广东省江门市普通高中2015届高三调研测试数学(理)试题及答案
广东省江门市2015届高三调研测试理科数学试题(含答案)
图1江门市2015届普通高中高三调研测试数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式ShV31=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3223333)(babbaaba+++=+一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知R为实数集，{}xxxA332|<-=，{}2|≥=xxB，则=BAA．{}2|≥xx B．{}3|->xx C．{}32|<≤xx D．R2.i是虚数单位，则=+--)23212123(iiA．1B．i2321+-C．i2321-D．i2321--3.已知三个实数：213=a、3)21(=b、21log3=c，它们之间的大小关系是A．cba>>B．bca>>C．acb>>D．cab>>4.已知a是非零向量，cb≠，则“caba⋅=⋅”是“)(cba-⊥”成立的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件5.如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为A．4B．8C．π2D．π475=∠A、060=∠B、6.在ABC∆中，A∠、B∠、C∠的对边分别为a、b、c，若10=c，则=bA．35B．65C．310D．6107.在同一直角坐标系中，直线143=+yx与圆44222=--++yxyx的位置关系是A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离8.已知函数13)(23+-=xaxxf，若)(xf存在唯一的零点0x，且0>x，则常数a的取值范围是A．)2,(--∞B．)1,(--∞C．),1(∞+D．),2(∞+二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）图29. 双曲线14416922=-y x 的离心率=e ．10.ABC ∆是等腰直角三角形，已知A(1，1)，B(1，3)，AB BC ⊥，点C 在第一象限，点) , (y x 在ABC ∆内部，则点C 的坐标为 ，y x z -=2的最大值是 ．⒒如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是 ．⒓若⎩⎨⎧>-≤-=0, 20 , )(2x x x x x x f ，则)(x f 的最小值是 ．⒔已知数列{}n a 满足411-=a ，111--=n n a a （1>n ），计算并观察数列{}n a 的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，=2015a ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕计算定积分：⎰=411dx x．⒖已知定义在区间) , (ππ-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递增区间是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈． ⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ；⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．⒘（本小题满分14分）已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．PABC DFE图3⒙（本小题满分14分）如图3，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ．E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．⑴求证：PA//平面EDB ；⑵求证：PF=31PB ；⑶求二面角C-PB-D 的大小．⒚（本小题满分12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平．方．成正比，如果此船速度是10km/h ，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100 km 航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别是) 3 , 0 (-、) 3 , 0 (，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是21-． ⑴求点M 的轨迹L 方程；⑵若直线 l 经过点) 1 , 4 (P ，与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程．21（本小题满分14分）已知函数1)(23-+=ax x x f （R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) 2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q在曲线)(x f y =上．）评分参考一、选择题 BDAD CBBA二、填空题 ⒐45⒑(3，3)，3……第1空3分（横坐标、纵坐标、格式各1分），第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分；对1个给3分，全对5分三、解答题⒗解：⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 ⑵依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解：⑴依题意，数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分，∴121=-=d a a ……4分（或：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分，解得⎩⎨⎧==211d a ……4分）数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分 ⑵由⑴得121+=+n a n ，)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n na a nb n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时，]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n……11分，)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分 1=n 时，3111-==b S 也符合上式，∴*N n ∈∀，)12(412)1(+---=n n S n n ……14分⒙证明与求解：（方法一）⑴连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点……1分OE 是△PAC 的中位线，OE//PA ……2分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC……5分∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD CD=D ，∴BC ⊥平面PCD……6分设PD=DC a =，则PC a 2=，PB a 3=，a PC PB PE PF 33=⨯==31PB ……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE……9分∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴PC ⊥DE ，∵PC BC=C ，∴DE ⊥平面PB C……10分 DE ⊥PB ，EF ⊥PB ，DE EF=E ，∴PB ⊥平面DEF……11分 ∴PB ⊥DF ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分在△DFE 中，∵DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥EF ，DE a 22=……13分 a BC PB PE EF 66=⨯=，tan ∠DFE 3==EF DE ，∠DFE 3π=……14分（方法二）⑴以D 为原点，、DC 、分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系 (1)分，设PD=DC=1，则)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1 , 1(B ，)0 , 1 , 0(C ，)1 , 0 , 0(P ……2分，连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，)0 , 21, 21(O ……3分E 是PC 的中点，∴)21 , 21 , 0(E ，)21, 0 , 21(-=……4分)1 , 0 , 1(-=PA ，2-=，PA//OE……5分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλPB PF ……7分，则)21, 21 , (+--=+=λλλ……8分∵EF ⊥PB ，∴0)1 , 1 , 1()21, 21 , (=-⋅+--=⋅λλλPB EF ……9分即013=-λ，解得31=λ，PF=31PB……10分⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=EF ，)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλPF DP DF ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅，∴DF ⊥PB ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分，21cos =∠DFE ……13分，∠DFE 3π=……14分⑶（方法三）平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=……11分平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=DE ……12分21||||,cos =⋅>=<DE AC DE AC ……13分所以，3,π>=<DE AC ，二面角C-PB-D 的大小为3π……14分（各评卷点、评卷教师请注意：本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分，而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分，因此，本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分，评卷时要么按方法一给分，要么按方法二三给分）⒚解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ，则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分设航速为x km/h 时，总费用为y 元，则500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分，xx 5000080+=……6分 （方法一）令050000802/=-=x y ……8分，解得25=x （负值舍去）……9分 250<<x 时，0/<y ，25>x 时，0/>y ，∴25=x 是极小值点，也是最小值点 ……10分，此时400025500002580=+⨯=y （元）……11分 （方法二）∵0>x ，∴xx y 50000802⨯≥……8分，4000=（元）……9分 等号成立当且仅当xx 5000080=……10分，解得25=x （负值舍去）……11分 答：航速为25km/h 时，总费用最少，此时总费用为4000元……12分⒛解：⑴设M （x ，y ）是轨迹上任意一点，x y k AM 3+=，xy k BM 3-=……2分 依题意，2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分 整理化简得轨迹方程为191822=+y x ，其中0≠x ……6分 ⑵显然所求直线 l 存在斜率，设l ：)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时，14013=---=k ……8分，代入)4(1-=-x k y 得3-=x y……9分；②当直线 l 经过B 点时，214013-=--=k ……10分，代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y (11)分③当点P 为切点时，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ，综上所述，直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分（注：①②③三种情况独立给分）21．证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432xx a x x -≤≤+-……8分 作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(xx x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(xx x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 （方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分 当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a (12)分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a (13)分，解集为]2591, 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。
广东省江门市2015届高三高考模拟试卷数学(理) 扫描版含答案
评分参考一、选择题 BACD DCBB二、填空题 ⒐) , 3[]2 , (∞+--∞ 或{}32|≥-≤x x x 或（每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。
）⒑)34 , 6(（若写成)34 , 6(±或)34 , 6(-给3分，其他不给分）⒒ 5 ⒓62 ⒔<，>（若两空一对一错，给3分） ⒕3 ⒖4 三、解答题⒗⑴（方法一）5)51()30(22=-+-=AB ，13=AC ，28=BC ……3分102285213)28(52cos 222222-=⨯⨯-+=⨯⨯-+=BC AB AC BC AB B ……6分（公式2分） （方法二）)4 , 3(=BA ，)8 , 8(-=BC ……2分1022858483||||cos -=⨯⨯-⨯=⋅=BC BA B ……6分（公式2分） ⑵（方法一）)8 , 8(-=BC ，)1 , 1(-=+=AD BA BD ……9分∵8=，∴、共线……11分∵BC 、有共同的始点，∴B 、C 、D 三点共线……12分（方法二）经过)1 , 0(B 、)7 , 8(-C 两点的直线BC 的方程为80171--=---x y （即1=+y x ）……9分设) , (n m D ，由)5 , 2(--=得)5 , 2()5 , 3(--=--y x ……10分 解得)0 , 1(D ……11分 ∵8011710--=---（或101=+），∴(D 在BC 上)B 、C 、D 三点共线……12分⒘⑴3236241817100=-----=a ，32.010032==b ……2分 ⑵估计该基地榕树树苗平均高度为02.1051003111610932107241051810317101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm )……6分（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。
）⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此X 的所有可能取值为0，1，2，3……7分，，，……11分X 的分布列为……12分X 的期望为3542532110214512110=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ……13分（列式正确1分）⒙⑴1632111=⨯⨯==S a ……1分 ⑵1>n 时，)12(6)54()1(6)14)(1(1-=----+=-=-n n n n n n n n S S a n n n……4分（上式每个等号1分）1=n 时，11)12(a n n ==-，所以*N n ∈∀， )12(-=n n a n ……5分⑶由⑵知，1>n 时，)1(411441)12(12222-<+-=-=n n n n n a n n……7分 )1(4123411241141222221-++⨯⨯+⨯⨯+<+++n n a n a a n……9分 ]41)1(41[)341241()24141(1n n --⨯++⨯-⨯+⨯-+= ……11分)4141(1n -+=……12分，45411=+<……13分∵22222141na n a a +++单调递增，∴*N n ∈∀，4541222221<+++na n a a ……14分⒚⑴设四棱柱1111D C B A ABCD -的棱长为a∵BF F B 21=，F C B 11∆∽BEF ∆，∴2aBE =……1分 由ABE DAB ∠==∠060，0120=∠ABC ，得23aAE =，a AC 3=……2分X 0 1 23 P211 145 2110 425∵23aCE =，∴222AC CE AE =+，CE AE ⊥……3分 1111D C B A ABCD -是直四棱柱，ABCD C C ⊥1，又ABCD AE ⊂，∴AE C C ⊥1，∵C CC CE =1 ，∴⊥AE 平面11B BCC ……4分∵⊂AE 平面E AC 1，∴平面⊥E AC 1平面11B BCC ……5分⑵（方法一）过C 作1AC CG ⊥于G ，F C CH 1⊥于H ，连接GH ……6分 由平面⊥E AC 1平面11B BCC ，平面 E AC 1平面E C B BCC 111=， ⊥CH 平面E AC 1……7分∴1AC CH ⊥，又1AC CG ⊥，C CH CG = ，∴⊥1AC 平面CGH ，GH AC ⊥1，CGH ∠是二面角C AC E --1的平面角……9分在1ACC Rt ∆中，a AC 3=，a CC =1，a AC 21=，a CG 23=，在1ECC Rt ∆中，a CE 23=，a CC =1，a EC 2131=，a CH 13133=（a CG 23=、a CH 13133=求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分a CH CG GH 263922=-=，1313cos ==∠CG GH CGH ……13分 （方法二）以E 为原点，EC 、EA 所在直线为x 轴、y 轴，平行于1BB 的直线1EE 为z 轴建立空间直角坐标系……6分，则)0 , 0 , 0(E ，)0 , 23, 0(a A ，) , 0 , 23(1a a C ……7分设平面1EAC 的一个法向量为) , , (r q p n =，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅==⋅0230231ar ap EC n aq n ……9分，即⎩⎨⎧=+=0230r p q ，不妨取)3 , 0 , 2( -=n ……10分，由⑴知)0 , 0 , 21(a B ，)0 , 23, (a a D ……11分，平面11B BCC 的一个法向量为)0 , 23 , 21(1a a n ==……12分，二面角C AC E --1的平面角的余弦值1313||||cos 11=⋅=n n θ……13分 ⒛⑴依题意)0 , 2(2F ，2=c ……2分，由36==a c e 得6=a ……3分 222=-=c a b ，椭圆∑的方程为12622=+y x ……4分 ⑵（方法一）若存在满足条件的直线CD ，∵AB CD //，∴1-==AB CD k k ，设直线CD 的方程为m x y +-=……5分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+m x y y x 12622……6分，得06)(322=-+-+m x x ……7分 0)63(6422=-+-m mx x ，01296)63(44)6(222>-=-⨯⨯--=∆m m m （*）……8分设) , (11y x C ，) , (22y x D ，则2321m x x =+，463221-=m x x ……9分由已知D F C F 11=，若线段CD 的中点为E ，则CD E F ⊥1，111=-=CDE F k k ……10分)0 , 2(1-F ，)2, 2(2121y y x x E ++即)4 , 43(mm E ……11分由124341=+=m mk E F ……12分，解得4-=m ……13分 4-=m 时，09612962<-=-m ，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD……14分（方法二）假设存在) , (11y x C ， ) , (22y x D ，线段CD 的中点为) , (00y x E ，则2y y ,2210210y x x x +=+=，12121-=--x x y y ……5分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12612622222121y x y x 两式相减得： 0))((21))((6121212121=+-++-y y y y x x x x ……7分，代入、化简得：03100=-y x ①……8分由已知D F C F 11=，则CD E F ⊥1，111=-=CDE F k k ……9分由12001=+=x y k E F 得，200+=x y ②……10分由①②解得1,300-=-=y x ，即)1,3(--E ……11分直线CD 的方程为：)4(+-=x y ……12分联立⎪⎩⎪⎨⎧--==+412622x y y x 得 0422442=++x x ……13分 ∵0964244242<-=⨯⨯-=∆，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线CD ……14分21．⑴)1(ln )(/xa x e x f x +-=……1分依题意，e a e f k 2)111(ln )1(1/=+-==，解得1-=a ……2分 ⑵由⑴e f =)1(，直线 l 的方程为)1(2-=-x e e y ，即e ex y -=2……3分作e ex x e e ex x f x g x +-+=--=2)1(ln )2()()(，则0)2ln 1()21(>-=e g ……4分，0323)(344<+-<+--=---e e e e e g e ……5分（用其他适当的数替代4-e 亦可）因为)(x g y =在)21 , (4-e 上是连续不断的曲线，0)21()(4<-g e g ，)(x g y =在)21 , (4-e 内有零点，)21 , 0()21 , (4⊂-e ，从而切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点……6分⑶)1(ln )(/xa x e x f x +-=，]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间当且仅当)(/x f 在]3ln , 2[ln 上恒大于等于零，或恒小于等于零，由0>x e ，作xx x h 1ln )(+= 2/11)(x x x h -=，由011)(2/=-=xx x h 得1=x ……7分 x )1 , 2[ln 1]3ln , 1()(/x h－ 0 + )(x h↘最小值↗……9分)(x h 在]3ln , 2[ln 上的最小值为1=m ，所以，当且仅当1≤a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单调递增……11分下面比较)2(ln h 与)3(ln h 的大小（方法一）由32332e <<，e <<3232，13ln 322ln <<以及)(x h 在)1 , 2[ln 上单调递减得)3ln 32()2(ln h h >……12分3ln 249ln3ln 13ln 2132ln )3(ln )3ln 32()3(ln )2(ln -=+=->-h h h h ……13分1)(ln 41)7(ln 41)427(ln 41)49ln 3(ln 4149ln 3ln 22222=<<=+<e ，∴)3(ln )2(ln h h >，当且仅当2ln 12ln ln +≥a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单调递减，综上所述，a 的取值范围为) , 2ln 12ln [ln ]1 , (∞++-∞ ……14分（方法二）由1)26ln ()23ln 2ln (3ln 2ln 22<=+<，13ln 12ln 0<<<，以及x x x h 1ln )(+=的单调性知，3ln 3ln ln 2ln 12ln ln +->+……12分 由0)11()1(12)1ln 2(22/≤--=--=+-x x x x x x 知，xx x x p 1ln 2)(+-=单调递减……13分由13ln >得0)1(3ln 13ln 3ln ln 2=<+-p x ，3ln 13ln ln 3ln 3ln ln +>+-，3ln 13ln ln 2ln 12ln ln +>+，∴)3(ln )2(ln h h >，当且仅当2ln 12ln ln +≥a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单调递减，综上所述，a 的取值范围为) , 2ln 12ln [ln ]1 , (∞++-∞ ……14分 （“单调递增……11分”以下，若直接写⎭⎬⎫⎩⎨⎧++≥3ln 13ln ln , 2ln 12ln ln max a ，再给1分）。
江门市2015年普通高中高三调研测试 数 学(理科)试 题
江门市2015年普通高中高三调研测试数 学（理科）试 题本试卷共4页，24题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}023|2<+-=x x x M ，{}822|<<=x x N ，则A ．N M =B ．N M ⊆C ．N M ⊇D ．φ=N M 2．已知 i 为虚数单位，则复数iiz 21+=在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．=+070sin 160cos 110cos 20sinA ．1-B ．0C ．1D ．以上均不正确 4．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形 运动一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的 路程x 的函数关系如图1，那么点P 所走的图形是A ．B ．C ．D ． 5．若“R x ∈∀，0322≥-++m mx x ”为假命题，则m 的取值范围是A ．) , 6[]2 , (∞+-∞B ．) , 6()2 , (∞+-∞C ．]6 , 2[D ．)6 , 2(6．已知实数1，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+y mx 的焦距为 A ．4 B ．22 C ．2或2 D ．22或47．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω，2||πϕ<）的最小正周期是π，若将其图像向右平移3π个单位长度后得到的图像关于原点对称，则函数)(x f 的图像 A ．关于直线12π=x 对称 B ．关于直线125π=x 对称C ．关于点)0 , 12(π对称 D ．关于点)0 , 125(π对称 8．点O 是ABC ∆所在平面内的一点（O 不在直线BC 上），若OC OB OA 233+=，则ABC ∆与OBC ∆的面积之比为A ．52B ．73C ．72D ．49．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线042=-+y x 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45π B ．34π C．(6π- D ．54π10．一个几何体的三视图如图2所示， 则此几何体的体积是A ．112B ．80C ．72D ．64 11．已知正项数列{}n a ，12-a 、3a 、7a 成等比数列，{}n a 前n 项和n S 满足4221++=+n S a n n ，则n S n )6(-的最小值为A ．26-B ．27-C ．28-D ．30-12．已知函数⎩⎨⎧><++=0, ln 0, )(2x x x a x x x f ，若函数)(x f 的图象在P 、Q 两点处的切线重合，则常数a 的取值范围为A ．)1 , 2(--B ．)2 , 1(C ．) , 2ln (∞+-D ．) , 1(∞+-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若奇．函数．．)(x f 满足对任意R x ∈都有0)2()2(=-++x f x f ，且9)1(=f ，则)2016()2015()2014(f f f ++的值为 ．俯视图正视图侧视图图2A 图314．已知抛物线281x y =与双曲线1222=-x ay （0>a ）有共同的焦点F ，则双曲线的渐近线方程为 ．15．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≥+04343x y x y x ，则x y 的最小值为 ．16．如图3，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到直线1CC 的距离为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知{}n a 是一个等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，41=a ，213=S ． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 满足7161=b ，n an n b b 21=-+，求数列{}n b 的通项公式． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，bc a c b 23)(3222+=+． ⑴若C B cos 2sin =，求C tan ；⑵若ABC ∆的面积25=S ，求边长a 的最小值． 19．（本小题满分12分）如图4，已知正三棱柱111C B A ABC -，延长BC 至D ，使C 为BD 的中点． ⑴求证：平面⊥D AC 1平面B AA 1；⑵若2=AC ，41=AA ，求二面角B AD C --1的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为23，且3a b +=．⑴求椭圆C 的方程；⑵直线0=-+m y x （m 是正常数）与椭圆C 交于P 、Q 两点，当512=⋅时，求直线PQ 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数x xx m m x f -++=1ln )1()(，其中常数0>m ． ⑴当2=m 时，求)(x f 的极大值；⑵已知4≥m ，设))( , (11x f x A 、))( , (22x f x B 是曲线)(x f y =上的相异两点，1l 、2l 是曲线)(x f y =在A 、B 两点处的切线，若21//l l ，求21x x +的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
广东省江门市普通高中2015届高三调研测试理综试题
江门市2015届普通高中高三调研测试理科综合（生物部分）一、选择题：本大题共16小题，每小题4分，满分64分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．选对的得4分，选错或不选的得0分.1.下列关于细胞结构的叙述中正确的是A. DNA分子结构的基本骨架决定蛋白质的空间结构B.在分泌蛋白的合成和分泌中，内质网起重要的交通枢纽作用C.细胞骨架是由磷脂分子构成的网架结构D.溶酶能将大分子物质水解但不能将其彻底氧化分解2.根据下列各图所示的概念关系作出的判断，正确的是A.若甲图中a和b分别代表酵母菌和蓝藻，则d可以代表原核生物B.乙图能体现酶(c)、蛋白质(a)和固醇类物质(b)的关系C.丙图可表示搪类(b)和纤维素(a)的关系D.丁图可体现出跨膜运输方式(c)、胞吞(a)和主动运输(b)的关系3.下列有关性状与性染色体叙述，错误的是A. ZW型性别决定的生物，雄性体细胞中性染色体大小相同B.性染色体上的基因都与性别决定有关C.X丫型性别决定的生物，体细胞中含有性染色体D.伴性遗传不一定有交叉遗传现象4.某高等动物细胞分裂模式图如右图.有关此图下列说法正确的是A.该细胞是次级精母细胞或第一极体，B.该细胞中1与3. 2与4为同源染色体C.该细胞分裂完成后每个细胞有两个染色体组D.图中染色体的行为导致基因重组5.对健康高等动物个体进行如下处理，对其功能的影响正确的是6.丫一氨基丁酸和某种局部麻醉药在神经兴奋传递过程中的作用机理如下图所示.此种局部麻醉药单独使用时不能通过细胞膜，如与辣椒素同时注射才会发生如图所示效果。
下列分析错误的是A.该种局部麻醉药作用于突触后膜的Na＋通道，阻碍Na＋内流，抑制突触后膜产生兴奋B.γ-氨基丁酸与突触后膜的受体结合，促进Cl－内流，抑制突触后膜产生兴奋C.该种局部麻醉药和γ-氨基丁酸的作用效果和作用机理一致，都属于抑制性神经递质D.神经细胞兴奋时，膜外由正电位变为负电位，膜内由负电位变为正电位24.下列有关实验课题的叙述，错误的是A.将某细菌与水绵一起制成临时装片，用极细的光束照射水绵，若发现细菌没有趋向水绵照光部位，则说明细菌为死细胞B.研究细胞膜的结构特点可利用荧光标记法C.观察细胞中DNA和RNA的分布时可看到细胞内染成绿色的面积小于染成红色的面积D.紫色洋葱表皮细胞在健那绿染色后可看清楚线粒体的分布25.右图表示人体在某种环境条件发生改变时，内环境中某种激素的含量变化。
江门市2015届普通高中高三调研测试物理试题(含答案)
秘密★启用前 试卷类型：A江门市2015届普通高中高三调研测试理科综合本试题卷共12页，36小题，满分300分，考试时间150 分钟。
注意事项：1． 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2． 做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3． 答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4． 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5． 考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 Na23 S32 Cl35.5 Fe56 Cu64 Zn65一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不选的得0分。
13．某物体运动的速度-时间图象如图，下列说法正确的是A ．0-2s 内的加速度为1m/s 2B ．0-5s 内的位移为10mC ．第1s 末与第3s 末的速度方向相反D ．第1s 与第5s 加速度方向相同 14．如图，开关S 闭合，当滑片P 左移时，关于两表的读数说法正确的是A ．电流表变小，电压表变小B ．电流表变大，电压表变大C ．电流表变大，电压表变小D ．电流表变小，电压表变大15．若天宫一号绕地球做匀速圆周运动的半径为r ，周期为T ，万有引力常量为G ，则A ．天宫一号不受重力作用B ．可求天宫一号所受到的万有引力C ．可求地球的质量D ．可求地球表面的重力加速度16．秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时刻是秋千A.在下摆过程中B.在上摆过程中C.摆到最高点时D.摆到最低点时二、双项选择题：本大题共9小题，每小题6分，共54分。
在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，全部选对给6分，只选对1个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。
江门市普通高中2015届高三调研测试(理数参考答案)
数学（理科）参考答案一、选择题 BDAD CBBA 二、填空题 ⒐45⒑(3，3)，3……第1空3分（横坐标、纵坐标、格式各1分），第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分；对1个给3分，全对5分 三、解答题⒗解：⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 ⑵依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解：⑴依题意，数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分，∴121=-=d a a ……4分（或：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分，解得⎩⎨⎧==211d a ……4分）数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分⑵由⑴得121+=+n a n ，)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n na a nb n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时，]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n……11分，)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分 1=n 时，3111-==b S 也符合上式，∴*N n ∈∀，)12(412)1(+---=n n S n n ……14分⒙证明与求解：（方法一）⑴连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点……1分 OE 是△PAC 的中位线，OE//PA……2分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC……5分∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD CD=D ，∴BC ⊥平面PCD ……6分BC ⊥PC ，EF ⊥PB ，∠BPC 是公共角，∴△PEF ～△PBC……7分 设PD=DC a =，则PC a 2=，PB a 3=，a PC PB PE PF 33=⨯==31PB……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE……9分∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴PC ⊥DE ，∵PC BC=C ，∴DE ⊥平面PBC……10分 DE ⊥PB ，EF ⊥PB ，DE EF=E ，∴PB ⊥平面DEF……11分 ∴PB ⊥DF ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分 在△DFE 中，∵DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥EF ，DE a 22=……13分 a BC PB PE EF 66=⨯=，tan ∠DFE 3==EF DE ，∠DFE 3π=……14分 （方法二）⑴以D 为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系……1分，设PD=DC=1，则)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1 , 1(B ，)0 , 1 , 0(C ，)1 , 0 , 0(P ……2分，连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，)0 , 21, 21(O ……3分 E 是PC 的中点，∴)21 , 21 , 0(E ，)21 , 0 , 21(-=OE ……4分)1 , 0 , 1(-=，OE PA 2-=，PA//OE……5分OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλ……7分， 则)21 , 21, (+--=+=λλλPF EP EF ……8分∵EF ⊥PB ，∴0)1 , 1 , 1()21 , 21 , (=-⋅+--=⋅λλλ……9分即013=-λ，解得31=λ，PF=31PB……10分 ⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=，)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅，∴DF ⊥PB ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角 (12)分，21||||cos =∠EF DF DFE ……13分，∠DFE 3π=……14分 ⑶（方法三）平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=……11分 平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=DE ……12分21||||,cos =⋅>=<DE AC DE AC ……13分 所以，3,π>=<DE AC ，二面角C-PB-D 的大小为3π……14分（各评卷点、评卷教师请注意：本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分，而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分，因此，本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分，评卷时要么按方法一给分，要么按方法二三给分）⒚解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ，则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分 设航速为x km/h 时，总费用为y 元，则500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分，xx 5000080+=……6分 （方法一）令050000802/=-=x y ……8分，解得25=x （负值舍去）……9分 250<<x 时，0/<y ，25>x 时，0/>y ，∴25=x 是极小值点，也是最小值点……10分，此时400025500002580=+⨯=y （元）……11分（方法二）∵0>x ，∴xx y 50000802⨯≥……8分，4000=（元）……9分等号成立当且仅当xx 5000080=……10分，解得25=x （负值舍去）……11分答：航速为25km/h 时，总费用最少，此时总费用为4000元……12分⒛解：⑴设M （x ，y ）是轨迹上任意一点，x y k AM 3+=，xy k BM 3-=……2分 依题意，2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分 整理化简得轨迹方程为191822=+y x ，其中0≠x ……6分 ⑵显然所求直线 l 存在斜率，设l ：)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时，14013=---=k ……8分，代入)4(1-=-x k y 得3-=x y ……9分； ②当直线 l 经过B 点时，214013-=--=k ……10分，代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y ……11分③当点P 为切点时，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分 代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ，综上所述，直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分 （注：①②③三种情况独立给分）21．证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2(2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分 曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432x x a x x -≤≤+-……8分作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分……12分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(x x x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(x x x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分（方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a ……12分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a ……13分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。
广东省江门市普通高中高三数学上学期调考试卷 理(含解析)
广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R2．（5分）i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i3．（5分）已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．2πD．4π6．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．107．（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为，z=2x﹣y的最大值是．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M 的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出不等式2x﹣3＜3x的解集A，再由并集的运算求出A∪B．解答：解：由2x﹣3＜3x得，x＞﹣3，则A={x|x＞﹣3}，又B={x|x≥2}，则A∪B={x|x＞﹣3}，故选：B．点评：本题考查并集及其运算，属于基础题．2．（5分）i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算法则求解．解答：解：=﹣﹣=．故选：D．点评：本题考查复数的乘除运算，是基础题，解题时要注意运算法则的合理运用．3．（5分）已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，以0和1作为中间量，可比较出a，b，c 的大小．解答：解：∵＞30=1、0＜=1、c=log3＜log31=0，∴a＞b＞c，故选：A点评：本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键．4．（5分）已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据“”成立，得到•（﹣）=0，结合是非零向量，，推出，根据充要条件的判定方法可得结论．解答：解：∵，∴•（﹣）=0，∵是非零向量，，∴，故选：D．点评：题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．2πD．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，求出几何体的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，∴该几何体的体积为V几何体=S底面h=××π××3=2π．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么几何图形．6．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．10考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A与B的度数求出C的度数，根据sinB，sinC，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：∵在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，c=10，∴∠C=45°，由正弦定理=得：b===5，故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线9x2﹣16y2=144可化为，所以a=4，b=3，c=5，所以离心率e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为（3，3），z=2x﹣y的最大值是3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标，利用线性规划的知识即可得到结论．解答：解：∵A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，∴|AB|=3﹣1=2，设C（x，y），则x＞0，y＞0，∵△ABC是等腰直角三角形，∴|BC|=|x﹣1|=2，解得x=3或x=﹣1（舍），即C（3，3），由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z=2x﹣y=2×3﹣3=3，故答案为：（3，3），3点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是﹣1．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0，f（x）=﹣x≥0，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故答案为：﹣1点评：本题主要考查函数最值的求解，根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=5．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：确定数列{a n}是以3为周期的周期数列，即可得出结论．解答：解：∵a1=﹣，a n=1﹣，∴a2=5，a3=，a4=﹣，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2015=a2=5，故答案为：5．点评：本题考查归纳推理，确定数列{a n}是以3为周期的周期数列是解题的关键．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：2．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据的导数为得到原函数是，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减得到结果．解答：解：=4﹣2=2故答案为：2点评：本题考查定积分，关键是求出原函数，属于一道基础题．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，．考点：两角和与差的正弦函数．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：根据求导公式和题意求出f′（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f′（x）＞0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：由题意得，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和．点评：本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依题意得，即，从而可求，．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+1﹣cos2x…（2分），=…（4分）∴最小正周期…（5分），最大值…（6分）（2）依题意，…（7分）即…（8分），∴…（10分）∴…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1，公差d=2，所以可得到a n=2n﹣1；（2）根据a n先求出b n并将它变成，看到该通项之后，可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消，并且通过求前几项的和会发现是可以的，并且是有规律的，根据这个规律即可求出{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）=；∴S n=b1+b2+b3+…+b n=；通过前几项的求和规律知：若n为奇数，则；若n为偶数，则．点评：考查等差数列的通项公式，以及裂项的方法求数列前n项和，以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．解答：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a，则，在Rt△PDB中，在Rt△EFD中，，∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且∴，这表明PA∥EG而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．点评：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值．解答：解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k×102，解得，设航速为xkm/h时，总费用为y元，则=．（方法一）令，解得x=25（负值舍去），当0＜x＜25时，y′＜0，x＞25时，y′＞0，∴x=25是极小值点，也是最小值点，此时（元）．（方法二）∵x＞0，∴=4000（元），等号成立当且仅当，解得x=25（负值舍去）．答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元．点评：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．考点：轨迹方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．解答：解：（1）设M（x，y），则：（x≠0）；∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；解得k=﹣2；∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．点评：考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M 的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=﹣3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到导函数的零点，求出M 的坐标，求出曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点Q，由Q的坐标适合函数解析式说明结论成立；（2）把|f（x）|≤33恒成立转化为，然后构造两个函数，，由导数求其最值得答案．解答：（1）证明：当a=﹣3时，f（x）=x3﹣3x2﹣1，f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）=0，得x1=0，x2=2，∴=M（1，﹣3），曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点为，则，∴点Q在曲线y=f（x）上，∴曲线y=f（x）关于点M对称；（2）解：由|f（x）|≤33，即|x3+ax2﹣1|≤33，得﹣33≤x3+ax2﹣1≤33，x=0时，不等式恒成立；x≠0时，不等式等价于，作，，则，，解，得x1=4，解，得．列表：x﹣+ 0 ﹣g1（x）↘↗极大值↘+﹣﹣﹣g2（x）↗↘↘g1（﹣1）=﹣31，g1（4）=﹣6，在的最大值为﹣6；g2（﹣1）=35，，在的最小值为．综上所述，a的取值范围为．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是压轴题．。
广东省2015年高三普通高考测试数学理试题及答案
湛江市2015年普通高考测试（二）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（ ）． A ．M B ．N C ．{}12x x -<< D ．{}3x x < 2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37B ．34C ．3D ．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）．A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π5．在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,226．设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2[-上的图像，则)2015()2014(f f +=（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．07．若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（ ）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-8．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0．其中正确的命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9．曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线C :221916x y -=的离心率是 ． 11．=-⎰dx x |1|20_______________．12．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．13．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为31x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//DE A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数)(,sin 3cos )(R x x x x f ∈-=（1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域（2）记AB C ∆内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若1)3(=-πA f ，且b a 23=，求B s i n 的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的2⨯2列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ．（1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >． ()1求1a 及数列{}n a 的通项公式；()2令114)1(+--=n n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）已知曲线E 上的任一点到点)3,0(1-F 和点)3,0(F 的距离之和为4．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点)0,1(),2,0(C A ，设直线)0(,>=k kx y 与曲线E 交于B ．D 两点（B 在第一象限），求四边形ABCD 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠．（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ； （2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数． 证明：0)()(>+n F m F ；（3）设)(,1ln )(x g ex x g x +=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．。
2015年江门调研高三年级数学[理]
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图1江门市2014年普通高中高三调研测试数 学（理科）试 题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}21|<<-=x x A ，{}31|<<=x x B ，则=B A A ．) 3 , 1(- B ．) 2 , 1 ( C ．] 3 , 1[- D ．] 2 , 1 [⒉若复数 i m m m m )3()65(22-++- 是纯虚数（ i 是虚数单位），则实数=m A ．2=m B ．3=m C ．0=m D ．2=m 或3=m ⒊已知平面向量)3 , ( -=λa ，)2 , 4( -=b ，若b a ⊥，则实数=λ A ．23-B ．23C ．6-D ．6⒋已知点)2 , 1(A ，)1 , 2(B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．03=-+y xB ．01=+-y xC ．0=-y xD ．0=+y x ⒌设a 、R b ∈，若0|| <+b a ，则下列不等式中正确的是A ．0>-b aB ．033>+b aC ．022<-b a D ．0 <+b a⒍如图1，E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -中1AD 、C B 1上的动点（不含端点），则四边形FDE B 1的俯视图可能是A ．B ．C ．D ．⒎已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,0 , 12,0 ,21)(x x x f x x，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减⒏平面直角坐标系中，抛物线x y 212=与函数x y ln =图象的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐3log 2 2log 3（填“>”或“<” ）． ⒑在ABC ∆中，3=c ，045=A ，075=B ，则=a ．⒒若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0 , 10(，则双曲线方程是 ．⒓若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，则y x z -=的最大值是 ．⒔若α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号） ① 若α//a ，α//b ，则b a // ② 若α//c ，α⊥b ，则b c ⊥ ③ 若α⊥c ，β//c ，则βα⊥④ 若α⊂b ，α⊂c 且b a ⊥，c a ⊥，则α⊥a (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕直线x y =和抛物线2x y =所围成封闭图形的面积=S ． ⒖在数列{}n a 中，11=a ，nn n a a a +=+11（*∈N n ），试归纳出这个数列的通项=n a ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知1)2cos 2sin 3(2cos2)(-+=xx x x f ，R x ∈． ⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 设α、)2, 0(πβ∈，2)(=αf ，58)(=βf ，求)(βα+f 的值．ABCMN1A 1B 1C 2图如图2，直三棱柱111C B A ABC -中，CB CA ⊥，1==CB CA ，棱21=AA ，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点．⑴ 求证：⊥N C 1平面BCN ；⑵ 求直线C B 1与平面MN C 1所成角θ的正弦值．⒙（本小题满分13分）为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满．⑴ 求第一次稀释后桶中药液的含量；⑵ 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，求V 的取值范围； ⑶ 在第⑵问的条件下，第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的50%，为什么？⒚（本小题满分14分）如图3，椭圆Γ的中心在坐标原点O ，过右焦点)0 , 1(F 且垂直于椭圆对称轴的弦MN 的长为3． ⑴ 求椭圆Γ的方程；⑵ 直线 l 经过点O 交椭圆Γ于P 、Q 两点，NQ NP =，求直线 l 的方程．已知正项等比数列{}n a （*∈N n ），首项31=a ，前n 项和为n S ，且33a S +、55a S +、44a S +成等差数列．⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 求数列{}n nS 的前n 项和n T ．21（本小题满分14分）已知函数)()(b ax e x f x+=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：24+=x y ．⑴ 求常数a ，b 的值；⑵ 求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；⑶ 是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．数学（理科）评分参考一、选择题 BAAC DBCD二、填空题 ⒐＞ ⒑2 ⒒1922=-y x ⒓0 ⒔②③（对1个3分，错1个2-分） ⒕61 ⒖n1 三、解答题⒗解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6sin(2π+=x ……4分，)(x f 的最小正周期π2=T ……5分⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3266ππαπ<+<……6分， 所以26ππα=+，3πα=……7分，58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3266ππβπ<+<……8分， 因为2354<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分， 所以ββππβαβαcos 2)2sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分， 6sin)6sin(26cos)6cos(2]6)6cos[(2ππβππβππβ+++=-+=…11分5433+=…12分。
江门2015届普通高中高三调研测试
江门市2015届普通高中高三调研测试数 学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈设{}054|2=--=x x x A ，{} 5 , 4 , 3 , 2 , 1 =B ，则=B A IA ．{} 1B ．{} 5C ．{} 5 , 1D ．φ ⒉=311sinπA ．23 B ．23- C ．21 D ．21-⒊已知 i 是虚数单位，若复数bi a Z +=（a ，R b ∈）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数 i Z ⋅在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ⒋双曲线14491622=-y x 的离心率=e A ．1625 B ．925 C ．45 D ．35⒌将正弦曲线x y sin =上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期=TA ．πB ．π2C ．π4D ．2π⒍已知{}n a 是等比数列，11=a ，23=a ，则=2a A ．23B ．2C ．2或2-D ．以上都不对⒎函数1221)(+-=xx f 在其定义域上是秘密★启用前 试卷类型：A1 1 正视图 1 1 俯视图1 1 侧视图图1图2A ．单调递增的奇函数B ．单调递增的减函数C ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减 ⒏直线 l 经过点)4 , 3(-P 且与圆2522=+y x 相切，则直线 l 的方程是 A ．)3(344+-=-x y B ．)3(434+=-x y C ．)3(344--=+x y D ．)3(434-=+x y ⒐某三棱锥的三视图如图1所示，这个三棱锥最长棱 的棱长是A ．1B ．2C ．3D ．2⒑已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=. , ln ,, )(2e x x e x ax x f ，其中e 是自然对数的底数，若直线2=y 与函数)(x f y =的图象有三个交点，则常数a 的取值范围是A ．)2 , (-∞B ．]2 , (-∞C ．) , 2(2∞+-eD ．) , 2[2∞+-e二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）⒒抛物线y x 22=的准线方程为 ．⒓若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤22x y x x y ，则y x z 2-=的最小值为 ．⒔已知定义在区间) 0 , (π-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递减区间是 ． (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕如图2，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且棱AB 所在的直线与棱CD 所在的直线互相平行，正方体的六个面所在的平面与直线CE 、EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么=m ；=n ．⒖若函数)(x f 满足条件：①R x ∈∀，0)(>x f ；②R x x ∈∀21 , ，)()()(2121x f x f x x f =+；③1)2(<f ．则⑴=)(x f ；（写出一个满足条件的函数即可） ⑵根据⑴所填函数)(x f ，=-)1(f ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)4sin()(π+=x A x f ，R x ∈，且1)0(=f ．⑴求A 的值；⑵若51)(-=αf ，α是第二象限角，求αcos ．⒘（本小题满分14分）如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ；⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积．⒙（本小题满分14分）设数列{}n a 、{}n b 满足：)1()1(2+-=n a n n ，1++=n n n a a b ，*∈N n ．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n b 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前100项和100S 的值．⒚（本小题满分12分）某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m 2的矩形，房屋正面每平方米的造价．．．．．．．为1200元，房屋侧面每平方米的造价．．．．．．．为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为)0 , 4(1-F 、)0 , 4(2F ，且经过点) 1 , 3(P ． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若点M 在椭圆C 上，且2121PF PF λ+=，求λ的值．21（本小题满分14分）已知函数12)(23-++=x x ax x f （R a ∈）． ⑴求曲线)(x f y =在点) )0( , 0 (f 处的切线方程；⑵是否存在常数a ，使得] 4 , 2 [-∈∀x ，3)(≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．评分参考一、选择题 BBADC CABCD二、填空题⒒21-=y （或等价方程） ⒓2- ⒔) 0 , 2(π-（或) 0 , 2[π-，端点对即给5分）⒕4，4（填对任何一空给3分，全对给5分）⒖x )21(或x )32(或其他或x a （其中10<<a ）……第1空3分，第2空2分；若第1空填诸如x 2或x a ……本小题给2分三、解答题⒗解：⑴依题意，14sin=πA ……2分，122=⨯A ……3分，2=A ……4分 ⑵（方法一）由⑴得，x x x x f cos sin )4sin(2)(+=+=π……6分由51)(-=αf 得，51cos sin -=+αα……7分51cos sin --=αα，22)51cos (sin --=αα……8分251cos 52cos cos 122++=-ααα……9分，02512cos 51cos 2=-+αα……10分解得53cos =α或54cos -=α……11分∵α是第二象限角，0cos <α，∴54cos -=α……12分（方法二）由⑴得，)4sin(2)(π+=x x f ……5分由51)(-=αf 得，102)4sin(-=+πα……6分 ∵α是第二象限角，ππαππ+<<+k k 222，4524432πππαππ+<+<+k k ……7分，∴4πα+是第二或第三象限角（由0102)4sin(<-=+πα知4πα+是第三象限角），1027)4(sin 1)4cos(2-=+--=+παπα……9分（列式1分，计算1分） 4sin)4sin(4cos)4cos(]4)4cos[(cos ππαππαππαα+++=-+=……11分5422102221027-=⨯-⨯-=……12分⒘证明与求解：⑴设⊙O 所在的平面为α，依题意，PA α⊥，BC α⊂，∴PA ⊥BC ……2分∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的一点，∴AC ⊥BC ……3分 ∵PA∩AC=A ，∴BC ⊥平面PAC ……5分∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ……7分⑵∵PA α⊥，∴三棱锥P -ABC 的体积PA S V ABC ⨯=∆31……9分∵AB=2，∠ABC=30°，AC ⊥BC ，∴AC=1，BC=3……11分 2321=⨯⨯=∆BC AC S ABC ……13分 32311=⨯⨯=⨯=PA S V ……14分⒙解：⑴2)11()1(211-=+-=a ……2分⑵]1)1[()1()1()1(212++-++-=+n n b n n n ……3分]11)1[()1(221--++-=+n n n ……5分，)12()1(1+-=+n n ……6分⑶由已知，99531100b b b b S Λ+++=……8分1991173++++=Λ……10分 250)1993(⨯+=……13分，5050=……14分⒚解：设房屋地面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元（x ，y ，0>z ），则12=xy ……1分52008003212003+⨯⨯+⨯=x y z ……4分 ∵x y 12=，∴52004800360012++⨯=x xz ……5分 ∵x ，0>y ，∴520048003600122+⨯⨯≥z ……8分，34000=……9分 当x x4800360012=⨯时……10分，即3=x 时，z 取最小值，最小值为34000元……11分 答：房屋地面长3m ，宽4m 时，总造价最低，最低总造价为34000元……12分⒛解：⑴（方法一）依题意，设椭圆C 的标准方程为12222=+by ax （0>>b a ）……1分||||221PF PF a +=……2分，261)43(1)43(2222=+-+++=，∴23=a ……4分4=c ……5分，∴2222=-=c a b ……6分 椭圆C 的标准方程为121822=+y x ……7分（方法二）依题意，设椭圆C 的标准方程为12222=+by ax （0>>b a ）……1分∵4=c ……2分，∴162222+=+=b c b a ，1162222=++by b x ……3分 ∵点) 1 , 3(P 在椭圆C 上，∴1116922=++bb ……4分016624=-+b b ……5分，解得22=b 或82-=b （负值舍去）……6分181622=+=b a ，椭圆C 的标准方程为121822=+y x ……7分⑵)212 , 272()1 , 1()1 , 7(212121+--=-+--=+=λλλλPF PF ……9分 点M 的坐标为)212 , 272(+--λλM ……10分 ∵点M 在椭圆C 上，∴1)212(21)272(18122=+-+-⨯λλ……11分 即074202=-+λλ……12分，解得21=λ或107-=λ……14分21．解：⑴223)(2/++=x ax x f ……1分，所求切线的斜率2)0(/==f k ……2分所求切线方程为)0()0(-=-x k f y （或)0(f kx y +=）……3分 即12-=x y ……4分⑵（方法一）由312)(23≤-++=x x ax x f ，作函数x xx x g 124)(23--=，其中4] , (00) , 2 [Y -∈x ……5分)2)(6(11412)(4234/-+=++-=x x x g ……6分由上表可知，0) , 2 [-∈∀x ，21)2()(-=-≤g x g ；4] , (0∈∀x ，21)2()(-=≥g x g ……11分由312)(23≤-++=x x ax x f ，当4] , (0∈x 时，x xx a 12423--≤，a 的取值范围为]21, (--∞，当0) , 2 [-∈x 时，x xx a 12423--≥，a 的取值范围为) , 21[∞+-……13分∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∞+---∞21) , 21[]21 , (I ，31)0(≤-=f 恒成立，∴21-=a ……14分（方法二）0≥a 时，232364)4(≥+=a f 不符合题意……5分0<a 时，解0223)(2/=++=x ax x f 得a a x 36111-+-=，aax 36112---=……8分，由⎩⎨⎧≤+=≤--=-32364)4(318)2(a f a f ……10分，解得16521-≤≤-a ……11分此时416122<--=a x ，2161236111->+--=-+-=a a a x ……12分∴312)(222322≤-++=x x ax x f ，即0124222≤-+x x ，262≤≤-x ……13分解216122≤--=a x 得21-≤a ，综上所述21-=a ……14分。
江门市2015届普通高中高三调研测试(理科综合)(清晰扫描版含电子版答案)
江门市2015届普通高中高三调研测试理科综合生物答案1.D2.C3. B4. A5.B6.C 24.AD25.AB 26．（1）自由水 ATP （2）二氧化碳的固定（或CO 2与Ｃ5化合物生成Ｃ3化合物或CO 2＋Ｃ5―――→2Ｃ3）葡萄糖→丙酮酸→二氧化碳（3分，只写一种物质不给分，“葡萄糖→丙酮酸”或“丙酮酸→二氧化碳”给1分）（3）①防止叶片进行光合作用干扰呼吸强度的测定（仅写出“防止叶片进行光合作用”得1分）②大于 与t 1相比，t 2时呼吸速率高峰出现时间推迟且峰值低，有利于叶片贮藏（3分，能答出“t 2比t 1更利于叶片贮藏”得1分，“t 2时呼吸速率高峰出现时间推迟” 得1分，“峰值低”或近似表述得1分）27．（1）⑥ ④⑦（每个1分，每出现1个错误选项扣一分，扣完为止） 过敏反应（2）激素①（3）胰岛A 细胞 存在（4）激素②的化学本质是蛋白质，会被腺泡细胞分泌的蛋白酶分解。
（4分，每个分句各2分）28．(16分,每空2分）(1) 遗传咨询 羊水检查（染色体组型检测，抽血化验）（2）①伴X （染色体）隐性 ②AaX b Y 1/2(3) ① 构成基因的脱氧核苷酸序列不同（正常基因上有限制酶E 的切割位点，而致病基因上不存在） ②9.7 ③3/429．(16分,每空2分）I ：（1）等（质）量 无水乙醇（丙酮） （纸）层析从点样处数起第一第二柱比甲图低可得1分（第一第二之间柱的高低可忽略），第三第四柱与甲图的位置、高度相近可得1分,全对方可得2分Ⅱ：（1）探究不同pH 值对过氧化氢酶活性的影响（2）单位（相同）时间产生气泡的数目（产生气泡的速度）或卫生香复燃的程度（3）①30℃是过氧化氢酶的适宜温度（答最适温度不扣分）；②排除温度变化（无关变量）对实验结果的影响。
色 素 含 量 甲色 素 含 量 乙 酶江门市2015届普通高中高三调研测试化学参考答案一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分。
2015届高三数学不等式专题训练附解析
2015届高三数学不等式专题训练（附解析）一、选择题1、（2014广东高考）若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（ ）A ．8 B.7 C.6 D.52、（2012广东高考）已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1-3、（2011广东高考）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A． B． C ．4 D ．34、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为 A ．81 B ．41 C ．43 D ．875、（惠州市2015届高三第二次调研考试）已知0a >,x ,y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =( )A.14 B. 12C ．1D ．2 6、（韶关市十校2015届高三10月联考）若实数y x ,满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为（ ）A. 2； B ．2-； C.49-； D. 947、（广东省实验中学2015届高三第一次阶段考）已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11lg lg a b>8、（中山市第一中学等七校2015届高三第一次联考）已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则 OA OM +的取值范围是（ ）A []51，B []52，C []21，D []50，答案：1、【解析】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，2、B3、解析：（C ）．z y =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z取得最大值，max 24z ==4、【答案】D 解析：平面区域Ω×2×2＝2， 平面区域2Ω，为四边形BDCO ，其中C （0，1），由2=01y x x y --⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1322，，⎛⎫- ⎪⎝⎭则三角形ACD 的面积=5、【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数2z x y =+的几何意义为直线l ：2y x z =-+在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点(1,2)B a -时，目标函数2z x y =+的最小值为1，则1221,2a a -==。
广东省江门市普通高中2015-2016学年高二上学期期末调研测试数学(理)试题带答案
江门市2017届普通高中高二第一学期调研测试数 学（理科）本试卷共4页，24题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：2cos2sin 2sin sin βαβαβα-+=+．．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列的前4项分别是：1，3，6，10，这个数列的一个通项公式是A ．)1(2--=n n a nB ．12-=n a nC ．2)1(+=n n a nD ．2)1(-=n n a n 2．命题“若0=α，则ααcos sin <”的否命题是A ．若0=α，则ααcos sin ≥B ．若ααcos sin <，则0≠αC ．若0≠α，则ααcos sin ≥D ．若ααcos sin ≥，则0≠α 3．下列不等式中，解集是空集的是A ．012>+-x xB ．522>-x x C ．0122>++-x x D ．22>+x x4．已知)5 , 2 , 3(-=a ，)3 , , 1(m b =，若b a ⊥，则常数=mA ．6-B ．6C ．9-D ．9 5．在ABC ∆中，60A ∠=，a =b =ABC ∆解的情况A ．无解B ．有唯一解C ．有两解D ．不能确定6．“1<x ”是“2||<x ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件秘密★启用前 试卷类型：AA 17．在直角坐标系xOy 中，直线x y =与抛物线y x 42=相交于O 、A 两点，则点A 到抛物线焦点的距离为A ．5B ．6C ．7D ．8 8．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若bc C a A 1cos cos =+，则 A ．a 、b 、c 成等比数列 B ．a 、b 、c 成等差数列 C ．2a 、2b 、2c 成等比数列 D ．2a 、2b 、2c 成等差数列9．在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤≤≤.022,30,20y x y x 所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则||AB 的最大值为A ．52B ．13C ．3D ．510．如图1，在正三棱柱111C B A ABC -中，12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为 A ．045 B ．060 C ．090 D ．010511．已知椭圆12422=+y x ，直线 l 交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为)1 , 21(-，则 l 的方程为A ．02=+y x B ．0252=--y x C ．022=--y x D ．0294=--y x 12. 若a 、b 是函数q px x x f +-=2)(（0>p ，0>q ）的两个不同的零点，且a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“R x ∈∃，使得0522=++x x ”的否定是____________．14. 已知圆4)2(22=+-y x ，则过抛物线x y 42=的焦点的直线与已知圆相交的最短弦长等于____________．ABCDE1B 1A 1C 1D 图3A15.已知数列{}n a 满足：* , N n m ∈∀都有n m n m a a a +=⋅，且21=a ．记数列1222-+=n nnn a a a b 的前n 项和为n S ，则=n S ____________． 16. 如图2，三棱锥ABCD 各棱的长均为1，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则=EF ____________．17．（本小题满分12分）设{}n a 是正项等比数列，21=a ，423+=a a ． ⑴求{}n a 的通项公式；⑵设{}n b 是首项为1，公差为2-的等差数列，求数列{}n n b a +的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）已知关于x 的函数1)1()(2-+-+=a ax x a x f ，R a ∈是常数． ⑴当1=a 时，求不等式0)(>x f 的解集；⑵若R x ∈∀，都有22)(x x f <，求a 的取值范围（用集合表示）．19．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A c a sin 23=． ⑴求角C ；⑵若7=c ，且ABC ∆的面积为310，求ABC ∆的周长．20．（本小题满分12分）如图3，直四棱柱1111D C B A ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，060=∠ABC ，E 是1CC 的中点，且D A B A 11⊥．⑴证明：平面⊥BD A 1平面BDE ； ⑵求直线D A 1与直线BE 所成角的余弦值．21．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，点)0 , 2(-A ，)0 , 2(B ，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是43-． ⑴求点M 的轨迹C 的方程；⑵直线l ：1-=x y 与曲线C 相交于1P ，2P 两点，Q 是x 轴上一点，若Q P P 21∆的面积为26，求Q 点的坐标．请考生从第22、23、24题中任选一题作答。
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图1江门市2015届普通高中高三调研测试数 学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
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参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．3223333)(b ab b a a b a +++=+一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知R 为实数集，{}x x x A 332|<-=，{}2|≥=x x B ，则=B AA ．{}2|≥x xB ．{}3|->x xC ．{}32|<≤x xD ．R ⒉ i 是虚数单位，则=+--)2321)(2123(i i A ．1 B ．i 2321+- C ．i 2321- D ．i 2321--⒊已知三个实数：213=a、321(=b 、21log 3=c ，它们之间的大小关系是 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >> ⒋已知a 是非零向量，c b ≠，则“c a b a ⋅=⋅”是“) ( c b a -⊥”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件⒌如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为 A ．4 B ．8 C ．π2 D ．π4⒍在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=b图2A ．35B ．65C ．310D ．610 ⒎在同一直角坐标系中，直线143=+yx 与圆044222=--++y x y x 的位置关系是 A ．直线经过圆心 B ．相交但不经过圆心 C ．相切 D ．相离⒏已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则常数a 的取值范围是 A ．)2 , (--∞ B ．)1 , (--∞ C ．) , 1(∞+ D ．) , 2(∞+二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐双曲线14416922=-y x 的离心率=e ．⒑△ABC 是等腰直角三角形，已知A(1，1)，B(1，3)，AB ⊥BC ，点C 在第一象限，点) , (y x 在△ABC 内部，则点C 的坐标为 ，y x z -=2的最大值是 ．⒒如图2，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是 ．⒓若⎩⎨⎧>-≤-=0 , 20, )(2x x x x x x f ，则)(x f 的最小值是 ．⒔已知数列{}n a 满足411-=a ，111--=n n a a （1>n ），计算并观察数列{}n a 的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，=2015a ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕计算定积分：⎰=411dx x．⒖已知定义在区间) , (ππ-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递增区间是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈． ⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ；PABC DFE图3⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．⒘（本小题满分14分）已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．⒙（本小题满分14分）如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ．E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．⑴求证：PA//平面EDB ；⑵求证：PF=31PB ；⑶求二面角C -PB -D 的大小．⒚（本小题满分12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方．．成正比，如果此船速度是10km/h ，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100 km 航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别是) 3 , 0 (-、) 3 , 0 (，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是21-． ⑴求点M 的轨迹L 方程；⑵若直线 l 经过点) 1 , 4 (P ，与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程．21（本小题满分14分）已知函数1)(23-+=ax x x f （R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）评分参考一、选择题 BDAD CBBA二、填空题 ⒐45⒑(3，3)，3……第1空3分（横坐标、纵坐标、格式各1分），第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分；对1个给3分，全对5分三、解答题⒗解：⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 ⑵依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解：⑴依题意，数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分，∴121=-=d a a ……4分（或：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分，解得⎩⎨⎧==211d a ……4分）数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分 ⑵由⑴得121+=+n a n ，)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n na a nb n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时，]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n……11分，)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分 1=n 时，3111-==b S 也符合上式，∴*N n ∈∀，)12(412)1(+---=n n S n n ……14分⒙证明与求解：（方法一）⑴连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点……1分OE 是△PAC 的中位线，OE//PA ……2分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB ……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ……5分∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD CD=D ，∴BC ⊥平面PCD ……6分 BC ⊥PC ，EF ⊥PB ，∠BPC 是公共角，∴△PEF ～△PBC ……7分设PD=DC a =，则PC a 2=，PB a 3=，a PC PB PE PF 33=⨯==31PB ……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ……9分∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴PC ⊥DE ，∵PC BC=C ，∴DE ⊥平面PBC ……10分 DE ⊥PB ，EF ⊥PB ，DE EF=E ，∴PB ⊥平面DEF ……11分∴PB ⊥DF ，∠DFE 是二面角C -PB -D 的平面角……12分在△DFE 中，∵DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥EF ，DE a 22=……13分 a BC PB PE EF 66=⨯=，tan ∠DFE 3==EF DE ，∠DFE 3π=……14分（方法二）⑴以D 为原点，DA 、、DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系……1分，设PD=DC=1，则)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1 , 1(B ，)0 , 1 , 0(C ，)1 , 0 , 0(P ……2分，连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，)0 , 21, 21(O ……3分E 是PC 的中点，∴)21 , 21 , 0(E ，)21, 0 , 21(-=……4分)1 , 0 , 1(-=PA ，2-=，PA//OE ……5分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB ……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλ……7分，则)21, 21 , (+--=+=λλλPF EP EF ……8分∵EF ⊥PB ，∴0)1 , 1 , 1()21, 21 , (=-⋅+--=⋅λλλPB EF ……9分即013=-λ，解得31=λ，PF=31PB ……10分⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=，)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅，∴DF ⊥PB ，∠DFE 是二面角C -PB -D 的平面角 (12)分，21cos ==∠DFE ……13分，∠DFE 3π=……14分⑶（方法三）平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=AC ……11分平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=……12分21||||,cos =⋅>=<DE AC ……13分所以，3,π>=<，二面角C -PB -D 的大小为3π……14分（各评卷点、评卷教师请注意：本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分，而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分，因此，本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分，评卷时要么按方法一给分，要么按方法二三给分）⒚解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ，则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分设航速为x km/h 时，总费用为y 元，则500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分，xx 5000080+=……6分 （方法一）令050000802/=-=x y ……8分，解得25=x （负值舍去）……9分 250<<x 时，0/<y ，25>x 时，0/>y ，∴25=x 是极小值点，也是最小值点 ……10分，此时400025500002580=+⨯=y （元）……11分 （方法二）∵0>x ，∴xx y 50000802⨯≥……8分，4000=（元）……9分 等号成立当且仅当xx 5000080=……10分，解得25=x （负值舍去）……11分 答：航速为25km/h 时，总费用最少，此时总费用为4000元……12分⒛解：⑴设M （x ，y ）是轨迹上任意一点，x y k AM 3+=，xy k BM 3-=……2分 依题意，2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分 整理化简得轨迹方程为191822=+y x ，其中0≠x ……6分 ⑵显然所求直线 l 存在斜率，设l ：)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时，14013=---=k ……8分，代入)4(1-=-x k y 得3-=x y……9分；②当直线 l 经过B 点时，214013-=--=k ……10分，代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y ……11分③当点P 为切点时，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ，综上所述，直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分（注：①②③三种情况独立给分）21．证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432x x a x x -≤≤+-……8分作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(xx x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(x x x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 （方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分 当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a ……12分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a ……13分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。