高考数学(理)考前必记的60个知识点含公式推理推论总结及提醒

高考理科数学考前必记的60个知识点集合(1)集合之间关系的判断方法①A真含于B⇔A⊆B且A≠B，类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔A真含于B或A＝B，类比于a≤b⇔a<b或a＝b.③A＝B⇔A⊆B且A⊇B，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.(2)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A＝B和A B两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x∉A，说明A≠B ，只能是A B.②集合相等的两层含义：若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A＝B，则A⊆B且B⊆A.[提醒]1任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.2对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，则有A⊆C.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．常见关键词及其否定形式关键词等于大于小于是一定是都是至少有一个至多有一个存在否定词不等于不大于不小于不是不一定是不都是一个也没有至少有两个不存在命题(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．(3)含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M非p(x) 充分、必要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果p⇒q，但q⇒/ p，那么p是q的充分不必要条件．③如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．④如果q⇒p，且p⇒/ q，那么p是q的必要不充分条件．⑤如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分、必要条件与集合的对应关系从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件(p⇒q)A⊆Bp是q的必要条件(q⇒p)A⊇Bp是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)A真含于Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)A真包含Bp是q的充要条件(p⇔q)A＝B函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋13－4x的值域．(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝3－sin x2－cos x的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab(a，b为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]等．(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝x＋1x－1的值域．指数函数与对数函数(1)指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝a x(a>0且a≠1)y＝log a x(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0<a<1时，在R上是减函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在R上是增函数a>1时，在(0，＋∞)上是增函数[提醒]直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．(2)比较幂值大小的方法①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．③若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较的一个数的底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．(3)常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f (x )f (y )＝f (x ＋y )(x ，y ∈R )； ②f （x ）f （y ）＝f (x －y )(x ，y ∈R ，f (y )≠0) 指数函数f (x ) ＝a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )＋f (y )(x >0，y >0)；②f (xy)＝f (x )－f (y )(x >0，y >0)对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )f (y )(x ，y ∈R )； ②f (x y )＝f （x ）f （y ）(x ，y ∈R ，y ≠0)幂函数f (x )＝x n函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 导数(1)基本初等函数的导数公式①(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .②(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a(x >0，a >0，且a ≠1)．③(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′ ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．②(u v )′＝v u ′＋v ′u ⇒(c v )′＝c ′v ＋c v ′＝c v ′(c 为常数)． ③⎝⎛⎭⎫u v ′＝v u ′－v ′u v 2(v ≠0)．[提醒] 1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x . 3注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．5一般情况下，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )·g (x )]′≠f ′(x )＋g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′（x ）g ′（x ），⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′(x )－g ′(x )．6。

复合函数导数：引入中间量内导乘外导□10 极值与最值 (1)判断极大、极小值的方法 当函数f (x )在点x 0处连续时①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)是极大值． ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)是极小值．[提醒] 1可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，x ＝0时就不是极值点，但f ′(0)＝0.2极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值．“在x 0处有f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x 0处取得极值”的必要不充分条件．3函数f (x )在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f (x )在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．(2)极值与最值的区别与联系 函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个，也可能一个没有 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值②联系：(i)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点； (ii)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． □11 定积分 (1)由定积分的定义可得定积分⎠⎛ab f (x )dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )dt ＝⎠⎛ab f (u )d u .(2)定积分满足性质：①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)；②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．[提醒] 1⎠⎛a b x m d x ＝1m ＋1x m ＋1⎪⎪ba (m ∈Q *)； 2⎠⎛ab cos x d x ＝sin x ⎪⎪ba ； 3⎠⎛ab sin xdx ＝(－cos x )⎪⎪b a.□12 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商的关系：tan α＝sin αcos α(α≠k π＋π2，k ∈Z )．[提醒]1公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α等．2对“同角”的理解：只要是同一个角，基本关系式就成立，不拘泥于角的形式，比如sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α等都成立，但sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1就不一定成立． □13 三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限[提醒]“奇、偶”指的是π2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦)．“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n ·π2±α(n ∈Z )是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．□14 三角函数的图象变换 (1)y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)．(2)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω倍，得到y ＝sin ωx 的图象．(3)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y ＝A sin x 的图象．[提醒]1由y＝sin ωx的图象经过平移变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，平移的单位不是|φ|，而是|φω|.2函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化，所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律，一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析．□15正弦、余弦、正切函数的奇偶性、周期性、对称性函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(kπ2，0)，k∈Z 对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴最小正周期2π2ππ□16三角恒等变换(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.(2)二倍角公式sin 2α＝2sinαcosα.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tanα1－tan2α.(3)降幂、升幂公式①降幂公式sin2α＝1－cos 2α2；cos2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.②升幂公式1＋cos α＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cosα2)2；1－sin α＝(sin α2－cosα2)2.(4)万能公式sin θ＝2tanθ21＋tan2θ2，cos θ＝1－tan2θ21＋tan2θ2，tan θ＝2tanθ21－tan2θ2.□17正、余弦定理及其推论(1)正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)⇔a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C⇔a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.(3)三角形内角和定理在△ABC中，有A＋B＋C＝π⇔C＝π－(A＋B)⇔C2＝π2－A＋B2⇔2C＝2π－2(A＋B)．(4)三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C (A ，B ，C 是△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角)□18 平面向量 (1)平面向量共线的坐标表示的两种形式①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，此形式对任意向量a ，b (b ≠0)都适用．②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 2y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.需要注意的是可以利用x 1x 2＝y 1y 2来判定a ∥b ，但是反过来不一定成立．(2)向量法证明三点共线①对于OA →＝λ OB →＋μ OC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1，反之，也成立．②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线，则(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 2－x 1)(y 3－y 1)＝(x 3－x 1)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．同样地，当这些条件中有一个成立时，A ，B ，C 三点共线．(3)平面向量的数量积已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21 数量积 a·b ＝|a||b|cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2夹角cos θ＝a ·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22续 表结论几何表示 坐标表示 a ⊥b 的 充要条件 a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a·b| 与|a||b| 的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21· x 22＋y 22(4)两向量的夹角与数量积设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 当θ＝0°时，cos θ＝1，a·b ＝|a||b|； 当θ为锐角时，cos θ>0，a·b >0； 当θ为直角时，cos θ＝0，a·b ＝0； 当θ为钝角时，cos θ<0，a·b <0； 当θ＝180°时，cos θ＝－1，a·b ＝－|a||b|. □19 等差数列与等比数列 (1)辨析两类特殊数列等差数列等比数列概念从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数的数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为0)的数列相同点①都强调每一项与它的前一项的关系； ②结果都必须是同一常数；③数列都可由a 1，d 或a 1，q 确定 不同点①强调的关系为差；②首项a 1和公差d 可以为零； ③两数的等差中项唯一①强调的关系为比；②首项a 1和公比q 均不为零 ③如果两数有等比中项，则等比中项有两个(2)①等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，点(n ，a n )在一次函数y ＝px ＋q 的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y ＝px ＋q 上的均匀排开的一群孤立的点．当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．因此，当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列． ②等比数列与指数函数的关系当q >0时，且q ≠1时等比数列的通项公式可以看作指数型函数．当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n ，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上．因此，当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列．(3)两数列前n 项和的函数特性①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .等差数列的前n 项和公式与函数的关系：由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 可得S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则有S n＝an 2＋bn .当a ≠0(即d ≠0)时，由{a n }的前n 项和S n 组成的新数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是二次函数y ＝ax 2＋bx 图象上一系列孤立的点．②等比数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一群孤立的点．对于是常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一群孤立的点．□20 等差、等比数列的判断方法 (1)等差数列的判断方法①定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．②通项公式法：a n ＝a 1＋(n －1)d (其中a 1，d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． ③等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (2)等比数列的判断方法①定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．②等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．③通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．[提醒] 判断一个数列是否是等比数列，还有一种直观的判断方法，即前n 项和公式法：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)，则数列{a n }是公比为q 的等比数列．但此方法不能用于证明一个数列是等比数列．□21 数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f (n )＝a n ，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制．(2)利用数列的单调性求解，由不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求解出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．(3)转化为关于n 的不等式组求解：若求数列{a n }的最大项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1；若求数列{a n }的最小项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围之后再确定取得最值的项．□22 不等式的性质 别名 性质内容注意 性质1 对称性 a >b ⇔b <a ； a <b ⇔b >a可逆 性质2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ；a <b ，b <c ⇒a <c 同向 性质3可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c可逆□23 (1)分式不等式的解法分式不等式f （x ）g （x ）>0(或<0)的求解可应用同解原理，转化为整式不等式求解．f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）≠0，f （x ）·g （x ）≥0（≤0）. [提醒] 对于解分式不等式，将分式不等式转化成整式不等式时，如果不等式是含有等号的不等式形式，则很容易忘掉分母不为0的情形，从而导致出错；另一种可能出现错误的情形是在两边进行平方时，容易扩大或缩小不等式的范围． (2)一元二次不等式的恒成立问题①在实数集R 上，ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立，则a >0(a <0)，且Δ<0，反之也成立；ax 2＋bx ＋c ≥0(≤0)恒成立，则a >0(a <0)，且Δ≤0，反之也成立．②若一元二次不等式在某一区间上恒成立，则可结合相应二次函数的图象，判断函数图象在这个区间上与对称轴的相对位置，列出不等式恒成立时满足的条件即可．③一般地，不等式恒成立的问题通常转化为函数的最值问题来解决．如f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a .(2)线性目标函数在约束条件下的最值问题 □25 基本不等式 (1)基本不等式的变形①根式形式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②整式形式：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，以上不等式当且仅当a ＝b 时，等号成立．③分式形式：b a ＋ab ≥2(ab >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．④倒数形式：a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．(2)利用基本不等式求最值①对于正数x ，y ，若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p .②对于正数x ，y ，若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.③已知a ，b ，x ，y 为正实数，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y ＝(ax ＋by )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋axy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2. ④已知a ，b ，x ，y 为正实数，若a x ＋b y ＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bxy≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2. [提醒] 利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数；②求积xy 的最大值时，要看和x ＋y 是否为定值，求和x ＋y 的最小值时，要看积xy 是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；③当且仅当各项相等时，才能取等号．以上三点应特别注意，缺一不可．□26 根据几何体的三视图判断几何体的结构特征 (1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥．(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥． (3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥．(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱． (5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱． □27 空间几何体的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积：S 侧＝cl (c 是底面周长，l 为侧棱长)．正棱锥的侧面积：S 侧＝12ch ′(c 是底面周长，h ′为斜高)．正棱台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ，c ′分别是上、下底面周长，h ′为斜高)．圆柱的侧面积：S 侧＝cl ＝2πrl (c 是底面周长，l 为母线长)．圆锥的侧面积：S 侧＝12cl ＝πrl (c 是底面周长，r 是底面圆半径，l 为母线长)．圆台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)l (c ，c ′分别是上、下底面周长，r ，r ′分别是上、下底面圆半径，l 为母线长)．球的表面积：S ＝4πR 2.(2)柱体的体积：V 柱＝Sh (S 为底面积，h 是柱体的高)．锥体的体积：V 锥＝13Sh (S 为底面积，h 是锥体的高)．球的体积：V 球＝43πR 3＝13S 表R .□28 球的组合体 (1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a (正四面体高63a 的14)，外接球的半径为64a (正四面体高63a 的34)．□29 证明空间位置关系的方法 (1)线面平行： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α. (2)线线平行： ⎭⎪⎬⎪⎫ a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ∥c ⇒c ∥b .(3)面面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Oa ∥β，b ∥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ.(4)线线垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b .(5)线面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β α∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α. (6)面面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β.[提醒] 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化．□30 空间向量的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)； (3)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(b ≠0)；(4)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(5)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a ≠0，b ≠0)； (6)点A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)间的距离d ＝|AB →|＝ （x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2. □31 空间向量的应用 (1)夹角公式：设非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.推论：(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2≤(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)．(2)异面直线所成的角：cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a |·|b |＝|a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3|a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23，其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ，b 所成的角，a ，b 分别表示异面直线a ，b 的方向向量．(3)直线AB 与平面α所成的角θ满足：sin θ＝|cos 〈AB →，m 〉|＝|AB →·m ||AB →|·|m |(m 是平面α的法向量)．(4)二面角α­l -β的平面角θ满足：|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |(m ，n 分别是平面α，β的法向量)．[提醒] 在处理实际问题时，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角，以确定角的大小．(5)点B 到平面α的距离：d ＝|AB →·n ||n |(n 为平面α的法向量，A ∈α，AB 是平面α的一条斜线段)．□32 直线 (1)直线方程的5种形式名称 方程的形式常数的几何意义 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) (x 0，y 0)是直线上一定点，k 是斜率 不垂直于x 轴斜截式 y ＝kx ＋b k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两定点不垂直于x 轴和y 轴 截距式x a ＋y b ＝1a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距 不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点一般式Ax ＋By ＋C＝0(A ，B 不同时为零) A ，B 都不为零时，斜率为－AB，在x 轴上的截距为－C A ，在y 轴上的截距为－CB任何位置的直线(2)①已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，A 2，B 2全不为0)，则l 1，l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2，l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1，l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2. 当A 1，B 1，A 2，B 2中有0时，应单独讨论．②直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 21＋B 21≠0，且A 22＋B 22≠0)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[提醒] 讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们也垂直．□33 圆 (1)圆的四种方程①圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．②圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．③圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．④圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))． (2)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切三种情况．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切．(3)圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)，则其位置关系的判断方法如下表：方法位置关系几何法代数法 公切线 的条数 圆心距d 与r 1，r 2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d >r 1＋r 2 无解 4 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 3 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 2 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解1 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解□34 椭圆 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形几何性质范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)； B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a )； B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) 轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a ，短轴长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c离心率 焦距与长轴长的比值：e ∈(0，1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2[提醒] 椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a 越趋近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba 越趋近于1，椭圆越接近于圆．所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．当且仅当a ＝b ，c ＝0时，椭圆变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2. □35 双曲线 (1)双曲线的标准方程及几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形几 何 性 质范围 |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R 对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c离心率 焦距与实轴长的比值：e ∈(1，＋∞) 渐近线 y ＝±b a x y ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2[提醒] 1离心率e 的取值范围为(1，＋∞)．当e 越接近于1时，双曲线开口越小；当e 越接近于＋∞时，双曲线开口越大．2满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的点P 的轨迹不一定是双曲线，当2a ＝0时，点P 的轨迹是线段F 1F 2的中垂线；当0<2a <|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，点P 的轨迹不存在．(2)双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，即y ＝±bax .②若渐近线的方程为y ＝±b a x ，即x a ±y b ＝0，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ.③若所求双曲线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线，其方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ>0，焦点在x 轴上；λ<0，焦点在y 轴上)．④焦点到渐近线的距离总是b . □36 抛物线 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)图形几何性质对称轴x 轴y 轴顶点O (0，0)焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R离心率e ＝1□37 (1)弦长的求解①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；②当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．(2)中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0；在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝p y0.□38频率与概率的区别与联系(1)区别①频率具有随机性，在不同的试验中，同一事件发生的频率可能不同；②概率是频率的稳定值，是一个确定的常数，不管进行多少次试验，同一事件发生的概率是不变的．(2)联系①频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量；②概率可看作频率在理论上的期望值，随试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率．□39事件的关系与运算(1)包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A，记作B⊇A(或A⊆B)．(2)相等事件：如果B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.(3)并(和)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．(4)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．(5)互斥事件：若A∩B为不可能事件(即A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．(6)对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生．[提醒]互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．□40概率的几个基本性质(1)任何事件A的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)若A⊆B，则P(A)≤P(B)．(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A与事件B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．注意没有事件A与事件B互斥这一条件时，这个公式不成立．(5)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.[提醒]当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用(5)，即用间接法求概率．□41古典概型与几何概型的异同(1)古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数.(2)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个[提醒]在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．□42离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)分布列的性质①p i≥0，i＝1，2，…，n；。