【初三数学】佛山市九年级数学上(人教版)第22章二次函数单元测试及答案

人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(7) 一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）2．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C．当x＝﹣1时，b＞﹣5D．当x＞3时，y随x的增大而增大3．若抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定4．已知点（﹣3，y1），（5，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，点（x0，y0）是函数图象的顶点．则（）A．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是1＜x0＜5B．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是x0＞5C．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜﹣3D．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜15．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 6．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小7．已知抛物线y＝﹣3kx2+6kx+2（k＞0）上有三点（﹣，y1）、（，y2）、（3，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．abc＞0C．2a+b＜0D．ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根9．若关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．﹣2＜a＜﹣1 C．﹣＜a＜﹣1 D．﹣＜a＜﹣2 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二．填空题11．抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位得到y＝7x2+c，则c的值为．12．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（4，3），且对称轴是x＝1，则关于x的方程ax2+bx+c＝3的解为．13．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是．14．已知，抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，则m的取值范围是．15．若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．16．如图，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C（m，0）是线段AB上一动点，抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1，经过点A，C，顶点为D，抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，直线AD与直线BE交于点F，当点C从A点运动至B点时，点F在二次函数y ＝ax2+bx+c的图象上运动（1）二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为；（2）当AF⊥BF时，点F的坐标为．三．解答题17．已知：二次函数y＝x2+px+q，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝﹣5．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个二次函数的顶点坐标和对称轴．18．根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，﹣1），B（1，0），C（﹣1，2）；（2）已知抛物线顶点P（﹣1，﹣8），且过点A（0，﹣6）；19．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）作出该抛物线的简图（自建坐标系）；（3）在抛物线对称轴上求一点E，使EC+EB最小．21．已知二次函数y＝x2+3x+2m﹣3的图象与x轴只有一个交点．（1）求m的值；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．23．平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x+c交x轴于A，B两点（如图），顶点是C，对称轴交x轴于点D，OB＝2OA，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限抛物线上一点，连接ED并延长交抛物线于点F，连接EC，FC，求证：∠ECF＝90°；（3）如图3，在（2）问条件下，M，N分别是线段OA，CD延长线上一点，连接MN，CM，过点C作CQ⊥MN于Q，CQ交DM于点P，延长FE交MC于R，若∠NMD ＝2∠DMC，DN+BO＝MP，MR：RC＝7：3，求点F坐标．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．2．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b∴对称轴为直线x＝＝2∴a＝4，故A选项正确；当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0即1+4+b＜0∴b＜﹣5，故C选项不正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选：C．3．解：∵抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝m2﹣36＝0，∴m＝±6，故选：C．4．解：A选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，关系不成立；B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；D选项时，函数有最大值，图象开口向下，已知两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立．故选：D．5．解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3．故选：A．6．解：抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．7．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线开口向下，点（﹣，y1）到直线x＝1的距离最大、点（，y2）到直线x＝1的距离最小，∴y1＜y3＜y2．故选：B．8．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，故错误；B、杭虎对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故错误；C、函数对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故错误；D、抛物线与x轴有2个交点，故ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，正确；故选：D．9．解：△＝b2﹣4ac＞0，即：9+4a＞0，解得：a，两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则x＝﹣1时，y＜0，x＝0时，y＜0，即：a+3﹣1＜0，0+0﹣1＜0，解得：a＜﹣2，故选：D．10．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为抛物线y＝7x2+1．当x＝0时，y＝1，故答案为1．12．解：对称轴是x＝1，∴点（4，3）关于对称轴对称的点为（﹣2，3），∴ax2+bx+c＝3的解可以看作y＝ax2+bx+c与直线y＝3的交点问题，∴方程ax2+bx+c＝3的解为x＝﹣2或x＝4；故答案为x＝﹣2或x＝4；13．解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+4是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．14．解：∵抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，∴1﹣m＜0，解得m＞1，故答案为m＞1．15．解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，∴m2＝2，且m﹣≠0，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．16．解：（1）设点C（m，0），﹣4≤m≤4，∵抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1经过点A，C，顶点为D，∴y1＝﹣（x+4）（x﹣m），顶点D（），设直线AD表达式为y＝kx+n，则，解得，∴直线AD表达式为y＝，①∵抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，同理可求得直线BF的表达式为，②由①②，解得交点F为（﹣m，），设点F（x，y），即x＝﹣m，y＝，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为．（2）设点F（x，y），则当AF⊥BF时，有AF2+BF2＝AB2，∴（x+4）2+y2+（x﹣4）2+y2＝64，解得y＝2或y＝0（舍去），∴x＝，∴点F的坐标为（，2）或（，2）．三．解答题（共8小题）17．解：（1）将x＝1时，y的值为4，当x＝2时，y的值为﹣5代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣12x+15；（2）y＝x2﹣12x+15＝（x﹣6）2﹣21，∴二次函数的顶点坐标是（6，﹣21），对称轴为x＝6．18．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣1；（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8，把（0，﹣6）代入得a﹣8＝﹣6，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣6＝2x2+4x﹣4．19．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；20．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1），将点C的坐标代入上式得：8＝a（2+2）（2﹣1），解得：a＝2，故抛物线的表达式为：y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4；（2）抛物线图象如下图：（3）点A是点B关于函数对称轴的对称点，连接AC交函数对称轴与点E为所求点，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x﹣4，当x＝﹣时，y＝﹣3，则点E（﹣，﹣3），EC+EB最小为AC＝＝2．21．解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝9﹣4（2m﹣3）＝0，解得：m＝；（2）函数的对称轴为：x＝﹣，a＝1＞0，故当x＜﹣时，y随x的增大而减小．22．解：（1）根据题意得：w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∵a＝﹣10＜0，∴对称轴为x＝65，∴当x＝65时，W最大值＝12250（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．23．解：（1）∵抛物线对称轴为：直线x＝1，∴D（1，0），由抛物线对称性知：DA＝DB，设DA＝DB＝m，则：A（1﹣m，0），B（1+m，0），∵OB＝2OA∴1+m＝2（m﹣1），解得：m＝3∴A（﹣2，0），B（4，0），将A（﹣2，0）代入y＝x2﹣x+c，得0＝×（﹣2）2×（﹣2）+c，解得：c＝∴抛物线的解析式为：y＝x；（2）如图2，∵y＝x＝；∴顶点C（1，﹣3），设点E（n，n2﹣n﹣），F（m，m2﹣n﹣），过点E作EH⊥CD于G，过F作FG⊥CD于G，则G（1，m2﹣n﹣），H（1，n2﹣n﹣），∴EH＝1﹣n，FG＝m﹣1，DG＝m2﹣n﹣，DH＝﹣（n2﹣n﹣），∵EH⊥CD，FG⊥CD∴∠DHE＝∠DGF＝90°∵∠EDH＝∠FDG∴△DEH∽△DFG∴＝，即＝，∴＝∵EH≠FG∴m+n﹣2≠0∴（m﹣1）（1﹣n）＝﹣9∵tan∠GFC＝＝＝（m﹣1），tan∠ECH＝＝＝﹣∴＝＝＝1∴tan∠GFC＝tan∠ECH∴∠GFC＝∠ECH∵∠GFC+∠FCG＝90°∴∠ECH+∠FCG＝90°即∠ECF＝90°．（3）如图3，以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SG ⊥DM于G，连接MT，作∠SCT平分线交MT于I，过点I作IJ⊥CT于J，设DM＝t，则DT＝TK＝t，∵正方形DMKT，∴∠DTM＝∠KTM＝∠DMT＝45°∴四边形TLIJ是正方形，∴IJ＝TJ＝TL∵CI平分∠SCT∴∠JCI＝∠SCT∵CQ⊥MN∴∠SCT+∠MND＝∠NMD+∠MND＝90°∴∠NMD＝∠SCT∵∠NMD＝2∠DMC，∴∠DMC＝∠SCT∴∠JCI＝∠DMC∴∠JCI+∠DTM＝∠DMC+∠DMT即∠CIM＝∠CMI∴CM＝CI∵∠MDC＝∠CJI＝90°∴△MDC≌△CJI（AAS）∴IJ＝CD＝3∴JT＝TL＝3在△MDN和△SGP中∴△MDN≌△SGP（AAS）∴DN＝PG∵DN+BO＝MP，MG+PG＝MP∴MG＝BO＝4∴KS＝4∴SL＝t﹣7，易证：SZ＝SL＝t﹣7，CZ＝CJ＝t，CS＝2t﹣7在Rt△CST中，∵ST2+CT2＝CS2∴（t﹣4）2+（t+3）2＝（2t﹣7）2，解得：t1＝12，t2＝1（不符合题意，舍去）∴M（﹣11，0），过点R作RW⊥DM于W，则△MRW∽△MCD∵MR：RC＝7：3，∴＝，∴＝＝＝，∴MW＝，RW＝∴R（﹣，﹣）设直线DR解析式为y＝kx+b，则解得：∴直线DR解析式为y＝x﹣解方程组，得，；∴E（﹣，），F（5，）．24．解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c＝4，令y＝0，则，解得x1＝3，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），C（0，4）；（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式y＝x+4，点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），∴PQ＝＝，∵，∴a＝﹣2时，PQ有最大值；（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，①当BC＝BQ时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q1（﹣1，3）；②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．人教版九年级上册单元检测：第二十二章二次函数（含答案）(1)一．选择题1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+2．抛物线y＝﹣x2+2x+6的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝23．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到4．二次函数y＝﹣x2+mx，对称轴为直线x＝3，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t 为实数）在2＜x＜7的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣7 B．﹣7＜t＜8 C．8＜t≤9 D．﹣7＜t≤95．若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．6．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣17．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定8．若函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个A．3 B．4 C．5 D．69．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点P为线段BC上的动点，以AC，AP为邻边构造▱APEC，连结BE．若△ACP的面积与△BEP的面积之比为1：2时，ED⊥BD，则a 的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣2二．填空题11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，3），那么这个二次函数的解析式可以是．12．某斜拉索大桥主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，桥的宽度CD米．13．某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝．15．抛物线y＝3x2﹣6x+a与坐标轴只有一个公共点，则a取值范围为．16．已知二次函数y＝x2+4x+3的顶点为A，与y轴交于点B，作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，交y轴于点D，则四边形ABCD面积为．三．解答题17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点C的坐标为（﹣3，2），此抛物线交x轴于点A，B两点，交y轴于点D，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴垂足为E，交直线AD于点N，连接AP，PD．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）求线段PN的最大值；（3）当△APD的面积是△ABC的面积的时，求点P的坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．20．如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线型的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立一个以BC为x轴，OE为y轴的直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”例如，点（1，9），（﹣2019，2029）…都是“合适点”．（1）求函数y＝2x+1的图象上的“合适点”的坐标；（2）求二次函数y＝x2﹣5x﹣2的图象上的两个“合适点”A，B之间线段的长；（3）若二次函数y＝ax2+4x+c的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为（4，6），求二次函数y＝ax2+4x+c的表达式；（4）我们将抛物线y＝2（x﹣n）2﹣3在x轴下方的图象记为G1，在x轴及x轴上方图象记为G2，现将G1沿x轴向上翻折得到G3，图象G2和图象G3两部分组成的记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围．参考答案一．选择题1．解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．2．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故选：A．3．解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C．4．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，解得m＝6，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，抛物线的顶点坐标为（3，9），当x＝2时，y＝﹣x2+6x＝8；当x＝7时，y＝﹣x2+6x＝﹣7，∵关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在2＜x＜7的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+6x与直线y＝t在2＜x＜7的范围内有公共点，∴﹣7＜t＜8．故选：B．5．解：∵y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴m＜0，∴二次函数y＝mx2+m的图象的开口向下，与y则交于负半轴上，故选：A．6．解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．7．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．8．解：，解不等式①得：x≤a，解不等式②得：x＞5，∵关于x的不等式组无解，∴a≤5．①当二次函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点时，方程（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣＝0的△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）（a﹣）≥0，解得：a≥，∴≤a≤5．又∵a≠2，整数有1，3，4，5，共4个．②当函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣是一次函数时，a﹣2＝0，此时a＝2．综上所述，整数有1，2，3，4，5，共5个．故选：C．9．解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故⑤正确；故选：A ．10．解：在y ＝a （x +1）（x ﹣3）中，令x ＝0，得x ＝﹣1或3∴A （﹣1，0），B （3，0）令x ＝0，得y ＝﹣3a∴C （0，﹣3a ），∵y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x ﹣1）2﹣4a∴D （1，﹣4a ），∵四边形APEC 是平行四边形∴AP ∥CE ，AP ＝CE ，S △ACP ＝S △EPC∵△ACP 的面积与△BEP 的面积之比为1：2∴＝∴＝∴P （1，﹣2a ）∴E （2，﹣5a ），如图，连接BD ，则∠BDE ＝90°∴BD 2+DE 2＝BE 2∴（3﹣1）2+（4a ）2+（1﹣2）2+（﹣4a +5a ）2＝（3﹣2）2+（5a ）2，解得：a ＝±，∵a ＜0∴a ＝﹣． 故选：B ．二．填空题11．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，且该抛物线的图象开口向上，∴a＞0，∴y＝（x﹣2）2+3，故答案为：y＝（x﹣2）2+3．12．解：如图，以CD所在直线为x轴，过点E的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据图象知点顶点E的坐标为（0，64），点B的坐标为B（25，﹣36），设解析式为y＝ax2+64，将点B（25，﹣36）代入得：﹣36＝625a+64，解得：a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+64，令y＝0，得：y＝﹣x2+64＝0，解得：x＝±20，∴CD＝20﹣（﹣20）＝40，故答案为：40．13．解：∵二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），∴此二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2，故答案为：直线x＝2．14．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，其中一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为（﹣3，0），故答案为﹣3．15．解：∵y＝3x2﹣6x+a＝3（x﹣1）2﹣3+a，∴抛物线的开口向上，顶点为（1，a﹣3），∵抛物线y＝3x2﹣6x+a与坐标轴只有一个公共点，∴顶点在第一象限，∴a﹣3＞0，即a＞3，故答案为a＞3．16．解：如图所示：过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作CE⊥y轴于点F，令x＝0，则y＝3，故B（0，3）；因为y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，故顶点坐标为A（﹣2，﹣1）．∵作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，∴C点坐标为：（4，1），B点对应点M为（2，﹣3），设二次函数解析式为：y＝a（x﹣4）2+1，﹣3＝a（2﹣4）2+1，解得：a＝﹣1，故y＝﹣（x﹣4）2+1，令x＝0，则y＝﹣15，故交y轴于点D坐标为：（0，﹣15），则四边形ABCD面积为：S△CBD +S△ABD＝EC×BD+×AF×BD＝BD（EC+AF）＝×18×6＝54．故答案为：54．三．解答题17．解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，∵AB2＝22＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，由对称性有AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形；（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，∵A、B两点关于直线x＝2对称，∴PB＝PA，∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），A令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），∵A（1，0），∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，∴P（2，﹣3）．18．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点C的坐标为（﹣3，2），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+2，即y＝﹣x2﹣3x﹣；令y＝0，则0＝﹣x2﹣3x﹣，解得x＝﹣1或x＝﹣5，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣，∴D（0，﹣），设直线AD的解析式为y＝kx+n，则，解得∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣；（2）设点P的坐标为（m，﹣m2﹣3m﹣），则点N的坐标为（m，﹣m﹣）∴PN＝﹣m2﹣3m﹣﹣（﹣m﹣）＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，∴PN的最大值为；（3）∵顶点C的坐标为（﹣3，2），A（﹣5，0），B（﹣1，0），＝（﹣1+5）×2＝4，∴S△ABC∵△APD的面积是△ABC的面积的，∴S＝×4＝5，△APD∴×5×（﹣m2﹣m）＝5，解得：m＝﹣4或m＝﹣1，则点P的坐标为（﹣4，）或（﹣1，0）．19．解：（1）x＝﹣＝﹣1，故b＝2a，故答案为：2a；（2）当a＝﹣1时，函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+c，方程为：x2+2x﹣c＝0，该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即c≥﹣1；同时要满足：当x＝﹣4时，y＜0或x＝1时，y＜0，即﹣16+8+c＜0或﹣1﹣2+c＜0，故c＜8或c＜3，故c＜8，故﹣1≤c＜8；（3）抛物线过点（﹣1，﹣1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，则x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得： 4＝a （1+1）2﹣1或﹣4＝a （1+1）2﹣1， 解得：a ＝或﹣．20．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+c ， ∵点E （0，6），点A （﹣5，3）在此抛物线上， ∴，得，∴此抛物线的解析式为y ＝+6；（2）当x ＝±3时，y ＝+6＝4.92＞4.5，即这辆货运卡车能顺利通过隧道． 21．解：（1）由题意得：y ＝80+20×∴函数的关系式为：y ＝﹣2x +200 （30≤x ≤60） （2）由题意得：（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝1800 解得x 1＝55，x 2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元． （3）设每月获得的利润为w 元，由题意得：w ＝（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝﹣2（x ﹣65）2+2000 ∵﹣2＜0∴当x ≤65时，w 随x 的增大而增大 ∵30≤x ≤60∴当x ＝60时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元． 22．解：（1）把点B 的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c ＝4，令y ＝0，则，解得x 1＝3，x 2＝﹣4， ∴A （﹣4，0），C （0，4）；（2）∵A （﹣4，0），C （0，4）， 设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴，∴，∴直线AC 的解析式y ＝x +4， 点P 的横坐标为a ，P （a ，），则点Q （a ，a +4）， ∴PQ ＝＝，∵，∴a ＝﹣2时，PQ 有最大值； （3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4）， 则BC ＝5，AB ＝7，AC ＝4，∠OAC ＝∠OCA ＝45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得：，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4， 设BC 的中点为H ，由中点坐标公式可得H （），∴过BC 的中点H 且与直线BC 垂直直线的表达式为：y ＝，①当BC ＝BQ 时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），（﹣1，3）；故点Q1②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．23．解：（1）联立x+y＝10和y＝2x+1并解得：x＝3，y＝7，故“合适点”的坐标为（3，7）；（2）联立x+y＝10和y＝x2﹣5x﹣2并解得：x＝﹣2或6，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，12）、（6，4），则AB＝＝8；（3）将点（4，6）代入二次函数表达式得：16a+16+c＝6…①，联立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：ax2+5x+（c﹣10）＝0，△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，联立①②并解得：a＝﹣，c＝0，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；（4）图象G，如下图所示：G 2的顶点坐标为（n，3），则G2的函数表达式为：y＝﹣2（x﹣n）2+3，x+y＝10，则y＝10﹣x，设直线m为：y＝10﹣x，①当直线m与图象G2只有一个交点时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，联立直线m与G2的表达式得：y＝﹣2（x﹣n）2+3＝10﹣x，整理得：2x2﹣（4n+1）x+（2n2+7）＝0，△＝b2﹣4ac＝8n﹣55＝0，解得：n＝，故当n＜时，图象G恰好有2个“合适点”；②当直线m经过点A、B时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，则在这两个点之间有2个“合适点”，直线m与x轴的交点为（10，0），将（10，0）代入y＝2（x﹣n）2﹣3并解得：n＝10，故10﹣＜n＜10+；综上，n的取值范围为：n＜或10﹣＜n＜10+．人教版九年级上册单元检测：第二十二章二次函数（含答案）(1)一．选择题1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+2．抛物线y＝﹣x2+2x+6的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝23．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到4．二次函数y＝﹣x2+mx，对称轴为直线x＝3，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t 为实数）在2＜x＜7的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣7 B．﹣7＜t＜8 C．8＜t≤9 D．﹣7＜t≤95．若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．6．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣17．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定8．若函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个A．3 B．4 C．5 D．69．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点P为线段BC上的动点，以AC，AP为邻边构造▱APEC，连结BE．若△ACP的面积与△BEP的面积之比为1：2时，ED⊥BD，则a 的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣2二．填空题11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，3），那么这个二次函数的解析式可以是．12．某斜拉索大桥主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，桥的宽度CD米．13．某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝．15．抛物线y＝3x2﹣6x+a与坐标轴只有一个公共点，则a取值范围为．16．已知二次函数y＝x2+4x+3的顶点为A，与y轴交于点B，作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，交y轴于点D，则四边形ABCD面积为．三．解答题17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点C的坐标为（﹣3，2），此抛物线交x轴于点A，B两点，交y轴于点D，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴垂足为E，交直线AD于点N，连接AP，PD．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）求线段PN的最大值；（3）当△APD的面积是△ABC的面积的时，求点P的坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．20．如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线型的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立一个以BC为x轴，OE为y轴的直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？。