(2)伸压变换．(3)反射变换．(4)旋转变换．(5)投影变换．(6)切变变换． 3．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念 对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩阵．若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B， 则逆矩阵是唯一的，通常记 A 的逆矩阵为 A ，A ＝B. (2)逆矩阵的求法
－1 －1
a 一般地，对于二阶可逆矩阵 A＝ c
(3)逆矩阵的简单性质
b d (ad－bc≠0)，它的逆矩阵为 A－1＝错误!.
①若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且(AB) ＝B A . ②已知 A，B，C 为二阶矩阵，且 AB＝AC，若矩阵 A 存在逆矩阵，则 B＝C. (4)逆矩阵与二元一次方程组 对于二元一次方程组
＝
0
1 －1 因为|A|＝－ ，所以 A ＝ 2
－1 0
0 2 . －2 1 －3 ，B＝ 0 0 －1 ，设 M＝AB.
2 3．(2017·南京学情调研)已知矩阵 A＝ 1 (1)求矩阵 M； (2)求矩阵 M 的特征值． 解 2 (1)M＝AB＝ 1 －2 1 －3 0 0 2 －1 ＝ 1 2 3 .
Байду номын сангаас
2 1．(2017·苏州期末)已知矩阵 A＝ 1 解 因为 AC＝B，所以 C＝A－1B.
1 1 3 ， B＝ 0
1 －1 ，求矩阵 C，使得 AC＝B.
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——解答题滚动练6 含答案
解答题滚动练61．在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A . 【1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； 【2)若B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos 【A －B )＝45，求sin B . 【1)证明 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ， 即sin A ＝3cos A ，因为A ∈【0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3. 因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝63，C ∈【0，π)， 所以sin C ＝33， 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ，即a c ＝sin A sin C ＝3233＝32， 即2a －3c ＝0.【2)解 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3， 因为sin 2【A －B )＋cos 2【A －B )＝1，所以sin 【A －B )＝35， 所以sin B ＝sin 【A －【A －B ))＝sin A cos 【A －B )－cos A ·sin【A －B )＝43－310. 2．已知函数f 【x )＝ax 3－2x －ln x ，a ∈R .【1)若曲线y ＝f 【x )在x ＝1处的切线方程为y ＝b ，求a ＋b 的值；【2)在【1)的条件下，求函数f 【x )零点的个数．解 【1)f ′【x )＝3ax 2－2－1x， 由题意，f ′【1)＝0，f 【1)＝b ，解得，a ＝1，b ＝－1，所以a ＋b ＝0.【2)由【1)知，f 【x )＝x 3－2x －ln x ，f ′【x )＝3x 2－2－1x ＝3x 3－2x －1x＝(x －1)(3x 2＋3x ＋1)x， 令f ′【x )＝0，得x ＝1，且当0＜x ＜1时，f ′【x )＜0；当x ＞1时，f ′【x )＞0，所以函数f 【x )在【0,1)上单调递减，在【1，＋∞)上单调递增．因为f 【1)＝－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e 3－2e ＋1＞0，f 【e)＝e 3－2e －1＞0，函数f 【x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1和[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f 【x )有两个零点．3．已知圆M ：x 2＋【y －4)2＝4，点P 是直线l ：x －2y ＝0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .【1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；【2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；【3)求线段AB 长度的最小值．解 【1)由题意可知，圆M 的半径r ＝2，设P 【2b ，b )，因为PA 是圆M 的一条切线，A 为切点，所以∠MAP ＝90°，所以MP ＝(0－2b )2＋(4－b )2＝AM 2＋AP 2＝4，解得b ＝0或b ＝85， 所以P 【0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. 【2)设P 【2b ，b )，因为∠MAP ＝90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为【x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24， 即【2x ＋y －4)b －【x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，所以圆过定点【0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 【3)因为圆N 方程为【x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，即x 2＋y 2－2bx －【b ＋4)y ＋4b ＝0.①圆M ：x 2＋【y －4)2＝4，即x 2＋y 2－8y ＋12＝0.②②－①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在直线方程为2bx ＋【b －4)y ＋12－4b ＝0，点M 到直线AB 的距离d ＝45b 2－8b ＋16， 相交弦长AB ＝24－d 2＝41－45b 2－8b ＋16 ＝41－45⎝ ⎛⎭⎪⎫b －452＋645. 当b ＝45时，AB 有最小值11. 4．如图是一“T ”型水渠的平面视图【俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽2m 【从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置【即无高度差)．【1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数； 【2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿【粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠【不会卡住)？请说明理由．解 【1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ＝2sin θ＋4cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 【2)设f 【θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′【θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝2(22sin 3θ－cos 3θ)sin 2θcos 2θ， 令f ′【θ)＝0，得tan θ0＝22. 且当θ∈【0，θ0)，f ′【θ)＜0；当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′【θ)＞0，所以f 【θ)在【0，θ0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f【θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0＝22时，sinθ0＝13，cosθ0＝23，所以f【θ)的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——解答题滚动练3 含答案
;;解答题滚动练3;1．(2017·镇江期末)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m ⊥n .(1)求cos2α的值；;; (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的大小．解 方法一 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，所以sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255， 则cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.;; (2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.; 因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.;方法二 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，tan α＝2，故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. (2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，且cos 2α＋sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＝255，cos α＝55，以下同方法一(2)．2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，DC ∥AB ，DC ＝2AB ，E 为棱PA 上一点． (1)设O 为AC 与BD 的交点，若PE ＝2AE ，求证：OE ∥平面PBC ； (2)若DE ⊥AP ，求证：PB ⊥DE .证明 (1)在△AOB 与△COD 中， 因为DC ∥AB ，DC ＝2AB ，所以AO CO ＝AB CD ＝12， 又因为PE ＝2AE ，所以在△APC 中，有AO CO ＝AE PE ＝12，则OE ∥PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以OE ∥平面PBC . (2)因为AB ⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥DE .又因为AP ⊥DE ，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，AP ∩AB ＝A ， 所以DE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥PB .3．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)． (2)①当0<x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236， ②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －8)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x ＞7.∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236x ，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x ＞7.当0<x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时f (x )有最小值28267≈404(元)，当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ＋321≥393，当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．4．已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且0＜x 1＜x 2，求证：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)． (1)解 当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)解 g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2＜0，则g (e)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝m －1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e 2，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.(3)证明 因为f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0)，B (x 2,0)，所以方程2ln x －x 2＋ax ＝0的两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln x 1－x 21＋ax 1＝0，2ln x 2－x 22＋ax 2＝0，两式相减得a ＝(x 1＋x 2)－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2，又f (x )＝2ln x －x 2＋ax ，f ′(x )＝2x －2x ＋a ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝4x 1＋x 2－(x 1＋x 2)＋a ＝4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2.下证4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即证明2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，令t ＝x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证明u (t )＝2(1－t )t ＋1＋ln t ＜0在0＜t ＜1上恒成立．因为u ′(t )＝－2(t ＋1)－2(1－t )(t ＋1)2＋1t ＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2，又0＜t ＜1，所以u ′(t )＞0， 所以u (t )在(0,1)上是增函数，则u (t )＜u (1)＝0，从而知2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，故4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0成立．。
2018届考前三个月高考数学(理科)总复习训练(江苏用) 压轴大题突破练1 Word版含答案
压轴大题突破练1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解 由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1.当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2，求得切线方程为y ＝2x －1.(2)解 令f ′(x )＝0，得x ＝e－(a ＋1)． ∴当e －(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增， 此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e . 当e －(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min ＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e－(a ＋1))＝－e －(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1)＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0， g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1) ＝ln x －12x ＋12. 设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x 2x>0恒成立， ∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立．而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )单调递增，∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．2．设函数f (x )＝e x －|x －a |，其中a 是实数．(1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x －|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －x ＋a ，x ≥a ，e x ＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x ≥a ，e x ＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立， 故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0.此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0，f (x )单调递增，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a ，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a －a －1≥ka 对任意a <0恒成立，设g (a )＝e a －(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a －(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减， 又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意． 综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围；(3)求函数f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)，由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”．对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)，由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)，由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去．综上，实数m 的取值范围是[－1,1]．(3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值．设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)， 所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0， 极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0， 故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3. 因为a <0，由f ′(x )<0，解得a 3<x <－a . 所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a . (2)证明 当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )．因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21，所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)．因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)，即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0.同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0，两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0，即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2， 所以x 1x 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222. 从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0. 解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4.(3)解 由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)，即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2.又因为a >0，所以0<a <2.因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0. 令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数． 又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立． 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，335.。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——考前回扣3 含答案
;回扣3 三角函数与平面向量;;1．准确记忆六组诱导公式;; 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．;2．三角函数恒等变换“四大策略”;;(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．;;(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .3．三种三角函数的性质;;4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ. 5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________. 答案32解析 2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝32. 2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________． 答案 2解析 由题意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1， 所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.3．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为__________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x ＜0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a ＜0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.6．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________． 答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2－2b 2＋3a·b ＝0，所以a·b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－1，所以〈a ，b 〉＝π.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为__________．答案2918解析 方法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →(λ>0)，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →·AD →＋AB →·19λDC→＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos60°＋2×1×19λ＋λ×1×1×cos60°＋λ×19λ×1×1×cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解 (1)由题意知，f (x )＝－sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积． 解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0， 所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ， 所以cos A ＝277.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114，所以S ＝12ab sin C ＝332.。
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习：解答题滚动练6 Word版含解析
解答题滚动练61.已知函数f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x .(1)将函数f (2x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求函数g (x )的值域；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足b ＝2，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (A )＝2＋1，3a ＝2b sin A ，求△ABC 的面积.解 f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x ＝cos 2x ＋(1－cos 2x )＋2sin x ＝1＋2sin x . (1)平移可得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2， ∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 当x ＝π12时，g (x )min ＝0；当x ＝5π12时，g (x )max ＝3，∴所求值域为[0，3].(2)由已知3a ＝2b sin A 及正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ， ∴sin B ＝32. ∵0＜B ＜π2，∴B ＝π3，由f (A )＝2＋1，得sin A ＝22， 由正弦定理，得a ＝263＜b ，从而A ＝π4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×263×2×6＋24＝3＋33.2.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1，a 2，a 5成等比数列知，a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即d 2＝2a 1d ， 又d ≠0，a 1＝1，解得d ＝2，故a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n －13n ，则T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 由①式两边×13，有13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n 1，②由①－②，得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1⇒23T n ＝13＋232⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－2n －13n ＋1，化简得T n ＝1－n ＋13n .3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AP ＝AB ＝AC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥底面ABCD.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；(2)在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角B －AE －D 的平面角的余弦值为－63？若存在，求出λ＝CECP的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 在△ACD 中，AC ＝a ，CD ＝a ，AD ＝2a ， 由勾股定理得CD ⊥AC ， ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC . 又∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面P AC .(2)解 由(1)知，AB ⊥AC ，又P A ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，。
2018版考前三个月高考数学理科总复习题压轴小题突破练4 含解析
4.与解析几何有关的压轴小题1.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋y －4＝0 相切，则圆 C 面积的最小值为( )4π 3π 5π A. B. C.(6－2 5)π D. 答案 A1解析 设直线 l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝ |AB |＝d ，其中 d 为点 C 到直线 l 的距离，所以圆2 1 11 1 42 心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线.圆 C 半径最小值为 d ＝ × ＝ ，其中 d 2 2 5 522 4π为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 面积的最小值为 π ＝ .故选 A.52.(2017 届云南大理检测)已知双曲线 yx － ＝1 与不过原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 相交2于 M ，N 两点，线段 MN 的中点为 P ，设直线 l 的斜率为 k ，直线 OP 的斜率为 k ，则 k k121 2等于()1 1A. B.－ C.2 D.－2 2 2答案 A解析 设 M (x ，y )，N (x ，y )，P (x ，y )，则 y 1 1 2 2 0 0 1x x － ＝1，y － ＝1，由点差法可得(y －y )(y2 2 2 1 2 1x －x x ＋x y －y x ＋x x ＋y )＝，所以直线 l 的斜率为 k ＝ ＝ ＝ ，直线 OP 的斜率为 2x －x 2y ＋y 2y 1 2 1 2y x y 1k ＝ ，k k ＝ × ＝ ，故选 A. 2 x 1 2 2y x 20 00 3.(2017 届枣庄期末)过抛物线 y ＝4ax (a ＞0)的焦点 F 作斜率为－1 的直线 l ，l 与离心率为 ex y 的双曲线 － ＝1(b ＞0)的两条渐近线的交点分别为 B ，C .若 x ，x ，x 分别表示 B ，C ，F ab B C F的横坐标，且 x ＝－x · x ，则 e 等于( )FB CA.6B. 6C.3D. 3答案 D解析 由题意，知 F (a ， 0)，则直线 l 的方程为 y ＝－x ＋a ，b∵双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，aa a ∴直线 l 与渐近线的交点横坐标分为 ， ，a －b a ＋b5 4 4 2 252 22 2 2 1 2 2 12 1 21 2 1 20 2 1 00 0 02 2 2 2 2 2 2 2又 x ＝－x · x ，FB C即 a 2 a a b ＝－· ，整理得 ＝2， a －b a ＋b ac∴e ＝ ＝a1＋a＝ 3，故选 D.y4.已知双曲线 x － ＝1(b ＞0)，以原点 O 为圆心，双曲线的半实轴长为半径的圆与双曲线的 b两条渐近线相交于 A ，B ，C ，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 b ，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C.3 D.2 2 答案 B解析 以原点为圆心、双曲线的半实轴长为半径的圆的方程为 x ＋y ＝1，渐近线的方程为 y1 1 b＝±bx ，设 A (x ，bx )，因为四边形 ABCD 的面积为 b ，所以 2x ·2bx ＝b ，x ＝± ，将 A ， 代 2 入 x ＋y ＝1 可得 b ＝3，从而可得 c ＝2，又因为 a ＝1，c所以离心率 e ＝ ＝2.a→ →5.已知 F 是抛物线 y ＝x 的焦点，点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA · O B ＝2(其中 O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为( )17 2 A.2 B.3 C. D. 108答案 B解析1由题意得 F ，0 ，设 A (x ，y )，B (x ，y )，则 x ＝y ，x ＝y ，y y ＋y y ＝2，y y1 12 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2＝－2 或 y y ＝1，1 2∵A ，B 位于 x 轴两侧，∴y y ＝－2，两面积之和为1 21 1 1 1 1 1 12 1S ＝ |x y －x y |＋ × ×|y |＝ ×|y y －y y |＋ × ×|y |＝|y －y |＋ × y ＝ ＋y ＋ ×|y | 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 8 8 12 9 2 9 ＝ ＋ y ＝ ＋ y y 8 y 8 1 14 ≥3，当且仅当|y |＝ 时“＝”成立.1 3 x y → →6.已知 F (－c ，0)，F (c ，0)为椭圆 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且P F · P F 1 2 a b 1 2＝c，则此椭圆离心率的取值范围是( )3 1 1 3 2 3 3 2 3 22 2答案 C→ → 解析 设 P (m ，n )，则P F · P F ＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m －c ＋n ＝c ，1 22 2 2 2 2 b2 222 222 2 2 2 2 2222 24| |2 21y 1 1112 2 222 ， C. ， D. 0， ，1 B. A. 2222∴2c －m 2 ＝n2.①x y m n 把 P (m ，n )代入 ＋ ＝1，得 ＋ ＝1，a b a b②a b －2a c①代入②得 m ＝ ≥0，b －a∴a b ≤2a c ，即 b ≤2c ，c 3又 a ＝b ＋c ，∴a ≤3c ⇒e ＝ ≥ .a 3a b －2a c c 2又 m ＝ ≤a ⇒a ≥2c ⇒e ＝ ≤ ，b －a a 232∴椭圆离心率的取值范围是 ， .3 2xy 7.(2017 届河南开封月考)双曲线 C ： － ＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F (－c ，0)，a b 1F (c ，0)，M ，N 两点在双曲线 C 上，且 MN ∥F F ，|F F |＝4|MN |，线段 F N 交双曲线 C 于 21 21 21点 Q ，且|F Q |＝|QN |，则双曲线 C 的离心率为()1A.2B. 3C. 5D. 6 答案 D解析 由于 MN ∥F F ，|F F |＝4|MN |，1 21 2c则|MN |＝ ，2设 N ，y，又 F (－c ，0)， 13c y c y 9c y 且|F Q |＝|QN |，则 Q － ， ，点 N ，Q 在双曲线上满足方程，有 － ＝1， － ＝1 16a b 64a 4b1，消去 y 得 e ＝6，则 e ＝ 6.x y 8.(2017· 日照模拟)已知双曲线 － ＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P 为双曲a b 1 2线右支上一点(异于右顶点) △，PF F 的内切圆与 x 轴切于点(2，0).过 F 作直线 l 与双曲线交1 22于 A ，B 两点，若使|A B |＝b 2 的直线 l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1， 2)B.(1，2)C.( 2，＋∞)D.(2，＋∞)答案 C解析 设|F F |＝2c (c ＞0)，△PF △F 的内切圆分别与 PF ，F F ，PF 切于点G ，H ，I ，1 21 211 22则|P G |＝|P I |，|F G |＝|F H |，|F H |＝|F I |.1122由双曲线的定义知2a ＝|PF |－|PF |＝|F G |－|F I |＝|F H |－|F H |，12 1 2 1 2 又|F H |＋|F H |＝|F F |＝2c ，121 22 22222 2 2 22 22 222 2 2 22 222222222 22 22 2 2 22 2 2 22 2 c4 2 2 2 28 22 2 2 222 22 2所以|F H|1＝c＋a，|F H|＝c－a，2所以H(a，0)，即a＝2.注意到这样的事实：若直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则当l⊥x轴时，|AB|有最小值2ba2＝b；若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)，则当l⊥y轴时，|AB|有最小值c2a，于是，由题意得b＞2a＝4，b＞2，c＝a＋b＞22，所以双曲线的离心率e＝＞ 2.a故选C.9.(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)已知抛物线C：y＝2px(0＜p＜4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4，0)，B(p，2p)，且|PA|的最小值为15，则|BF|等于()911A.4B.C.5D.22答案B解析设P(x，y)且y＝2px，则|PA|＝x－4＋y＝x－4＋2px＝x ＋2p－8x＋16，根号下二次函数的对称轴为x＝4－p∈(0，4)，所以在对称轴处取得最小值，即4－p ＋2p－84－p＋16＝15，解得p＝3或5(舍去)，所以抛物线方程为y＝6x，B(3，32)，易知点B在抛物线上，39所以|BF|＝3＋＝，故选B.2210.(2017届河南省天一大联考)等腰直角△AOB内接于抛物线y＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶|OM|点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的|MF|最大值为()A.362326B. C. D. 3333答案C解析因为等腰直△角AOB内接于抛物线y＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，所以可设A(a，a)(a＞0)，1S＝a×2a＝16，得a＝4，2将A(4，4)代入y＝2px，得p＝2，抛物线的方程为y＝4x，所以F(1，0).设M(x，y)，则x≥0，设t＝1|OM| (0<t≤1)，则x＋1MF22222222222222△AOB22||x＋y x＋4x ＝＝＝x＋1x＋1231＋－x＋1x＋12＝－3t ＋2t＋1＝41－3t－≤423＝，331当t＝时“＝”成立.故选C.3→→11.过抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若M F＝4FN，则直线l的斜率为____________.答案4±3解析不妨设M(x，y)(x＞0，y＞0)，N(x，y)，111122→→∵MF＝4FN，∴y＝－4y，12y＝2px，设直线l的斜率为k ，联立py＝k x－2，2p得y－y－p＝0，k∴y y＝－p，12p p∴y＝－，x＝，2228p－－024∴k＝＝.MN p p3－824根据对称可得直线l的斜率为±.312.(2017届四川成都诊断)如图，抛物线y＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长O A至点C，使|O A|＝|A C|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|E G|的最小值为______________.答案4解析设点A，B的坐标为A(x，y)，B(x，y)，A AB B由题意可知＝＋＝2yB (2|y|A×12|y|B＝2|y y|A B，设直线AB的斜率为k，联立直线AB与抛物线的方程，由根与系数的关系，得y y＝－pA B 2222()223322MN22 221||||||＋y≥2EG OE OGA2)＝－4，由此可知|EG |≥4 ，当且仅当|y B即|E G | 的最小值为 4.| ＝4| y |时等号成立， Ax y 13.设双曲线 C ： － ＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为 F (－c ，0)，点 M ，N 在双曲线 C 上，Oa b是坐标原点，若四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OFMN 的面积为 2cb ，则双曲线 C 的离心率为______________.答案 2 3解析 设 M (x ，y )，∵四边形 OFMN 为平行四边形，c∴x ＝－ ，0 2∵四边形 OFMN 的面积为 2cb ，∴ | y |c ＝ 2cb ，即| y |＝ 2b ，c e ∴M － ，±2b ，代入双曲线方程得 －2＝1， 4∵e ＞1，∴e ＝2 3.14.(2017· 湖南长沙一中月考)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F ，F .这两条曲线在第一象限的交点为 P ，△P F △ F 是以 PF 为底边的等腰三角形. 121 21若|PF |＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e ，e ，则 e e 的取值范围是_________. 1121 2答案 ，＋∞3x y xy 解析 设椭圆和双曲线的方程分别为 ＋ ＝1 和 － ＝1，椭圆和双曲线的半焦距为 c ，|P F | a b a b 11 12 2＝m ，|PF |＝n ，其中 m ＞n ，2由于△PF △F 是以 PF 为底边的等腰三角形，1 21若|PF |＝10，，即有 m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得 m ＋n ＝2a ，11由双曲线的定义可得 m －n ＝2a ，即得 a ＝5＋c ，a ＝5－c ，其中 c ＜5，再由三角形的两边212之和大于第三边，5 5可得 2c ＋2c ＞10，可得 c ＞ ，即 ＜c ＜5，2 2c c c 1 25 1 1由离心率公式可得 e · e ＝ · ＝ ＝ ，由于 1＜ ＜4，则由 ＞ ，则 e e 的 1 2 a a 25－c 25 c 25 3 1 2 －1 －1c c1 取值范围是 ，＋∞ .2 22 2 0 0 22 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 23。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——考前回扣4
回扣4 数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1＝q (q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．a n②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n·n 或a n ＝a ·(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2×10＝20.2．(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7， ∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×(2a 5)2＝9a 5＝63.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________． 答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4，解得a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.4．(2017·南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为__________． 答案 ±4 2解析 由S 9＝－36，S 13＝－104，可解得a 1＝4，d ＝－2，所以a 5＝－4，a 7＝－8. 设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32， 所以x ＝±4 2.5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， ∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S nan ＝________.答案 2n－1解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n)1－q a 1q n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1. 7．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{}c n 是首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知，a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10．(2017·江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)，①当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝1n b -，②由①②知a n ＝1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝32b b -.∵b 3＝6＋b 2， ∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n }的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又由a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)，得21×22×23…×2n ＝n b，即(1)22,n n n b +=∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n－(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——考前回扣10套集合((含答案)62页
2018考前三个月高考数学理科（江苏专用） 总复习训练题：——考前回扣10集合(含答案)回扣1 函数的图象与性质1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域． (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期； ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称；③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a ＞1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减． 7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的单调性容易忽视字母a 的取值讨论，忽视a x＞0；对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f (f (1))＝________.答案 －2解析 f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2³(－2)＋2＝－2.2．函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax ＋2＝x 2－2ax ＋a 2－a 2＋2＝(x －a )2－a 2＋2， ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，且在区间(－∞，1]上递减， ∴a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2017²江苏南通天星湖中学质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________． 答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1＋2)＝1(1－b )，2a (－2＋2)＝2(2－b )，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.4．(2017²江苏如东中学质检)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意得a ＞2x －2x2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.5．已知函数f (x )＝||x ＋2||x ，且满足f (a －1)＜f (2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f (a －1)＜f (2)可得|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2， 即－1＜a ＜3.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2017)＝________. 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，所以f (2017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7．已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2 解析 因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m ＜log 4(m ＋2)，m ＞0，m ＋2＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4，116≤m ＋2≤16，m 2<m ＋2，m >0，m ＋2>0，解得14≤m <2.综上可知，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 8．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝__________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4＜log 220＜5，所以0＜log 220－4＜1， －1＜4－log 220＜0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3.又由题意得7(3－a )－3<a ，解得a >94，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为__________． 答案 2解析 当x ＞2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x ＞2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x ＜0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫113，6 解析 由题意可得函数f (x )的图象如图所示，若存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝k ，则k ∈(－3,4)，不妨令x 1＜x 2＜x 3，则x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，x 2＋x 3＝6，故x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈(0，1)，1x，x ∈[1，2]，若当x ∈(0,4]时，t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，则实数t 的取值范围是______________． 答案 [1,2]解析 当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－x ，函数无最大值，最小值为－14；当x ∈[1,2]时，f (x )＝1x ，函数最大值为1，最小值为12；当x ∈(2,3)时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x 2－10x ＋10，函数值满足－52≤f (x )＜－2；当x ∈[3,4]时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2，函数值满足－1≤f (x )≤0.综上，当x ∈(0,4]时，函数f (x )的最小值为－52，最大值为1.由t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－7t 2≤－52，3－t ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52，t ≤2，∴1≤t ≤2.回扣2 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)²(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．曲线y ＝f (x )＝xx 2＋1在点(1，f (1))处的切线方程是____________．答案 y ＝12解析 ∵f (x )＝xx 2＋1的导数f ′(x )＝1－x2(1＋x 2)2，∴曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝0，∵切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12.2．(2016²四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝__________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则1＋f ′(1)＝________. 答案 －3解析 由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，求导可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，f ′(2)＝4＋3f ′(2)，f ′(2)＝－2，则f ′(x )＝2x －6，f ′(1)＝2－6＝－4，所以1＋f ′(1)＝－3.4．设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x－1， 因为e x＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x－x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________． 答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3， 经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意， 故a ＋b ＝－7.6．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32.7．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0的解集为____________． 答案 (－∞，－2016)解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0， 可得(x ＋2018)2f (x ＋2018)＜4f (2)， 即g (x ＋2018)＜g (2)，所以x ＋2018＜2，故x ＜－2016. 8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x <1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．答案 4解析 当x <1时，f (x )＝12x －1单调递减，且f (x )>－12；当x ≥1时，f (x )＝ln xx 2，则f ′(x )＝1－2ln xx3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当∈[1，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝12e >18，且f (x )≥0，当x 趋近于＋∞时，f (x )趋近于0.作出函数y ＝|f (x )|的大致图象如图所示，由图可知，函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4.9．已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． ∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)， 单调减区间为(0，＋∞)．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减， ∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e2＞1；②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0；③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若x ∈(t,1]，φ′(x )≥0，φ(x )在(t,1]上单调递增， ∴2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}， 即2t ＋1e t＜max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e .(*) 由(1)知，g (t )＝2²t ＋1et在[0,1]上单调递减，故4e ≤2t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立．10．(2017²山东)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ， 所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )． 令h (x )＝x －sin x ， 则h ′(x )＝1－cos x ≥0， 所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0； 当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值， 极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ；当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a . ②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值； ③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝0时，g (x )取到极大值， 极大值是g (0)＝－a ； 当x ＝a 时，g (x )取到极小值， 极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ；当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a >0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .回扣3 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝ba.3．三种三角函数的性质4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a²b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a²b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a²a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a²b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →²OB →＝OB →²OC →＝OC →²OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ. 5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a²b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a²b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________. 答案32解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________． 答案 2解析 由题意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1， 所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.3．(2017²江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 答案3解析 a ²b ＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ²b ＝1＋4－2＝ 3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12³6³32＝332.5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为__________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x ＜0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a ＜0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.6．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________．答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )²(2a －b )＝0，即2a 2－2b 2＋3a²b ＝0，所以a²b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a²b|a||b |＝－1，所以〈a ，b 〉＝π.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →²AF →的最小值为__________．答案2918解析 方法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →(λ>0)，∴AE →²AF →＝(AB →＋λBC →)²⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →²AD →＋AB →²19λDC→＋λBC →²AD →＋λBC →²19λDC →＝2³1³cos60°＋2³1³19λ＋λ³1³1³cos60°＋λ³19λ³1³1³cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ²λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →²AF →的最小值为2918.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解 (1)由题意知，f (x )＝－sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积． 解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ， 所以cos A ＝277.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114，所以S ＝12ab sin C ＝332.回扣4 数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1＝q (q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．a n②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ²a n ＋2(a n ²a n ＋1²a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ²b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n²n 或a n ＝a ²(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2³10＝20.2．(2017²南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7， ∴S 9＝9³(a 1＋a 9)2＝9³(2a 5)2＝9a 5＝63.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________． 答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4，解得a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4²2n －1＝2n ＋1.4．(2017²南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为__________． 答案 ±4 2解析 由S 9＝－36，S 13＝－104，可解得a 1＝4，d ＝－2，所以a 5＝－4，a 7＝－8. 设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32， 所以x ＝±4 2.5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， ∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S nan ＝________.答案 2n－1解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122³⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1. 7．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)³9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{}c n 是首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知，a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1³30＋3³31＋5³32＋…＋(2n －1)³3n －1，3S n ＝1³31＋3³32＋…＋(2n －3)³3n －1＋(2n －1)³3n，两式相减得－2S n ＝1＋2³(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)³3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10．(2017²江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)，①当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝1n b-，②由①②知a n ＝1nn b b --，令n ＝3，则有a 3＝32b b -.∵b 3＝6＋b 2， ∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n }的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又由a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)，得21³22³23…³2n ＝n b，即(1)22,n n n b +=∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n . (ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0，当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n－(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n≤5³(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.回扣5 不等式1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )＞0(<0)⇔f (x )g (x )＞0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.4．基本不等式 (1)a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 5．线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )²g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．1．(2017²泰州二中调研)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 由3－2x －x 2≥0，得x 2＋2x －3≤0， 解得x ∈[－3,1]．2．若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是____________．答案 (－3,0]解析 由题意可知，2kx 2＋kx －38＜0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＜0，代入求得－3＜k ＜0，所以实数k 的取值范围是(－3,0]．3．二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12，则关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________． 答案 {x |－3＜x ＜－2}解析 由已知，－b a ＝56，c a ＝16，且a ＜0，则b ＝－56a ，c ＝16a ，故不等式cx 2－bx ＋a ＞0可化为x 2＋5x ＋6＜0，解得－3＜x ＜－2.4．(2016²上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．答案 －2解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大．即过点(0,1)时，z 取最大值，z ＝0－2³1＝－2.5．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m 2，侧面造价是10元/m 2，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 由题意知，体积V ＝4m 3，高h ＝1m ，所以底面积S ＝4m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20³4＋10³⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ²8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．6．(2017²江苏南京高淳区质检)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象的点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2解析 因为y ′＝12x(x ＋1)＋x ＝3x ＋12x ＝32x ＋12x(x ＞0)≥23x 2²12x＝3，当且仅当x ＝13时取等，所以k ＝tan θ≥3，又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.7．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 解析 ∵tt 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1. 8．若a ，b 均为非负实数，且a ＋b ＝1，则1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为________． 答案 3解析 方法一 令a ＋2b ＝s,2a ＋b ＝t ，则1a ＋2b ＋42a ＋b ＝1s ＋4t.由题意知，s ≥0，t ≥0，且s ＋t ＝3(a ＋b )＝3，所以1s ＋4t ＝s ＋t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋4t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋t s ＋4s t ≥13³9＝3，当且仅当s ＝1，t＝2时等号成立．所以1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为3.方法二 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋2b ＋42a ＋b ＝11＋b ＋41＋a， 令1＋b ＝s ，a ＋1＝t ，则11＋b ＋41＋a ＝1s ＋4t ，由题意知，s ≥1，t ≥1，且s ＋t ＝3，所以1s ＋4t ＝s ＋t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋4t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋t s ＋4s t ≥13³9＝3，当且仅当s ＝1，t ＝2时等号成立．所以1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为3. 9．解关于x 的不等式x 2＋ax －2x －1≤x ＋1.解 原不等式可化为x 2＋ax －2x －1－(x ＋1)≤0，即ax －1x －1≤0， 当a ＝0时，有－1x －1≤0，所以x ＞1， 当a ≠0时，①当a ＜0时，有x －1ax －1≥0，且1a ＜1，所以x ≤1a或x ＞1； ②当0＜a ＜1时，有x －1a x －1≤0，且1a ＞1，所以1＜x ≤1a；③当a ＝1时，有x －1x －1≤0，所以x ∈∅， ④当a ＞1时，有x －1ax －1≤0，且1a ＜1，所以1a≤x ＜1， 综上，当a ＜0时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a ∪(1，＋∞)，当a ＝0时，原不等式的解集为(1，＋∞)，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤1，1a ，当a ＝1时，原不等式的解集为∅， 当a ＞1时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，1.10．(2017²江苏苏州期中)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量BC ＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD ＝120°，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习——解答题滚动练4含答案
解答题滚动练41.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，且AB＝错误!，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，PA⊥DE.(1)求证：EF∥平面PAD；(2）求证:平面PAC⊥平面PDE。
证明（1）方法一取线段PD的中点M,连结FM，AM。
因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝错误!CD。
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝错误!CD。
所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.方法二连结CE并延长交DA的延长线于N,连结PN。
因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA。
所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP。
又NP⊂平面PAD,EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.方法三取CD的中点Q，连结FQ，EQ。
在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD.因为Q，F分别为CD，CP的中点,所以FQ∥PD.又PD⊂平面PAD,FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD。
又FQ，EQ⊂平面EQF,FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD。
因为EF⊂平面EQF,所以EF∥平面PAD.（2）设AC，DE相交于G。
在矩形ABCD中,因为AB＝错误!BC，E为AB的中点,所以错误!＝错误!＝错误!.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA。
又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°,所以∠DCA＋∠CDE＝90°。
由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°。
即DE⊥AC.又PA⊥DE，PA∩AC＝A,PA,AC⊂平面PAC,所以DE⊥平面PAC,又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.2．如图所示，A，B是两个垃圾中转站,B在A的正东方向16km处,AB。
全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练3理.doc
解答题滚动练31.(2017 •日照模拟)已知函数f{x) =-^3sin 2x—2cosJ—1, xGR.(1)求函数fg的最小正周期和最小值；(2)在中，A, B, C的对边分别为日，b, c,已知c=羽，代0=0, sin ^=2sin A, 求臼，方的值.解2x—2cos。
一l=^sin 2x~ (cos 2/+1)—1=£sin 2^—cos 2^—2 = 2sin^2jr——2,2 JI所以f©的最小正周期= “ ,最小值为一4.(2)因为f(0 =2sin(2C—*)—2=0,所以sin(2C—土■) = 1.JI ( Ji llnA JI JI JI又fe (0, JI ),2C—~ el ——, —^―I,所以2C―=—,得C^~.因为sin B=2sin A,由正弦定理，得b=2a,由余弦定理，得c = a + If ~2abcos C=a2 + 4a2—2a2 = 3a\又c=£,所以a= 1, b=2.2.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过/系统处理，处理后的污水C4级水)达到环保标准(简称达标)的概率为q(OVqVI).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验, 也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标•若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若藕,求2个力级水样本混合化验结果不达标的概率；9(2)若p=^,现有4个/级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优” ？⑶若“方案三”比“方案四”更“优”，求P的取值范围.解⑴该混合样本达标的概率是上钊吕，4 1所以根据对立事件原理，不达标的概率为1—丁=亍(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.4方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1,概率为丁；若不达标则检测次数为3,概率为右故方案二的检测次数记为"，"的可能取值为2, 4, 6.其分布列如下，可求得方案二的期望为罷)=2x||+4X备+6X^=字, 方案四：混在一起检测，记检测次数为斯，「可取1, 5.其分布列如下,16 Q 61可求得方案四的期望为以")“><豈+5><彩=卷.比较可得別氣)V以罷)V4,故选择方案四最“优”.(3)方案三：设化验次数为心，心可取2, 5.g( "：J =2 • p+ 5(1—/) =5 —3p3；方案四：设化验次数为小，小可取1, 5.mLMD ,#415 P 4 P1-PE("J =1 • /74+5(1—/j4) =5—4/J4；3 由题意得Ej“3)<E( ^74)<=>5 —3p<5 —4/740/7<-3故当0<°<才时，方案三比方案四更“优”.3.如图，三棱柱ABC-A^G中，侧面ABB.Ar为菱形且ZBAA1=&0° , D,〃分别为％和/出的中点，A.DLCG, AA,=A.D=2, BC=\.(1)证明：直线胁〃平面/BC；⑵求二面角B-AC-A,的余弦值.方法一⑴证明连接4G'JAxDLCa,且〃为中点，.•.4片力£=&=/C,又BC=\, AB=BAx=2, :.CBLBA, CB丄BA\,又BACBAi=B, :.CBL平面ABBrA,取例的中点月则BFVAA.,即必BF,駆两两互相垂直，以B为原点，BB\, BF,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图,0, 0),C(0, 0, 1),/(一1,萌，0), A(l, y[3, 0),G(2, 0, 1) , Z?(l, 0, 1), 励=牛，—> A 设平面宓的法向量为皿=(x，y, z),C D Ci取m= (^3, 1,0),又肋平面肋C,...直线加〃平面 MC⑵解 设平面力以1的法向量为Z7= G1，乃，Z1) , AC= (1, —y[3, 1) , AA1=(2, 0, 0), n • AC=xi—\[3yi + zi=0f/ L \ 贝幷 _取心(0, 1, y[3),、n •曲i=2&=0・ 又由⑴知平面的法向量为m= (^3, L 0),设二面角B —AC —Ai 为〃，〃为锐角，方法二 M 连接那 CN,则有MN 能严綠CD, .•.四边形妣》为平行四边形，:.MDHNC,又胁平面/BG Mt 平面直线加〃平面肋C⑵解 由各棱长易得BCLBA, BCLBA,,:.BCL 平面 ABBA,如图所示，取处的中点”，连接川皿 过川作NHL AC 于〃，连接朋i.'：BCLA,N, ABLA.N, AB^BC=B,:.ANL 平面 ABC,:.A,NLAC,又 '：NHL AC, NH0A 、N=N,:.AC± 平面 A\NH,:.AHL AC,故上NHA\为所求的二面角的平面角，、后 2\/5 4、伝NH在Rt △力1曲中，諒\ANHs\ACB,得必匚*-,屈〜青，则故cosZ 曲41=荷= 51 1筛=二,故所求的二面角的余弦值为孑5 m • n 1 m n _2 2- /.cos 8 1 -4y=x+y[7,联立Y y .4?+3?=Z Z ] 4. 己知椭圆J+^=l （a>A>0）的离心率为9,过点E （~y[7, 0）的椭圆的两条切线相互垂直.（1） 求此椭圆的方程；（2） 若存在过点（乙0）的直线/交椭圆于B 两点，使得FALFB^F 为右焦点），求t 的取值 范围.解（D 由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为必x 轴下方的切点为用则 y 尬的直线方程为K =A -+V7,得 7/+8^7 A + 28 -12 c 2 = 0,由 A=0,得 c=l,2 2所以椭圆的方程为才+彳⑵设直线/的方程为x=my+ t, A （xi,戸），B （x 2,乃），x=my-\-1,联立,"得k +T =b (3 异+4) y +6 刃切+3 #—12 = 0,由 力〉0,得 ini — #+4 > 0,I —&mt 3 孑一1271十乃乃=丽百' FA= (^― 1, ji), FB=(A2—L 乃)，FA • FB=(简一1)(卫一1) + yiy2=X1X2— (xi+x2)+1+乃乃=(ffl +1) y\yi~\~ {mt —ni) (y )+ 比)+ t 2 — 21+1 = 0, 所以7t 2-8t-8 = W 有解，所以 7产一8r —8耳0,且 7t 2-8t-8-3t 2+12>0,则律吐輕或W 呻1。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——考前回扣4 Word版含答案
回扣4 数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1＝q (q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．a n②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n·n 或a n ＝a ·(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2×10＝20.2．(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7， ∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×(2a 5)2＝9a 5＝63.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________． 答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4，解得a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.4．(2017·南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为__________． 答案 ±4 2解析 由S 9＝－36，S 13＝－104，可解得a 1＝4，d ＝－2，所以a 5＝－4，a 7＝－8. 设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32， 所以x ＝±4 2.5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， ∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S nan ＝________.答案 2n－1解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n)1－q a 1q n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1. 7．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{}c n 是首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知，a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10．(2017·江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)，①当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝1n b -，②由①②知a n ＝1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝32b b -.∵b 3＝6＋b 2， ∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n }的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又由a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)，得21×22×23…×2n ＝n b，即(1)22,n n n b +=∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n－(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。
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回扣4 数 列1．牢记概念与公式 等差数列、等比数列等差数列 等比数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q ≠0)前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d(1)q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ； (2)q ＝1，S n ＝na 12.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n }的常用性质等差数列等比数列性质 ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m qn －m；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S m ≠0)(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．②通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．③中项公式法2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． ④前n 项和公式法S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法 ①定义法a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n·n 或a n ＝a ·(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2×10＝20.2．(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7， ∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×(2a 5)2＝9a 5＝63.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________． 答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4，解得a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.4．(2017·南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为__________． 答案 ±4 2解析 由S 9＝－36，S 13＝－104，可解得a 1＝4，d ＝－2，所以a 5＝－4，a 7＝－8. 设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32， 所以x ＝±4 2.5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， ∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S nan ＝________.答案 2n－1解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n)1－q a 1q n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1. 7．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{}c n 是首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知，a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10．(2017·江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)，①当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝1n b -，②由①②知a n ＝1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝32b b -.∵b 3＝6＋b 2， ∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n }的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又由a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)，得21×22×23 (2)＝n b，即(1)22,n n n b +=∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n－(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。